结构化学练习之量子力学基础习题集附参考答案解析

量子力学基础习题

一、填空题（在题中的空格处填上正确答案）

1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。

1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。 1103、在电子衍射实验中，│

ψ│2

对一个电子来说，代表___________________。

1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。 1105、一组正交、归一的波函数

ψ

1

，

ψ

2

，

ψ

3

，…。正交性的数学表达式为 ，

归一性的表达式为 。 1106、│

ψ (x 1

， y 1

， z 1

， x 2

， y 2

， z 2

)│2

代表______________________。

1107、物理量xp y - yp x 的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。

1108、质量为 m 的一个粒子在长为l 的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2)体系的本征值谱为____________________， 最低能量为____________ ； (3)体系处于基态时， 粒子出现在0 ─ l /2间的概率为_______________ ； (4)势箱越长， 其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ；

(5)若该粒子在长l 、宽为2l 的长方形势箱中运动， 则其本征函数集为____________，本征值谱为 _______________________________。

1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ

211

(x ，y ，z )=

_________________________；当粒子处于状态

ψ

211

时，概率密度最大处坐标是_______________________；若体系

的能量为2

247ma

h ，其简并度是_______________。 1110、在边长为a 的正方体箱中运动的粒子，其能级E =2243ma h 的简并度是_____，E '=2

2

827ma

h 的简并度是______________。

1111、双原子分子的振动，可近似看作是质量为μ=

2

12

1m m m m +的一维谐振子，其势能为

V =kx 2/2，它的薛定谔方程是_____________________________。

1112、1927年戴维逊和革未的电子衍射实验证明了实物粒子也具有波动性。欲使电子射线产生的衍射环纹与Cu 的K α线(波长为154 pm 的单色X 射线)产生的衍射环纹相同， 电子的能量应为___________________J 。

1113、对于波函数ψj 、ψj ，其归一性是指 ，正交性是指 。

1114、若算符F

?满足 或满足 , 则算符F ?为厄米算符。

1115、一个质量为m 的微观粒子在箱长为a 的一维势箱中运动时，体系的势能为 ，体系的零点能为 。

1116、质量为 m 的一个粒子在长为l 的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2)体系的本征值谱为____________________，最低能量为____________ ；

1117、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ

211

(x ，y ，z )=

_________________________；当粒子处于状态

ψ

211

时，概率密度最大处坐标是_______________________；若体系

的能量为2

247ma h ，其简并度是_______________。

1118、对于立方箱中的粒子，考虑E < 15h 2

/(8ml 2

)的能量范围。在此范围内有 个态？在此范围内有 个能级？

1119、对氢原子 1s 态：

(1) 2

ψ在 r 为_______________处有最高值；

(2) 径向分布函数 2

24ψr π在 r 为____________处有极大值；

(3) 电子由 1s 态跃迁至 3d 态所需能量为_____________。

1120、对于立方势箱中的粒子，考虑出2

2

815ma h E <的能量范围，在此范围内有 个能级？

在此范围内有 个状态？

二、选择填空题（选择正确的答案，填在后面的括号内）

1201、首先提出能量量子化假定的科学家是：---------------------------( ) (A) Einstein (B) Bohr (C) Schrodinger (D) Planck

1202、任一自由的实物粒子，其波长为λ，今欲求其能量，须用下列哪个公式---------------( )

(A) λc

h E = (B) 2

22λ

m h E = (C) 2) 25

.12 (λ

e E = (D) A ，B ，C 都可以

1203

、

下

列

哪

些

算

符

是

线

性

算

符

----------------------------------------------------- ( ) (A)

dx

d (B) ?2

(C) 用常数乘

(D)

1204、下列函数中 (A) cos kx (B) e -bx

(C) e -ikx

(D) 2

e kx - (1)

哪

些

是

dx

d 的

本

征

函

数

；

--------------------------------------------------------------- ( ) (2)

哪

些

是

的

2

2dx d 本征函数；

------------------------------------------------------------- ( ) (3)

哪

些

是

2

2dx d 和

dx

d 的共同本征函数。

----------------------------------------------- ( )

1205、线性算符R

?具有下列性质

R

?(U + V ) = R ?U +R ?V R ?(cV ) = c R ?V 式中

c

为复函数，下列算符中哪些是线性算符？

-----------------------------------( )

(A) A

?U =λU ， λ=常数 (B) B

?U =U * (C) C

?U =U 2 (D) D

?U = x

U d d (E) E

?U =1/U 1206

、

电

子

自

旋

存

在

的

实

验

根

据

是

：

--------------------------------------------------------------- ( )

(A) 斯登--盖拉赫(Stern-Gerlach)实验 (B) 光电效应 (C) 红外光谱 (D) 光电子能谱 1207、一个在一维势箱中运动的粒子， (1) 其能量随着量子数n 的增大：------------------------ ( ) (A) 越来越小 (B) 越来越大 (C) 不变 (2) 其能级差 E n +1-E n 随着势箱长度的增大：-------------------( ) (A) 越来越小 (B) 越来越大 (C) 不变

1208、立方势箱中的粒子，具有E =2

2

812ma

h 的状态的量子数。 n x n y n z 是--------- ( ) (A) 2 1 1 (B) 2 3 1 (C) 2 2 2 (D) 2 1 3 1209、处于状态ψ (x )=sin x a

π的 一维势箱中的粒子，出现在

x =

4

a

处的概率为----- ( ) (A) P =

ψ (4

a ) = sin(a

π·4

a ) = sin 4π =

2

2

(B) P =[

ψ (

4a )]2= 21

(C) P = a

2

ψ (4a ) =

a

1

(D) P =[

a

2 ψ ( 4a )]2= a 1 (E) 题目提法不妥，所以以上四个答案都不对

1210、在一立方势箱中，2

2

47ml h E ≤的能级数和状态数分别是(势箱宽度为l ，粒子质量为

m )

：

-----------------------------------------------------------------( )

(A) 5，11 (B) 6，17 (C) 6，6 (D) 5，14 (E) 6，14 1211、关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选) ---------------------------（

）

(A)光电流大小与入射光子能量成正比 (B)光电流大小与入射光子频率成正比 (C)光电流大小与入射光强度成正比 (D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大 1212

、

提

出

实

物

粒

子

也

有

波粒

二

象

性

的

科

学

家

是：----------------------------（ ）

(A) de Br ?glie (B) A. Einstein (C) W. Heisenberg (D) E. Schr ?dinger

1213、微粒在间隔为1eV 的二能级之间跃迁所产生的光谱线的波数v

~应为：--------------------------------（

）

(A) 4032 cm -1

(B) 8065 cm -1

(C) 16130 cm -1

(D) 2016 cm -1

(1eV=1.602×10-19J)

1214、普朗克常数是自然界的一个基本常数，它的数值是：-------------------（

）

(A) 6.02×10-23尔格(B) 6.625×10-30尔格·秒

(C) 6.626×10-34焦耳·秒(D) 1.38×10-16尔格·秒

1215、首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是：-----------------（）(A) 薛定谔(B) 狄拉克

(C) 海森堡(D) 波恩

1216、下列哪几点是属于量子力学的基本假设(多重选择)：-------------------（）

(Ａ)电子自旋(保里原理)

(Ｂ)微观粒子运动的可测量的物理量可用线性厄米算符表征

(Ｃ)描写微观粒子运动的波函数必须是正交归一化的

(Ｄ)微观体系的力学量总是测不准的，所以满足测不准原理

1217、描述微观粒子体系运动的薛定谔方程是：----------------------------------（）

(A) 由经典的驻波方程推得(B) 由光的电磁波方程推得

(C) 由经典的弦振动方程导出(D) 量子力学的一个基本假设

1218、一电子被1000V的电场所加速，打在靶上，若电子的动能可转化为光能，则相应的光波应落在什么区域？

（A）X光区（B）紫外区

（C）可见光区（D）红外区

1219、由戴维逊－革末的衍射实验，观察某金属单晶（晶面间距d为104pm）上反射，若一级衍射的布拉格角控制为45o，则此实验要用多大的加速电压来加速电子（单位：V）？--- ( )

（A）<10 （B）25

（C）70 （D）150

1220、一维势箱的薛定谔方程求解结果所得的量子数n，下面论述正确的是？

（A）可取任意整数（B）与势箱宽度一起决定节点数

（C）能量与n2成正比例（D）对应于可能的简并态

三、判断题（对判断给出的命题的对错，正确的题号后画√，错误的题号后画×） 1301、根据测不准原理，任一微观粒子的动量都不能精确测定，因而只能求其平均值。 1302、波函数平方有物理意义， 但波函数本身是没有物理意义的。 1303、任何波函数ψ (x ， y ， z ， t )都能变量分离成ψ (x ， y ， z )与ψ (t )的乘积。

1304、

ψ=cos x ， p x

有确定值， p

2x

没有确定值，只有平均值。

1305、一维势箱中的粒子，势箱长度 为l ， 基态时粒子出现在x =l /2处的概率密度最小。 1306、波函数本身是连续的，由它推求的体系力学量也是连续的。 1307、测不准关系式是判别经典力学是否适用的标准。

1308、光照射到金属表面时，金属中有光电子产生，且照射光的强度越大，电子逸出金属表面的动能越大。

1309、量子力学中力学量算符都是线性的、厄米的。

1310、在电子的衍射实验中采用单个电子穿过晶体粉末，在足够长的时间后，在屏上得到了衍射环纹，这说明单个电子也可以产生波。 四、简答题

1401、对一个运动速率v<

mv v E v h h

p mv 2

1

===

=

=νλ

A B C D E 结果得出2

1

1=

的结论。问错在何处？ 说明理由。 1402、简述一个合格的波函数所应具有的条件？

1403、被束缚在0

1404、一维势箱中一粒子的波函数

ψ

n

(x )=(2/l )1/2

sin(n πx /l )是下列哪些算符的本征函数，并

求出相应的本征值。

（A ）x p ? （Ｂ） 2?x p （Ｃ） x ? （Ｄ）H ?= m h 2)2/(2π2

2

d d x

1405、说明下列各函数是H

?，M ?2， M ?z 三个算符中哪个的本征函数？

ψ

2pz

，

ψ

2px

和

ψ

2p1

1406、一维势箱中运动的一个粒子，其波函数为

a

x

n a πsin

2，a 为势箱的长度，试问当粒子处于n =1或n =2的状态时，在0 ～a /4区间发现粒子的概率是否一样大，若不一样，

n 取几时更大一些，请通过计算说明。

1407、θθcos 3cos 53

-是否是算符)d d sin cos d d (?22

2θ

θθθF +-= 的本征函数，若是，本征值是多少？

1408、下列休克尔分子轨道中哪个是归一化的？若不是归一化的，请给出归一化系数。（原子轨道???321,,是已归一化的）

a.

()??2112

1+=ψ

b.

()???321224

1

+-=

ψ 1409、已知一函数f (x )=2e 2x

，问它是否是x p

?的本征函数？相应的本征值是多少？ 1410、有一粒子在边长为a 的一维势箱中运动。

(1)计算当n =2时，粒子出现在0≤x ≤a /4区域中的概率；

(2)根据一维势箱的2

ψ图，说明0≤x ≤a/4区域中的概率。

五、证明题

1501、已知一维运动的薛定谔方程为:

m h 228[π-2

2

d d x

+V （x ）] ψ=E ψ

ψ

1

和

ψ

2

是属于同一本征值的本征函数， 证明:

ψ

1

x d d 2ψ-ψ2x

d d 1

ψ=常数 1502、试证明实函数Φ2 (φ)=(1/π)1/2

cos2φ和Φ2’(φ)=(2/π)1/2

sin2φcos φ都是Φ方程

[2

2

d d φ + 4] Φ (φ)=0 的解。

1503、证明函数x +i y ，x -i y 和z 都是角动量算符z

M ?的本征函数，相应的本征值是多少？ 1504、已知有2n 个碳原子相互共轭的直链共轭烯烃的π分子轨道能量可近似用一维势阱的能级公式表示为

E k = 2

22

2)12(8+n mr h k k =1，2， (2)

其中，m 是电子质量，r 是相邻碳原子之间的距离，k 是能级序号。试证明它的电子光谱第一吸收带(即电子基态到第一激发态的激发跃迁)波长λ与n 成线性关系。假定一个粒子在台阶式势阱中运动，势阱宽度为l ，而此台阶位于l /2～l 之间。 1505、证明同一个厄米算符的、属于不同本征值的本征函数相互正交。 1506、证明厄米算符的本征值是实数。

1507、已知A

?和B ?是厄米算符，证明(A ?+B ?)和A ?2

也是厄米算符。 1508、证明描述在一球面上运动的粒子（刚性转子）的波函数θψcos 211??

?

??π3=是三维

空间中运动的自由粒子（势能V=0）的薛定谔方程的解，并求粒子的能量。

已知)]sin 1)(sin sin 1)(1[22

2

2222222

φθr θθθθr r r r r m ??+????+????-

=? 。 1509、证明描述在一球面上运动的粒子（刚性转子）的波函数φ

θθψi 2

1e

sin cos 21-??

? ??2π15=是在三维空间中运动的自由粒子（势能V =0）的薛定谔方程的解，并求粒子的能量。

已知)]sin 1)(sin sin 1)(1[222

2222222

φ

θr θθθθr r r r r m ??+????+????-=? 。 1510、证明波函数φ

θθψi 2

1e sin cos 21-??

? ??2π15=是角动量平方的本征函数，并求粒子的角

动量。已知角动量平方算符)sin 1sin cos (?2

2

22222φθθθθθM

??+??+??-= 。 六、计算题

1601、波长λ=400 nm 的光照射到金属铯上，计算金属铯所放出的光电子的速率。已知铯

的临阈波长为600 nm 。 1602、光电池阴极钾表面的功函数是2.26 eV 。当波长为350 nm 的光照到电池时，发射

的电子最大速率是多少？ (1 eV=1.602×10-19

J ， 电子质量m e =9.109×10-31

kg) 1603、设体系处在状态

ψ=c 1

ψ

211

+ c 2

ψ

210

中， 角动量M 2

和M z 有无定值。其值为多少？

若无，则求其平均值。 1604、函数

ψ (x )= 2

a 2sin a x π - 3a

2sin a x π2 是不是一维势箱中粒子的一种可能状

态？ 如果是， 其能量有没有确定值(本征值)？ 如有， 其值是多少？ 如果没有确定值， 其平均值是多少？

1605、在长为l 的一维势箱中运动的粒子， 处于量子数为n 的状态， 求： (1) 在箱的左端1/4区域内找到粒子的概率； (2) n 为何值时， 上述概率最大？ (3) 当n →∞时， 此概率的极限是多少？ (4) (3)中说明了什么？

1606、(1) 写出一维简谐振子的薛定谔方程； (2) 处于最低能量状态的简谐振子的波函数是

ψ0

= (π

2

α)

1/4

exp[-α2x 2

/2]

此处，α=(4π2

k μ/h 2)1/4

，试计算振子处在它的最低能级时的能量。 (3) 波函数

ψ在x 取什么值时有最大值？ 计算最大值处ψ

2

的数值。

1607、氢分子在一维势箱中运动，势箱长度l =100nm ，计算量子数为n 时的de Broglie 波

长以及n =1和n =2时氢分子在箱中49nm 到51nm 之间出现的概率，确定这两个

状态的节面数、节面位置和概率密度最大处的位置。

1608、限制在一个平面中运动的两个质量分别为m 1和m 2的质点 ， 用长为R 的、没有

质量的棒连接着，构成一个刚性转子。

(1) 建立此转子的Schr ?dinger 方程， 并求能量的本征值和归一化的本征函数；

(2) 求该转子基态的角动量平均值。

已知角动量算符 M

?=M ?z =-i π2h φ

??

。

1609、氢原子中，归一化波函数：

（

和

都是归一化的）所描述的状态，其能量平均值是（a ）R ；能量

出现的概

率是（b ）；角动量平均值是（c ） ；角动量

出现的概率是（d ）；角动

量Z 分量的平均值是（e ）

；角动量Z 分量

出现的概率是（f ）。

1610、已知类氢离子

的某一状态波函数为：

则（a ）此状态的能量为； （b ）此状态的角动量的平方值； （c ）此状态角动量在Z 方向的分量为；（d ）此状态的

值分别为；

(e)此状态角度分布的节面数为；

2125、多电子原子的一个光谱支项为 3

D 2， 在此光谱支项所表征的状态中，原子的总轨

道角动量等于（a ）； 原子总自旋角动量等于（b ）；原子总角动量等于（c ）； 在磁场中 ， 此光谱支项分裂出（d ）个蔡曼 ( Zeeman ) 能级 。 2403、一个电子主量子数为 4， 这个电子的 l ， m ， m s 等量子数可取什么值？这个电子共有多少种可能的状态？

量子力学基础习题参考答案

1100、填填空题（在题中的空格处填上正确答案）

1101、E =h ν p =h /λ

1102、,mv

h p h ==

λ 小 1103、电子概率密度

1104、?x ·?p x ≥

π

2h

微观物体的坐标和动量不能同时测准, 其不确定度的乘积不小于π

2h

。

1105、(a) ∫

ψ*i

ψi

d τ = 0, i ≠j

(b) ∫ψ*i

ψi

d τ = 1

1106、电子1出现在x 1,y 1,z 1, 同时电子2出现在x 2, y 2, z 2处的概率密度 1107、-i ·π

2h (x y ?? - y x ??)

1108、(1)

ψ =

l

2sin l x n π n =1, 2, 3,…

(2) E = 2228ml h n ; 2

2

8ml

h (3) 1/2

(4) 增长 (5) ψ= l

2

sin l x n x

πl 22

sin l

y n y 2π E = 2

2

28ml

h

n x +

2

22)

2(8l m h n y

1109、(1)

ψ

211

(x ,y ,z ) =

3

8a

sin a π2 x sin a πy sin a π z (2)(a /4, a /2, a /2) (3a /4, a /2, a /2)

(3)6

1110、3, 4 1111、

[]

ψψμ

πE x k h =+?-

2212822

1112、T = ()

λh m m p 22122==1.016×10-17

J 1113、(），j i d j i ==??1*τψψ（），j i d j i ≠=??0*

τψψ

1114、（ττd F d F ψψ=ψψ??Λ

Λ

*

*

)(）（ττd F d F 2*

12*

1

)(ψψ=ψψ??Λ

Λ）

1115、零，2

2

8ma h

1116、(1) ψ =

l

2sin l x n π n =1, 2, 3,…

(2) E = 2228ml h n ; 2

2

8ml

h 1117、 (1)

ψ

211

(x ,y ,z ) =

3

8

a

sin a π2 x sin a πy sin a π z (2) (a /4, a /2, a /2) (3a /4, a /2, a /2)

(3) 6

1118、17，5

1119、(1) O 或核附近 (2) a 0 或 52.3 pm (3) 8×13.6/9 eV

1120、E = )(222z

y

x

n n n ++ 2

2

8ma h

共有17个状态, 这些状态分属6个能级。

1200、选择填空题（选择正确的答案，填在后面的括号内） 1201、(D) 1202、（B ）

1203、(D)

1204、(1) B, C (2) A, B, C (3) B, C

1205、(A), (D) 1206、(A)

1207、(1) B (2) A 1208、（C ） 1209、（E ） 1210、（B ） 1211、(C),(D) 1212、(A) 1213、（B ） 1214、(C) 1215、(C) 1216、(A) ,(B) 1217、(D) 1218、(A) 1219、(C) 1220、(C)

1300、判断题（对判断给出的命题的对错，正确的题号后画√，错误的题号后画×）

1301、× 1302、× 1303、× 1304、× 1305、× 1306、× 1307、× 1308、× 1309、√ 1310、×

1400、简答题

1401、A,B 两步都是对的, A 中v 是自由粒子的运动速率, 它不等于实物波的传播速率u , C

中用了λ= v /ν, 这就错了。 因为λ= u /ν。

又D 中E =h ν是粒子的总能量, E 中E =2

1mv 2

仅为v <

能量是不等的。

所以 C, E 都错。

1402、(1) 单值的。 (2) 连续的, 一级微商也连续。 (3) 平方可积的, 即有限的。

1403、P = a a

a

275.025.0?sin 2(a x π) d x = 0.5+ π

1

= 0.818 1404、(A).不是 (B).是,本征值为 n 2

h 2

/(4l 2

)

(C).不是 (D).是,本征值为 n 2h 2/(8ml 2

)

1405、p p z 022= 是M z

?,M ?,H ?2

共同的本征函数 p x 2为p 12和p 12-的线性组合,是M ?,H

?2

共同 的本征函数

p 12 是M z ?,M ?,H

?2

共同的本征函数 1406、P =??π=???

? ??π4022

4

0d sin 2d sin 2a/a/x a x

n a x a x n a =2

sin

2141π

π-n n n =1，P =πn 21

41-

n =2，P =4

1

.

n =2时，粒子出现在0—a /4区间概率更大些。

1407、

θθθsin cos d d

-= θθθc o s c o s d d 22

-= θθθθ23c o s s i n 3c o s d d

-= θθθθθ

c o s s i n 6c o s 3c o s

d d 2

3322+-=

()=-θθF c o s 3c o s 5?3

(

)

θθθθθθcos 3cos 15cos 3cos sin 30cos 153232+-++--

=(

)

θθθθcos 6cos sin 30cos 302

3

2

++--

=()

θθθθθθcos 6cos sin 30cos 30cos 30cos 3023

3

3

2

+++---

=()θθcos 36cos 603

2

+-- =12()θθcos 3cos 53

2

-

是，本征值为122

1408、归一化条件：11

2=∑=n

i i c

A

=∑=2

1

2

i i

c

2(

1)2

1

2=,a 是归一化的。

B 23)42()41(

2)(223

1

2

=-+=∑=i i c ,b 不是归一化的。 归一化因子

32即61。 1409、x x x x f p

2e 2d d

i )(? -= x

2e i 4 -= )(i 2x f -=

)(i x f h

π

=

f (x )是x p

?的本征函数，本征值为π

i h

。 1410、x a

x n a a d )sin 2(

240

π? （当n =2时） =??????ππ-044sin 882a a x a a a

=4

182=?a a (2)

2ψ

x

1500、证明题

1501、11ψ212d d x ψ = 21ψ2

2

2d d x

ψ ψ12

22d d x ψ - ψ22

1

2d d x ψ = 0 x

d d [ψ1x d d 2

ψ - ψ2x d d 1ψ] = 0

[ψ1x d d 2ψ - ψ2x

d d 1

ψ] = 常数

1502、将

()()

φφ2cos /12

/12πΦ=代入()φΦ方程

()()()()

()()02c o s 42

c o s 42c o s 42s i n 22c o s 4/1/1/1/1/12

/12

/12

/12

/12

/122=+-=+-=

???

??

?+πππφφφ

φφφφφφ

d d

d d

说明

()φΦ2

是()φΦ方程的解。

将()()φφφcos sin /22

/12

πΦ'=代入()φΦ方程

()()()()()()[]()0

cos sin 4cos sin 2cos sin 2cos sin 4cos sin 4/2/2/2sin cos /2/22

/12/12

/12

22

/12

/122=+--=+-=

??

?

???+πππππφφφφφφφ

φφφφφφφ

d d

d d 说明

()φΦ'2

也是()φΦ方程的解。 1503、()()()[]()()()()()()[]iy x y iy x x i iy x y x i y

h

z

x

y h

z M M +-+-=+--=π

??

??

π

??

??

π

22?? 故x +i y M

z ?本征函数,本征值为 π

2h

()()()[]()()()()()()[]iy x y iy x x i iy x y x i y

h

z

x

y h

z M

M ----=---=π

??

??

π

??

??

π

22?? 故x -i y 是M z

?,本征值为 π2h - ()()()()[]z z y z x i z y

h

z

M ?==--=π

??

??

π

002?

故z 是M

z

?,本征值为 0

1504、第一吸收带是由HOMO 到LUMO 跃迁产生。 对本题HOMO k =n ; LUMO k =n +1;

()()[]

()()()

1282

2

8122

22282

12121++==-+=

?++n mr mr n mr h n h n h n n E

E hc

?=λ

所以 ()()h n mrc h

hc n mr E

hc

/1282128+===?+?λ 即h mrc h mrcn /8/16+=λ

1505、设u 1,u 2,...,u n ,...是算符A

?的分别属于本征值λ,,λ,λn 21.的本征函数，则有 ,?u u A

m m m λ= ,?u u A

n n n λ=

()*

***

?m m m

m m u λu

λu A

==

可得

τu u λτu A u n

m

n

n

m

d d ?*

*

?

?= ()τu u λτu u A n

m

m

n

m

d d ?**?

?= ,从上式可得

τu u λτu u λn m m n m n d d *

*?

?= ()0d *=-?

τu u λλn m m n

λλm n ≠ 0d *=∴?

τu u n m

1506、按厄米算符的定义,有()ud τu A ud τA u ??=??*

*

同时下列本征方程成立:()

***??u λu A λu,u A ==

代入上式,得: τu u λτu u λd d ***?

?=

由此可得 *

λλ=

故λ必为实数。

1507、(1). ∫u *

(B A ??+)v d τ=∫u *A ?v d τ+∫u *B ?v d τ =∫(A

?u )*v d τ+∫(B ?u )*v d τ =∫[(A

?u )*+(B ?u )*]v d τ =∫[(A ?u )+(B ?u )]*v d τ =∫[(B A

??+)]*v d τ 由此得证

(2). ∫u

*

A A ??v τd =∫u *A

?(A ?v )τd =∫(A ?u )*(A ?v )τd =∫(A ?u )*A ?v τd =∫(A A

??u )*v τd

=∫(

A

?2

u )*

v τd 由此得证 1508、三维空间自由粒子的薛定谔方程

ψ

ψE H

=? 222??-=m

H

当r 为常数，ψ与r,φ无关。

???? ????+??-=θθθθmr H sin cos 2?22

22 θN θθθθmr H cos sin cos 2?2222???

? ????+??-= ψ =()θθmr N cos cos 22

2

--- =ψ22

22cos mr θN mr = 2

2

ma

E =∴ 当ψ与φ无关，?

??

? ????+??-=θθθθsin cos ?222

2

M

2?2=ψM

2=M

1509、三维空间自由粒子的薛定谔方程 ψψE H =? 2

22??-

=m

H 当r 为常数，ψ与r 无关,

???? ????+??+??-=2222222s i n 1s i n c o s 2?φθθθθθmr H )e s i n c o s (??i φθθN H H -=ψ

=???? ????+??+??-2222222sin 1sin cos 2φθθθθθmr N φ

θθi e sin cos - =2

22mr

N -(ψ-φ

θθi e sin cos -+φφφθθθθθθi i i 2e sin cos e cos sin e sin cos -----) =222mr N φθθi e sin cos ???

? ??++-θθθψ222sin 11sin cos 式中θ

θθ222sin 1

sin cos +-=1

=ψH ?mr N 262 N φθθi e sin cos =mr

262 ψ,2

226mr E =∴ 1510、φθθN φθθθθθM ψi 2222222e sin cos sin 1sin cos ?-???

? ????+??+??-= =2

N -(ψ-φ

θθi e sin cos -+

φ

φφθθθθθθi i i 3e sin cos e cos sin e sin cos -----) =2 N φθθi e sin cos ???? ?

?++-θθθψ222sin 11sin cos 式中θ

θθ2

22sin 1

sin cos +-=1 226? =ψM

N φθθi e sin cos -=ψ26 ,26 为一常数，证毕。 6=M 1600、计算题

1601、1

-241-9

--34s kg m 10626.6s kg m 100.1106.626???=????==-λh

p T = m p 22 = 31

23410

109.92)10626.6(--??? J = 2.410×10-17

J 1602、T = h ν- h ν0= λ

hc -0

λhc

T = (1/2) mv 2

v = )1

1(20

λλ-m hc = 6.03×105

m ·s -1

1603、(1)

ψ是M

?2

属于同一本征值2(

π

2h )2

的本征函数的线性组合, 所以，ψ是M

?2的本征函数, 其本征值亦为2(π

2h )2

(2)

ψ是M

?z

属于本征值h 和0的本征函数的线性组合, 它不是M

?z 的本征函数, 其M z 无确定值, 其平均值为= 2

2

.2121)

2/(c c h c +π 1604、(1). 该函数是一维箱中粒子的一种可能状态, 因

a 2sin a x π及a

2

sin a x π2是方程的

解，其任意线性组合也是体系可能存在的状态。

(2). 其能量没有确定值, 因该状态函数不是能量算符的本征函数。

量子力学思考题及解答

1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于η不能忽略的体系，而经典力学适用于η可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或η可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ? ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ? ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r ? 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。

量子力学基础简答题

量子力学基础简答题 1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋表象下，波函数如何归一化？解释各项的几率意义。 6、何为束缚态？ 7、当体系处于归一化波函数所描述的状态时，简述在状态中测量力学量F的可能值及其几率的方法。 8、设粒子在位置表象中处于态,采用Dirac符号时，若将改写为有何不妥？采用Dirac符号时，位置 表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。 10、Stern—Gerlach实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？ 14、在简并定态微扰论中，如的某一能级，对应f个正交归一本征函数（=1，2，…，f），为什么一 般地不能直接作为的零级近似波函数？ 15、在自旋态中，和的测不准关系是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态方程的解？同一能量对应的各简并态的迭 加是否仍为定态方程的解？ 17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。 18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。 19何谓选择定则。 20、能否由方程直接导出自旋？ 21、叙述量子力学的态迭加原理。 22、厄米算符是如何定义的？ 23、据[，]=1，，，证明：。 24、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适用条件。 25、自旋，问是否厄米算符？是否一种角动量算符？ 26、波函数的量纲是否与表象有关？举例说明。 27、动量的本征函数有哪两种归一化方法？予以简述。

《大学物理aii》作业 no08 量子力学基出 参考解答

《大学物理AII 》作业No.08量子力学基础 班级________学号________姓名_________成绩_______-------------------------------------------------------------------------------------------------------****************************本章教学要求**************************** 1、掌握物质波公式、理解实物粒子的波粒二象性特征。 2、理解概率波及波函数概念。 3、理解不确定关系，会用它进行估算；理解量子力学中的互补原理。 4、会用波函数的标准条件和归一化条件求解一维定态薛定谔方程。 5、理解薛定谔方程在一维无限深势阱、一维势垒中的应用结果、理解量子隧穿效应。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 一、填空题 1、德布罗意在爱因斯坦光子理论的启发下提出，具有一定能量E 和动量P 的实物粒子也具波动性，这种波称为（物质）波；其联系的波长λ和频率ν与粒子能量E 和动量P 的关系为（νh E =）、（λh p =）。德布罗意的假设，最先由（戴维 孙-革末）实验得到了证实。因此实物粒子与光子一样，都具有（波粒二象性）的特征。 2、玻恩提出一种对物质波物理意义的解释，他认为物质波是一种（概率波），物质波的强度能够用来描述（微观粒子在空间的概率密度分布）。 3、对物体任何性质的测量，都涉及到与物体的相互作用。对宏观世界来说，这种相互作用可以忽略不计，但是对于微观客体来说，这种作用却是不能忽略。因此对微观客体的测量存在一个不确定关系。其中位置与动量不确定关系的表达式为（2 ≥???x p x ）；能量与时间不确定关系的表达式为（2 ≥???t E ）。 4、薛定谔将（德布罗意公式）引入经典的波函数中，得到了一种既含有能量E 、动量P ，又含有时空座标的波函数),,,,,(P E t z y x ψ，这种波函数体现了微观粒子的波粒二象的特征，因此在薛定谔建立的量子力学体系中，就将这种波函数用来描述（微观粒子的运动状态）。

量子力学期末考试题解答题

1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F （r,p ）中将p 换为算符?p 而得出的，即：

量子力学基础简答的题目(经典)

量子力学基础简答题 1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量G ?在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋z S ?表象下，波函数? ?? ? ??=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。 6、何为束缚态？ 7、当体系处于归一化波函数ψ(,)?r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)? r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。 8、设粒子在位置表象中处于态),(t r ? ψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,)?r t 改写为ψ(,) ? r t 有何 不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。 10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？ 14、在简并定态微扰论中，如?() H 0的某一能级) 0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…， f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H '+=???0的零级近似波函数？ 15、在自旋态χ 1 2 ()s z 中，?S x 和?S y 的测不准关系(?)(?)??S S x y 22?是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger &&方程的解？同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger &&方程的解？ 17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。 18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。 19何谓选择定则。

量子力学的基本概念

一、量子力学及其意义和作用 量子力学：是研究微观粒子运动、变化基本规律的科学。 由于宏观物质全部是由微观物质组成的，宏观世界全部建立在微观世界之上，量子力学便无处不在、普遍适用。“整个世界是量子力学的！” 物理学四大力学（理论力学、热力学与统计物理、电动力学、量子力学）之一。 自从量子理论诞生以来（1900年12月14日），它的发展和应用一直广泛深刻地影响、促进和触发人类物质文明的大飞跃。例如，可以把所有学科名称前面冠以“量子”————quantum二字，就会发现：已经形成或将要形成一门新的理论、新的学科。 光学—量子光学化学—量子化学 电子学—量子电子学生物学—量子生物学 电动力学—量子电动力学宇宙学—量子宇宙学 统计力学—量子统计力学网络—量子网络 经典场论—量子场论信息论—量子信息论 计算机—量子计算机 就连投机家所罗斯的基金会也时髦的冠以“量子”二字：“量子基金会”一百年（1901—2002）来总共颁发Nobel Prize 96 次（其中1916,1931,1934,1940,1941,1942共6年未颁奖）单就物理奖而言：直接由量子理论得奖或与量子理论密切相关而得奖的次数有57 次（直接由量子理论得奖25次 量子力学自20世纪20年代创立以来，直到现在，已逐步成为核物理、粒子物理、凝聚态物理、超流和超导物理、半导体物理、激光物理等众多物理分支学科的共同理论基础。自20世纪80年代以来，量子力学又有很大发展：量子信息科学（量子计算、量子通信）目前，它正在向材料科学、化学、生物学、信息科学、计算机科学大规模渗透。不久的将来它将会成为整个近代科学共同的理论基础。国家中长期科学技术发展规划：量子调控计划二、历史的回顾 19世纪末，一些物理学家认为：辉煌的物理学大厦已经建成！ Kelvin勋爵：物理学的天空上漂浮着两朵乌云： 麦克尔逊—莫雷实验相对论 黑体辐射的“紫外灾难”量子力学 经典物理、近代物理 相对论：平地起高楼，伟大的头脑 量子力学：一点一滴的积累，Plank, Einstein, Bohr, Heisenberg, Born, Pauli, de Broglie, Schrodinger, Dirac 领袖：Niels Bohr, 哥本哈根学派

结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案

结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案

量子力学基础习题 一、填空题（在题中的空格处填上正确答案）1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。1103、在电子衍射实验中，│ψ│2对一个电子来说，代表___________________。 1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。 1105、一组正交、归一的波函数ψ1，ψ2，ψ3，…。 正交性的数学表达式为，归一性的表达式为。1106、│ψ(x1，y1，z1，x2，y2，z2)│2

代表______________________。 1107、物理量xp y- yp x的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。 1108、质量为m的一个粒子在长为l的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2)体系的本征值谱为____________________，最低能量为____________ ； (3)体系处于基态时，粒子出现在0 ─l/2间的概率为_______________ ； (4)势箱越长，其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ； (5)若该粒子在长l、宽为2l的长方形势箱

中运动， 则其本征函数集为____________，本征 值 谱 为 _______________________________。 1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ 211(x ，y ，z )= _________________________；当粒子处于状态 ψ 211 时，概率密度最大处坐标是 _______________________；若体系的能量为 2 247ma h ，其简并度是_______________。 1110、在边长为a 的正方体箱中运动的粒子，其能级E = 2 243ma h 的简并度是_____，E '= 2 2827ma h 的简 并度是______________。 1111、双原子分子的振动，可近似看作是质量为μ= 2 121m m m m +的一维谐振子，其势能为V =kx 2/2，它 的 薛 定 谔 方 程 是

清华大学《大学物理》习题库试题及答案----10-量子力学习题解读

清华大学《大学物理》习题库试题及答案----10-量子力学习题解读

一、选择题 1．4185：已知一单色光照射在钠表面上， 测得光电子的最大动能是1.2 eV ，而钠的红限波 长是5400 ?，那么入射光的波长是 (A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? ［ ］ 2．4244：在均匀磁场B 内放置一极薄的金 属片，其红限波长为λ0。今用单色光照射，发现 有电子放出，有些放出的电子(质量为m ，电荷 的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为 R 的圆周运动，那末此照射光光子的能量是： (A) (B) (C) (D) ［ ］ 3．4383：用频率为ν 的单色光照射某种金 属时，逸出光电子的最大动能为E K ；若改用频 率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电 子的最大动能为： (A) 2 E K (B) 2h ν - E K (C) h ν - E K (D) h ν + E K ［ ］ 4．4737： 在康普顿效应实验中，若散射光 波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子能量 ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 ［ ］ 0λhc 0λhc m eRB 2)(2+0λhc m eRB +0λhc eRB 2+

5．4190：要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV ［］ 6．4197：由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光(B) 两种波长的光(C) 三种波长的光(D) 连续光谱［］ 7．4748：已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV，当氢原子从能量为－0.85 eV的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为 (A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV ［］ 8．4750：在气体放电管中，用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发射的光子的能量只能是 (A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV，10.2 eV和1.9 eV (D) 12.1 eV，10.2 eV和 3.4 eV ［］ 9．4241：若 粒子(电荷为2e)在磁感应

量子力学基础习题

22-1．计算下列客体具有MeV 10动能时的物质波波长，(1)电子；（2）质子。 解：(1) 电子高速运动，设电子的总能量可写为：20K E E m c =+ 用相对论公式， 222240E c p m c =+ 可得 p = = = h p λ= = 834 -= 131.210m -=? （2）对于质子，利用德布罗意波的计算公式即可得出： 3415h 9.110m λ--====? 22-2．计算在彩色电 视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为kV 0.25，（1）用非相对论公式；（2）用相对论公式。 解：（1）用非相对论公式： m meU h mE h 123 193134108.71025106.1101.921063.622p h ----?=???????====λ（2）用相对论公式： 420222c m c p +=E eU E E k ==-20c m m eU eU c m h mE h 12220107.722p h -?=+=== ） （λ 22-3．一中子束通过晶体发生衍射。已知晶面间距nm 1032.72 -?=d ，中子的动能 eV 20.4k =E ，求对此晶面簇反射方向发生一级极大的中子束的掠射角. 解：先利用德布罗意波的计算公式即可得出波长： 34 11h 1.410p m λ--====? 再利用晶体衍射的公式，可得出：2sin d k ?λ= 0,1,2k =…

11 11 1.410sin 0.095227.3210 k d λ?--?===?? ， 5.48?= 22-4．以速度m/s 1063 ?=v 运动的电子射入场强为5V/cm =E 的匀强电场中加速， 为使电子波长 A 1=λ，电子在此场中应该飞行多长的距离？ 解：34 10 h 110m λ--== ==? 可得：U=150.9V ，所以 U=Ed ，得出d=30.2cm 。 22-5．设电子的位置不确定度为 A 1.0，计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为 keV 1，计算电子能量的不确定度。 解：由测不准关系： 34 2410 1.0510 5.2510220.110 h p x ---??===???? 由波长关系式：E c h =λ 可推出： E E c h ?=?λ 2 151.2410E E E J hc pc λ-??===?? 22-6．氢原子的吸收谱线 A 5.4340=λ的谱线宽度为 A 102 -，计算原子处在被激发态 上的平均寿命。 解：能量hc E h νλ == ，由于激发能级有一定的宽度ΔE ，造成谱线也有一定宽度Δλ，两 者之间的关系为：2 hc E λ λ?=? 由测不准关系，/2,E t ??≥ 平均寿命τ=Δt ，则 22 224t E hc c λλτλπλ=?===??? 102112108 (4340.510)510s 4 3.141010310 ----?==?????? 22-7．若红宝石发出中心波长m 103.67 -?=λ的短脉冲信号，时距为)s 10(ns 19 -，计 算该信号的波长宽度λ?。 解：光波列长度与原子发光寿命有如下关系： x c t ?=? 22 24x x p λλπλλ ?==≈??? 72 2 389 (6.310) 1.32310nm 31010 c t λλ---??===???? 22-8．设粒子作圆周运动，试证其不确定性关系可以表示为h L ≥??θ，式中L ?为粒子角动量的不确定度，θ?为粒子角位置的不确定度。 证明：当粒子做圆周运动时，半径为r ，角动量为：L=rmv=rp 其不确定度P r L ?=?

量子力学思考题及解答

量子力学思考题 1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于 不能忽略的体系，而经典力学适用于 可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或 可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 — 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。

结构化学练习之量子力学基础习题集附参考答案解析

量子力学基础习题 一、填空题（在题中的空格处填上正确答案） 1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。 1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。 1103、在电子衍射实验中，│ ψ│2 对一个电子来说，代表___________________。 1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。 1105、一组正交、归一的波函数 ψ 1 ， ψ 2 ， ψ 3 ，…。正交性的数学表达式为 ， 归一性的表达式为 。 1106、│ ψ (x 1 ， y 1 ， z 1 ， x 2 ， y 2 ， z 2 )│2 代表______________________。 1107、物理量xp y - yp x 的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。 1108、质量为 m 的一个粒子在长为l 的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2)体系的本征值谱为____________________， 最低能量为____________ ； (3)体系处于基态时， 粒子出现在0 ─ l /2间的概率为_______________ ； (4)势箱越长， 其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ； (5)若该粒子在长l 、宽为2l 的长方形势箱中运动， 则其本征函数集为____________，本征值谱为 _______________________________。 1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ 211 (x ，y ，z )= _________________________；当粒子处于状态 ψ 211 时，概率密度最大处坐标是_______________________；若体系 的能量为2 247ma h ，其简并度是_______________。 1110、在边长为a 的正方体箱中运动的粒子，其能级E =2243ma h 的简并度是_____，E '=2 2 827ma h 的简并度是______________。 1111、双原子分子的振动，可近似看作是质量为μ= 2 12 1m m m m +的一维谐振子，其势能为

量子力学基础概念题库

一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、何为束缚态？ 2、当体系处于归一化波函数ψ(,)?r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)? r t 状态中测量力学量F 的可能 值及其几率的方法。 3、设粒子在位置表象中处于态),(t r ? ψ,采用Dirac 符号时，若将 ψ(,)?r t 改写为ψ(,)? r t 有何不 妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 4、简述定态微扰理论。 5、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 一、20分，每小题4分，主要考察量子力学基本概念以及基本思想。 1. 束缚态: 无限远处为零的波函数所描述的状态。能量小于势垒高度，粒子被约束在有限的空间内运动。 2. 首先求解力学量F 对应算符的本征方程：λλλφφφλφ==F F n n n ??，然后将()t r ,? ?按F 的本征态展开： ()?∑+=λφφ?λλd c c t r n n n ,? ，则F 的可能值为λλλλ,,,,n 21???，n F λ=的几率为2 n c ，F 在λλλd +~范围内 的几率为λλd c 2 3. Dirac 符号是不涉及任何表象的抽象符号。位置表象中的波函数应表示为?r ? 。 4. 求解定态薛定谔方程ψψE H =∧ 时，若可以把不显含时间的∧ H 分为大、小两部分∧ ∧ ∧ '+=H H H ) (0， 其中（1）∧ ) (H 0的本征值) (n E 0和本征函数)(n 0ψ 是可以精确求解的，或已有确定的结果)(n )(n )(n ) (E H 0000ψ ψ =∧，（2）∧ 'H 很小，称 为加在∧ ) (H 0上的微扰，则可以利用) (n 0ψ和) (n E 0构造出ψ和E 。 5. Gerlack Stein -实验证明了电子自旋的存在。 一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 2、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 3、测不准关系是否与表象有关？ 4、在简并定态微扰论中，如?()H 0的某一能级)0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…，f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H '+=???0的零级近似波函数？ 5、在自旋态χ12 ()s z 中，?S x 和?S y 的测不准关系(?)(?)??S S x y 22?是多少？ 一、20分，每小题4分，主要考察量子力学基本概念以及基本思想。 1、条件：①能量比无穷远处的势小；②能级满足的方程至少有一个解。 2、不一定，只有在它们共同的本征态下才能同时确定。 3、无关。 4、因为作为零级近似的波函数必须保证()()()()()()()()011 1 00E H E H n n n n ??φφ--=-有解。 5、16 4η。 一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger &&方程的解？同一能量对

量子力学基本原理

量子力学基本原理 量子力学的基本原理包括量子态的概念，运动方程、理论概念和观测物理量之间的对应规则和物理原理。 状态函数 物理体系的状态由状态函数表示，状态函数的任意线性叠加仍然代表体系的一种可能状态。状态随时间的变化遵循一个线性微分方程，该方程预言体系的行为，物理量由满足一定条件的、代表某种运算的算符表示；测量处于某一状态的物理体系的某一物理量的操作，对应于代表该量的算符对其状态函数的作用；测量的可能取值由该算符的本征方程决定，测量的期望值由一个包含该算符的积分方程计算。（一般而言，量子力学并不对一次观测确定地预言一个单独的结果。取而代之，它预言一组可能发生的不同结果，并告诉我们每个结果出现的概率。也就是说，如果我们对大量类似的系统作同样地测量，每一个系统以同样的方式起始，我们将会找到测量的结果为A出现一定的次数，为B出现另一不同的次数等等。人们可以预言结果为A或B的出现的次数的近似值，但不能对个别测量的特定结果做出预言。）状态函数的模平方代表作为其变量的物理量出现的几率。根据这些基本原理并附以其他必要的假设，量子力学可以解释原子和亚原子的各种现象。 根据狄拉克符号表示，状态函数，用<Ψ|和|Ψ>表示，状态函数的概率密度用ρ=<Ψ|Ψ>表示，其概率流密度用（?/2mi）（Ψ*▽Ψ－Ψ▽Ψ*）表示，其概率为概率密度的空间积分。 状态函数可以表示为展开在正交空间集里的态矢比如 ，其中|i>为彼此正交的空间基矢， 为狄拉克函数，满足正交归一性质。态函数满足薛定谔波动方程， ,分离变数后就能得到不显含时状态下的演化方程 ，En是能量本征值，H是哈密顿算子。 于是经典物理量的量子化问题就归结为薛定谔波动方程的求解问题。

量子力学第一章课外练习题

第一章绪论 一、填空题 1、19２3年，德布洛意提出物质波概念,认为任何实物粒子，如电子、质子等,也具有波动性，对于质量为1克，速度为１米／秒的粒子，其德布洛意波长为 (保留三位有效数字)。 2、自由粒子的质量为m,能量为E,其德布罗意波长为_＿__＿____＿__＿___＿（不考虑相对论效应）。 3、写出一个证明光的粒子性的实验＿_＿___＿___＿___＿_________＿_。 4、爱因斯坦在解释光电效应时,提出概念。 5、德布罗意关系为（没有写为矢量也算正确）。 ７、微观粒子具有二象性。 8、德布罗意关系是粒子能量E、动量P与频率、波长之间的关系,其表达式为。 9、德布罗意波长为λ，质量为m的电子,其动能为＿___ _ 。 １0、量子力学是的理论。 1１、历史上量子论的提出是为了解释的能量分布问题。用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。 12、设电子能量为4电子伏,其德布罗意波长为 nm。 1３、索末菲的量子化条件为，应用这个量子化条件可以 E。 求得一维谐振子的能级= n 14、德布罗意假说的正确性,在19２７年为戴维孙和革末所做的子衍射实验所证实,德布罗意关系(公式)为和。 15、1923年，德布洛意提出物质波概念,认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性。根据其理论,质量为μ,动量为ｐ的粒子所对应的物质波的频率为 ,波长为。若对于质量为1克，速度为1米/秒的粒子，其德布洛意波长为（保留三位有效数字）。 16、1923年, 提出物质波概念,认为任何实物粒子,如

电子、质子等，也具有波动性，对于经过电压为1０0伏加速的电子，其德布洛意波长为（保留三位有效数字）。 二、选择题 1、利用提出的光量子概念可以成功地解释光电效应。 A．普朗克 B. 爱因斯坦 C. 玻尔 D. 波恩 2、192７年和等人所做的电子衍射试验验证了德布洛意的物质波假设。 Ａ. 夫兰克赫兹 B. 特恩革拉赫 C. 戴维逊盖末 D. 康普顿吴有训 ３、能量为０．1eＶ的自由中子的德布罗意波长为 A. 0.92? B.1.2３? C. １2．6 ? D.０.17 ? ４、一自由电子具有能量1５0电子伏,则其德布罗意波长为 A.1 A B．15 A C.10 AＤ．1５0 A 5、普朗克在解决黑体辐射时提出了。 Ａ、能量子假设Ｂ、光量子假设 Ｃ、定态假设 D、自旋假设 ６、证实电子具有波动性的实验是。 Ａ、戴维孙——革末实验Ｂ、黑体辐射 C、光电效应 D、斯特恩—盖拉赫实验 7、1９00年12月发表了他关于黑体辐射能量密度的研究结果,提出原子振动能量假设，第一个揭示了微观粒子运动的特殊规律：能量不连续。 Ａ. 普朗克Ｂ．爱因斯坦 C. 波尔Ｄ. 康普顿８、普朗克量子假说是为解释 (A) 光电效应实验规律而提出来的 (B) X射线散射的实验规律而提出来的 (C) 黑体辐射的实验规律而提出来的 (D) 原子光谱的规律性而提出来的 ９、康普顿效应的主要特点是

量子力学基本概念讨论_661207186

《近代物理新进展(第一讲)》（2011年春季学期） 量子力学基本概念讨论 考虑电子的双缝干涉实验。 实验过程和观察结果的动画演示(doubleslit_exp.wmv)。 一幅有趣的漫画。 BTW, New Yorker还发表过另一幅著名的漫画“On the internet, nobody knows you're a dog.” 讨论题： 1、为什么说在电子的双缝干涉实验中电子是自己和自己发生了干涉？

2、在电子的双缝干涉实验中，电子是怎样穿过狭缝的？（A ）穿过了其中的某一条狭缝；（B ）同时穿过了两条狭缝；（C ）不知道是怎么穿过去的；（D ）这个问题没意义。 3、下面是观察电子穿过了哪个狭缝的实验（which-way experiments ）。 实验的结果如何？（A ）仍然出现干涉条纹；（B ）不再出现干涉条纹。由此你得到什么推论？ 用电子的双缝干涉不难说明Feynman 的 path integral 的基本原理，即 1122.x s x s x s =+ 4、考虑电子带有自旋。让自旋向上的电子射向双缝，并且在双缝处加一个磁场，使电子在穿过缝的时候自旋方向可能发生翻转，设自旋不翻转的几率振幅是a ，自旋翻转的几率振幅是b （假设都是实数）。问自旋向上和自旋向下的电子在观察屏上的几率分布各是什么？如果磁场只加在缝1处，所以当电子穿过缝1的时候自旋有可能翻转，其中不翻转的几率振幅是a ，翻转的几率振幅是b ，但穿过缝2的时候电子的自旋总不翻转。那么自旋向上和自旋向下的电子在观察屏上的几率分布又各是什么？（用12,P P 和12P 表出） 5、用单光子光源进行光的双缝干涉实验（光子一个一个地射向双缝），会看到什么现象？（A ）和电子的双缝干涉现象类似；（B ）不出现干涉条纹。由此你得到什么推论？ 6、所以，对于微观粒子的“波粒二象性”（particle-wave duality ）的涵义，下面的哪一种说法更合适一些？（A ）既是波也是粒子；（B ）既不是波也不是粒子；（C ）在一些实验中表现为波，在另一些实验中表现为粒子；（D ）有些特征像波，有些特征像粒子。 7、为什么必须假设波函数是复函数而不能限定它为实函数？（不要从波函数满足Schr?dinger 方程出发） 8、波函数的单值性是对谁的要求？（A ）波函数本身就必须是单值的；（B ）只要波函数的模平方是单值的就够了。 关于量子测量的讨论。 9、量子力学中的几率与经典几率（数学的概率论）在哪些地方相同，哪些地方不同？ 10、“波函数的模平方代表粒子的坐标测量几率密度”是不是波函数的几率解释的全部内容？ （A ）是全部；（B ）不是全部。 11、众所周知，若电子的自旋向上(/2)z s =+=的态记为+，自旋向下(/2)z s =?=的态记为?，则电子自旋的一般状态为a b ψ=++?。问：测量在这个状态下电子的z s 的几率分布能够（或不能）得到关于a 和b 的什么信息？为了得到更多的信息，可以再测量什么量（几率分布）？我们最多能得到关于a 和b 的哪些信息？类似的分析用于波函数()x ψ的时候，结论是什么？ 12、什么是量子测量中的波包坍缩（wave-packet collapse ）？为什么说量子测量的过程会导致波包坍缩？

大学物理量子力学习题附答案

1．4185：已知一单色光照射在钠表面上，测得光电子的最大动能是1.2 eV ，而钠的红限波长是5400 ?，那么入射光的波长是 (A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? ［ ］ 2．4244：在均匀磁场B 内放置一极薄的金属片，其红限波长为λ0。今用单色光照射，发现有电子放出，有些放出的电子(质量为m ，电荷的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为R 的圆周运动，那末此照射光光子的能量是： (A) 0λhc (B) 0 λhc m eRB 2)(2+ (C) 0λhc m eRB + (D) 0λhc eRB 2+ ［ ］ 3．4383：用频率为ν 的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能为E K ；若改用频率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电子的最大动能为： (A) 2 E K (B) 2h ν - E K (C) h ν - E K (D) h ν + E K ［ ］ 4．4737： 在康普顿效应实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子能量ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 ［ ］ 5．4190：要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV ［ ］ 6．4197：由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光 (B) 两种波长的光 (C) 三种波长的光 (D) 连续光谱 ［ ］ 7．4748：已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV ，当氢原子从能量为－0.85 eV 的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为 (A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV ［ ］ 8．4750：在气体放电管中，用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发射的光子的能量只能是 (A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV ，10.2 eV 和 1.9 eV (D) 12.1 eV ，10.2 eV 和 3.4 eV ［ ］ 9．4241： 若α粒子(电荷为2e )在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是 (A) )2/(eRB h (B) )/(eRB h (C) )2/(1eRBh (D) )/(1eRBh ［ ］ 10．4770：如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的 (A) 动量相同 (B) 能量相同 (C) 速度相同 (D) 动能相同 ［ ］ 11．4428：已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： a x a x 23cos 1)(π?= ψ ( - a ≤x ≤a )，那么粒子在x = 5a /6处出现的概率密度为 (A) 1/(2a ) (B) 1/a (C) a 2/1 (D) a /1 ［ ］ 12．4778：设粒子运动的波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定 粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？

量子力学基本概念及理解

量子力学基本理论及理解 基本概念 概率波 量子力学最基础的东西就就是概率波了,但我认为对概率波究竟就是什么样一种“波”,却并不就是很容易理解的,这个问题直到理查德,费恩曼(而不就是海森伯或者伯恩)提出了单电子实验,才让我们很清楚的瞧到什么就是概率波？有为什么就是概率波。 什么就是概率波？为什么就是概率波？ 要回答这些问题,其实很简单,我们只需瞧下费恩曼的理想电子双缝干涉实验(刚开始时理想实验,不过后来都已经过证明了)就行了,我相信大家都会明白的。 下面我们再瞧一下费恩曼给出了什么结果: 1.单独开启缝1或者缝2都会得到强度分布或者符合衍射的图样, 缝1与缝2都开启时得到强度符合干涉图样 2.由两个单缝的图样无论如何得不到双缝的图样,即 3.每次让一个电子通过,长时间的叠加后就得到一个与一次让很多电子 通过双缝完全相同的图案 4.每次得到的就是“一个”电子 其实从这些结果中我们很容易得到为什么必须就是概率波,并且我们也很容易去除那些对概率波不对的理解,也就就是所谓的向经典靠拢的理解,从而得到必须就是概率波的事实。 概率波从字面上来理解,也就就是这种波表示的就是一种概率分布,还就是在双缝干涉中我们瞧一下很简单的一些表现,若果就是概率波的话,我们很关心的就就是这个粒子分布的具体形状,粒子位置的期望值等,在这里我们可以瞧出来波函数经过归一化之后,就就是说电子还就是只有那一个电子,但就是它的位置不确定了,这才形成在一定的范围内的一个云状分布,您要计算某一个范围内的电荷就是多少,这样您会得到一个分数的电荷量,但这只能告诉您电子在您研究的范围内分布的概率有多大,并不就是说在这一范围内真正存在多少电子。