高中三角函数最值问题的一些求法

高中三角函数最值问题的一些求法

关于()f x ω?+型三角函数式的最值，可以由三角函数的性质直接求出，如

sin(),11y x y y ω?=+==-最大最小，； cos(),11y x y y ω?=+==-最大最小，；

tan y x =与cot y x =在定义域内无最值。

一、直接应用三角函数的定义及三角函数值的符号规律解题

例1：求函数y ＝

x

x x x x x x x cot |

cot ||tan |tan cos |cos ||sin |sin +++的最值 分析：解决本题时要注意三角函数值的符号规律，分四个象限讨论。

解： （1）当x 在第一象限时，有sin cos tan cot 4sin cos tan cot x x x x

y x x x x =

+++= （2）当x 在第二象限时，有sin cos tan cot 2sin cos tan cot x x x x

y x x x x =+++=----

（3）当x 在第三象限时，有sin cos tan cot 0sin cos tan cot x x x x

y x x x x =+++=--

（4）当x 在第四象限时，sin cos tan cot 2sin cos tan cot x x x x

y x x x x

=+++=----

综上可得此函数的最大值为4，最小值为-2.

二、直接应用三角函数的有界性（sin 1,cos 1x x ≤≤）解题

例1：（2003北京春季高考试题）设M 和m 分别表示函数cos 13

x -1

y=的最大值和最小值，则M m

+等于（ ）

（A ）

32

（B ）32-（C ） 3

4-（D ）-2 解析：由于cos y x =的最大值与最小值分别为1,-1,所以,函数cos 13

x -1

y=的最大值与最小值分别为

32-,34-,即M m +＝32-+（3

4

-）=-2,选D. 例2：求3sin 1

sin 2

x y x +=+的最值（值域）

分析：此式是关于sin x 的函数式，通过对式子变形使出现12sin 3

y

x y -=-的形式，再根据sin 1x ≤来求解。

解：3sin 1

sin 2

x y x +=

+，即有sin 23sin 1sin 3sin 12y x y x y x x y +=+?-=-

12(3)sin 12sin 3

y

y x y x y --=-?=

-。因为sin 1x ≤， 所以()()2

2

2

121212111333y y

y y y y -??--≤?≤?≤ ?---??

即()()()()2

2

212332802340y y y y y y -≤-?+-≤?+-≤

即423

y -≤≤

，所以原函数的最大值是4

3，最小值是2-。

三、利用数形结合

例：求cos 2

sin 2

x y x -=

-的最大值与最小值

x

解析：此题除了利用三角函数的有界性求解外，还可根据函数式的特点，联想到斜率公式21

21

y y k x x -=

-将原式中的y 看作是定点(,)P x y 与动点(sin ,cos )M x x 连线的斜率，而动点(sin ,cos )M x x 满足单位圆

22sin cos 1x x +=，如上图所示。所以问题可转化为求定点(2,2)

P 到单位圆相切时取得的最值，由点到直

线的距离得：

min

y =

max y = 四、利用三角函数的单调性法

例1：(1996全国高考试题)当x π

π

-

≤≤

2

2

，函数()sin f x x x =的最值

(A)最大值是1，最小值是－1 (B)最大值是1，最小值是1

2

-

(C)最大值是2

，最小值是－2 (D)最大值是2，最小值是－1

()sin 2sin()3

f x x x x π==+，因为x ππ-≤≤22，所以53x πππ-≤+≤66，当x π

=-6时，函数()

f x 有最小值 －1,最大值2，选择D

例2：求sin sin sin x x y x

（1+)(3+)

=2+的最值及对应x 的集合

分析：观察式子可知它并不能直接求出，须通过变形为1

sin 2)sin 2

x x =

+-+y （，但也不符合用平均

不等式求，考虑用单调性。

解答：sin sin 1sin 2)sin sin 2x x y x x x =+-

+（1+)(3+)=（2+令sin 2x t +=，则1

()y f t t t ==-，且13t ≤≤，设12121<3,()()t t f t f t ≤≤-=121211

()()t t t t ---=

12

1212

1()(

)<0t t t t t t +-[]()(1,3)f t t ∴∈上单调递增，所以 当1t =时， min ()0f t =，此时sin 1x =-，,2,.2x x x k k z ππ??

∈=-∈????

当3t =时，8()max 3f t =，此时sin 1x =，,2,2x x x k k z ππ??

∈=+∈????

五、可化为一次函数y kx b =+，c x d ≤≤的条件极值的三角函数式极值求法

例1：求函数sin y a b x =+ (0)b ≠的极值

分析：由sin 1x ≤，上述问题实质上是求下述一次函数的条件极值问题，即求sin y a b x =+,

11x -≤≤，其中sin x x =,这里约束条件是由正弦函数的值域暗中给出的。

解： 1）当0b >时, ,y a b y a b =+=-最大最小； 2）当0b <时, ,y a b y a b =-=+最大最小；

说例2：求函数22sin sin cos cos y a x b x x c x =++的最值，其中0,0b c ≠≠。

分析：在这里不能将它变形为关于sin x 或cos x 为未知数的二次式，所于只有考虑将它降为一次，此时根据正弦、余弦的二倍角公式即21cos 2sin 2x x -=

，21cos 2cos 2x x +=，1sin cos sin 22

x x x =，然后代入化简得到sin(),11y x y y ω?=+==-最大最小，即可求出。

解：因为1cos 21cos 2sin 2222x b x y a x c -+=?

+?+?[]1

sin 2()cos 222

a c

b x

c a x +=++-

sin(2),2a c x ?+=++其中arctan c a b ?-= ，且sin(2)1x ?+≤，

,22a c y +∴=+

最大

22

a c y +=-最小

在这里22sin sin cos cos y a x b x x c x =++sin 2cos 2y A x B x ????

→=+降次、整理

六、可化为二次函数2(0)y ax bx c a c x d =++≠≤≤且的条件极值的三角函数式的最值求法。

例1：求函数22sin 8sin 5y x x =+-最值

分析：因为222sin 8sin 52(sin 2)13,sin 1,y x x x x =+-=+-≤故求y 的最值，实质上是求以sin x 为自变量的二次函数。可以用配方或数形结合求解。

即当设sin x =X 时，变为22(2)13y X =+-在约束条件11X -≤≤的条件极值。

解：因为22(sin 2)13,sin 1,y x x =+-≤ 当2sin 23135,x y =?-=最大=1时, 当2sin 211311.x y =?-=-最小=-1时,

。七、换元法sin cos ,sin cos x x x x ±（同时出现换元型）

例1:函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值是______.(1990年全国高考题)

解析： 如果在同一个代数式中同时出现同角的正余弦函数的和与正余弦函数的积,常用换元法来解

决问题, 这种方法可简化计算过程。设sin cos x x +＝t ,则t ＝sin cos )4

x x x π

+=+,

∴t ≤≤21sin cos 2t x x -=函数sin cos sin cos y x x x x =++可化为22

1(1)122t t y t -+=

+=-，

∴t =1

2

+ 说明：题目中出现sin cos x x +与sin cos x x 时，常用变形是“设和求积巧代换”，即设sin cos x x +＝

t 则sin cos x x ＝21

2

t -。要特别注意换元后t 的取值范围。 例2： 求函数sin sin cos cos y x x x x =+-的最值。

解：设sin cos )(4

t x x x t π

=-=-≤≤则 21sin cos 2t x x -=于是 211

22y t t =-++。故

当t =sin()14x π-=-时， min 1

2y =-

当1t =时，即sin()42

x π-=时， max 1y =

八、可化为分式函数的条件最值的三角函数的最值问题

例1：求函数22

tan tan 1

tan tan 1

x x y x x -+=++的最值。 分析：由22tan tan 1tan tan 1x x y x x -+=++，令tan X x =，则归为求22

1

,1

X X y X X -+=++（且x -∞<<+∞）的最值，故可用判别式法求之。

x

解：由

22tan tan 1tan tan 1

x x y x x -+=++，

22tan tan tan tan 1y x y x y x x ∴?+?+=-+

2(1)tan (1)tan (1)0.y x y x y -+++-= 因为这个一元二次方程总有实数根， 2221)4(1)(3103)y y y y ∴?=+--=--+（ (3)(31)0.y y =---≥

11.33y ∴-≤≤ 13,.3

y y ∴==最大最小

例2：（sin cos a x c

y

b x d

+=

+型的函数）求函数2sin x y x =+的最值（值域）。

分析：此函数的解析式与上例不同，分式中的分子含有cos x 的一次式，而分母是含有sin x 的一次式，不能直接解出cos x 或sin x ，通常是化作sin()()x f x ω?+=求解。

解法一：由

y =

得sin 2,y

x x y =-)2x y ?+=- （

?为辅助角）

sin()x ?∴+=

因为1sin()1x ?

-≤+≤得11,∴-≤

≤由此解得11y -≤≤∴函数的值域为

[]1,1-

说明：对此类问题可通过万能公式代换求解，还可通过几何方法（数形结合）求解，现介绍如下。

解法二：令 tan 2x t =，则2

2sin 1t

x t =+，221cos 1t

x t -=+)y t R ∴=

∈

即

y t yt y 2(2

+2+(2若

y 2 即2y =-

则t =-2满足条件若y

≠20,即

2

y ≠，则

由y y y ?≥2=4-4(2

0 ，有2

y y ≤≤≠

-11( ∴函数的值域为[]

1,1- 解法三：由y =

，

cos 0sin (2)

x x -=--，设点 (sin ,cos )P x x ，(2,0)Q -，

动点P 与Q 连线的斜率。如右图所示，

直线1QP 的方程为(2)y k x =+，即20kx y k -+=，则圆心

0,0)（到它的距离

1d =

=

，解得13k =-

或23k =

。所以≤≤ 11y -≤≤，所以函数的值域为[]-1，1

九、利用不等式

12n a a a n

++???+≥0,1,2,...,i a i n >=）

利用上述不等式求最值时, (1,2,...,)i a i n =必须满足下列条件:

若n 个正数(1,2,...,)i a i n =的和一定时,当且仅当它们相等时,其积取最大值. 若n 个正数(1,2,...,)i a i n =的积一定时,当且仅当它们相等时,其和取最小值. 例1:当(0,)2πθ∈,求sin (1cos )2y θ

θ=+的最大值

解析:因为 (0,)2πθ∈,所以(0,)24θπ

∈

于是 sin (1cos )2y θθ=+= 22sin cos 22

θθ

所以22224sin cos cos 222y θθθ=≤ 3

22232in cos cos 21622222()333s θθθ??++???==??

??

??

即16

3

y ≤

说明：解答此题后有一个新的体会就是研究形如sin cos m n y x x =（,,m n N +∈且02

x π

<<）的值域是

十分重要的,下面来看一下:已知函数sin cos m n y x x =（,,m n N +∈且02

x π

<<

）,求其最大值.

解:因为,,02

m n N x π

+∈<<

，所以y ==

=

考察上式根号中的m n +个因式之和为

2222sin )(cos )(sin cos )m n x n m x mn x x mn +=+=(。因而由平均值不等式得

y ≤=

= 当且仅当22sin cos n x m x =

时，即tan x =

x arc =

故当tan x arc =sin cos (,,0)2m n y x x m n N x π+

=∈<<且 例2:求函数12(0)sin cos 2

y x x x π

=

+<<的最小值。 分析：本题看似简单，但若直接求不容易，考虑02

x π

<<，则0y >。若求出2y 的范围，则问题

也就解决了。

解： 222212144

(

)sin cos sin sin cos cos y x x x x x x

=+=++

= 222

24(sin cos )

csc 4sec sin cos x x x x x x +++ 22(1cot )4(tan cot )4(1tan )x x x x =+++++

225(cot 2tan 2tan )(4tan 2cot 2cot )x x x x x x =++++++

5≥+55=+=+

每且仅当 2

2

cot 2tan 4tan 2cot x x x x

?=??=??即x =2min 5y =+

所以 min y =

说明： 这是一个特殊的问题，下面运用本题的解法来研究它的一般情形的最值问题。 设0a >,0b >,求函数(0)sin cos 2

a b y x x x π=

+<<的最小值。 解：由222

22

2sin cos sin cos a b ab

y x x x x

=++=22(1cot )2(tan cot )a x ab x x ++++ 22(1tan )b x +2222(cot tan tan )a b a x ab x ab x =+++++

22(tan cot cot )b x ab x ab x ++22a b ≥++

22a b =++3=

每且仅当2222

cot tan tan cot a x ab x b x ab x

?=??=??，即x =时，23y =

所以 min y = 说明：像此类题，一般比较复杂，大部分可能无法用其它方法求出，首先必须将它变形符合形式，再考虑是否满足一正，二定，三相等的条件，都满足即可求出。关键的是灵活变形。 十、对有约束条件的三角函数的最值求法

例1：设α、β皆为锐角，αβθ+=，求函数sin sin y αβ=+之最大值。

解析：因为<<

<<

,0<<2

2

π

π

αβαβπ∴0 0+，故0<<.θπ且<-<22

π

π

αβ-

。

sin sin y αβ=+又 -2sin

cos

2

2αβ

αβ

=?+ -sin cos θαβ

?=222

-sin

y αβ

θ

αβ∴=最大当

=0即=时,22

2

例2：在ABC ?中，求函数tan

tan tan 222

A B C

y =的最大值 解析：因为A 、B 、C 是三角形内角，即A B C π++=，

tan >0, tan >0, tan >0222222A B C A B C 所以、、均为锐角.则 )222

C A B

π+且 = -(2

所以tan tan

122tan cot )222tan )tan tan 2222

A B C A B A B A B +==

++1- =(( tan tan tan tan tan tan 1222222A B B C A C

+=可得 +

tan tan tan 222A B C 2所以 () = tan tan )(tan tan )(tan tan )222222A B B C A C

≤(

3

tan tan tan tan tan tan 1222222327A B B C A C ?

?+??=??

??

??

+ ，当且仅当3A B C π===时等号成立， 故tan

tan tan 222

A B C

9

说十一、利用导数求函数的最值

例：已知(0,)2

x π

∈

，求2()cos f x x =+的最小值。

解：'2

2sin ()cos x

f x x

=

+，令'()0f x =

得：3tan tan x x =?= 而(0,)2x π∈，则3x π=，而当03x π<<时，'()0f x <；当32x ππ

<<时，'()0f x > 所以当3

x π

=

时，min ()16f x =。

例：求函数sin 2sin x

y x

=

+的最大值和最小值。

1．运用三角函数的有界性，即sin 1x ≤来求解，即将原式变形为sin 2sin 2sin 1x y

y x x y

=

?=+-，所以

变为211y

y

≤-来进行求解即可。即有2241

1(1)(31)11(1)3y y y y y ≤?+-≤?-≤≤-，即max

1,13min y y ==-。

2．将函数式化为部分分式，使分子出现常数也容易考虑出它的最值，

即将原式变形为2

12sin y x

=-

+。

当sin 1x =时，即2()2k x k k z ππ=+∈时，有max 211213y =-=+。当sin 1x =-时，即2()2

k x k k z π

π=-∈时，

有min 2

1121

y =-=--。

3．将函数式直接变形为1

21sin y x

=+

，其实求法就跟上一题一样。4．考虑万能代换，使转化为代

数函数的求最值问题。令tan 2x t =，则有22sin 1t x t =+，所以22

2212121t

t t y t t t t

+==++++，即2(1)0yt y t y +-+=此关于t 的二次方程应有实根，故22(1)40y y ?=--≥，解之得113y -≤≤，故有max 1

,13min y y ==-

5．将以上所得的代数函数考虑用基本不等式。即将式子21

t

y t t =++

化为1(0)11y t t t =≠++，当t 为正值时，有111

11231y t t

=≤=+++。所以max 13y =，当t 为负值时，有

11111(2)1y t t

=≥=-+-++

。所以1min y =-

综上所述：三角函数最问题可归结以为几大类型：

1．可转化为利用正弦、余弦函数的有界性求解的最值问题。主要有以下两种类型： 可将函数式化为sin()y A x ω?=+的形式求解的问题，形如sin sin a x b

y c x d

+=

+或者

22sin sin cos cos y a x b x x c x =++的函数适用；

可将函数式化为sin()()x f x ω?+=的形式求解的问题，形如cos sin a x b

y c x d

+=

+或者形如

sin cos a x b

y c x d

+=

+的函数适用；

2．可转化为求二次函数2y at bt c =++在闭区间[]1,1-上的最值问题，典型的是：形如

2sin sin (0)y a x b x c a =++≠的最值；形如(sin cos )sin cos y A x x B x x =++的最值；

3．转化为可利用均值不等式求解的最值问题，例如函数sin ()sin a

y x a R x

+=+∈的最值。 4．某些带约束（隐含）条件的最值。

5．利用其它方法求解的最值问题（如利用单调性、判别式、图像法等） 6．含参数的逆向思考问题。

总结：以上主要探讨了十一种方法来求解三角函数的最值，由于三角函数最值问题形式的多样性，在求解此类问题时，不仅要灵活运用三角变换的方法和技巧，还要充分注意代数知识和方法的运用，以提高解决此类问题的能力。由以上几种形式可归纳得出求解三角函数最值问题的基本方法:一是应用正弦、余弦函数的有界性来求; 二是利用二次函数闭区间求最大、最小值的方法; 此外还可利用重要的不等式公式和数形结合的方法来解决。具体为：1、求三角函数最值的方法有配方法、化为一个角的三角函数、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。2、三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间。3、求三角函数的最值时，一般要进行一些三角变换以及代数换元，须注意函数有意义的条件和弦函数的有界性。4、含参数函数的最值，解题要注意参数的作用和影响。

致谢：感谢谢老师在论文写作当中的指导与帮助！！

参考文献：

[1] 《数学通报》编辑部组织专家编写《数学高考研究与复习1999-2000》中央民族大学出版社1999年7月出版

[2] 连林主编《高中数学综合题一题多解》北京出版社1990年5月出版

[3] 李燕杰郭建编著《平面三角教与学》黑龙江科学技术出版社1982年6月出版

[4] 吴胜聚刘跃利等编著《高考总复习数学成才之路》内蒙古少年儿童出版社2003年4月出版

[5] 吕风祥主编鲍曼濮安山副主编《中学数学解题方法》哈尔滨工业大学出版社2003年10月

[6] 薛金星主编《高中数学基础知识手册》北京教育出版社2006年出版

some ways to caculating the maximun and minimum in trigonometric

function

Yang Lixian, Instructor: Xie Shaolong

（Department of Mathematics, YuXi Normal University, Grade 2004,Class 1, No. 2004021107）

[Abstract]: The trigonometric function is an important function concept in mathematics. The mastery of the trigonometric function plays an impotant role in learning mathematics well. The trigonometric function is closely related to other mathematical knowledge and

widely used in learning and studying other mathematical knowledge. In the trigonometric function studying, the ways to caculating the maximun and minimum in trigonometric function are very important. It is significant to discuss and sumarize the ways to caculating the maximun and minimum in trigonometric function in learning trigonometric function.

[Key words]:trigonometric function ，maximun and minimum，ways of caculating

用锐角三角函数概念解题的常见方法(含答案11页)

用锐角三角函数概念解题的常见方法 1．锐角三角函数 （1）锐角三角函数的定义 我们规定： sinA=a c ，cosA= b c ，tanA= a b ，cotA= b a ． 锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角 函数． （2）用计算器由已知角求三角函数值或由已知三 角函数值求角度 对于特殊角的三角函数值我们很容易计算，甚至可 以背诵下来，但是对于一般的锐角又怎样求它的三角函数值呢？用计算器可以帮我们解决大问题． ①已知角求三角函数值； ②已知三角函数值求锐角． 2 直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半． 3．锐角三角函数的性质 （1）0

（2）tan α·cot α=1或tan α=1 cot α ； （3）tan α= sin cos αα，cot α=cos sin α α ． （4）sin α=cos （90°-α），tan α=cot （90°-α）． 有关锐角三角函数的问题，常用下面几种方法： 一、设参数 例1. 在ABC ?中，?=∠90C ，如果125 tan = A ，那么sin B 的值等于（ ） 5 12.12 5. 13 12. 13 5. D C B A 解析：如图1，要求sinB 的值，就是求 AB AC 的值，而已知的12 5 tan =A ，也就是12 5 =AC BC 可设k AC k BC 125==， 则k k k AB 13)12()5(22=+= 13 12 1312sin == ∴k k B ，选B 二、巧代换 例2. 已知3tan =α，求 α αα αcos sin 5cos 2sin +-的值。 解析：已知是正切值，而所求的是有关正弦、余弦的值，我们可以利用关系式 3cos sin tan == α α α，作代换ααcos 3sin =，代入即可达到约分的目的，也可以把所求的分式的分子、分母都除以αcos 。 图1

三角函数最大值问题

三角函数最值问题类型归纳 三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，近几年的高考题中经常出现。其出现的形式，或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题；或者是隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一；或者在解决某一问题时，应用三角函数有界性会使问题更易于解决（比如参数方程）。题目给出的三角关系式往往比较复杂，进行化简后，再进行归纳，主要有以下几种类型。掌握这几种类型后，几乎所有的三角函数最值问题都可以解决。 1．y=asinx+bcosx型的函数 特点是含有正余弦函数，并且是一次式。解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为 只有一种三角函数。应用课本中现成的公式即可：y=sin(x+φ)，其中tanφ=。 例1．当-≤x≤时，函数f(x)=sinx+cosx的（ D ） A、最大值是1，最小值是-1 B、最大值是1，最小值是- C、最大值是2，最小值是-2 D、最大值是2，最小值是-1 分析：解析式可化为f(x)=2sin(x+)，再根据x的范围来解即可。 2．y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函数 特点是含有sinx, cosx的二次式，处理方式是降幂，再化为型1的形式来解。 例2．求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并求出y取最小值时的x的集合。 解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x =(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x =1+sin2x+1+cos2x =2+sin(2x+) 当sin(2x+)=-1时，y取最小值2-，此时x的集合{x|x=kπ-π, k∈Z}。 3．y=asin2x+bcosx+c型的函数 特点是含有sinx, cosx，并且其中一个是二次，处理方式是应用sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成二次函数来求解。 例3．求函数y=cos2x-2asinx-a（a为常数）的最大值M。

求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)

求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)

求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB 5，则tan A 的值为 ( ) A ． 5 B 25 C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =5 12，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ ABC 中， ο 90=∠C ，3cosB=2， AC=5 2 ，则 AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．

4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径， 若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．2 3

【智博教育原创专题】三角函数求最值的题型大全

三角函数求最值的归类研究 求函数的最大值与最小值是高中数学中的重要内容，也是高考中的常见题型，本文对三角函数的求最值问题进行归类研究，供同学们借鉴。 一、化成sin()y A x ω?=+的形式 例1. 在直角三角形中，两锐角为A 和B ，求sin sin A B 的最大值。 【解析】1sin sin sin sin()sin cos sin 222A B A A A A A π=-==，由02 A π<<，得02A π<<，则当4 A π=时，sin sin A B 有最大值12。 例2. 求函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--在0,2π?????? 上的最大值和最小值。 【解析】442222()cos 2sin cos sin (cos sin )(cos sin )sin 2cos2sin 2f x x x x x x x x x x x x =--=+--=- )4x π=-，由02 x π≤≤，得32,sin(2)14444x x ππππ-≤-≤≤-≤，得 )14x π-≤，则当0x =时，max ()1f x =；当38 x π=时，min ()f x = 【点评】这类题目解决的思路是把问题化归为()sin()f x A x k ω?=++的形式，一般而言，max min ()()f x A k f x A k =+=-+，，但若附加了x 的取值范围，最好的方法是通过图象加以解决。例2中，令24u x π=-，画出sin u 在3,44ππ??-???? 上的图象（如图1）， 图1 不难看出sin 12u ≤≤，即sin(2)124x π≤-≤。应注意此题容易把两个边界的函数值()2f π和(0)f 误认为是最大值和最小值。 二、形如cos sin c x d y a x b +=+的形式 例3. 求函数sin 1cos 2 x y x -=-的最大值和最小值。 【解析】由已知得cos 2sin 1y x y x -=-，即sin cos 12,)12x y x y x y φ-=-+=-，所以 sin()x ?+sin()1x ?+≤≤，即2340y y -≤，解得403 y ≤≤，故max min 4,03 y y ==。 【点评】上述利用正（余）弦函数的有界性，转化为以函数y 为主元的不等式，是解决这类问题的最佳方法。虽然本题可以使用万能公式，也可以利用圆的参数方程和斜率公式去求解，但都不如上述解法简单易行。有兴趣的同学不妨试一试其他解法。

求锐角三角函数值常用方法

求锐角三角函数值常用方法 求锐角三角函数值，是“锐角三角函数”一节中重要内容，也是中考中常见的题型.现将求锐角三角函数值的常用方法总结如下，供同学们在学习时参考. 一、直接用锐角三角函数的定义 例1 在△ABC 中，∠C = 900，AC =6，BC =8.则sinA = （ ）. A 、 54 B 、5 3 C 、 43 D 、 3 4 分析 由定义知锐角A 的正弦等于角A 的对边比斜边，只要求出斜边AB 即可. 解：由勾股定理知，AB = 22BC AC + = 10, ∴sinA = 5 4 故选A. 二、用同角三角函数间的关系 例2 若∠A 为锐角，且sinA = 2 3 ，则cosA = ( ) A 、1 B 、 23 C 、2 2 D 、21 分析 本题可由sin 2A + cos 2A = 1直接求得. cosA = A 2sin 1- = 2)23( 1-= 2 1 故选D.(注：本题也可用三角函数的定义求解) 例3 已知 tanA = 3 2 , 则cotA = 析解：由tanA ×cotA = 1.得 cotA = 即cotA = 32 . 三、用等角来替换 例4如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB = 900,CD ⊥AB 于D,BC=3,AC = 4,设∠BCD = a,求sina.

析解 ：由题意可知，∠BCD = ∠A ，sin a =sinA = AB BC ,只要求出AB 即可.在Rt △ ABC 中，BC = 3,AC = 4,∴AB = 5. ∴sinA = 53 ∴sina = 5 3 四、构造直角三角形 例5 如图2，已知 △ABC 中，D 是AB 的中点，DC ⊥AC,且cotA = 2 3 ,求∠BCD 的四个三角函数值. 分析 为了求出∠BCD 的三角函数值，必须构造一个以∠BCD 为锐角的直角三角形，可作DE ⊥CD,接下来的关键是求出Rt △CDE 的三边长或三边之比.在Rt △CDE 中，由cotA = 23，可设AC = 3a, CD = 2a,而DE= 21AC = 2 3 a .在Rt △CDE 中，利用勾股定理可求出CE,故∠BCD 的四个三角函数值可求出. 解：过D 点作DE ⊥CD 交BC 于点E. ∵∠ACD = ∠CDE = 900 ∴AC ∥DE 又∵D 为AB 的中点，∴DE 为△ABC 的中位线. 在Rt △ACD 中，由cotA = 23，可设AC = 3a ,CD = 2a , ∴ DE = 2 3a . 在Rt △CDE 中，由勾股定理CE = 22DE CD += 2 2)2 3( )2(a a += 2 5a , ∴sin ∠BCD = CE DE = 53,cos ∠BCD =CE CD =5 4

三角函数最值问题解法归纳

三角函数最值问题—解题9法 三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，也是高中数学中经常 涉及的问题。这部分内容是一个难点，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。解决这一类问 题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另 一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题。下面 就介绍几种常见的求三角函数最值的方法： 一配方法 若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，切它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定 的函数化归为二次函数的最值问题来处理。 例1函数的最小值为（）. A． 2 B . 0 C . D . 6 [分析]本题可通过公式将函数表达式化为，因含有cosx 的二次式，可换元，令cosx=t，则配方，得, 当t=1时,即cosx=1时，,选B. 例2 求函数y=5sinx+cos2x的最值 [分析]：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。 二引入辅助角法 例3已知函数当函数y取得最大值时，求自变量x的集合。 [分析] 此类问题为的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为型求解。 解：

三利用三角函数的有界性 在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。 例4求函数的值域 [分析] 此为型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解。或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解。 解法一：原函数变形为，可直接得到：或 解法一：原函数变形为或 例5已知函数，求函数f(x)的最小正周期和最大值。 [分析] 在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式。 解： f(x)的最小正周期为，最大值为。 四引入参数法（换元法） 对于表达式中同时含有sinx+cosx，与sinxcosx的函数，运用关系式 一般都可采用换元法转化为t的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围。 例6 求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值。 [分析]解：令sinx+cosx=t，则 ，其中

锐角三角函数--特殊角的函数值

25.2锐角三角函数（2） 教学目标 ：1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理. 进一步体会三角函数的意义. 2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小. 教学重点： 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值. 2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 教学难点： 进一步体会三角函数的意义. 教学方法：自主探索法。 教学准备：一副三角尺、 多媒体演示。 教学过程： 一：.创设问题情境，引入新课 [问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.(用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法 ) 提示：让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B 处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C 点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB 的长度，BE 的长度，因为DE=AB ，所以只需在Rt △CDA 中求出CD 的长度即可. 问题1：我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，你能求出30°角的三个三角函数值吗? 二.新知学习 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值. [师]观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? [师]sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. [生]sin30°＝ 2 1. sin30°表示在直角三角形中，30°角的对边与 斜边的比值，与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边为a ， 所以sin30°＝ 2 12=a a . [师]cos30°等于多少?tan30°呢? [生]cos30°＝ 2 323=a a . tan30°= 333 13==a a

锐角三角函数的题型及解题技巧

锐角三角函数的题型及解题技巧 锐角三角函数是三角函数的基础，它应用广泛，解题技巧性强，下面归纳 出 锐角三角函数的常见题型，并结合例题介绍一些解题技巧。 、 化简或求值 例1 (1) 已知tan 2cot 1，且 是锐角，求乙tan 2 cot 2 2的值。 (2) 化简 a sin bcos ? acos bsin ?。 分析 （1）由已知可以求出tan 的值，化简?、tan 2 cot 2 2可用 1 tan cot ； （2）先把平方展开，再利用sin 2 cos 2 1化简 解（1）由tan 2cot 1得tan 2 2 tan ，解关于tan 的方程得 tan 2或 tan 1。又是锐角，二 tan 2。二、tan 2 cot 2 2 = 1 2 2 2，「 tan cot 2 = tan cot (2) a sin bcos ? acos bsin 2 -2 ? 2 2 cos b sin cos = a 、已知三角函数值，求角 求C 的度数。 分析 几个非负数的和为0，则这几个数均为0。由此可得cosA 和sin B 的 值，进而求出 代B 的值，然后就可求出 C 的值。 \ tan 2 2tan cot cot 2 = ： (tan cot )2 tan cot 由tan 得cot a 2 sin 2 2ab sin cos b 2 cos 2 + a 2 cos 2 2ab cos sin b 2s in 2 2 2 a sin 2 b 2 tan 说明 在化简或求值问题中，经常用到 cot 1 等。 “ 1” 的代换, 即 sin 2 2 cos J 2 例2在厶ABC 中，若cosA — 2 .3 2 sin B 0 A, B 均为锐角，

求三角函数值域及最值的常用方法+练习题

求三角函数值域及最值的常用方法 （一）一次函数型 或利用：=+ =x b x a y cos sin )sin(22?+?+x b a 化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）2sin(3)512 y x π =-- +，x x y cos sin = （3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2 π 上的最小值为 1 ． （4）函数tan( )2 y x π =- (4 4 x π π - ≤≤ 且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-?+∞ （二）二次函数型 利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。 （2）函数)(2cos 2 1 cos )(R x x x x f ∈- =的最大值等于43． （3）.当2 0π <

（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解 型如d x c b x a x f ++= cos sin )(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法： ①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值； ②利用万能公式求解； ③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。 例1：求函数sin cos 2 x y x = -的值域。 解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2 x y x = -得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为3 3 -、 33。结合图形可知，此函数的值域是33 [,]33 - 。 解法2：将函数sin cos 2x y x =-变形为cos sin 2y x x y -=，∴22s i n ()1y x y φ+= +由2 |2||sin()|11y x y φ+= ≤+22(2)1y y ?≤+，解得：3333 y - ≤≤，故值域是33 [,]33- 解法3：利用万能公式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x =-得到2 213t y t =--则有2 320yt t y ++=知：当0t =，则0y =，满足条件；当0t ≠，由2 4120y =-≥△，3333 y ?-≤≤，故所求函数的值域是33[,]33-。 解法4：利用重要不等式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x = -得到2 213t y t =--当0t =时，则0y =，满足条件；当0t ≠时， 22 113(3) y t t t t = =---+，如果t > 0，则2223113233(3)y t t t t ==-≥-=---+， x Q P y O

(完整版)三角函数特殊角值表

角度 函数 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 角a 的弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 3π/2 2π sin 0 1/2 √2/2 √3/2 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1 0 cos 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 0 1 tan √3/3 1 √3 -√3 -1 -√3/3 1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°=2 1 ，sin45°=cos45°=22， tan30°=cot60°=33， tan 45°=cot45°=1 正弦函数 sinθ=y/r 余弦函数 cosθ=x/r 正切函数 tanθ=y/x 余切函数 cotθ=x/y 正割函数 secθ=r/x 余割函数 cscθ=r/y 2、列表法： 说明：正弦值随角度变化，即0? 30? 45? 60? 90?变化；值从0 2 1 22 23 1变化，其余类似记忆． 3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时， 则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sin A ＜sin B ；tan A ＜tan B ； cos A ＞cos B ；cot A ＞cot B ；特别地：若0°＜α＜45°，则sin A ＜cos A ；tan A ＜cot A 若45°＜A ＜90°，则sin A ＞cos A ；tan A ＞cot A ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征 正弦、余弦值可表示为 2m 形式，正切、余切值可表示为3 m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七． 30? 1 2 3 1 45? 1 2 1 2 60? 3

特殊三角函数值的求法

日期：2016年11月 在网格中求锐角三角函数的特殊方法 单位：迁安市第三初级中学 编者：张俊萍 审核领导:

1、直角三角形在正方形纸中的位置如图，= sina= cosa= tan 熟记锐角三角函数定义。2.直接根据定义求三角函数值，首先求出相应边的长度，然后代入三角函数公式计算即可。 2题图1题图1 a 则温馨提示：1. 【自学案】 认真读题，理解题意，分析图形。学法指导】：1.【独立思考，解决问题。 2. 与对子进 行交流。 3. 4.学习成果展示。仁 、如图所示，正方形中，tan / 2\2 1 4X 4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点, 2、（2016 ?湖北荆州） Vs 1 2

AOB= /的位置如图所示，则cos3、在正方形中，/ AOBB= /的位置如图所示，则cos4、在正方形中, △ ABC

题图3题图4 5、如图所示，△ ABC 的顶点是正方形网格的格点，贝U sinA 的值为 、 4 * ①I I 1 I k J * * 1 V / ? / ? * B / ? A 8 ? f ? 甲 ■ / f! ■ P | * A L / i G a ? V - ---------- . - r 丄..h * _ ABC 如图放置，则sinB 的值为6、在中，△

5题图题图6 已知福州（2016）如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点.7、ABC 都在格点上，则，O菱形的一个角（/）为60°，AB C tan / O 题图7 的值是

【探究案】：首先要独立思考，试着解答问题，然后与对子交流，讨论后回答。学法指导】 【sinB的值为问题：在正方形网格中，△ ABC如图放置，则

锐角三角函数的解题技巧

锐角三角函数的解题技巧 一、知识点回忆 (一)锐角的三角函数的意义 1、正切 在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比，叫做∠A的正切，记作tanA． 2、正弦和余弦 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即 3、三角函数：在直角三角形中，锐角A的正切(tanA)、正弦(sinA)、余弦(cosA)，都叫做∠A的三角函数． (二)同角的三角函数之间的关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α=1 (2)商数关系： （三）两角的关系 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，任意锐角的正切值与它的余角的正切值的积等于1．即若A+B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1．

(四)特殊锐角的三角函数值 (五)锐角三角函数值解法 1、用计算器 求整数度数的锐角三角函数值． 在计算器的面板上涉及三角函数的键有和键，当我们计算整数度数的某三角函数值时，可先按这三个键之一，然后再从高位向低位按出表示度数的整数，然后按，则屏幕上就会显示出结果． 例如：计算sin44°． 解： 按键，再依次按键． 则屏幕上显示结果为0.69465837． 求非整数度数的锐角三角函数值． 若度数的单位是用度、分、秒表示的，在用计算器计算三角函数值时，同样先按 和三个键之一，然后再依次按度分秒键，然后按键，则屏幕上就会显示出结果． 2、已知三角函数值，用计算器求角度

已知三角函数值求角度，要用到、键的第二功能“sin－1，cos－1，tan－1”和键．具体操作步骤是：先按键，再按键之一，再依次按三角函数值，最后按键，则屏幕上就会显示出结果． 值得注意的是：型号不同的计算器的用法可能不同。 （六）直角三角形的解法 解直角三角形既是初中几何的重要内容，又是今后学习解斜三角形，三角函数等知识的基础，同时，解直角三角形的知识又广泛应用于测量、工程技术和物理之中，解直角三角形的应用题还有利于培养学生空间想象的能力。因此，通过复习应注意领会以下几个方面的问题： 解直角三角形的重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。前者又是复习解直角三角形的难点，更是复习本部分内容的关键。 掌握锐角三角函数和解直角三角形是进行三角运算解决应用问题和进一步研究任意角三角函数的重要基础。因此，解直角三角形既是各地中考的必考内容，更是热点内容。题量一般在4%~10%。分值约在8%~12%题型多以中、低档的填空题和选择题为主。个别省市也有小型综合题和创新题。几乎每份试卷都有一道实际应用题出现。 二、重点难点疑点突破 1、（1）sinA和cosA都是一个整体符号，不能看成sin·A或cos·A． (2)是一个比值，没有单位，只与角的大小有关，而与三角形的大小无关． (3)sinA＋sinB≠sin(A＋B)sinA·sinB≠sin(AB) (4)sin2A表示(sinA)2，cos2A=(cosA)2 (5)0＜sinA＜1，0＜cosA＜1 2、同名三角函数值的变化规律 当角α在0°～90°间变化时，它的正切和正弦三角函数值随着角度的增大而增大； 余弦三角函数值随着角度的增大而减少． 三、解题方法技巧点拨 1、求锐角三角函数的值 例1、(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，若，求cosB，tanB的值．

三角函数特殊角值表

三角函数特殊值 1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°= 21 sin45°=cos45°=2 2 tan30°=cot60°=3 3 tan 45°=cot45°=1 2 30? 1 2 3 1 45? 1 2 1 2 60? 3

说明：正弦值随角度变化，即0? 30? 45? 60? 90?变化；值从0 2 3 1变化，其余类似记忆． 3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时， 则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sin A ＜sin B ；tan A ＜tan B ； cos A ＞cos B ；cot A ＞cot B ；特别地：若0°＜α＜45°，则sin A ＜cos A ；tan A ＜cot A 若45°＜A ＜90°，则sin A ＞cos A ；tan A ＞cot A ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征 正弦、余弦值可表示为 2m 形式，正切、余切值可表示为3 m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七． 巧记特殊角的三角函数值 初学三角函数，记忆特殊角三角函数值易错易混。若在理解掌握的基础上，经过变形，使其呈现某种规律，再配以歌诀，则可浅显易记，触目成诵。 仔细观察表1，你会发现重要的规律。

锐角三角函数的题型及解题技巧

锐角三角函数的题型及解题技巧 锐角三角函数是三角函数的基础，它应用广泛，解题技巧性强，下面归纳出锐角三角函数的常见题型，并结合例题介绍一些解题技巧。 一、 化简或求值 例1 （1）已知tan 2cot 1αα-=，且α是锐角，的值。 （2）化简()()22 sin cos cos sin a b a b αααα++-。 分析 （1）由已知可以求出tan α1tan cot αα=?；（2）先把平方展开，再利用22sin cos 1αα+=化简。 解 （1）由tan 2cot 1αα-=得2tan 2tan αα-=，解关于tan α的方程得 tan 2α=或tan 1α=-。又α是锐角，∴tan 2α=＝ tan cot αα-。由tan 2α=， 得1cot 2α=＝tan cot αα-＝13222 -=。 （2）()()22sin cos cos sin a b a b αααα++-＝ 2222sin 2sin cos cos a ab b αααα+??+＋2222cos 2cos sin sin a ab b αααα-??+＝()()222222sin cos sin cos a b αααα+++＝22a b +。 说明 在化简或求值问题中，经常用到“1”的代换，即22sin cos 1αα+=，tan cot 1αα?=等。 二、已知三角函数值，求角 例2 在△ABC 中，若2 cos sin 02A B ?-+= ??(),A B ∠∠均为锐角，求C ∠的度数。 分析 几个非负数的和为0，则这几个数均为0。由此可得cos A 和sin B 的值，进而求出,A B ∠∠的值，然后就可求出C ∠的值。

求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)

求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A ) 513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB tan A 的值为( ) A B C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A = 5 12 ，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A= 5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ABC 中， 90=∠C ，3cosB=2， AC=52 ，则AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长．

第8题图 A D E C B F 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则c o s ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为 3 2 ，2AC =，则s in B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．4 3 2. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =， AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45 3. 如图6，在等腰直角三角形ABC ?中，90C ∠=?，6AC =，D 为AC 上一点，若 1tan 5 DBA ∠ = ，则AD 的长为( ) A ．2 C ．1 D ．4． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧 圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ）A ． 12 B ．2 C ．35 D ．45 5.如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ． 6.（庆阳中考）如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5 A =，则这个菱形的面积= cm 2 ． 7. 如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A AD = 3 3 16求 ∠B 的度数及边BC 、AB 的长. D A B C

特殊锐角三角函数值

《特殊锐角三角函数值》教学反思 芦庙中心中学刘红伟 在前一段我讲了30度、45度、60度特殊角的三角函数值，它是北师大版九年级数学下册的一节课，在前一节刚讲过正弦、余弦、正切三角函数的定义和求法。现把我对本节课的做法和想法与大家交流一下，希望能得到同行和专家的指点，以期取得更大的进步。 教学目标的设计我是以大纲为指导，要求同学们 1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义；能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小. 2.发展学生观察、分析、发现的能力；培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 3.积极参与数学活动，对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯. 教学重点定为：探索特殊锐角三角函数值的过程，进行这些三角函数值的计算并会比较不同锐角三角函数值大小

在引入时我采用创设情境法，“为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：（1）含30、60度角的直角三角尺（2）皮尺。请你设计一个方案，来测量一棵大树的高度。这样会增强学生的学习欲望，使学生对本节内容更感兴趣。 在讲课中我采用这几种方法： 1、让学生自主研习，独立探究。 （1）观察一副三角尺，其中有几个锐角？他们分别等于多少度？ （2）sin30度等于多少呢？你是怎样得到的？cos30度呢，tan30度呢？ 2、让学生合作学习、生生互动 （1）请同学们完成下表：30°、45°、60°角的三角函数值（表格略） （2）观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢?第二列、第三列呢？ （3）同桌之间可互相检查一下对30°、45°、60°角的三角函数值的记忆情况.

高中三角函数最值问题的一些求法

高中三角函数最值问题的一些求法 关于()f x ω?+型三角函数式的最值，可以由三角函数的性质直接求出，如 sin(),11y x y y ω?=+==-最大最小，； cos(),11y x y y ω?=+==-最大最小，； tan y x =与cot y x =在定义域内无最值。 一、直接应用三角函数的定义及三角函数值的符号规律解题 例1：求函数y ＝ x x x x x x x x cot | cot ||tan |tan cos |cos ||sin |sin +++的最值 分析：解决本题时要注意三角函数值的符号规律，分四个象限讨论。 解： （1）当x 在第一象限时，有sin cos tan cot 4sin cos tan cot x x x x y x x x x = +++= （2）当x 在第二象限时，有sin cos tan cot 2sin cos tan cot x x x x y x x x x =+++=---- （3）当x 在第三象限时，有sin cos tan cot 0sin cos tan cot x x x x y x x x x =+++=-- （4）当x 在第四象限时，sin cos tan cot 2sin cos tan cot x x x x y x x x x =+++=---- 综上可得此函数的最大值为4，最小值为-2. 二、直接应用三角函数的有界性（sin 1,cos 1x x ≤≤）解题 例1：（2003北京春季高考试题）设M 和m 分别表示函数cos 13 x -1 y=的最大值和最小值，则M m +等于（ ） （A ） 32 （B ）32-（C ） 3 4-（D ）-2 解析：由于cos y x =的最大值与最小值分别为1,-1,所以,函数cos 13 x -1 y=的最大值与最小值分别为 32-,34-,即M m +＝32-+（3 4 -）=-2,选D. 例2：求3sin 1 sin 2 x y x +=+的最值（值域） 分析：此式是关于sin x 的函数式，通过对式子变形使出现12sin 3 y x y -=-的形式，再根据sin 1x ≤来求解。 解：3sin 1 sin 2 x y x += +，即有sin 23sin 1sin 3sin 12y x y x y x x y +=+?-=-

求三角函数最值的四种方法

求三角函数最值的四种方法 解决这一类问题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性 如有界性等 ，另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数 二次函数等 最值问题.下面介绍几种常见的三角函数最值的求解策略 1．配方转化策略 对能够化为形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 或y ＝a cos 2 x ＋b cos x ＋c 的三角函数最值问题，可看作是sin x 或cos x 的二次函数最值问题，常常利用配方转化策略来解决． [典例1] 求函数y ＝5sin x ＋cos 2x 的最值． [解] y ＝5sin x ＋()1－2sin 2x ＝－2sin 2x ＋5sin x ＋1＝－2? ????sin x －542＋338. ∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1，即x ＝2k π－π2，k ∈Z 时， y min ＝－2×8116＋338＝－6；当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y max ＝－2×116＋338＝4. [题后悟道] 这类问题在求解中，要注意三个方面的问题：其一要将三角函数准确变形为sin x 或cos x 的二次函数的形式；其二要正确配方；其三要把握三角函数sin x 或cos x 的范围，以防止出错，若没有特别限制其范围是[－1,1]． 2．有界转化策略 对于所给的三角函数能够通过变形化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)等形式的，常常可以利用三角函数的有界性来求解其最值．这是解决三角函数最值问题常用的策略之一． [典例2] 设函数f (x )＝4cos ? ????ωx －π6sin ωx －cos(2ωx ＋π)，其中ω>0. 求函数y ＝f (x )的最值． [解] f (x )＝4? ?? ??32cos ωx ＋12sin ωx sin ωx ＋cos 2ωx ＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin 2ωx ＋1， 因为－1≤sin 2ωx ≤1， 所以函数y ＝f (x )的最大值为3＋1，最小值为1－ 3.

三角函数最值问题的十种常见解法

- - 总结 三角函数最值问题的十种常见解法 福州高级中学 陈锦平 三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高.解决三角函数最值这类问题的基本途径，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题.下面介绍几种常见的求三角函数最值的方法： 一．转化一次函数 在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法. 例1．求函数2cos 1y x =-的值域 [分析] 此为cos y a x b =+型的三角函数求最值问题， 设cos t x =，由三角函数的有界性得[1,1]t ∈-，则21[3,1]y t =-∈- 二. 转化sin()y A x b ω?=++(辅助角法) 观察三角函数名和角，先化简，使三角函数的名和角统一. 例2．（2017年全国II 卷）求函数()2cos sin f x x x =+的最大值为 . [分析] 此为sin cos y a x b x =+型的三角函数求最值问题，通过引入辅助角公式把三角函数化为sin()y A x B ω?=++的形式，再借助三角函数图象研究性质，解题时注意 观察角、函数名、结构等特征．一般可利用|sin cos |a x b x +求最值. ()f x ≤ 三. 转化二次函数(配方法) 若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，且它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理.