当前位置：文档之家› 量子力学基础简答题经典

量子力学基础简答题经典

量子力学基础简答题

1、简述波函数的统计解释；

2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？

3、力学量G

?在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系；

5、电子在位置和自旋z S ?表象下，波函数???

? ??=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。

6、何为束缚态？

7、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)

r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。

8、设粒子在位置表象中处于态),(t r

ψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,)

r t 改写为ψ(,)

r t 有何

不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。

10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？

14、在简并定态微扰论中，如 ()

0的某一能级)

0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…，

f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H

'+=???0的零级近似波函数？ 15、在自旋态χ

()s z 中， S x 和 S y

的测不准关系( )( )??S S x y 22?是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解？同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger 方程的解？

17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。 18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。 19何谓选择定则。

20、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋？

21、叙述量子力学的态迭加原理。 22、厄米算符是如何定义的？

23、据[a

?，+

a ?]=1，a a N

???+=，n n n N =?，证明：1?-=n n n a 。 24、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适用条件。

25、自旋 S =2

σ，问 σ是否厄米算符？ σ是否一种角动量算符？ 26、波函数的量纲是否与表象有关？举例说明。 27、动量的本征函数有哪两种归一化方法？予以简述。

28、知 Ge

e x x ααα=，问能否得到 G d

=？为什么？ 29、简述变分法求基态能量及波函数的过程。 30、简单Zeemann 效应是否可以证实自旋的存在？

31、不考虑自旋，当粒子在库仑场中运动时，束缚态能级E n 的简并度是多少？若粒子自旋为s ，问E n

的简并度又是多少?

32、根据

]?,?[1?H F i t F dt F d

+?=?说明粒子在辏力场中运动时，角动量守恒。 33、对线性谐振子定态问题，旧量子论与量子力学的结论存在哪些根本区别？ 34、简述氢原子的一级stark 效应。

35、写出 J jm +

的计算公式。

36、由12

τψd ，说明波函数的量纲。

37、F

?、G ?为厄米算符，问[F ?，G ?]与i [F ?，G ?]是否厄米算符？ 38、据[a

?，+

a ?]=1，a a N

???+=，n n n N =?证明：11?++=+n n n a 。 39、利用量子力学的含时微扰论，能否直接计算发射系数和吸收系数？ 40、什么是耦合表象？

41、不考虑粒子内部自由度，宇称算符P

?是否为线性厄米算符？为什么？ 42、写出几率密度与几率流密度所满足的连续性方程。

43、已知()

+???

??=a a x ??2?2

μω ，()+-??? ??=a a i p x ??21?2

μω，且1?-=n n n a ψψ，11?+++=n n n a ψψ，试推出线性谐振子波函数的递推公式。 44、写出一级近似下，跃迁几率的计算式。 45、何谓无耦合表象？

46、给出线性谐振子定态波函数的递推公式。

47、*=ψψG

?，G

?是否线性算符？ 48、在什么样的基组中，厄米算符是厄米矩阵？ 49、何谓选择定则？

50、写出jm J -

?公式。 51、何为束缚态？

52、写出位置表象中x p ?，p ? ，x ?和r ? 的表示式。

53、对于定态问题，试从含时Schrodinger 方程推导出定态Schrodinger 方程；

54、对于氢原子，其偶极跃迁的选择定则对主量子数n 是否存在限制？为什么？

55、在现阶段所学的量子力学中，电子的自旋是作为一个基本假定引入的，还是由其它假定自然推出的？

56、假如波函数应满足的方程不是线性方程，波函数是否一定能归一化？

57、试写出动量表象中x

?，r ? ，x p ?，p ? 的表式 58、幺正算符是怎样定义的？

59、我们知道，平面单色波的电场能和磁场能相等，而在用微扰论计算发射系数和吸收系数时，我们为什么忽略了磁场对电子的作用？

60、对于自旋为3/2的粒子，其自旋本征函数应是几行一列的矩阵？

61、写出德布罗意关系式及自由粒子的德布罗意波。 62、一维线性谐振子基态归一化波函数为

x e απ

αψ

，试计算积分

x d e x ?∞

-0

β； 63、当体系处于归一化波函数ψ所描述的状态时，简述在ψ态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法；

64、已知氢原子径向Schrodinger 方程无简并，微扰项只与r 有关，问非简并定态微扰论能否

适用？

65、自旋是否意味着自转？ 66、光到底是粒子还是波；

67、两个对易的力学量是否一定同时具有确定值？在什么情况下才同时具有确定值？ 68、不考虑自旋，求球谐振子能级E n 的简并度；

69、我们学过，氢原子的选择定则1±=?l ，这是否意味着?l =±3的跃迁绝对不可能发生？ 70、克莱布希－高豋系数是为解决什么问题提出的？）

71、在球坐标系下，波函数()φθψ,,r 为什么应是进动角φ的周期函数？

72、设当a ＜x 和b y ＜时，势能为常数0U ，试将此区域内的二维Schrodinger 方程分离

变量(不求解)； 73、何谓力学量完全集？

74、定性说明为什么在氢原子的Stark 效应中，可将r e H

?='ε?视为微扰项？ 75、Pauli 算符σ

? 是否满足角动量的定义式？

76、简述量子力学产生的背景；

77、写出位置表象中直角坐标系下x

L ?、y L ?、z L ?、2

?L 的表示式； 78、l n r R 为有心力场中的径向波函数，问

r r r r n n l l l n l n dr r R R ''''∞

*=?δδ2

是否成立？为什么？

79、定态微扰论是否适用于主量子数n 很大的氢原子情况？为什么？

80、有关角动量的定义，我们学过哪两种？哪一种更广泛？自旋角动量是按哪一种定义的？ 81、说明()x δ的量纲；

82、说明在定态问题中，定态能量的最小值不可能低于势能的最低值； 83、简述占有数表象；

84、试说明对易的厄米算符的乘积也是厄米算符； 85、何为偶极近似？

86、量子力学克服了旧量子论的哪些不足？

87、写出φ

=i L z

?的本征值及对应本征函数； 88、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 89、简述态的表象变换的方法；

90、已知总角动量21???J J J +=，试说明0]?,?[21

2=J J 。 91、旧量子论存在哪些不足？

92、对于旧量子论中氢原子的“轨道”，量子力学的解释是什么？ 93、两个不对易的力学量一定不能同时确定吗？举例说明； 94、简述变分法的思想；

95、写出电子在z

S ?表象下的三个Pauli 矩阵。 96、简述波函数的Born 统计解释；

97、设ψ是定态Schrodinger 方程的解，说明*

ψ也是对应同一本征能级的解，进而说明无简并能

级的波函数一定可以取为实数； 98、引入Dirac 符号的意义何在？ 99、定态微扰论的适用范围是什么？ 100、简述两个角动量耦合的三角形关系。

答案

1. 波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。

2. 电子云：用点的疏密来描述粒子出现的几率。

轨道：电子径向分布几率最大之处。

3. 力学量G

?在自身表象中的矩阵是对角的，对角线上为G ?的本征值。 4. 能量测不准关系的数学表示式为E t /2???≥，即微观粒子的能量与时间不可能同时进行准确的测

量，其中一项测量的越精确，另一项的不确定程度越大。 5. 利用

()()(

)

12x,y,z x,y,z d 1ψψτ+=?进行归一化，其中：()2

1x,y,z ψ表示粒子在()z y x ,,处

21S z =

的几率密度，()22x,y,z ψ表示粒子在()z y x ,,处2

S z -=的几率密度。 6. 束缚态: 无限远处为零的波函数所描述的状态。能量小于势垒高度，粒子被约束在有限的空间内运动。

7. 首先求解力学量F 对应算符的本征方程：λλλφφφλφ==F F n n n ??，然后将()t r ,

?按F 的本征态展开：

()?∑+=λφφ?λλd c c t r n

n n ,

，则F 的可能值为λλλλ,,,,n 21???，n F λ=的几率为2

n c ，F 在

λλλd +~范围内的几率为λλd c 2

8. Dirac 符号是不涉及任何表象的抽象符号。位置表象中的波函数应表示为?r

。

9. 求解定态薛定谔方程ψψE H =∧

时，若可以把不显含时间的∧

H 分为大、小两部分∧

∧

'+=H H

H )

(0，其

中（1）∧)

0的本征值)(n E 0和本征函数)

(n 0ψ是可以精确求解的，或已有确定的结果

)(n

)(n )(n

)

(E H

0000ψ

=∧，（2）∧

'H 很小，称为加在∧

)

0上的微扰，则可以利用)(n 0ψ和)

(n E 0构造出ψ和

E 。

10. Gerlack Stein -实验证明了电子自旋的存在。

11、条件：①能量比无穷远处的势小；②能级满足的方程至少有一个解。 12、不一定，只有在它们共同的本征态下才能同时确定。 13、无关。

14、因为作为零级近似的波函数必须保证()()()()()()()()011

00E H

E H n

??φφ--=-有解。 15、16

。

16、不是，是

17、不一定，如z y x L ,L ,L ???互不对易，但在Y 00态下，0L L L z

y x ===???。 18、厄米矩阵的定义为矩阵经转置、共轭两步操作之后仍为矩阵本身，即*

nm A ＝m n A ，可知对角线

上的元素必为实数，而关于对角线对称的元素必互相共轭。

19、原子能级之间辐射跃迁所遵从的规则。选择定则表明并非任何两能级之间的辐射跃迁都是可能的，只

有遵从选择定则的能级之间的辐射跃迁才是可能的。

20、不能。

21、如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么，它们的线性叠加2211c c ψψψ+=（c 1、c 2是复数）也是这个体系的可能状态。

22、如果对于两任意函数ψ和?，算符F

?满足下列等式()??

*=τ?ψτ?ψd F d F ?

?，则称F ?为厄米算符。 23、[]

1a a =+?,? 即1a a a a =-++????

又a a N

???+= ()()

()()?????????????????Na

n a aa n aa 1a n aN a n aN n a n an n a n a n-1n ?n-1a

n ++∴==-=-=-=-==

1-n c n a =∴?

又n n n n n N

n ==? 且2

2c n c n n a a n n N n ===+???

n c 2

=∴

取n c =

得1-n n n a =?

24、()

()()???+-+

+=∑m

'nm

nn 0n n E E H H E E

()

()()()

???+-+=∑m 0m 0m

0n 'mn 0n

n E E H ψψψ 适用条件：()()1E E H 0m

0n 'mn

<<-

25、σ

是厄米算符，但不是角动量算符。 26．有关，例如r ? 在位置表象和动量表象下的本征态分别为()P r i ?

?=3

P 21

πψ和()()0P

P P P ? -=δψ，

它们的量纲显然不同。

27．坐标表象下动量的本征方程为()r P i P Ce r

?=?，它有两种归一化方法：①归一化为δ函数：由

()()()P P d r r P P '-=''???*

δτ??得出()2

21C π=；②箱归一化：假设粒子被限制在一个立方体中，边长为L ，取箱中心为坐标原点，要求波函数在箱相对面上对应点有相同的值，然后由

()()1d r r P P ='

???

*τ??

得出2

1C =

。

28．不能，因为所作用的波函数不是任意的。 29．第一步:写出体系的哈密顿算符；

第二步:根据体系的特点(对称性,边界条件和物理直观知识),寻找尝试波函数()λψ,λ为变分参数,它能够调整波函数(猜一个)；

第三步:计算哈密顿在()λψ态中的平均值

λψλψ

λψλλψλd d H H )()()()()()(*

*??=

第四步:对()λH 求极值,即令

()0d H d =λ

λ,求出()λmin H ,则

()0min E H λ≈，()

min H 0λψψ≈

30．不可以。

31 不考虑自旋时，当粒子在库仑场中运动时，束缚态能级可表示为n E ，其简并度为2n 。若考虑粒子的自旋为s ，则n E 的简并度为2

(21)s n +。

32 粒子在奏力场中运动时，Hamilton 算符为：()r U r

L ?r r r r H ?++????-=22222212μμ ，则有：[][]02

==H ?,L ?H ?,L

?α

，又因角动量不显含时间，得0=dt

F d 、角动量守恒。 33旧量子论给出线性谐振子的基态能量为零而量子力学认为其基态有能量，为ω 2

；另外，量子力学表明，在旧量子论中粒子出现区域以外也有发现粒子的可能。

34在氢原子外场作用下，谱线（21n n =→=）发生分裂（变成3条）的现象。 35

)

?,,1J j m j m +

=+。

36波函数的量纲由坐标τ的维数来决定。对一维、二维、三维，τ的量纲分别为[]L 、2

[]L 、3

[]L ，则波函数的量纲依次为1L

-、1L -、32

-。

37 [?F

，?G ]不是厄米算符，i [?F ，?G ]是厄米算符。因为????(,),i F

G i F G +

????=?

38 证明：可证明算符+

a ?,a

?对于能量本征态的作用结果是： ()1-=n n n a

?λ ()1+=+n n n a ?ν (1) νλ,为待定系数。上式的共轭方程是： ()1-=*+n n a

?n λ ()1+=*n n a ?n ν (2) 式(1)和(2)相乘（取内积）并利用已知条件，即得：

n n a ?a

?n ==+*λλ ()11+=+==++*n n a ?a ?n n a ?a ?n νν 适当选择态矢量n 的相因子(α

i e )，总可使λ和ν为非负实数。因此，

()()1,+==n n n n νλ

故得证。

39 利用量子力学的含时微扰论，可以直接计算出受激发射系数和受激吸收系数；但由于没有考虑到电磁场的量子化（即量子力学中的二次量子化），自发跃迁系数不能直接被推导出来，可在量子电动力学（QED ）中计算出。

40 以J ?表示1?J 与2?J 之和：21???J J J +=；算符2221?,?,?,?J J J J z 相互对易、有共同本征矢m j j j ,,,2

1，

j 和m 表明2?J 和z J ?的对应本征值依次为()21 +j j 和 m 。m j j j ,,,2

1组成正交归一完全系，以它们为基矢的表象称为耦合表象。

41、是。()()[]()[]()[]

z y x v P C z y x u P C z y x v C z y x u C P 2

121,,?,,?,,,,?+=+ 且()()()()dxdydz z y x -v z y x u dxdydz z y x v P z y x u --=

??????+∞∞-+∞∞-+∞

∞

+∞∞-+∞∞-+∞

∞

,,,,,,?,,

()()()-z Z -y,Y -x,X dXdYdZ Z Y X v ---u ===-=?

?-∞∞+-∞∞+-∞

∞

令,,Z ,Y ,X

()()dXdYdZ Z Y X v u ,,Z ,Y ,X ???+∞∞-+∞∞-+∞

∞-*

---=

()[]()dXdYdZ Z Y X v u P

,,Z ,Y ,X ?*

+∞∞-+∞∞-+∞

∞-???=

()[]()dzdydz z y z v u P

,,z ,y ,x ?*

+∞∞-+∞∞-+∞

∞

-???=

?∴是线性厄米算符。 42、几率流密度)**(m i J ψψψψ?-?=2 与几率密度ψψω*=满足的连续性

方程为：0=??+??J t

43、 ()

n 2

1n 2

1n 222x ψμωψμωψμωψ+

+???

??+????

??=+????

??=a ?a ?a ?a ?

1n 2

11-n 2

1n 2n 2++?

??+???? ??=ψμωψμω

()()()

()()()()()

2n n 2-n 2n n n 2-n n n n n

n 22n 1n 12n 1n n 22n 1n n 1n 1n n 222x +++++++

+++

++-=++++++-=+++=++=

ψψψμω

ψψψψμωψψψψμωψ

μωψ

a ?a ?a ?a ?a ?a

?a ?a ?a ?a ?a ?a ?

()(

)

n 1-n 2

n 2

n x n 1n n 22p i dx d +++-??

??=-??

? ??==ψψμ?ψμ?ψψ a ?a ??

()()

()

()()()()()

2n n 2-n 2n n n 2-n n n n n

n n 2

x n 2

22n 1n 12n 1n n 22n 1n n 1n 1n n 222p i dx d +++++++

++++

+--=

+++-+--=+--=--=??

? ??=ψψψμ?

ψψψψμ?ψψψψμ?ψμ?ψψ

a ?a ?a ?a ?a ?a

?a ?a

?a ?a ?a ?a ??

44、一级近似下，由初态k φ跃迁到终态

m φ的几率为：2

t i mk m k t d e H i 1

W mk ''=

?'→ω 其中，τφφd H H k m mk '='?*?，()k m mk 1

εε?-=

。 45、2z 2

21z 2

1J ,J ,J ,J ????

相互对易，有共同的本征态22112211m j m j m j m j ≡，则该本征态对应的表象为无耦合表象。 46

线性谐振子定态波函数的递推公式：???

? ??++=-+112211?n n n n

n x

ψψαψ ，()

(

)

1n 1-n 2

1n 2

n x n 1n n 2??2p ?i dx d +++-?

? ??=-??? ??==ψψμ?ψμ?ψψ a a ，其中，n ψ为线性谐振子定态

波函数，

μ?

α=

。

47不是，因为()ψψψG ?C G ?C C G

?≠=*。 48在本征值分立的基组中，厄米算符是厄米矩阵。

49为了使越迁几率不为零，一定对量子数做了某些限止，这些限止即为选择定则。 50

()()111---+=-

jm m m j j jm J ? 。

。 51．束缚态:能量小于势垒高度，粒子被约束在有限的空间内运动，它的波函数在无限远处为零。

52．x i P ?x ??= ，?=i P ? ，x x ?=，k z j y i x r ? ++=

53．当)r (U 不显示时间t ，设)t (f )r ()t ,r (

?ψ=代入含时薛定谔方程

),()(),(2),(22t r r U t r t t r i

ψ+ψ?-=?ψ?μ

，分离变量得：

)]r ()r (U )r ([)r (dt )t (df )t (f i

??μ

?+?-=?2221 这个等式左边只是t 的函数，右边只是r 的函数，而t 和r

是相互独立的变量，所以只有当两边都等

于同一常量时，等式才能满足。以Ｅ表示这个常量，由等式右边等于Ｅ，有：

)r (E )r ()r (U )r (

???μ

=+?-222 此即为定态薛定谔方程。

5４．对于氢原子，其偶极跃迁的选择定则对主量子数n 没有限制，因为在计算跃迁几率时，与主量子数

有关的积分

dr r )r (R )r (R nl l n 30

∞

''在n 和n '取任何整数值时均不恒等于零。

5５．在初等量子力学中，自旋是作为一个基本假定引入的。

56不一定能归一化，因为波函数满足的方程不是线性方程时，ψ 与ψC 表示的就不一定是同一态。

57在动量表象中：x

p i x ?

??= ，p

i r ? ?=，x x p p ?=，P P ? = 58满足()

1-+=F ?F

?的算符为幺正算符。 59因为光波中的磁场对电子作用的能量约为电场对电子作用能量的137

，所以忽略了磁场对电子的作用。 60 四行一列。

。61德布罗意关系：k n h P

==λ

自由粒子的德布罗意波：()Et r p i Ae

-?=

62由12

200

?+∞

∞

--+∞

∞

-*dx e

dx x απ

ψψ得：α

παα221222

==??∞+∞--∞

+-dx e dx e

x x

令βα=2

得

β210

∞

+-dx e x 63首先求解力学量F 的本征方程：λλλφφφλφ==F F n n n ??，然后将()t r ,

?按F 的本征态展开：

()?∑+=λφφ?λλd c c t r n

n n ,

，则F 的可能值为λλλλ,,,,n 21???，n F λ=的几率为2

n c ，F 在λ

λλd +~范围内的几率为λλd c 2

。 64 可以适用。

65自旋是一种内禀角动量，并不是自转。

66光是粒子和波的统一。

67不一定，只有在它们共同的本征态下才能同时确定。

68球谐振子能级??

? ??

=23n E n ? ，(321n n n n ++=；???=,,,,210n n ,n 321) n E 的简并度为()2

2n 1)(n ++。

69不一定。偶极近似下的结果才为1l ±=?，在多极近似下或精确解时3l ±=?也可能会实现。

70克莱布希－高豋系数是为了实现无耦合表象和耦合表象之间的变换而提出的。

71、φ与πφ2+在球坐标系下为同一点,根据波函数的单值性,同一点应具有同一值,故球坐标系下波函数

()φθψ,,r 为进动角φ的周期函数.

72、二维定态薛定谔方程:ψψμE U y x =??

????+????

????+??-0222222 . 令y x y x E E E ,+==ψψψ,y x U U U +=0.

可得???

????=+-=+-y

y y y y x x x x x

E U dy d E U dx d ψψψμψψψμ2

2222 73、设有一组彼此独立而又相互对易的厄米算符()

,A ?,A ?A ?21,它们的共同本征函数记为k ψ(k 是一组量子数的笼统记号).若给定k 之后就能够确定体系的一个可能状态,则()

,?,??2

1A A A 构成体系的一组力学量完全集.力学量完全集中厄米算符的数目与体系的自由度数相同. 74、氢原子在外电场作用下所产生的谱线分裂现象,称为氢原子的stark 效应.加入外电场后,势场的对称性受到破坏,能级发生分裂,使简并部分被消除,可用简并情况下的微扰理论来处理.在一级stark 效应中,由于通常情况下,外电场强度比起原子内部的电场强度要小得多,故可以把外电场看作微扰.

75、将σ?S ? 2

=代入自旋角动量定义式S ?i S ?S ? =?得σσσσ?i ?i ?? ≠=?2,即算符σ? 不满足角动量定义式.

76经典物理无法解释近代物理出现的黑体辐射，光电效应，原子光谱与原子结构等问题。在Plank, Einstein, Bohr, de Broglie 等的基础上，Heisenberge, Schrodinger, 分别提出矩阵力学、波动力学，经Dirac, Pauli 等人的完善发展形成了当今的量子力学。

77 ， ???y x z

L zp xp i z i x x z ??=-=-+?? ???z y x

L xp yp i x i y y x

??=-=-+??， ???

????????? ????-??+??? ????-??+???? ????-??-=22222x y y x z x x z y z z y L ?

78不一定成立，仅当l l '=时成立。因为角动量的本征态（对应量子数l ）是关于角向正交归一的。

79不适用，n 很大时，(0)(0)

n m E E -可能很小， ()()

1E E H 0m

0n mn <<-'不成立， H '不能看作微扰。对定态简并情形也一样。

???

L r p =?，???J J i J ?=，自旋按后者定义???S S i S ?=

81．由()1=?

dx x δ x 量纲为[L] 知，()x δ的量纲为[L]-1。

82．在定态问题中，???H

T U =+， 2

min 2p E T U U U U μ

=+=+≥≥，

即定态能量的最小值不可能低于势能的最小值。

83．一维线性谐振子能量本征值方程 n

n n E H ?ψψ=，其中 ω ??? ?

+=21n E n

()x H x exp N n n n α???

??α-=ψ222

引入产生、消灭算符 ???? ??-=+p i x a ?2?μωα ???? ?

?+=p i x a ?2?μωα 因 222212x p ?H ?μωμ+= 故 ωω ??? ?

?+=??? ??+=+21?21???N a a H ，以Dirac 符号n 表示n ψ，则n n n N

=?，算符N ?的本征值为n ,以n 为基矢的表象称为占有数表象。

量子力学基础简答题(经典)

84．令B A C B B A A

???,??,??===++,则()

A B A B

B A

C ???????===+++

+,若[]

0?,?=B A 则A B B A ????=,有()

C B A

B A C

??????===+

+,即C ?为厄米算符。 85．在量子跃迁问题中，一级近似时忽略光波中磁场对原子的作用能，并假设光波长远大于原子线度，

得出跃迁几率2

mk m k r e

∝→ω，其中r e

为电子偶极矩，故称此种近似处理方法为偶极近似。 86、旧量子理论有下列不足：其角动量量子化的假设很生硬；比氢原子稍复杂的体系解释的不好；即使是氢原子，对其谱线强度也无能为力。

量子力学的优点：量子化是解方程得出的很自然的结果；可以解释比氢原子更复杂的原子；对于氢原

子不仅可以给出谱线的位置，也可以给出谱线的强度。

87、设?

-= i L ?z

的本征值为 m ，本征函数?π

φim m e 21=，其中???±±=,2,1,0m .

88、一个物理体系存在束缚态的条件是：存在能量值，其大小小于无穷远处的势能，且对应该能量的方程

存在满足无穷远处为零的边界条件的解。 89、一个抽象的希尔伯特空间中的矢量可以按照不同的完备基展开,称为不同的表象.设力学量完全集A 的

共同正交归一本征函数组为m ???????,,,321，力学量完全集B 的共同正交归一本征函数组为

m φφφφ???,,,321,将{n φ}用{n ?}展开得到基矢的变换规则：∑=n

n n S ?φββ，以βn S 为矩阵元的矩阵S

为变换矩阵满足1=+SS 。把矢量ψ用两组基展开,∑∑==

n n n

n b a ?φ

ψ,坐标分量的变换规则为

∑∑-==n

n kn k n

n kn k a S b b S a )(,1,力学量在不同表象下的矩阵元之间的变换规则为

∑∑-=i

j A ij i

B S F S F βααβ)(1,即S F S F A B 1-=.

90、()

122122212

12J ?J ?J ?J ?J ?J ?J ?J ?J ?+++=+=

由于1?J 和2?J 对易，故()

122212

12??2?????J J J J J J J ?++=+= [][

][

][]

[][

]

??,?2?,??200??,?2?,??,??,?2

12122112

1212122212121

2=?+?++=?++=∴J J J J J J J J J J J J J J J 91．旧量子论即玻尔(Bohr)的量子论（稳恒轨道＆定态跃迁＆量子化条件）加上索末菲(Sommerfeld)在此基础上的推广，故亦称玻尔理论或玻尔与索末菲的理论.由于经典理论在两者的头脑中已根深蒂固，这使得他们把量子力学的研究对象——微观粒子（电子，原子等）看作经典力学中的质点，进而把经典力学的规律用在微观粒子上. 这样，就造成了旧量子论存在以下几点不足： ①“角动量是的整数倍”这一量子化条件很生硬.

②只能很好解释氢原子或较好解释只有一个价电子（Li,Na,K 等）的光谱结构，而对于稍复杂例如简单程度仅次于氢原子的氦原子，则已无能为力. ③即使对于氢原子，也只能求其谱线频率，而不能求其强度.

92．由于量子力学在描述微观粒子的运动时，认为它没有确定的轨道，而是用波函数绝对值的平方表示

粒子在空间各处出现的（相对）几率. 因此在解释原子中电子的运动时，量子力学可用电子云图形象地表示出电子在空间各处出现的几率. 基于此，对于旧量子论中氢原子的“轨道”，量子力学解释为电子在原子核周围运动的径向几率密度最大处.

93．由z y x L ?i ]L ?,L ?[ =知，算符y x L ?,L ?不对易. 但在态00Y 中，由①0?00

=Y z L 得到0=z L ；②z y x L ?,L ?,L ?

量子力学选择题1

量子力学选择题 (1)原子半径的数量级是： A．10－10cm; B.10-8m C. 10-10m D.10-13m (2)若氢原子被激发到主量子数为n的能级,当产生能级跃迁时可能发生的所有谱线总条数应为： A．n-1 B .n(n-1)/2 C .n(n+1)/2 D .n (3)氢原子光谱赖曼系和巴耳末系的系线限波长分别为： A.R/4 和R/9 B.R 和R/4 C.4/R 和9/R D.1/R 和4/R (4)氢原子赖曼系的线系限波数为R,则氢原子的电离电势为： A．3Rhc/4 B. Rhc C.3Rhc/4e D. Rhc/e (5)氢原子基态的电离电势和第一激发电势分别是： A．13.6V和10.2V; B –13.6V和-10.2V; C.13.6V和3.4V; D. –13.6V和-3.4V (6)根据玻尔理论,若将氢原子激发到n=5的状态,则： A.可能出现10条谱线，分别属四个线系 B.可能出现9条谱线，分别属3个线系 C.可能出现11条谱线，分别属5个线系 D.可能出现1条谱线，属赖曼系 (7)欲使处于激发态的氢原子发出Hα线，则至少需提供多少能量（eV）? A.13.6 B.12.09 C.10.2 D.3.4 (8)氢原子被激发后其电子处在第四轨道上运动,按照玻尔理论在观测时间内最多能看到几条线？ A.1 B.6 C.4 D.3 (9)氢原子光谱由莱曼、巴耳末、帕邢、布喇开系…组成.为获得红外波段原子发射光谱,则轰击基态氢原子的最小动能为: A .0.66 eV B.12.09eV C.10.2eV D.12.75eV (10)用能量为12.75eV的电子去激发基态氢原子时,受激氢原子向低能级跃迁时最多可能出现几条光谱线（不考虑自旋）； A.3 B.10 C.1 D.4 (11)按照玻尔理论基态氢原子中电子绕核运动的线速度约为光速的： A.1/10倍 B.1/100倍 C .1/137倍 D.1/237倍 (12)已知一对正负电子绕其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子的结构的

量子力学基础简答题

量子力学基础简答题 1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋表象下，波函数如何归一化？解释各项的几率意义。 6、何为束缚态？ 7、当体系处于归一化波函数所描述的状态时，简述在状态中测量力学量F的可能值及其几率的方法。 8、设粒子在位置表象中处于态,采用Dirac符号时，若将改写为有何不妥？采用Dirac符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。 10、Stern—Gerlach实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？ 14、在简并定态微扰论中，如的某一能级，对应f个正交归一本征函数（=1，2，…，f），为什么一般地不能直接作为的零级近似波函数？ 15、在自旋态中，和的测不准关系是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态方程的解？同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态方程的解？ 17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。 18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。 19何谓选择定则。 20、能否由方程直接导出自旋？ 21、叙述量子力学的态迭加原理。 22、厄米算符是如何定义的？ 23、据[，]=1，，，证明：。 24、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适用条件。 25、自旋，问是否厄米算符？是否一种角动量算符？ 26、波函数的量纲是否与表象有关？举例说明。 27、动量的本征函数有哪两种归一化方法？予以简述。

量子力学考试题

量子力学考试题（共五题，每题20分） 1、扼要说明：（a ）束缚定态的主要性质。（b ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。 2、设力学量算符（厄米算符）∧ F ，∧ G 不对易，令∧K ＝i （∧F ∧G -∧G ∧ F ），试证明：（a ）∧ K 的本征值是实数。（b ）对于∧ F 的任何本征态ψ，∧ K 的平均值为0。（c ）在任何态中2F +2 G ≥K 3、自旋η/2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为 S H ??ω= ∧ H ＝ω∧ z S +ν∧ x S （ω，ν>0，ω?ν）（a ）求能级的精确值。（b ）视ν∧ x S 项为微扰，用微扰论公式求能级。 4、质量为m 的粒子在无限深势阱（0

（a ）能量有确定值。力学量（不显含t ）的可能测值及概率不随时间改变。（b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’）选择定则：l ?＝1±，m ?＝0,1±，s m ?＝0 根据：电矩m 矩阵元-e → r n’l’m’m s ’，n l m m s ≠0 2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分（a ）∧ K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。（b ）∧ F ψ＝λψ，ψ∧ F ＝λψ K ＝ψ∧ K ψ＝i ψ∧F ∧ G -∧ G ∧F ψ ＝i λ｛ψ∧ G ψ-ψG ψ｝＝0 （c ）(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧ F 2 +∧ G 2 -∧ K ψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧ F -i ∧ G )ψ︱2≥0 ∴<∧ F 2 +∧ G 2-∧ K >≥0，即2F +2 G ≥K 3、(a)，(b)各10分 (a) ∧ H ＝ω∧ z S +ν∧ x S ＝2ηω［1001-］+2ην［0110］＝2η［ων ν ω -］ ∧ H ψ＝E ψ，ψ＝［b a ］，令E ＝2η λ，则［λωννλω---］［b a ］＝0，︱λων ν λω---︱＝2λ-2ω-2ν＝0 λ＝±22νω+，E 1＝-2η22νω+，E 2＝2η 22νω+ 当ω?ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+222ων）＝ω+ων22 E 1≈-2η［ω+ων22］，E 2 ＝2η ［ω+ων22］（b ）∧ H ＝ω∧z S +ν∧ x S ＝∧H 0+∧H ’，∧ H 0＝ω∧ z S ，∧ H ’＝ν∧ x S ∧ H 0本征值为ωη21± ，取E 1（0）＝-ωη21，E 2（0）＝ωη21 相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2(0)＝[01 ] 则∧ H ’之矩阵元（S z 表象）为

量子力学练习题

一. 填空题 1．量子力学的最早创始人是，他的主要贡献是于 1900 年提出了假设，解决了的问题。 2．按照德布罗意公式，质量为21,μμ的两粒子，若德布罗意波长同为λ，则它们的动量比p 1:p 2= 1:1；能量比E 1：E 2= 。 3．用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗意波长，若电子的能量E= kT 2 3（k 为玻尔兹曼常数），要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最高温度T max = 。 4．阱宽为a 的一维无限深势阱，阱宽扩大1倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大(缩小) ；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为a ，质量仍为μ，则第n 个能级的能量E n = ，相应的波函数=)(x n ψ() a x a x n a n <<=0sin 2πψ和。 5．处于态311ψ的氢原子，在此态中测量能量、角动量的大小，角动量的z 分量的值分别为E= eV eV 51.13 6.132 -=；L= ；L z = ，轨道磁矩M z = 。 6．两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态为)(q k ?，当它们是玻色子时波函数为 ),(21q q s ψ= ；玻色体系为费米子时 =),(21q q A ψ ；费米体系 7．非简并定态微扰理论中求能量和波函数近似值的公式是 E n =() ) +-'+'+∑ ≠0 2 0m n n m mn mn n E E H H E ， )(x n ψ = () ) () +-'+ ∑ ≠00 2 0m m n n m mn n E E H ψ ψ ，其中微扰矩阵元 ' mn H =()() ?'τψψ d H n m 00?；而 ' nn H 表示的物理意义是。该方法的适用条件是本征值，。

量子力学简答

1试写了德布罗意公式或德布罗意关系式，简述其物理意义答：微观粒子的能量和动量分别表示为： ων ==h E k n h p ==?λ 其物理意义是把微观粒子的波动性和粒子性联系起来。等式左边的能量和动量是描述粒子性的；而等式右边的频率和波长则是描述波的特性的量。 2波函数的统计解释是：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。按这种解释，描写粒子的波是几率波。 3试说明式子2211??ψc c +=的含义，并指出在状态ψ 中测量体系的能量的可能值及其几率。答： 2211??ψc c +=的含义是：当粒子处于1?和2?的线性叠加态ψ时，粒子是既处于 1?态，又处于2 ?态。或者说，当1?和2?是体系可能的状态时，它们的线性叠加态ψ 也是体系一个可能的状态；或者说，当体系处在态 ψ 时，体系部分地处于态 1?、2?中。在状态 ψ中测量体系的能量的可能值为1E 和2E ，各自出现的几率为 2 1 c 和 2 2 c 。 4什么是定态？定态有什么性质？答：定态是指体系的能量有确定值的态。在定态中，所有不显含时间的力学量的几率密度及向率流密度都不随时间变化。 5 什么是全同性原理和泡利不相容原理？两者的关系是什么？答：全同性原理是指由全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。泡利不相容原理是指不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态。两者的关系是由全同性原理出发，推论出全同粒子体系的波函数有确定的交换对称性，将这一性质应用到费米子组成的全同粒子体系，必然推出费米不相容原理。 6 为什么表示力学量的算符必须是厄米算符？答：因为所有力学量的数值都是实数。而表示力学量的算符的本征值是这个力学量的可能值，所以表示力学量的算符的本征值必须是实数。厄米算符的本征值必定是实数。所以表示力学量的算符必须是厄米算符。 7 简述费米子的自旋值及其全同粒子体系波函数的特点，这种粒子所遵循的统计规律是什么？答：由电子、质子、中子这些自旋为 2 的粒子以及自旋为 2 的奇数倍的粒子组成的全同粒子体系的波函数是反对称的，这类粒子服从费米(Fermi) －狄拉克 (Dirac) 统计，称为费米子。 8 一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A ，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B ）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。 9 辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。

量子力学试题

一、填空题 1．玻尔的量子化条件为。 2．德布罗意关系为。 3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。 4．波函数的统计解释：_____________________________________ __________________________________________________________ 5．为归一化波函数，粒子在方向、立体角内出现的几率为，在半径为，厚度为的球壳内粒子出现的几率为。 6．波函数的标准条件为。 7．，为单位矩阵，则算符的本征值为__________。 8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子 ___________守恒。 9．力学量算符应满足的两个性质是。 10．厄密算符的本征函数具有。 11．设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为 _______________________________________________。 12.______;_______;_________。 28．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则___。 13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。 14．在定态条件下，守恒的力学量是_______________________。 15．隧道效应是指__________________________________________。 16．量子力学中，原子的轨道半径实际是指____________________。 17．为氢原子的波函数，的取值范围分别为。

18．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为。 19．设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符与态矢量的关系为__________。 20．力学量算符在态下的平均值可写为的条件为____________________________。 21．量子力学中的态是希尔伯特空间的____________；算符是希尔伯特空间的____________。 21．设粒子处于态，为归一化波函数，为球谐函数，则系数c的取值为，的可能值为，本征值为出现的几率为。 22．原子跃迁的选择定则为。 23．自旋角动量与自旋磁矩的关系为。24．为泡利算符，则，，。 25．为自旋算符，则，，。 26．乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是 ________________________， _______________________________。 27．轨道磁矩与轨道角动量的关系是______________;自旋磁矩与自旋角动量的关系是 ______________。 27．费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有______________, 玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有_________。

中国人民大学《617量子力学》考研真题详解

中国人民大学《617量子力学》考研真题详解 2021年中国人民大学理学院物理系《617量子力学》考研全套目录 ?全国名校量子力学考研真题汇编 ?2021年量子力学考研真题精解精析50题说明：本科目考研真题不对外公布（暂时难以获得），通过分析参考教材知识点，精选了有类似考点的其他院校相关考研真题，以供参考。 2．教材教辅 ?曾谨言《量子力学教程》（第3版）配套题库【名校考研真题＋课后习题＋章节题库＋模拟试题】 ?曾谨言《量子力学导论》（第2版）网授精讲班【39课时】说明：以上为本科目参考教材配套的辅导资料。

? 试看部分内容 2021年量子力学考研真题精解精析50题1当前冷原子物理研究非常活跃，在实验中，粒子常常是被束缚在谐振子势中，因此其哈密顿量为。假设粒子间有相互作用，其中分别代表粒子1和粒子2的自旋，参数J＞0。（1）如果把两个自旋1/2的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数；（2）如果把两个自旋1的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数。（注意：参数在不同范围内，情况会不同） [浙江大学2014研]【解题思路】 ①研究体系处在线性谐振子势场中，有关单个体系在谐振子势中的问题，一般可以通过求解薛定谔方程得出相应的本征波函数和本征能量，确定体系的波函数，研究对象的量子状态、对其进行测量可得到的测量值的大小和几率等问题，都可以一一解决。 ②研究体系内包含两个粒子，它们之间存在自旋-自旋相互作用，利用角动量的合成来解决这部分相互作用引出的相关问题。

③在两个问题中，涉及到不同自旋的粒子，即玻色子和费米子，可以通过它们满足的统计性质来决定在势场中的分布情况，从而解决要求的基态能量和波函数。【解析】（1）对于处在线性谐振子势中粒子的哈密顿量由薛定谔方程得本征能量为本征波函数为两粒子间有相互作用设因此即

量子力学期末考试试卷及答案

量子力学期末试题及答案红色为我认为可能考的题目一、填空题： 1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。 2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。 3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。 4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。二、简答题： 1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。 3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。三、证明题。

2、证明概率流密度J不显含时间。四、计算题。 1、

第二题：如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r r πε=-（） )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r Ze r U 024)(πε-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r E d r e r U )( ???????≥≤=??=)( 4 )( ,43441 02 003003303 420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82 203 020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022 2030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε

量子力学填空选择题

填空选择题：（量子力学部分） 1. 动能为()c E <<υ，质量为M 的电子的德布罗意波长是[ A ] （A ）()212ME h （B ）()21 ME h （C ）()21 2ME h （D ）()212ME h 2. 不确定关系式 ≥???y p y 表示在Y 方向上 [ D ] (A) 粒子位置不能确定 (B) 粒子动量不能确定 (C) 粒子位置和动量都不能确定 (D) 粒子位置和动量不能同时确定 3. 将波函数在空间各点的振幅同时增大N 倍，则粒子在空间的分布概率将[ D ] (A) 增大2N 倍 (B) 增大2N 倍 (C) 增大N 倍 (D) 不变 4. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： )(23cos 1)(a x a a x a x ≤≤-= πψ 那么粒子在6 5a x =处出现的概率密度为[ A ] a 21(A) a 1(B) a 21(C) a 1(D) 1. 低速运动的质子和α粒子，若它们的德布罗意波长相同，则它们的动量之比 =αP :p p 1:1 ；动能之比=αP :E E 4:1 。 2. 一电子具有200 m.s -1 的速率，动量的不确定范围为动量的0.01% ，则该电子的位置不确定范围为m 107.32 -?。（已知电子静止质量311011.9-?=e m kg ） 3. 动能为0.025 eV 的中子的德布罗意波长=λm 108.110-?。 (普朗克常量s J 1063.634??=-h ，中子质量kg 1067.127-?=m ) 4. 光子的波长3000=λ ?，如果确定此波长的精确度610-=?λλ ，求此光子波长的不确定量 0.048m x ?≥ 5. 粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：()()a x a x n a x n <

量子力学基础简答题(经典)教学文案

量子力学基础简答题 (经典)

量子力学基础简答题 1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量G ?在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋z S ?表象下，波函数??? ? ??=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。 6、何为束缚态？ 7、当体系处于归一化波函数ψ(,)?r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)? r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。 8、设粒子在位置表象中处于态),(t r ? ψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,)? r t 改写为 ψ(,)? r t 有何不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。 10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？ 14、在简并定态微扰论中，如?()H 0的某一能级)0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…，f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H '+=???0的零级近似波函数？ 15、在自旋态χ12 ()s z 中，?S x 和?S y 的测不准关系(?)(?)??S S x y 22?是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger &&方程的解？同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger &&方程的解？ 17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。 18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。 19何谓选择定则。 20、能否由Schrodinger &&方程直接导出自旋？

量子力学试题

量子力学试题（一）及答案一. （20分）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中 ()???><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0 ,0 中运动，若0=t 时，粒子处于 ()()()()x x x x 3212 1 31210,???ψ+-= 状态上，其中，()x n ?为粒子能量的第n 个本征态。（1）求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率；（2）求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为 ()x a n a x n n m a E n n π ?πsin 2,3,2,1 ,222 2 2=== （1）首先，将()0,x ψ归一化。由 12131212222=???? ???????? ??+???? ??+???? ??c 可知，归一化常数为 13 12=c 于是，归一化后的波函数为 ()()()()x x x x 32113 31341360,???ψ++-= 能量的取值几率为 ()()()13 3 ;13 4 ;136321=== E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。（2）因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为

()()()()?? ? ??-+?? ? ??-+??? ??-= t E x t E x t E x t x 332211i e x p 133i exp 134i exp 136, ???ψ （3）由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。二. （20分）质量为m 的粒子在一维势阱 ()?? ? ??>≤≤-<∞=a x a x V x x V ,00 ,0 .0 中运动()00>V ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量2 V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a 。解：对于02 <- =V E 的情况，三个区域中的波函数分别为 ()()()()??? ??-===x B x kx A x x αψψψexp sin 03 21 其中， E m V E m k 2 ;) (20=+= α 在a x =处，利用波函数及其一阶导数连续的条件 ()()()() a a a a '3 '2 32ψψψψ== 得到 ()() a B ka Ak a B ka A ααα--=-=exp cos exp sin 于是有 α k ka -=tan 此即能量满足的超越方程。当02 1 V E -=时，由于 1t a n 00 0-=-=??? ? ?? mV mV a mV

量子力学试题集

量子力学试题集判断题 1、量子力学中力学量不能同时有确定值。（×） 2、量子力学中能量都是量子化的。（√） 3、在本征态中能量一定有确定值。（√） 4、波函数一定则所有力学量的取值完全确定。（×） 5、量子力学只适用于微观客体。（×） 6．对于定态而言，几率密度不随时间变化。( √ ) 7．若，则在其共同本征态上，力学量F和G必同时具有确定值。( √ ) 8．所有的波函数都可以按下列式子进行归一化：。 ( × ) 9．在辏力场中运动的粒子，其角动量必守恒。( √ ) 10．在由全同粒子组成的体系中，两全同粒子不能处于同一状态。( × )

选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B A. Ψ代表微观粒子的几率密度； ψ*代表微观粒子出现的几率密度； B. Ψ归一化后，ψ C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A ψ一定也是该方程的一个解； A. * ψ一定不是该方程的解； B. * ψ一定等价； C. Ψ与*

D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒。 6．如果以∧ l 表示角动量算符，则对易运算] ,[y x l l 为：B A. ih ∧ z l B. ih ∧ z l ∧ x l ∧x l 7．如果算符∧ A 、∧ B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则： B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8．如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易，则意味着∧ A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。

量子力学练习题

量子力学练习题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

一. 填空题 1．量子力学的最早创始人是，他的主要贡献是于 1900 年提出了假设，解决了的问题。 2．按照德布罗意公式，质量为21,μμ的两粒子，若德布罗意波长同为 λ，则它们的动量比p 1:p 2= 1:1；能量比E 1：E 2= 。 3．用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗意波长，若电子的能量 E=kT 23 （k 为玻尔兹曼常数），要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最高温度T max = 。 4．阱宽为a 的一维无限深势阱，阱宽扩大1倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大(缩小) ；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为a ，质量仍为μ，则第n 个能级的能量E n = ，相应的波函数 =)(x n ψ()a x a x n a n <<= 0sin 2πψ和。 5．处于态311ψ的氢原子，在此态中测量能量、角动量的大小，角动量的z 分量的值分别为E= eV eV 51.13 6 .132-=；L= ；L z = ，轨道磁矩M z = 。 6．两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态为)(q k ?，当它们是玻色子时波函数为 ),(21q q s ψ= ；玻色体系为费米子时 =),(21q q A ψ ；费米体系 7．非简并定态微扰理论中求能量和波函数近似值的公式是 E n =() () +-'+'+∑≠0 020m n n m mn mn n E E H H E ， )(x n ψ = () ) () +-'+∑≠000 2 0m m n n m mn n E E H ψψ，其中微扰矩阵元 'mn H =()() ?'τψψd H n m 00?；而 'nn H 表示的物理意义是。该方法的适用条件是本征值，。

哈工大考研量子力学试题

2.2.3 2008年真题【题目】1. 轨道角动量的三个分量x L ，y L 和z L 是否有共同本征态？若果有，写出一个来；如果没有，请说明为什么【解题】没有，^^^ ,x y z L L i L ?? =???? 不对易，故无共同本征态【分析】本题考察两个算符具有共同本征态的条件——两个算符对易。属于基础概念的考核。对易这一概念是量子力学考试中肯定会出现的概念，通常穿插在答题中间，对常用的对易关系一定要做到熟练运用，记忆的程度。【题目】2. 已知哈密顿量2 21()2H V r μ =- ?+的本征值为n E ，相应的本征函数为()n r ?，求2 22()2H V r C μ =- ?++的本征值和本征函数（C 为常数）。【解题】 ^ 1^^^ 211()() ()()()()()()()()() n n n n n n n n n n n n H r E r H r H C r H r C r E r C r E C r ?????????==+=+=+=+ 由上式知，^ 2H 的本征函数为()n r ?，本征值为n E C + 【分析】首先写出哈密顿量的本征方程，通过两个不同哈密顿量的关系可以得出相关结果

【题目】3. 计算对易关系2[,]?;[,]?z x y z p L L iL L =+= 【解题】（1） 22^^^^^^^^^^^^ ^^ ^^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ,,,,()()()0 z z z z y x y x y x x y y x x y p L L p L p p p L p i p i i p j p p i p i i p j i p p p p p p p p ????????=-=--???????? ???????????? =----=--+-= （2） ^^^^^^^^^ ,,,x y z x z y z y x L i L L L L i L L i L i L ?????? +=+=+???????????? 【分析】本题需要掌握常见量子算符的对易关系，比如坐标与动量、动量与动量、角动量与动量，并且有关对易几条性质得知道，比如 ?? ? ???+??????=??????∧∧∧∧∧∧∧∧∧C A B C B A C ,,B A ，，能将复杂的算符用一些简单并且我们所熟知的算符表示出来，并化简得出结果【题目】4. 利用不确定关系估算线性谐振子的基态能量。【解题】 2222 (),()x x x p p p =-=- 对线性谐振子 0x p == 2222,x x p p ∴==

量子力学问答题

1. 经典物理学遇到哪些困难？从中得到哪些启示？ 2. 普朗克为了解释自己提出的经验公式，作了怎样的假定？这一假定的思想与经典思想有何区别？ 3. 爱因斯坦重新肯定光的粒子性与牛顿的光的微粒说有何区别？ 4. 普朗克--爱因斯坦关系式有何意义？ 5. 玻尔量子论的两个重要概念和它的缺陷，玻尔量子理论是否可能揭示出微观粒子运动本质？这什么？ 6. 在康普顿效应的初步理论中指出，当散射的时候，波长的改变与散射物理性质无关，这个结论是否正确？这个效应与物质的性质有什么关系？ 7. 徳布罗意提出的实物粒子具有波粒二象性的基本思想是什么？德布罗意关系式与普朗克--爱因斯坦关系式有何区别？ 8. 德布罗意关系式在有外场时是否成立？怎样理解？ 9. 微观粒子具有什么特征？有无根据？ 10. 自由粒子的动能E，若它的速度远小于光速C，则该粒子的德布罗意波长为多少？ 11. 人们曾经对波的理解有哪两种观点？是否正确？ 12. 波和粒子的关系究竟如何？电子是粒子还是波？怎样理解？ 13. 玻恩的统计解释怎样？为什么波函数能描写粒子的一切性质？怎样理解？ 14. 归一化条件的物理意义是什么？波函数的标准条件是什么？ 15. 几率波有哪些重要性质？经典波与几率波的根本区别是什么？ 16. 如何用实验装置来测量粒子的动量？ 17. 为什么薛定谔方程必须是线性方程？ 18. 薛定谔方程在量子力学中的地位，如何来建立它？ 19. 叙述几率流密度矢量的物理意义？ 20. 什么是定态？处于定态下的粒子具有怎样的特征？ 21. 在力场中运动的粒子是否可用定态波来描述？ 22. 薛定谔方程应满足什么条件？ 23. 自由粒子是什么？ 24. 人们对物质粒子的波动性早期理解有哪两种较为普遍的观点？为什么这些现象都是片面的，是不正确的？ 25. 波和粒子的关系究竟如何？怎样理解几率波，为什么说几率波正确地把物质粒子的波动性和原子性统一起来？ 26. 证明一维运动束缚定态都是不简并的？ 27. 为什么一维运动束缚定态波函数是实数？ 28. 什么是束缚态？什么是自由态？什么是基态？束缚态与自由态以能级怎样？ 29. 什么是能量本征值？什么是能量本征函数？H不变，即能量守恒是否意味着能量一定处于能量本征态中？为什么？ 30. 何谓透射系数和反射系数，何谓遂道效应，怎样求出透射系数和反射系数？怎样理解反射系数？ 31. 在什么情况下发生共振透射？怎样理解共振透射？ 32. 线性谐振子的能谱怎样？与旧量子论有何区别？ 33. 在几率分布中有波节存在，粒子怎样通过几率为0的点？ 34. 什么叫算符？量子力学的算符有何性质？ 35. 量子力学中为什么要引进算符来表示力学量？ 36. 证明在任何状态下，厄密算符的平均值都是实数，其定理也成立。

量子力学练习题

第五篇第一章波粒二象性玻尔理论一、选择题 1. 已知某单色光照射到一金属表面产生了光电效应，若此金属的逸出电势是U 0 (使电子从金属逸出需作功eU 0)，则此单色光的波长λ必须满足： [ A ] (A) 0eU hc ≤ λ (B) 0 eU hc ≥λ (C) hc eU 0≤λ (D) hc eU 0≥λ 解：红限频率与红限波长满足关系式hv 0= λhc =eU 0，即0 0eU hc = λ 0λλ≤才能发生光电效应，所以λ必须满足0 eU hc ≤ λ 2. 在X 射线散射实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则入射光光子能量0ε与散射光光子能量ε之比ε0 为 [ B ] (A) 0.8 (B) 1.2 (C) 1.6 (D) 2.0 解： λ εhc = ，0 0λεhc = ，02.1λλ= ，所以 2.10 0==λλεε 3. 以下一些材料的功函数(逸出功)为铍 -----3.9 eV 钯 ---- 5.0 eV 铯 ---- 1.9 eV 钨 ---- 4.5 eV 今要制造能在可见光(频率范围为3.9×1014 Hz ~ 7.5×1014Hz)下工作的光电管，在这些材料中应选 [ C ] (A) 钨 (B) 钯 (C) 铯 (D) 铍解：可见光的频率应大于金属材料的红限频率0νh , 才会发生光电效应。这些金属的红限频率由A h =0ν可以得到： 1419 34 )(01086.101063.610 6.15.4?=???= --钨ν(Hz) 1419 34 )(01007.121063.610 6.10.5?=???= --钯ν(Hz) 1419 34 ) (01059.41063.610 6.19.1?=???= --铯ν(Hz) 1419 34 )(01041.91063.610 6.19.3?=???= --铍ν(Hz) 可见应选铯

量子力学试题2008年含答案

2008~2009郑州大学物理工程学院电子科学与技术专业光电子方向量子力学试题（A 卷）（说明：考试时间120分钟，共6页，满分100分）计分人：复查人：一、填空题：（每题 4 分，共40 分） 1. 微观粒子具有波粒二象性。 2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。 3．根据波函数的统计解释，dx t x 2 ),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率。 4．量子力学中力学量用厄米算符表示。 5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i =h 。 6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量 F 所得的数值，必定是算符F ?的本征值。 7．定态波函数的形式为：t E i n n e x t x η -=)(),(?ψ。 8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易。 9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的________。 10．每个电子具有自旋角动量S ρ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为：2 η ± 。

二、证明题：（每题10分，共20分） 1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明： z y x L i L L? ] ?, ?[η = ] ? ? , ? ? [ ] ?, ?[ z x y z y x p x p z p z p y L L- - = ] ? ? , ? [ ] ? ? , ? [ z x y z x z p x p z p z p x p z p y- - - = ] ? , ? [ ] ? , ? [ ] ? , ? [ ] ? , ? [ z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z p y+ - - = ] ? , ? [ ] ? , ? [ z y x z p x p z p z p y+ = y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z p y?] ? , [ ] ? , ?[ ?] ? , [ ] ? , ?[+ + + = y z x z p p x z p z p y?] ? , [ ] ? , ?[+ = y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p p yz? ?] , [ ?] ?, [ ?] , ?[ ] ?, ?[+ + + = y x p i x p i y?) ( ?) (η η+ - = ] ? ? [ x y p y p x i- =η z L i?η =

渤海大学《629量子力学》考研真题详解

渤海大学《629量子力学》考研真题详解 2021年渤海大学物理科学与技术学院《629量子力学》考研全套目录 ?全国名校量子力学考研真题汇编说明：本科目考研真题不对外公布（暂时难以获得），通过分析参考教材知识点，精选了有类似考点的其他院校相关考研真题，以供参考。 2．教材教辅 ?周世勋《量子力学教程》（第2版）笔记和课后习题（含考研真题）详解?周世勋《量子力学教程》（第2版）配套题库【考研真题精选＋章节题库】说明：以上为本科目参考教材配套的辅导资料。 ? 试看部分内容

绪论 1.1 复习笔记在十九世纪末、二十世纪初，经典物理取得了巨大的成功，牛顿定律、麦克斯韦方程、热力学和统计力学相继建立并成功应用于物理学研究和工程，但在物理大厦落成的同时，物理学家中的有识之士也意识到了天空中漂浮的乌云。黑体辐射、光电效应和固体的比热等一系类问题是经典物理无法解释的。之后的旧量子论包括玻尔理论、爱因斯坦的光量子和德布罗意波粒二象性假说给物理学的发展带来了希望，它们也为量子力学的发展奠定了基础。现代物理学中的两大支柱（量子力学、相对论）逐步验证并解释物理实验中的现象的同时，量子力学自身也在不断完善，并发展出了电磁场量子化理论、解释光子原子相互作用的量子电动力学、应用于原子中核子相互作用的量子色动力学理论，以及当下试图对引力场解释的超弦理论。所以，不论是为了备考还是为了将来的物理学科研，学习好量子力学是十分重要的。量子力学是现代物理学的基石，也是物理科研必备的工具。【本章重难点】 1．了解经典物理的成功和所面临的危机，以及量子力学的发展历史； 2．掌握德布罗意波粒二象性关系； 3．熟练运用玻尔-索末菲量子化条件。一、波粒二象性（见表1-1-1）

量子力学所有简答题答案

简答题 1．什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？答：光照射到某些物质上，引起物质的电性质发生变化，也就是光能量转换成电能。这类光致电变的现象被人们统称为光电效应。或光照射到金属上，引起物质的电性质发生变化。这类光变致电的现象被人们统称为光电效应。光电效应规律如下： 1．每一种金属在产生光电效应时都存在一极限频率（或称截止频率），即照射光的频率不能低于某一临界值。当入射光的频率低于极限频率时，无论多强的光都无法使电子逸出。 2．光电效应中产生的光电子的速度与光的频率有关，而与光强无关。 3．光电效应的瞬时性。实验发现，只要光的频率高于金属的极限频率，光的亮度无论强弱，光子的产生都几乎是瞬时的。 4.入射光的强度只影响光电流的强弱，即只影响在单位时间内由单位面积是逸出的光电子数目。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。逸出电子的动能、光子能量和逸出功之间的关系可以表示成： 22 1 mv A h + =ν这就是爱因斯坦光电效应方程。其中，h 是普朗克常数；f 是入射光子的频率。 2．写出德布罗意假设和德布罗意公式。德布罗意假设：实物粒子具有波粒二象性。德布罗意公式：νωh E == λ h k P = = 3．简述波函数的统计解释，为什么说波函数可以完全描述微观体系的状态。几率波满足的条件。波函数在空间中某一点的强度和在该点找到粒子的几率成正比。因为它能根据现在的状态预知未来的状态。波函数满足归一化条件。 4．以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是