第14章 勾股定理测试题（二）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.若一个直角三角形的两条直角边的长分别为6 cm 和8 cm ，则斜边的长为（ ）
A. 6 cm
B. 8 cm
C. 10 cm
D. 14 cm
2.如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=90o，AB=13，BC=12.若以AC 为边长作正方形（图中阴影部分），则
这个正方形的面积为（ ）
A. 5
B. 10
C. 20
D. 25
3.若三角形的三边长分别为3 cm ，4 cm 和5 cm ，则这个三角形的最大内角的度数是（ ）
A. 45o
B. 90o
C. 135o
D. 150o
4.从5，9，12，13，17这5个数中选取3个数，可以作为勾股数的一组是（ ）
A. 5，9，12
B. 5，9，13
C. 5，12，13
D. 9，12，17
5．下面说法正确的是（ ）
A ．在Rt △ABC 中，∠A ，∠
B ，∠
C 所对的边分别为a ，b ，c ，则a 2+b 2=c 2
B ．在Rt △AB
C 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a=3，b=4，则c=5
C ．直角三角形的两直角边长都是5，那么斜边长为10
D ．直角三角形中，斜边最长
6.图2的虚线部分是“赵爽弦图”示意图，它是由4个全等的直角三角形围成的，AC=3 cm ，BC=2.5 cm ，
现将4个直角三角形中边长为3 cm 的直角边分别向外延长1倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个“数
学风车”的外围周长是（ ）
A. 26 cm
B. 34 cm
C. 36 cm
D. 38 cm
7.如图3，在Rt △ABC 中，∠C=90o，点D 在BC 上，连接AD ，且AD=BD ，若BD=10，BC=16，则AC
的长为（ ）
A. 8
B. 10
C. 12
D. 14
8.图4所示是一个十字路口，O 是两条公路的交点，点A ，B ，C ，D 分别表示公路上的四辆车.若OC=80 m ，
AC=170 m ，AB=50 m ，BD 2=50 000 m 2，则C ，D 两辆车之间的距离为（ ）
A. 50 m
B. 40 m
C. 30 m
D. 20 m
9. 【导学号08690638】如图5，在单位长度为1的正方形组成的网格图中标有AB ，CD ，AE ，DE 四条线段，其中能构成一个直角三角形的三条线
段的是（ ）
A. AB ，CD ，AE
B. AE ，DE ，CD
C. AE ，DE ，AB
D. AB ，CD ，ED 10.如图6，圆柱底面的半径为 2cm ，高为9 cm ，A ，B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A ，B 在同一条线上，用一根棉线从点A 顺着圆柱侧面绕3圈到点B ，则这根棉线的长度
最短是（ ）
A. 12 cm
B. 15 cm
C. 18 cm
D. 21 cm
二、填空题（每小题4分，共32分）
11.若17，a ，15是一组勾股数，且a 为最短边，则a=_______.
图1
A
图4
图3 图2 图5 图6
B
A
12.在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，且c=b+1，a=9，则b=＿＿___.
13.在△ABC中，已知∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，且三边长满足（a+c+b）（a2+c2-b2）=0.若∠A=30o，则∠C的度数是______.
14.图7所示的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形，若正方形A，B的边长分别为8 cm，6 cm，正方形C的面积S C=35 cm2，则正方形D的面积S D=_______.
15.如图8，为修筑铁路需凿通隧道AC，现测量出∠ACB=90o，AB=6 km，BC=4.8 km，若每天凿隧道200 m，则_______天才能把隧道AC凿通.
16.在△ABC中，若三边长a，b，c满足等式|a-9|+（b-12）2+（c-15）2=0，则△ABC的面积为_______.
17.如图9，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，若AB2+BE2=16，AD2+DF2=25，EF=x，
∠AEB=∠CFE，则x=_______.
18.如图10，由8个全等的直角三角形（图中带阴影的三角形）与中间的小正方形拼成一个大正方形，如果最大的正方形的面积是25，最小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，则下列结论：①a2+b2=13；②（a-b）2=1；③ab=6.
其中正确结论的序号为_______.
三、解答题（共58分）
19.（8分）如图11，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，AB=17 cm，AD=8 cm，求△ABC的周长.
20.（10分）如图12-①，在波平如镜的湖面上，有一朵美丽的红莲，它高出水面1 m. 一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵齐及水面（如图12-②所示）. 经测量得知红莲移动的水平距离为2 m，试问：这里的
水深是多少？
21.（12分）观察下列各式：
32-4=5，4×3=12，32+4=13，则5，12，13组成一组勾股数；
42-4=12，4×4=16，42+4=20，则12，16，20组成一组勾股数；
52-4=21，4×5=20，52+4=29，则21，20，29组成一组勾股数；
……
你能否得出结论，对于任意大于2的整数k，k2-4，4k，k2+4组成一组勾股数？请说明理由.
22.（14分）图13所示是4个完全相同的直角三角形适当拼接后形成的图形，这些直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c.
（1）请你从面积的关系出发，写出一个关于a，b，c的等式，并验证你的结论正确；
图
①②
图11
图7 图10
图9
图8
（2）利用（1）中得到的等式解决问题：若a+b=7，ab=12，求c的值.
23.（14分）图14所示是一个长方体的透明鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60 cm. 一只小虫想从鱼缸外的A点沿缸壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵.
（1）小虫应该走怎样的路线使爬行的路程最短？请你在图中画出它的爬行路线，并用箭头标注；
（2）试求小虫爬行的最短路线长.
附加题（15分，不计入总分）
24.问题情境：在图15所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点.
尝试解决：（1）在图15-①中画一个Rt△ABC，使其两直角边长分别为AB=3，BC=4（∠B=90o），并求出△ABC的周长；
（2）合作交流：在图15-②中，能否画出一个△EFG，使得EF2=20，FG2=5，EG=5，若能，求出∠EFG 的度数；若不能，请说明理由.
图15
②
①
图13
图14
（山西 左丁政）
第14章 勾股定理测试题(二)
一、1. C 2. D 3. B 4. C 5. D 6. D 7. A 8. D 9. D
10. B 提示：圆柱体的展开图如图1所示，用一根棉线从A 点顺着圆柱侧面绕3圈到
B 点的长度最短路线是AC→CD→DB .根据圆的周长公式可知，圆柱体的底面周长为
4cm ，即长方形的宽为4 cm ，因为圆柱的高为9 cm ，所以，每个小长方形的一条边长
为3 cm ，根据勾股定理，得AC=CD=DB=5 cm ，所以AC+CD+DB=15（cm ）.
二、11. 8 12. 40 13. 60o 14. 65 cm 2 15. 18 16. 54 17. 3
18. ①②③ 提示：因为最大正方形的面积为25，所以由四个全等直角三角形拼成的
正方形的面积为13，所以a 2+b 2=13，①正确；因为最小正方形的面积为1，最小正方
形的边长为b-a ，所以（a-b ）2=1，②正确；因为a 2+b 2-4×ab 21
=（a-b ）2，所以13-2ab=1，解得ab=6，③正确.
三、19. 解：因为AB=AC ，AD 平分∠BAC ，所以AD ⊥BC ，BD=CD.根据勾股定理，得
BD 2=AB 2-AD 2=172-82=225，所以BD=15 cm ，BC=2BD=30 cm.所以△ABC 的周长为
AB+AC+BC=17+17+30=64（cm ）.
20. 解：设水深为x m ，则红莲的高为（x ＋1）m.
根据勾股定理，得x 2+22=（x+1）2，解得x ＝1.5.故这里的水深为1.5 m.
21. 解：能.理由：因为（k 2-4）2+（4k ）2=k 4-8k 2+16+16k 2=k 4+8k 2+16，（k 2+4）2=k 4+8k 2+16，所以（k 2-4）2+（4k ）2=（k 2+4）2.所以，对于任意大于2的整数k ，k 2-4，4k ，k 2+4组成一组勾股数.
22. 解：（1）该图形的面积有两种求法：一种是以c 为边长的正方形的面积+2个直角三角形的面积；另一种是以b 为边长的正方形的面积+以a 为边长的正方形的面积+2个直角三角形的面积.根据两种求法的面积相等，得c 2+2×21ab=b 2+2×21ab+a 2，化简，得a 2+b 2=c 2.
（2）因为a+b=7，所以（a+b ）2=49.所以a 2+2ab+b 2=49.
因为a 2+b 2=c 2，ab=12，所以c 2+2×12=49.所以c 2=25，即c=5.
23. 解：（1）如图2所示，以BC 所在直线为对称轴，作点A 的对称点A ′，连接A ′G ，则A ′G 的距离即为所求（即AQ ＋QG 的长度）.
（2）因为AE ＝40 cm ，AA′＝120 cm ，所以A′E ＝120－40＝80（cm ）. 在Rt △A′EG 中，EG ＝60 cm ，根据勾股定理，得A′G 2＝A′E 2＋EG 2＝802＋602＝10 000.所以A′G ＝100 cm.所以AQ ＋QG ＝A′Q ＋QG ＝A′G ＝100 cm.所以小虫爬行的最短路线长为100 cm.
24. 解：（1）如图3-①所示，在Rt △ABC 中，AB=3，BC=4，根据勾股定理，得AC=5.
所以△ABC 的周长=3+4+5=12.
（2）能.如图3-②所示，因为EF 2+FG 2=20+5=25，EG 2=52=25，所以EF 2+FG 2=EG 2.
所以△EFG 是直角三角形，且∠EFG=90o.
图3 ② ①
C
B
A E F G 图2
4
图1