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灰色模型介绍及应用.docx

建模机理

灰色理论模型应用

——污染物浓度问题

GM（ 1， 1）残差模型的应用——油菜发病率问题

GM模型在复杂问题中的应用——SARS 疫情问题

GM（ 1， n）模型的应用——因素相关问题

本章小结

思考题

推荐阅读书目

第十章灰色模型介绍及应用

灰色理论基本知识

客观世界的很多实际问题，其内部的结构、参数以及特征并未全部被人们了解，人们

不可能象研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚，只能依据某种思维逻辑与推断来构造模型。对这类部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统。本章介绍的方法是从灰色系统的本征灰色出发，研究在信息大量缺乏或紊乱的情况下，如何对实际问题进行分析和解决。

灰色系统的研究对象是“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不

确定性系统，它通过对“部分”已知信息的生成、开发实现对现实世界的确切描述和认识。

信息不完全是“灰”的基本含义。

灰色系统理论建模的主要任务是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分开发并利用不多的数据中的显信息和隐信息，寻找因素间或因素本身的数学关系。通常的办法是采用离散模型，建立一个按时间作逐段分析的模型。但是，离散模型只能对客观系统的发展做短期分析，适应不了从现在起做较长远的分析、规划、决策的要求。尽管连续系统的离散近似模型对许多工程应用来讲是有用的，但在某些研究领域中，人们却常常希望使用微分方程模型。

事实上，微分方程的系统描述了我们所希望辨识的系统内部的物理或化学过程的本质。

目前，灰色系统理论已成功地应用于工程控制、经济管理、未来学研究、生态系统及复

杂多变的农业系统中，并取得了可喜的成就。灰色系统理论有可能对社会、经济等抽象系统

进行分析、建模、预测、决策和控制，它有可能成为人们认识客观系统改造客观系统的一个

新型的理论工具。

灰数：一个信息不完全的数，称为灰数。

灰元：信息不完全或内容难以穷尽的元素，称为灰元。

灰关系：信息不完全或机制不明确的关系，称为灰关系。具有灰关系的因素是灰因素，

灰因素之间的量化作用，称为灰关联。

灰色系统 : 含灰数、灰元或灰关系的系统称为信息不完全系统。如果按照灰色理论去研

究它。则称此系统为灰色系统。

累加生成：由于灰系统对一切随机量都可看作是在一定范围内变化的灰色量，因此，为适应灰系统建模需要，提出“生成”的概念，“生成”即指对原始数据做累加（或累减）处理。累加生成一般可写成AGO。若计x(0)为原始数列，x( r )为 r 次累加生成后数列，即

则 r 次累加生成算式为

x( r ) ( k) x ( r1) (1)x ( r1) (2)x ( r k

x ( r1) (i )

L1) ( k )

[ x( r1) (1)x (r1) (2)L x( r1) ( k 1)]x( r1) (k ) x ( r ) (k 1) x( r 1) ( k )一般常用的是一次累加生成，即

建模机理

建立 GM模型，实际就是将原始数列经过累加生成后，建立具有微分、差分近似指数规

律兼容的方程，成为灰色建模，所建模型称为灰色模型，简记为GM（Grey Model）。如GM （m,n）称为m

阶

n 个变量的灰色模型，其中GM（ 1，1）模型是GM（ 1，n）模型的特例，是

灰色系统最基本的模型，也是常用的预测模型，因此本章重点介绍几种GM（1， 1）模型的

建模过程和计算方法，并简单介绍GM（ 1， n）建模过程。

GM（ 1， 1）的建模机理

GM（ 1， 1）模型是GM（ 1， N）模型的特例，其简单的微分方程形式（白化形式的微分

方程）是

利用常数变易法解得，通解为

若初始条件为t0, x(t )x0，则可得到微分方程的特解为

或时间响应函数

其中白化微分方程中的ax 项中的 x 为dx

的背景值，也称为初始值;a, u 为常数（有dt

时也将 u 写成b）。

按白化导数定义有差分形式的微分方程，即

显然，当时间密化值定义为1，即当t 1 时，上式可记为记为离散形式

这显然表明dx

是一次累计生成，因此上述方程可改写为dt

这实际也表明，模型是以生成数

x(1) （x(1)是以 x(0)的一次累加）为基础的。

当t 足够小时，x (t )到x(t t ) 不会发生突变，因此可取x(t ) 与 x(t t ) 的平均值作为t0 时的背景值，因此，背景值便可记为

或

于是白化的微分方程

dx (1)ax (1)u 可改写为

或

即

因此，上述方程可以改写为矩阵方程形式，即

引入下列符号，设

于是便有

令

则

解得

将求解得到的代入微分方程的解式（也称时间响应函数），则

由于 x(0) (1)x (1) (1) ，因此求导还原得

上述两式便为GM（1， 1）的时间响应式，及灰色系统预测模型的基本算式，当然上述

两式计算结果只是近似计算值。

为简记，一般可以将GM（1， 1）的建模过程记为

灰色理论模型应用

（ 1， 1）模型的应用——污染物浓度问题

GM（ 1， 1）模型是灰色系统最基本的模型，下面以污染物浓度问题说明GM（ 1， 1）模型的建立及求解过程。

例某污染源中某种污染物质量浓度测量值如表，试建立GM（ 1，1）模型

表某污染物质量浓度测量值（ mg/L）年份200120022003200420052006

解：第一步，设原始数据为

x(0)( x(0) (1), x (0)(2), L, x (0)(6))(3.936, 4.575,4.968,5.063,5.968,5.507)第二步，对原始数据进行累加生成，即

x(1)AGOx (0)

因此累加生成数据为

第三步，构造矩阵B,Y N

Y N[ x (0)(2),x(0) (3), L, x (0) (6)] T[4.575 4.968 5.063 5.968 5.507]

第四步，计算?

( B T

B )

Y N。

a B

先求 (B T B) 1，即

根据逆矩阵的求解方法，得

再求 B T Y N的值，即

进而求得 a? 的值为

计算 GM1_1的程序如下

function 10toliti01(X0)

[m,n]=size(X0);

X1=cumsum(X0);

X2=[];

for i=1:n-1

X2(i,:)=X1(i)+X1(i+1);

end

B=.*X2;

t=ones(n-1,1);

B=[B,t];

YN=X0(2:end);

P_t=YN./X1(1:(length(X0)-1))

A=inv(B.'*B)*B.'*YN.';

a=A(1)

u=A(2)

b1=B.'*B

b2=inv(B.'*B)

b3=B.'*YN.'

b4=u/a

b5=X1(1)-b4

b6=-a*b5

第五步，将 a, u 的值代入微分方程的时间响应函数，

令(1)(1)

x (0) 3.936 ，得

x (1)

第六步，求导还原得

第七步，对上述模型进行精度检验。

常用的方法是回代检验，即分别用x?(1) (1), x (1) (0) 模型求出各时刻值，然后求相对误差。

先利用时间响应函数模型

?(1)

( k 1)0.0539 k

80.3904求各时刻值

x84.3264 e

（ k 1, 2, L,5 ），并计算相对误差，结果如表所示.

表精度检验实测值、残差值表k1,2,L ,5 GM计算值实测值残差相对残差

?(1)

(k 1)x (1)

( k 1)q

(1)

( k 1)

再利用时间响应函数模型(0)0.0539k

x (k 1) 4.5443 e

求各时刻值（k1,2, L ,5

），

并计算相对误差，结果如表所示.

表计算值与实验原始数据值对照表k 1, 2, L,5

GM计算值实测值残差相对残差

?(0)

(k 1)x (0)

(k 1)q

(0)

( k 1)

从残差检验结果看，累计生成数列曲线拟合较好，相对误差在即1%左右；而还原数列的相对误差较大，其原因是累加生成数据将原始数据的随机性弱化，正负误差有抵消的，当数据再被还原回来时便表现出来。

GM（ 1， 1）残差模型的应用——油菜发病率问题

当ＧＭ（１，１）模型的精度不符合要求时，可用残差序列建立ＧＭ（１，１）模型，

对原来的模型进行修正，以提高精度，即建立残差ＧＭ（１，１）模型，步骤如下第一步，利用原始数据建立GM（ 1，1）模型，得时间响应式

其中第二个式子也成为导数还原值。

鉴于导数还原值与原始数据（累减还原值）不一致，为减少往返运算造成的误差，往往

用原始数据与导数还原值的残差修正的x (0)) (0)模拟值 x。

第二步，利用残差数列建立新的GM（ 1， 1）模型。

建立残差模型的过程和计算方法同于GM（ 1， 1）建模过程，只不过建立残差模型所用的原始数列采用的是残差数据。令g (0) (k ) 为残差，则

即

或

利用残差序列g (0)建立新的GM（1，1）模型，求解得时间响应式

第三步，结合上两步的GM（ 1， 1）模型，建立残差GM（ 1， 1）模型

结合上两步的GM（ 1， 1）模型，则相应的残差修正时间响应式为

称为导数还原式的残差修正模型。

例某县油菜发病率数据如表所示，试建立残差GM模型并进行求解。

表某县油菜发病率数据（%）

序号12345678910111213

62040254045352114181715解：第一步，建立原始数据的GM（ 1， 1）模型

设原始数据为

建立 GM（ 1， 1）模型，利用GM（ 1， 1）的求解程序得时间响应式为

第二步，误差检验

利用时间响应函数模型$(0)

k10.368e

0.06486k

计算各时刻值（k 1, 2, L,12 ），x

并计算相对误差，程序如下

function10toliti02(X0)

%format long ;

%X0=*[6 20 40 25 40 45 35 21 14 18 17 15];

[m,n]=size(X0);

s(1)=1;

for i=1:12

y(i+1)=*exp*i);

z(i+1)=X0(i+1)-y(i+1);

w(i+1)=z(i+1)/X0(i+1);

s(i+1)=i+1;

end

X0'

z*z'

sum(abs(w))/12

计算结果如表所示

表计算值与实验原始数据值对照表k 1, 2, L ,12 GM计算值实测值残差相对残差

x?(0) (k 1)x(0) (k 1)q(0) ( k1)

由表可以看出，最大误差高达%，最低的也达到%，模拟误差较大，进一步计算平均相对误差

平均相对误差很较大，相对精度约70%。因此为了提高远原点（即现时）精度，即将最后一

个误差减小，需采用残差模型进行修正。

第三步，以部分残差数据为原始数据建立新的GM（1， 1）模型

取 k09得残差尾端，即取最后 5 个数据的残差：,,,,,

用此尾段可建立残差尾段模型，取绝对值，得残差数列

以上述的残差数列为原始数据建立新的GM（ 1， 1）模型，得残差的时间响应式第四步，将原始数据和部分残差数据的两个GM（ 1， 1）模型即

和

结合，得到修正后的残差GM（1， 1）模型

第五步，用修正后的模型对k 8,9, L ,12 的模拟值进行修正，结果为：

第六步，精度检验

建立如下程序：

function 10toliti021(X0)

%format long ;

%X0=*[6 20 40 25 40 45 35 21 14 18 17 15];

[m,n]=size(X0);

s(1)=1;

for i=8:12

y(i+1)=*exp*i)*exp*i);

z(i+1)=X0(i+1)-y(i+1);

w(i+1)=z(i+1)/X0(i+1);

s(i+1)=i+1;

end

X0'

z*z'

sum(abs(w))/5

计算结果如表所示

表修正后计算值与实验原始数据值检验结果k 8,9, L ,12 GM计算值实测值残差相对残差

?(0)

(k 1)x (0)

(k 1)q

(0)

( k 1)

按此模型，可对 k9,10,11 ,12,13 五个模拟值进行修正，修正后的平均相对误差

1 13q(0) (k )19.4% ，精度有明显的提高。尤其对于原点附近的两个数据：，

5 k 9

相对误差分别降低为%和%，低于允许误差要求。这说明，对原点数据GM（1， 1）模型修正是有必要的。

模型在复杂问题中的应用——SARS疫情问题

例SARS 疫情问题

2003年的 SARS疫情对我国的发展产生了一定影响，尤其在经济发展方面产生了很大的影

响，下面就 SARS疫情对我国经济的影响问题建立GM模型并求解。

问题的提出

2003年的 SARS 疫情对中国部分行业的经济发展产生了一定影响，特别是对部分疫情较

严重的省市的相关行业所造成的影响是显着的，经济影响主要分为直接经济影响和间接影

响。直接经济影响涉及商品零售业、旅游业、综合服务等行业。很多方面难以进行定量地评

估，现仅就 SARS 疫情较重的某市商品零售业、旅游业和综合服务业的影响进行定量的评估

分析。

究竟 SARS 疫情对商品零售业、旅游业和综合服务业的影响有多大，已知某市从1997年

1 月到 2003 年 1

2 月的商品零售额、接待旅游人数和综合服务收入的统计数据如表—所示

表商品的零售额（亿元）月份 1 月 2月 3月 4月 5月6月7月8月 9月 10月11 月12月年份

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

表接待海外旅游人数（万人）月份 1 月 2月 3月 4月5月6月7月 8月 9月 10月11 月12月年份

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

表综合服务业累计数额（亿元）

月份 2 月 3月 4月5月6月 7月8 月9月 10月 11月12月

年份

199796144194276383466554652747832972

199811116923540045956569580588110111139

199915123833542554164173986697510871238

20001642633765316007119131038117312961497

200118231844557670885610001145129214351667

200221636150464281897911421305147916441920

2003241404584741923111412981492168418852218

试根据这些历史数据建立预测评估模型，评估2003年 SARS 疫情给该市的商品零售业、旅游业和综合服务业所造成的影响。

模型的假设与分析

模型假设：

（1）假设该市的统计数据都是可靠准确的；

（2）假设该市在 SARS 疫情流行期间和结束之后，数据的变化只与 SARS 疫情的影响有关，不考

虑其它随机因素的影响。

模型分析：

根据所掌握的历史统计数据可以看出，在正常情况下，全年的平均值较好地反映了相关指

标的变化规律，这样可以把预测评估分成两部分：

（1）利用灰色理论建立 GM(1,1) 模型，由 1997－2002 年的平均值预测 2003 年平均值；

（2）通过历史数据计算每个月的指标值与全年总值的关系，从而可预测出正常情况下2003年每个月的指标值，再与实际值比较可以估算出SARS 疫情实际造成的影响。

建立灰色预测模型GM(1,1)

第一步 , 数据处理

（ 1）原始数据：

根据表中的已知数据，计算1997 － 2002年某项指标的年平均值，作为原始数据，记为

并要求级比(i ) x(0) (i 1) / x (0) ( i ) (0.7515,1.3307)( i 1,2, L ,6)（2）数据的累加生成：

对原始数据 x(0)进行一次累加生成，

x(1) (1)x(0) (1) ，

k 1

x(1) ( k1) [ x (1) ( k ) x (0) ( k 1)]x (0) ( i ), k 1,2, L , n 1

i 1

因此累加生成数据x(1)记为

（ 2）背景值的选择：

取累加生成数据x(1)的加权平均值为背景值z(1)，即

其中为确定参数。背景值z(1)记为

第二步，GM（ 1， 1）模型的建立

（1）建立 GM（1， 1）的白化微分方程模

型其中是 a 发展灰度， u 是内生控制灰度。

（2）转化为灰微分方程

或

即矩阵形式为

其中

(3)转化为时间响应函数

利用最小二乘法得到参数的估计值) ))(1))(1) a,u ，进而得到灰微分方程的解x，对 x求导

)(0)) )

还原得 x。即参数的估计值a,u 为微分方程的解式（也称时间响应函数）为

其中 x (0)

(1) x

(1))(0)

(k 1) 称为还原值。

(1) ， x

第三步，利用模型预测指标值

根据时间响应函数可以预测出正常情况下2003年的平均值，则x ，则预测2003年的总值为 Z 12 x 。根据历史数据，可以计算出2003 年第i个月的指标值占全年总值的比例

为 u i，即

记为 u (u1 , u2 ,L , u12 ) ，于是可以可到2003年每一个月的指标值V Zu

模型求解及结果分析

（1）商品零售额

根据商品零售额的数据表，计算得年平均值（即原始数据x(0) (1) ）和一次累加生成值

x(1) (1)，分别为

显然 x (0)的所有级比都在可容区域内，这里取0.5，

计算可得背景值

计算得参数的估计值为)

0.0983,

)

84.7563 ，进而得到时间响应函数

a u

再根据时间响应函数预测可得，2003年的月平均值为x 160.4135 亿元；年总值为Z 12 x1925.0亿元。又根据比例u i的表达式计算出每月的比例为

因此2003年1~12月的预测值( 单位：亿元) 为

将预测值与实际值进行比较，结果如表所示

表2003年商品的零售额比较表（亿元）月份 1 月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月实际值

预测值

图形如图 10-1 ：（蓝线为实际值，红线为预测值）

190

180

170

160

150

140

130

120

024681012图 10-1 2003年商品的零售额实际值与预测值比较图

通过图形可以直观的看出：（1）预测值波动比较小，真实值波动比较剧烈；（2）5 月份左右真实值远远低于预测值，年初和年末都高于预测值。这是由实际情况造成的，年初当

SARS 疫情刚刚开始的时候，人们储备保健药品和保健食物等，拉动了零售额的增长； 5 月份左右， SARS 疫情比较猖獗，此时好多学校和单位等实行封闭管理，大大限制了人们的消

费，因此零售额明显降低；年末SARS 疫情慢慢远去，此前被限制的消费得以充分实现，又

促进了零售额的增长。当然可以根据模型所得数据，对SARS 疫情给该市的商品零售业造成

的影响进行定量分析，这里不再详述。

计算的 MATLAB程序如下：

function 10toliti03

clc

clc,clear

load % 把原始数据保存在纯文本文件中

han1(end,:)=[];

x0=mean(han1,2)

m=size(han1,2);

n=size(x0,1);

z1=[];

x1=cumsum(x0)

alpha=;

for i=1:n-1

z1(i,:)=(1-alpha)*x1(i)+alpha*x1(i+1);

end

Y=x0(2:n);

B=[-z1,ones(n-1,1)];

A=inv(B'*B)*B'*Y;

a=A(1)

u=A(2)

b4=u/a

b5=x1(1)-b4

b6=-a*b5

k=6;

x7hat=(x0(1)-u/a)*(exp(-a*k)-exp(-a*(k-1)))

z=m*x7hat

u=sum(han1)/sum(sum(han1))

v=z*u

（2）接待海外旅游人数

根据接待海外旅游人数的数据表，计算得年平均值（即原始数据x (0) (1) ）和一次累加生成值 x(1) (1)，分别为

显然 x (0)的所有级比都在可容区域内，这里取

，

计算可得背景值0.5

))

16.2671 ，进而得到时间响应函数

计算得参数的估计值为 a0.0938, u

再根据时间响应函数预测可得，2003年的月平均值为x 30.2649万人；年总值为

Z 12 x363.1785 万人。又根据比例u i的表达式计算出每月的比例为

因此 2003 年 1~12 月的预测值 ( 单位：万人 ) 为

将预测值与实际值进行比较，结果如表所示

表 2003年接待海外旅游人数（万人）月份1月2 月3月 4月5月6月7月8月9 月10月11 月12月实际值

预测值

图形如图 10-2 ：（蓝线为实际值，红线为预测值）

图 10-2 2003年接待海外旅游人数实际值与预测值比较图

通过图形可以直观的看出：（1）预测值波动比较小，真实值波动比较剧烈；（2）真实值低于预测值，尤其 5 月份左右真实值远远低于预测值，年初和年末相差不太大。这是由实际情况造成的， 5 月份左右SARS 疫情比较猖獗，此时好多学校和单位等实行封闭管理，大大限制了人们的出行，同时人们也基于自身安全的因素，能不出门就不出门，因此旅游人数大大降低，旅游业处于低谷；年初和年末SARS 疫情对人们出行的影响不大，因此年初和年末

年末海外旅游人数的实值略低于预测值。

（3）综合服务业累计数据

根据综合服务业累计数据的数据表，计算得年平均值（即原始数据x (0)(1)）和一次累加生成值x(1) (1)，分别为

显然 x (0)的所有级比都在可容区域内，这里取0.5，计算可得背景值

))

481.2013 。进而得到时间响应函数

计算得参数的估计值为a0.1343, u

再根据时间响应函数预测可得，2003年的月平均值为x 1144.0亿元；年总值为

Z11x 1258.4 亿元。又根据比例u i的表达式计算出每月的比例为

因此 2003 年 1~12 月的预测值 ( 单位：亿元 ) 为

将预测值与实际值进行比较，结果如表所示

表 2003年综合服务业累计数据的比较表（亿元）月份 2 月 3月 4月5 月6 月7月 8月 9月 10月 11月12 月

实际值241404584741923111412981492168418852218

预测值240390545744916110113161517170919072201

图形如图 10-3 ：（蓝线为实际值，红线为预测值）

图 10-3 2003年综合服务业累计数据实际值与预测值比较图通过图形可以直观的看出：（1）预测值与真实值相差不大；（2）5月份左右真实值与预

测值最接近。这是由实际情况造成的， SARS 疫情对于综合服务业中的部分行业影响较大，如

航空交通运输、宾馆餐饮等，但有些行业影响不大，如电信、通讯等，因此总平均来看，影响还

不算太大。

（ 4）模型的评价

从三方面的结果分析，可以看出模型的结论与实际情况相符，这说明了模型的正确性和

可靠性。虽然该模型是就某经济指标的发展规律进行评估预测而建立的，但类似地也适用于其它

方面的一些数据规律的评估预测问题，即该模型具有很广泛的应用性。

GM（ 1， n）模型的应用——因素相关问题

GM（ 1， n）模型表示一阶的含有n 个变量灰色模型，适合于建立系统的状态模型与各

变量的动态分析，与GM（ 1，1）模型不同，不适合预测用；但建模与计算过程与GM（1， 1）模型类似。 GM（ 1， 2）模型是 GM（ 1， n）模型的基础，因此下面以GM（ 1，2）模型为例说

明 GM（ 1，n）模型的建模过程。

GM（ 1， 2）模型表示一阶的含有两个变量灰色模型，其相应的白化微分方程模型为

时间相应函数 ( 即解 ) 为

还原值为

例某系统中两因素x1和 x2相互之间存在关系，其中因素x1为系统特征因素，因素

x2为相关因素，两因素的关系如表所示

表两因素的关系

序号12345

因素 x1

因素 x2

解：第一步，数据处理

取原始数据为

对原始数据累加生成，得

第二步，建立GM（ 1， 2）模型

白化的微分方程模型为

转化为灰微分方程

或

其中

z1(1) ( k )x (1) ( k )x (1) ( k 1)

,( k2,3, 4,5) 。

2即矩阵形式为

其中

(3) 时间响应函数

利用最小二乘法得到参数的估计值) )

a,u ，即

进而得到微分方程的解即时间响应函数) (1))(1)

x1及还原值 x0，即

第三步，模型的求解

建立 M文件如下：

clc,clear

x10=[,,,,];

x20=[,,,,];

n=length(x10);

x11=cumsum(x10)

x21=cumsum(x20)

for i=2:n

z11(i)=*(x11(i)+x11(i-1));

end

B=[-z11(2:n)',x21(2:n)'];

Y=x10(2:n)';

A=inv(B'*B)*B'*Y

x=dsolve('Dx+a*x=b*x2','x(0)=x0');

x=subs(x,{'a','b','x0','x2'},{A(1),A(2),x10(1),'x21'}); digits(6),x=vpa(x);x=simple(x)

x=subs(x,{'t','x21'},{[0:n-1],x21(1:n)})

xhat=[x(1),diff(x)]

epsilon1=x11-x

delta1=abs(epsilon1./x11)

epsilon0=x10-xhat

delta0=abs(epsilon0./x10)

利用程序 10toliti04

)

1.0975,

)

0,3307 ，进而得到时间响应函数及求解 , 得a u

还原值

第四步，精度检验

先对累加生成数据进行的误差检验，如果进度较高可直接求解还原值，否则要进行模型的修正，检验结果如表所示

表累加生成数据的误差检验表

序号累加生成数据模拟数据残差相对误差

(1)) (1)

(k )(1) ( k)

x1 (k)x11

223

根据误差检验表，可知：累加生成数据相对误差都小于10%，最大的相对误差为%，模型的相对误差比较小，精度较高；可以直接用来求解还原值。

) (0)

利用累加生成数据进行累减生成，得到还原值x1(k) ，即

并对还原值进行的误差检验，检验结果如表所示

表原始数据的误差检验表

序号原始数据模拟数据残差相对误差

(0)

(k )) (0)

( k)

(0)

(k)

x1x11

根据误差检验表，可知：原始数据的相对误差集中在10%左右，最大的相对误差为%，

模型的相对误差比较小，精度较高。

GM（ 1， n）模型建模过程与GM（ 1，2）模型类似，不再详细介绍。

本章小结

本章主要介绍了灰色系统的基本概念和三个基本的灰色模型：GM（ 1， 1）模型、残差

GM（ 1， 1）模型和GM（ 1， 2）模型，其中GM（ 1， 1）模型是其他模型的理论基础，会准确

熟练的建立GM（ 1，1）并求解，并在此基础上进行深入学习。

思考题

思考题 1某江段连续四年氨氮质量浓度如表所示，试建立GM（1， 1）模型并求解。

表某江段氨氮质量浓度mg/L

年份12345

氨氮质量浓度

思考题 2某市某月1-15 日早晨 7 点左右的大气能见度值如表所示，试建立GM(1,1)

残差模型并求解。

表某市大气能见度

日期123456789101112131415

能见度

思考题 3设系统特征数据序列为x1(0)(2.874, 3.278, 3.307, 3.39, 3.679)

相关因素数据序列为 x2(0)(7.04, 7.645, 8.075, 8.53, 8.774)，试建立 GM(1,2) 模型并求解。

推荐阅读书目

1．刘思峰等． 2004．灰色系统理论及应用［Ｍ］．3版．北京：科学出版社．

2．王治祯等． 2001．灰色系统及模糊数学在环境保护中的应用［Ｍ］．1版．哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社．

3．邓聚龙．1990．多维灰色规划［Ｍ］．1版．北京：华中理工大学出版社．

灰色模型应用举例

灰色系统模型的应用灰色系统理论对中国50年人口发展预测一、中国人口发展概况中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多、底子薄、耕地少、人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。新中国成立60年，我国人口发展经历了前30年高速增长和后20多年低速增长两大阶段：从建国初期到上世纪70年代初，中国人口由旧中国的高出生、高死亡率进入高出生、低死亡率的人口高增长时期，1950-1975年人口出生率始终保持在30‰以上, 最高达到37‰（表3.2.1）。70年代以后，人口过快增长的势头得到迅速扭转，人口出生率、自然增长率、妇女总和生育率有了明显下降，人口出生率由70年代初的33‰大幅度下降到80年代的21‰, 妇女总和生育率也由6下降到2.3左右。90年代以来，随着我国经济高速发展，人民文化和健康水平逐步提高，计划生育工作不断深入，在20-29岁生育旺盛人数年均超过1亿的情况下, 人口出生率依然呈现大幅下降的趋势，到2000年底人口出生率从1990年的21.06‰下降到14.03‰，自然增长率由1990年的14.39‰下降到7.58‰, 妇女总和生育率也下降到2以下。进入90年代末期, 我国人口实现了低出生、低死亡、低增长的历史性转变。到2000年底全国总人口为12.6743亿, 成功实现了“九五”计划将人口控制在13亿的奋斗目标。中国政府自1980年在全国城乡实行计划生育以来成果卓著，据国家计生委“计划生育投入与效益研究”课题组的研究成果，20年共少生2.5亿个孩子，有效地控制了人口的快速增长，为中国现代化建设、全面实现小康打下了坚实的基础, 同时也为世界人口的增长和控制做出了杰出贡献。但是由于中国人口基数大，人口增长问题依然十分严峻，1990-1999年每年平均净增人口约1300万，这仍然对我国社会和经济产生巨大的压力。因此，准确预测未来50年人口数量及其增长，为中国经济和社会发展决策提供科学依据，对于加速推进我国现代化

改进灰色模型及其在变形预测中的应用

改进灰色模型及其在变形预测中的应用文章介绍了常用的变形预测[1]模型：GM （1，1）模型[2]（即灰色模型），考虑背景值[3]对模型精度的影响。对其进行改进，获得PGM（1，1）模型[4]。并通过编程加以实现。且通过实例比较，证明PGM（1，1）模型的预测效果更好。标签：变形预测；灰色模型；背景值；加权灰色模型 1 概述变形是指各种荷载作用于变形体，使其形状、大小及位置在时间域或空间域发生的变化。变形预测就是根据对观测数据进行后期处理，来揭示变形监测数据序列的结构与规律，以建立动态预测模型，反映变形特征，推断变化趋势，进而建立起正确的变形预报理论和方法[1]。由于灰色理论解决复杂系统的独特优点，故而灰色模型在变形预测多有应用[5]。 2 改进灰色模型 2.1 GM（1，1）模型的建立在灰色系统理论[2]中，利用较少的或不确切的表示灰色系统行为特征的原始数据序列作生成变换（如累加、累减）后建立的，用以描述灰色系统内部事物连续变化过程或其规律的模型，称为灰色模型，简称GM模型。GM（1，1）模型是1阶的，1个变量的微分方程型模型，是灰色预测的典型模型。GM（1，1）模型具体建立步骤如下：（1）设有原始等时间的数列，其中n表示观测次序（t=1，2，…，n），对原始数据列中各时刻的数据依次累加，得新的序列：其中：（1）累减生成：（2）累减生成用于根据预测的数列还原出我们所需要的数列。 GM（1，1）模型的微分方程构成形式为：（3）式中a，b为待识别的模型灰参数，对于变形系统来说，a为发展系数，反映变形发展态势，b为灰作用量。（2）确定数据矩阵B、Yn：

灰色模型介绍及应用

第十章灰色模型介绍及应用（徐利艳天津农学院 2.4万字） 10.1灰色理论基本知识 10.1.1概言 10.1.2有关名词概念 10.1.3GM建模机理 10.2灰色理论模型应用 10.2.1GM（1，1）模型的应用——污染物浓度问题 10.2.2 GM（1，1）残差模型的应用——油菜发病率问题 10.2.3GM模型在复杂问题中的应用——SARS 疫情问题 10.2.4 GM（1，n）模型的应用——因素相关问题本章小结思考题推荐阅读书目

第十章灰色模型介绍及应用 10.1灰色理论基本知识 10.1.1概言客观世界的很多实际问题，其内部的结构、参数以及特征并未全部被人们了解，人们不可能象研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚，只能依据某种思维逻辑与推断来构造模型。对这类部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统。本章介绍的方法是从灰色系统的本征灰色出发，研究在信息大量缺乏或紊乱的情况下，如何对实际问题进行分析和解决。灰色系统的研究对象是“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统，它通过对“部分”已知信息的生成、开发实现对现实世界的确切描述和认识。信息不完全是“灰”的基本含义。灰色系统理论建模的主要任务是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分开发并利用不多的数据中的显信息和隐信息，寻找因素间或因素本身的数学关系。通常的办法是采用离散模型，建立一个按时间作逐段分析的模型。但是，离散模型只能对客观系统的发展做短期分析，适应不了从现在起做较长远的分析、规划、决策的要求。尽管连续系统的离散近似模型对许多工程应用来讲是有用的，但在某些研究领域中，人们却常常希望使用微分方程模型。事实上，微分方程的系统描述了我们所希望辨识的系统内部的物理或化学过程的本质。目前，灰色系统理论已成功地应用于工程控制、经济管理、未来学研究、生态系统及复杂多变的农业系统中，并取得了可喜的成就。灰色系统理论有可能对社会、经济等抽象系统进行分析、建模、预测、决策和控制，它有可能成为人们认识客观系统改造客观系统的一个新型的理论工具。 10.1.2有关名词概念灰数：一个信息不完全的数，称为灰数。灰元：信息不完全或内容难以穷尽的元素，称为灰元。灰关系：信息不完全或机制不明确的关系，称为灰关系。具有灰关系的因素是灰因素，灰因素之间的量化作用，称为灰关联。

灰色模型介绍及应用

第十章灰色模型介绍及应用（徐利艳天津农学院2.4万字） 10.1灰色理论基本知识 10.1.3GM建模机理 10.2灰色理论模型应用 ——污染物浓度问题 10.2.2 GM（1，1）残差模型的应用——油菜发病率问题 10.2.3GM模型在复杂问题中的应用——SARS 疫情问题 10.2.4 GM（1，n）模型的应用——因素相关问题本章小结思考题推荐阅读书目第十章灰色模型介绍及应用 10.1灰色理论基本知识客观世界的很多实际问题，其内部的结构、参数以及特征并未全部被人们了解，人们不可能象研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚，只能依据某种思维逻辑与推断来构造模型。对这类部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统。本章介绍的方法是从灰色系统的本征灰色出发，研究在信息大量缺乏或紊乱的情况下，如何对实际问题进行分析和解决。灰色系统的研究对象是“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统，它通过对“部分”已知信息的生成、开发实现对现实世界的确切描述和认识。信息不完全是“灰”的基本含义。灰色系统理论建模的主要任务是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分开发并利用不多的数据中的显信息和隐信息，寻找因素间或因素本身的数学关系。通常的办法是采用离散模型，建立一个按时间作逐段分析的模型。但是，离散模型只能对客观系统的发展做短期分析，适应不了从现在起做较长远的分析、规划、决策的要求。尽管连续系统的离散近似模型对许多工程应用来讲是有用的，但在

某些研究领域中，人们却常常希望使用微分方程模型。事实上，微分方程的系统描述了我们所希望辨识的系统内部的物理或化学过程的本质。目前，灰色系统理论已成功地应用于工程控制、经济管理、未来学研究、生态系统及复杂多变的农业系统中，并取得了可喜的成就。灰色系统理论有可能对社会、经济等抽象系统进行分析、建模、预测、决策和控制，它有可能成为人们认识客观系统改造客观系统的一个新型的理论工具。灰数：一个信息不完全的数，称为灰数。灰元：信息不完全或内容难以穷尽的元素，称为灰元。灰关系：信息不完全或机制不明确的关系，称为灰关系。具有灰关系的因素是灰因素，灰因素之间的量化作用，称为灰关联。灰色系统:含灰数、灰元或灰关系的系统称为信息不完全系统。如果按照灰色理论去研究它。则称此系统为灰色系统。累加生成：由于灰系统对一切随机量都可看作是在一定范围内变化的灰色量，因此，为适应灰系统建模需要，提出“生成”的概念，“生成”即指对原始数据做累加（或累减）处理。累加生成一般可写成AGO 。若计(0) x 为原始数列，() r x 为r 次累加生成后数列，即则r 次累加生成算式为 ()(1) (1) (1) (1)1 (1)(1)(1)(1)()(1)()(1)(2)()() [(1)(2)(1)]()(1)() k r r r r r i r r r r r r x k x x x k x i x x x k x k x k x k ----=-----=++==++ -+=-+∑ 一般常用的是一次累加生成，即 10.1.3GM 建模机理建立GM 模型，实际就是将原始数列经过累加生成后，建立具有微分、差分近似指数规律兼容的方程，成为灰色建模，所建模型称为灰色模型，简记为GM （Grey Model ）。如GM （m,n ）称为m 阶n 个变量的灰色模型，其中GM （1，1）模型是GM （1，n ）模型的特例，是灰色系统最基本的模型，也是常用的预测模型，因此本章重点介绍几种GM （1，1）模型的建模过程和计算方法，并简单介绍GM （1，n ）建模过程。 GM （1，1）的建模机理 GM （1，1）模型是GM （1，N ）模型的特例，其简单的微分方程形式（白化形式的微分方程）是利用常数变易法解得，通解为

灰色模型应用举例

灰色系统模型的应用第一节灰色系统模型在现金流量预测中的应用一、灰色理论应用在现金流量预测中我们选取伊利集团的2000—2007年财务报表的现金流量表中的“经营活动产生的净现金流”作为分析预测的对象。伊利集团是我国著名的奶业生产集团，知名度较高，且长期以来生产经营较为规范，其报表可信度较高，所以，用该公司的财务报表的数据，可以较好的反映实际情况，有利于我们进行分析和验证。而2008年出现的儿童奶粉事件，给乳制品产业带来了致命的打击，所以不采用2008年的财务报表。在使用GM(1,1)时,首先要对实际的原始数据进行一定的处理或假设： 1.企业在长期来看,不存在负现金流。尽管企业在短期,例如月现金流无法避免存在负现金流，但对于一个持续经营的企业来说，尽量保持正的现金流，是大多数的企业理财所应达到的目标。当然,当企业的实际数据出现负现金流时，也可用第二章第八节五中提到的办法进行处理。 2.企业在一定时期内的经营条件和外部环境不存在大的波动。即企业在相似的外部环境和促销手段下进行。这种假设避免了现金流大的波动，从而避免预测失真。由于对于一般的销售型企业来说，经营活动的现金流量是主要的资金来源，筹资活动和投资活动并不是经常发生的项目。而且，经营活动产生的现金流量通常情况下较稳定，不会产生大的波动，也很少有负值的出现，即使在短时期内可能出现应收账款较多，资金周转不开的情况，但从一年时间来看，在一年内的现金收入通常会大于现金流出。对于一个健康的正在成长的企业来说，经营活动现金流量应该是正数，投资活动是负数，筹资活动是正负相间的。所以，以下选择的伊利集团现金流量表中2000-2007的数据符合前述假设和模型的要求，见表1。

灰色预测模型理论及其应用

灰色预测模型理论及其应用灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测. 尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测. 灰色预测模型只需要较少的观测数据即可，这和时间序列分析，多元回归分析等需要较多数据的统计模型不一样. 因此，对于只有少量观测数据的项目来说，灰色预测是一种有用的工具.本文主要围绕灰色预测GM(1,1)模型及其应用进行展开。一、灰色系统及灰色预测的概念灰色系统灰色系统产生于控制理论的研究中。若一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是充足完全的，我们称之为白色系统。若一个系统的内部信息是一无所知，一团漆黑，只能从它同外部的联系来观测研究，这种系统便是黑色系统。灰色系统介于二者之间，灰色系统的一部分信息是已知的，一部分是未知的。区别白色和灰色系统的重要标志是系统各因素间是否有确定的关系。特点：灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定型系统的研究对象。灰色预测灰色系统分析方法是通过鉴别系统因素之间发展趋势的相似或相异程度，即进行关联度分析，并通过对原始数据的生成处理来寻求系统变动的规律。生成数据序列有较强的规律性，可以用它来建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态。灰色预测是用灰色模型GM(1,1)来进行定量分析的，通常分为以下几类： (1) 灰色时间序列预测。用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量（如产量、销量、人口数量、存款数量、利率等）构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或

灰色预测模型及应用论文

管理预测与决策的课程设计报告灰色系统理论的研究专业：计算机信息管理姓名：XXX 班级：xxx 学号：XX 指导老师：XXX 日期2012年11月01 日

摘要：科学地预测尚未发生的事物是预测的根本目的和任务。无论个体还是组织，在制定和规划面向未来的策略过程中，预测都是必不可少的重要环节，它是科学决策的重要前提。在众多的预测方法中，灰色预测模型自开创以来一直深受许多学者的重视，它建模不需要太多的样本，不要求样本有较好的分布规律，计算量少而且有较强的适应性，灰色模型广泛运用于各种领域并取得了辉煌的成就。本文详细推导GM（1,1）模型，另外对灰关联度进行了进一步的改进，让改进的计算式具有唯一性和规范性[]4。通过给出的实例高校传染病发病率情况，建立了GM(1,1)预测模型，并预测了1993年的传染病发病率。另外对传染病发病率较高的痢疾、肝炎、疟疾三种疾病做了关联度分析，发现痢疾与整个传染病关系最密切，而肝炎、疟疾与整个传染病的密切程度依次差些。关键词：灰色预测模型；灰关联度；灰色系统理论

目录 1、引言1 1.1、研究背景 (1) 1.1.1、国内研究现状 1 1.1.2、国外研究现状 1 1.2、研究意义 (2) 2、灰色系统及灰色预测的概念2 2.1、灰色系统理论发展概况2 2.1.1、灰色系统理论的提出2 2.1.2、灰色系统理论的研究对象 2 2.1.3、灰色系统理论的应用范围 2 2.1.4、三种不确定性系统研究方法的比较分析 3 2.2、灰色系统的特点.4 2.3、常见灰色系统模型 5 2.4、灰色预测 (5) 3、简单的灰色预测——GM(1,1)预测6

灰色预测模型及应用论文

灰色系统理论的研究摘要：科学地预测尚未发生的事物是预测的根本目的和任务。无论个体还是组织，在制定和规划面向未来的策略过程中，预测都是必不可少的重要环节，它是科学决策的重要前提。在众多的预测方法中，灰色预测模型自开创以来一直深受许多学者的重视，它建模不需要太多的样本，不要求样本有较好的分布规律，计算量少而且有较强的适应性，灰色模型广泛运用于各种领域并取得了辉煌的成就。本文详细推导GM（1,1）模型，另外对灰关联度进行了进一步的改进，让改进的计算式具有唯一性和规范性[]4 。通过给出的实例高校传染病发病率情况，建立了GM(1,1)预测模型，并预测了1993年的传染病发病率。另外对传染病发病率较高的痢疾、肝炎、疟疾三种疾病做了关联度分析，发现痢疾与整个传染病关系最密切，而肝炎、疟疾与整个传染病的密切程度依次差些。关键词：灰色预测模型；灰关联度；灰色系统理论

灰色系统理论的研究 GM(1,1)预测与关联度的拓展 1、引言模型按照对研究对象的了解程度可分为：黑箱模型、白箱模型、灰箱模型。黑箱模型：信息缺乏，暗，混沌。白箱模型：信息完全，明朗，纯净。灰箱模型：信息不完全，若明若暗，多种成分。 1.1、研究背景 1.1.1、国内研究现状灰色系统理论在我国提出至今已有二十几年的历史，它的应用引起了人们的广泛兴趣，不论是我国粮食发展决策中总产量预测模型，还是对湖北2000年宏观经济的发展趋势的量化分析，抑或是河南人民胜利渠的最佳灌溉决策，还是武汉汉阳火车对火车装车吨位的预测等，无一不是灰色预测系统理论杰出的硕果。 1.1.2、国外研究现状灰色系统理论在国际上也产生了很大的影响，IBM公司要求将灰色系统软件加入其为全球服务的管理软件库。目前英国、美国、德国、日本、澳大利亚、加拿大、奥地利、俄罗斯等国家、地区及国际组织有许多学者从事灰色系统的研究和应用。国内外84所高校开设了灰色系统课程，数百名博士、硕士研究生运用灰色系统的思想方法开展学科研究，撰写学位论文。国际、国内200多种学术期刊发表灰色系统论文，许多会议把灰色系统列为讨论专题，SCI、EI、ISTP、SA、MR、MA等纷纷检索我国灰色论著。 1.2、研究意义邓聚龙教授提出灰色系统有着重要的意义: (1) 是系统思维和系统思想在方法论上的具体体现; (2) 是科学方法论上的重大进展, 具有原创性的科学意义和深远的学术影响，是对系统科学的新贡献。 2、灰色系统及灰色预测的概念 2.1、灰色系统理论发展概况 2.1.1、灰色系统理论的提出著名学者邓聚龙教授于20世纪70年代末、80年代初提出。

第十章灰色模型介绍及应用

第十章灰色模型介绍及应用 10.1灰色理论基本知识 10.1.1概言 10.1.2有关名词概念 10.1.3 GM建模机理 10.2灰色理论模型应用 10.2.1GM（1，1）模型的应用——污染物浓度问题 10.2.2 GM（1，1）残差模型的应用——油菜发病率问题 10.2.3GM模型在复杂问题中的应用——SARS 疫情问题 10.2.4 GM（1，n）模型的应用——因素相关问题本章小结思考题推荐阅读书目

灰色预测模型的改进及其应用

灰色预测模型的改进及其应用灰色预测模型以其计算量少、适应性强而广泛应用于众多领域的研究，文章从某些函数变换能提高建模数据序列的光滑性这一角度出发，基于灰色系统建模理论方法，对于基于一元线性函数变换法的GM（1，1）模型进行了研究，并结合实例进行了验证和分析，结果证明了基于函数变换来改进灰色预测精度这一想法的可行性。标签：灰色预测；GM（1，1）；光滑性 1 引言预测是指在一定的理论指导和技术手段条件下，根据已掌握的事物发展的历史和现状为出发点，对其未来某一时间段内可能发生的变化特征量或变化趋势做出合理估计和推断的过程。简单来说，预测就是：根据过去和现在，估计未来。预测理论可以帮助人们认识并揭示事物的发展规律，提供关于未来发展的信息，使得人们当前的行为能有所依据，因此预测技术越来越受到社会各界的重视。预测技术主要包括回归分析法、时间序列法、趋势分析法、人工神经网络法、模糊预测法、灰色预测法、小波分析法和数据挖掘技术等。而灰色预测模型作为一种典型的趋势分析模型特别适用于那些因素众多、结构复杂、涉及面广、综合性较强的社会系统指标的趋势预测，且它对一般模型具有很强的融合力和渗透力，可将其与其他模型相结合进行分析和预测，从而实现优势互补，增强预测能力，改善预测精度。 2 灰色预测模型 2.1 灰色系统背景知识所谓灰色系统是指介于白色系统和黑色系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知则为白色系统，全部信息未知则为黑色系统，部分信息已知、部分信息未知，那么这一系统就是灰色系统。一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。我国学者邓聚龙教授于1982年首次提出了灰色系统理论这一概念，30多年来灰色系统理论受到了国内外学术界的极大关注，它以部分信息已知，部分信息未知的贫信息、不确定系统为研究对象，主要通过对部分已知信息的开发利用，去发现系统的运行规律，从而实现对事物发展规律的认识和预测。灰色预测理论问世以来的理论和实践证明，与其他预测方法相比，灰色预测模型普遍精度高，误差小，已经成为了许多领域进行系统分析建模、预测控制决策等的独特思路和崭新方法。 2.2 GM（1，1）模型概述

灰色模型介绍及应用.docx

建模机理灰色理论模型应用 ——污染物浓度问题 GM（ 1， 1）残差模型的应用——油菜发病率问题 GM模型在复杂问题中的应用——SARS 疫情问题 GM（ 1， n）模型的应用——因素相关问题本章小结思考题推荐阅读书目第十章灰色模型介绍及应用灰色理论基本知识客观世界的很多实际问题，其内部的结构、参数以及特征并未全部被人们了解，人们不可能象研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚，只能依据某种思维逻辑与推断来构造模型。对这类部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统。本章介绍的方法是从灰色系统的本征灰色出发，研究在信息大量缺乏或紊乱的情况下，如何对实际问题进行分析和解决。灰色系统的研究对象是“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统，它通过对“部分”已知信息的生成、开发实现对现实世界的确切描述和认识。信息不完全是“灰”的基本含义。灰色系统理论建模的主要任务是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分开发并利用不多的数据中的显信息和隐信息，寻找因素间或因素本身的数学关系。通常的办法是采用离散模型，建立一个按时间作逐段分析的模型。但是，离散模型只能对客观系统的发展做短期分析，适应不了从现在起做较长远的分析、规划、决策的要求。尽管连续系统的离散近似模型对许多工程应用来讲是有用的，但在某些研究领域中，人们却常常希望使用微分方程模型。事实上，微分方程的系统描述了我们所希望辨识的系统内部的物理或化学过程的本质。目前，灰色系统理论已成功地应用于工程控制、经济管理、未来学研究、生态系统及复杂多变的农业系统中，并取得了可喜的成就。灰色系统理论有可能对社会、经济等抽象系统

灰度预测模型详解举例

灰色系统预测重点内容：灰色系统理论的产生和发展动态，灰色系统的基本概念，灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别，灰色系统预测GM （1，1）模型，GM（1，N）模型，灰色系统模型的检验，应用举例。 1灰色系统理论的产生和发展动态 1982邓聚龙发表第一篇中文论文《灰色控制系统》标志着灰色系统这一学科诞生。 1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。 1989海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》，同年，英文版国际刊物《灰色系统》杂志正式创刊。目前，国际、国内200多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著500多次。灰色系统理论已应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。 2灰色系统的基本原理 2.1灰色系统的基本概念我们将信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统称为灰色系统。系统信息不完全的情况有以下四种： 1.元素信息不完全 2.结构信息不完全 3.边界信息不完全 4.运行行为信息不完全 2.2灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别主要在于对系统内涵与外延处理态度不同；研究对象内涵与外延的性质不同。灰色系统着重外延明确、内涵不明确的对象，模糊数学着重外延不明确、内涵明确的对象。 “黑箱”方法着重系统外部行为数据的处理方法，是因果关系的两户方法，使扬外延而弃内涵的处理方法，而灰色系统方法是外延内涵均注重的方法。

2.3灰色系统的基本原理公理1：差异信息原理。“差异”是信息，凡信息必有差异。公理2：解的非唯一性原理。信息不完全，不明确地解是非唯一的。公理3：最少信息原理。灰色系统理论的特点是充分开发利用已有的“最少信息”。公理4：认知根据原理。信息是认知的根据。公理5：新信息优先原理。新信息对认知的作用大于老信息。公理6：灰性不灭原理。“信息不完全”是绝对的。 2.4灰色系统理论的主要内容灰色系统理论经过10多年的发展，已基本建立起了一门新兴学科的结构体系，其主要内容包括以“灰色朦胧集”为基础的理论体系、以晦涩关联空间为依托的分析体系、以晦涩序列生成为基础的方法体系，以灰色模型（G ，M ）为核心的模型体系。以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。灰色关联分析灰色统计灰色聚类 3灰色系统预测模型灰色预测方法的特点表现在：首先是它把离散数据视为连续变量在其变化过程中所取的离散值，从而可利用微分方程式处理数据；而不直接使用原始数据而是由它产生累加生成数，对生成数列使用微分方程模型。这样，可以抵消大部分随机误差，显示出规律性。 3.1灰色系统理论的建模思想下面举一个例子，说明灰色理论的建模思想。考虑4个数据，记为)4(),3(),2(),1() 0() 0() 0() 0(X X X X

一种改进的灰色预测模型分析

2012年第·6期太原城市职业技术学院学报 Journal of TaiYuan Urban Vocational college期总第131期 Jun2012 [摘要]预测主要是根据事物发展过程的已有轨迹，综合其各方面的信息，运用定性和定量的分析方法，合理发现事物发展的一些客观规律，并能对事物未来发展的可能途径以及结果作出合理及相似性假设。传统的GM（1.1）模型被提出解决贫信息和小样本事件的预测，广泛应用于各种研究领域并取得了一些良好的预测精度，但有时候在处理实际问题时往往会因为公式本身的参数不变产生较大的误差。论文对灰色GM（1，1）预测模型公式本身存在的缺陷进行了分析，并改进了灰色预测模型，对于改进传统的灰色预测模型有很好的指导作用。 [关键词]灰色系统；GM（1.1）；灰色预测；预测；预测模型 [中图分类号]TP[文献标识码]A[文章编号]1673-0046（2012）6-0166-02 一种改进的灰色预测模型分析王波 (山西大学,山西太原030006) 作为灰色系统理论的核心灰色预测法，是一种对含有不确定因素的系统进行分析、建模，从而达到预测的方法。它首先通过分析系统因素之间的关联程度，对原始数据进行处理生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，最后进行预测。由于灰色预测具有要求样本数据少、原理简单、运算方便、短期预测精度高、可检验等优点，因而得到了广泛的应用，并取得了令人满意的效果。一、预测的概念和分类预测，简而言之就是提前推测或测定，对未来发生的事情做出有效的估计，是对尚未发生事物通过理性或非理性的方法进行估计分析，推测出此事物未来的发展趋势，其目的是为了减少人们在生活中由于各种不确定性而导致错误的决策，从而协助人们选择最合适的下一步方案。其预测的原理大体是从过去和现在已知的确切情况出发，利用一定的方法技术探测或者模拟未知的过程和结果。根据多年来人们的研究发现，事物的发展和变化大多数遵循以下几条原则：（1）连贯性原则：一般事物发展都有自己的规律和运行轨迹，如果没有受到突发事件的干扰，其发展规律基本不变，会呈现一种持续性。（2）相似性原则：事物的发展具有一定的“遗传性”，在其发展过程中属性一般不变，会有一定的相似性。（3）相关性原则：在一个复杂的系统之中，各式各样的影响因素(变量)之间总是存在着某种关联，也正是利用了这些关联关系，我们才能建立预测模型进行预测。（4）必然性和偶然性原则：唯物主义告诉我们，任何事物的发展都有一定的必然性和偶然性，而且必然性蕴含在偶然性之中。基于上述原则，我们才能对事物的运行轨迹及未来进行有效的预测。但是，由于是对未来这种不确定性的状态作出合理估计和推断，所以需要科学的手段和方法。为了达到这一目的，往往要对我们研究的对象进行模仿或抽象，这一过程称之为建模；而用建模手段得到的对研究对象的一种表示就称为模型。由于股票的高风险性，因此从它诞生之日起就受到投资者的极大关注，并通过各种各样的方法来预测其价格趋势。20世纪末国外的有效市场理论认为，股票价格呈游走模式，不可预测。即便如此，早期的股票预测方法依旧很多，如道氏理论、K线图分析法等，但效果都不很理想。而随着数据挖掘技术的出现和日益成熟，近年来出现了很多精度大大提高的股票预测模型。常见的预测模型一般有两种：基于时间序列的预测模型，如ARM A模型和ARCH模型等；基于神经网络的预测，如BP网络预测、聚类模型等。任何预测模型都有它自身的优缺点，至今还没有一种既有较高的预测精度，又可适用于任何研究对象的预测模型。因此，预测学家一般对某一问题先找到其特定领域，然后进行深入研究，以便可以找到一种预测精度较高的预测模型；或者通过研究预测模型本身，对模型的适用条件和在一定条件下的预测精度进行分析。二、传统的GM（1，1）建模思想灰色系统理论是1982年中国学者邓聚龙教授创立的，是一种按颜色命名的研究少数据、小样本不确定性问题的新方法。灰色系统理论以“部分信息已知，部分信息未知”的不确定性系统为研究对象，主要通过对那部分已知信息的提炼开发，运用一定的规矩转换成有相对明显价值的信息，实现对系统运行规律的有效描述，其最主要特点是“少数据建模”。灰色预测从毫无规律的、离散的数据中找出一定规律，然后通过数据加工处理建立灰色系统模型，并用它来做相应的分析、预测。其基本思路是：无论怎样看似杂乱无章、复杂的客观系统，终究是相互关联的，是一个系统，所以，其作为系统行为特征的数据总是隐含着系统所具有的某种规律性。我们就是要找出其最有可能的规律性，从而实现其作为一个整体系统的功能。而在灰色预测中，GM(1.1)模型是灰色系统理论中提出较早的也是最核心的预测模型，它是对离散的数据序列建立一阶微分方程。其建模采用五步建模的思想： 166··

3灰色模型GM(1,N)及其应用

2§ 3 灰色模型GM(1,N)及其应用客观系统无论本征非灰，还是本征灰，一般都存在能量吸收、储存、释放等过程，加之生成数列一般都有较强的指数变化趋势，所以灰色系统理论指出用离散的随机数，经过生成变为随机性被显著削减的较有规律的生成数，这样便可以对变化过程做较长时间的描述，进而建立微分方程形式的模型。建模的实质是建立微分方程的系数。设有N个数列 X i(0)(X i(0)(1),X(0)(2), ,X i(0)(n)) i 1,2, ,N 对X i(0)做累加生成，得到生成数列 2 n X i(1)(X i(0)(1), X i(0)(m), , X(0)(m)) m 1 m 1 (X i⑴(1), X i⑴(1) X i(0)(2), ,X i(1)(n 1) X i(0)(n)) i 1,2, ,N 我们将数列X i⑴的时刻k 1,2,小看作连续的变量t，而将数列X i(1)转而看成时间t的函数X i(1)X i(1)(t)。如果数列X21),X31), ,X N1)对X1(1)的变化率产生影响，则可建立白化式微分方程 ⑴ dX 1 (1) (1) (1) (1) aX 1 b1 X 2 b2 X 3 b N 1X N( 1) dt 这个微分方程模型记为GM( 1,N )。方程(1)的参数列记为(a,b1,b2, b N 1)T，再设Y N(X1(0)(2),X1(0)(3), ,X；0)(n))T，将方程(1)按差分法离散，可得到线性方程组，形如 Y N B ? 按照最小二乘法，有求出？后，微分方程(1)便确定了。若n 1 N，则方程组(2)的方程个数少于未知数的个数，此时，B T B是奇异矩阵，我们(2) (3) ? (B T B) 1B T Y N 其中，利用两点滑动平均的思想，最终可得矩阵 1 (1) -(X1( )(1) 2X1(1)(2))(1) X 2(2)X N1)(2) 1 (1) B 2(X；)⑵X1(1)(3))⑴ X 2 (3)X N1)(3) T(X1(1)( n 1)X1(1)( n))(1) X 2(n)X N1)( n)

数学建模案例分析--灰色系统方法建模2灰色预测模型GM(1-1)及其应用

§2 灰色预测模型GM(1,1)及其应用蠕变是材料在高温下的一个重要性能。处于高温状态下的材料长期受到载荷作用时，即使其载荷较低，并且在短时间的高温拉伸试验中材料不发生变形，但在此情况下仍会有微小的蠕变，极端的情况下，甚至会使材料发生破坏。高温材料多应用于各种车辆的发动机及冶金厂中各种设备上，如果因蠕变引起破坏，可能造成很大的事故。为了保证设备的安全可靠，在某一使用温度下，预先知道该材料对不同载荷应力下断裂的时间是很重要的。过去，人们都是通过蠕变试验测量断裂时间。而做蠕变试验时，需要很长时间才能得到结果，即使通过试验得出的数据，也只是对某几个具体试样而言，存在很大的偶然性，不能代表普遍的规律。如果将实测的数据用灰色系统理论来处理，可以预测在某一温度下的任何载荷应力的断裂时间。一、灰色预测模型GM （1,1）建模步骤如下：（1）GM （1,1）代表一个白化形式的微分方程： u aX dt dX =+)1() 1( （1）式中，u a ,是需要通过建模来求得的参数；) 1(X 是原始数据) 0(X 的累加生成（AGO ）值。（2）将同一数据列的前k 项元素累加后生成新数据列的第k 项元素，这就是数据处理。表示为： ∑==k n n X k X 1 )0() 1()()( （2）不直接采用原始数据) 0(X 建模，而是将原始的、无规律的数据进行加工处理，使之变得较有规律，然后利用生成后的数据列来分析建模，这正是灰色系统理论的特点之一。（3）对GM （1,1），其数据矩阵为

?????? ? ? ?+--+-+-=1)]()1([5.01)]3()2([5.01)]2()1([5.0)1()1()1()1()1()1(N X N X X X X X B M M （3）向量T N N X X X Y )](,),3(),2([)0()0()0(Λ= （4）作最小二乘估计，求参数u a , N T T Y B B B u a 1)(?-=??? ? ??=α （4）（5）建立时间响应函数，求微分方程（1）的解为 a u e a u X t X at +-=+-))1(()1(?)0()1( （5）这就是要建立的灰色预测模型。二、低合金钢铸件蠕变性能的灰色预测下面是对Cr-mo-0.25V 低合金钢铸件高温蠕变情况利用灰色系统理论进行研究。在500℃的高温下，已测得此铸件在载荷分别为37，36，35，34，33（kg/mm 2）情况下的蠕变断裂时间见下表。 1、建立GM （1,1）模型表中一次累加数列)() 1(k X 是根据断裂时间数列)()0(k X ，由公式（2）得到的。例如，

灰色预测模型理论及其应用

灰色预测模型理论及其应用 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】

灰色模型介绍及应用

灰色理论基本知识概言有关名词概念建模机理灰色理论模型应用（1，1）模型的应用——污染物浓度问题 GM（1，1）残差模型的应用——油菜发病率问题 GM模型在复杂问题中的应用——SARS 疫情问题 GM（1，n）模型的应用——因素相关问题本章小结思考题推荐阅读书目

第十章灰色模型介绍及应用灰色理论基本知识概言客观世界的很多实际问题，其内部的结构、参数以及特征并未全部被人们了解，人们不可能象研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚，只能依据某种思维逻辑与推断来构造模型。对这类部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统。本章介绍的方法是从灰色系统的本征灰色出发，研究在信息大量缺乏或紊乱的情况下，如何对实际问题进行分析和解决。灰色系统的研究对象是“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统，它通过对“部分”已知信息的生成、开发实现对现实世界的确切描述和认识。信息不完全是“灰”的基本含义。灰色系统理论建模的主要任务是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分开发并利用不多的数据中的显信息和隐信息，寻找因素间或因素本身的数学关系。通常的办法是采用离散模型，建立一个按时间作逐段分析的模型。但是，离散模型只能对客观系统的发展做短期分析，适应不了从现在起做较长远的分析、规划、决策的要求。尽管连续系统的离散近似模型对许多工程应用来讲是有用的，但在某些研究领域中，人们却常常希望使用微分方程模型。事实上，微分方程的系统描述了我们所希望辨识的系统内部的物理或化学过程的本质。目前，灰色系统理论已成功地应用于工程控制、经济管理、未来学研究、生态系统及复杂多变的农业系统中，并取得了可喜的成就。灰色系统理论有可能对社会、经济等抽象系统进行分析、建模、预测、决策和控制，它有可能成为人们认识客观系统改造客观系统的一个新型的理论工具。有关名词概念灰数：一个信息不完全的数，称为灰数。灰元：信息不完全或内容难以穷尽的元素，称为灰元。灰关系：信息不完全或机制不明确的关系，称为灰关系。具有灰关系的因素是灰因素，灰因素之间的量化作用，称为灰关联。

灰色预测模型及应用论文

灰色预测模型及应用论文Newly compiled on November 23, 2020

灰色系统理论的研究 GM(1,1)预测与关联度的拓展摘要：科学地预测尚未发生的事物是预测的根本目的和任务。无论个体还是组织，在制定和规划面向未来的策略过程中，预测都是必不可少的重要环节，它是科学决策的重要前提。在众多的预测方法中，灰色预测模型自开创以来一直深受许多学者的重视，它建模不需要太多的样本，不要求样本有较好的分布规律，计算量少而且有较强的适应性，灰色模型广泛运用于各种领域并取得了辉煌的成就。本文详细推导GM（1,1）模型，另外对灰关联度进行了进一步的改进，让改进的计算式具有唯一性和规范性[]4。通过给出的实例高校传染病发病率情况，建立了GM(1,1)预测模型，并预测了1993年的传染病发病率。另外对传染病发病率较高的痢疾、肝炎、疟疾三种疾病做了关联度分析，发现痢疾与整个传染病关系最密切，而肝炎、疟疾与整个传染病的密切程度依次差些。关键词：灰色预测模型；灰关联度；灰色系统理论 The Research of Grey System Theory GM（1,1) prediction and the expansion of correlation xueshenping Instructor: tangshaofang Abstract：Science has not yet occurred to predict the fundamental thing is to predict the purpose and mission. Whether individuals or organizations, in developing future-oriented strategy and planning process, the forecasts are essential and important aspect, which is an important prerequisite for scientific decision-making. Among the many prediction methods, the gray prediction model has been well received since its inception attention of many scholars, it does not require much sample modeling, does not require a better distribution of the sample was calculated, and has strong adaptability less , gray model widely used in various fields and has made brilliant achievements. This paper is derived GM (1,1) model, the other on the gray correlation was further improved, so that the improved formula is unique and normative. University by giving examples of the incidence of infectious diseases, establishing the GM (1,1) prediction model and predict the incidence of infectious diseases in 1993. In addition to the high incidence of infectious diseases, dysentery, hepatitis, malaria, made the three diseases, correlation analysis, found that dysentery is most closely with the infectious disease, and hepatitis, malaria and infectious diseases, the closeness of the order of hearing. Key words：Grey prediction model ; Grey relational grade;Grey system theory

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