![[数学] 好题妙解](https://img.doczj.com/img48/0267lmd6fo3z44vgom3j-81.webp)
![[数学] 好题妙解](https://img.doczj.com/img48/0267lmd6fo3z44vgom3j-62.webp)
行程问题的解题技巧
首先讲一个例子
一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时。一天，小船从早晨6点由A港出发顺流行到B港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1小时后找到救生圈：问：（1）若小船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小时？（2）救生圈是在何时掉入水中的？
分析（1）设静水中的速度为x
不难求得问题（1）的结果为小船由A港漂流到B港需48小时。我们重点分析问题（2），如图，设救生圈在C处掉入水中，当小船以在顺水航行的速度由C处到达B港的同时，救生圈以水流速度由C处漂流到D处，这一段相当于简单的追及问题；小船掉头从B处逆流而上，同时救生圈从D处漂流而下，相当于以DB为总路程的相遇问题。由此可设全程为1，救生圈是x 点钟落入水中的，则
解之，得 x=11。可知救生圈是上午11时掉入水中的。
此题好在寓意深刻、独且特色：一是要求考生较深层次地认识行程问题与工程问题的统一，从而用解工程问题的思想方法去解一个相遇问题极为巧妙地结合在一起，要求考生会用分解的思想去解决较复杂的问题；三是要求考用运动的观点看问题；四是置考察能力的目的于一个应用问题中，培养解决实际问题的能力。
对以上问题做进一步的思考，不难发现：这个问题虽然比较复杂，但始终有一个不变量，即水流速度。能否充分运用这一不变量独辟蹊径呢？我们联想到初二物理中的相对速度，如果以流水为参照物，即认为流水是静止的，那么船的相对速度，不论是顺水航行还是逆水航行，都等于船在静水中的速度，是不变的！就象一个人在一匀速前进的列车上来回行走一样。因此这个问题就相当于以流水为参照物，救生圈在C处始终没有运动，而小船以静水中的速度从C行驶到B，在B 港发现救生圈掉落马上返回C（相对速度仍是小船在静水中的速度），由已知从B港所用时间当然仍是1小时，由此可知救生圈是在12-1=11时掉入水中的。
此法真是简洁，而且活用了物理方法，其适用条件（至少要有两个匀速的速度）也较为广泛，不少复杂的行程问题都可用这种方法得到简化.
下文给出广州市1999年中考压轴题，同学们不妨一试。
2 两列火车分别行驶在两平行的轨道上，其中快车车长100米，慢长车长150米，当两车相向而行时，快车驶过慢车某个窗口（快车车头到达窗口某一点至车尾离开这一点）所用的时间为5秒。（1）求两车的速度之和及两车相向而行时慢车驶过快车某个窗口所用的时间；
（2）如果两车同向而行，慢车的速度不小于8米/少，快车从后面追赶慢车，那么从快车的车头赶上慢车的车尾开始到快车的车尾离开慢车的车头所需的时间为多少秒？
提示：设慢车的速度为米/秒，快车的速度为米/秒。问（1）中以快车为参照物，快车静止不动，慢车的相对速度为（）米/秒；问（2）中以慢车为参照物，慢车静止，则快车的相对速度为（）米/秒。
29、（12分）已知直线l ：767+=
x y 分别交x 轴和y 轴于点A 和B ，点C 的坐标为（－
8，0）。点P 上直线上的一个动点，PD 与x 轴垂直且垂足为D ，O 为直角坐标系的原点。
（1）若点P 在第二象限，且使得AOB PCD S S ??=
3
2
，求点P 的坐标； （2）当点P 在直线AB 上移动时，直线上是否存在点P ，使得△PCA ∽△OCP 。若存在，则求出符合条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
76 29题图
专题一初中数学（特殊值法） (1)题目中没有出现具体的数据，只有倍数关系 （猜）（初一）1．一个圆柱的底面半径比一个圆锥的底面半径多3倍，高是原来的1/4，则这个圆柱的体积是原来圆柱体积的（） A、3/4 B、27/4倍 C、12倍 D、4/3倍 （猜）（初三）2.AB=2/3AH，AG=2/3AM，三角形ACF的面积是四边形CIKE的（） （猜）（初三）3.圆O被A,B,C,D,E,F,G,H八等分，求 ①∠BEC=（）度 ②与线段AB相等的线段有（）条（不包括自己） ③BC( )1/2CE (填等于大于小于) ④八边形ABCDEFGH是圆O面积的（） （初二）4. 已知关于x的一次函数y=ax-a+1和y=(a-1)x-a+2，它们的图象交点是。 （初一）5.若a<-2，则3-│3-│a-3││化简的结果是（）
A、3-a B、3+a C、-3-a D、a-3 （初一）6.当m＜0时，m与m的大小关系为（） A、m＞m B、m＜m C、m=m D、无法确定 ★（初二）7. （初一）8.已知有理数a、b满足a＞b，则下列式子正确的是（） A．-a＜b B. a＞-b C. -a＜-b D. -a＞-b ★（初三）9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点（－2，0），（，0），且。与y轴的正半轴的交点在点（0，2）的下方，则下列结论①a＜b＜0；②2a＋c＞0；③4a＋c＜0；④2a－b＋1＞0中正确的是。（写出序号） （初二）10．若a、b满足，则的值为。 ★（初三）11. （初一）12.若x＞0，y＜0，且│x│＜│y│，则x+y 0。 若x<0 ，y<0，且│x│＞│y│，则x+y 0 。 ★（初二）13. A、a、b、c都不小于0 B、a、b、c都不大于0 C、a、b、c至少一个小于0 D、a、b、c至少一个大于0
第15届“海门之窗网”杯小学生巧思妙解玩数学模拟卷 二年级试卷 姓名 准考证号 得分 一、填空题。（第2、3、8、10题每题3分，其余每题2分，共28分） 1.计算，直接写出得数。 （1）98＋99＋100＋101＋102＝（ ） （2）25×125×4×8＝（ ） 2.找规律填数。 （1）81，（ ），49，36，（ ） （2） 8 12 16 13 （ ） 23 18 24 30 （3） 3.数出下面各有多少个指定的图形。 （1） （2） （3） （ ）条线段 （ ）个三角形 （ ）个正方形 4. 一个蛋糕要分给11个小朋友吃，每个小朋友吃1块，问如果竖直切，最少要切（ ）刀。如果妈妈要将一块豆腐切成14块，妈妈最少要切（ ）次. 5.下面算式中的每个汉字各代表多少？ （1） 精彩奥运 精＝（ ） （2） 9 好 好＝（ ） 奥运 彩＝（ ） －习 6 习＝（ ） ＋ 奥运 奥＝（ ） 惯 4 惯＝（ ） 2 0 0 8 运＝（ ） －习习 2 1 6.阿姨拿来35块饼干，每个小朋友分得4块，还余3块，阿姨发给了（ ）个小朋友。 61 7 3 40 760 8 90 232 8 4 200 160 20 5 60 450 6 30
A B C D E F 7.根据下面两幅图，请你推想一下，3个的重量等于（ ）个的重量。 8.今年爸爸29岁，妈妈27岁，小玉2岁。当三人的岁数和是70岁时，爸爸（ ）岁，妈妈（ ）岁，小玉（ ）岁。 9.小林要沿着数字按从小大的顺序从1走到7，他共有（ ）种不同的走法。 10.在下面括号里写出从上一个钟面到下一个钟面所经过的时间 11.从五位数48975中划去3个数字（先后顺序不改变）。剩下的2个数字组成的最大两位数是（ ），剩下的2个 数字组成的最小两位数是（ ）。 12.6个小朋友围在一起做“传花”游戏，从A 开始按箭 头方向向下一个人传花。传花时按顺序报数，当报到50时，花在（ ）手上。 二、操作与探索。（每题6分，共24分） 13.只移动一根火柴棒，使得等式成立。 （1） 改后的算式是：（ ） （2） 改后的算式是：（ ） 7 6 5 5 4 3 4 3 2 1 12 12 12 12 经过 ( ) 经过 ( ） 经过 (
智巧趣题 例1.（1）三个小朋友三分钟削三支铅笔，照此效率，六个小朋友几分钟削六支铅笔？ （2）三只猫三天吃三只老鼠，照此效率，六只猫六天吃几只老鼠？ 解析： （1）（2） 例2.一农户以15元的价钱买了一只鸡，以16元的价格卖了出去。后来觉得不值得，又花17元买了回来，最后又以18元卖了出去。农户是赚了还是亏了，赚了或亏了多少钱？ 答案：赚4元 解析： 例3.一只蜗牛从深12米的井底沿井壁向上爬，白天向上爬3米，晚上向下滑2米。求这只蜗牛第几天的白天能爬到井口？ 答案:第10天。 解析：（最后一天白天爬上去了，不用下滑） 12–3=9（米） 9÷（3–2）=9（天） 9+1=10（天） 第十个白天可以爬到井口 例4.37个同学要坐船过河，渡口处只有一只能载5人的小船(无船工)。他们要全部渡过河去，至少要使用这只小船渡河多少次？（来、回各算渡河一次） 答案：17次。 解析：最后一次连驾驶员最多能渡5人，且不需要回程。 前几次需要渡：37－5=32（人） 需要：32÷（5－1）=8（个）（8个来回） 加上最后一次，需要：2×8+1=17（次）
拓展练习 1.3只老鼠5天偷吃了10个玉米，按照这样的速度。 （1）3只老鼠15天能偷吃几个玉米？答案：30个 （2）9只老鼠5天能偷吃几个玉米？答案：30个 解析：（1）老鼠天数玉米（2）老鼠天数玉米 3只5天10个3只5天10个 3只15天30个9只5天30个 2.蚂蚁小姐花10元买了一双鞋子，又把它以12元的价钱卖掉了。后来又以14元的价格买回来，最后又卖了16元，蚂蚁小姐赚了多少钱？ 答案：4元 解析：将买卖的钱分开结算，看花钱多还是赚钱多。 买卖 1012 1416 共：2428 卖出得到的钱比买付出的钱多，赚了：28－24=4（元） 3.一只蚯蚓从深9米的井底向井口爬去，白天向上爬3米，晚上向下滑1米，求这只蚯蚓第几天的白天能爬到井口？ 答案:第4天。 解析：最后一天白天能爬出井口，不用下滑，所以最后一天白天爬3米。 剩余：9－3=6（米） 爬前面6米的过程中，每昼夜只能往上爬3－1米， 需要：6÷（3－1）=3（天） 加上最后一天，一共要：3+1=4（天） 4.一条毛毛虫从一棵13米高的大树的底下往上爬，每个白天能向上爬5米，但是一个晚上会下滑3米，那么这条毛毛虫第几天白天才能爬到树顶？ 答案:第5天。 解析：最后一天白天能到树顶，不用下滑，所以最后一天白天爬5米。 剩余：13－5=8（米） 爬前面8米的过程中，每昼夜只能往上爬5－3米， 需要：8÷（5－3）=4（天） 加上最后一天，一共要：4+1=5（天） 5.有25名探险队员要过一条小河，只有一个包括驾驶员在内可乘坐5人的橡皮艇（无驾驶员），全体队员要全部渡过河去，至少需要渡河多少次？ 答案:11次。 解析：最后一次连驾驶员最多能渡5人，且不需要回程。 前几次需要渡：25－5=20（人） 需要：20÷（5－1）=5（个）（5个来回） 加上最后一次，需要：2×5+1=11（次）
利用特殊值法巧解中考数学填空题利用特殊值法巧解中考数学填空题 解法二：取AE=AG的特殊位置(如图2-3)，则四边形AGPE、PFCH都是正方形。由矩形PFCH的面积为矩形AGPE面积的2倍，得出PH=-PE ∵PA=-PE ∴PH=PA，易得PA=PH=PF，以P为圆心，PA为半径画圆，则∠HPF=90°∴∠HAF=45° [点评]：这道题若按常规做法解题，过程非常繁杂；针对填空题的特点，采用特殊值法，则非常方便。解法一，主要利用相似三角形的性质和勾股定理的知识，解法与学生的想法基本吻合；解法二，通过作圆的辅助线，由同弧所对的圆心角和圆周角之间的关系，得出结论，具有思路新颖，解法简单的特点。 例4.如图3-1所示，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN 的周长为____。(2019年辽宁省沈阳市中考题) [解析]：由题意可知：△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，M、N是在满足∠MDN=60°前提条件下AB、AC边上的动点，在移动过程中肯定存在MN∥BC的情况,取MN∥BC 的特殊位置，可以非常简单的求出△AMN的周长。 取MN∥BC的特殊位置，过D点作DH⊥MN垂足为H(如图3-2)，
可得△MDN也是等边三角形，∠BDM=∠HDM=30°， ∠MBD=∠MHD=90°，△MBD≌△MHD，∴MB=MH；同理可证，NC=NH，最后可得△AMN的周长=AB+AC=6。 [点评]：常规作法是延长NC到H点，使CH=BM，先证明 △DCH≌△DBM，得出∠BDM=∠CDH，∠NDH=∠NDM=60°，再证△NMD≌△NHD，得出NM=NH，最后得出△AMN的周长等于AB+AC=6。与常规作法相比，特殊值法的解法比较简单。 总之，利用特殊值法解决有关填空题，特别是对一些难度较大的题，会有很好的解题效果，这种解法充分体现了“特殊与一般”的辩证唯物主义的思想。 最后，提醒同学们两点： ①不是所有的填空题都适用特殊值法，所以一定要认真审题，要根据题的特点决定能否采用特殊值法。 ②采用特殊值法，设特殊的值或特殊的点时，一定要在允许的范围内。
第十一届海门之窗杯“巧思妙解”玩数学竞赛 四年级模拟试题 准考证号码姓名得分指导老师 一、填空题：(每空3分，12小空，共36分） 1.按规律填上适当的数。 5，2，8，4，12，8，17，16，（），（）。 2.几个同学交流自己家的门牌号，前六位同学家的门牌号分别是301，402，607，113，736，223。小梅发现她家的门牌号与前面每个门牌号恰好在同一数位有一个相同的数字。你知道小梅家的门牌号是（）。 3. 在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是180，而差比减数少8.如果被减数不变，减数减少16，差应变（）。 4.小明在计算两位数乘两位数时，把一个因数的个位数6错写成9，结果得936，实际应为864。这两个因数各是（）和（）。 5.小刚五次考试的平均成绩为93分（满分为100分），那么他每次考试的分数不得低于 （）分。 6. 小明做错题时，把被减数百位上的3错写成8，把减数十位上的9错写成6，这样算得的差是806.正确答案是（）。 7. 一个等差数列的第5项是21，第8项是63，那么它的第14项是（）。 8.如图，已知大正方形的边长为4，小正方形的 边长为3，那么阴影部分的面积为（）。 9.二进制数10110改写为十进制数为（）。 10.在四年级的100个学生中，68人订阅了《小 学生数学报》，76人订阅了《小学生语文报》， 其中仅订《小学生数学报》的有10人，则这 100个学生中仅订《小学生语文报》的有 （）人。
二、选择题：(每小题3分，5小题，共15分） 1. 有两袋糖，一袋有71粒，另一袋有39粒，每次从多的一袋中拿出4粒放入少的一袋里，拿（）次才能使两袋糖数目同样多。 A. 36 C. 6 2. 有一位工人把长18米的圆钢锯成了3米长的小段，锯断一次需4分钟，共需要（）分钟。 A. 12 C. 24 3. 假期里有些同学相约每两人互通一次电话，他们一共打了120次电话，问有（）个同学相约互通了电话。 A. 10 C. 15 4. 用1，2，4，5四个数组成不同的四位数，把它们从小到大排列，第17个数是（）。 A. 4521 D. 2541 5. 数一数，下面图形中有（）个正方形。 三、操作题：(每小题3分，5小题，共15分） 1 . 速算巧算：99999×77778+33333×66666 2.试一试作图，9个点最多可以连成多少条线，要求每条线上有3个点。
2.4 线性相关中的巧思妙解 线性相关题型在高考试题中具有计算复杂、运算量大,但是有一定的灵活性、和技巧等特点,.一般情况下对本节知识的考察，多以选择题、填空题形式出现，但也不排除应用题的形式，比如2007年广东高考题就以大题的形式出现,所以对于这一部分内容要熟练灵活的掌握. 例1. 已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程为y=bx+a 必过（ ） A.（2，2）点 B.（1.5，0）点 C.（1，2）点 D.（1.5，4）点 基本解法:(1)设所求的直线方程为y ?=bx+a ，其中a 、b 是待定系数。 （2）计算平均数x ，y ； （3）求a ，b ； （4）写出回归直线方程。 (5)验证A.B C D 那些点所求直线上. ?????????-=--=---=∑∑∑∑====. , )())((1 2 2 1 121 x b y a x n x y x n y x x x y y x x b n i i n i i i n i i n i i i 其中x =n 1 ∑=n i i x 1，y = n 1 ∑=n i i y 1 ，a 为回归方程的斜率，b 为截距。 对于本题4,5.1==y x ,所以b=2,a=1, y ?=2x+1，过(1.5,4)点,故选D 巧思：由于回归直线一定要过样本点的中心),(y x ,只需求出y x ,
妙解：x =n 1∑=n i i x 1，y =n 1∑=n i i y 1 4,5.1==y x 所以必过点),(y x 即点(1.5,4), 故选D.此法避免了求解回归方程的步骤,只需求出4,5.1==y x 即可. 例2某地区某种病的发病人数呈上升趋势，统计近四年这种病的新发病的人数如下表所示： 年底的四年里，该地区这种病的新发病人数总共多少？ 基本解法: 利用回归分析 x 轴上表示年份，y 轴上表示新发病的人数，将表格中的四组数据描点．观察这些点的位置，它们的分布大致在一条直线附近，所以尝试用直线进行拟合． 设回归直线方程为bx a y +=?，则由相关数据计算得：5.199711==∑=n i i x n x ，25.254011==∑=n i i y n y ，7.94)(12 2 1=--=∑∑==n i i n i i i x n x y x n y x b ，186623-=-=x b y a ， 所以回归直线方程为x y 7.94186623?+-=，从而 ?+?-=7.944186623总y 11676)2003200220012000(≈+++（人），即为所求． 巧思：由于求解先性回归方程时公式难记运算量又大,容易出错,我们还可以从新发病的增长率入手 1996年到1997年新发病的增长率为 (2491-2400)/2400≈3.792％； 1997年到1998年新发病的增长率为 (2586-2491)/2491≈3.814％； 1998年到1999年新发病的增长率为 (2684-2586)/2586≈3.790％． 由此可见，新发病的增长率基本一致，取其平均数为3.799％，以此作为以后新发病增长率的预测，
巧思妙解 例谈比较类选择题的解答技巧 广东省兴宁市第一中学刘凯华 典型例题 明末清初的思想家黄宗羲、顾炎武、王夫之三人被称为进步思想家，主要是因为他们 ①反对君主专制独裁，主张“人民为主” ②主张“工商皆本”，强调经世致用 ③主张推翻帝制，建立人民主权的国家 ④对儒学思想进行了总清算，创建了新的思想体系 A.①② B.①②③ C.②③ D.①②③④ 解法点拨 （1）读题联史 上述试题考查内容为明清之际的活跃思想局面，其出现的原因主要有：经济：商品经济发展，资本主义萌芽产生；阶级：工商业者阶层扩大，要求反封建束缚。政治：阶级矛盾、民族矛盾尖锐；君主专制空前强化并走向腐朽。思想：理学日益僵化，八股取士，文字狱等扼杀个性，摧残思想，还有西学东渐，近代西方科技传入中国。其主要代表人物有：李贽、黄宗羲、顾炎武、王夫之等。其主要特点有：反传统、反教条；反封建专制；带有一定的民主色彩；反映资本主义萌芽时代的要求。其主要影响有：进步性：构建起有时代特色的思想体系，使我国传统文化重新焕发生机；一定程度上反映了资本主义萌芽要求，具有明显的民主性和进步性，产生了一定的思想启蒙作用，对近代民主思想产生一定影响。局限性：没有提出新的社会制度，未能形成完整的思想体系；没有从根本上突破儒学（理学）的范畴，没有动摇封建统治的理论基础。其中，特别值得注意的是，明末清初的三大进步思想家指的是黄宗羲、顾炎武、王夫之，李贽不属于此列，三者的共同主张有：抨击君主专制制度；反对重农抑商，提出工商皆本；主张经世致用。 （2）技巧点拨 上述试题属于比较类选择题，其含义指的是：把具有可比性的事件、人物、现象（如著作、典章制度、观点、主张、内容、经济成果、因素、条件）等放在一起或把同类历史现象在不同的历史时期的表现放在一起，通过分析、归纳、比较，找出异（不同）同（相同）点的题型。其主要类型有：类比性（即同类相比较）和对比性（不同类或性质相反的事件、人物等进行比较）等。其特点是：在题干中常用“相同”、“共同”、“相似”、“共性”、“不同”、“差异”、“个性”等问句。其解题方法为：根据题干要求，结合所学知识和有关常识、根据评价历史人物、事件的方法、标准，进行比较，找出两者的相同点或不同点，从被选项中找出正确答案。 迎刃而解 运用上述解题方法并结合所学知识，明末清初三大进步思想家的共同主张有：政治上反对君主专制，经济上主张工商皆本，思想上主张经世致用，故①②正确。其局限性为：没有提出新的社会制度，未能形成完整的思想体系；没有从根本上突破儒学（理学）的范畴，没有动摇封建统治的理论基础，故③④错误。所以，A项为正确答案。 经典再练 关于明末清初三位进步思想家的共同点有（） ①都是传统儒学的背叛者②都反对君主专制 ③主张都反映了资本主义萌芽时期的要求④都直接推动了后来的资产阶级革命 A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③
中学趣味数学：趣题妙解 由于达纳遭到谋杀，安娜、巴布斯和科拉这三名妇女受到传讯。这三人中有一人是凶手，另一人是同谋，第三个则与这起谋杀案毫无瓜葛。这三名妇女各自作的供词中有三条如下： （l）安娜不是同谋。 （2）巴布斯不是凶手。 （3）科拉参与了此案。 Ⅰ.每条供词都说的是别人，而不是作供者自己。 Ⅱ.这些供词中至少有一条是那个无辜者作的。 Ⅲ.只有那个无辜者作的供词才是真话。 这三名妇女中，哪一个是凶手？ （提示：无辜者作了几条供词？) 答案 由于每条供词说的都是他人，所以这三条供词不可能都是无辜者一人作的。否则她就说到了她自己，从而与{Ⅰ.每条供词都说的是别人，而不是作供者自己。}矛盾。因此，根据{Ⅱ.这些供词中至少有一条是那个无辜者作的。}，无辜者作了其中的一条或两条供同。 如果无辜者只作了其中一条供词，那么根据{Ⅲ.只有那个无辜者作的供词才是真话。}，只有这一条供词才是真话，而其他两条供同就都是假话了。但是这种情况是不可能的，因
为如果其中任何两条供词是假话，那么余下的一条也一定是假话。这一点可分析如下。 (a)如果（1）和（2）是假话，则安娜就是同谋，而巴布斯就是凶手。因此科拉就是无辜者。这就使（3）也成为假话。 (b)如果（1）和（3）是假话，则安娜就是同谋，而科拉是无辜者。因此巴布斯就是凶手。这就使（2）也成为假话。(c)如果（2）和（3）是假话，则巴布斯就是凶手，而科拉是无辜者。因此安娜就是同谋。这就使（1）也成为假话。 因此，无辜者作了其中的两条供词。根据Ⅰ，这两条供词只能是由供词中没有说到的那名妇女作的。 (d)如果（2）和（3）是这两条供词，则它们就是安娜作的。于是安娜就是无辜者。但是供词（1）作为假话，却表示安娜是同谋。因此，这种情况是不可能的。 家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。 (e)如果（l）和（3）是这两条供词，则它们就是巴布斯作的。于是巴布斯就是无辜者。但是供词（2）作为假话，却表示巴布斯是凶手。因此这种情况也是不可能的。
奥数答案 一年级一、填空题：(每空3分，12小空，共36分）1．4； 2．10 3．18 4．9 5．46 6．19 ①7. 3 8. △= 12，○= 4 ，□= 16。 9．12秒 10．3个 二、选择题：（每小题2分，5小题，共10分）11．② 12．③ 13．② 14．① 15．D或4 16. ③ 三、操作题：(每小题3分，5小题，共15分）17．把右边5个图形中的第一和第三个圈起来。 18．能 19．
20． 21． 4+7=11 四、解决问题：（共31分） 22.4 23.24页。 24. 24岁；55岁。 25.亮亮的爸爸是工人；明明的爸爸是老师；刚刚的爸爸是解放军。 26.（1）2+5=7，10-6=4； （2）2+5=7，10-4=6； （3）5+2=7，10-6=4； （4）5+2=7，10-4=6； （5）4+6=10，7-5=2； （6）4+6=10，7-2=5； （7）6+4=10，7-5=2； （8）6+4=10，7-2=5。
二年级 一、填空题：(每空3分，12小空，共36分） 1．3,2 2．白猫 3．11个 4．15个 5．108级 6．2分钟 7．7+1-4=4 8．76020 20607 9．22 10．48 11.桔子。 二、选择题：（每小题2分，5小题，共10分） 1．① 2．③ 3．② 4．① 5．③ 6．③ 三、操作题：（每小题5分，3小题，共10分） 1. （2）（3） 2. 先竖着切三刀，分成7块，在横着切，分成14块，就可以每人一份了。 3. 4.（1）（1 +2+3-4）×5 = 10 （2）（1+2）×3-4+5 = 10 （3）（1+2）÷3+4+5 = 10 5.愉= 1 块= 9 学=3 习=6
1 12课时 解析几何中的趣题― 神奇的莫比乌斯圈 教学要求：利用几何方法解决生活问题 教学过程： 一、故事引入 老国王的问题----神奇的莫比乌斯圈 一个年老的国王有五个儿子，他临死前把五个儿子叫到身边，打算把自己的国土平均分给每个儿子，但为了要儿子们团结，他希望每片国土的边界线都相连。如果你是帝国宰相的话，请问你如何来执行老国王的遗嘱？ 二、学习例题寻找方法 例1假定你在赤道上饶了地球一周，这时你的头顶要比你的脚底多跑多少路？ 分析与解答： 你的脚底一共走了R π2的路，R 是地球半径。你的头呢却走了()7.12+R π的路，1.7是你的身高。因此头比脚多走()7.107.1227.12≈?=-+πππR R 米 例2假定把一条铁丝困到地球赤道上，然后把这条铁丝放长一米，问这条松下来的铁丝和地球之间能不能让一只老鼠穿过？ 分析与解答： 一般人都会回答这个间隙会比一根头发还小，一米同地球赤道的40000000米相比简直相差太大了。事实上，这个间隙大小为162100≈π 厘米，不仅老鼠，甚至大猫也可以过去。 三、全课总结 下面回到课前的问题，拿一张纸条，假设四个顶点ABCD ，为了区分这两个面，我们不妨把一面涂成兰色，而一面涂成红色 使A 与B ；C 与D 重合地粘接起来，我们就得到了一个普通有两个面的曲面如果让一只蚂蚁在这个曲面的某一面上爬行，不让它绕过曲面的边缘，也不让它穿过曲面，那么无论它怎么爬，它也爬不到另一面上去。 现在，把纸条从粘接处分开，扭转 180。，再使 A 与C 、B 与D 重新地粘接起来，我们就得到了只有一个面的曲面，已经无所谓里外了 在这个圈上，能玩出无限的小把戏。前面说的那个5个儿子分土地就是其一。你猜猜把这个带子延中间切开、再切呢？玩过吗？就是把第一次切得到的两个圆再切呢？大家回家去试一下吧，很有趣. 四、 作业 可以有多少种方法用对角线把一个n 边多边形（平面凸多边形）剖分成三角形？
臧老师辅导课堂之 特殊值法专项训练 特殊值法是用满足条件的特殊值（式）代入题目去验证、计算，从而得到正确结论的一种方法．特殊值法在解题中有下列应用． 1．解选择题： 若a＞b＞c＞0，m＞n＞0．（m、n为数），则下列各式中成立的是[ ] A．a m b n＞b n c m＞c n a m B．a m b n＞c n a m＞b n c m C．c n a m＞a m b n＞b n c m D．b n c m＞c n a m＞a m b n 2．确定多项式的系数 已知当x是任何实数时，x2-2x+5＝a（x+1）2＋b（x＋1）＋c都成立，求a、b、c的值． 3．判断命题的真假 判断命题“式子a2＋（a＋1）2＋a2（a＋1）2=（a2＋a-1）2是恒等式”的真假． 4．解证定值问题 若a、b为定值，且无论k取何值时，关于x的一次方程 专项练习 1 已知a、b、c都是实数，且a＞b＞c，那么下列式子中正确的是 [ ] 2．命题“式子x3＋9=（x＋2）3-6（x＋2）2+12（x+2）是恒等式”是真命题，对吗？ 值，求a、b应满足的关系式．并求出这个定值． 4．已知a＋b＋c≠0，求证：不论a、b、c取何实数时，三 5、设a、b、c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc，y=b2-ca，z=c2-ab，则x、y、z[] A．都不小于0B．都不大于0 C．至少有一个小于0D．至少有一个大于0 6、如果a、b均为有理数，且b＜0，则a、a-b，a＋b的大小关系是
[ ] A．a＜a+b＜a-b B．a＜a-b＜a+b C．a＋b＜a＜a-b D．a-b＜a＋b＜a 巧取特殊值解选择题 山东省茌平县傅平镇中学初三·一班鲁傅 我在解某些选择题时，采用了取特殊值法，使问题简捷，迅速地获得解决，如下面几例． 例1 已知a、b、c都是实数，且a＞b＞c，那么下列式子中正确的是 [ ] （98年全国初中数学联赛）解：∵a＞b＞c， ∴可取a=1，b=0，c=-1代入各选择支，只有a+b=1＞b＋c=-1成立．故选（B）． 例2 设a、b、c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc，y=b2-ca，z=c2-ab，则x、y、z[ ] A．都不小于0B．都不大于0 C．至少有一个小于0D．至少有一个大于0 （94年全国初中数学联赛题）解：若令a=0，b=1，c=-1，则x=y=z=1，故可排除（B）、（C）； 再令a=0，b=c=1，则x=-1，y=z=1，又可排除（A）．故选（D）． （94年全国初中数学联赛题） 则[ ] A．M＜Q＜P＜N B．M＜P＜Q＜N
第十届“海门之窗”杯巧思妙解玩数学竞赛（模拟卷） 三年级试题 准考证号码 姓名 得分 指导老师 一、填空题：(每空3分，12小空，共36分） 1.按规律填数：1,2,5,13,34，（ )。 2.在除法算式A ÷9=B ……C 中，B 、C 都是一位数，A 最大是（ ） 3.三（1）班共有学生50人，做完语文作业的有38人，做完数学作业的有41 人，每人至少完成一种作业。两种作业都完成有（ )人。 4.已知□+□+□=O +O ，?+?=□+□+□，O +□+?=40， 那么?=（ ），O =（ ），□=（ ）。 5.被除数和除数相差95，商是5，余数是3。被除数是( ),除数是( )。 6.妈妈15年前的年龄和女儿13年后的年龄相同，妈妈35岁时女儿（ ）岁。 7.鸡兔同笼，鸡比兔多25只，一共有脚176只，那么鸡有（ ）只，兔有 （ ）只。 8.3个菠萝的质量等于一个梨和1个西瓜的质量，1个菠萝和3个梨的质量等于 1个西瓜的质量，那么（ ）个梨的质量等于1个西瓜的质量。 二、选择题：(每小题3分，5小题，共15分） 1.由1,2,3,4,5,6,7,8可以组成多少个两位数？ ① 64 ② 56 ③ 8 2.在所有的四位数中，个位数字之和是34的数共有（ ）个 ① 4 ② 10 ③ 12 3.下面三块正方体六个面，都是按相同的规律涂有红、黄、蓝、白、黑、绿六种 颜色，请观察推想，红色的对面的颜色是（ ） ① 黑色 ② 白色 ③蓝色 4.一个池塘中的睡莲，每天长大一倍，经过8天可以把整个池塘全部遮住。问睡黑 黄 白 绿 红 黄 绿 黑 蓝
莲要遮住半个池塘需要（）天。 ① 4 ② 6 ③ 7 5.小可和其他五个小朋友围成一个圆圈，圆圈中间放着50个乒乓球，小朋友们按顺序依次拿乒乓球，每人每次拿四个，直到把乒乓球拿完为止（最后剩下不足4个就拿完）。若小可第二个拿，他拿到（）个乒乓球。 ① 8 ② 10 ③ 6 三、操作题：(每小题3分，5小题，共15分） 1.在下面由火柴棒摆成的算式中，请移动一根火柴棒，使算式成为等式。 2.下面每个汉字代表几？ 2 奥数成功办 × 3 奥数成功办 2 3.将1~16这16个数分别填入下图的16个方格内，使每行、每列、两条对角线上四个数字的和都相等。
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 （1 ）若函数()0,0f x x b x =>?≤? 在0x =连续，则（ ）。 A. 12ab = B. C. D. x 择（A. B. C. D. 【解析】令2 ()()F x f x =，则有'()2()'()F x f x f x =，故()F x 单调递增，则(1)(1)F F =-，即2 2[(1)][(1)]f f >-，即|(1)||(1)f f >-，故选择C 。 （3）函数2 2 (,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,0)n =r 的方向导数为（ ）。 A.12 B.6
C.4 D.2 【答案】D 【解析】2{2,,2}gradf xy x z =，因此代入(1,2,0)可得(1,2,0)|{4,1,0} gradf =，则有122 {4,1,0}{,,}2||333 f u grad u u ?=?==?。 （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：m/s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）。 A. 010t = B. 01520t << C. 025t = D. 025t > 【答案】C 【解析】从0到0t 时刻，甲乙的位移分别为0 10 ()t v t dt ? 与0 20 ()t v t dt ?，由定积分的几何意义 可知， 25 210 (()()201010v t v t dt -=-=? ，因此可知025t =。 （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 维单位矩阵，则（ ）。 A. T E αα-不可逆 B. T E αα+不可逆
特殊值法巧解数列题示例 特殊值法在解决选择题与填空题中是比较常用的一种方法，在解题中能否灵活运用，体现了解题者的数学素养与能力.下面举例说明特殊值法(特殊数列、特殊数值)在解一些数列题中的应用. 【例1】已知}{n a 是等比数列,且252,0645342=++>a a a a a a a n ，那么53a a +的值等于( ) (A)5 (B)10 (C)15 (D)20 【分析】取}{n a 为常数数列0>=a a n ，则由252645342=++a a a a a a 得2 54252=?= a a ，故5253==+a a a ，所以选A. 【例2】在等差数列}{n a 中,若45076543=++++a a a a a ,则=+82a a ( ) (A)45 (B)75 (C)180 (D)300 【分析】取}{n a 为常数数列a a n =，则由45076543=++++a a a a a 得904505=?=a a ,所以180282==+a a a ,所以选C. 【例3】在各项均为正数的等比数列}{n a 中,若965=a a ,则=+++1032313log log log a a a ( ) (A)12 (B)10 (C)8 (D)2+5log 3 【分析】取}{n a 为常数数列0>=a a n ，则由965=a a 得392=?=a a ,所以 103log 10log log log 31032313==+++a a a ,所以选B. 如果解题者心中有数（具备特殊化思想），那么直接观察利用心算立即可得结果，可大大地提高解题速度，避免不必要的计算。留心观察细事物，沙子也会变金银！
线性相关中的巧思妙解 线性相关题型在高考试题中具有计算复杂、运算量大,但是有一定的灵活性、和技巧等特点,.一般情况下对本节知识的考察，多以选择题、填空题形式出现，但也不排除应用题的形式，比如2007年广东高考题就以大题的形式出现,所以对于这一部分内容要熟练灵活的掌握. 例1. 已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程为y=bx+a 必过（ ） A.（2，2）点 B.（1.5，0）点 C.（1，2）点 D.（1.5，4）点 基本解法:(1)设所求的直线方程为y ?=bx +a ，其中a 、b 是待定系数。 （2）计算平均数x ，y ； （3）求a ，b ； （4）写出回归直线方程。 (5)验证A.B C D 那些点所求直线上. ?? ? ???? ? ? -=--=---=∑ ∑∑ ∑====. , )())((1 2 2 1 12 1 x b y a x n x y x n y x x x y y x x b n i i n i i i n i i n i i i 其中x = n 1 ∑ =n i i x 1 ，y = n 1 ∑=n i i y 1 ，a 为回归方程的斜率，b 为截距。 对于本题4,5.1==y x ,所以b =2,a=1, y ?=2x +1，过(1.5,4)点,故选D 巧思：由于回归直线一定要过样本点的中心),(y x ,只需求出y x , 妙解：x = n 1 ∑ =n i i x 1 ，y = n 1 ∑=n i i y 1 4,5.1==y x 所以必过点),(y x 即点(1.5,4), 故选D.此法避免了求解回归方程的步骤,只需求出4,5.1==y x 即可. 例2某地区某种病的发病人数呈上升趋势，统计近四年这种病的新发病的人数如下表所
2007年考研数学（三）真题解析 1….【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可. 【详解】当0x + → 时，1-: 1-: ，2 1 1 12 2 x -= : ， 故用排除法可得正确选项为（B ）. 事实上，0 00lim lim lim 1x x x + ++→→→==， 或ln(1)ln(1()x x o x o o =+-=+=:. 所以应选（B ） 【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算. 类似例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例1.54】 【例1.55】. 2…….【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系. 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋 值法求解，即取符合题设条件的特殊函数()f x 去进行判断，然后选择正确选项. 【详解】取()||f x x =，则0 ()() lim 0x f x f x x →--=，但()f x 在0x =不可导，故选（D ）. 事实上， 在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得(0)0f =. 在（C ）中，0 ()lim x f x x →存在，则00()(0)() (0)0,(0)lim lim 00x x f x f f x f f x x →→-'====-，所以(C)项正确，故选(D) 【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇 效. 类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第2讲【例2】，文登07考研模拟试题数学二第一套（2）. 3…….【分析】本题实质上是求分段函数的定积分. 【详解】利用定积分的几何意义，可得 2 21113 (3)12228 F πππ??=-= ???，211(2)222F ππ==，
数学解题论文：特殊值法在高考数学解题中的应用 摘要：文章谈了特殊值法在高考数学解题中的应用。在考试中有些数学题采用一般方法很难求解，在这时可以选择代入特殊值，以达到简化题目、减少思维量的效果。 主题词：数学高考特殊值法简化应用 随着高考的日益临近，各位考生进入了紧张的备战阶段，如何在短时间内使数学成绩突飞猛进成为大家关心的问题。身为一个过来人，我想把我的经验传授给大家，让大家能在高考的考场上得心应手，取得好成绩。 第一，在高考场上要放松心态，抱着一颗冲击别人的心态来考试，比如你平时刚上重本线，可以把自己的目标定为上一个很好的二本即可，既没有超出你能力范围，又没有给你自己太大的压力，有利于考出好成绩。如果实在很紧张，还有一种很好的方法，就是在考试的前一天完全放弃看书，去亲近自然，接触自然，相信自己，给自己以良好的暗示，这样你就一定能在考场上发挥出平时的水平，甚至超常发挥。 第二，在最后一个月内要准确掌握书本上的知识点，掌握基本方法、基本技巧，这样即使你做不出最后一题，也能保证较高的分数。 第三，在掌握了基本的知识和技巧之后你就需要一定的
应试技巧来取得成功，这些技巧很多，如直接法，数行结合法，大致求解法，特殊值法，等等。这里着重介绍特殊值法在数学高考中的应用。 特殊值法的定义：解数学题时，如果直接解原题有时难以入手，不妨先考察它的某些简单的特例，通过解答这些特例，最终达到原题的目的。这种解决数学问题的思想方法，通常称为“特殊值法”。［１］ 特殊值法的理论基础：对于一般性成立的结果，特殊值则一定成立，而当特殊值成立时一般性的结果不一定成立。这是很简单的一个思维逻辑，我们可以通过显而易见的容易得出结果的特殊值进行运算，得出结果再与答案相比较，选出正确答案的方法。 如：要证明（教材基础）：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。 证：先证相邻对换的情形。 设排列为a…aabb…b，对换a和b，变为a…abab…b.显然，a，…，a;b，…，b这些元素的逆序数经过对换并不改变，而a，b两元素的逆序数改变为：当a＜b时，经对换后a的逆序数增加1而b的逆序数不变;当a＞b时，经对换后a的逆序数不变而b的逆序数减少1.所以排列a…aabb…b 与排列a…abab…b的奇偶性不同。
数 理 结 合 趣 题 妙 解 山东省枣庄市西王庄中学 梁景辉 近年来以物理学科为素材试题成为数学中考命题的热点，试题中渗透一部分物理题，或以物理知识为背景命题，或以相关知识为载体，多以选择、填空、简答、计算等形式出现，它们以课本知识为基础，以文字叙述或图片等形式来描述物理问题，展示物理信息，形式多样，多在学科知识点交叉处进行设计，以考查学生的综合应用能力，比较新颖独特，解答时要通筹兼顾，全盘考虑，解题难度也大。下面列举几例有关的中考题中对物理知识考查的内容并作以解答，以此了解命题的形式和解答的思路，希望对学生能有所启迪，对于预测中考题也会大有益处。 一、考查能否准确了解与识别图象 把数学中的反比例函数图象知识同物理知识相结合，要求能看懂图象意义，明确函数图象特别是常见的正比例、反比例函数图象的大致画法等。解题时一定要注意物理量的意义及使用范围，由于物理量为非负值，正比例、反比例函数图象只能在第一象限部分。 典例赏析： 例1（哈尔滨市中考题）2007年我国铁路进行了第六次大提速，一列火车由甲市匀速驶往相距600千米的乙市，火车的速度是200千米/小时，火车离乙市的距离s （单位：千米）随行驶时间t （单位：小时）变化的函数关系用图象表示正确的是（ ） 解析：求火车离乙市的距离s 随行驶时间t 变化的函数关系，t 、s 均为非负值，图象只能在第一象限部分，t 越大s 越小，故此图象为D 。 例2（齐齐哈尔市中考题）5月23日8时40分，哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区进发，途中除3次因更换车头等原因必须停车外，一路快速行驶，经过80小时到达成都。描述上述过程的大致图象是（ ） s A ． B ． C ． D ． t t Ｂ． C ． D ．
行程问题的解题技巧 首先讲一个例子 一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时。一天，小船从早晨6点由A港出发顺流行到B港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1小时后找到救生圈：问：（1）若小船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小时？（2）救生圈是在何时掉入水中的？ 分析（1）设静水中的速度为x 不难求得问题（1）的结果为小船由A港漂流到B港需48小时。我们重点分析问题（2），如图，设救生圈在C处掉入水中，当小船以在顺水航行的速度由C处到达B港的同时，救生圈以水流速度由C处漂流到D处，这一段相当于简单的追及问题；小船掉头从B处逆流而上，同时救生圈从D处漂流而下，相当于以DB为总路程的相遇问题。由此可设全程为1，救生圈是x 点钟落入水中的，则 解之，得 x=11。可知救生圈是上午11时掉入水中的。 此题好在寓意深刻、独且特色：一是要求考生较深层次地认识行程问题与工程问题的统一，从而用解工程问题的思想方法去解一个相遇问题极为巧妙地结合在一起，要求考生会用分解的思想去解决较复杂的问题；三是要求考用运动的观点看问题；四是置考察能力的目的于一个应用问题中，培养解决实际问题的能力。 对以上问题做进一步的思考，不难发现：这个问题虽然比较复杂，但始终有一个不变量，即水流速度。能否充分运用这一不变量独辟蹊径呢？我们联想到初二物理中的相对速度，如果以流水为参照物，即认为流水是静止的，那么船的相对速度，不论是顺水航行还是逆水航行，都等于船在静水中的速度，是不变的！就象一个人在一匀速前进的列车上来回行走一样。因此这个问题就相当于以流水为参照物，救生圈在C处始终没有运动，而小船以静水中的速度从C行驶到B，在B 港发现救生圈掉落马上返回C（相对速度仍是小船在静水中的速度），由已知从B港所用时间当然仍是1小时，由此可知救生圈是在12-1=11时掉入水中的。 此法真是简洁，而且活用了物理方法，其适用条件（至少要有两个匀速的速度）也较为广泛，不少复杂的行程问题都可用这种方法得到简化. 下文给出广州市1999年中考压轴题，同学们不妨一试。 2 两列火车分别行驶在两平行的轨道上，其中快车车长100米，慢长车长150米，当两车相向而行时，快车驶过慢车某个窗口（快车车头到达窗口某一点至车尾离开这一点）所用的时间为5秒。（1）求两车的速度之和及两车相向而行时慢车驶过快车某个窗口所用的时间； （2）如果两车同向而行，慢车的速度不小于8米/少，快车从后面追赶慢车，那么从快车的车头赶上慢车的车尾开始到快车的车尾离开慢车的车头所需的时间为多少秒？ 提示：设慢车的速度为米/秒，快车的速度为米/秒。问（1）中以快车为参照物，快车静止不动，慢车的相对速度为（）米/秒；问（2）中以慢车为参照物，慢车静止，则快车的相对速度为（）米/秒。