量子力学基础简答题
1、简述波函数的统计解释；
2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？
3、力学量G
?在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系；
5、电子在位置和自旋z S ?表象下，波函数???
? ??=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。
6、何为束缚态？
7、当体系处于归一化波函数ψ(,)?r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)?
r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。
8、设粒子在位置表象中处于态),(t r ?
ψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,)?
r t 改写为ψ(,)
?
r t 有何
不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。
10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？
14、在简并定态微扰论中，如?()
H
0的某一能级)
0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…，
f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H
H
'+=???0的零级近似波函数？ 15、在自旋态χ
1
2
()s z 中，?S x 和?S y
的测不准关系(?)(?)??S S x y 22?是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger &&方程的解？同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger &&方程的解？
17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。 18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。 19何谓选择定则。
20、能否由Schrodinger &&方程直接导出自旋？
21、叙述量子力学的态迭加原理。 22、厄米算符是如何定义的？
23、据[a
?，+
a ?]=1，a a N
???+=，n n n N =?，证明：1?-=n n n a 。 24、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适用条件。
25、自旋?η???S =2
σ，问??σ是否厄米算符？??σ是否一种角动量算符？ 26、波函数的量纲是否与表象有关？举例说明。 27、动量的本征函数有哪两种归一化方法？予以简述。
28、知?Ge
e x x ααα=，问能否得到?G d
dx
=？为什么？ 29、简述变分法求基态能量及波函数的过程。 30、简单Zeemann 效应是否可以证实自旋的存在？
31、不考虑自旋，当粒子在库仑场中运动时，束缚态能级E n 的简并度是多少？若粒子自旋为s ，问E n
的简并度又是多少?
32、根据
]?,?[1?H F i t F dt F d η
+?=?说明粒子在辏力场中运动时，角动量守恒。 33、对线性谐振子定态问题，旧量子论与量子力学的结论存在哪些根本区别？ 34、简述氢原子的一级stark 效应。
35、写出?J jm +
的计算公式。
36、由12
=?
τψd ，说明波函数的量纲。
37、F
?、G ?为厄米算符，问[F ?，G ?]与i [F ?，G ?]是否厄米算符？ 38、据[a
?，+
a ?]=1，a a N
???+=，n n n N =?证明：11?++=+n n n a 。 39、利用量子力学的含时微扰论，能否直接计算发射系数和吸收系数？ 40、什么是耦合表象？
41、不考虑粒子内部自由度，宇称算符P
?是否为线性厄米算符？为什么？ 42、写出几率密度与几率流密度所满足的连续性方程。
43、已知()
+
+???
?
??=a a x ??2?2
1
μωη，()+-??? ??=a a i p x ??21?2
1
ημω，且1?-=n n n a ψψ，11?+++=n n n a ψψ，试推出线性谐振子波函数的递推公式。 44、写出一级近似下，跃迁几率的计算式。 45、何谓无耦合表象？
46、给出线性谐振子定态波函数的递推公式。
47、*=ψψG
?，G
?是否线性算符？ 48、在什么样的基组中，厄米算符是厄米矩阵？ 49、何谓选择定则？
50、写出jm J -
?公式。 51、何为束缚态？
52、写出位置表象中x p ?，p ?ρ，x ?和r ?ρ的表示式。
53、对于定态问题，试从含时Schrodinger &&方程推导出定态Schrodinger &&方程；
54、对于氢原子，其偶极跃迁的选择定则对主量子数n 是否存在限制？为什么？
55、在现阶段所学的量子力学中，电子的自旋是作为一个基本假定引入的，还是由其它假定自然推出的？
56、假如波函数应满足的方程不是线性方程，波函数是否一定能归一化？
57、试写出动量表象中x
?，r ?ρ，x p ?，p ?ρ的表式 58、幺正算符是怎样定义的？
59、我们知道，平面单色波的电场能和磁场能相等，而在用微扰论计算发射系数和吸收系数时，我们为什么忽略了磁场对电子的作用？
60、对于自旋为3/2的粒子，其自旋本征函数应是几行一列的矩阵？
61、写出德布罗意关系式及自由粒子的德布罗意波。 62、一维线性谐振子基态归一化波函数为
2
2
21
x e απ
αψ
-=
，试计算积分
x d e x ?∞
-0
2
β； 63、当体系处于归一化波函数ψ所描述的状态时，简述在ψ态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法；
64、已知氢原子径向Schrodinger &&方程无简并，微扰项只与r 有关，问非简并定态微扰论能否
适用？
65、自旋是否意味着自转？ 66、光到底是粒子还是波；
67、两个对易的力学量是否一定同时具有确定值？在什么情况下才同时具有确定值？ 68、不考虑自旋，求球谐振子能级E n 的简并度；
69、我们学过，氢原子的选择定则1±=?l ，这是否意味着?l =±3的跃迁绝对不可能发生？ 70、克莱布希－高豋系数是为解决什么问题提出的？ ）
71、在球坐标系下，波函数()φθψ,,r 为什么应是进动角φ的周期函数？
72、设当a ＜x 和b y ＜时，势能为常数0U ，试将此区域内的二维Schrodinger &&方程分离
变量(不求解)； 73、何谓力学量完全集？
74、定性说明为什么在氢原子的Stark 效应中，可将r e H
?
??='ε?视为微扰项？ 75、Pauli 算符σ?ρ是否满足角动量的定义式？
76、简述量子力学产生的背景；
77、写出位置表象中直角坐标系下x
L ?、y L ?、z L ?、2
?L 的表示式； 78、l n r R 为有心力场中的径向波函数，问
r r r r n n l l l n l n dr r R R ''''∞
*=?δδ2
是否成立？为什么？
79、定态微扰论是否适用于主量子数n 很大的氢原子情况？为什么？
80、有关角动量的定义，我们学过哪两种？哪一种更广泛？自旋角动量是按哪一种定义的？ 81、说明()x δ的量纲；
82、说明在定态问题中，定态能量的最小值不可能低于势能的最低值； 83、简述占有数表象；
84、试说明对易的厄米算符的乘积也是厄米算符； 85、何为偶极近似？
86、量子力学克服了旧量子论的哪些不足？
87、写出φ
??
=i L z
η?的本征值及对应本征函数； 88、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 89、简述态的表象变换的方法；
90、已知总角动量21???J J J ρρρ+=，试说明0]?,?[21
2=J J 。 91、旧量子论存在哪些不足？
92、对于旧量子论中氢原子的“轨道”，量子力学的解释是什么？ 93、两个不对易的力学量一定不能同时确定吗？举例说明； 94、简述变分法的思想；
95、写出电子在z
S ?表象下的三个Pauli 矩阵。 96、简述波函数的Born 统计解释；
97、设ψ是定态Schrodinger &&方程的解，说明*
ψ也是对应同一本征能级的解，进而说明无简并能
级的波函数一定可以取为实数； 98、引入Dirac 符号的意义何在？ 99、定态微扰论的适用范围是什么？ 100、简述两个角动量耦合的三角形关系。
答案
1. 波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
2. 电子云：用点的疏密来描述粒子出现的几率。
轨道：电子径向分布几率最大之处。
3. 力学量G
?在自身表象中的矩阵是对角的，对角线上为G ?的本征值。 4. 能量测不准关系的数学表示式为E t /2???≥h ，即微观粒子的能量与时间不可能同时进行准确的测
量，其中一项测量的越精确，另一项的不确定程度越大。 5. 利用
()()(
)
2
2
12x,y,z x,y,z d 1ψψτ+=?进行归一化，其中：()2
1x,y,z ψ表示粒子在()z y x ,,处
21S z =
的几率密度，()22x,y,z ψ表示粒子在()z y x ,,处2
1
S z -=的几率密度。 6. 束缚态: 无限远处为零的波函数所描述的状态。能量小于势垒高度，粒子被约束在有限的空间内运动。
7. 首先求解力学量F 对应算符的本征方程：λλλφφφλφ==F F n n n ??，然后将()t r ,?
?按F 的本征态展开：
()?∑+=λφφ?λλd c c t r n
n n ,?
，则F 的可能值为λλλλ,,,,n 21???，n F λ=的几率为2
n c ，F 在
λλλd +~范围内的几率为λλd c 2
8. Dirac 符号是不涉及任何表象的抽象符号。位置表象中的波函数应表示为?r
?
。
9. 求解定态薛定谔方程ψψE H =∧
时，若可以把不显含时间的∧
H 分为大、小两部分∧
∧
∧
'+=H H
H )
(0，其
中（1）∧)
(H
0的本征值)(n E 0和本征函数)
(n 0ψ是可以精确求解的，或已有确定的结果
)(n
)(n )(n
)
(E H
0000ψ
ψ
=∧，（2）∧
'H 很小，称为加在∧
)
(H
0上的微扰，则可以利用)(n 0ψ和)
(n E 0构造出ψ和
E 。
10. Gerlack Stein -实验证明了电子自旋的存在。
11、条件：①能量比无穷远处的势小；②能级满足的方程至少有一个解。 12、不一定，只有在它们共同的本征态下才能同时确定。 13、无关。
14、因为作为零级近似的波函数必须保证()()()()()()()()011
1
00E H
E H n
n
n
n
??φφ--=-有解。 15、16
4
η。
16、不是，是
17、不一定，如z y x L ,L ,L ???互不对易，但在Y 00态下，0L L L z
y x ===???。 18、厄米矩阵的定义为矩阵经转置、共轭两步操作之后仍为矩阵本身，即*
nm A ＝m n A ，可知对角线
上的元素必为实数，而关于对角线对称的元素必互相共轭。
19、原子能级之间辐射跃迁所遵从的规则。选择定则表明并非任何两能级之间的辐射跃迁都是可能的，只
有遵从选择定则的能级之间的辐射跃迁才是可能的。
20、不能。
21、如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么，它们的线性叠加2211c c ψψψ+=（c 1、c 2是复数）也是这个体系的可能状态。
22、如果对于两任意函数ψ和?，算符F
?满足下列等式()??
*
*=τ?ψτ?ψd F d F ?
?，则称F ?为厄米算符。 23、[]
1a a =+?,?Θ即1a a a a =-++????
又a a N
???+=Θ ()()
()()?????????????????Na
n a aa n aa 1a n aN a n aN n a n an n a n a n-1n ?n-1a
n ++∴==-=-=-=-==
1-n c n a =∴?
又n n n n n N
n ==?Θ且2
2c n c n n a a n n N n ===+???
n c 2
=∴
取n c =
得1-n n n a =?
24、()
()()???+-+
+=∑m
0m
n
2
'nm
'
nn 0n n E E H H E E
()
()()()
???+-+=∑m 0m 0m
0n 'mn 0n
n E E H ψψψ 适用条件：()()1E E H 0m
0n 'mn
<<-
25、σ
??
是厄米算符，但不是角动量算符。 26．有关，例如r ??在位置表象和动量表象下的本征态分别为()P r i ?
e
r ??η
?η
??=3
P 21
πψ和()()0P
P P P ?????-=δψ，
它们的量纲显然不同。
27．坐标表象下动量的本征方程为()r P i P Ce r ?
?η???=?，它有两种归一化方法：①归一化为δ函数：由
()()()P P d r r P P '-='
'???*
?????
?δτ??得出()2
321C ηπ=；②箱归一化：假设粒子被限制在一个立方体中，边长为L ，取箱中心为坐标原点，要求波函数在箱相对面上对应点有相同的值，然后由
()()1d r r P P ='
'
???
*τ?????
?
得出2
3L
1C =
。
28．不能，因为所作用的波函数不是任意的。 29．第一步:写出体系的哈密顿算符；
第二步:根据体系的特点(对称性,边界条件和物理直观知识),寻找尝试波函数()λψ,λ为变分参数,它能够调整波函数(猜一个)；
第三步:计算哈密顿在()λψ态中的平均值
τ
λψλψ
τ
λψλλψλd d H H )()()()()()(*
*??=
第四步:对()λH 求极值,即令
()0d H d =λ
λ,求出()λmin H ,则
()0min E H λ≈，()
min H 0λψψ≈
30．不可以。
31 不考虑自旋时，当粒子在库仑场中运动时，束缚态能级可表示为n E ，其简并度为2n 。若考虑粒子的自旋为s ，则n E 的简并度为2
(21)s n +。
32 粒子在奏力场中运动时，Hamilton 算符为：()r U r
L ?r r r r H ?++????-=22222212μμη，则有：[][]02
==H ?,L ?H ?,L
?α
，又因角动量不显含时间，得0=dt
F d 、角动量守恒。 33旧量子论给出线性谐振子的基态能量为零而量子力学认为其基态有能量，为ωη2
1
；另外，量子力学表明，在旧量子论中粒子出现区域以外也有发现粒子的可能。
34在氢原子外场作用下，谱线（21n n =→=）发生分裂（变成3条）的现象。 35
?,,1J j m j m +
=+。
36波函数的量纲由坐标τ的维数来决定。对一维、二维、三维，τ的量纲分别为[]L 、2
[]L 、3
[]L ，则波函数的量纲依次为1L
-、1L -、32
L
-。
37 [?F
，?G ]不是厄米算符，i [?F ，?G ]是厄米算符。 因为????(,),i F
G i F G +
????=?
?
??
38 证明：可证明算符+
a ?,a
?对于能量本征态的作用结果是： ()1-=n n n a
?λ ()1+=+n n n a ?ν (1) νλ,为待定系数。上式的共轭方程是： ()1-=*+n n a
?n λ ()1+=*n n a ?n ν (2) 式(1)和(2)相乘（取内积）并利用已知条件，即得：
n n a ?a
?n ==+*λλ ()11+=+==++*n n a ?a ?n n a ?a ?n νν 适当选择态矢量n 的相因子(α
i e )，总可使λ和ν为非负实数。 因此，
()()1,+==n n n n νλ
故得证。
39 利用量子力学的含时微扰论，可以直接计算出受激发射系数和受激吸收系数；但由于没有考虑到电磁场的量子化（即量子力学中的二次量子化），自发跃迁系数不能直接被推导出来，可在量子电动力学（QED ）中计算出。
40 以J ?表示1?J 与2?J 之和：21???J J J +=；算符2221?,?,?,?J J J J z 相互对易、有共同本征矢m j j j ,,,2
1，
j 和m 表明2?J 和z J ?的对应本征值依次为()21η+j j 和ηm 。m j j j ,,,2
1组成正交归一完全系，以它们为基矢的表象称为耦合表象。
41、 是。()()[]()[]()[]
z y x v P C z y x u P C z y x v C z y x u C P 2
121,,?,,?,,,,?+=+Θ且()()()()dxdydz z y x -v z y x u dxdydz z y x v P z y x u --=
??????+∞∞-+∞∞-+∞
∞
-*
+∞∞-+∞∞-+∞
∞
-*
,,,,,,?,,
()()()-z Z -y,Y -x,X dXdYdZ Z Y X v ---u ===-=?
?
?-∞∞+-∞∞+-∞
∞
+*
令,,Z ,Y ,X
()()dXdYdZ Z Y X v u ,,Z ,Y ,X ??
?+∞∞-+∞∞-+∞
∞
-*---=
()[]()dXdYdZ Z Y X v u P
,,Z ,Y ,X ?*
+∞∞-+∞∞-+∞
∞-???=
()[]()dzdydz z y z v u P
,,z ,y ,x ?*
+∞∞-+∞∞-+∞
∞
-???=
P
?∴是线性厄米算符。 42、几率流密度)**(m i J ψψψψ?-?=2ηρ与几率密度ψψω*=满足的连续性
方程为：0=??+??J t
ρω
43、 ()
n 2
1n 2
1n 2
1n 222x ψμωψμωψμωψ+
+???
?
??+????
??=+????
??=a ?a ?a ?a ?ηηη
1n 2
11-n 2
1
1n 2n 2++?
??
?
??+???? ??=ψμωψμωηη
()()()
()()()()()
()()()()()
2n n 2-n 2n n n 2-n n n n n
n
n 22n 1n 12n 1n n 22n 1n n 1n 1n n 222x +++++++
+
+++
++-=++++++-=+++=++=
ψψψμω
ψψψψμωψψψψμωψ
μωψη
ηηη
a ?a ?a ?a ?a ?a
?a ?a ?a ?a ?a ?a ?
()(
)
1
n 1-n 2
1
n 2
1
n x n 1n n 22p i dx d +++-??
?
??=-??
? ??==ψψμ?ψμ?ψψηηηa ?a ??
()()
()
()()()()()
()()()()()
2n n 2-n 2n n n 2-n n n n n
n n 2
x n 2
22n 1n 12n 1n n 22n 1n n 1n 1n n 222p i dx d +++++++
++++
+--=
+++-+--=+--=--=??
? ??=ψψψμ?
ψψψψμ?ψψψψμ?ψμ?ψψη
ηη
ηηa ?a ?a ?a ?a ?a
?a ?a
?a ?a ?a ?a ??
44、一级近似下，由初态k φ跃迁到终态m φ的几率为：2
t
t i mk m k t d e H i 1W mk ''=
?'
→ωη其中，τφφd H H k m mk '='?*?，()k m mk 1
εε?-=η
。 45、2z 2
21z 2
1J ,J ,J ,J ????
相互对易，有共同的本征态22112211m j m j m j m j ≡，则该本征态对应的表象为无耦合表象。 46
线性谐振子定态波函数的递推公式：???
? ??++=-+112211?n n n n
n x
ψψαψ ，()
(
)
1n 1-n 2
1n 2
1
n x n 1n n 2??2p ?i dx d +++-?
?
? ??=-??? ??==ψψμ?ψμ?ψψηηηa a ，其中，n ψ为线性谐振子定态
波函数，η
μ?
α=
。
47不是，因为()ψψψG ?C G ?C C G
?≠=*。 48在本征值分立的基组中，厄米算符是厄米矩阵。
49为了使越迁几率不为零，一定对量子数做了某些限止，这些限止即为选择定则。 50
()()111---+=-
jm m m j j jm J ?η。
。 51．束缚态:能量小于势垒高度，粒子被约束在有限的空间内运动，它的波函数在无限远处为零。
52．x i P ?x ??=η，?=i P ?ηρ，x x ?=，k z j y i x r ?ρρρρ++=
53．当)r (U ρ不显示时间t ，设)t (f )r ()t ,r (ρ
ρ?ψ=代入含时薛定谔方程
),()(),(2),(22t r r U t r t t r i ρρρ
ηρ
ηψ+ψ?-=?ψ?μ
，分离变量得：
)]r ()r (U )r ([)r (dt )t (df )t (f i ρρρ
ηη??μ
?+?-=?2221 这个等式左边只是t 的函数，右边只是r ρ的函数，而t 和r ρ
是相互独立的变量，所以只有当两边都等
于同一常量时，等式才能满足。以Ｅ表示这个常量，由等式右边等于Ｅ，有：
)r (E )r ()r (U )r (ρρρρ
η???μ
=+?-222 此即为定态薛定谔方程。
5４．对于氢原子，其偶极跃迁的选择定则对主量子数n 没有限制，因为在计算跃迁几率时，与主量子数
有关的积分
dr r )r (R )r (R nl l n 30
?
∞
''在n 和n '取任何整数值时均不恒等于零。
5５．在初等量子力学中，自旋是作为一个基本假定引入的。
56不一定能归一化，因为波函数满足的方程不是线性方程时，ψ 与ψC 表示的就不一定是同一态。
57在动量表象中：x
p i x ?
??=η，p
i r ??η??=，x x p p ?=，P P ???= 58满足()
1-+=F ?F
?的算符为幺正算符。 59因为光波中的磁场对电子作用的能量约为电场对电子作用能量的137
1
，所以忽略了磁场对电子的作用。 60 四行一列。
。61德布罗意关系：k n h P ?
η??==λ
自由粒子的德布罗意波：()Et r p i Ae
-?=??η
ψ
62由12
200
==
?
?+∞
∞
--+∞
∞
-*dx e
dx x απ
α
ψψ得：α
παα221222
20
==??∞+∞--∞
+-dx e dx e
x x
令βα=2
得
β
π
β210
2
=
?
∞
+-dx e x 63首先求解力学量F 的本征方程：λλλφφφλφ==F F n n n ??，然后将()t r ,?
?按F 的本征态展开：
()?∑+=λφφ?λλd c c t r n
n n ,?
，则F 的可能值为λλλλ,,,,n 21???，n F λ=的几率为2
n c ，F 在λ
λλd +~范围内的几率为λλd c 2
。 64 可以适用。
65自旋是一种内禀角动量，并不是自转。
66光是粒子和波的统一。
67不一定，只有在它们共同的本征态下才能同时确定。
68球谐振子能级??
? ??
+
=23n E n ?η，(321n n n n ++=；???=,,,,210n n ,n 321) n E 的简并度为()2
2n 1)(n ++。
69不一定。偶极近似下的结果才为1l ±=?，在多极近似下或精确解时3l ±=?也可能会实现。
70克莱布希－高豋系数是为了实现无耦合表象和耦合表象之间的变换而提出的。
71、φ与πφ2+在球坐标系下为同一点,根据波函数的单值性,同一点应具有同一值,故球坐标系下波函数
()φθψ,,r 为进动角φ的周期函数.
72、二维定态薛定谔方程:ψψμE U y x =??
????+????
????+??-0222222η. 令y x y x E E E ,+==ψψψ,y x U U U +=0.
可得???
????=+-=+-y
y y y y x x x x x
E U dy d E U dx d ψψψμψψψμ2
22
2
2222ηη 73、设有一组彼此独立而又相互对易的厄米算符()
Λ,A ?,A ?A ?21,它们的共同本征函数记为k ψ(k 是一组量子数的笼统记号).若给定k 之后就能够确定体系的一个可能状态,则()
Λ,?,??2
1A A A 构成体系的一组力学量完全集.力学量完全集中厄米算符的数目与体系的自由度数相同. 74、氢原子在外电场作用下所产生的谱线分裂现象,称为氢原子的stark 效应.加入外电场后,势场的对称性受到破坏,能级发生分裂,使简并部分被消除,可用简并情况下的微扰理论来处理.在一级stark 效应中,由于通常情况下,外电场强度比起原子内部的电场强度要小得多,故可以把外电场看作微扰.
75、将σ?S ?ρηρ2
=代入自旋角动量定义式S ?i S ?S ?ρηρρ=?得σσσσ?i ?i ??ρηρρρ≠=?2,即算符σ?ρ不满足角动量定义式.
76经典物理无法解释近代物理出现的黑体辐射，光电效应，原子光谱与原子结构等问题。在Plank, Einstein, Bohr, de Broglie 等的基础上，Heisenberge, Schrodinger, 分别提出矩阵力学、波动力学，经Dirac, Pauli 等人的完善发展形成了当今的量子力学。
77 ， ???y x z
L zp xp i z i x x z ??=-=-+??h h ???z y x
L xp yp i x i y y x
??=-=-+??h h ， ???
????????? ????-??+??? ????-??+???? ????-??-=22222x y y x z x x z y z z y L ?η
78不一定成立，仅当l l '=时成立。因为角动量的本征态（对应量子数l ）是关于角向正交归一的。
79不适用，n 很大时，(0)(0)
n m E E -可能很小， ()()
1E E H 0m
0n mn <<-'不成立， H '不能看作微扰。对定态简并情形也一样。
80
???L r p =?r r r ，???J J i J ?=r r r h ，自旋按后者定义???S S i S ?=r r r h
81． 由()1=?
dx x δ x 量纲为[L] 知，()x δ的量纲为[L]-1。
82． 在定态问题中，???H
T U =+， 2
min 2p E T U U U U μ
=+=+≥≥，
即定态能量的最小值不可能低于势能的最小值。
83． 一维线性谐振子能量本征值方程 n
n n E H ?ψψ=，其中 ωη??? ?
?
+=21n E n
()x H x exp N n n n α???
?
??α-=ψ222
引入产生、消灭算符 ???? ??-=+p i x a ?2?μωα ???? ?
?+=p i x a ?2?μωα 因 222212x p ?H ?μωμ+= 故 ωωηη??? ?
?+=??? ??+=+21?21???N a a H ， 以Dirac 符号n 表示n ψ，则n n n N
=?，算符N ?的本征值为n ,以n 为基矢的表象称为占有数表象。
84．令B A C B B A A
???,??,??===++,则()
A B A B
B A
C ???????===+++
+,若[]
0?,?=B A 则A B B A ????=,有()
C B A
B A C
??????===+
+,即C ?为厄米算符。 85． 在量子跃迁问题中，一级近似时忽略光波中磁场对原子的作用能，并假设光波长远大于原子线度，
得出跃迁几率2
mk m k r e ρ
∝→ω，其中r e ρ
为电子偶极矩，故称此种近似处理方法为偶极近似。 86、旧量子理论有下列不足：其角动量量子化的假设很生硬；比氢原子稍复杂的体系解释的不好；即使是氢原子，对其谱线强度也无能为力。
量子力学的优点：量子化是解方程得出的很自然的结果；可以解释比氢原子更复杂的原子；对于氢原
子不仅可以给出谱线的位置，也可以给出谱线的强度。
87、设?
??
-=ηi L ?z
的本征值为ηm ，本征函数?π
φim m e 21=，其中???±±=,2,1,0m .
88、一个物理体系存在束缚态的条件是：存在能量值，其大小小于无穷远处的势能，且对应该能量的方程
存在满足无穷远处为零的边界条件的解。
89、一个抽象的希尔伯特空间中的矢量可以按照不同的完备基展开,称为不同的表象.设力学量完全集A 的
共同正交归一本征函数组为m ???????,,,321，力学量完全集B 的共同正交归一本征函数组为
m φφφφ???,,,321,将{n φ}用{n ?}展开得到基矢的变换规则：∑=n
n n S ?φββ，以βn S 为矩阵元的矩阵S
为变换矩阵满足1=+SS 。把矢量ψ用两组基展开,∑∑==
n
n n n
n
n b a ?φ
ψ,坐标分量的变换规则为
∑∑-==n
n kn k n
n kn k a S b b S a )(,1,力学量在不同表象下的矩阵元之间的变换规则为
∑∑-=i
j A ij i
j
B
S F S F βααβ)(1
,即S F S F A B 1-=.
90、()
122122212
2
12J ?J ?J ?J ?J ?J ?J ?J ?J ?+++=+=
由于1?J 和2?J 对易，故()
2
122212
2
12??2?????J J J J J J J ?++=+= [][
][
][]
[][
]
??,?2?,??200??,?2?,??,??,?2
12122112
1212122212121
2=?+?++=?++=∴J J J J J J J J J J J J J J J 91．旧量子论即玻尔(Bohr)的量子论（稳恒轨道＆定态跃迁＆量子化条件）加上索末菲(Sommerfeld)在此基础上的推广，故亦称玻尔理论或玻尔与索末菲的理论.由于经典理论在两者的头脑中已根深蒂固，这使得他们把量子力学的研究对象——微观粒子（电子，原子等）看作经典力学中的质点，进而把经典力学的规律用在微观粒子上. 这样，就造成了旧量子论存在以下几点不足： ①“角动量是η的整数倍”这一量子化条件很生硬.
②只能很好解释氢原子或较好解释只有一个价电子（Li,Na,K 等）的光谱结构，而对于稍复杂例如简单程度仅次于氢原子的氦原子，则已无能为力. ③即使对于氢原子，也只能求其谱线频率，而不能求其强度.
92． 由于量子力学在描述微观粒子的运动时，认为它没有确定的轨道，而是用波函数绝对值的平方表示
粒子在空间各处出现的（相对）几率. 因此在解释原子中电子的运动时，量子力学可用电子云图形象地表示出电子在空间各处出现的几率. 基于此，对于旧量子论中氢原子的“轨道”，量子力学解释为电子在原子核周围运动的径向几率密度最大处.
93．由z y x L ?i ]L ?,L ?[η=知，算符y x L ?,L ?不对易. 但在态00Y 中，由①0?00
=Y z L 得到0=z L ；②z y x L ?,L ?,L ?
在此态中地位平等，得0==y
x L ?L .即两个不对易的力学量不一定不能同时确定. 实际上“在角动量J ?ρ的任何一个直角坐标分量(z J ?)的本征态下，J ?ρ 的另外两个分量(y
x J J ?,?)的平均值均为0.”——参见钱伯初与曾谨言所著《量子力学习题精选与剖析》(第二版)第165页.
94．在量子力学的近似方法中,微扰法有一定的适用范围,即当其中的)0(?H
部分的本征值与本证函数未知,或H
?'不是很小时,微扰法就不再适用.变分法不受上述条件的制约,但在求解基态以上近似时则相当麻烦,故只常用来求解基态能级与基态波函数.其基本思想是:
对于某一确定体系,用任意波函数ψ计算出的H
?的平均值总是大于体系的基态能量0E ,而只有当ψ恰好是体系的基态波函数0ψ时, H
?的平均值才等于基态的能量,相应的波函数为基态波函数.这样,我们可以选取许多ψ并计算出相应H
?的平均值,这些平均值中最小的一个最接近于0E . 基于此,用变分法求基态能量和基态波函数的步骤为: ① 取含参量λ,归一化,且有物理意义的尝试波函数()λψ,r ρ
,
② 求平均值()τψψλd H
?H ?
*=, ③ 求极小值0λ:
0=λ
d H
d , ④ 得基态能量()00λH E =, 基态波函数()r ,ρ
00λψψ=.
需要注意的是,在选尝试波函数时,需要许多技巧.
95．在z
S ?表象下.电子的三个泡利(Pauli)矩阵为：
???
?
??-=???? ?
?-=????
??=1001000110z y x ,i
i ,σσσ. 96．同人们理解所有基本概念的过程一样,人们对物质粒子波动性的理解也并非一帆风顺：由于深受经典概
念的影响,包括波动力学的创始人在内,他们把电子衍射实验中的电子波看成三维空间中连续分布的某种物质波包,波包的大小即电子的大小,波包的群速度即电子的运动速度.但这种观点连自由粒子的运动都无法解释:随着时间的推移,与自由粒子对应的物质波包必然要扩散,即导致粒子越来越“胖”,这与实际相矛盾;物质波包的观点夸大了波动性的一面,抹杀了粒子性的一面,带有片面性;
与物质波包相反的另一种看法是,波动性是由于有大量粒子分布于空间而形成的疏密波.但电子衍射实验表明:即使是单个电子也具有波动性.这种观点夸大了粒子性的一面,而抹杀了粒子具有波动性的一面.
以上观点的局限在于试图用经典的观点给予解释.
经典力学中说到一个“粒子”时,意味着一个具有一定质量和电荷等属性的客体,物质粒子的这种“原子性”是实验证实了的.而粒子具有完全确定轨道的看法在宏观世界里则只是一个很好的近似,无限精确的轨道概念从来也没有为实验所验证过;经典力学中说到一个“波动”时,总是意味着某种实
在的物理量的周期性空间分布.但实际上,更本质的在于波的相干叠加性.
分析电子衍射实验可知,电子所呈现出来的粒子性,只是经典粒子概念中的“原子性”,而并不与“粒子具有确定的轨道”的概念相联系;电子所呈现的波动性，也只不过是波动最本质的东西——波的叠加性，而不与某种实在的物理量在空间的波动相联系.
把粒子性与波动性统一起来,更确切的说,把微观粒子的“原子性”与波的“叠加性”统一起来的是M.Born(1928),他在用薛定谔方程处理散射问题时为解决散射粒子的角分布而提出了波函数的统计解释：波函数在空间中某一点的强度和在该点找到粒子的几率成比例.即描写粒子的波为几率波.
97．定态薛定谔方程:ψψμE U =???
?
??+?-222η.
取其复共轭:**=???
? ??+?-ψψμE U 222η, (ΘE 为实数,且U U =*) 即*
ψ也是对应同一本征能级的解.
如果能级不兼并,则ψ与*ψ是同一量子态,故可设ψψc =*
(c 为常数).取复共
轭:αψψ
ψi e c c c c =?=?==*
*12
,α为实数,取相位0=α,则ψψ=*即ψ可以取为实数.
98．我们知道,几何中的矢量,经典力学中的规律,都和所选坐标系无关.同样量子力学的规律也应和所选用的表象无关,态和力学量的描述可以不涉及具体表象,为此Dirac 最先引入了狄拉克符号.
99．前提是H ?H ?H ?)('+=0中:①)(n
)(n )(n )(E H ?0000ψψ=已解出, ②H '?是小量. 理论适用条件:100??-')
(m
)
(n mn E E H ())
(m )(n E E 00≠. 即不仅决定于矩阵元mn H '的大小,还决定于能级间的距离)(m
)(n E E 00-,实际上,这一条件即H ?'是小量的明确表示.
100．两个角动量可以是:①两个轨道角动量;②两个自旋角动量;③一个轨道角动量与一个自旋角动量.统一
用21J ?,J ?
ρρ表示.两个角动量耦合时:
21m m m +=,
2121211j j ,j j ,j j j ++--=Λ.
1
j 和2j 所满足的关系称三角关系
()j ,j ,j 21?.
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？
2、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？
3、测不准关系是否与表象有关？
4、在简并定态微扰论中，如?()H 0的某一能级)
0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…，f ），
为什么一般地i φ不能直接作为()H H
H
'+=???0的零级近似波函数？ 5、在自旋态χ
1
2
()s z 中，?S x 和?S y
的测不准关系(?)(?)??S S x y 22?是多少？ 二（20分）求在三维势场()b
y a x z y x U <
?∞
=且当其它区域0
,,中运动的粒子的定态能量和波函数。
三（20分）求氢原子基态的最可几半径。
四（20分）已知哈密顿算符H ?在某表象下????
?
?
?-+=20
20500bi i a c H ωη 且知其基态E 0=－3ηω，求实数a ，b ，c 。
五（20分）求在?S z
表象下，?(??)S n x z =+η2
1
232
σσ
的本征值及本征函数。当体系处于χ12
()s z 态时，求S n =
η
2
的几率为多少？ 1、条件：①能量比无穷远处的势小；②能级满足的方程至少有一个解。 2、不一定，只有在它们共同的本征态下才能同时确定。 3、无关。
4、因为作为零级近似的波函数必须保证()()()()()()()()011
1
00E H
E H n
n
n
n
??φφ--=-有解。 5、16
4
η。
二、解：此三维势场可分解为三个一维势场的叠加：
()0
U x x a
∞?其它 ；()0
U y y b
； ()0z U =－
其波函数也可分为三个一维波函数的乘积
()()()()z y x z y x z y x ψψψψ=,,
由()()()z U ,y U ,x U 的形式可得：
量子力学选择题 (1)原子半径的数量级是： A．10－10cm; B.10-8m C. 10-10m D.10-13m (2)若氢原子被激发到主量子数为n的能级,当产生能级跃迁时可能发生的所有谱线总条数应为： A．n-1 B .n(n-1)/2 C .n(n+1)/2 D .n (3)氢原子光谱赖曼系和巴耳末系的系线限波长分别为： A.R/4 和R/9 B.R 和R/4 C.4/R 和9/R D.1/R 和4/R (4)氢原子赖曼系的线系限波数为R,则氢原子的电离电势为： A．3Rhc/4 B. Rhc C.3Rhc/4e D. Rhc/e (5)氢原子基态的电离电势和第一激发电势分别是： A．13.6V和10.2V; B –13.6V和-10.2V; C.13.6V和3.4V; D. –13.6V和-3.4V (6)根据玻尔理论,若将氢原子激发到n=5的状态,则： A.可能出现10条谱线，分别属四个线系 B.可能出现9条谱线，分别属3个线系 C.可能出现11条谱线，分别属5个线系 D.可能出现1条谱线，属赖曼系 (7)欲使处于激发态的氢原子发出Hα线，则至少需提供多少能量（eV）? A.13.6 B.12.09 C.10.2 D.3.4 (8)氢原子被激发后其电子处在第四轨道上运动,按照玻尔理论在观测时间内最多能看到几条线？ A.1 B.6 C.4 D.3 (9)氢原子光谱由莱曼、巴耳末、帕邢、布喇开系…组成.为获得红外波段原子发射光谱,则轰击基态氢原子的最小动能为: A .0.66 eV B.12.09eV C.10.2eV D.12.75eV (10)用能量为12.75eV的电子去激发基态氢原子时,受激氢原子向低能级跃迁时最多可能出现几条光谱线（不考虑自旋）； A.3 B.10 C.1 D.4 (11)按照玻尔理论基态氢原子中电子绕核运动的线速度约为光速的： A.1/10倍 B.1/100倍 C .1/137倍 D.1/237倍 (12)已知一对正负电子绕其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子的结构的
1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F （r,p ）中将p 换为算符?p 而得出的，即：
05级2学分A 一、回答下列问题（每题5分，共30分） 1 十九世纪末期人们发现了哪些不能被经典物理学所解释的新的物理现象？ 2 什么是束缚态？什么是定态？ 3 试述电子具有自旋的实验证据。 4 写出量子力学五个基本假设中的任意三个。 5 表示力学量的厄米算符有哪些特性？ 6一维空间两粒子体系的归一化波函数为，写出下列概率： 发现粒子1的位置介于和之间（不对粒子2进行观测） 二、本题满分10分 设单粒子定态波函数为，试利用薛定谔方程确定其势场。 三、本题满分12分 利用厄米多项式的递推关系和求导公式： ， 证明：一维谐振子波函数满足下列关系： 已知一维谐振子的波函数为： 四、本题满分12分 一粒子在一维无限深势阱中运动，求粒子的能级和相应的归一化波函数。 五、本题满分12分 已知氢原子的电子波函数为。 求在态中测量氢原子能量、、、、的可能值和这些力学量的平均值。 六、本题满分14分 一维运动的粒子处于状态之中, 其中, A为待求的归一化常数, 求： (1) 归一化常数; (2) 粒子坐标的平均值和粒子坐标平方的平均值; (3) 粒子动量的平均值和粒子动量平方的平均值。 七、本题满分10分
附：氢原子能量本征值： 定积分：，n为正整数 球坐标系中： 05级2学分B 一、回答下列问题（每题5分，共30分） 1 考虑自旋时，描述氢原子需要哪几个量子数？ 2 （1）德布罗意关系式是仅适用于基本粒子如电子、中子，还是同样适用于具有内部结构的复合体系？ （2）粒子的德布罗意波长是否可以比其本身线度更大？二者之间是否有必然联系？ 3量子力学中角动量是如何定义的？地球自转是否与量子力学中的自旋概念相对应？ 4具有完备的共同本征函数系的两个力学量算符有什么特征？球谐函数是哪两个算符的共同本征函数？ 5具有分立本征值谱的力学量在其自身表象中如何表示？其本征矢量如何表示？ 6 什么是费米子？对费米子体系的波函数有什么要求？ 二、本题满分14分 设氢原子处于状态,求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的概率和这些力学量的平均值。 三、本题满分15分 证明：是一维线性谐振子的波函数，并求此波函数对应的能量。已知。 四、本题满分8分 证明在的本征态下，。 五、本题满分15分 设粒子限制在矩形匣子中运动，即 ，，求粒子的能量本征值和本征波函数。 六、本题满分10分 求下列算符对易关系式： 1) 2)
量子力学考试题 （共五题，每题20分） 1、扼要说明： （a ）束缚定态的主要性质。 （b ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。 2、设力学量算符（厄米算符）∧ F ，∧ G 不对易，令∧K ＝i （∧F ∧G -∧G ∧ F ），试证明： （a ）∧ K 的本征值是实数。 （b ）对于∧ F 的任何本征态ψ，∧ K 的平均值为0。 （c ）在任何态中2F +2 G ≥K 3、自旋η/2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为 S H ??ω= ∧ H ＝ω∧ z S +ν∧ x S （ω，ν>0，ω?ν） （a ）求能级的精确值。 （b ）视ν∧ x S 项为微扰，用微扰论公式求能级。 4、质量为m 的粒子在无限深势阱（0 （a ）能量有确定值。力学量（不显含t ）的可能测值及概率不随时间改变。 （b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’） 选择定则：l ?＝1±，m ?＝0,1±，s m ?＝0 根据：电矩m 矩阵元-e → r n’l’m’m s ’，n l m m s ≠0 2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分 （a ）∧ K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。 （b ）∧ F ψ＝λψ，ψ∧ F ＝λψ K ＝ψ∧ K ψ＝i ψ∧F ∧ G -∧ G ∧F ψ ＝i λ｛ψ∧ G ψ-ψG ψ｝＝0 （c ）(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧ F 2 +∧ G 2 -∧ K ψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧ F -i ∧ G )ψ︱2≥0 ∴<∧ F 2 +∧ G 2-∧ K >≥0，即2F +2 G ≥K 3、(a)，(b)各10分 (a) ∧ H ＝ω∧ z S +ν∧ x S ＝2ηω［1001-］+2ην［0110］＝2η［ων ν ω -］ ∧ H ψ＝E ψ，ψ＝［b a ］，令E ＝2η λ，则 ［λωννλω---］［b a ］＝0，︱λων ν λω---︱ ＝2λ-2ω-2ν＝0 λ＝±22νω+，E 1＝-2η22νω+，E 2＝2η 22νω+ 当ω?ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+222ων）＝ω+ων22 E 1≈-2η［ω+ων22］，E 2 ＝2η ［ω+ων22］ （b ）∧ H ＝ω∧z S +ν∧ x S ＝∧H 0+∧H ’，∧ H 0＝ω∧ z S ，∧ H ’＝ν∧ x S ∧ H 0本征值为ωη21± ，取E 1（0）＝-ωη21，E 2（0） ＝ωη21 相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2(0)＝[01 ] 则∧ H ’之矩阵元（S z 表象）为 量子力学期末考试试卷及答案集 量子力学试题集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B A. Ψ代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后，ψ ψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A A. * ψ 一定也是该方程的一个解； B. * ψ 一定不是该方程的解； C. Ψ与* ψ 一定等价； D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D粒子不能穿过势垒。 6．如果以∧ l表示角动量算符，则对易运算] , [ y x l l 为：B A. ih ∧ z l 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8．如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易，则意味着 ∧ A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。 9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。 10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev 11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+23 )h ω下， 简并度为：B A. )1(21 +N N ； 《结构化学基础》 讲稿 第一章 孟祥军 第一章 量子力学基础知识 （第一讲） 1.1 微观粒子的运动特征 ☆ 经典物理学遇到了难题： 19世纪末，物理学理论（经典物理学）已相当完善： ? Newton 力学 ? Maxwell 电磁场理论 ? Gibbs 热力学 ? Boltzmann 统计物理学 上述理论可解释当时常见物理现象，但也发现了解释不了的新现象。 1.1.1 黑体辐射与能量量子化 黑体：能全部吸收外来电磁波的物体。黑色物体或开一小孔的空心金属球近似于黑体。 黑体辐射：加热时，黑体能辐射出各种波长电磁波的现象。 ★经典理论与实验事实间的矛盾： 经典电磁理论假定：黑体辐射是由黑体中带电粒子的振动发出的。 按经典热力学和统计力学理论，计算所得的黑体辐射能量随波长变化的分布曲线，与实验所得曲线明显不符。 按经典理论只能得出能量随波长单调变化的曲线： Rayleigh-Jeans 把分子物理学中能量按自由度均分原则用到电磁辐射上，按其公式计算所得结果在长波处比较接近实验曲线。 Wien 假定辐射波长的分布与Maxwell 分子速度分布类似，计算结果在短波处与实验较接近。 经典理论无论如何也得不出这种有极大值的曲线。 ? 1900年，Planck （普朗克）假定： 黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动，只能发射或吸收频率为ν, 能量为 ε=h ν 的整数倍的电磁能，即振动频率为 ν 的振子，发射的能量只能是 0h ν，1h ν，2h ν，……，nh ν（n 为整数）。 ? h 称为Planck 常数，h ＝6.626×10－34J ?S ? 按 Planck 假定，算出的辐射能 E ν 与实验观测到的黑体辐射能非常吻合： ●能量量子化：黑体只能辐射频率为 ν ，数值为 h ν 的整数倍的不连续的能量。 能量波长 黑体辐射能量分布曲线 () 1 /81 3 3 --= kt h c h e E ννπν 量子力学2012复习题 一、 简答题： 1. 试简述Bohr 的量子理论。 2. 试给出测不准关系的数学表达式，并说明其意义。 3. 简述量子力学的态叠加原理及其与测量概率的关系。 4. 写出在任意态|ψ?下测量力学量F 所得平均值的一般表达式。 5. 设粒子在势场V (r )中运动，写出相应的含时薛定谔方程和定态薛定谔方程；或给定态函 数求势能表达式。 6. 简述束缚态、非束缚态及相应能级的特点。 7. 在坐标表象中写出自由粒子哈密顿量的表达式及其本征波函数，指出其本征值及其特征。 8. 下列函数哪些函数是算符22 dx d 的本征函数，其本征值是什么？ ①2x ， ② x e ， ③x sin ， ④x cos 3， ⑤x x cos sin + 9. 简述一维谐振子粒子数表象的意义，并在该表象中写出谐振子的哈密顿量表达式和相应 的本征态、本征值和本征方程。对三维谐振子，情况又怎样？ 10. 力学量F 的平均值随时间变化满足 d 1[,]d F F F H t i t ?=+?，由此可得出力学量F 为守恒量的条件，试写出相应条件。 11. 简述量子力学表象变换的意义、幺正变换矩阵满足的条件及幺正变换的特征。 12. 全同粒子有何特点？对波函数有什么要求？ 13. 中心力场中粒子处于定态，试讨论轨道角动量是否有确定值。 14. 写出中心力场中粒子的所有守恒量。 15. 力学量完全集2(,)z L L 的共同本征函数是什么？写出相应的本征值及本征方程。 16. 写出氢原子哈密顿算符的本征值（能级）和本证态，简要描述各量子数的意义。 17. 简要描述自旋算符与泡利矩阵的关系以及泡利矩阵的对应关系；在z σ表象中写出泡利矩 阵,,z x y σσσ的具体表示。 18. 简述微扰论的基本思想，写出非简并微扰论的能量公式（至二级修正）及波函数（至一 级修正），并能计算相关问题。 早期量子论(初稿) 一、填空题（10道） 1.在加热黑体过程中，其最大单色辐射度对应的波长由0.8μm变到0.4μm，则其辐射度增 大为原来的______________倍。 2.100W的白炽灯灯丝表面积为 5.3×10-5 m2。若视其为黑体，则工作温度为 ______________K。 3.若黑体的半径有R增大为2R，则总辐射功率为原来的______________倍。 4.当绝对黑体的温度从27 oC升到327 oC时，其辐射出射度（总辐射本领）增加为原来的 ______________倍。 5.在均匀磁场B内放置一极薄金属片，其红限波长为λ0。今用单色光照射，发现有电子放 出，有些放出的电子（质量为m，电荷绝对值e）在垂直于磁场的平面内做半径为R的圆周运动，那么此照射光光子的能量是______________。 6.当照射光的波长从4000 ?变到3000 ?时，光强保持不变，对同一金属，在光电效应实 验中测得的遏止电压将增大______________。 7.在康普顿散射中，若入射光子与散射光子的波长分别为λ和λ',则反冲电子获得的动能 E k=______________。 8.在X射线实验中散射角为45o和60o的散射光波长改变量之比为______________。 9.质量为1 g，以速度v=1cm/s运动的小球的德布罗意波长为______________。 10.某金属产生光电效应的红限为υ0，当用频率为υ（υ>υ0）的单色光照射该金属时，从金 属中溢出的光电子（质量为m）的德布罗意波长为______________。 二、计算题（10道） 1. 红限波长为λ0=0.15?的金属箔片至于B=30×10-4T的均匀磁场中。现用单色γ射线照射儿释放出电子，且电子在垂直于磁场的平面内做R=0.1m的圆周运动。求γ射线的波长。 2.处于静止状态的自由电子是否能吸收光子，并把全部能量用来增加自己的动能？为什么？ 3.用波长λ0=1 ?的光子做康普顿实验。 （1）散射角?=90o的康普顿散射波长是多少？ （2）反冲电子获得的动能有多大？ 量子力学期末考试试卷及答案集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论. 2．关于波函数Ψ 的含义，正确的是：B A. Ψ 代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后， ψψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续. 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片. 4．对于一维的薛定谔方程，如果 Ψ是该方程的一个解，则：A A. *ψ 一定也是该方程的一个解； B. *ψ一定不是该方程的解； C. Ψ 与* ψ 一定等价； D.无任何结论. 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒. 6．如果以∧ l 表示角动量算符，则对易运算] ,[y x l l 为：B A. ih ∧ z l B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态. 量子力学试题（一）及答案 一. （20分）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中 ()???><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0 ,0 中运动，若0=t 时，粒子处于 ()()()()x x x x 3212 1 31210,???ψ+-= 状态上，其中，()x n ?为粒子能量的第n 个本征态。 （1） 求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率； （2） 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为 ()x a n a x n n m a E n n π ?πsin 2,3,2,1 ,222 2 2=== （1） 首先，将()0,x ψ归一化。由 12131212222=???? ???????? ??+???? ??+???? ??c 可知，归一化常数为 13 12=c 于是，归一化后的波函数为 ()()()()x x x x 32113 31341360,???ψ++-= 能量的取值几率为 ()()()13 3 ;13 4 ;136321=== E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。 （2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为 ()()()()?? ? ??-+?? ? ??-+??? ??-= t E x t E x t E x t x 332211i e x p 133i exp 134i exp 136, ???ψ （3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。 二. （20分）质量为m 的粒子在一维势阱 ()?? ? ??>≤≤-<∞=a x a x V x x V ,00 ,0 .0 中运动()00>V ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量2 V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a 。 解：对于02 <- =V E 的情况，三个区域中的波函数分别为 ()()()()??? ??-===x B x kx A x x αψψψexp sin 03 21 其中， E m V E m k 2 ;) (20=+= α 在a x =处，利用波函数及其一阶导数连续的条件 ()()()() a a a a '3 '2 32ψψψψ== 得到 ()() a B ka Ak a B ka A ααα--=-=exp cos exp sin 于是有 α k ka -=tan 此即能量满足的超越方程。 当02 1 V E -=时，由于 1t a n 00 0-=-=??? ? ?? mV mV a mV ………密………封………线………以………内………答………题………无………效…… 电子科技大学二零零 七 至二零零 八 学年第 1 学期期 末 考试 量子力学 课程考试题 A 卷 （ 120 分钟） 考试形式： 闭卷 考试日期 200 8年 月 日 课程成绩构成：平时 20 分， 期中 10 分， 实验 0 分， 期末 70 分 一、填空（每空2分，共30分） 1、德布罗意关系为： 。（没有写为矢量也算正确） 2、量子力学的状态由 描述，在体系空间r 点处小体积元d τ内粒子出现的几率与 成正比。 3、非简并状态加上微扰后，能级会发生 ；而简并状态加上微扰后，能级会发生 。 4、任意两个力学量A 和B 有共同的本征函数，则]?,?[B A = ，表明A ?和B ? 。 5、力学量F 的算符是 算符，其本征函数系组成 。 6、费米子组成的多粒子体系的波函数的特征是 ，玻色子组成的多粒子体系的波函数的特征是 。 7、泡利不相容原理指 。 8、一维线性谐振子的量子数取n 的波函数为ψn (x)，其定态薛定谔方程为，与ψn (x)相对应的能量。 9、粒子处于三维无限深势阱中，能量为)(22 322212 2 2n n n ma E ++= ηπ，能量最低的三个能态的简并度分别 为 。（答对1或2个给1分，3个全对给2分） 二、简答题（每小题5分，共20分） 1、写出至少五个力学量的算符。 2、简述测不准原理及其意义。 3、什么是斯塔克（Stark ）效应？试用微扰理论解释斯塔克效应。 4、计算对易子], [dx d x 。 （答对1或2个给1分，3 个全对给2分） ………密………封………线………以………内………答………题………无………效…… 三、计算题（1，2，3题每题15分，4题5分，共50分） 1、氢原子处于状态),()(3),()(),,(1,1210,020?θ?θ?θψ-+=Y r R Y r R r ，试求： （1）能量算符H )，角动量平方算符2L )和角动量z 分量算符z L ) 的可能取值； （2）上述三个力学量取各可能值的几率； （3）上述三个力学量的平均值。 2、粒子在势能为 ??>≤≤<=) ()0(0)0()(00 a x V a x x V x V 的势阱中运动，粒子的能量E 简答 第一章 绪论 什么是光电效应爱因斯坦解释光电效应的公式。 答：光的照射下，金属中的电子吸收光能而逸出金属表面的现象。 这些逸出的电子被称为光电子 用来解释光电效应的爱因斯坦公式：22 1 mv A h +=ν 第二章 波函数和薛定谔方程 1、如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性迭加： 2211ψψψc c +=（1c ， 2c 是复数）也是这个体系的一个可能状态。 答，由态叠加原理知此判断正确 4、（1）如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性迭加：2211ψψψc c += （1c ，2c 是复数）是这个体系的一个可能状态吗（2）如果1ψ和2ψ是能量的本征态，它们的线性迭加：2211ψψψc c +=还是能量本征态吗为什么 答：(1)是（2）不一定，如果1ψ，2ψ对应的能量本征值相等，则2211ψψψc c +=还是能量的本征态，否则，如果1ψ，2ψ对应的能量本征值不相等，则2211ψψψc c +=不是能量的本征态 1、 经典波和量子力学中的几率波有什么本质区别 答：1）经典波描述某物理量在空间分布的周期性变化，而几率波描述微观粒子某力学量的 几率分布； （2）经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来的四倍，变成另一状态，而微观 粒子在空间出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度，几率波的波幅增大一倍不影响粒子在空间出现的几率，即将波函数乘上一个常数，所描述的粒子状态并不改变； 6、若)(1x ψ是归一化的波函数， 问： )(1x ψ， 1) ()(12≠=c x c x ψψ )()(13x e x i ψψδ= δ为任意实数 是否描述同一态分别写出它们的位置几率密度公式。 第 五 篇 第 一 章 波粒二象性 玻尔理论 一、选择题 1. 已知某单色光照射到一金属表面产生了光电效应，若此金属的逸出电势是U 0 (使电子从金属逸出需作功eU 0)，则此单色光的波长λ必须满足： [ A ] (A) 0eU hc ≤ λ (B) 0 eU hc ≥λ (C) hc eU 0≤λ (D) hc eU 0≥λ 解：红限频率与红限波长满足关系式hv 0= λhc =eU 0，即0 0eU hc = λ 0λλ≤才能发生光电效应，所以λ必须满足0 eU hc ≤ λ 2. 在X 射线散射实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则入射光光子能量0ε与散射光光子能量ε之比ε0 为 [ B ] (A) 0.8 (B) 1.2 (C) 1.6 (D) 2.0 解： λ εhc = ，0 0λεhc = ，02.1λλ= ，所以 2.10 0==λλεε 3. 以下一些材料的功函数(逸出功)为 铍 -----3.9 eV 钯 ---- 5.0 eV 铯 ---- 1.9 eV 钨 ---- 4.5 eV 今要制造能在可见光(频率范围为3.9×1014 Hz ~ 7.5×1014Hz)下工作的光电管，在这些材料中应选 [ C ] (A) 钨 (B) 钯 (C) 铯 (D) 铍 解：可见光的频率应大于金属材料的红限频率0νh , 才会发生光电效应。这些金属的红限频率由A h =0ν可以得到： 1419 34 )(01086.101063.610 6.15.4?=???= --钨ν(Hz) 1419 34 )(01007.121063.610 6.10.5?=???= --钯ν(Hz) 1419 34 ) (01059.41063.610 6.19.1?=???= --铯ν(Hz) 1419 34 )(01041.91063.610 6.19.3?=???= --铍ν(Hz) 可见应选铯 量子力学期末试题及答案 红色为我认为可能考的题目 一、填空题： 1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。 2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。 3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。 4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。 二、简答题： 1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。 答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？ 答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。 3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？ 答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。 三、证明题。 2、证明概率流密度J不显含时间。 四、计算题。 1、 第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球， 计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r r πε=-（） )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r Ze r U 024)(πε-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r E d r e r U )( ???????≥≤=??=)( 4 )( ,43441 02 003003303 420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82 203 020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022 2030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε 大学物理练习题十八 一、选择题 1．所谓“黑体”是指的这样的一种物体，即 (A) 不能反射任何可见光的物体 (B) 不能发射任何电磁辐射的物体 (C) 能够全部吸收外来的任何电磁辐射的物体 (D) 完全不透明的物体 ［ C ］ 2．在均匀磁场B 内放置一极薄的金属片，其红限波长为 ．今用单色光照射， 发现有电子放出，有些放出的电子(质量为m ，电荷的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为R 的圆周运动，那末此照射光光子的能量是 (A) 0λhc (B) 0λhc m eRB 2)(2 + (C) λhc m eRB + (D) 0λhc eRB 2+ ［ B ］ 解：由B e R m v 2 v =得 eRB/m v =， 代入2 0v 2 1m h h +=νν， 则得光子能量m eRB hc m m h h 2)(2v)(2 20+=+==λννε 3．在康普顿效应实验中，若散射光波长是入射光波长的 1.2倍，则散射光光子能量ε与反冲电子动能E K 之比ε/ E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 ［ D ］ 解：由220'mc hc c m hc += +λλ 得' 202λλhc hc c m mc -=-， 即ελλλλλ 2.0' 2.0)'1'2.1('==-=- = hc hc hc hc E k 4．若α粒子在磁感应强度为B 的均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是 (A) h/(2eRB) (B) h/(eRB) (C) 1/(2eRBh) (D) 1/(eRBh) ［ A ］ 解：α粒子e q 2+=，由R mv qvB 2 = 有qBR mv = 5．静止质量不为零的微观粒子作高速运动，这时粒子物质波的波长λ与速度v 有如下关系 (A) v ∝λ (B) v /1∝λ (C) 2211c v -∝ λ (D) 2 2v c -∝λ ［ C ］ 解： -==v m c v h mv h 02 2/1λ6．普朗克量子假说是为解释 （A ）光电效应实验规律而提出来的。 （B ）X 射线散射的实验规律而提出来的。 （C ）黑体辐射的实验规律而提出来的。 （D ）原子光谱的规律性而提出来的。 ［ C ］ 二、填空题 1. 测量星球表面温度的方法之一，是把星球看作绝对黑体而测定其最大单色辐出度的波长m λ，现测得太阳的m m μλ55.01=，北极星的m m μλ35.02=，则太阳表面温度T 1与北极星表面温度T 2之比T 1：T 2= 。 量子力学选择题 1.能量为100ev 的自由电子的DeBroglie 波长是A A.1.2 A 0.B.1.5A 0.C.2.1A 0.D.2.5A 0 . 2.能量为0.1ev 的自由中子的DeBroglie 波长是 A.1.3 A 0 .B.0.9A 0 .C.0.5A 0 .D.1.8A 0 . 3.能量为0.1ev ，质量为1g 的质点的DeBroglie 波长是 A.1.4A 0 .B.1.9?10 12 -A 0 .?1012-A 0 .D.2.0A 0 . 4.温度T=1k 时，具有动能E k T B =32(k B 为Boltzeman 常数)的氦原子的DeBroglie 波长是 A.8 A 0.B.5.6A 0.C.10A 0.D.12.6A 0 . 5.用Bohr-Sommerfeld 的量子化条件得到的一维谐振子的能量m 为（ ,2,1,0=n ）A A.E n n = ω. B.E n n =+()1 2 ω .C.E n n =+()1 ω.D.E n n =2 ω. 6.在0k 附近，钠的价电子的能量为3ev ，其DeBroglie 波长是 A.5.2 A 0.B.7.1A 0.C.8.4A 0.D.9.4A 0 . 7.钾的脱出功是2ev ，当波长为3500 A 0 的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的最大能量为 A. 0.25?1018-J. B.1.25?1018-J. C.0.25?1016-J. D.1.25?1016 -J. 8.当氢原子放出一个具有频率ω的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生的频率改变为 A. 2μc .B. 22μc .C. 22 2μc .D. 22μc . https://www.doczj.com/doc/bd288041.html,pton 效应证实了 A.电子具有波动性. B.光具有波动性. C.光具有粒子性. D.电子具有粒子性. 10.Davisson 和Germer 的实验证实了 A.????电子具有波动性. B.光具有波动性. C.光具有粒子性. D.电子具有粒子性. 11.粒子在一维无限深势阱 U x x a x x a (),,,=<<∞≤≥???000中运动，设粒子的状态由ψπ()sin x C x a =描写，其归一化常数C 为B A.1a . B.2a . C.12a . D.4 a . 12.设ψδ()()x x =，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为D A.δ()x . B.δ()x dx . C.δ 2 ()x .D.δ2()x dx . 13.设粒子的波函数为ψ(,,)x y z ，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为C A. ψ(,,)x y z dxdydz 2 .B.ψ(,,)x y z dx 2 .C.dx dydz z y x )),,((2 ??ψ.D.dx dy dz x yz ψ(,) ???2 . 14.设ψ1()x 和ψ2()x 分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态c x c x 1122ψψ()()+的几率分布为D 填空选择题： （量子力学部分） 1. 动能为()c E <<υ，质量为M 的电子的德布罗意波长是[ A ] （A ）()212ME h （B ）()21 ME h （C ）()21 2ME h （D ）()212ME h 2. 不确定关系式 ≥???y p y 表示在Y 方向上 [ D ] (A) 粒子位置不能确定 (B) 粒子动量不能确定 (C) 粒子位置和动量都不能确定 (D) 粒子位置和动量不能同时确定 3. 将波函数在空间各点的振幅同时增大N 倍，则粒子在空间的分布概率将[ D ] (A) 增大2N 倍 (B) 增大2N 倍 (C) 增大N 倍 (D) 不变 4. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： )(23cos 1)(a x a a x a x ≤≤-= πψ 那么粒子在6 5a x =处出现的概率密度为[ A ] a 21(A) a 1(B) a 21(C) a 1(D) 1. 低速运动的质子和α粒子，若它们的德布罗意波长相同，则它们的动量之比 =αP :p p 1:1 ；动能之比=αP :E E 4:1 。 2. 一电子具有200 m.s -1 的速率，动量的不确定范围为动量的0.01% ，则该电子的位置不确定范围为m 107.32 -?。（已知电子静止质量311011.9-?=e m kg ） 3. 动能为0.025 eV 的中子的德布罗意波长=λm 108.110-?。 (普朗克常量s J 1063.634??=-h ，中子质量kg 1067.127-?=m ) 4. 光子的波长3000=λ ?，如果确定此波长的精确度610-=?λλ ，求此光子波长的不确 定量 0.048m x ?≥ 5. 粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：()()a x a x n a x n < 量子力学习题（三年级用） 北京大学物理学院 二O O三年 第一章 绪论 1、计算下列情况的Broglie d e -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子 () 克2410671-?=μ .n ；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-?=μ.a ； （3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3、利用Broglie d e -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量 可能值。 第二章 波函数与波动力学 1、设()() 为常数a Ae x x a 222 1 -= ? （1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x == 2、求ikr ikr e r e r -=?=?1121和的几率流密度。 3、若() ,Be e A kx kx -+=? 求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结 论？（其中k 为实数） 4、一维运动的粒子处于 ()? ? ?<>=?λ-0 00x x Axe x x 的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。 5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 0=υ?? 其中ρ= υ/j 6、一维自由运动粒子，在0=t 时，波函数为 ()()x ,x δ=?0 求： ?)t ,x (=?2 第三章 一维定态问题 1、粒子处于位场 ()00 0000 ??? ?≥?=V x V x V 中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动） 2、一粒子在一维势场 ?? ???>∞≤≤<∞=0 000x a x x V ) x ( 中运动。 （1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ?态，证明：,/a x 2= () .n a x x ?? ? ??π-=-2222 6112 3、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为 如 D S A S B D S A S C 22211211+=+= 这即“出射”波和“入射”波之间的关系， 第二章 量子力学初步 为什么要学？ 量子力学已经从理论物理的一个分支学科，发展成为技术专家手中的一门有力的工具： 纳米（10－9 M ）科学与技术, STM 和AFM ，… 对物理专业的学生，导论和准备；对应用物理专业的学生，掌握量子力学的基本知识。 为什么在这时候学？ 在波尔与索末菲的旧量子理论中： 问题1：L （轨道角动量数值）＝n ??，L z （轨道角动量的方向）= m ?； 即：定态条件，作为“规定”的量子化条件引入。这种强制性“规定”不符合数学逻辑。 问题2：氢原子基态的电子空间分布： 波尔理论：n =1的“轨道”，r n ＝n 2 a 1＝a 1＝0.53A ； 中学物理中的“电子云”。 孰是孰非？“电子云”概念是正确的，“轨道”概念是错误的。 正确的原子概念的建立，必须学习量子力学。 §2.1 光的波动粒子二象性(duality) 光从何来？ 圣经：上帝创造；玻尔，爱因斯坦：能级跃迁，。。。 光是什么？ 牛顿的微粒学说（光子流；依据：光的直线传播性质，反射折射定律）； 惠更斯－菲涅尔的波动学说（光波；证据：杨氏双缝实验－10大经典物理实验之一） 2.1.1 光的波动性 参量关系： ? 2.1.2 光的粒子性 粒子特性参量：能量E ，动量p 。 粒子特性参量（E ，p ）和波动特性参量（ν，λ)由Einstein 关系联系起来： E ＝ h ν ＝hc / λ （4） p ＝ h / λ ＝ h ν / c ＝ ?k （5） p ＝?k ＝ (h / λ) k 0 (k 0 ：光传播的方向) （5'） 光子能量（4）式的实验证实：光电效应实验 装置： 结果光源量子力学期末考试试卷及答案集复习过程
第一章 量子力学基础知识
量子力学2012复习题
早期量子论(附答案)
量子力学期末考试试卷及答案集
量子力学试题
电子科技大学量子力学考题
量子力学期末复习资料
量子力学练习题
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