()()2
22,,,0004,242,20y ax bx c a b c a y ax bx c a a a b ac b a a b x a b x y x a a x ?=++≠??++≠?????>-><-一般地，形如是常数且的函数叫做二次函数二次函数的定义一般形式:=上下平移“上加下减”图象的平移规律左右平移“左加右减”开口方向：0，开口向上；，开口向下顶点坐标：对称轴：直线=-二次函数的图象与随的增大而增大性质图象与性质增减性二次函数()()()()()()()22
12,2,20,200:0b y x a b x y x a a b x y x a y a x h k a y ax bx c a y a x x x x a ???????????????????????????????????????????????????>-?????
?=-+≠??=++≠??=--≠?随的增大而减小随的增大而减小随的增大而增大数学规律及关系二次函数顶点式:解析式的待定系数法一般式:确定
交点式拓展()2222
240440404y b ac x b ac x b ac x b ac x x x b ac ??????????
??????->-?-=??-
实当时，抛物线与轴有两个交点践利用判与断抛物线与轴当时，抛物线与轴有一个交点探二次函数图象抛物线的交点个数当时，抛物线与轴没有交点索与轴交点的判断根据抛物线与轴的交点个数，利用求字母系数的取值或取值范()2
0y ax bx c a ????
??
?
?????????????????????????????
??
????
?????
???
??
???????
??????????????????????
??=++≠??
围二次函数的最大值或最小值
第26讲 二次函数的定义、图象及性质
知识能力解读
知能解读(一)二次函数的定义
一般地，形如2y ax bx c =++(,,a b c 是常数，且0a ≠)的函数叫作二次函数.其中x 是自变量，,,a b c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.例如，
2221
3,32,223
y x y x y x x ==+=--+等都是二次函数.
注意
(1)任何一个二次函数的解析式都可以化成2y ax bx c =++ (,,a b c 是常数，且0a ≠)的形式，因此，把2y ax bx c =++ (,,a b c 是常数，且0a ≠)叫作二次函数的一般式. (2)二次函数()2
0y ax bx c a =++≠中，,x y 都是变量，,,a b c 是常量，自变量x 的取值是
全体实数，b 和c 可以是任意实数，a 是不为0的实数，所以二次函数还有如下特殊形式:①:
2y ax =(当0,0,0a b c ≠==时)；②2y ax bx =+ (当0,0,0a b c ≠≠=时)；③2y ax c =+ (当0,0,0a b c ≠=≠时).
(3)二次函数()2
0y ax bx c a =++≠的结构特征:等号右边是关于自变量x 的二次整式.
知能解读(二)二次函数()2
0y ax a =≠的图象和性质
二次函数()2
0y ax
a =≠的图象是一条抛物线，它的对称轴是y 轴，顶点是原点.
(1)(供参考)抛物线()2
0y ax a =≠的开口大小由a 决定，a 越大，抛物线的开口越小；a
越小，抛物线的开口越大.
(2)画()2
0y ax
a =≠的图象时，描点法画出的只是整个图象的一部分，是近似的，由于x 可
取一切实数，所以图象应向两方无限延伸.
(3)选取自变量x 的值时，为了计算方便，x 一般取整数.
知能解读(三)二次函数()()
()()
2
2
2
0,0,y ax k a y a x h a y a x h k =+≠=-≠=-+
()0a ≠的图象和性质
1二次函数()2
0y ax k a =+≠的图象和性质
二次函数()2
0y ax k a =+≠的图象是一条拋物线，它的对称轴是y 轴，顶点坐标是()0,k .
2二次函数0y a x h a =-≠的图象和性质 二次函数()()2
0y a x h a =
-≠的图象是一条抛物线，它的对称轴是平行于y 轴或与y 轴重
合的直线x h =，顶点坐标是(),0h .
3二次函数0y a x h k a =-+≠的图象和性质
二次函数()()2
0y a x h k a =-+≠的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x h =，顶点坐标为(),h k .
(1)由()2
y a x h k =-+可直接看出抛物线的顶点坐标(),h k (2) a 决定抛物线的形状、大小，,h k 决定抛物线的位置.
具体的平移操作如图所示
.
点拨 (1)
对
于
函
数
()()
2
0y a x h k a =-+≠的性质，要注意与
()()()()2
220,0,0y ax a y ax k a y a x h a =≠=+≠=-≠对比学习，通过图象得出函数
()()2
0y a x h k a =-+≠的性质.
(2)二次函数()2
y a x h k =-+的图象可由抛物线2
y ax =的图象平移得到，h 与k 的符号
分别确定左右平移和上下平移的方向，h 与k 的绝对值确定平移的距离.抛物线平移规律是“左右平移，左加右减：上下平移.上加下减”
知能解读(四)二次函数()2
0y ax bx c a =++≠的图象与性质
知能解读(五)二次函数0y ax bx a a =++≠图象的画法
(1)描点法，其步骤如下:
①把二次函数解析式()2
0y ax bx a a =++≠化成()()2
0y a x h k a =-+≠的形式；
②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
③在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称描点画图. 注意
若抛物线与x 轴有交点，最好选取交点描点，特别是作抛物线草图时，应抓住以下五点:①开口方向；②对称轴；③顶点；④与x 轴交点；⑤与y 轴交点. (2)平移法，其步骤如下：
①利用配方法把二次函数解析式化成()()2
0y a x h k a =-+≠的形式，确定其顶点坐标
(),h k ；
②作出()2
0y ax
a =≠的图象； ③将()2
0y ax a =≠的图象平移，使其顶点移到(),h k .
知能解读(六)待定系数法求二次函数的解析式 二次函数解析式有三种常见形式：
(1)—般式(或三点式)：2
y ax bx a =++ (,,a b c 为常数，0a ≠)；
(2)顶点式(或配方式)：()2
y a x h k =-+ (,,a h k 为常数，0a ≠)；
(3)交点式(或两根式)：()()12y a x x x x =-- (12,,a x x 是常数，0a ≠拓展点). 注意
(a)任何一个二次函数解析式通过配方都可以化成顶点式()2
y a x h k =-+，抛物线顶点坐标为(),h k .当0h =时，抛物线顶点在y 轴上；当0k =时，抛物线顶点在x 轴上；当
0,0h k ==时，抛物线顶点在原点处.
(2)两根式又叫交点式，12,x x 是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即交点()1,0A x ，交点
()2,0B x .
(3)确定二次函数解析式时，根据所给的条件；合理地选择恰当的表达式.一般地，已知抛物线上；任意三点时，通常设函数解析式为一般式；当已知顶点坐标时，通常设函数解析式为顶点式；当已知抛物线与x 轴的两个交点时，通常设函数解析式为交点式.
知能解读(七)二次函数()2
0y ax bx c a =++≠的图象特征与,,a b c 的符号之间的关系
(1)由抛物线的开口方向可确定a 的符号，简记为“上正下负”.(2)由a 的符号及对称轴
2b
x a
=-
的位置可确定b 的符号.特殊地，对称轴为y 轴时，0b =；—般情况可简记为“左同右异”，即对称轴在y 轴左侧，,a b 同号，对称轴在y 轴右侧，,a b 异号.(3)当抛物线与y 轴交于原点时，0c =，否则可简记为“上正下负”，即抛物线与y 轴交于x 轴上方，c 为正；交于x 轴下方，c 为负.
方法技巧归纳
方法技巧(一)识别二次函数的方法
判断一个函数是否为二次函数，主要依据有三条：(1)数解析式的右边必须是整式；⑵化筒后的自变量最高次数是2；(3)二次项系数必须不为零. 方法技巧(二)求二次函数图象的顶点坐标和对称轴的方法
(1)公式法：()2
22
4024b ac b y ax bx c a x a a a -??=++=++
≠ ???
，所以顶点坐标为24,24b ac b a
a ??-- ???，对称轴是直线2b
x a =-. (2)配方法:运用配方法，将拋物线的关系式化为()()2
0y a x h k a =-+≠的形式，得到顶点为(),h k ，对称轴是直线x h =.
(3)对称点法：由于抛物线是轴对称图形，所以连接对称点所得线段的垂直平分线是对称轴，
对称轴与抛物线的交点是顶点.
方法技巧(三)二次函数的图象与性质
二次函数的图象与性质主要有二次函数图象的顶点坐标，二次函数的增减性以及函数与坐标轴的交点等问题.
方法技巧(四)根据二次函数图象获取相关信息的方法
(1)由抛物线的开口方向判断a 的符号，开口向上，0a >；开口向下，0a <.(2)由抛物线对称轴的位置判断b 的符号，即对称轴为y 轴，0b =；对称轴在y 轴左侧，则,a b 同号；对称轴在y 轴右侧，则,a b 异号.(3)由抛物线与y 轴的交点位置判断c 的符号，当交点在y
轴的正半轴上时，0c >；当交点为原点时，0c =；当交点在y 轴的负半轴上时，0c <. 方法技巧(五)用待定系数法求二次函数解析式的技巧 由于二次函数有多种表达形式，所以我们在求二次函数解析式时，首先要根据已知条件的特点，灵活选择合适的表达形式，然后用“待定系数法”求解，可以达到简便、快捷的效果. 1一般式
这是最基本的方法，若已知函数图象上的三个点的坐标，可设函数解析式为
()20y ax bx c a =++≠.
2顶点式
若已知抛物线的顶点或对称轴，则设函数解析式为顶点式()()2
0y a x h k a =-+≠，顶点的坐标为(),h k ，对称轴为直线x h =.
3交点式
若已知抛物线与x 轴的两交点坐标或已知抛物线与x 轴的一交点坐标与对称轴，可通过设交点式()()12y a x x x x =--来求解. 方法技巧(六)抛物线的平移技巧
抛物线()()2
0y a x h k a =-+≠在平移时，a 的值不变，改变的只是顶点的位置，即只是h 或k 的值发生变化，因此解决抛物线平移问题，要把抛物线解析式化为顶点式，并准确求出抛物线的顶点坐标，然后根据“左加右减，上加下减”的平移规律，即可确定平移后的二次函数解析式.
方法技巧(七)解决二次函数综合题的技巧
当问题的条件不确定时，需要对可能的情况分别讨论，这是二次函数中常用的思想方法.
易混易错辨析
易混易错知识
由已知二次函数图象平移得到另一个二次函数图象时，易将平移方向以及,h k 的符号混淆. 易混易错(一)对二次函数的定义理解不透，忽视“0a ≠”这一隐含条件 易混易错(二)忽视隐含条件致错
易混易错(三)平移时混淆()2
y a x h k =-+中h 的符号而出错.
中考试题研究
中考命题规律
二次函数的图象和性质是中考考查的重点内容，主要考查二次函数的平移、图象与性质，二次函数图象位置与表达式中字母系数的关系以及二次函数的综合应用.主要以填空题、选择题或解答题的形式出现.用待定系数法求二次函数的解析式是中考的热点之一. 中考试题(一)二次函数图象的平移 中考试题(二)二次函数的性质
中考试题(三)二次函数的图象位置与系数关系 中考试题(四)二次函数的综合应用 中考试题(五)二次函数性质的综合应用
第27讲 二次函数的实践与探索
知识能力解读
知能解读(一)抛物线与直线的交点
直线()0y k x b k =+≠与抛物线()2
0y ax bx c a =++≠的交点坐标即方程组
2
,
y kx b y ax bx c
=+??=++?的解. 当方程组有两个不同解时?两函数图象有两个交点； 当方程组只有一个解时?两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时?两函数图象没有交点. 知能解读(二)二次函数与一元二次方程的关系
函数()20y ax bx c a =++≠，当0y =时，得到一次方程()2
00ax bx c a ++=≠，那么一
元二次方程的根就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此，二次函数的图象与x 轴的交点情况决定相应一元二次方程根的情况.
(1)当二次函数()2
0y ax bx c a =++≠的图象与x 轴有两个交点时，2
40b ac ->，方程
()200ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；
(2)当二次函数的图象与()2
0y ax bx c a =++≠轴有且只有一个交点时，2
40b ac -=，方
程()2
00ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根；
(3)当二次函数()2
0y ax bx c a =++≠的图象与
x 轴无交点时，240b ac -<，方程
()200ax bx c a ++=≠无实数根.
综上，求一元二次方程()2
00ax bx c a ++=≠的根也就是求二次函数
()20y a x b x c a
=++≠的值为0时自变量x 的值，即抛物线()2
0y ax bx c a =++≠与x 轴的交点的横坐标.二次函数()2
0y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的交点的三种情况分别对
若抛物线()2
0y ax bx c a =++≠与x 轴的交点为()1,0A x 和()2,0B x ，则抛物线的对称轴
为直线12
2
x x x +=
，对称轴与x 轴的交点恰为线段AB 的中点. 知能解读(三)二次函数与一元二次不等式的关系(拓展点)
抛物线()2
0y ax bx c a =++≠在x 轴上方的部分点的纵坐标为正，所对应的x 的所有值就是不等式()2
00ax bx c a ++>≠的解集；在x 轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x
的所有值就是不等式()2
00ax bx c a ++<≠的解集，不等式中如果带有等号其解集也相应
带有等号.
二次函数()2
0y ax bx c a =++≠与一元二次不等式()2
00ax bx c a ++>≠及
200ax bx c a ++<≠之间的关系如下：
知能解读(四)二次函数在实际问题中的应用
函数的应用指的是运用函数概念建立函数模型，研究、解决某些实际问题的过程和方法，它包括两个方面：
(1)用二次函数表示实际问题中变量之间的关系；
(2)用二次函数解决实际问题中的最优化问题，其实质就是求函数的最大(小)值. 注意
(1)优化问题，即求二次函数何时达到最大(小)值，此时需注意顶点的横坐标是否在实际问题中x 的取值范围内.
⑵已知函数值，求自变量的对应值.特别地，：求抛物线与x 轴交点的横坐标，这些可以通过解一元二次方程解决，但要注意检验方程的解是否符合实际问题的要求.
方法技巧归纳
方法技巧(一)求两函数图象交点问题的方法
两函数图象交点的横坐标和纵坐标就是两函数解析式所组成的方程组的解. 方法技巧(二)二次函数与一元二次方程关系的综合应用
主要依据判别式2
4b ac ?=-的符号来判断，即当0?>时，抛物线与x 轴有两个不同的交点；当0?=时，抛物线与x 轴有一个交点；当0?<时，抛物线与x 轴无交点. 方法技巧(三)利用二次函数图象求不等式解集的方法(拓展) 方法技巧(四)利用二次函数解决实际问题的方法
利用二次函数解决实际问题通常先要建立变量之间的二次函数解析式，再利用二次函数的相关性质求解.
方法技巧(五)与二次函数相关的综合题
易混易错辨析
易混易错知识
二次函数配方为顶点式与用配方法解一元二次方程混淆. 易混易错(一)实际问题中忽视自变量取值范围致错
易混易错(二)忽视二次项系数不为0致错
中考试题研究
中考命题规律
在近几年的中考中，各地对应用函数知识解决生活中的问题及二次函数与方程、一次函数、反比例函数、几何图形的综合运用考查较多.中考中的压轴题多与二次函数相结合，尤其是二次函数的应用题是考查二次函数的主流题目.题型有填空题、选择题、解答题，主要以贴近生产生活、反映时代热点的图象信息题、阅读理解题、开放探究题等为主.利用二次函数最值解决实际问题已成为中考的热点，这也是二次函数知识的创新点，应予以关注.
中考试题(一)由图象获取信息
中考试题(二)二次函数与一元二次方程
中考试题(三)应用二次函数知识解决实际问题
中考试题(四)解决抛物线型问题
二次函数知识点总结及典型题目 一.定义： 一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax2+bx+c ；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中c 叫二次函数在y 轴上的截距, 即二次函数图象必过（0，c ）点. 二.二次函数2ax y =的性质 （1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 （1）抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0a 时，开口向上；当0 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ??? ? ? +=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线 h x =. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对 称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2 中，c b a ,,的作用 （1）a 决定开口方向及开口大小，这与2 ax y =中的a 完全一样. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是直线 a b x 2- =，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0c ,与y 轴交于正半轴；③0 初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数， 0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 二次函数一、二次函数的几何变换 二、二次函数的图象和性质 (Ⅰ) y=a(x-h)2+k (a≠0)的图象和性质 (Ⅱ) y=ax2+bx+c (a≠0)的图象和性质 (Ⅲ) a 、b 、c 的符号对抛物线形状位置的影响 三、待定系数法求二次函数的解析式 1、一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式。 2、顶点式：()k h x a y +-=2 .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。 3、交点式：已知图像与x 轴的交点横坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=。 4、顶点在原点，可设解析式为y=ax 2 。 5、对称轴是y 轴（或者顶点在y 轴上），可设解析式为y= ax 2 +c 。 6、顶点在x 轴上，可设解析式为()2 h x a y -=。 7、抛物线过原点，可设解析式为y=ax2+bx 。 四、抛物线的对称性 1、抛物线与x 轴有两个交点（x 1,0）（x 2,0），则对称轴为x= 2x x 2 1+。 2、抛物线上有不同的两个交点（m ，a ）（n,a ），则对称轴为x=2 n m +。 3、抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）与y 轴交点关于对称轴的对称点为(a b -, c)。 五、二次函数与一元二次方程的关系 对于抛物线c bx ax y ++=2 （a ≠0），令y=0，即为一元二次方程02=++c bx ax ，一元二次方程的解就是二次函数与x 轴交点的横坐标。要分三种情况： 1、 判别式△=b 2 -4ac ＞0?抛物线与x 轴有两个不同的交点（a b 24ac b -2+，0） （a b 24ac b --2，0）。有韦达定理可知x 1+x 2=a b - ，x 1·x 2= a c 。 2、 判别式△=b 2 -4ac=0?抛物线与x 轴有一个交点（a b 2-，0）。 3、 判别式△=b 2 -4ac=0?抛物线与x 轴无交点。 六、二次函数与一元二次不等式的关系 1、a ＞0：（1）02＞c bx ax ++的解集为：x ＜x 1或x ＞x 2（x 1＜x 2）。 （2）02 ＜c bx ax ++的解集为：x 1＜x ＜x 2（x 1＜x 2）。 2、a ＜0：（1）02＞c bx ax ++的解集为：x 1＜x ＜x 2（x 1＜x 2）。 （2）02 ＜c bx ax ++的解集为：x ＜x 1或x ＞x 2（x 1＜x 2）。 七、二次函数的应用 1、面积最值问题。 2、长度、高度最值问题。 3、利润最大化问题。 4、利用二次函数求近似解。 第22章 二次函数总复习 一、【复习目标】 1、掌握二次函数的概念、基本性质，二次函数解析式的求法； 2、熟练掌握二次函数的图象与性质，并会利用二次函数的图象与性质解决实际应用问题． 二、【复习导学】 （二）知识点梳理： 1、二次函数概念：一般地，形如 （a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数． 其中a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 注：与一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零；等号左边是函数，右边是关于 自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． 2、二次函数的基本形式 （1）形如：2y ax =的二次函数的图象和性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小 （2）形如：k ax y +=的二次函数的图象和性质：上加下减． （3）形如：y a x h =-的二次函数的图象和性质：（h 前面是负号时：h>0向右平移，h<0时向左平移） （4）形如：y a x h k =-+的二次函数的图象和性质： 左加右减（变的是x 的变量），上加下减（变的是函数值） ，即如： 由y=ax 2 向左平移2个为单位再向下平移3个单位得到：y=a （x+2）2-3 ； 由y=ax 2向右平移2个为单位再向上平移3个单位得到：y=a （x-2）2+3 ． 3、二次函数()2 y a x h k =-+与c bx ax y ++=2 的比较： 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -??=++ ?? ?，则对于c bx ax y ++=2 来说：2424b ac b h k a a -=-= ，， 即对称轴是：a b x 2-=对，顶点坐标是：)44,2(2a b ac a b --． 4、二次函数c bx ax y ++=2 图象的画法： 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）． 注：画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点． 5、二次函数c bx ax y ++=2 的性质： （1）当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时， y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． （2）当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，．当2b x a <- 时， y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a -． 6、二次函数解析式的表示方法 （1）一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；知道三点的坐标用一般式． （2）顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；知道顶点坐标或对称轴和最值时用顶点式． （3）交点式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标），当函数与x 轴有 两个交点时，用交点式． 注：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线 与x 轴有交点，即2 40b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化． 7、抛物线c bx ax y ++=2 中，c b a ,,的作用： （1）a 决定开口方向及开口大小：当a ＞0时，二次函数开口 ；当a 0时，二次函数开口向下． |a | 越大，开口越小，|a | 越小，开口越大． （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置：∵抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2- = 浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题 知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零，那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2- =对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法--------五点作图法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2 与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 【例1】、已知函数y=x 2 -2x-3， （1）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图； （2）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积： （3）根据第（1）题的图象草图，说 出 x 取哪些值时，① y=0；② y<0；③ y>0 知识点二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）两根 当抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴有交点时，即对应的一元二次方程02 =++c bx ax 有实根1x 和 2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式 ))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。 a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 （3）三顶点 顶点式：)0,,()(2 ≠+-=a k h a k h x a y 是常数， 当题目中告诉我们抛物线的顶点时，我 二次函数知识点汇总及详细剖析 函数中，有一种多项式函数形如y= ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），最高次数是2，这种函数，我们称之为二次函数。二次函数知识点颇多，初高中都会出现，在初中，刚刚出现在一次函数数形结合学习之后，因此，二次函知识点离不开数形结合思想。二次函数主要知识点: 一、定义与定义表达式： 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 二、二次函数的三种表达式 一般式：y=ax2；+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） 顶点式：y=a(x-h) 2；+k[抛物线的顶点P（h，k）] 交点式：y=a(x- x1)(x- x2)[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系： h=-b/2a k=(4ac- b2)/4a x1，x2=(-b±√b2-4ac)/2a 三、二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。 四、抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。 对称轴为直线：x=-b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 2.抛物线有一个顶点P，坐标为P[-b/2a，(4ac-b2；)/4a]。 当-b/2a=0时，P在y轴上； 当Δ=b2-4ac=0时，P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0，c）。 6.抛物线与x轴交点个数 Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。 新人教版九年级上二次函数知识点总结 知识点一：二次函数的定义 1．二次函数的定义： 一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．2y ax bx c =++a b c ，，0a ≠其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． a b c 知识点二：二次函数的图象与性质抛物线的三要素：开口、对称轴、顶 ??点 2. 二次函数的图象与性质 ()2 y a x h k =-+（1）二次函数基本形式的图象与性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小 2y ax = （2）的图象与性质：上加下减 2y ax c =+ （3）的图象与性质：左加右减 ()2 y a x h =- （4）二次函数的图象与性质 ()2 y a x h k =-+ 3. 二次函数的图像与性质 c bx ax y ++=2 （1）当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为． 0a >2b x a =-2424b ac b a a ??-- ??? ，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，2b x a <- y x 2b x a >-y x 2b x a =-有最小值 ．y 2 44ac b a - （2）当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为． 0a <2b x a =-2424b ac b a a ??-- ??? ，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，2b x a <- y x 2b x a >-y x 2b x a =-有最大值 ．y 2 44ac b a - 4. 二次函数常见方法指导 （1）二次函数2y ax bx c =++图象的画法①画精确图 五点绘图法（列表-描点-连线） 利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. ②画草图 抓住以下几点：开口方向，对称轴，与y 轴的交点，顶点.（2）二次函数图象的平移平移步骤： ①将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；()2 y a x h k =-+()h k ，② 可以由抛物线经过适当的平移得到具体平移方法如下： 2 ax 【【【(h <0)【【【 【【(h >0)【【【(h 【【|k|【【【 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．（3）用待定系数法求二次函数的解析式①一般式：.已知图象上三点或三对、 的值，通常选择一般式. ②顶点式：.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. ③交点式： .已知图象与轴的交点坐标 、 ，通常选择交点式. （4）求抛物线的顶点、对称轴的方法 ①公式法：，∴顶点是，对称轴a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ??? ? ?+=++=），（a b ac a b 4422--是直线.a b x 2- =②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(, ()k h x a y +-=2 h )，对称轴是直线. k h x = 二次函数知识点总结——题型分类总结 一、二次函数的定义 （考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①142 +-=x x y ； ②2 2x y =； ③x x y 422 +=； ④x y 3-=； ⑤12--=x y ； ⑥p nx mx y ++=2 ； ⑦()x y ,4=； ⑧x y 5-=。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为t t s 252 +=，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 _________ 。 3、若函数( ) 54722 2 ++-+=x x m m y 是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。 4、若函数()1522 ++-=-x x m y m 是关于x 的二次函数，则m 的值为 。 6、已知函数()35112 -+-=+x x m y m 是二次函数，求m 的值。 二、二次函数的对称轴、顶点、最值 记忆：如果解析式为顶点式：()k h x a y +-=2 ，则对称轴为： _ , 最值 为： ； 如果解析式为一般式：c bx ax y ++=2 ，则对称轴为： __ ，最值为： ； 如果解析式为交点式：()()21x x x x a y --=, 则对称轴为： ，最值为： 。 1．抛物线m m x x y -++=2 2 42经过坐标原点，则m 的值为 。 2．抛物线c bx x y ++=2的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线x x y 32+=的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线x ax y 62-=经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) 5．若直线b ax y +=不经过二、四象限，则抛物线c bx ax y ++=2 ( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴 6．已知抛物线()4 1 12- -+=x m x y 的顶点的横坐标是2，则m 的值是 . 7．抛物线322 -+=x x y 的对称轴是 。 8．若二次函数332 -+=mx x y 的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ 。 9．当n ＝______，m ＝______时，函数()()x n m x n m y n -++=的图象是抛物线， 二次函数复习知识点 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而 b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数y＝ax2+bx+c的结构特征： ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次多项式。（①含自变量的代数式是整式， ②自变量的最高次数是2，③二次项系数不为0.） ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. y＝ax2的性质： 2. y＝ax2＋k的性质：（k上加下减） 3. y＝a（x-h）2的性质：（h左加右减） 4. y ＝a (x －h)2 ＋k 的性质： 5. y ＝ax 2 +bx+c 的性质： 三、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a. (a 决定了抛物线开口的大小和方向) 二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然a ≠0 ① 当0a >时，抛物线开口向上，当0a <时，抛物线开口向下； ②a 的绝对值越大，开口越小，反之a 的绝对值越小，开口越大。 总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b （a 和b 共同决定抛物线对称轴的位置） .抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是直线a b x 2- =，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；② （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③ （即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. ① 二次函数 考点一 一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数． 1．结构特征：①等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式；②x 的最高次数是2；③二次项系数a ≠0. 2．二次函数的三种基本形式 一般形式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 是常数，且a ≠0)； 顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a ≠0)，它直接显示二次函数的顶点坐标是(h ，k)； 交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1 、x 2 是图象与x 轴交点的横坐标． 考 点二 二次函数的图象和性质 考点三 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征与a、b、c及b2－4ac的符号之间的关系 考点四 任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下： 考点五 1．设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 若已知条件是图象上三个点的坐标．则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a、b、c的值．2．设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式． 3．设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)． 若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式 考点六 二次函数的应用包括两个方法 ①用二次函数表示实际问题变量之间关系． ②用二次函数解决最大化问题(即最值问题)，用二次函数的性质求解，同时注意自变量的取值范围． (1)二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是() A．(－1,8) B．(1,8) C．(－1,2)D．(1，－4) (2)将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为() A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x－1)2＋4 C．y＝(x＋1)2＋2 D．y＝(x－1)2＋2 (3)函数y＝x2－2x－2的图象如下图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是() ② 二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： o o 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2y ax c =+的性质： 结论：上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． 总结： 3. ()2 y a x h =-的性质： 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 总结： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 二次函数知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、二次函数解析式的三种形式及图像 1. 二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：2 ()(0)f x ax bx c a =++≠； （2）顶点式：2 ()()(0)f x a x m n a =-+≠；其中，(,)m n 为抛物线顶点坐标，x m =为对称轴方程. （3）零点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠，其中，12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标. 2．二次函数的图像 二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，对称轴方程为2b x a =- ，顶点坐标为24(,)24b ac b a a --. (1) 单调性与最值 ①当0a >时，如图2-8所示，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞- 上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2b x a =-时， 2min 4()4ac b f x a -=；②当0a <时，如图2-9所示，抛物线开口向下，函数在(,] 2b a -∞-上递增，在[,) b -+∞上递减，当 b x =- 时，；24()4ac b f x a -=. (2) 当2 40b ac ?=->时，二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点11(,0)M x 和 22(,0)M x ，1212|||||| M M x x a =-== . 二、二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处. 对二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠，当0a >时，()f x 在区间[,]p q 上的最大值是M ，最小值是m ， 图2-9 二次函数知识点总结及典型例题 一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法---五点法： 二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2 ≠+-=a k h a k h x a y 是常数， （3）当抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴有交点时，即对应二次好方程0 2=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212 x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2 可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这 样表示。 三、抛物线c bx ax y ++=2 中，c b a ,,的作用 （1）a 决定开口方向及开口大小，这与2 ax y =中的a 完全一样. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是直线 a b x 2- =，故：①0=b 时，对称轴为y 轴所在直线；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0 二次函数图像及性质 【二次函数的定义】 一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，， 为常数，0a ≠）的函数称为x 的二次函数，其中x 为自变量，y 为因变量，a 、b 、c 分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数． 注意：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b 、c 可以为零．二次函数的自变量的取值范围是 全体实数． 【二次函数的图象】 1．二次函数图象与系数的关系 （1）a 决定抛物线的开口方向 当0a >时，抛物线开口向上；当0a <时，抛物线开口向下．反之亦然． a 决定抛物线的开口大小：a 越大，抛物线开口越小；a 越小，抛物线开口越大． 温馨提示：几条抛物线的解析式中，若a 相等，则其形状相同，即若a 相等，则开口及形状相同，若a 互为相反数，则形状相同、开口相反． （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：2b x a =-） 当0b =时，抛物线的对称轴为y 轴； 当a 、b 同号时，对称轴在y 轴的左侧； 当a 、b 异号时，对称轴在y 轴的右侧． （3）c 的大小决定抛物线与y 轴交点的位置（抛物线与y 轴的交点坐标为()0c ， ） 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为原点； 当0c >时，交点在y 轴的正半轴； 当0c <时，交点在y 轴的负半轴． 2.二次函数图象的画法 五点绘图法： 利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）． 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点． 3.点的坐标设法 ⑴ 一次函数y ax b =+（0a ≠）图像上的任意点可设为()11x ax b +， .其中10x =时，该点为直线与y 轴交点. ⑵ 二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）图像上的任意一点可设为() 2111x ax bx c ++，.10x =时，该点为抛物线与y 轴交点，当12b x a =- 时，该点为抛物线顶点． ⑶ 点()11x y ， 关于()22x x ，的对称点为()212122x x y y --，． 4.二次函数的图象信息 ⑴ 根据抛物线的开口方向判断a 的正负性． ⑵ 根据抛物线的对称轴判断2b a -的大小． ⑶ 根据抛物线与y 轴的交点，判断c 的大小． ⑷ 根据抛物线与x 轴有无交点，判断24b ac -的正负性． ⑸ 根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于a b c ，，的等式． ⑹ 根据抛物线的顶点，判断244ac b a -的大小． 二次函数知识点(第一讲) 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质：（上加下减） 3. ()2 y a x h =-的性质：（左加右减） 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数() 2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到 前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方 向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为： 顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有 知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果特)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零 那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2- =对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2 与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 知识点二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）两根 当抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴有交点时，即对应二次好方程02 =++c bx ax 有 实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212 x x x x a c bx ax --=++，二次函数 c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。 a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 （3）三顶点 顶点式：)0,,()(2 ≠+-=a k h a k h x a y 是常数， 知识点三、二次函数的最值最新史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结
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