题目：非线性最小二乘法问题的一种解法--高斯-牛顿法
学生姓名：聂倩云
学号：113113001039
学院：理学院
专业名称：应用数学
非线性最小二乘法问题的一种解法--高斯-牛顿法
目录
前言 (1)
1. 拟牛顿法及相关讨论 (1)
2.牛顿法 (1)
3.拟牛顿法 (2)
3.1DFP公式 (2)
3.2BFGS公式 (4)
3.3限域拟牛顿法 (6)
4.针对二次非凸性函数的若干变形 (6)
参考文献： (7)
非线性最小二乘法问题一种解法--高斯-牛顿法
学生：聂倩云 学号：113113001039
摘 要：非线性最小二乘法问题在工程技术、测绘等各个领域有着非常广泛的应用，我们考虑无约束非线性最小二乘问题的一种常见的解法：高斯-牛顿法。求解无约束优化问题的基本方法是牛顿法，本文从这点出发，介绍此方法步骤，探讨此方法的收敛性，讨论它的收敛速度，并给出高斯-牛顿法的一种修正：阻尼高斯牛顿法。
关键词：非线性最小二乘；高斯-牛顿法；收敛性；收敛速度
前言
非线性最小二乘问题结构特殊，不仅可以用一般的最优化问题求解的方法，还可以对一般的无约束优化问题求解方法进行改造，得到一些特殊的求解方法。而这些方法基本思想就是形成对目标函数的海森矩阵不同的近似。
1.非线性最小二乘法问题概述
非线性最小二乘法模型为
()()[]()()()22
12
12121m in x r x r x r x r x f T
m i i ===∑= 其一阶、二阶导数分别为
()()()x r x A x g =
()()()()()()()x S x M x r x r x A x A x G m
i i i T
+=?+=∑=12
其中()()()()()T
m x r x r x r x r ,,,21 =称为在点x 处的残向量，()x r i 为非线性函
数，且
()()()[]x r x r x A m ??=,,1 ，其中()()()
T
x A x A x M =称为高斯-牛顿
矩阵，为()x G
中的线性项，()x S 为()x G 中的非线性项。
2.高斯-牛顿法
高斯-牛顿法主要思想是省略非线性项()x S
从而形成对海森矩阵的近似。
当()x r i
在目标函数最优解*
x 处等于0，称()x r 为0残量；当()x r i
在目标函
数最优解*
x 处取值较小，称()x r
为小残量，这时用近似逼近使()x S 为0，即这
时线性项()x M
去近似海森矩阵()x G 比较好，我们通过求解方程组
()()k k k T
k k r A g A A -=-=δ
的最优解()
k δ
，并将它作为搜索方向，此时迭代形式为
()()()k k k x x δ+=+1
这就是高斯-牛顿法。 2.1 方向的下降性
由于T
k k A A 半正定，所以
()k k T T k k T r A A A δδδ-=≤0
即
()()0≤=k T k k T g r A δδ
所以高斯-牛顿法的搜索方向不可能是()x f 的上升方向，这就保证了高斯-牛顿
法的可行性。 2.2收敛性和收敛速度 先给出一个定理： 定理：下列条件成立 （1）设D 为开凸集，()x f 在D 上二次连续可微；
（2）D x
∈?*
使()()()0==***x r x A x g ；
（3）存在常数β，γ使
()()D y x y x y A x A ∈?-≤-,,β ()()D y x y x y G x G ∈?-≤-,,γ
（4）()x A
满秩且存在常数M ，σ使得
()()()D x M x M x H x A ∈?≤=≤-,,1
σ
则高斯-牛顿法对所有的D x ∈都有定义，且
()
()()
()
()
(
)2
1k k k h
h
x
S x H h
O +≤*
*
+
其中()
()*-=x x h
k k
证明：由于()x A
满秩，所以T
k
k
A
A 正定，所以高斯-牛顿法搜索方向是下降方向，
从而对所有的D x ∈都有定义。
()()()()(
)
()
()()()(
)()()(
)()y
x y A y A y A x A y A x A x A x A y A y A x A x A y M x M T
T
T
T
T
T
-≤-+-≤-=-σβ2
()()()()()()()y
x y M y G x M x G y S x S -+≤+--=-σβγ2
()()()()
()()()[]()
y
x M y M x M y M x M y M x M y H x H -≤-=
-=-----σβ211112
而
()()()()()()()
(
)2
0k k k k h h x G x g x g ο+-==*
两边左乘k H ，则
()
()()
()
(
)
()
()()()
()()
()()
k k k k k k k k k k k k k h
S H H h S S H h x S x H h
h
h S H h *
*
*
*
*
+------=+---=12
0οδ
从而可以证明结论。
我们从上面定理结论可以看出：
若*
S 比较大，则高斯-牛顿法一般不收敛。
如果方法收敛，则当0=*S 时，有()
()(
)2
1k k h h
O ≤+，从而高斯-牛顿法
二次收敛；当0≠*
S
时，方法是线性收敛的。
如果*M 正定且
**S H 小于一个小于1的数，则方法局部收敛。
我们可以简单推导一下：设
1<≤**θS H ，则由定理得到
()()()()k k k h h c h +≤+θ1
如果存在初始点的一个邻域使1<≤+ηθ
h c ，则可以得到
()()12h h η≤
依次迭代下去，可以得到
()()k k k h h η≤+1
当∞→k
时有0→k h ，因而方法收敛。
2.3高斯-牛顿法的步骤及例题 Step1：给定初始点1x 和精度ξ，置1=k ；
Step2：如果
()ξ≤k k r A ，则停止计算；否则计算
()k k T
k k r A A A -=δ
得到()
k δ
；
Step3：置()
()()k k k x x
δ+=+1，1+=k k 。
高斯-牛顿方程组()k k T
k
k r A A A -=δ的求解：
（1）对T
k k A A 进行T
LL 分解或者T
LDL 分解，化成方程组
()
???=-=y
L r A Ly T
k k δ 求解，L 为三角矩阵，所以两个方程组进行前代和后代就可以求出()
k δ
。
（2）对增广矩阵[]r A T
,作QR 正交分解，Q 为正交矩阵，??
?
???=01R R ,1R 为上
三角矩阵，即
()[]()[]k T k T
r Q R
Q r A =,
于是11R R A A T T
k
k =,高斯方程组的解可由
()()n k T k r Q R -=δ
回代得出。 例：设
()()()2
22
11++++=x x x x f λ，1R x ∈，试讨论函数的极小值点。
解：令11+=x r ，122++=x x r λ
计算
()T k T
x
x k x x r x r A k
12,1,21+=???
??????==λ
()k k T
k k r A A A -=δ
即
()[]k k k k k
x x x x x
22321212322
+-+=++λλλδλ
解出
()
()
2
2321212232+++-+-=k k
k k k k x x x x x λλλλδ 则
()
()()
()
2
232112122++++=+=+k k k k k k k x x x x x x
λλλλδ
当0=λ时，迭代点01=+k x ，则极小值点0=*x ； 当0≠λ
，且1<λ时，若假定初始近似k x 充分小，则
()k k k k k x x x x x ολλλλ+=++222322
()()k k x x ολ+=++21212
所以
()21k k k x x x ολ+=+
迭代下去，有
()2k k p p k x x x ολ+=+
当
∞→p 时，有0→+p k x
即迭代点列
{}k
x 趋向于0；
当
1≥λ时，迭代点列不收敛。
2.4高斯-牛顿法的优点和缺点
优点：
（1）高斯-牛顿法仅仅利用函数的一阶导数的信息直接得到海森矩阵的近似，给计算带来很大方便。 （2）对于零残量问题（即()0=*
x r ）有局部二阶收敛速度；
（3）对于小残量问题（即()x r
较小或者()x r 接近线性）
有较快的局部收敛速度； （4）对于线性最小二乘问题，一步达到极小点。
缺点：
（1）对于不是很严重的大残量问题，收敛速度较慢； （2）对于严重的大残量问题（即()*x f 较大或者()x r i 的非线性程度较高）
，高斯-牛顿法一般不收敛； （3）()x A
不满秩时，搜索方向不一定下降，方法不一定有定义。
3对高斯-牛顿法的简单修正
（1）阻尼高斯—牛顿法
给定局部最优解*
x 的一个初始估计1x ,则其第k 次迭代的步骤为
Step1：确定()k k T
k
k r A A A -=δ的解；
Step2：确定步长k α，使()()()()k k k k x f x f <+δα；
Step3：置()
()()k k k k x x
δα+=+1。
其中k α由线性搜索确定的步长，在原来的高斯-牛顿法的基础上添加了一个阻尼因子，确保
()x f 每一步都是下降的。
当k A 满秩时，阻尼高斯-牛顿法是收敛的；当
k A 不满秩时，方法或收敛于
非平稳点或在未接近平稳点之前提前终止，即在某处迭代时，有
()0=δT k g ,()x f 得不到进一步下降，迭代未达到精确值之前就终止。
（2）Marquardt Levenberg -法（M L -法） 通过求解方程组
()()k k T k
k
r A I A
A -=+δμ
解出()
k δ
，再进行迭代：
()()()k k k x x δ+=+1
M L -法具有全局收敛性，且在下列条件成立时局部二次收敛：
()x f 二次连续可微，对给定的初始点()1x 水平集()()1x L 有界，迭代产生的点列
(){}k
x 收敛于*
x ，且()*x G 正定，如果()0=*
x S ,则方法局部二次收敛。
在这里，就不详细证明，感兴趣的读者可以查阅相关资料。
我们可以看出高斯-牛顿法是存在它的缺点的，一方面k M 对海森矩阵
()()k x G 的近似程度不好；另一方面当k A 不满秩时，高斯-牛顿法不一定有定义。
所以高斯-牛顿法仍然需要改进，一些研究者做出了很多的改进方案，例如拟牛顿修正形成的适应算法，还有杂交算法，分解式拟牛顿方法等等，所以仍需我们在这方面不断学习和探索，而且非线性最小二乘问题在工程技术等各个领域应用广泛，所以我们应该不断积累此类问题，从而推动其他领域的发展。
参考文献：
[1]徐成贤，陈志平，李乃成.近代优化方法[M].科学出版社.2002,198-203. [2]袁亚湘，孙文瑜.最优化理论与方法[M].科学出版社.1997.
[3]徐成贤，陈志平.不精确高斯-牛顿法的收敛性.工程数学学报.1997,14(4).
厂址选择问题最优化论文 目录 摘要 (3) 1 问题重述 (4) 2 模型假设 (4) 3 模型的分析与建立 (4) 3.1模型分析与建立 (4) 4 模型的求解及结果分析 (6) 4.1问题的求解 (6) 4.2求解结果的分析 (7) 5模型优缺点分析 (7) 参考文献 (8) 附录 (8)
厂址选择问题 摘要 优化理论是一门实践性很强的学科，广泛应用于生产管理、军事指挥和科学试验等各种领域，Matlab优化工具箱提供了对各种优化问题的一个完整的解决方案。在应用于生产管理中时，为了使总的消费费用最小，常常需要解决一些厂址的选择问题。 对于该问题的厂址建设及规模分配，根据题意给出的一系列数据，可以建立数学模型，运用线性规划问题给出目标函数及约束条件，然后根据模型中的约束条件知，其中有等式约束和不等式约束，所以选用常用约束最优化方法中的外点罚函数来求解，因为外点罚函数是通过一系列惩罚因子{M k ，k=0，1，2， }， 求F(X,M k )的极小点来逼近原约束问题的最优点，当M k 趋于无穷大时，F(X,M k ) 的极小值点就是原问题的最优点X*。其中目标函数为F(X,M K )=f(X)+M K a(X)，其 中 )) ( ( )] ( [ )] ( [ 1 2 1 2x g u x g x h i l i i m j j∑ ∑ = = + 给定终止限ε。根据外点罚的步骤及流 程图，编写出源程序，然后根据任意选取的初始点，并且罚因子及递增系数应取适当较大的值，从D外迭代点逼近D内最优解。 最后，根据外点罚函数的流程图，运用Matlab软件编写程序，求出最优解，即最优方案，使费用最小，并且也在规定的规模中。 关键字：Matlab 外点罚函数罚因子
理学院 最优化理论与应用 课程设计 学号：XXXXXXX 专业：应用数学 学生姓名：XXXXXX 任课教师：XXXXXX教授 2015年10月
第一部分 在最优化理论与应用这门课中，我对求指派问题及指派问题的一个很好的解法匈牙利算法的应用比较感应趣。下面做出来讨论。 国内外的研究情况：“匈牙利算法”最早是由匈牙利数学家尼格（D.Koning ）用来求矩阵中0元素个数的一种方法 ] 3[，由此他证明了“矩阵中独立0元素的最 多个数等于能覆盖所有0元素的最小直线数”。1955年由库恩（W.W.Kuhn ）在求解著名的指派问题时引用了这一结论 ] 4[，并对具体算法做了改进，任然称为“匈 牙利算法”。解指派问题的匈牙利算法是从这样一个明显事实出发的：如果效率矩阵的所有元素 ≥ij a ，而其中存在一组位于不同行不同列的零元素，而只要令 对应于这些零元素位置的1 =ij x ，其余的 =ij x ，则z= ∑∑n i n j ij ij x a 就是问题的最 优解。 第二部分 结合我的基础知识对匈牙利算法的分析与展望 一．基础知识运用 企业员工指派问题的模型建立与求解 1.标准指派问题（当m=n 时，即为每个人都被指派一项任务） 假定某企业有甲乙丙丁戊五个员工，需要在一定的生产技术组织条件下，A ，B,C,D,E 五项任务，每个员工完成每项工作所需要耗费的工作时间如下： 求出：员工与任务之间应如何分配，才能保证完成工作任务的时间最短？最短时间为多少？ 模型建立 设用C>0表示指派第i 个人去完成第j 项任务所用费时间，定义决策变量 , {j i ,1j i ,0项任务 个人去完成第当指派第项任务个人去完成第当不指派第=ij χ则指派问题的数学模型为：
结构优化课程设计 学院土木学院 专业工程力学 班级1001
学号100120118 姓名崔亚超
总结结构优化设计的原理、方法及发展趋势 崔亚超 工程力学1001班学号100120118 摘要：阐述了工程结构优化设计理论从最初的截面优化发展到形状优化、拓扑优化的基本历程及其相关特点，对优化设计选用的各种算法进行归类，并简述结构优化设计的发展趋势。 关键词：尺寸优化；形状优化；拓扑优化；优化算法 Summary structural optimization design principles, methods and development trends Abstract:The structural optimization of engineering design theory from the initial cross-section to optimize the development of shape optimization, topology optimization of the basic course and its related characteristics, the optimum design on the range of algorithms are classified, and to outline the development trend of structural optimization design . Key words:size optimization; shape optimization; topology optimization; optimization algorithm 0 引言 结构优化设计的目的在于寻求既安全又经济的结构形式，而结构形式包括了关于尺寸、形状和拓扑等信息I对于试图产生超出设计者经验的有效的新型结构来说，优化是一种很有价值的工具，优化的目标通常是求解具有最小重量的结构B同时必须满足一定的约束条件，以获得最佳的静力或动力等性态特征。 集计算力学、数学规划、计算机科学以及其他工程学科于一体的结构优化设计是现代构设计领域的重要研究方向。它为人们长期所追求最优的工程结构设计尤其是新型结构设计提供了先进的工具，成为近代设计方法的重要内容之一。 结构优化设计也使得计算力学的任务由被动的分析校核上升为主动的设计与优化，由此结构优化也具有更大的难度和复杂性。它不仅要以有限元等数值方法作为分析手段，而且还要进一步计算结构力学性态的导数值。它要面向工程设计中的各种实际问题建立优化设计模型，根据结构与力学的特点对数学规划方法进行必要的改进。因此，结构优化设计是一综合性、实用性很强的理论和技术。 目前，结构优化设计的应用领域已从航空航天扩展到船舶、桥梁、汽车、机械、水利、建筑等更广泛的工程领域，解决的问题从减轻结构重量扩展到降低应力水平、改进结构性能和提高安全寿命等更多方面。 由于结构优化设计给工程界带来了经济效益及近年来有限元研究和应用的相对成熟，计算机条件的进一步改善和普及，人们对结构优化设计的研究和应用的呼声更高了。无论国内还是国外，对这一现代技术的需求都有增长的趋势。随着设计技术的更新和产品竞争的加剧，结构优化设计将会有更大的发展。
优化理论与方法
全局及个性化web服务组合可信度的动态规划评估方法 摘要：随着Internet的快速发展,web服务作为一种软件构造形式其应用越来越广泛。单个web服务无法满足日益复杂的用户需求,web服务组合有效地解决了这个问题。然而,随着功能相似的web服务实例的不断出现,如何选择可信的web服务组合成为了人们关注的热点。服务选择依赖于web服务组合的评估结果,因此,本文主要从web服务组合着手,对其可信性进行研究,提供一种可信web服务组合评估方法。：针对web服务组合的全局及个性化问题,提出了基于全局的个性化web服务组合可信评估方法。从全局角度动态地调整评估模型;同时引入用户业务关注度来描述原子web服务对服务组合可信性的影响程度;结合前文的度量及评估方法,构建一个全局的个性化服务组合可信评估模型;并分析了模型的相关应用,给出了改进的动态规划模型。 关键字：web服务组合可信评价；全局个性化；动态规划； 0.引言 随着软件系统规模的日趋复杂，运行环境的不断开放，软件的可信性要求日益增加，可信软件成为了研究的热点。据《中国互联网发展状况统计报告》统计显示，截至2014年12月底，我国网民数量突破8亿，全年新增网民5580万。互联网普及率较上年底提升4个百分点，达到38。3%。因此，随着Internet 的广泛应用和网络技术的快速发展，面向服务的软件体系结构（SOA）作为一种新型的网络化软件应用模式已经被工业界和学术界广为接受。同时，网民对互联网电子商务类应用稳步发展，网络购物、网上支付、网上银行和在线旅游预订等应用的用户规模全面增长。因而，对web服务的可信性要求更高。单个web服务的功能有限，往往难以满足复杂的业务需求，只有通过对已有web服务进行组合，才能真正发挥其潜力。在现有的web服务基础上，通过服务组装或者Mashup方式生成新web服务作为一种新型的软件构造方式，已成为近年的研究热点之一。web服务组合并不是多个原子web服务的简单累加，各原子web服务之间有着较强的联系。因此对web服务组合的可信需求更高。目前大量的研究工作着重于如何实现原子web服务间的有效组合，对服务组合的可信评估研究较少。如今，随着web服务资源快速发展，出现了大量功能相同或相似的web服务，对web服务组合而言，选择可信的web服务变得越来越难。在大量的功能相似的原子web服务中，如何选出一组可信的web服务组合，成为了人们关注的热点问题。本文将从web服务组合着手，对其可信性进行研究，旨在提供一种可信web服务组合评估方法，为web服务组合的选择提供依据。web服务组合的可信度主要包括以下三个部分： 1）基于领域本体的web服务可信度量模型。 2）基于偏好推荐的原子web服务可信评估方法。 3）基于全局的个性化web服务组合可信评估方法。 研究思路： 本文主要研究基于全局的个性化web服务组合的可信评估方法，其研究思路可以大致如下：基于领域本体的web服务可信度和基于偏好推荐的原子web 服务可信评估方法。针对web服务组合的四种基本组合结构模式，主要研究如
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。 最优化方法 题目：斐波那契法分析与实现 院系：信息与计算科学学院 专业：统计学 姓名学号：小熊熊 11071050137 指导教师：大胖胖 日期： 2014 年 01 月 10 日
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Abstract Mathematical sciences is a major trend in contemporary scientific development, optimization theory and algorithms is an important branch of mathematics, the problems it was discussed in numerous research programs in the best of what programs and how to find the optimal solution . One-dimensional search is the best method of seeking functions of one variable on the merits of a certain interval. Such methods not only have practical value, but also a large number of multi-dimensional optimization methods rely on a series of one-dimensional optimization article on Fibonacci the one-dimensional search method carried out a detailed analysis, and successful in MATLAB Fibonacci method for solving unimodal function minimization problem. Fibonacci method of one-dimensional search process is based on the Fibonacci sequence is called a Fibonacci conducted on, Fibonacci method successfully achieved a unimodal function extreme range reduction. Theory , Fibonacci method accuracy is higher than the golden section method, but the number of times due to the Fibonacci method to calculate function values to know in advance, so the contrast, the golden section method is more simply, it does not need to know in advance the number of calculations and at that time, the rate of convergence of golden section and the Fibonacci method getting closer, so in practical applications, often using the golden section method. Fibonacci method is also a range contraction algorithm, and the golden section method the difference is: golden section each contraction only one endpoint to change the search range that it is unidirectional shrinkage law Fibonacci search method while changing the two endpoints of the range, is a two-way contraction method. Key words: one-dimensional search Fibonacci method unimodal function Golden Section function MATLAB
优化设计小论文
机械优化设计 优化设计是20世纪60年代初发展起来的一门新的学科,也是一项新的设计技术。它是将数学规划理论与计算技术应用于设计领域, 按照预定的设计目标,以电子计算机及计算程序作为设计手段,寻求最优设计方案的有关参数,从而获 得较好的技术经济效益。机械的研究和应用具有悠久的历史,它伴随甚至推动了人类社会和人类文明的发展。机构学研究源远流长, 但从古到今,机构学领域主要研究三个核心问题, 即机构的构型原理与新机构的发明创造、机构分析与设 计的运动学与动力学性能评价指标、根据性能评价指标分析和设计机构。机构 是组成机械的基本单元,一般机械都是由一个或多个机构组成。对于机构的研究, 能够为发明、创造新机械提供理论、资料和经验。而对于机构的优化设计, 使 机构具有确定的几何尺寸,能够满足运动学要求, 并能实现给定的运动规律,这 些能够为某些具体的机械设计, 使机械满足某些特定的功能提供了可靠的依 据。 机械设计是机械工程的重要组成部分，是决定机械性能最主要的因素。从 工程设计基础和目标上可将设计分为：新型设计(开发性设计)、继承设计、变 型设计(基于标准型的修改)。所谓新型设计，即应用成熟的科学技术或经过实 验证明可行的新技术，设计未曾有过的新型机械，主要包括功能设计和结构设计，是机械设计发展的方向所在，然而贯穿其中的关键环节即是设计的方法和 实现的手段。人类一直都在不断探索新方法和新设计理念。从17 世纪前形成的直觉设计过渡到经验设计和传统设计，直到目前的现代设计[1]，从静态、经验、手工式的‘安全寿命可行设计’方法发展到动态、科学、计算机化、自动化的 优化设计方法，已将科学领域内的实用方法论应用于工程设计中了。 机械优化设计基本思路是在保证基本机械性能的基础上，借助计算机，应 用一些精度较高的力学/ 数学规划方法进行分析计算，让某项机械设计在规定 的各种设计限制条件下，优选设计参数，使某项或几项设计指标（外观、形状、结构、重量、成本、承载能力、动力特性等）获得最优值。
优化设计 课程论文 题目：优化设计课程的学习体会 姓名： 学号： 学院： 专业： 教室： 教师： 二〇一七年六月
目录 一、前言 (1) 1.1优化设计概况 (1) 1.2选课缘由 (1) 二、对优化设计方法的认识及看法 (1) 2.1一维搜索方法 (1) 2.2无约束优化方法 (2) 2.3约束优化方法 (2) 三、本课程的收获 (3) 3.1自身知识方面 (3) 3.2软件编程方面 (3) 四、结语 (3)
一、前言 1.1优化设计概况 优化设计是20世纪60年代初发展起来的一门新学科，它是将最优化原理和计算技术应用于设计领域，为工程设计提供一种重要的科学设计方法。利用这种新的设计方法，人们就可以从众多的设计方案中寻找出最佳设计方案，从而大大提高设计效率和质量。因此，优化设计是现代设计理论和方法的一个重要领域，它已广泛应用于各个工业部门。 1.2选课缘由 作为一名研究生，未来从事科研工作将会是自己一生的事业，在从事这项事业过程中势必会遇到关于从众多设计方案中寻找出最佳设计方案的问题，故有必要学习优化设计方法的最优化原理。并且，近年来发展起来的计算机辅助设计CAD，在引入优化设计方法后，使得在设计过程中既能够不断选择设计参数并评选出最优设计方案，又可以加快设计速度，缩短设计周期，从而突显出了学习优化设计理念的重要性。与此同时，在科学技术发展要求机械产品更新周期日益缩短的今天，把优化设计方法与计算机辅助设计结合起来，使设计过程完全自动化，已成为设计方法的一个重要发展趋势。 二、对优化设计方法的认识及看法 2.1一维搜索方法 正如“一维搜索方法”的字面意思，它是求解一维目标函数的极小点和极小值的数值迭代方法。其实，根据后面约束优化和无约束优化的编程可以看出，机械优化设计大都是多维问题，一维问题的情况很少。但是一维优化方法是优化方法中最基本的方法。它不仅用来解决一维目标函数的求优问题，而且更常用于多维优化问题中在既定方向上寻找最优步长的一维搜索。 根据目前的情况来看，一维搜索已经发展出很多的方法。在这个课程学习中，对于一维搜索的方法，刘老师分别让我们用了六种常用的方法进行编程，这六种方法分别是：黄金分割法、平分法、成功失败法、牛顿法、三点二次插值法和三次插值法。通过这六种方法的编程练习，仔细分析其中的求解过程可以看出数值解法的基本思路是：先确定最优解所在的搜索区间，然后根据区间消去法原理不断缩小此区间，从而获得满足精度条件的最优解的数值近似解。因此，在编程的过程中为了缩短区间，会在区间内插入新点，也就导致了一维搜索方法可分为两大类。一类是按某种给定的规律来确定区间内插入点位置的试探法，比如：黄金分割法；另一类是根据某些点处的某些信息构造一个插值函数来逼近原来函数，用插值函数的极小点作为区间插入点的插值法，比如：二次插值发和三次插值法。 从编程的角度来看，一维搜索方法相对于约束优化和无约束优化方法的编程来说简单很多，虽是如此，对于不同的一维搜索方法其程序的简易程度是不同的，当然程序的执行效率也是不同的。综合来看，在这六种练习了的一维搜索方法中，牛顿法以其简单的程序和高效的收敛速度占有很大的优势。因此，对于一般的问题，牛顿法可以作为主要的方法使用，提高优化设计问题的执行效率。
题目：非线性最小二乘法问题的一种解法--高斯-牛顿法 学生姓名：聂倩云 学号：113113001039 学院：理学院 专业名称：应用数学
非线性最小二乘法问题的一种解法--高斯-牛顿法 目录 前言 (1) 1. 拟牛顿法及相关讨论 (1) 2.牛顿法 (1) 3.拟牛顿法 (2) 3.1DFP公式 (2) 3.2BFGS公式 (4) 3.3限域拟牛顿法 (6) 4.针对二次非凸性函数的若干变形 (6) 参考文献： (7)
非线性最小二乘法问题一种解法--高斯-牛顿法 学生：聂倩云 学号：113113001039 摘 要：非线性最小二乘法问题在工程技术、测绘等各个领域有着非常广泛的应用，我们考虑无约束非线性最小二乘问题的一种常见的解法：高斯-牛顿法。求解无约束优化问题的基本方法是牛顿法，本文从这点出发，介绍此方法步骤，探讨此方法的收敛性，讨论它的收敛速度，并给出高斯-牛顿法的一种修正：阻尼高斯牛顿法。 关键词：非线性最小二乘；高斯-牛顿法；收敛性；收敛速度 前言 非线性最小二乘问题结构特殊，不仅可以用一般的最优化问题求解的方法，还可以对一般的无约束优化问题求解方法进行改造，得到一些特殊的求解方法。而这些方法基本思想就是形成对目标函数的海森矩阵不同的近似。 1.非线性最小二乘法问题概述 非线性最小二乘法模型为 ()()[]()()()22 12 12121m in x r x r x r x r x f T m i i ===∑= 其一阶、二阶导数分别为 ()()()x r x A x g = ()()()()()()()x S x M x r x r x A x A x G m i i i T +=?+=∑=12 其中()()()()()T m x r x r x r x r ,,,21 =称为在点x 处的残向量，()x r i 为非线性函 数，且 ()()()[]x r x r x A m ??=,,1 ，其中()()() T x A x A x M =称为高斯-牛顿 矩阵，为()x G 中的线性项，()x S 为()x G 中的非线性项。 2.高斯-牛顿法 高斯-牛顿法主要思想是省略非线性项()x S 从而形成对海森矩阵的近似。
机械优化设计论文 摘要:机械优化设计的目的是以最低的成本获得最好的效益,是设计工作者一直追求的目标,从数学的观点看,工程中的优化问题,就是求解极大值或极小值问题,亦即极值问题。本文从优化设计的基本理论、优化设计与产品开发、优化设计特点及优化设计应用等方面阐述优化设计的基本方法理论。 关键词:机械优化设计产品开发 一、械优化设计的基本理论 优化设计是一门新兴学科,它建立在数学规划理论和计算机程序设计基础上,通过计算机的数值计算,能从众多的设计方案中寻到尽可能完善的或最适宜的设计方案,使期望的经济指标达到最优,它可以成功地解决解析等其它方法难以解决的复杂问题,优化设计为工程设计提供了一种重要的科学设计方法,因而采用这种设计方法能大大提高设计效率和设计质量。 优化设计主要包括两个方面:一是如何将设计问题转化为确切反映问题实质并适合于优化计算的数学模型,建立数学模型包括:选取适当的设计变量,建立优化问题的目标函数和约束条件。目标函数是设计问题所要求的最优指标与设计变量之间的函数关系式,约束条件反映的是设计变量取得范围和相互之间的关系;二是如何求得该数学模型的最优解:可归结为在给定的条件下求目标函数的极值或最优值的问题。机械优化设计就是在给定的载荷或环境条件下,在机械产品的形态、几何尺寸关系或其它因素的限制范围内,以机械系统的功能、强度和经济性等为优化对象,选取设计变量,建立目标函数和约束条件,并使目标函数获得最优值一种现代设计方法, 目前, 优化设计已成为航空航天、汽车制造等很多行业生产过程的一个必须且至关重要的环节。 二、机械优化设计与产品开发 产品生产是企业的中心任务,而产品的竞争力影响着企业的生存与发展。产品的竞争力主要在于它的性能和质量,也取决于经济性,而这些因素都与设计密切相关,可以说产品的水平主要取决于设计水平。随着生产的日益增长,要求机器向着高速、高效、低消耗方向发展,并且由于商品的竞争,要求不断缩短设计周期,因而对产品的设计已不是仅考虑产品本身,还要考虑对系统和环境的影响;不仅要考虑技术领域,还要考虑经济、社会效益;不仅考虑当前,还要考虑长远发展。在这种情况下,所谓传统的设计方法已越来越显得适应不了发展的需要。由于科学技术的迅速发展,对客观世界的认识不断深入,设计工作所需的理论基础和手段有了很大进步,使产品的设计发生了很大的变化,特别是电子计算机的发展及应用,对设计工作产生了革命性的突变,为设计工作提供了实现设计自动化和精密计算的条件。因此,用理论设计代替经验设计、用精确设计代替近似设计、用优化设计代替一般设计将成为设计的必然发展趋势。 三、机械优化设计的特点 优化设计是以建立数学模型进行设计的。优化设计引用了一些新的概念和术语,如前所述的设计变量、目标函数、约束条件等。机械优化设计将机械设计的具体要求构造成数学模型,将机械设计问题转化为数学问题,构成一个完整的数学规划命题,逐步求解这个规划命题,使其最佳地满足设计要求,从而获得可行方案
生物学案的优化设计 沈后方（江苏省盱眙县实验中学 211700） 摘要：本文以生物教学中学案设计优化设计的背景和意义为出发点，阐述生物教学中学案的优化设计的具体做法。使学案发挥更大的作用。 关键词：生物学案优化设计 学案，是指教师依据学生的认知水平,知识经验，为指导学生进行主动的知识建构而编制的学习方案。教师用以帮助学生掌握教材内容，沟通学与教的桥梁，能够提高学生课堂学习效率。 1、生物学案的布局优化 传统的学案往往只注重内容而不注重布局，如能在布局上加以优化，会收到良好的效果。首先是页眉、页脚的设计，常规学案在页眉部分的信息包括学校、年级、编号和日期等；页脚部分一般是作为页码设置。但在设计生物学案时可以进一步挖掘此区域的功能，充分发挥此信息区的作用，在页眉可根据本章节的内容设计一些简短小常识，如“环境保护日”、“辣椒含大量维生素被称为V c之王”、等等。在页脚可以设计一段小笑话以缓解学生学习的疲劳。 2、生物学案的内容优化 学案可以在内容上更加多样化，传统的学案说白了就是教师印发给学生的习题训练。缺乏知识性、趣味性、系统性和开放性。学生做起来及其枯燥。如能在内容及其形式上加以优化，会给学生耳目一新的感觉，增强学习的趣味性。总体内容可以涵盖以下几个方面：1、教学目标；2、知识网络；3、习题训练；4、知识
拓展；5、信息反馈。 首先，目标明确。在明确的目标指引下来了解知识网络，形成知识体系。即知识网络，可以采用概念图的形式或以图表形式展示，形象生动、一目了然。 其次，习题训练。题型要多样，题量要精简。把空间留出来给知识拓展，专门开辟一块知识阅读的版块，如：记述生物名人小故事、介绍形形色色的动物和植物、当代生物科学研究前沿信息等等。 最后，还要给学生留出篇幅抒发感慨和想象的空间，或者提出一两个小小的思考题激发学生的思维。较好保证学案的效果。 3、生物学案的提示语的优化 提示语是用来提醒人们注意自己行为、语言的一些语句。脍炙人口、富有品味的提示语能让人们在潜移默化中受到启迪。同样，在教学案的各给模块中穿插一些温馨的提示语，可以增强学生的认同感，拉近师生之间的距离。 实践表明，优化后的学案设计改变了以往传统的学案的枯燥和浪费。使空间得到了高效的利用。同时，使学生有以前对学案的态度的由害怕变为了期盼。使他们在真正学到了知识同时，也享受了快乐。 主要参考文献 [1]束爱军蒋选荣.2011.优化作业纸的设计.生物学教学，36(10):30-31。
基于单纯形法的最优化方法的毕业设计论 文 Revised on November 25, 2020
摘要： 最优化方法普遍的应用于工业、农业、商业、交通运输、国防、通信、建设、等各个方面与我们的生活息息相关；最优化方法主要用来解决最优计划、最优决策、最优设计、最优分配等最优化问题。本文主要研究的内容是通过单纯形方法对最优化问题的解决进行归纳总结，分析最优化问题所涉及的原理和方法，使用软件对最优化问题进行实践仿真测试，并将最优化问题推广应用到生活当中去。 关键词: 最优化单纯形方法仿真 Abstract Optimization method is widely used in industry, agriculture, commerce, transportation, defense, communications, construction, and other aspects of our lives; the optimization method is used to solve the optimal planning, optimal decision-making, optimal design, optimal allocation optimization problem. The main research content of this paper is summarized by the simplex method to solve the optimization problem, the principle and method of optimization analysis of the problems involved in the use of software simulation test of practical optimization problems, and promote the use of the optimization problem to life. Keywords : optimization Simplex method Simulation
最优化方法课程大作业论文最优化方法与控制工程 学生姓名：熊柳 学生学号：201422000182 专业名称：控制工程
这学期按照培养方案，我学习了最优化方法这门课程。顾名思义，从课程名字就可知道这是一门关于对一项工程或是任务设计具体方案使其尽可能达到最高效率的课程。上课后，老师逐渐讲解一些最优化方法的基本思想和算法，开始对最优化方法有了更深的认识。最优化方法其实也是数学的一个分支学科，但最优化方法不同于其他分支，更偏向于具体的工程应用，实用性很强。 通过课堂学习以及查资料，我了解到最优化方法的一些相关知识，最优化方法，也叫做运筹学方法，是近几十年形成的，它主要运用数学的方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。最优化方法的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。 最优化方法中具体的思想和算法大多数是以本科中学过的高数和线性代数中的知识为基础的，然后再接以现代的计算机编程技术来进行操作，例如C语言和Matlab，这样可以大大提高解决问题的效率和精准性，尤其对于石油院校的研究领域中的一些问题都是规模很大的工程问题，仅仅依靠人力基本无法计算，必须通过计算机来进行解决。老师开始给我们讲解一些最基础的最优化方法知识，例如：凸集和凸函数、范数等；然后介绍了最优化方法的研究对象、特点，以及最优化方法模型的建立和模型的分析、求解、应用，例如：线性规划问题、求极值、无约束最优化问题、等式约束最优化问题、不等式约束最优化问题等。用最优化方法解决实际问题，一般可经过下列步骤： ①提出最优化问题，收集有关数据和资料； ②建立最优化问题的数学模型（最优化模型一般包括变量、约束条件和目标函数三要素），确定变量,列出目标函数和约束条件； ③分析模型，选择合适的最优化方法； ④求解，一般通过编制程序，用计算机求最优解； ⑤最优解的检验和实施。 在学习了最优化方法导论之后，发现它在我所学的专业领域有极为重要的应用。它在我所学习的专业控制工程中发展成为了一门专门的学科——最优控制。 最优控制（optimal control ）是现代控制理论的核心，它研究的主要问题是：在满足一定约束条件下，寻求最优控制策略，使得性能指标取极大值或极小值。使一个系统的性能指标实现最优化可概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。 最优控制问题，就是在给定条件下，对给定系统确定一种控制规律，使该系统能在规定的性能指标下具有最优值。也就是说最优控制就是要寻找容许的控制规律是动态系统从初始状态转移到某种要求的终端状态，且保证所规定的性能指
TSP问题的遗传算法求解 摘要：遗传算法是模拟生物进化过程的一种新的全局优化搜索算法，本文简单介绍了遗传算法，并应用标准遗传算法对旅行包问题进行求解。 关键词：遗传算法、旅行包问题 一、旅行包问题描述： 旅行商问题，即TSP问题（Traveling Saleman Problem）是数学领域的一个著名问题，也称作货郎担问题，简单描述为：一个旅行商需要拜访n个城市（1，2，…，n），他必须选择所走的路径，每个城市只能拜访一次，最后回到原来出发的城市，使得所走的路径最短。其最早的描述是1759年欧拉研究的骑士周游问题，对于国际象棋棋盘中的64个方格，走访64个方格一次且最终返回起始点。 用图论解释为有一个图G=（V,E），其中V是顶点集，E是边集，设D=（d ij）是有顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，旅行商问题就是求出一条通过所有顶点且每个顶点只能通过一次的具有最短距离的回路。若对于城市V={v1，v2，v3，...，vn}的一个访问顺序为T=(t1，t2，t3，…，ti，…，tn)，其中ti∈V(i=1，2，3，…，n)，且记tn+1= t1，则旅行商问题的数学模型为：min L=Σd(t(i),t(i+1)) （i=1，…，n） 旅行商问题是一个典型组合优化的问题，是一个NP难问题，其可能的路径数为（n-1）！，随着城市数目的增加，路径数急剧增加，对与小规模的旅行商问题，可以采取穷举法得到最优路径，但对于大型旅行商问题，则很难采用穷举法进行计算。 在生活中TSP有着广泛的应用，在交通方面，如何规划合理高效的道路交通，以减少拥堵；在物流方面，更好的规划物流，减少运营成本；在互联网中，如何设置节点，更好的让信息流动。许多实际工程问题属于大规模TSP，Korte于1988年提出的VLSI芯片加工问题可以对应于1.2e6的城市TSP，Bland于1989年提出X-ray衍射问题对应于14000城市TSP，Litke于1984年提出电路板设计中钻孔问题对应于17000城市TSP，以及Grotschel1991年提出的对应于442城市TSP的PCB442问题。
《最优化方法课程设计》——关于存贮论的 操作实践 存贮论(inventory theory)又称库存理论，是运筹学中发展较早的分支。现代化的生产和经营活动都离不开存贮，为了使生产和经营活动有条不紊地进行，一般的工商企业总需要一定数量的贮备物资来支持。在企业的生产经营或人们的日常生活中，通常需要把一定数量的物质，用品或食品暂时储存起来，以备将来使用和消费，这就是所谓的存贮现象。存贮的存在主要基于社会经济现象的不确定性。 一、存贮论的基本理论 存贮系统是由存贮、补充和需求三个基本要素所构成的资源动态系统，其基本形态如图所示。 以下就上述结构图的三个环节分别加以说明： 1．存贮（inventory） 企业的生产经营活动总是要消耗一定的资源，由于资源供给与需求在时间和空间上的矛盾，使企业贮存—定数量的资源成为必然，这些为满足后续生产经营需要而贮存下来的资源就称为存贮。 2．补充（replenishment） 补充即存贮的输入。由于后续生产经营活动的不断进行，原来建立起来的存贮逐步减少，为确保生产经营活动不间断，存贮必须得到及时的补充。补充的办法可以是企业外采购，也可以是企业内生产。若是企业外采购，从订货到货物进入“存贮”往往需要一定的时间，这一滞后时间称为采购时间。从另一个角度看，为了使存贮在某一时刻能得到补充，由于滞后时间的存在必须提前订货，那么这段提前的时间称为提前期。存贮论主要解决的问题就是“存贮系统多长时间补充一次和每次补充的数量是多少？”，对于这一问题的回答便构成了所谓的存贮策略。 3．需求（demand）
需求即存贮的输出，它反映生产经营活动对资源的需要，即从存贮中提取的资源量。需求可以是间断式的，也可以是连续式的。 存贮系统所发生的费用包括存贮费用、采购费用和缺货费用。存贮费用（holding cost ）是指贮存资源占用资本应付的利息，以及使用仓库、保管物、保管人力、货物损坏变质等支出的费用。采购费用（order cost ）是指每次采购所需要的手续费、电信费、差旅费等，它的大小与采购次数有关而与每次采购的数量无关。存贮系统所发生的费用除存贮费用和采购费用之外，有时还会涉及缺货费用，缺货费用（stock-out cost ）是指当存贮供不应求时所引起的损失，如机会损失、停工待料损失，以及不能履行合同而缴纳的罚款等。 确定性存贮模型 在讨论确定性模型前，首先对一些常用符号的含义作必要的说明。 C ：单位时间平均运营费用（或称单位时间平均总费用）， R ：单位时间物品需求量（或称需求速度）， P ：单位时间物品生产量（或称生产速度）， K ：物品单价（外部订购）或单位物品成本费用（内部生产）， Q ：订货量（外部订购）或生产量（内部生产）， C1：单位物品单位时间保管费用（简称单位保管费用）， C2：单位物品单位时间缺货损失（简称单位缺货损失）， C3：订购费用（外部订购）或生产准备费用（内部生产）， 以上定货量（生产量）Q 和订购费用（生产准备费用）C3，都是对应于一次 订购（一次生产）而言的。 模型1，不允许缺货，且一次到货。 建立模型前，需要作一些假设： ① 缺货损失无穷大（即不允许缺货）， ② 当存贮量降至零时，可以瞬间得到补充（即一次到货）， ③ 需求是连续和均匀的，需求速度R 是固定的常数， ④ 每次订货量（生产量）Q 不变，订购费用（生产准备费用）C3不变。 存贮状态的变化情况可用图7—4表示： 易知：平均保管费用=平均存贮量×单位保管费用111122QC RtC = =， 平均订购费用3C t =， 平均物品成本费用QK RK t t ?= ==订购量单价。 由此可以推得模型1的单位时间平均运营费用函数：
弹性约束下的线性规划之最优化方法 摘要：线性规划方法是解决最优化问题的有效方法之一，有着极其广泛的应用，在管理学的应用过程中也时常穿插着关于最优化的问题。本文将在古典的线性规划方法的基础上，引入弹性约束一词，以弹性约束下的线性规划类型为对象建立新的数学模型，在解决具体的管理学案例的过程中，寻求其最优化方法，同时为管理决策提供依据。 关键词：线性规划；最优化；单纯形法；弹性约束；保证率 前言 在生产过程、科学实验以及日常生活中，人们总希望用最少的人力、物力、财力和时间去办更多的事，活得最大的效益，在管理学中被看作是生产者的利润最大化和消费者的效用最大化，如果从数学的角度来看就被看作是“最优化问题”。在最优化的研究生教学中我们所说的最优化问题一般是在某些特定的“约束条件”下寻找某个“目标函数”的最大(或最小)值，其解法称为最优化方法。线性规划方法是最优化方法中的一个重要部分。但是，经典的线性规划方法，常将目标函数和约束条件都视为确定的。然而，在实际问题中不论目标函数还是约束条件都具有不同形式的不确定性。本文重点引入新的名词弹性约束，以弹性约束下的线性规划类型为对象建立新的数学模型，从而寻求其最优化方法。 1、问题的提出 某工厂生产甲、乙、丙、丁共4种产品，需用到A,B,C共3种原料，每种产品需要使用的各种原料的数量及其可能获得的利润如表1所示。又A,B两种原料供应量有限，单位生产周期内只能提供一定的数量，而C种原料一经开包使用就必须用足一定量后方可停止使用，且不能单独使用。现有关数据均见下表。问应如何安排生产，方能使该厂所获利润达到最大值? 表1：加工产品所需原料及可能获得的利润
北方民族大学课程设计报告 系（部、中心）信息与计算科学学院 专业信息与计算科学班级 09信计（3）班小组成员 课程名称最优化方法 设计题目名称运用DFP算法解决无约束最优化问题提交时间2012年6月26日 成绩 指导教师
变尺度法是在牛顿法的基础上发展起来的，它和梯度法亦有密切关系.变尺度法避免了Newton法在每次迭代都要计算目标函数的Hesse矩阵和它的逆矩阵而导致随问题的维数增加计算量迅速增加.DFP算法是变尺度法中一个非常好的算法.DFP算法首先是1959年由Davidon提出的后经Fletcher和Powell改进，故名之为DFP算法，它也是求解无约束优化问题最有效的算法之一. DFP变尺度法综合了梯度法、牛顿法的优点而又避弃它们各自的缺点，只需计算一阶偏导数，无需计算二阶偏导数及其逆矩阵，对目标函数的初始点选择均无严格要求，收敛速度快. 本文主要分析DFP算法原理及运用Matalb软件编程解决实际数学问题.最后运算结果符合计算精度且只用了一次迭代，由此可见收敛速度快. 关键词：Newton法变尺度法Hesse矩阵Matlab软件
一、课程设计目的 (1) 二、课程设计要求 (1) 三、课程设计原理 (1) （1）变尺度法基本原理 (1) （2）DFP算法 (3) 四、实验内容 (4) 五、数学建模及求解 (4) 1.DFP算法迭代步骤 (4) 2.DFP算法的流程图 (5) 六、程序实现 (5) 七、数值实验的结果与分析 (8) 八、实验总结与体会 (9) 1.DFP公式恒有确切解 (9) 2.DFP算法的稳定性 (9) 参考文献 (10)