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第十章灰色模型介绍及应用

第十章灰色模型介绍及应用 10.1灰色理论基本知识

10.1.1概言

10.1.2有关名词概念

10.1.3 GM建模机理

10.2灰色理论模型应用

10.2.1GM（1，1）模型的应用——污染物浓度问题

10.2.2 GM（1，1）残差模型的应用——油菜发病率问题 10.2.3GM模型在复杂问题中的应用——SARS 疫情问题 10.2.4 GM（1，n）模型的应用——因素相关问题

本章小结

思考题

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第十章灰色模型介绍及应用

10.1灰色理论基本知识

10.1.1概言

客观世界的很多实际问题，其内部的结构、参数以及特征并未全部被人们了解，人们不可能象研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚，只能依据某种思维逻辑与推断来构造模型。对这类部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统。本章介绍的方法是从灰色系统的本征灰色出发，研究在信息大量缺乏或紊乱的情况下，如何对实际问题进行分析和解决。

灰色系统的研究对象是“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统，它通过对“部分”已知信息的生成、开发实现对现实世界的确切描述和认识。信息不完全是“灰”的基本含义。

灰色系统理论建模的主要任务是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分开发并利用不多的数据中的显信息和隐信息，寻找因素间或因素本身的数学关系。通常的办法是采用离散模型，建立一个按时间作逐段分析的模型。但是，离散模型只能对客观系统的发展做短期分析，适应不了从现在起做较长远的分析、规划、决策的要求。尽管连续系统的离散近似模型对许多工程应用来讲是有用的，但在某些研究领域中，人们却常常希望使用微分方程模型。事实上，微分方程的系统描述了我们所希望辨识的系统内部的物理或化学过程的本质。

目前，灰色系统理论已成功地应用于工程控制、经济管理、未来学研究、生态系统及复杂多变的农业系统中，并取得了可喜的成就。灰色系统理论有可能对社会、经济等抽象系统进行分析、建模、预测、决策和控制，它有可能成为人们认识客观系统改造客观系统的一个新型的理论工具。

10.1.2有关名词概念

灰数：一个信息不完全的数，称为灰数。

灰元：信息不完全或内容难以穷尽的元素，称为灰元。

灰关系：信息不完全或机制不明确的关系，称为灰关系。具有灰关系的因素是灰因素，灰因素之间的量化作用，称为灰关联。

灰色系统:含灰数、灰元或灰关系的系统称为信息不完全系统。如果按照灰色理论去研究它。则称此系统为灰色系统。

累加生成：由于灰系统对一切随机量都可看作是在一定范围内变化的灰色量，因此，为适应灰系统建模需要，提出“生成”的概念，“生成”即指对原始数据做累加（或累减）处理。累加生成一般可写成AGO 。若计(0)

为原始数列，()

r x

为r 次累加生成后数列，即

(0)(0)(0)(0){(1),(2),()}x x x x n = ()()()(){(1),(2),

()}r r r r x x x x n =

则r 次累加生成算式为

()(1)

(1)

(1)1

(1)(1)(1)(1)()(1)()(1)(2)()()

[(1)(2)(1)]()(1)()

r r r r r i r r r r r r x k x

k x i x x x k x k x k x k ----=-----=++==++

-+=-+∑ 一般常用的是一次累加生成，即

(1)

(0)1

(1)(0)()()

(1)()

i x k x i x k x k ===-+∑

10.1.3GM 建模机理

建立GM 模型，实际就是将原始数列经过累加生成后，建立具有微分、差分近似指数规律兼容的方程，成为灰色建模，所建模型称为灰色模型，简记为GM （Grey Model ）。如GM （m,n ）称为m 阶n 个变量的灰色模型，其中GM （1，1）模型是GM （1，n ）模型的特例，是灰色系统最基本的模型，也是常用的预测模型，因此本章重点介绍几种GM （1，1）模型的建模过程和计算方法，并简单介绍GM （1，n ）建模过程。

GM （1，1）的建模机理

GM （1，1）模型是GM （1，N ）模型的特例，其简单的微分方程形式（白化形式的微分方程）是

+=dx

ax u dt

利用常数变易法解得，通解为

()-=+

at u x t ce a

若初始条件为00,(0)t x x ==，则可得到微分方程的特解为

0()()-=-+at u u

x t x e a a

或时间响应函数(时间响应:一个输入量的规定变化引起输出量随时间的变化）

(1)(1)((1))-+=-+at u u

x t x e a a

其中白化微分方程中的ax 项中的x 为dx

的背景值，也称为初始值; ,a u 为常数（有

时也将u 写成b ）。

按白化导数定义有差分形式的微分方程，即

()()

lim ?→+?-=?t dx x t t x t dt t 显然，当时间密化值定义为1，即当1?→t 时，上式可记为

[(1)()]lim ?→=+-t dx

x t x t dt 记为离散形式

(1)()=+-dx

x t x t dt

这显然表明

是一次累计生成，因此上述方程可改写为 (1)(1)(0)(1)()(1)=+-=+dx

x t x t x t dt

这实际也表明，模型是以生成数(1)

x （(1)

是以(0)

的一次累加）为基础的。

当?t 足够小时，()x t 到()+?x t t 不会发生突变，因此可取()x t 与()+?x t t 的平均值作为0?→t 时的背景值，因此，背景值便可记为

(1)(1)

(1)1[(1)()]2

++x x t x t 或

(1)(1)

(1)1[(1)()]2

++x x k x k 于是白化的微分方程(1)

(1)+=dx ax u dt

可改写为 (0)(1)(1)1

(1)[(1)()]2

++=x k a x k x k u 或

(0)(1)(1)1

(1)[(1)()]2

+=-

+++x k a x k x k u 即

(1)(1)()x n x +因此，上述方程可以改写为矩阵方程形式，即

(0)(1)

())(a n n x n ????=??????????+?? 引入下列符号，设

(0)

(0)(0)(2)(3)()?????

?=??????N x x Y x n 111??????=??????E (1)

)(X n x n +于是便有

[]??

=+=????

N a Y aX uE X E u

令

=????

a a u ]12X E ?-?=?????-??

则

[]??

=+==????

N a Y aX uE X E Ba u

解得

1()-??

==????

T T N a a B B B Y u

将求解得到的代入微分方程的解式（也称时间响应函数），则

(1)(1)(1)((1))-+=-+ak u u

x k x e a a

(*)

由于(0)(1)(1)(1)=x x ，因此求导还原得

(0)(0)(1)((1))-+=--ak u

x k a x e a

(*式左边依据是导数定义)

上述两式便为GM （1，1）的时间响应式，及灰色系统预测模型的基本算式，当然上述两式计算结果只是近似计算值。

为简记，一般可以将GM （1，1）的建模过程记为

(0)0(1)(0)((1);,)(1)(1)????+?+IAGO GM AGOx GM x a u x k x k

10.2灰色理论模型应用

10.2.1GM （1，1）模型的应用——污染物浓度问题

GM （1，1）模型是灰色系统最基本的模型，下面以污染物浓度问题说明GM （1，1）模型的建立及求解过程。

例10.1 某污染源中某种污染物质量浓度测量值如表10.1，试建立GM （1，1）模型

表10.1 某污染物质量浓度测量值（mg/L ）

解：第一步，设原始数据为

(0)(0)(0)(0)((1),(2),,(6))(3.936,4.575,4.968,5.063,5.968,5.507)

==x x x x 第二步，对原始数据进行累加生成，即(1)

(0)=x

AGOx

(1)(0)(1)(1) 3.936==x x

(1)(1)(0)(2)[(1)(2)] 3.936 4.5758.511=+=+=x x x

(1)(1)(0)(3)[(2)(3)]13.479=+=x x x (1)(1)(0)(4)[(3)(4)]18.542=+=x x x (1)(1)(0)(5)[(4)(5)]24.510=+=x x x (1)(1)(0)(6)[(5)(6)]30.017=+=x x x

因此累加生成数据为

(1)(0)(3.936,8.511,13.479,18.542,24.510,30.017)==x AGOx

第三步，构造矩阵,N B Y

(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)

(1)(1)(1)

1[(1)(2)]121 -6.2235 1.0000[(2)(3)]12 -10.9950 1.00001

-16.0105 1.0000[(3)(4)]

12 -21[(4)(5)]121[(5)(6)]12??-+???

??-+??????==-+????-+??????-+????

x x x x B x x x x x x 1.5260 1.0000 -27.2635 1.0000

??????????????

? (0)(0)(0)[(2),(3),

,(6)][4.575 4.968 5.063 5.968 5.507]==T T

N Y x x x 第四步，计算1?()-=T T N a

B B B Y 。先求1

()

-T

B B ，即

1622.6 -82.0 -82.0 5??

=??

T B B 根据逆矩阵的求解方法，得

1 0.0036 0.0592() 0.059

2 1.1706-??

=??

T B B 再求T N B Y 的值，即

-442.7641 26.0810??

=??

T N B Y 进而求得?a

的值为 1

0.0036 0.0592-442.7641-0.0539a ?() 0.0592 1.1706 26.0810 4.3322u -????????====????????????????

N a B B B Y

计算GM1_1的程序如下

function 10toliti01(X0)

[m,n]=size(X0); X1=cumsum(X0); X2=[];

for i=1:n-1

X2(i,:)=X1(i)+X1(i+1); end

B=-0.5.*X2; t=ones(n-1,1); B=[B,t]; YN=X0(2:end);

P_t=YN./X1(1:(length(X0)-1)) A=inv(B.'*B)*B.'*YN.'; a=A(1) u=A(2) B

b1=B.'*B

b2=inv(B.'*B) b3=B.'*YN.' b4=u/a

b5=X1(1)-b4 b6=-a*b5

第五步，将,a u 的值代入微分方程的时间响应函数，

令(1)(1)

?(1)(0) 3.936==x

x ，得 (1)(1)0.0539?(1)((1))84.326480.3904-+=-+=-ak k u u

k x e e a a

第六步，求导还原得

(0)(1)0.0539?(1)((1)) 4.5443-+=--=ak k u

k a x e e a

第七步，对上述模型进行精度检验。

常用的方法是回代检验，即分别用(1)(1)

?(1),(0)x x 模型求出各时刻值，然后求相对误差。

先利用时间响应函数模型(1)0.0539?(1)84.326480.3904+=-k x

k e 求各时刻值（1,2,

,5=k ），并计算相对误差，结果如表10.2所示.

表10.2 精度检验实测值、残差值表 1,2,

,5=k

再利用时间响应函数模型(0)

0.0539?(1) 4.5443+=k x k e 求各时刻值（1,2,

,5=k ），

并计算相对误差，结果如表10.3所示.

表10.3 计算值与实验原始数据值对照表

1,2,

,5=k

从残差检验结果看，累计生成数列曲线拟合较好，相对误差在0.01即1%左右；而还原数列的相对误差较大，其原因是累加生成数据将原始数据的随机性弱化，正负误差有抵消的，当数据再被还原回来时便表现出来。

10.2.2 GM （1，1）残差模型的应用——油菜发病率问题

当ＧＭ（１，１）模型的精度不符合要求时，可用残差序列建立ＧＭ（１，１）模型，对原来的模型进行修正，以提高精度，即建立残差ＧＭ（１，１）模型，步骤如下

第一步，利用原始数据建立GM （1，1）模型，得时间响应式

(1)(1)(1)((1))-+=-+ak u u

x k x e a a

(0)(0)(1)((1))-+=--ak u

x k a x e a

其中第二个式子也成为导数还原值。

鉴于导数还原值与原始数据（累减还原值）不一致，为减少往返运算造成的误差，往往用原始数据与导数还原值的残差修正的(0)

模拟值(0)

。

第二步，利用残差数列建立新的GM （1，1）模型。

建立残差模型的过程和计算方法同于GM （1，1）建模过程，只不过建立残差模型所用的原始数列采用的是残差数据。令(0)()g k 为残差，则

(0)(0)(0)()()()=-g k x k x k

即

(0)(0)(0)(0)((),(1),

())(,1,

,)=+=+g g k g k g n k i i n

或

(0)(0)(0)(0)((1),(2),

(1))=-+g g g g n i

利用残差序列(0)

建立新的GM （1，1）模型，求解得时间响应式

(1)(1)'0''(1)(())''

-+=-

+a k u u g k g k e a a (0)(1)'0'

(1)'(())'

-+=--a k u g k a g k e a

第三步，结合上两步的GM （1，1）模型，建立残差GM （1，1）模型结合上两步的GM （1，1）模型，则相应的残差修正时间响应式为

()()(0)

(0)

(0)(1)'0

(1)(1)'(1)(')(())'---?--

?--+--≥??

ak ak a k

u a x e k k a x k u u a x e a g k e k k a a

称为导数还原式的残差修正模型。

例10.2 某县油菜发病率数据如表10.4所示，试建立残差GM 模型并进行求解。

表10.4 某县油菜发病率数据（%）

解：第一步，建立原始数据的GM （1，1）模型设原始数据为

()

(0)(0)(0)(0)((1),(2),,(13))

0.01*6,20,40,25,40,45,35,21,14,18,15.5,17,15==x x x x

建立GM （1，1）模型，利用GM （1，1）的求解程序得时间响应式为

()(1)

0.064861 5.680 5.740-+=-+k x k e ()(0)

0.0648610.368-+=k x

k e

第二步，误差检验利用时间响应函数模型()(0)

0.0648610.368-+=k x k e 计算各时刻值（1,2,

,12=k ），

并计算相对误差，程序如下

function 10toliti02(X0) %format long ;

%X0=0.01*[6 20 40 25 40 45 35 21 14 18 15.5 17 15]; [m,n]=size(X0); s(1)=1; for i=1:12

y(i+1)=0.368*exp(-0.06486*i); z(i+1)=X0(i+1)-y(i+1); w(i+1)=z(i+1)/X0(i+1); s(i+1)=i+1; end y' X0' z' w' z*z'

sum(abs(w))/12

计算结果如表10.5所示

表10.5 计算值与实验原始数据值对照表 1,2,

,12=k

由表可以看出，最大误差高达72.44%，最低的也达到6.06%，模拟误差较大，进一步计算平均相对误差

13(0)2

1()28.01%12=?==∑k q k

平均相对误差很较大，相对精度约70%。因此为了提高远原点（即现时）精度，即将最后一个误差减小，需采用残差模型进行修正。

第三步，以部分残差数据为原始数据建立新的GM （1，1）模型

取09k =得残差尾端，即取最后5个数据的残差：-0.0790,-0.0253,-0.0374,-0.0103,-0.0190, 用此尾段可建立残差尾段模型，取绝对值，得残差数列

()(0)(0)

0.0790,0.0253,0.0374,0.0103,0.0190==g q

以上述的残差数列为原始数据建立新的GM （1，1）模型，得残差的时间响应式

()(1)

0.189410.17320.2522-+=-+k g

k e

()(0)

0.189410.0328-+=k g

k e

第四步，将原始数据和部分残差数据的两个GM （1，1）模型即

()(0)

0.0648610.368-+=k x

k e 和

()(0)

0.145710.1876-+=k g

k e

结合，得到修正后的残差GM （1，1）模型

00.064860.064860.18940.368,9

(1)0.3680.0328,9-∧

--?

+=??-≥?

k k k e k x k e e k

第五步，用修正后的模型对8,9,

,12=k 的模拟值进行修正，结果为：

(0)(0)(0)???((9),(10),,(13))0.2118,0.1993,0.1874,0.1762,0.1656=x

x x

第六步，精度检验建立如下程序：

function 10toliti021(X0) %format long ;

%X0=0.01*[6 20 40 25 40 45 35 21 14 18 15.5 17 15]; [m,n]=size(X0); s(1)=1; for i=8:12

y(i+1)=0.368*exp(-0.06486*i)-0.0328*exp(-0.1894*i); z(i+1)=X0(i+1)-y(i+1); w(i+1)=z(i+1)/X0(i+1); s(i+1)=i+1; end y' X0' z' w' z*z'

sum(abs(w))/5

计算结果如表10.6所示

表10.6 修正后计算值与实验原始数据值检验结果 8,9,

,12=k

按此模型，可对9,10,11,12,13=k 五个模拟值进行修正，修正后的平均相对误差

13(0)

1()19.4%5=?==∑k q k ，精度有明显的提高。尤其对于原点附近的两个数据：0.17，0.15

相对误差分别降低为3.66%和10.4%，低于允许误差要求。这说明，对原点数据GM （1，1）模型修正是有必要的。

10.2.3GM 模型在复杂问题中的应用——SARS 疫情问题

例10.3 SARS 疫情问题

2003年的SARS 疫情对我国的发展产生了一定影响，尤其在经济发展方面产生了很大的影响，下面就SARS 疫情对我国经济的影响问题建立GM 模型并求解。

10.2.3.1 问题的提出

2003年的SARS 疫情对中国部分行业的经济发展产生了一定影响，特别是对部分疫情较严重的省市的相关行业所造成的影响是显著的，经济影响主要分为直接经济影响和间接影响。直接经济影响涉及商品零售业、旅游业、综合服务等行业。很多方面难以进行定量地评估，现仅就SARS 疫情较重的某市商品零售业、旅游业和综合服务业的影响进行定量的评估分析。

究竟 SARS 疫情对商品零售业、旅游业和综合服务业的影响有多大，已知某市从1997 年1 月到2003 年12 月的商品零售额、接待旅游人数和综合服务收入的统计数据如表10.7

—10.9所示

表10.7 商品的零售额（亿元）

表10.8 接待海外旅游人数（万人）

表10.9 综合服务业累计数额（亿元）

试根据这些历史数据建立预测评估模型，评估2003 年SARS 疫情给该市的商品零售

业、旅游业和综合服务业所造成的影响。

10.2.3.2模型的假设与分析

模型假设：

（1）假设该市的统计数据都是可靠准确的；

（2）假设该市在SARS 疫情流行期间和结束之后，数据的变化只与SARS 疫情的影响有关，不考虑其它随机因素的影响。

模型分析：

根据所掌握的历史统计数据可以看出，在正常情况下，全年的平均值较好地反映了相关指标的变化规律，这样可以把预测评估分成两部分：

（1）利用灰色理论建立GM(1,1)模型，由1997－2002 年的平均值预测2003 年平均值；（2）通过历史数据计算每个月的指标值与全年总值的关系，从而可预测出正常情况下2003 年每个月的指标值，再与实际值比较可以估算出SARS 疫情实际造成的影响。

10.2.3.3建立灰色预测模型GM(1,1) 第一步,数据处理

（1）原始数据：

根据表中的已知数据，计算1997－2002年某项指标的年平均值，作为原始数据，记为

(0)(0)(0)(0)((1),(2),

,(6))=x x x x

并要求级比(0)

(0)()(1)/()(0.7515,1.3307)(1,2,

,6)λ=-∈=i x

i x i i

（2）数据的累加生成：对原始数据(0)

进行一次累加生成，

(1)(0)(1)(1)=x x ，

(1)

(0)

(0)1(1)[()(1)](),1,2,

,1+=+=++==-∑k i x k x k x k x i k n

因此累加生成数据(1)

x 记为

(1)(0)(1)(1)(1)((1),(2),

,(6))==x AGOx x x x

（2）背景值的选择：

取累加生成数据(1)x 的加权平均值为背景值(1)

，即

(1)(1)(1)(1)(1)(1)(),(1,2,

,5)αα+=++-=z k x k x k k

其中α为确定参数。背景值(1)

记为

(1)(1)(1)(1)((2),(3),

,(6))z z z z =

第二步，GM （1，1）模型的建立

（1）建立GM （1，1）的白化微分方程模型

(1)

(1)+=dx ax u dt

其中是a 发展灰度，u 是内生控制灰度。

（2）转化为灰微分方程

(0)(1)()(),(2,3,

,6)+==x k az k u k

或

(0)(1)()(),(2,3,

,6)=-+=x k az k u k

即矩阵形式为

==????

a Y B BA u

其中

(1)(1)(0)(0)(0)(1)(2)1(3)1((2),(3),

,(6)),,(6)1??-??-????===????????-??

z a z Y x x x B A u z (3)转化为时间响应函数

利用最小二乘法得到参数的估计值,a u ，进而得到灰微分方程的解(1)

x ，对(1)

求导

还原得(0)

。即参数的估计值,a u 为

1()-??

==????

T T a A B B B Y u

微分方程的解式（也称时间响应函数）为

(1)(1)(1)((1))-+=-+ak u u

x k x e a a

(0)(0)(1)((1))-+=--ak u

x k a x e a

其中(0)(1)(1)(1)=x x ，(0)(1)+x k 称为还原值。

第三步，利用模型预测指标值

根据时间响应函数可以预测出正常情况下2003年的平均值x ，则预测2003年的总值为

12=Z x 。根据历史数据，可以计算出2003 年第i 个月的指标值占全年总值的比例为i u ，

即

112

,(1,2,

,12)ji

j i ji

i j a

u i a

====

=∑∑∑

记为1212(,,,)=u u u u ，于是可以可到2003年每一个月的指标值=V Zu

10.2.4.4模型求解及结果分析（1）商品零售额

根据商品零售额的数据表，计算得年平均值（即原始数据(0)

(1)x

）和一次累加生成值

(1)(1)x ，分别为

(0)(1)(87.6167, 98.5,108.475,118.4167,132.8083,145.4083)=x (1)(1)(87.6167,186.1167, 294.5917, 413.0083, 545.8167, 691.225)=x

显然(0)

的所有级比都在可容区域内，这里取0.5α=，计算可得背景值

(1)(136.8667,240.3542,353.8000,479.4125,618.5208)=z

计算得参数的估计值为0.0983,84.7563=-=a u ，进而得到时间响应函数

(1)0.0983(1)949.6443862.0276+=-k x k e

(0)0.0983(1)93.3710+=k x k e

再根据时间响应函数预测可得，2003年的月平均值为160.4135=x 亿元；年总值为

121925.0==Z x 亿元。又根据比例i u 的表达式计算出每月的比例为

(0.0794, 0.0807, 0.0749, 0.0786, 0.0819, 0.0818, 0.0845, 0.0838, 0.0872, 0.0886, 0.0866, 0.092)

=i u

因此2003 年1~12 月的预测值(单位：亿元)为

(152.8654,155.3486,144.1859,151.2177,157.7157,157.4140,

162.5660,161.3128,167.9501,170.5260,166.7433,177.1169)

==V Zu

将预测值与实际值进行比较，结果如表10.10所示

表10.10 2003年商品的零售额比较表（亿元）

图形如图10-1：（蓝线为实际值，红线为预测值）

024681012

120

130

140

150

160

170

180

190

图10-1 2003年商品的零售额实际值与预测值比较图

通过图形可以直观的看出：（1）预测值波动比较小，真实值波动比较剧烈；（2）5月份左右真实值远远低于预测值，年初和年末都高于预测值。这是由实际情况造成的，年初当

SARS 疫情刚刚开始的时候，人们储备保健药品和保健食物等，拉动了零售额的增长；5月份左右，SARS 疫情比较猖獗，此时好多学校和单位等实行封闭管理，大大限制了人们的消费，因此零售额明显降低；年末SARS 疫情慢慢远去，此前被限制的消费得以充分实现，又促进了零售额的增长。当然可以根据模型所得数据，对SARS 疫情给该市的商品零售业造成的影响进行定量分析，这里不再详述。

计算的MATLAB 程序如下：

function 10toliti03

clc

clc,clear

load shuju1.txt %把原始数据保存在纯文本文件shuju1.txt中

han1(end,:)=[];

x0=mean(han1,2)

m=size(han1,2);

n=size(x0,1);

z1=[];

x1=cumsum(x0)

alpha=0.5;

for i=1:n-1

z1(i,:)=(1-alpha)*x1(i)+alpha*x1(i+1);

end

Y=x0(2:n);

B=[-z1,ones(n-1,1)];

A=inv(B'*B)*B'*Y;

a=A(1)

u=A(2)

b4=u/a

b5=x1(1)-b4

b6=-a*b5

k=6;

灰色模型应用举例

灰色系统模型的应用灰色系统理论对中国50年人口发展预测一、中国人口发展概况中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多、底子薄、耕地少、人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。新中国成立60年，我国人口发展经历了前30年高速增长和后20多年低速增长两大阶段：从建国初期到上世纪70年代初，中国人口由旧中国的高出生、高死亡率进入高出生、低死亡率的人口高增长时期，1950-1975年人口出生率始终保持在30‰以上, 最高达到37‰（表3.2.1）。70年代以后，人口过快增长的势头得到迅速扭转，人口出生率、自然增长率、妇女总和生育率有了明显下降，人口出生率由70年代初的33‰大幅度下降到80年代的21‰, 妇女总和生育率也由6下降到2.3左右。90年代以来，随着我国经济高速发展，人民文化和健康水平逐步提高，计划生育工作不断深入，在20-29岁生育旺盛人数年均超过1亿的情况下, 人口出生率依然呈现大幅下降的趋势，到2000年底人口出生率从1990年的21.06‰下降到14.03‰，自然增长率由1990年的14.39‰下降到7.58‰, 妇女总和生育率也下降到2以下。进入90年代末期, 我国人口实现了低出生、低死亡、低增长的历史性转变。到2000年底全国总人口为12.6743亿, 成功实现了“九五”计划将人口控制在13亿的奋斗目标。中国政府自1980年在全国城乡实行计划生育以来成果卓著，据国家计生委“计划生育投入与效益研究”课题组的研究成果，20年共少生2.5亿个孩子，有效地控制了人口的快速增长，为中国现代化建设、全面实现小康打下了坚实的基础, 同时也为世界人口的增长和控制做出了杰出贡献。但是由于中国人口基数大，人口增长问题依然十分严峻，1990-1999年每年平均净增人口约1300万，这仍然对我国社会和经济产生巨大的压力。因此，准确预测未来50年人口数量及其增长，为中国经济和社会发展决策提供科学依据，对于加速推进我国现代化

灰色模型介绍及应用

第十章灰色模型介绍及应用（徐利艳天津农学院 2.4万字） 10.1灰色理论基本知识 10.1.1概言 10.1.2有关名词概念 10.1.3GM建模机理 10.2灰色理论模型应用 10.2.1GM（1，1）模型的应用——污染物浓度问题 10.2.2 GM（1，1）残差模型的应用——油菜发病率问题 10.2.3GM模型在复杂问题中的应用——SARS 疫情问题 10.2.4 GM（1，n）模型的应用——因素相关问题本章小结思考题推荐阅读书目

第十章灰色模型介绍及应用 10.1灰色理论基本知识 10.1.1概言客观世界的很多实际问题，其内部的结构、参数以及特征并未全部被人们了解，人们不可能象研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚，只能依据某种思维逻辑与推断来构造模型。对这类部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统。本章介绍的方法是从灰色系统的本征灰色出发，研究在信息大量缺乏或紊乱的情况下，如何对实际问题进行分析和解决。灰色系统的研究对象是“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统，它通过对“部分”已知信息的生成、开发实现对现实世界的确切描述和认识。信息不完全是“灰”的基本含义。灰色系统理论建模的主要任务是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分开发并利用不多的数据中的显信息和隐信息，寻找因素间或因素本身的数学关系。通常的办法是采用离散模型，建立一个按时间作逐段分析的模型。但是，离散模型只能对客观系统的发展做短期分析，适应不了从现在起做较长远的分析、规划、决策的要求。尽管连续系统的离散近似模型对许多工程应用来讲是有用的，但在某些研究领域中，人们却常常希望使用微分方程模型。事实上，微分方程的系统描述了我们所希望辨识的系统内部的物理或化学过程的本质。目前，灰色系统理论已成功地应用于工程控制、经济管理、未来学研究、生态系统及复杂多变的农业系统中，并取得了可喜的成就。灰色系统理论有可能对社会、经济等抽象系统进行分析、建模、预测、决策和控制，它有可能成为人们认识客观系统改造客观系统的一个新型的理论工具。 10.1.2有关名词概念灰数：一个信息不完全的数，称为灰数。灰元：信息不完全或内容难以穷尽的元素，称为灰元。灰关系：信息不完全或机制不明确的关系，称为灰关系。具有灰关系的因素是灰因素，灰因素之间的量化作用，称为灰关联。

灰色系统预测模型实验

实验四 1．实验项目名称灰色系统预测模型 2．实验目的要求掌握灰色系统检验方法，尤其是GM(1.1)模型 2．实验环境使用灰色系统理论建模软件 4．实验内容与实验步骤 1.灰色预测时关于残差、关联度、方差比和小误差概率的检验准则 M(1,1)模型的检验分为三个方面：残差检验；关联度检验；后验差检验。（1）残差检验：对模型值和实际值的残差进行逐点检验。首先按模型计算(1)?(1)x i +，将(1)?(1)x i +累减生成(0)?()x i ，最后计算原始序列(0)()x i 与(0)?()x i 的绝对残差序列及相对残差序列，并计算平均相对残差。给定α，当φα<，且n φα<成立时，称模型为残差合格模型。（2）关联度检验:即通过考察模型值曲线和建模序列曲线的相似程度进行检验。按前面所述的关联度计算方法，计算出 (0) ?()x i 与原始序列(0)()x i 的关联系数，然后算出关联度，根据经验，关联度大于0.6便是满意的。（3）后验差检验:即对残差分布的统计特性进行检验。若对于给定的00C >，当 0C C <时，称模型为均方差比合格模型；如对给定的 00P >，当0P P >时，称模型为小残差概率合格模型。若相对残差、关联度、后验差检验在允许的范围内，则可以用所建的模型进行预测，否则应进行残差修正。 2.实验的基本程序、基本步骤和运行结果现在已知我国从2002年-2013年的每年的专利申请量的数据，试建立灰色预测模型并且预测2014年我国的专利申请量的情况。 2.1在excel 表格中输入以下数据

2.2计算并累加设时间序列为 X(0)=（x(0)(1), x(0)(2), x(0)(3)，x(0)(4)………………………………. x(0)(12)）=（205396，251238，278943，345074…………… 1505574）计算并累加 X(0)的1-AGO序列为(累加) (1)(1)(1)(1)(1)x(1)(12)）得到下图 2.3对X(1)做紧邻均值生成令Z(1)（k）=（0.5x(1)(K)+0.5X(1)(K-1)），k=1,2,3,4…….13;

灰色模型介绍及应用

第十章灰色模型介绍及应用（徐利艳天津农学院2.4万字） 10.1灰色理论基本知识 10.1.3GM建模机理 10.2灰色理论模型应用 ——污染物浓度问题 10.2.2 GM（1，1）残差模型的应用——油菜发病率问题 10.2.3GM模型在复杂问题中的应用——SARS 疫情问题 10.2.4 GM（1，n）模型的应用——因素相关问题本章小结思考题推荐阅读书目第十章灰色模型介绍及应用 10.1灰色理论基本知识客观世界的很多实际问题，其内部的结构、参数以及特征并未全部被人们了解，人们不可能象研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚，只能依据某种思维逻辑与推断来构造模型。对这类部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统。本章介绍的方法是从灰色系统的本征灰色出发，研究在信息大量缺乏或紊乱的情况下，如何对实际问题进行分析和解决。灰色系统的研究对象是“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统，它通过对“部分”已知信息的生成、开发实现对现实世界的确切描述和认识。信息不完全是“灰”的基本含义。灰色系统理论建模的主要任务是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分开发并利用不多的数据中的显信息和隐信息，寻找因素间或因素本身的数学关系。通常的办法是采用离散模型，建立一个按时间作逐段分析的模型。但是，离散模型只能对客观系统的发展做短期分析，适应不了从现在起做较长远的分析、规划、决策的要求。尽管连续系统的离散近似模型对许多工程应用来讲是有用的，但在

某些研究领域中，人们却常常希望使用微分方程模型。事实上，微分方程的系统描述了我们所希望辨识的系统内部的物理或化学过程的本质。目前，灰色系统理论已成功地应用于工程控制、经济管理、未来学研究、生态系统及复杂多变的农业系统中，并取得了可喜的成就。灰色系统理论有可能对社会、经济等抽象系统进行分析、建模、预测、决策和控制，它有可能成为人们认识客观系统改造客观系统的一个新型的理论工具。灰数：一个信息不完全的数，称为灰数。灰元：信息不完全或内容难以穷尽的元素，称为灰元。灰关系：信息不完全或机制不明确的关系，称为灰关系。具有灰关系的因素是灰因素，灰因素之间的量化作用，称为灰关联。灰色系统:含灰数、灰元或灰关系的系统称为信息不完全系统。如果按照灰色理论去研究它。则称此系统为灰色系统。累加生成：由于灰系统对一切随机量都可看作是在一定范围内变化的灰色量，因此，为适应灰系统建模需要，提出“生成”的概念，“生成”即指对原始数据做累加（或累减）处理。累加生成一般可写成AGO 。若计(0) x 为原始数列，() r x 为r 次累加生成后数列，即则r 次累加生成算式为 ()(1) (1) (1) (1)1 (1)(1)(1)(1)()(1)()(1)(2)()() [(1)(2)(1)]()(1)() k r r r r r i r r r r r r x k x x x k x i x x x k x k x k x k ----=-----=++==++ -+=-+∑ 一般常用的是一次累加生成，即 10.1.3GM 建模机理建立GM 模型，实际就是将原始数列经过累加生成后，建立具有微分、差分近似指数规律兼容的方程，成为灰色建模，所建模型称为灰色模型，简记为GM （Grey Model ）。如GM （m,n ）称为m 阶n 个变量的灰色模型，其中GM （1，1）模型是GM （1，n ）模型的特例，是灰色系统最基本的模型，也是常用的预测模型，因此本章重点介绍几种GM （1，1）模型的建模过程和计算方法，并简单介绍GM （1，n ）建模过程。 GM （1，1）的建模机理 GM （1，1）模型是GM （1，N ）模型的特例，其简单的微分方程形式（白化形式的微分方程）是利用常数变易法解得，通解为

灰色模型应用举例

灰色系统模型的应用第一节灰色系统模型在现金流量预测中的应用一、灰色理论应用在现金流量预测中我们选取伊利集团的2000—2007年财务报表的现金流量表中的“经营活动产生的净现金流”作为分析预测的对象。伊利集团是我国著名的奶业生产集团，知名度较高，且长期以来生产经营较为规范，其报表可信度较高，所以，用该公司的财务报表的数据，可以较好的反映实际情况，有利于我们进行分析和验证。而2008年出现的儿童奶粉事件，给乳制品产业带来了致命的打击，所以不采用2008年的财务报表。在使用GM(1,1)时,首先要对实际的原始数据进行一定的处理或假设： 1.企业在长期来看,不存在负现金流。尽管企业在短期,例如月现金流无法避免存在负现金流，但对于一个持续经营的企业来说，尽量保持正的现金流，是大多数的企业理财所应达到的目标。当然,当企业的实际数据出现负现金流时，也可用第二章第八节五中提到的办法进行处理。 2.企业在一定时期内的经营条件和外部环境不存在大的波动。即企业在相似的外部环境和促销手段下进行。这种假设避免了现金流大的波动，从而避免预测失真。由于对于一般的销售型企业来说，经营活动的现金流量是主要的资金来源，筹资活动和投资活动并不是经常发生的项目。而且，经营活动产生的现金流量通常情况下较稳定，不会产生大的波动，也很少有负值的出现，即使在短时期内可能出现应收账款较多，资金周转不开的情况，但从一年时间来看，在一年内的现金收入通常会大于现金流出。对于一个健康的正在成长的企业来说，经营活动现金流量应该是正数，投资活动是负数，筹资活动是正负相间的。所以，以下选择的伊利集团现金流量表中2000-2007的数据符合前述假设和模型的要求，见表1。

灰色预测模型理论及其应用

灰色预测模型理论及其应用灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测. 尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测. 灰色预测模型只需要较少的观测数据即可，这和时间序列分析，多元回归分析等需要较多数据的统计模型不一样. 因此，对于只有少量观测数据的项目来说，灰色预测是一种有用的工具.本文主要围绕灰色预测GM(1,1)模型及其应用进行展开。一、灰色系统及灰色预测的概念灰色系统灰色系统产生于控制理论的研究中。若一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是充足完全的，我们称之为白色系统。若一个系统的内部信息是一无所知，一团漆黑，只能从它同外部的联系来观测研究，这种系统便是黑色系统。灰色系统介于二者之间，灰色系统的一部分信息是已知的，一部分是未知的。区别白色和灰色系统的重要标志是系统各因素间是否有确定的关系。特点：灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定型系统的研究对象。灰色预测灰色系统分析方法是通过鉴别系统因素之间发展趋势的相似或相异程度，即进行关联度分析，并通过对原始数据的生成处理来寻求系统变动的规律。生成数据序列有较强的规律性，可以用它来建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态。灰色预测是用灰色模型GM(1,1)来进行定量分析的，通常分为以下几类： (1) 灰色时间序列预测。用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量（如产量、销量、人口数量、存款数量、利率等）构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或

灰色预测模型及应用论文

管理预测与决策的课程设计报告灰色系统理论的研究专业：计算机信息管理姓名：XXX 班级：xxx 学号：XX 指导老师：XXX 日期2012年11月01 日

摘要：科学地预测尚未发生的事物是预测的根本目的和任务。无论个体还是组织，在制定和规划面向未来的策略过程中，预测都是必不可少的重要环节，它是科学决策的重要前提。在众多的预测方法中，灰色预测模型自开创以来一直深受许多学者的重视，它建模不需要太多的样本，不要求样本有较好的分布规律，计算量少而且有较强的适应性，灰色模型广泛运用于各种领域并取得了辉煌的成就。本文详细推导GM（1,1）模型，另外对灰关联度进行了进一步的改进，让改进的计算式具有唯一性和规范性[]4。通过给出的实例高校传染病发病率情况，建立了GM(1,1)预测模型，并预测了1993年的传染病发病率。另外对传染病发病率较高的痢疾、肝炎、疟疾三种疾病做了关联度分析，发现痢疾与整个传染病关系最密切，而肝炎、疟疾与整个传染病的密切程度依次差些。关键词：灰色预测模型；灰关联度；灰色系统理论

目录 1、引言1 1.1、研究背景 (1) 1.1.1、国内研究现状 1 1.1.2、国外研究现状 1 1.2、研究意义 (2) 2、灰色系统及灰色预测的概念2 2.1、灰色系统理论发展概况2 2.1.1、灰色系统理论的提出2 2.1.2、灰色系统理论的研究对象 2 2.1.3、灰色系统理论的应用范围 2 2.1.4、三种不确定性系统研究方法的比较分析 3 2.2、灰色系统的特点.4 2.3、常见灰色系统模型 5 2.4、灰色预测 (5) 3、简单的灰色预测——GM(1,1)预测6

第十章灰色模型介绍及应用

第十章灰色模型介绍及应用 10.1灰色理论基本知识 10.1.1概言 10.1.2有关名词概念 10.1.3 GM建模机理 10.2灰色理论模型应用 10.2.1GM（1，1）模型的应用——污染物浓度问题 10.2.2 GM（1，1）残差模型的应用——油菜发病率问题 10.2.3GM模型在复杂问题中的应用——SARS 疫情问题 10.2.4 GM（1，n）模型的应用——因素相关问题本章小结思考题推荐阅读书目

灰色预测模型介绍

数学模型与数学实验数课程报告题目：灰色预测模型介绍专业：班级：姓名：学号：二0一一年六月

1. 模型功能介绍预测模型为一元线性回归模型，计算公式为Y=a+b。一元非线性回归模型：Y=a+blx+b2x2+…+bmxm。式中：y为预测值；x为自变量的取值；a,b1,b2……bm为回归系数。当自变量x与因变量y之间的关系是直线上升或下降时，可采用一元线性预测模型进行预测。当自变量x和因变量y之间呈曲线上升或下降时，可采用一元非线性预测模型中的y=a+b1x+b2x2+…+bmxm这个预测模型。当自变量x和因变量y之间关系呈上升一下降一再上升一再下降这种重复关系时，可采用一元线性预测模型中的Y=a+bx这个模型来预测。其中我要在这里介绍灰色预测模型。灰色预测是就灰色系统所做的预测，灰色系统(Grey System)理论[]1是我国著名学者邓聚龙教授20世纪80年代初创立的一种兼备软硬科学特性的新理论［95］96］。所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰色系统。一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。灰色系统的基本原理公理1：差异信息原理。“差异”是信息，凡信息必有差异。公理2：解的非唯一性原理。信息不完全，不明确地解是非唯一的。公理3：最少信息原理。灰色系统理论的特点是充分开发利用已有的“最少信息”。公理4：认知根据原理。信息是认知的根据。公理5：新信息优先原理。新信息对认知的作用大于老信息。公理6：灰性不灭原理。“信息不完全”是绝对的。灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。灰色预测模型实际上是一个微分方程, 称为GM模型。GM（1，N）[]1表示1阶的，N个变量的微分方程型模型；则是1阶的,1个变量的微分方程型模型。在实际进行预测时, 一般选用GM(1,1) 模型, 因为这种模型求解较易, 计算量小, 计算时间短, 精度较高。现在下面简单介绍有关于灰色预测的相关知识点：为了弱化原始时间序列的随机性在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。灰色系统常用的数据处理方式有累加和累减两种。关联度]1[

灰色系统预测GM(1-1)模型及其Matlab实现

灰色系统预测GM(1,1)模型及其Matlab 实现预备知识 (1)灰色系统白色系统是指系统内部特征是完全已知的；黑色系统是指系统内部信息完全未知的；而灰色系统是介于白色系统和黑色系统之间的一种系统，灰色系统其内部一部分信息已知，另一部分信息未知或不确定。 (2)灰色预测灰色预测，是指对系统行为特征值的发展变化进行的预测，对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行的预测，也就是对在一定范围内变化的、与时间序列有关的灰过程进行预测。尽管灰过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此得到的数据集合具备潜在的规律。灰色预测是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。目前使用最广泛的灰色预测模型就是关于数列预测的一个变量、一阶微分的GM(1,1)模型。它是基于随机的原始时间序列，经按时间累加后所形成的新的时间序列呈现的规律可用一阶线性微分方程的解来逼近。经证明，经一阶线性微分方程的解逼近所揭示的原始时间序列呈指数变化规律。因此，当原始时间序列隐含着指数变化规律时，灰色模型GM(1,1)的预测是非常成功的。 1 灰色系统的模型GM(1,1) 1.1 GM(1,1)的一般形式设有变量X (0)＝{X (0)(i)，i=1,2，...，n}为某一预测对象的非负单调原始数据列，为建立灰色预测模型：首先对X (0)进行一次累加(1—AGO, Acumulated Generating Operator)生成一次累加序列： X (1)＝{X (1)(k )，k ＝1，2，…，n} 其中 X (1)(k )＝ ∑ =k i 1 X (0)(i) ＝X (1)(k －1)+ X (0)(k ) (1) 对X (1)可建立下述白化形式的微分方程： dt dX )1(十) 1(aX ＝u (2) 即GM(1,1)模型。上述白化微分方程的解为(离散响应)： ∧ X (1)(k +1)＝(X (0)(1)－ a u )ak e -＋a u (3) 或 ∧ X (1)(k )＝(X (0)(1)－ a u ))1(--k a e ＋a u (4)

灰色系统预测模型GM(1,1)的基本思想与实现过程(xs)

灰色系统预测模型GM(1,1)的基本思想与实现过程邓聚龙，jq ，佚名摘要：从灰色系统的预备知识、灰色系统预测模型GM(1,1)的计算、灰色系统预测模型的检验、GM(1,1)预测应用举例以及GM(1,1)模型的特点等五个方面阐述了灰色系统预测模型GM(1,1)的基本思想与实现过程，这对于地理科学本科生学会运用该方法解决实际的地理预测问题，改进思维方式，提高实践能力具有一定的意义。关键词：预测；灰色系统；模型检验；模型特点 1 预备知识 1.1 灰色系统白色系统是指系统内部特征是完全已知的；黑色系统是指系统内部信息完全未知的；而灰色系统是介于白色系统和黑色系统之间的一种系统，灰色系统其内部一部分信息已知，另一部分信息未知或不确定。 1.2 灰色预测灰色预测，是指对系统行为特征值的发展变化进行的预测，对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行的预测，也就是对在一定范围内变化的、与时间序列有关的灰过程进行预测。尽管灰过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此得到的数据集合具备潜在的规律。灰色预测是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。目前使用最广泛的灰色预测模型就是关于数列预测的一个变量、一阶微分的GM(1,1)模型。它是基于随机的原始时间序列，经按时间累加后所形成的新的时间序列呈现的规律可用一阶线性微分方程的解来逼近。经证明，经一阶线性微分方程的解逼近所揭示的原始时间序列呈指数变化规律。因此，当原始时间序列隐含着指数变化规律时，灰色模型GM(1,1)的预测是非常成功的。 2 灰色系统预测模型GM(1,1) 2.1 GM(1,1)的一般形式设有变量X (0)＝{X (0)(i)，i=1,2，...，n}为某一预测对象的非负单调原始数据列，为建立灰色预测模型：首先对X (0)进行一次累加(1—AGO, Acumulated Generating Operator)生成一次累加序列： X (1)＝{X (1)(k )，k ＝1，2，…，n} 其中 X (1) (k )＝ ∑ =k i 1 X (0)(i) ＝X (1)(k －1)+ X (0)(k ) (1) 对X (1)可建立下述白化形式的微分方程：

灰色模型介绍及应用.docx

建模机理灰色理论模型应用 ——污染物浓度问题 GM（ 1， 1）残差模型的应用——油菜发病率问题 GM模型在复杂问题中的应用——SARS 疫情问题 GM（ 1， n）模型的应用——因素相关问题本章小结思考题推荐阅读书目第十章灰色模型介绍及应用灰色理论基本知识客观世界的很多实际问题，其内部的结构、参数以及特征并未全部被人们了解，人们不可能象研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚，只能依据某种思维逻辑与推断来构造模型。对这类部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统。本章介绍的方法是从灰色系统的本征灰色出发，研究在信息大量缺乏或紊乱的情况下，如何对实际问题进行分析和解决。灰色系统的研究对象是“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统，它通过对“部分”已知信息的生成、开发实现对现实世界的确切描述和认识。信息不完全是“灰”的基本含义。灰色系统理论建模的主要任务是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分开发并利用不多的数据中的显信息和隐信息，寻找因素间或因素本身的数学关系。通常的办法是采用离散模型，建立一个按时间作逐段分析的模型。但是，离散模型只能对客观系统的发展做短期分析，适应不了从现在起做较长远的分析、规划、决策的要求。尽管连续系统的离散近似模型对许多工程应用来讲是有用的，但在某些研究领域中，人们却常常希望使用微分方程模型。事实上，微分方程的系统描述了我们所希望辨识的系统内部的物理或化学过程的本质。目前，灰色系统理论已成功地应用于工程控制、经济管理、未来学研究、生态系统及复杂多变的农业系统中，并取得了可喜的成就。灰色系统理论有可能对社会、经济等抽象系统

灰度预测模型详解举例

灰色系统预测重点内容：灰色系统理论的产生和发展动态，灰色系统的基本概念，灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别，灰色系统预测GM （1，1）模型，GM（1，N）模型，灰色系统模型的检验，应用举例。 1灰色系统理论的产生和发展动态 1982邓聚龙发表第一篇中文论文《灰色控制系统》标志着灰色系统这一学科诞生。 1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。 1989海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》，同年，英文版国际刊物《灰色系统》杂志正式创刊。目前，国际、国内200多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著500多次。灰色系统理论已应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。 2灰色系统的基本原理 2.1灰色系统的基本概念我们将信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统称为灰色系统。系统信息不完全的情况有以下四种： 1.元素信息不完全 2.结构信息不完全 3.边界信息不完全 4.运行行为信息不完全 2.2灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别主要在于对系统内涵与外延处理态度不同；研究对象内涵与外延的性质不同。灰色系统着重外延明确、内涵不明确的对象，模糊数学着重外延不明确、内涵明确的对象。 “黑箱”方法着重系统外部行为数据的处理方法，是因果关系的两户方法，使扬外延而弃内涵的处理方法，而灰色系统方法是外延内涵均注重的方法。

2.3灰色系统的基本原理公理1：差异信息原理。“差异”是信息，凡信息必有差异。公理2：解的非唯一性原理。信息不完全，不明确地解是非唯一的。公理3：最少信息原理。灰色系统理论的特点是充分开发利用已有的“最少信息”。公理4：认知根据原理。信息是认知的根据。公理5：新信息优先原理。新信息对认知的作用大于老信息。公理6：灰性不灭原理。“信息不完全”是绝对的。 2.4灰色系统理论的主要内容灰色系统理论经过10多年的发展，已基本建立起了一门新兴学科的结构体系，其主要内容包括以“灰色朦胧集”为基础的理论体系、以晦涩关联空间为依托的分析体系、以晦涩序列生成为基础的方法体系，以灰色模型（G ，M ）为核心的模型体系。以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。灰色关联分析灰色统计灰色聚类 3灰色系统预测模型灰色预测方法的特点表现在：首先是它把离散数据视为连续变量在其变化过程中所取的离散值，从而可利用微分方程式处理数据；而不直接使用原始数据而是由它产生累加生成数，对生成数列使用微分方程模型。这样，可以抵消大部分随机误差，显示出规律性。 3.1灰色系统理论的建模思想下面举一个例子，说明灰色理论的建模思想。考虑4个数据，记为)4(),3(),2(),1() 0() 0() 0() 0(X X X X

灰色预测模型案例

1.1.5 两岸间液体化工品贸易前景预测从上述分析可见，两岸间液体化工品贸易总体上呈现上升的增长趋势。然而，两岸间的这类贸易受两岸关系、特别是台湾岛内随机性政治因素影响很大。因此，要对这一贸易市场今后发展的态势做出准确的定量判断是相当困难的；但从另一方面来说，按目前两岸和平交往的常态考察，贸易作为两岸经济与贸易交往的一个有机组成部分，其一般演化态势有某些规律可寻的。故而，我们可以利用其内在的关联性，通过选取一定的数学模型和计算方法，对之作一些必要的预测。鉴此，本研究报告拟采用一定的预测技术，借助一定的计算软件，对今后10余年间大陆从台湾进口液化品贸易量作一个初步的预测。 (1) 模型的选择经认真考虑，我们选取了灰色系统作为预测的技术手段，因为两岸化工品贸易具有的受到外界的因素影响大和受调查条件限制数据采集很难完全的两大特点，正好符合灰色系统研究对象的主要特征，即“部分信息已知，部分信息未知”的不确定性。灰色系统理论认为，对既含有已知信息又含有未知信息或不确定信息的系统进行预测，就是在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程进行的预测。尽管这一过程中所显示的现象是随机的，但毕竟是有序的，因此这一数据集合具有潜在的规律。灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。本报告以灰色预测模型，对两岸间化工品贸易进行的预测如下：灰色预测模型预测的一般过程为： ① 一阶累加生成（1-AGO ）设有变量为) 0(X 的原始非负数据序列 )0(X =[)1()0(x ,)2()0(x ,…)() 0(n x ] （1.1）则) 0(X 的一阶累加生成序列 )1(X =[)1()1(x ,)2()1(x …)() 1(n x ] （1.2）式中 ) ()(1)0() 1(i x k x k i ∑== k=1,2…n ② 对) 0(X 进行准光滑检验和对进行准指数规律检验

3灰色模型GM(1,N)及其应用

2§ 3 灰色模型GM(1,N)及其应用客观系统无论本征非灰，还是本征灰，一般都存在能量吸收、储存、释放等过程，加之生成数列一般都有较强的指数变化趋势，所以灰色系统理论指出用离散的随机数，经过生成变为随机性被显著削减的较有规律的生成数，这样便可以对变化过程做较长时间的描述，进而建立微分方程形式的模型。建模的实质是建立微分方程的系数。设有N个数列 X i(0)(X i(0)(1),X(0)(2), ,X i(0)(n)) i 1,2, ,N 对X i(0)做累加生成，得到生成数列 2 n X i(1)(X i(0)(1), X i(0)(m), , X(0)(m)) m 1 m 1 (X i⑴(1), X i⑴(1) X i(0)(2), ,X i(1)(n 1) X i(0)(n)) i 1,2, ,N 我们将数列X i⑴的时刻k 1,2,小看作连续的变量t，而将数列X i(1)转而看成时间t的函数X i(1)X i(1)(t)。如果数列X21),X31), ,X N1)对X1(1)的变化率产生影响，则可建立白化式微分方程 ⑴ dX 1 (1) (1) (1) (1) aX 1 b1 X 2 b2 X 3 b N 1X N( 1) dt 这个微分方程模型记为GM( 1,N )。方程(1)的参数列记为(a,b1,b2, b N 1)T，再设Y N(X1(0)(2),X1(0)(3), ,X；0)(n))T，将方程(1)按差分法离散，可得到线性方程组，形如 Y N B ? 按照最小二乘法，有求出？后，微分方程(1)便确定了。若n 1 N，则方程组(2)的方程个数少于未知数的个数，此时，B T B是奇异矩阵，我们(2) (3) ? (B T B) 1B T Y N 其中，利用两点滑动平均的思想，最终可得矩阵 1 (1) -(X1( )(1) 2X1(1)(2))(1) X 2(2)X N1)(2) 1 (1) B 2(X；)⑵X1(1)(3))⑴ X 2 (3)X N1)(3) T(X1(1)( n 1)X1(1)( n))(1) X 2(n)X N1)( n)

灰色模型介绍及应用

灰色理论基本知识概言有关名词概念建模机理灰色理论模型应用（1，1）模型的应用——污染物浓度问题 GM（1，1）残差模型的应用——油菜发病率问题 GM模型在复杂问题中的应用——SARS 疫情问题 GM（1，n）模型的应用——因素相关问题本章小结思考题推荐阅读书目

第十章灰色模型介绍及应用灰色理论基本知识概言客观世界的很多实际问题，其内部的结构、参数以及特征并未全部被人们了解，人们不可能象研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚，只能依据某种思维逻辑与推断来构造模型。对这类部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统。本章介绍的方法是从灰色系统的本征灰色出发，研究在信息大量缺乏或紊乱的情况下，如何对实际问题进行分析和解决。灰色系统的研究对象是“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统，它通过对“部分”已知信息的生成、开发实现对现实世界的确切描述和认识。信息不完全是“灰”的基本含义。灰色系统理论建模的主要任务是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分开发并利用不多的数据中的显信息和隐信息，寻找因素间或因素本身的数学关系。通常的办法是采用离散模型，建立一个按时间作逐段分析的模型。但是，离散模型只能对客观系统的发展做短期分析，适应不了从现在起做较长远的分析、规划、决策的要求。尽管连续系统的离散近似模型对许多工程应用来讲是有用的，但在某些研究领域中，人们却常常希望使用微分方程模型。事实上，微分方程的系统描述了我们所希望辨识的系统内部的物理或化学过程的本质。目前，灰色系统理论已成功地应用于工程控制、经济管理、未来学研究、生态系统及复杂多变的农业系统中，并取得了可喜的成就。灰色系统理论有可能对社会、经济等抽象系统进行分析、建模、预测、决策和控制，它有可能成为人们认识客观系统改造客观系统的一个新型的理论工具。有关名词概念灰数：一个信息不完全的数，称为灰数。灰元：信息不完全或内容难以穷尽的元素，称为灰元。灰关系：信息不完全或机制不明确的关系，称为灰关系。具有灰关系的因素是灰因素，灰因素之间的量化作用，称为灰关联。

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1.为什么称为灰色系统模型？从字面意义来解释：灰色系统是黑箱概念的一种推广。我们把既含有已知信息又含有未知信息的系统称为灰色系统.作为两个极端，我们将称信息完全未确定的系统为黑色系统；称信息完全确定的系统为白色系统.区别白色系统与黑色系统的重要标志是系统各因素之间是否具有确定的关系。如果一个系统具有层次、结构关系的模糊性，动态变化的随机性，指标数据的不完备或不确定性，则称这些特性为灰色性。具有灰色性的系统称为灰色系统。对灰色系统建立的预测模型称为灰色模型(Grey Model)，简称GM模型，它揭示了系统内部事物连续发展变化的过程。灰色系统理论是研究解决灰色系统分析、建模、预测、决策和控制的理论. 灰色预测是对灰色系统所做的预测.目前常用的一些预测方法（如回归分析等），需要较大的样本.若样本较小，常造成较大误差，使预测目标失效.灰色预测模型所需建模信息少，运算方便，建模精度高，在各种预测领域都有着广泛的应用，是处理小样本预测问题的有效工具. 灰色模型（grey models）就是通过少量的、不完全的信息，建立灰色微分预测模型，对事物发展规律作出模糊性的长期描述。灰色系统灰色系统是既含有已知信息，又含有未知信息或非确知信息的系统，这样的系统普遍存在。研究灰色系统的重要内容之一是如何从一个不甚明确的、整体信息不足的系统中抽象并建立起一个模型，该模型能使灰色系统的因素由不明确到明确，由知之甚少发展到知之较多提供研究基础。灰色系统理论是控制论的观点和方法延伸到社会、经济领域的产物，也是自动控制科学与运筹学数学方法相结合的结果。

2. 灰色系统理论的发展灰色系统理论是由我国著名学者邓聚龙教授于1982年提出并加以发展的。二十几年来，引起了不少国内外学者的关注，得到了长足的发展。目前，在我国已经成为社会、经济、科学技术在等诸多领域进行预测、决策、评估、规划控制、系统分析与建模的重要方法之一。特别是它对时间序列短、统计数据少、信息不完全系统的分析与建模，具有独特的功效，因此得到了广泛的应用. 所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，发展至今，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰箱系统。一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。 3.灰色系统的基本原理：公理1、差异信息原理。 “差异”是信息，凡信息必有差异。公理2、解的非唯一性原理。信息不完全、不确定的解是非唯一的。该原理是灰色系统理论解决实际问题所遵循的基本法则。公理3、最少信息原理灰色系统理论的特点是充分开发利用已占有的“最少信息”。公理4、认知根据原理。信息是认知的根据。

灰色预测模型理论及其应用

灰色预测模型理论及其应用 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】

(完整版)3灰色模型GM(1,N)及其应用

§3 灰色模型GM(1,N)及其应用客观系统无论本征非灰，还是本征灰，一般都存在能量吸收、储存、释放等过程，加之生成数列一般都有较强的指数变化趋势，所以灰色系统理论指出用离散的随机数，经过生成变为随机性被显著削减的较有规律的生成数，这样便可以对变化过程做较长时间的描述，进而建立微分方程形式的模型。建模的实质是建立微分方程的系数。设有N 个数列 N i n X X X X i i i i ,,2,1)) (,),2(),1(() 0()0()0()0( 对) 0(i X 做累加生成，得到生成数列 N i n X n X X X X m X m X X X i i i i i n m i m i i i ,,2,1))()1(,),2()1(),1(() )(,,)(),1(()0()1()0()1()1(1 )0(2 1 )0()0()1( 我们将数列) 1(i X 的时刻n k ,,2,1 看作连续的变量t ，而将数列) 1(i X 转而看成时间t 的函数)()1() 1(t X X i i 。如果数列)1()1(3)1(2,,,N X X X 对)1(1X 的变化率产生影响，则可建立白化式微分方程 ) 1(1)1(32)1(21)1(1)1(1N N X b X b X b aX dt dX （1）这个微分方程模型记为GM （1,N ）。方程（1）的参数列记为T N b b b a ),,,(121 ，再设T N n X X X Y ))(,),3(),2(()0(1)0(1)0(1 ，将方程（1）按差分法离散，可得到线性方程组，形如 ?B Y N （2）按照最小二乘法，有 N T T Y B B B 1)(? （3）其中，利用两点滑动平均的思想，最终可得矩阵 )()())()1((21)3()3())3()2((2 1)2()2())2()1((21) 1() 1(2 )1(1) 1(1)1()1(2)1(1)1(1) 1() 1(2)1(1)1(1n X n X n X n X X X X X X X X X B N N N 求出 ?后，微分方程（1）便确定了。若N n 1，则方程组（2）的方程个数少于未知数的个数，此时，B B T 是奇异矩阵，我们

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