数学建模一周论文
野兔生长问题
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2009年1月4日
摘要：
通过观察表格中野兔在连续九年的数量，利用所学数学知识分析得出野兔的生长规律，从而预测出第十年野兔的数量。
分析了野兔种群数量的统计结果，假设野兔在十年内生长环境变化稳定，但是数据显示这是不可能的，因为在两个数据点处出现了异常的增长现象。在异常的自然条件下野兔的生长状况是不符合正常的生长律的。因此我们先排除这两个异点，并试图揭示剩下的几组数据兔种群数量变化的规律。
模型里所给出的主要微分方程中有两个参数需要给出。在给参数的过程中我们发现某些量值之间存在着线性函数关系式，利用计算机我求出了线性比例因子从而确定了所给出的参数。
在模型求解过程中，我们发现，对 logistic 模型赋予不同的参数会导模型的解在一定程度上的变化。于是我们想知道参数在一定范围内的改变到底对解函数产生多大的影响？这个问题的探讨实际上是对解的可靠性的探讨，对题本身有较强的实践意义。我们最终把这个问题归结为含参数的初值问题的微方程对初值的依赖性与对参数的依赖性问题。在对问题的探讨中，我们避免了纯粹的数学理论，而是利用计算机给出模型的解函数在不同的初值条件下、不同参数下的表现，并利用Matlab绘制成图像，直观且清晰地反映出模型的解函数对参数与初值不同选取的表现。
在解决这个问题的途中，我们还利用到了计算方法课程所学到的知识，通过观察数据，利用插值法描出图像，近似得出函数，再得出第十年的野兔数量。
野兔生长模型
1、问题重述
这是一个关于野兔生长状态的模型。我们知道研究一定空间内某一生物物种的种群数量随时间变化的规律是很有实践意义的。通过发现规律，我们可以更有效的了解一个种群发展变化的趋势、种群对自然世界的依赖程度和种群自身的成长结构，对人类了解并掌握自然规律，利用与控制生物资源有较大意义。
人类自身作为地球上的一个物种，也在不断的探求自己的命运。由于地球上的资源与空间有限，人类自身的种群数量（即通常意义上的人口）就变得很重要了。事实上，早在 18 世纪末，马尔萨斯(Tho m as M althus,1766—1834)就发表了著作《人口原理》，从此激发了人们研究人口增长趋势的兴趣。马尔萨斯在他的这本书里提出了人口按指数增长的模型，并断言人口数量最终将超出食物所能提供的容纳能力。虽然马尔萨斯模型的假设忽略了人口增长中的一些重要因素，但是这个模型作为以后改进模型的基础是很有价值的。从这个意义上说，我们去探索野生动物的生长规律，正如同探索人类自身的种群数量，即人口增长规律一样，显得很有价值。
我们得到的数据是某地区野兔的数量在连续十年中的统计结果，如下表：
时间：年数量：十万
我们要做的是通过分析所给数据，得出野兔生长的规律，即想办法用一个关于时间的函数来表达野兔的数量。并预测 T=10 时野兔的数量。
2、问题的分析
增长百分比
/ 131.97% 94.
36% 53.17%
-13.04% -7.33% -4.26%
41.91% 18.23% 7.19%
我们先假设在一个小的单位时间间隔内新出生的兔子百分比为 b ，类似的兔 子死亡率的百分比为 c 。换句话，新的兔子数 P(t+Δ t)是原有兔子数 P(t)加上
在Δ t 时间内新增兔子数减去死亡兔子数，即
P(t+Δ t)=P(t)+bP(t)Δ t-cP(t)Δ t
或
这样我们把问题化归到如何确定 k 。一旦 k 被确定，通过已知数据，我们解这个
微分方程，就可以得到一个野兔数量随时间变化的函数了。 我们考虑（式 2-1）中度量增长率的比例因子 k 是兔子数的函数而不是常数。（否则当 k 是常数时我们知道兔子数将成指数增长，这是令人难以置信、不切实际的。）考虑到在一定区域内，兔子的生存空间是有限的 ，食物是有限的，且存在种间竞争与种内竞争，结合生物学理论可知兔子数量必然趋于某个饱和值，是有限的。我们假设 这个饱和值是M ，则合理的猜测是 随着兔子数的增长并逐渐接近饱和值 M 时，比率 k 逐渐减小。关于 k 的一个简单情形是线 性的子模型
k=r(M -P), r>0
其中 r 是常数，代入(式 2-1)得到
(式2-2)
P(t0)=p0
求解这个微分方程我们得到：
这个模型最早是由丹麦生物数学家 Pierre-Francois Verhulst(1804--1849) 提出的，称为 logistic 增长模型。在下面的模型求解部分，我们将大量使用该 函数来模拟野兔生长状态。当然(式 2-3)的得出依赖着假设 k 是一个简单的线性
子模型，我们将在模型的改进部分对此作一些讨论。
3、模型的假设
对模型的假设，我们在问题的分析中已经提到，为严谨在此完整列出。
野生兔的生活空间是有限的，食物是有限的，存在着种间竞 争
与种内竞争。因此野生兔的数量将趋于一个稳定的饱和值。
假设除了 T=4、T=5 这两年外，野生兔的生长条件（包括天敌，气侯食物，空间，雌雄比例等）是近似的。 假设统计数据是可靠的。
度量野兔数量增长率的比例因子 k 是线性的子模型。 4、符号说明
在问题分析部分已出现并说明了一些符号，为严谨这里完整列出。 M: 野兔种群数量的饱和值 P(t)或 P: 野兔种群数量随时间的函数 k: 增长率比例因子
pi ： 时间为 T=i 时所对应的野兔数量统计值
C 1,C 2 ,C ： 积分得到的常数 T ，t ： 时间变量 m ： 表示斜率
C 1 C 2 C 3 M 1 M 2 M 3
5、模型的求解
对种群饱和值的估计 ：
为了求出模型的解函数（式 2-2），我们是需要估计出种群数量的饱和值 M 与另一个参数 r 。我们有下面的分析： 由（式 2-2）可以得到：
? =
r (M - p )P
dP
dt (t ≤
t ≤
t )
P (t )
=
p Me
rM (t -t )
M - p + p e
rM (t -t )
（式 2-3）
P ,P ,
P ,P ,
,P ,P ,P ,P ,P
P ,P
,P ,P
,P ,P
P(M-P) （式 5-1）
通过初等运算（式 5-1）改写为
dP/P+dP/(M-pP)=rMdt
(式5-2）
对上式两边积分，得到：
lnP-ln(M -P)=r M t+C （C 为常数）(式5-2）
由（式5-3）知
那么如果我们事先估计并确定 M ，再在图形中画出若干离散的点其中 t=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，就可以利用 Matlab 的直线拟合，求出斜率 m=rM ，从而确定 r 。
M 估计为10（十万）时，ln(p/(M-p))=Mrt+C 的函数曲线
时间（年）图 5-1
如图 5-1 所示，图形分为两段，第一段（第 0 年到第 3 年）和第二段（第 6 年
到第 9 年）确实近似于直线。并且得到：两条的直线斜率都为 m=1，r=0.1
M 估计值为9.9（十万）时，ln(p/(M-p))=Mrt+C 的函数曲线 函数曲线在0-3年的分支，参数为C1
ln = rMt
+ C -3 2 关于 t 的函数图形是一条直线，斜率为 m =r M 。 （2） M =9.9（十万），
ln =
rMt
+
C 图形：
时间（年）
图 5-2
斜率 m =1.007 ，r=0.10172（第 0 年到第 3 年）； 斜率 m =1.0812，r=0.10921（第 6 年到第 9 年） （3） M =10.1（十万），
M 估计值为10.1（十万）时，ln(p/(M-p))=Mrt+C 的函数曲线
函数曲线在0-3年的分支,参数为C1 函数曲线在6-9年的分支,参数为C2
斜率 m =0.99326， r=0.0983 ；斜率 m =0.93706， r=0.09278。接下来我们让 M 分别取这三个值时，利用式（2-2）估计出的不同年份的野兔数 量和实际统计数据之间的偏差情况。
用（式 2-2）对各年份野兔数量作出计算及比较
（1） M=10（十万）时：
式（2-2）在从第 0 年到第 3 年就可以变为：
t
函数曲线在6-9年的分支，参数为C2
0-4年logistic函数曲线（第零年为初值）
图 5-4
（2）M=9.9（十万）时，
用类似于（1）的方法，我们得到表格：
表 5-2
从表格中可以看出：第十年的野兔数量为978882 只。
同样，作出此时的对比图形：
野兔的种群饱和值为9.9（十万）的曲线对比
（3）M=10.1（十万），用类似于（1）的方法，得到的表格：
5-2
从表格中看出：此时，第十年的野兔数量为 989129 只这个时候的对比图形：
图（5-5）
模型求解的结论
从图形（图 5-4、图 5-5、图 5-6）中可以看出，除了第 4 年和第 5 年之外，
函数曲线和原始数据的连线吻合的非常好，因此，我们认为野兔的生长规律可以用函数（式2-2）来模拟。同时得到，第四年和第五年的野兔增长出现异常现象。
根据图形（图 5-4、图 5-5、图 5-6）的对比和表格（表 5-1、表 5-2、表5-3）
中数据的对比，以及最后表格 5-4 的结果，可以得出：取野兔种群的饱和值M 为 10（十万）时，经计算得到的数据与统计数据之间的百分误差最小，因此，我们根据M 为 10（十万）这一情形对第十年野兔的数量作出预测，得到预测值
为 984194 只。
6、模型的误差分析
这里我们需要讨论几个造成模型误差的问题，它们都很有实际意义。一个是模型对初值的依赖性问题，另一个是模型对参数选取的依赖性问题。
先说明它们的意义。
在建立模型时，我们分别利用了 T=0 与 T=6 两年的数据作为微分方程（式
2-2）的初值而求得了方程的解，有两个自然的疑问是：
（问题 6-1-1）
如果我们选取不同的数据点作为模型的初值，所得到的函数会有多大的差
别？
（问题 6-1-2）
我们曾假设问题所给的数据是准确的，但是数据是由测量获得的，测量难免有误差，那么测量的微小误差又会导致模型的解函数有怎样的变化？
以上的疑问都源于模型中微分方程（式 2-2）对初值的依赖性。
在模型求解中我们也看到了对种群数量的饱和值的不同估计会导致解函数
的变化，如下表：
表6-1
于是我们想知道，
（问题 6-2）
对种群数量饱和值的不同估计会对模型的解产生多大的影响？
从（表 6-1）的数据已经看到M 的不同取值对预测野兔第十年的种群数量所产生的相对误差似乎不是太大。事实上，M 作为微分方程（式 2-2）的重要参
数，我们可以把上述问题归结为微分方程对参数的依赖性问题。
注：r 也是（式 2-2）的参数，但在这里我们并不打算分析模型的解对 r 的依赖
性，因为在模型求解中我们已经看到 r 的确定在很大程度上依赖于M，因此在
这里只要抓住问题的主要影响因素M 就好了。
下面分别说明之。
这里只对从 T=6 到 T=9 这部分的模型函数作上述讨论，模型函数另一支的讨
论是类似的。
我们逐个回答上面提出的问题。
现选取不同的数据点作为（式 2-2）的初值，我们得到四条曲线，其初值点
分别为（6,5.32807） ,(7,7.56101),(8,8.93920),(9,9.58170)，并把它们
会置于同一张图上，如下图：
研究不同的初值点对模型解的影响（图中有四条曲线）
图6-1
我们看到，四条曲线几乎重合，从图形直观上，很难分辨它们。于是我们认
为选取不同的初值点对模型的解几乎没有影响，这回答了（问题6-1-1）。 下面假设统计数据存在误差，为明确，我们假设所给初值有误差，并假设误差为正负 0.25000 （十万）只（误差百分比约为 4.69%）。于是分别以点（6,5.32807+0.25000）, （6,5.32807）, （6,5.32807-0.25000）为初值，
得到三个模型的解函数，分别记为
大的容忍度，即一定范围内的统计误差不会导致模型的解函数发生较大的变化，解函数对初值的灵敏度较低，稳定性较好。同样对于选取初值点为 T=7、8、9
时，都有类似的结论，这回答了(问题 6-1-2)
现在考虑M 的不同取值对模型的解曲线的影响。我们把M=9.9,10.0,10.1（十万只）所对应模型函数绘制于同一张图像中，得到下图
P
这样可以看出，模型的解函数对参数M 的灵敏度低，即在一定的范围内，M 的变化对解函数的影响较小，模型函数的稳定性好。这回答了（问题6-2）。 7、模型的改进（引用文献[3]内容）
由于种群增长受资源的限制，因此其增长是有限的。 Logistic 方程假设种群增长率降低的影响是最简单，即随密度上升而逐渐地，按比例地减小。如M 为环境容纳量，当种群每增加一个个体时就对增长率降低产生了 1/M 的影响，这样对密度制约激励的效应就成了线性的，也可以理解为若种群中有 P 个个体，就利用了 P/M 部分的空间，而可利用的只有（1-P/M）部分，但是许多种群的
增长规律中都呈现出对密度制约效应的非线性趋势。而且前面的模型中没有考虑环境因子对种群增长的影响，因此在这里，给出一个密度制约效应成非线性且考虑环境因子对种群增长影响的 Logistic 新模型：
Logistic 新模型结构比指数模型结构增加了修正项它表示剩余空间或未利用增长机会既受到种内竞争特性对瞬时种群增长量的影响还受到环
境对种群增长的影响，参数 k 表示环境对种群增长的影响，其值大小可以用来反
映环境对种群的影响程度。当 k>1，表示环境对种群增长起抑制作用；当 k<1 时表明环境对种群增长起促进作用，参数θ 为种内竞争特性参数，其值满足
0 < θ < +∞ ，当θ < 1时，模型（式 7-1）呈下凹增长趋势；当θ >1 时，模型（式
7-1）呈上凸趋势，当θ → +∞ 时，种群呈负增长趋势；θ → 0 时，模型（式 7-1）趋向于固定密度效应的指数增长；
当 k=1、θ =1 时，模型（式 7-1）即为 Logistic 模型。同时，这样一个新的
模型还可以判断出在 T=4 和 T=5 时，模型中的参数 k>1，即环境抑制种群增长。
8、模型的评价与推广
模型评价
一开始我们根据生物学的知识，对种群数量的饱和值取了一个估计值，而事
实上，我们在估计了M=10 左右的几个值后，又分析了不同的 M 值对模型解的影响，从而得出我们对 M 值的估计具有一定的现实性和真实性。 在考虑初值误差对模型解影响过程中，我们采用常微分知识，考虑解对初值的依赖性和解对参数的依赖性，这种思路对于实际研究具有极其重大的现实意义。
该模型的使用范围是：在一定的空间区域内，不考虑环境的重大变化对生物种群的影响，而是按照该区域的一般自然规律。同样，这也是本模型的不足
之处，因为现实中，我们研究的生物种群可能对环境的依赖性很强，那么环境的影响就是一个重要的因素，但是我们也意识到要用一个很具体的模型，该模型考虑现实中的每一个因素，并且表示这些因素的表达式又是简单的数学式，要找这样的模型是很困难的，而我们采用的模型在绝大部分同类问题中所体现的优越性是易见的，并且我们在以上的分析中也给出了相对较好的（式 7-1）模型。
模型的推广
这个模型是针对一定空间区域内，在一般规律下，对生物种群数量随时
间的变化范围作出的估计。这种估计对于研究某一区域内的种群有直接
的好处，也利于人类研究人类自身。
对于一定区域内的生物种群，如果考虑种群生存环境的一般现象，我们
可以从事实上看到我们应用的模型对于该类问题的解决有重大的预见
效
果，参见表5-1。
现在，在关于生物种群数量的研究中，有很多种方法，而logistic 模型对
于这类与现实搭配的事实更趋于成功。由以上的分析，我们看到了该模
型对于相对较小误差的测量，是可以得到相当准确的预测值的。于是，我们认为，在环境不发生重大改变的情况下，研究生物种群数量与时间
的关系就可以采用我们在解决本问题时的解法。
参考资料：
[1] Frank R. Giordano, Maurice D. Weir, William P. Fox, A First Course in
Mathematical Modeling, (Third Edition), 北京：机械工业出版社，2005.1
[2] 郑阿奇等，MATLAB 实用教程，北京：电子工业出版社，2004.5
[3] 洪伟，吴承祯等，对种群增长模型的改进，应用与环境生物学报，2004.10
附录
****************注意：运行时，每个程序都是独立的**************
程序说明：
程序二：饱和值M 估计为9.9（十万）时，仿造程序一计算相应表达式中r 值和
函数图形的绘制。
程序三：饱和值M 估计为10.1（十万）时，仿造程序一计算r 值和函数图形的
绘制。
（这里，图形是分段进行绘制的，第一段为第零年到第四年，第二段为第五年到第十一年），同时将这个函数图形与统计的数据连线进行对比作出对比曲线。并且计算出第十年的野兔数量。，
程序五：M 估计为9.9（十万）时，仿照程序四，作出相应的曲线和计算出第十
年的野兔数量。
程序六：M 估计为10.1（十万）时，同样仿造程序四，作出相应的曲线和计算出第十年的野兔数量。
程序七：在最后预测第十年野兔数量时，研究模型的解对初值点（第六年对应的统计量）统计误差的依赖性的程度，即在同一个坐标系中，绘制出三条
曲线，其中一条为以第六年的统计量为初值，其他两条中有一条的初值
多于第六年的统计量，另一条少于第六年的统计量。同时计算出曲线之
间的最大差值。
程序八：在最后预测第十年野兔数量时，研究不同的初值点的选取对模型的解的影响程度，即分别以第六年，第七年，第八年，第九年的统计量作为函
的初值，并且在同一个坐标系中绘制四条曲线。
程序九：预测第十年野兔数量时，研究不同的M 值对模型的解的影响程度，即在同一个坐标系中绘制出M 分别取9.9，10，10.1 的曲线。同时计算
出
曲线之间的最大差值。
具体程序：（注：每个附录都与相应的程序对应，即附录一对应与程序一）
附录一
T=0:9;%第零年到第九年的时间段%
T1=0:3;%前四年%
T2=6:9;%后四年%
P=[1 2.31969 4.50853 6.90568 6.00512 5.56495 5.32807 7.56101 8.9392 9.5817];%十年中每年对应的数据%
P1=[1 2.31969 4.50853 6.90568];%前四年每年对应的数据%
P2=[5.32807 7.56101 8.9392 9.5817];%后四年每年对应的数据%
A1=P1./([10]-P1);%接下来的是表示取M M为种群的饱和值）为10，其中符号“1”
为前四年对应的数据，“2”后四年的数据%
X1=log(A1);
p1=polyfit(T1,X1,1);
p1x=poly2str(p1,'x');
p1v=polyval(p1,T1);
p1,p1x
A2=P2./([10]-P2);%2为取后四个数据%
X2=log(A2);
p2=polyfit(T2,X2,1);
p2x=poly2str(p2,'x');
p2v=polyval(p2,T2);
p2,p2x
plot(T1,X1,'dk',T1,X1,T1,p1v,T2,X2,'dk',T2,X2,T2,p2v)
附录二
T=0:9;%第零年到第九年%
T1=0:3;%第零年到第三年%
T2=6:9;%最后四年%
P=[1 2.31969 4.50853 6.90568 6.00512 5.56495 5.32807 7.56101 8.9392 9.5817];%从第零年到第九年每年相应的野兔数%
P1=[1 2.31969 4.50853 6.90568];%前四年每年的野兔数量%
P2=[5.32807 7.56101 8.9392 9.5817];%后四年每年的野兔数量%
A1=P1./([9.9]-P1);%接下来的是表示取M（M为种群的饱和量）为9.9，其中符号
“1”表示前四年的情况，“2”表示后四年的情况%
X1=log(A1);
p1=polyfit(T1,X1,1);
p1x=poly2str(p1,'x');
p1v=polyval(p1,T1);
p1,p1x
A2=P2./([9.9]-P2);%2位后四年的情况%
X2=log(A2);
p2=polyfit(T2,X2,1);
p2x=poly2str(p2,'x');
p2v=polyval(p2,T2);
p2,p2x
plot(T1,X1,'dk',T1,X1,T1,p1v,T2,X2,'dk',T2,X2,T2,p2v)
附录三
T=0:9;%第零年到第九年的时间段%
T1=0:3;%前四年%
T2=6:9;%后四年%
P=[1 2.31969 4.50853 6.90568 6.00512 5.56495 5.32807 7.56101 8.9392 9.5817];%第零年到第九年每年相应的野兔数量%
P1=[1 2.31969 4.50853 6.90568];%前四年每年相应的野兔数量%
P2=[5.32807 7.56101 8.9392 9.5817];%后四年每年相应的野兔数量%
A1=P1./([10.1]-P1);%接下来的是表示取M M为种群的饱和值）为10.1，其中“1”
为前四年的数据，“2”为后四年的数据%
X1=log(A1);
p1=polyfit(T1,X1,1);
p1x=poly2str(p1,'x');
p1v=polyval(p1,T1);
p1,p1x
A2=P2./([10.1]-P2);%2为取后四个数据%
X2=log(A2);
p2=polyfit(T2,X2,1);
p2x=poly2str(p2,'x');
p2v=polyval(p2,T2);
p2,p2x
plot(T1,X1,'dk',T1,X1,T1,p1v,T2,X2,'dk',T2,X2,T2,p2v)
附录四
T=0:9;%全部时间段的数组%
P=[1 2.31969 4.50853 6.90568 6.00512 5.56495 5.32807 7.56101 8.9392 9.5817];%全部的给出数据%
t1=0:0.05:4;
B1=10.*exp(t1);
C1=[9]./B1;
D1=C1+[0.1];
E1=[1]./D1;
t2=5:0.05:11
B2=exp([t2]-[6]);
C2=[53.2807].*B2;
D2=[4.67192]./C2;
E2=[0.1]+D2;
F2=[1]./E2;
plot(t1,E1,t2,F2,T,P,'dk',T,P)
附录五
T=0:9;%全部时间段的数组%
P=[1 2.31969 4.50853 6.90568 6.00512 5.56495 5.32807 7.56101 8.9392 9.5817];%全部的给出数据%
t1=0:0.05:4;
A1=[1.007].*t1;
B1=exp(A1);
C1=[9.9].*B1;
D1=[8.9]./C1;
E1=D1+[1/9.9];
F1=[1]./E1;%用逻辑斯蒂函数估计出从第一年到第四年各个时间段的野兔数量% t2=5:0.05:11;
G2=t2-[6];
A2=[1.0812].*G2;
B2=exp(A2);
C2=[9.9*5.32807].*B2;
D2=[4.57192]./C2;
E2=D2+[1/9.9];
F2=[1]./E2;%用逻辑斯蒂函数估计出从第五年到第十一年各个时间段的野兔数量%
plot(t1,F1,t2,F2,T,P,'dk',T,P)%在同一个坐标中作出前五年的逻辑斯蒂函数图形和后六年的逻辑斯蒂函数图形%
附录六
T=0:9;%全部时间段的数组%
P=[1 2.31969 4.50853 6.90568 6.00512 5.56495 5.32807 7.56101 8.9392
9.5817];%全部的给出数据%
t1=0:0.05:4;
A1=[0.99326].*t1;
B1=exp(A1);
C1=[10.1].*B1;
D1=[9.1]./C1;
E1=D1+[1/10.1];
F1=[1]./E1;
t2=5:0.05:11;
G2=t2-[6];
A2=[0.93706].*G2;
B2=exp(A2);
C2=[10.1*5.32807].*B2;
D2=[4.77192]./C2;
E2=D2+[1/10.1];
F2=[1]./E2;
plot(t1,F1,t2,F2,T,P,'dk',T,P)
附录七
x=5.32807;
t1=5:0.05:11
B1=exp([t1]-[6]);
C1=[10*x].*B1;
D1=[10-x]./C1;
E1=[0.1]+D1;
F1=[1]./E1;
y=5.57807;
B2=exp([t1]-[6]);
C2=[10*y].*B2;
D2=[10-y]./C2;
E2=[0.1]+D2;
F2=[1]./E2;
z=5.07807;
B3=exp([t1]-[6]);
C3=[10*z].*B3;
D3=[10-z]./C3;
E3=[0.1]+D3;
F3=[1]./E3;
X1=F2-F1;
X2=F1-F3;
x1=max(X1);
x2=max(X2);
x1,x2
plot(t1,F1,6,F1(21),'dk',t1,F2,6,F2(21),'dk',t1,F3,6,F3(21),'dk')
野兔生长问题 摘要 根据题目，野兔生长属自然范畴，若在生存条件良好，且无外力干扰的情况下，其种群数量是呈对数型增长的，从著名的斐波纳契数列解决兔子生长问题也可以看出，兔子的生长，呈递增的状态。可由题目条件可知，野兔生长并不是处于理想的情况下的，中间有递减的情况，考虑到自然的各种原因，诸如，天敌的捕杀，自然灾害，疾病，生存地的减少等。 对于这种种群生态学问题，我们可以用Logistic（逻辑斯蒂方程）模型拟和多项式拟合来模。Logistic模型是种群生态学的核心理论之一。它可以用来描述种群生长规律，利用它可以表征种群的数量动态。用多项式拟合可以大致模拟预测未来的兔子数量。 之所以选择该模型来研究野兔生长问题，是因为，该模型考虑并概括了，种群发展所遇到的各种外界条件，也就是说，它模拟了真实情况。通过建立Logistic模型，我们小组得出T=10时，野兔数量为9.84194（十万）只。该结果比较符合客观规律。 利用Logistic模型可以表征种群的数量动态；如鱼类种群的增长，收获与时间关系的确定。描述某一研究对象的增长过程如生态旅游区环境容量的确定，森林资源的管理以及耐用消费品社会拥有量的预测、国民生产总值的预测等；也可作为其它复杂模型的理论基础如Lotka-Volterra两种群竞争模型；以上的大多数的工作都是拿逻辑斯蒂模型来用，但也由此可看出逻辑斯蒂方程不管在自然科学领域还是在社会科学中都具有非常广泛的用途。 关键字：Logistic模型生态学 MATLAB程序 问题重述 野兔生长问题。首先，野兔是生长在自然环境中的。自然很复杂，存在着许多影响种群发展的因素。我们知道，假如给野兔一个理想的环境，野兔数量是呈J型增长的。现实情况中，种群一般是呈S型增长的，从题中表格看出，野兔的数量并不是单一地增长，T=3，6.90568；T=4，6.00512；T=5，5.56495；T=6，5.32807。第四年到第七年，这三年野兔的数量不增反降，说明其间有影响野兔生长的因素存在。我们探讨了其中的因素： （1），兔子内部因素，竞争，雄雌比利失去平衡，老化严重等。 （1），自然灾害，比如说草原火灾，使野兔生长环境遭到破坏；再如气候反常，使野兔的产卵，交配受影响。 （2），天敌的捕食，狼，狐狸等天敌大量地捕食使野兔生存受到威胁。 （3），疾病的侵扰，野兔种群中，蔓延并流行疾病，必然使野兔存活率下降。。（4），人类的影响，城市扩建，使其栖息地面积减少；捕杀。
1. 什么是数学模型与数学建模 简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。 具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。 更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。 数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。 2.美国大学生数学建模竞赛的由来： 1985年在美国出现了一种叫做MCM的一年一度大大学生数学模型（1987年全称为Mathematical Competition in Modeling,1988年改全称为Mathematical Contest in Modeling,其所写均为MCM）。这并不是偶然的。在1985年以前美国只有一种大学生数学竞赛（The william Lowell Putnam mathematial Competition,简称Putman(普特南）数学竞赛），这是由美国数学协会（MAA--即Mathematical Association of America的缩写）主持，于每年12月的第一个星期六分两试进行，每年一次。在国际上产生很大影响，现已成为国际性的大学生的一项著名赛事。该竞赛每年2月或3月进行。 我国自1989年首次参加这一竞赛，历届均取得优异成绩。经过数年参加美国赛表明，中国大学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的。为使这一赛事更广泛地展开，1990年先由中国工业与应用数学学会后与国家教委联合主办全国大学生数学建模竞赛（简称CMCM），该项赛事每年9月进行。
----------------------------精品word 文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 试 题 说 明 1.本次数学建模周共有如下十五道题。每支队伍（2-3人/队）必须从以下题中任意选取一题，并完成一篇论文，具体要求参阅《论文格式规范》。 2.指导老师会根据题目的难度对论文最后的评分进行调整。 3.题目标注为“A ”的为有一定难度的题目，选择此题你们将更有可能得到高分。 （一）乒乓球赛问题 (A) A 、 B 两乒乓球队进行一场五局三胜制的乒乓球赛，两队各派3名选手上场，并各有3种选手的出场顺序（分别记为123,,ααα 和123,,βββ）。根据过去的比赛记录，可以预测出如果A 队以i α次 序出场而B 队以 j β次序出场，则打满5局A 队可胜ij a 局。由此得矩阵 () ij R a =如下： （1） 根据矩阵R 能看出哪一队的实力较强吗？ （2） 如果两队都采取稳妥的方案，比赛会出现什么结果？ （3） 如果你是A 队的教练，你会采取何种出场顺序？ （4） 比赛为五战三胜制，但矩阵R 中的元素却是在打满五局的情况下得到的，这样的数据处理和预测方式 有何优缺点？ （二）野兔生长问题 时野兔的数量。 （三）停车场的设计问题 在New England 的一个镇上，有一位于街角处面积100?200平方英尺的停车场，场主请你代为设计停车车位的安排方式，即设计在场地上划线的方案。 容易理解，如果将汽车按照与停车线构成直角的方向，一辆紧挨一辆地排列成行，则可以在停车场内塞进最大数量的汽车，但是对于那些缺乏经验的司机来说，按照这种方式停靠车辆是有困难的，它可能造成昂贵的保险费用支出。为了减少因停车造成意外损失的可能性，场主可能不得不雇佣一些技术熟练的司机专门停车；另一方面，如果从通道进入停车位有一个足够大的转弯半径，那么，看来大多数的司机都可以毫无困难地一次停车到位。当然通道越宽，场内所容纳的车辆数目也越少，这将使得场主减少收入。 （四）奖学金的评定 (A) 背景 A Better Class (ABC)学院的一些院级管理人员被学生成绩的评定问题所困扰。平均来说，ABC 的教员们一向打分较松（现在所给的平均分是A —）,这使得无法对好的和中等的学生加以区分.然而,某项十分丰厚的奖学金仅限于资助占总数10%的最优秀学生,因此,需要对学生排定名次. 教务长的想法是在每一课程中将每个学生与其他学生加以比较,运用由此得到的信息构造一个排名顺序.例如,某个学生在一门课程中成绩为A,而在同一课程中所有学生都得A,那么就此课而言这个学生仅仅属于“中等”。反之，如果一个学生得到了课程中唯一的A ，那么，他显然处在“中等至上”水平。综合从几门不同课程所得到的信息，使得可以把所有学院的学生按照以10%划分等级顺序（最优秀的10%，其次的10%，等等）排序。 问题 （1）假设学生成绩是按照（A+，A, A —, B+ ,…）这样的方式给出的,教务长的想法能否实现?
第１题企业评价 选定20个评价者对某一企业的市场营销效果进行评价，将评价等级分为五等，如表一所示，评价等级的数字表示人数，如“资产负债率”一栏表示有6个人认为很好，9个人认为较好等等，采用适当的方法对该企业属于哪一等级作出评价。 表一企业市场营销效果评价情况 第2题强烈的碰撞 美国国家航空和航天局（NASA）从过去某个时间以来一直在考虑一颗大的小行星撞击地球会产生的后果。 作为这种努力的组成部分，要求你们队来考虑这种撞击的后果，加入小行星撞击到了南极洲的话。人们关心的是撞到南极洲比撞到地球的其它地方可能会有很不同的后果。 假设小行星的直径大约为1000米，还假设它正好在南极与南极洲大陆相撞。 要求你们对这样一颗小行星的撞击提供评估。特别是，NASA希望有一个关于这种撞击下可能的人类人员伤亡的数量和所在地区的估计，对南半球海洋的食物生产的破坏的估计，以及由于南极洲极地冰岩的大量融化造成的可能的沿海岸地区的洪水的估计。
第3题灌溉问题 下图是一个农田图，边表示田埂，周围是灌溉渠，问至少要挖开多少个田埂才能使每一块地都能灌上水？给出挖开田埂的一个方案。 第４题路线设计 现在有8个城市，已知两个城市之间的路费如下表，现在有一个人从A城市出发旅行，应该选择怎样的路线才能刚好每个城市都到达一次又回到A城市，其总路费最少？ A B C D E F G H A B C D E F G 56 35 21 51 60 43 39 21 57 78 70 64 49 36 68 --- 70 60 51 61 65 26 13 45 62 53 26 50 第5题水质评价 按照《中华人民共和国地下水质量标准》，地下水水质共分六个等级（如表一）。现经过抽样得到三个地区的水质状况（如表二），对照标准，试评价他们各属哪一级。 Ⅰ类Ⅱ类Ⅲ类Ⅳ类Ⅴ类
数学建模常用方法 建模常用算法,仅供参考： 1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,是比赛时必 用的方法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用M a t l a b作为工具） 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通 常使用L i n d o、L i n g o软件实现） 4、图论算法（这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备） 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用） 7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法,在很多竞赛题中有应用,当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种 暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的,数据可以是连续的,而计 算机只认的是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用） 10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文 中也应该要不乏图片的,这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用M a t l a b进行处理） 一、在数学建模中常用的方法： 1.类比法 2.二分法 3.量纲分析法 4.差分法 5.变分法 6.图论法 7.层次分析法 8.数据拟合法 9.回归分析法 10.数学规划（线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、目标规划） 11.机理分析 12.排队方法
狐狸野兔问题 摘要：封闭自然环境中的狐狸和野兔存在捕食与被捕食关系，本题旨在通过对自然状态下 两物种数量变化规律的分析，推测加入人类活动（即人工捕获）时两物种数量的变化，进而得出人类活动对自然物种的影响，为人类活动提供参考，使其在自然允许的范围内，促进人与自然和谐相处。 对于问题一，首先建立微分方程，描述两物种数量随时间变化的Volterra 模型 ()0,0,0,021212211>>>>?????? ?+-=-=r r k k xy r y k dt dy xy r x k dt dx 并用解析法求得狐狸与野兔数量的关系 ()()2211k r x k r y x e y e c --= 为直观反映两物种数量随时间的变化规律，选取三组有代表性的初值，利用Matlab 软件绘图。在狐狸和野兔随时间的变化图像中，大致得出其数量呈周期变化，为进一步检验周期性，再用Matlab 绘图做出狐狸与野兔数量的关系图，得到封闭曲线，因此分析结果为：狐狸和野兔的数量都呈现周期性的变化，但不在同一时刻达到峰值。 对于问题二，利用数值解法，令模型中两式皆为0，即求得狐狸和野兔数量的平衡状态。且由问题一中狐狸与野兔数量的关系图知野兔和狐狸的平衡量恰为他们在一个周期内的平均值。 对于问题三，在Volterra 模型基础上引入人工捕获系数。 只捕获野兔时，野兔的自然增长率降低，狐狸自然死亡率增加，改进后模型同问题二处理方式一样，求得平衡状态，得出结论：捕获野兔时，狐狸数量减少，野兔数量反而增加，即Volterra 原理：为了减少强者，只需捕获弱者。 只捕获狐狸时，分析方法与只捕获野兔时相同，并得出野兔狐狸数量皆增加的结论。 问题三为自然界人类捕获生物提供了新的思路，即可以在正常允许范围内，为了达到减少某一种群数量的目的，相应的捕获其食饵，或适度地捕获捕食者使捕食者与被捕食者的数量都有所增加。 关键词：Volterra 模型Matlab 软件解析法周期性
摘要： 在我国的内蒙古大草原，由于各种人为因素对自然生态系统的破坏(如过度放牧、大量消灭草原上的狼群等)，造成草原鼠患问题严重，并由此引发了严重的生态问题。由生物知识知道，鼠患的主要原因是由于人为对自然环境的损坏使得生态失去了平衡，至使老鼠的视线得到了很好的扩充，在加上天敌数量的减少，使得老鼠数目得不到有效控制。为了更好的对其进行有效、合理的控制，并对其各种方案进行有效性分析，本文主要通过对老鼠和天敌数目之间的关系利用微分等数学方法对模型进行了建立，并在最后给出了自己的最好的方案，但本文存在一定的缺点，对数据的要求较高，需要对大量数据进行统计，使得模型过于复杂。 关键字：微分方程、几何型曲线、生态平衡、鼠患 一、问题重述 在我国的内蒙古大草原，由于各种人为因素对自然生态系统的破坏(如过度放牧、大量消灭草原上的狼群等)，造成草原鼠患问题严重，并由此引发了严重的生态问题。 老鼠在草原上是家族式掘洞群居。它们食量巨大，繁殖力强。由于挖掘造成的环境损失远远大于单纯的食草所造成的危害。所有鼠害发生的地方水土流失严重。有的甚至形成了大面积寸草不生的“鼠荒地”。 更糟糕的是至今我们尚未找到能有效控制进而消灭草原老鼠的办法。也就是说，至少以目前的技术力量，我们还不能用人工种草的办法永久地恢复自然植被。因为不当的灭治方法，鼠害日益泛滥，而且越灭越多，因而也就不得不继续灭下去了。但是，能否最终将老鼠赶出草原，目前尚难以作出定论。 控制草原鼠患，现在人们通常采用的有下面几种方法: (1) 灭鼠药现在所用的灭鼠药在杀死老鼠的同时，也杀死了老鼠的天敌。因此，实际的情况是，撒灭鼠药后老鼠的数量反而以几何级数增长。改进的方法是，可以研制无公害的灭鼠药，但这需要一定的时间和大量资金的投入。 (2) 引入老鼠的天敌通过人工喂养和驯化老鼠的天敌，如鹰、狐狸、狼等，将一定数量的老鼠的天敌引入鼠患严重的草原，利用它们控制老鼠的数量。这种方法在短期内有效，但也有一定的问题：一是费用比较高，例如，喂养和驯化一只银狐的费用要上千元；二是引入的数量难以确定，数量太小，难以控制鼠患，数量太多就会引起新的生态问题。 (3) 人工种植牧草鼠类是一种需要开阔视野的生物种，只要有茂密的牧草生长，它们就无法生存。它们的视线之内如果毫无遮拦，便会肆意横行。在草场植被密集的地方，老鼠并不容易打洞，而且在这样的环境中，老鼠遇到天敌追捕时也难以及时躲避，所以数量不会激增。但是，据有关资料显示，青藏高原上几乎所有的人工种草都会在一定时间内自行退化。 问题1、建立恰当数学模型，对上述灭鼠方法的效果进行评估分析，要考虑到短期和长期的效果以及资金投入的问题；
中班语言活动《野兔飞比》设计意图：孩子在成长的过程中总会遇到许多的困难和挫折，在挫折中历练，不断培养自信，将是其成长过程中所获得的财富。《野兔飞比》正是这样一个故事，读完会让孩子明白一个道理：生活中经常会遇到很多困难，只要我们有自信，多想办法，多努力，就一定能克服和战胜它。 活动目标： 1.理解故事内容，尝试看图复述故事。 2.能用较连贯的语言大胆地表达自己的想法。 3.感受故事中野兔飞比自信的力量。 活动重点：理解故事内容，尝试看图复述故事 活动难点：能用较连贯的语言大胆地表达自己的想法。 活动准备：大小图书、头饰“飞比” 活动过程： 一、活动导入 教师出示“飞比”头饰：小朋友们，你们好！我是野兔飞比，告诉你们一个好消息：我在森林赛跑大会上得了第一名！想知道我为什么能得第一名吗？看看故事《野兔飞比》吧，它会告诉你答案。 二、自由阅读 幼儿有序取书，教师提醒幼儿注意观察每幅图中人物的表情。 教师：图中动物的表情、动作怎样？他们举办了一个什么比赛？野兔飞比是怎样获得第一名的？
三、理解阅读 1.观看封2及第1页。教师：飞比的表情是怎么样？猜猜它为什么会有这样的表情？ 2.观看2—3页。教师：小飞比和哥哥谁跑在前，谁跑在后？哥哥们的表情怎么样，他们会说什么？飞比听了表情又如何？ 3.观看4页。教师：飞比去找谁寻求帮助？熊爷爷会说什么？我们一起学着说一说吧？ 4.阅读5-6页。飞比跑过他的哥哥们了吗？他大声对自己说了一句什么话？说一说，你说了这句话有什么感觉？ 5.阅读7-9页。野兔飞比能追上哥哥们了，但是还是跑在最后。面对哥哥们的取笑，飞比的表情如何？猜猜他又大声对自己说了一句什么话？ 6.阅读第10-13页，飞比和哥哥们去参加比赛，飞比一遍又一遍地对自己说了一句什么话？飞比赢得了冠军吗？你觉得他是怎么做到的？ （教师小结） 7.教师讲述一遍故事，幼儿完整欣赏。 四、创意阅读 1.尝试边看图边一起复述故事。 2.讨论交流：你喜欢这个故事吗？你喜欢故事中的哪个角色，为什么？（教师小结）
数学建模实验指导书 数学建模实验项目一 初等数学方法建模 1.养老基金问题 一、 实验目的与意义： 1、练习初等问题的建模过程； 2、练习Matlab 基本编程命令； 二、 实验要求： 3、较能熟练应用Matlab 基本命令和函数； 4、注重问题分析与模型建立，了解建模小论文的写作过程； 5、提高Matlab 的编程应用技能。 三、 实验学时数：3学时 四、 实验类别：综合性 五、 实验内容与步骤： 1.某大学青年教师从31岁开始建立自己的养老基金，他把已有的积蓄10000元也一次性地存入，已知月利率为0.001（以复利计），每月存入700元，试问当他60岁退休时，他的退休基金有多少？又若，他退休后每月要从银行提取1000元，试问多少年后他的基金将用完？ 2. 梯子问题 一幢楼房的后面是一个很大的花园。在花园中紧靠着楼房建有一个温室，温室高10英尺，延伸进花园7英尺。清洁工要打扫温室上方的楼房的窗户。他只有借助于梯子，一头放在花园中，一头靠在楼房的墙上，攀援上去进行工作。他只有一架20英尺长的梯子，你认为他能否成功？能满足要求的梯子的最小长度是多少？ 步骤： 1．先进行问题分析，明确问题； 2．建立模型，并运用Matlab 函数求解； 3．对结果进行分析说明； 4．设计程序画出图形，对问题进行直观的分析和了解（主要用画线函数plot ，line ） 5．写一篇建模小论文。 注：也可自己设计题目如：.贷款助学问题。 贷款购房问题 。自己调查具体情况，设计最优方案。 数学建模实验项目二 数学规划 一、实验目的与意义： 1、认识数学规划的建模过程； 2、认识数学规划的各种形式和解法。 二、实验要求： 1、熟练应用Matlab 、lindo 、lingo 求解工具箱求解数学规划； 2、掌握建立数学规划的方法和步骤； 3、提高Matlab 、lindo 、lingo 的编程应用技能。 三、实验学时数：4学时 四、实验类别：综合性 五、实验内容与步骤： 1、市场上有n 种资产 i s （i=1,2……n ）可以选择，现用数额为M 的相当大的资金作一个时期的投资。这n 种 资产在这一时期内购买i s 的平均收益率为i r ，风险损失率为i q ，投资越分散，总的风险越小，总体风险可用投资的 i s 中最大的一个风险来度量。购买i s 时要付交易费，(费率i p )，当购买额不超过给定值i u 时，交易 费按购买 i u 计算。另外，假定同期银行存款利率是0r ，既无交易费又无风险。 （0r =5%） 已知n=4
系统的描述与数学建模 [摘要]数学建模就是利用数学方法将系统的文字语言描述转化成数学方式表达。由于影响系统的因素多种多样，当用数学表达系统时，我们要求尽可能要使得数学建模既能从本质上反映系统，又能使得系统的数学模型具有简单性。 [关键词]系统的建模数学建模 数学建模就是利用数学方法将系统的文字语言描述转化成数学方式表达。由于影响系统的因素多种多样，当用数学表达系统时，我们要求尽可能要使得数学建模既能从本质上反映系统，又能使得系统的数学模型具有简单性。一个极其复杂的数学模型对于分析系统毫无帮助。 为了说明这种数学建模的方法，我们举一个简单的例子。比如我们研究某一地区人口的健康状况。假定在我们的研究时段内没有人口的自然死亡，按照自然规律人口总是以一定的概率，变成亚健康、或者患上某种轻疾病、或者患上重疾病。在一定的环境和医疗条件下，部分亚健康者和患者会得以康复，这是一种简单运算的系统描述，并没有具体地给出定量表达。为了能用数学的方法表达这个描述，我们按照以下方式将人口分类：（1）健康人。（2）亚健康人。（3）患轻病人。（4）患重病人。 根据上面的关系和一些假定条件，我们可以得到相应的微分方程，至于方程的详细导出我们以后再讨论。这里我们需要指出，前面我们只是一种说明性的举例，在实际建模过程中，要依赖于系统所在的环境，按照前面方法得到的应是确定性模型，在随机环境中，上面所述的量应当对应成相应状态的概率。 再比如排队系统，是最常见的一种系统，这类系统主要描述顾客到达，接受服务然后离开这一过程。系统由顾客与服务员两个单元组成。这类问题主要由以下四个因素决定：（1）顾客来到窗口的频率。（2）窗口的个数。（3）排队规则。（4）服务时间分布；所以我们必须对它们作适当的假定。 在单个服务台的排队系统模型M/M/1，即系统只设一个服务台床的情况。假定顾客是相互独立地到达系统，而且顾客到达系统的间隔时间服从负指数分布 F(t)=1-e -λt (输入过程)，又服务窗为每一位顾客的服务时间也同时服从负指 数分布H(t)=1-e -μt (运行方式)。对这种最简单的排队模型，我们将依照不同的系统规则确定排队系统所满足的微分方程。 M/M/1损失制排队模型是指系统内只设一个服务窗，系统容量为1（即有一个排队位置而无排队等待位置），顾客到达和窗口服务时间均为负指数分布，且
数学建模一周论文 论文题目：野兔生长问题 姓名1：李宝川学号：09023320 姓名2：彭亚学号：09023308 姓名3：刘新斌学号：09023304 专业：勘查技术与工程 班级：090233 指导教师：虞先玉老师 2010年1月1日、
摘要 参照题目，野兔生长属自然范畴，在生存条件良好，且无外力干扰的情况下，其种群数量是呈对数型增长的。题中可读，野兔生长并不是处于理想的情况下的，考虑到自然的各种原因，诸如，天地的捕杀，自然灾害，疾病等。 对于这种种群生态学问题，我们可以用Logistic（逻辑斯蒂方程）模型来模拟。Logistic模型是种群生态学的核心理论之一。它可以用来描述种群生长规律，利用它可以表征种群的数量动态。 之所以选择该模型来研究野兔生长问题，是因为，该模型考虑并概括了，种群发展所遇到的各种外界条件，也就是说，它模拟了真实情况。通过建立Logistic模型，我们小组得出T=10时，野兔数量为9.84194（十万）只。该结果比较符合客观规律。 利用Logistic模型可以表征种群的数量动态；如鱼类种群的增长，收获与时间关系的确定。描述某一研究对象的增长过程如生态旅游区环境容量的确定，森林资源的管理以及耐用消费品社会拥有量的预测、国民生产总值的预测等；也可作为其它复杂模型的理论基础如Lotka-Volterra两种群竞争模型；以上的大多数的工作都是拿逻辑斯蒂模型来用，但也由此可看出逻辑斯蒂方程不管在自然科学领域还是在社会科学中都具有非常广泛的用途。 关键字：Logistic模型生态学 MATLAB程序
问题重述 野兔生长问题。首先，野兔是生长在自然环境中的。自然很复杂，存在着许多影响种群发展的因素。我们知道，假如给野兔一个理想的环境，野兔数量是呈J型增长的。现实情况中，种群一般是呈S型增长的，从题中表格看出，野兔的数量并不是单一地增长，T=3，6.90568；T=4，6.00512；T=5，5.56495；T=6，5.32807。第四年到第七年，这三年野兔的数量不增反降，说明其间有影响野兔生长的因素存在。我们探讨了其中的因素： （1），兔子内部因素，竞争，雄雌比利失去平衡，老化严重等。 （1），自然灾害，比如说草原火灾，使野兔生长环境遭到破坏；再如气候反常，使野兔的产卵，交配受影响。 （2），天敌的捕食，狼，狐狸等天敌大量地捕食使野兔生存受到威胁。 （3），疾病的侵扰，野兔种群中，蔓延并流行疾病，必然使野兔存活率下降。。（4），人类的影响，城市扩建，使其栖息地面积减少；捕杀。 考虑到上述因素，野兔的生长就不能完全用一个Logistic模型来模拟 模型假设 上述，野兔生长问题，我们假设 （1）,假设它使处于自然的情况（没有人的作用）,人类活动对其生存不产生影响。 （2），假设各个环境因素对野兔生长的影响是互不影响的。 （3），假设兔子的内部因素对其生存率的影响不大。 （4），假设野兔在各年龄段中的分布率不变，即年龄结构不变，并采用各种措施维持这一结构； 那它是可以用Logistic模型来模拟的。 分析与建立模型 对于生物模型，首先考虑的是logistic模型，考虑到logistic模型的增长曲线是单调的，而题目所给的数据中有一段是下降的，这是反常的情况，而正常情况应当是单调上升的。考虑到可能在这段时间内有使野兔减少的因素。不能在整个时间段进行拟合，我们应当在每个单调区间上进行拟合。
狼追兔子的问题 摘要： 数学建模可以使抽象的问题用数学符号和语言清楚的表达出来。针对此题是高阶常微分方程问题。此例问题虽然问法多样，但解法基本一致，这道题狼和兔子在运动过程中属微分方程模型与一阶常微分方程。 狼追兔子问题来源很久，早在几百年前就有人在研究他，由于数学的发展水平不是很高和软件的局限，所以没有研究透彻。如今随着数学学科的发展和应用软件的飞速发展，对于这个的研究已进入新阶段。 由于狼要盯着兔子追，所以狼行走的是一条曲线，且在同一时刻，曲线上狼的位置与兔子的位置的连线为曲线上该点处的切线。建立二者的运动微分方程，计算它们的运动轨迹，用软件MATLAB求解微分方程模型。计算出兔子是否安全回到自己的巢穴。 1.1.1 问题的来源及意义： (一) 问题重述与分析: 现有一只兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处。 假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。问题是兔子能否安全回到巢穴 （二）题起源于导弹跟踪问题，与狼追兔子问题在解决方法上是大致一样的。 导弹跟踪的研究对于再军事上有很重要的意义。将导弹跟踪问题能简化为狼追兔子问题，都是高阶常微分方程模型，要涉及常微分方程，学会在实际问题中运用数学方法建模和求解。 1.1.2问题的分析： 饿狼追兔问题一阶微分方程初值问题数值解。 兔子它的洞在距离它现在吃草处正北方的60米处,在兔子的正东面100米处有一头饿狼正潜伏着观察兔子多时了兔子发现了狼的存在.兔子拼命的沿直线向洞逃跑,兔子知道不赶快进洞命休已,狼和兔子同时启动并且死死盯着兔子扑去.兔子跑的虽然快,但狼的速度是兔子速度的2倍.假如兔子和狼都匀速运动. 为了研究狼是否能够追上兔
野兔的四季管理 2002-2-16 10:22:33 野兔是一种皮、毛、肉兼用的特种野生经济动物，主食各种天然的野草、青菜、树叶等，无污染，其肉质细嫩醇香、营养丰富、野味浓郁，倍受消毒者青睐，现市场供不应求，价格不菲，经济效益极好，是投资选项的好项目。福建省永定县招宝公司规模养殖野兔取得成功，现把该公司总结出行之有效的野兔四季管理方法介绍如下： 一、春季我国南方春季多阴雨，湿度较大，在饲养中应注意防湿、防病。春季是野草、牧草的生长旺季，但饲料易霉烂变质，应把好饲料关，雨后割的青草应洗净泥沙晒干后再喂，阴雨天少喂水量多的青绿饲料，以免消化不良，可增加干草粉、木炭粉及高粱等收敛性饲料，此外可在日粮中增加适量的大蒜、韭菜等杀菌性的饲料，以增加野兔的抗病力。春季温度适宜，正是野兔繁殖的好时节，其受精率较高，应抓住此有利时机进行春繁。春季也是野兔发病的高峰期，应每天检查野兔的健康状况，并做好兔舍、兔笼的清洁、消毒、杀菌工作，阴雨天气，地面可铺些生石灰，草木灰等进行消毒、杀菌、防潮。 二、夏季夏天高温高湿，野兔的汗腺不发达，怕热，应做好防暑降温工作。兔舍可泼水降温，或用干砖浸透冷水放入兔笼内，此举有良好的降温效果。兔舍周围可种植遮阴的南瓜、葡萄等要攀缘植物，避免阳光的直射，使兔舍阴凉、通风，夏季中午炎热，野兔往往食欲不振，要早饲早喂，晚饲晚喂，并多喂多汁的青绿饲料及供足清水，若在饮水中加入2%的食盐，即可补充盐份，又有利解渴防暑。夏季蚊蝇孳生，病菌繁殖快，要做好清洁卫生工作，不喂霉烂变质的饲料。 三、秋季秋季天高气爽，气候干燥，饲料充足，营养丰富，是野兔生长的黄金时期，要注意日粮的适口性及营养水平，多喂青绿饲料，适当增加蛋白质含量高的精饲料以促进野兔的生长。秋季同时也是野兔繁殖的好时机，配种的受胎率高，产仔多、生长快，成活率高，要有计划地做好繁殖工作。因秋季早晚的温差大，仔兔易发生感冒、肺炎、肠炎等疾病，要加强仔兔期的管理。 四、冬季冬季气温寒冷，温度低，要做好保温工作，尤其仔兔特别怕冷。兔舍的门窗要关好或加挂草帘，严防贼风，舍内温度保证在15℃以上。同时冬季野兔的热量消耗大，日粮要比其他季节增加30%以上的饲料，并多喂能量高的精饲料，增加菜叶、胡萝卜、大麦芽或维生素添加剂，以避免冬季因青绿饲料少而维生素营养成份不足。野兔有昼伏夜行的习惯，夜间采食频繁，夜晚采食量占全日粮的70%以上，科季夜晚时间长，夜晚的饲料应多补些。 摘自《安徽畜牧兽医》2002.1期 地址：安徽省永定县
数学建模 1 辽宁工程技术大学 数学建模课程成绩评定表 学期2014-2015学年1 学期姓名高显利 李浩申 李金胜 专业工程管理班级14-工中职一班课程名称数学建模 论文题目航空机票超订票问题 评定标准 评定指标分值得分 知识创新性20 理论正确性20 内容难易性15 结合实际性10 知识掌握程度15 书写规范性10 工作量10 总成绩100 评语: 任课教师林清水时间2015年11月15日备注
高显利李浩申李金胜：种群的繁殖与稳定收获 摘要 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。 关键词 种群繁殖野兔数学建模稳定收获异常现象 Logistic模型生态学 MATLAB程序
数学建模 根据题目：在某地区野兔数量在连续十年统计数量(单位十万)如下： 分析该数据，得出野兔的生长规律。并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象。对于这种种群生态学问题，我们可以用Logistic（逻辑斯蒂方程）模型来模拟。Logistic 模型是种群生态学的核心理论之一。它可以用来描述种群生长规律，利用它可以表征种群的数量动态。 之所以选择该模型来研究野兔生长问题，是因为，该模型考虑并概括了，种群发展所遇到的各种外界条件，也就是说，它模拟了真实情况。通过建立Logistic模型，我们小组得出T=10时，野兔数量为9.84194（十万）只。该结果比较符合客观规律。 利用Logistic模型可以表征种群的数量动态；如鱼类种群的增长，收获与时间关系的确定。
一．问题重述： 近年来，大学用电浪费比较严重，集中体现在学生上晚自习上，一种情况是去某个教室上自习的人比较少，但是教室的灯却全部打开，第二种情况是晚上上自习的总人数比较少，但是开放的教室比较多，这要求提供一种最节约、最合理的管理方法。根据题目所给出的数据，有以下问题。数据见表。 1．假如学校有8000名同学，每个同学是否上自习相互独立，上自习的可能性为0.7. 要使需要上自习的同学满足程度不低于95%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过90%。问该安排哪些教室开放，能达到节约用电的目的。 2．在第一问基础上，假设这8000名同学分别住在10个宿舍区，现有的45个教室分为9个自习区，按顺序5个教室为1个区，即1,2,3,4,5为第1区，…， 41,42,43,44,45为第9区。这10个宿舍区到9个自习区的距离见表2。学生到各教室上自习的满意程度与到该教室的距离有关系，距离近则满意程度高，距离远则满意程度降低。假设学生从宿舍区到一个自习区的距离与到自习区任何教室的距离相同。请给出合理的满意程度的度量，并重新考虑如何安排教室，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。另外尽量安排开放同区的教室。3．假设临近期末，上自习的人数突然增多，每个同学上自习的可能性增大为0.85，要使需要上自习的同学满足程度不低于99%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过95%。这时可能出现教室不能满足需要，需要临时搭建几个教室。 假设现有的45个教室仍按问题2中要求分为9个区。搭建的教室紧靠在某区，每个区只能搭建一个教室，搭建的教室与该区某教室的规格相同（所有参数相同），学生到该教室的距离与到该区任何教室的距离假设相同。问至少要搭建几个教室，并搭建在什么位置，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。
人工养殖野兔建舍的五大技术要点野兔营养价值高，由于人们现在需求增加，很多地区都有野兔养殖。那么野兔养殖要注意什么?下面给大家介绍野兔养殖的建舍技术。 1、养殖方法 根据野兔喜欢居住于穴中的特点，在野兔养殖中，可以采取散养的方法，帮助野兔打洞做窝，因为野兔胆子小怕惊，特别在繁殖期间，外界的干扰(比如惊吓)很容易影响母兔的繁殖性能和仔兔的存活率。因此可将产仔舍建于地下，并与母兔笼通过通道相连，使母兔产仔时进入地下的产仔舍进行生产，减少了外界干扰，使之在野生状态下生产，最大限度地发挥出了野母兔的繁殖性能。 2、自动清粪 野兔养殖场采用自动清粪系统，并在局部进行了创新：一是将自动清粪走道设计成U型，兔尿沿U型底部流出，使兔粪兔尿得以分离。二是自动清粪机加装了竖杆，竖杆两侧再加装联动装置，不仅能清理粪沟的粪便，也同时清理了残留在上层兔舍外的粪便。 3、废气排放 可在野兔的舍顶的负压通风装置通过管道直接与兔舍底部相连，使兔舍底部的废气也得以充分排出舍外。
4、窗户联动 野兔栏舍的窗户要设计新颖，可在墙上设置滑轮与铰链，使每栋兔舍的所有窗户都能实现一次性控制，只需一人一摇一转，即可同时开启、同时关闭，大大节省了人工，也使窗户通风效果达到最佳。同时窗户设计距地面50厘米，也充分考虑到了兔舍底部的通风需要。 5、兔笼改造 兔笼设计新颖，兔笼门采用向下开的方式，并且三个兔笼一个笼门;兔笼门向下开避免了抓母兔时碰伤母兔乳房。这一细小改造，大大减少了因外伤而导致母兔乳房炎的发生。 以上就是关于野兔养殖建舍的一些要点介绍了，我们在养殖野兔时，首先兔舍非常重要，因此我们一定要掌握建舍管理。只要按照以上的方法进行建舍，相信一定可以给野兔一个非常好的生长环境空间。 关于野兔养殖的内容就讲到这里，欢迎阅读青瓜网其他农业内容。 推荐阅读：杂交野兔可以散养吗?农村散养兔面临的几点问题
合作养殖：诚招各地热爱农业、热爱养殖的社会各界人士，共同发展生态养殖事业；让天然、有机、绿色、健康、安全、放心、优质的农产品走出农村，走出大山，面向社会；让国内各地有志在农村发展养兔事业的人们致富增收、联合发展，让基层农民无养老忧愁。 养殖业是个非常辛苦的行业大家记住：1不能跟行情走2不能跟贩子打交道3找同行搞联合，形成竞争力4自己找销路 5走产品差异化特色养殖道路6学好技术7能吃苦8能忍辱负重9耐的住寂寞，经的起嘲笑 丘陵兔业承诺:来人一律免费参观考察丘陵兔业养殖示范基地，实地学习场地建设，沟通学习养殖技术，满意后再定合作事宜。 凡在丘陵兔业引种的养殖户：规模不论大小均免费培训养殖技术，包食宿；免费上门指导，免费提供当地酒店农家乐信息（因为酒店农家乐喜欢用当地就近的兔子）；提供整套的养殖技术资料，免费享受长期技术指导跟踪服务，解决养殖过程中出现的养殖技术难题。解决养殖户销售困难，确保养殖一户成功一户； 一个做农业的人，要具备什么呢：会开车，会鉴分类，会沟通，会开单，会发货，会算账，会讲价，会装车，会卸货，会喝酒，会熬夜，会财务，懂政治，思路清晰，头脑活！能起早，能受气，能坚持，不惧风险，不怕苦，不怕亏钱，不怕骂，不怕被人看笑话，力气大，不路痴……受得了忙，守得住闲，耐得住寂寞，搬得了货，还要会为人！这要是在做农业行业混个十年二十年的，估计不成精，也会是第二个东方不败！都讲人是泥捏的，感觉做农业生意的人是钢筋混凝土做的。献给所有做农业的人！加油！ 中国中原丘陵野兔生态养殖 养殖培训教材 第一章企业文化 (1) 第二章杂交野兔的养殖前景及食用价值 (2) 第三章中原丘陵兔业目前所创新开发的新技术 (7) 第四章养殖场地选择、布局、建造的方法及配套设施 (7) 第五章野兔的种类 (9) 第六章杂交野兔与比利时野兔的区别与辨别方法 (10) 第七章杂交野兔的生活习性 (11) 第八章纯种野兔的驯化及笼养技术 (12) 第九章引种常识 (12) 第十章饲养管理技术 (15) 第十一章寄生虫的预防与治疗技术 (17) 第十二章疫苗的种类及选择 (18) 第十三章免疫程序 (19)
对作业题目的说明 1. 本次数学建模周一共提供十五道题目供大家选择。每支队伍（2-3人/队）必须从以下题目中任意选取一题（只须选择一道），并完成一篇论文，对论文的具体要求参阅《论文格式规范》。 2. 题目标注为“A ”的为有一定难度的题目，指导老师会根据题目的难度对论文最后的评分进行调整。 （一）乒乓球赛问题 (A) A 、 B 两乒乓球队进行一场五局三胜制的乒乓球赛，两队各派3名选手上场，并各有3种选手的出场顺序（分别记为123,,ααα 和123,,βββ）。根据过去的比赛记录，可以预测出如果A 队以i α次序出场而B 队以j β次序出场，则打满5局A 队可胜 ij a 局。由此得矩阵()ij R a =如下： 12 3 1232 140345 3 1R βββααα?? = ? ? ??? （1） 根据矩阵R 能看出哪一队的实力较强吗？ （2） 如果两队都采取稳妥的方案，比赛会出现什么结果？ （3） 如果你是A 队的教练，你会采取何种出场顺序？ （4） 比赛为五战三胜制，但矩阵R 中的元素却是在打满五局的情况下得到 的，这样的数据处理和预测方式有何优缺点？ （二）野兔生长问题 在某地区野兔的数量在连续十年的统计数量(单位十万)如下： 分析该数据，得出野兔的生长规律。 并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象，
预测T=10 时野兔的数量。 （三）停车场的设计问题 在New England的一个镇上，有一位于街角处面积100 200平方英尺的停车场，场主请你代为设计停车车位的安排方式，即设计在场地上划线的方案。 容易理解，如果将汽车按照与停车线构成直角的方向，一辆紧挨一辆地排列成行，则可以在停车场内塞进最大数量的汽车，但是对于那些缺乏经验的司机来说，按照这种方式停靠车辆是有困难的，它可能造成昂贵的保险费用支出。为了减少因停车造成意外损失的可能性，场主可能不得不雇佣一些技术熟练的司机专门停车；另一方面，如果从通道进入停车位有一个足够大的转弯半径，那么，看来大多数的司机都可以毫无困难地一次停车到位。当然通道越宽，场内所容纳的车辆数目也越少，这将使得场主减少收入。 请你通过建模的计算结果，来给出一个合理的设计方案。 （四）奖学金的评定(A) 背景 A Better Class (ABC)学院的一些院级管理人员被学生成绩的评定问题所困 ）,这使得扰。平均来说，ABC的教员们一向打分较松（现在所给的平均分是A — 无法对好的和中等的学生加以区分。然而,某项十分丰厚的奖学金仅限于资助占总数10%的最优秀学生,因此,需要对学生排定名次。 教务长的想法是在每一课程中将每个学生与其他学生加以比较,运用由此得到的信息构造一个排名顺序。例如,某个学生在一门课程中成绩为A,而在同一课程中所有学生都得A,那么就此课而言这个学生仅仅属于“中等”。反之，如果一个学生得到了课程中唯一的A，那么，他显然处在“中等至上”水平。综合从几门不同课程所得到的信息，使得可以把所有学院的学生按照以10%划分等级顺序（最优秀的10%，其次的10%，等等）排序。 问题 , B+ ,…）这样的方式给出的,教务（1）假设学生成绩是按照（A+，A, A — 长的想法能否实现?
数学建模实验项目一梯子问题 一、实验目的与意义： 1、进一步熟悉数学建模步骤； 2、练习Matlab优化工具箱函数； 3、进一步熟悉最优化模型的求解过程。 二、实验要求： 1、较能熟练应用Matlab工具箱去求解常规的最优化模型； 2、注重问题分析与模型建立，熟悉建模小论文的写作过程； 3、提高Matlab的编程应用技能。 三、实验学时数： 2学时 四、实验类别： 综合性 五、实验内容与步骤： 一幢楼房的后面是一个很大的花园。在花园中紧靠着楼房建有一个温室，温室高10英尺，延伸进花园7英尺。 清洁工要打扫温室上方的楼房的窗户。他只有借助于梯子，一头放在花园中，一头靠在楼房的墙上，攀援上去进行工作。他只有一架20米长的梯子，你认为他能否成功？能满足要求的梯子的最小长度是多少？步骤： 1．先进行问题分析，明确问题； 2．建立模型，并运用Matlab函数求解； 3．对结果进行分析说明； 4．设计程序画出图形，对问题进行直观的分析和了解（主要用画线函数plot，line）5．写一篇建模小论文。 数学建模实验项目二养老基金问题 一、实验目的与意义： 1、练习初等问题的建模过程； 2、练习Matlab基本编程命令； 二、实验要求： 3、较能熟练应用Matlab基本命令和函数； 4、注重问题分析与模型建立，了解建模小论文的写作过程； 5、提高Matlab的编程应用技能。 三、实验学时数： 1学时 四、实验类别： 综合性 五、实验内容与步骤： 某大学青年教师从31岁开始建立自己的养老基金，他把已有的积蓄10000元也一次性地存入，已知月利率为0.001（以复利计），每月存入700元，试问当他60岁退休时，他的退休基金有多少？又若，他退休后每月要从银行提取1000元，试问多少年后他的基金将用完？ 微分方程实验项目一狐狸与野兔问题