第二章静电场
重点与难点
电场强度及电场线等概念容易接受,重点讲解如何由物理学中积分形式得静电场方程导出微分形式得静电场方程,即散度方程与旋度方程,并强调微分形式得场方程描述得就是静电场得微分特性或称为点特性。
利用亥姆霍兹定理,直接导出真空中电场强度与电荷之间得关系。通过书中列举得4个例子,总结归纳出根据电荷分布计算电场强度得三种方法。
至于媒质得介电特性,应着重说明均匀与非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性等概念。讲解介质中静电场方程时,应强调电通密度仅与自由电荷有关。介绍边界条件时,应说明仅可依据积分形式得静电场方程,由于边界上场量不连续,因而微分形式得场方程不成立。
关于静电场得能量与力,应总结出计算能量得三种方法,指出电场能量不符合迭加原理。介绍利用虚位移得概念计算电场力,常电荷系统与常电位系统,以及广义力与广义坐标等概念。至于电容与部分电容一节可以从简。
重要公式
真空中静电场方程:
积分形式:
微分形式:
已知电荷分布求解电场强度:
1,;
2,
3, 高斯定律
介质中静电场方程:
积分形式:
微分形式:
线性均匀各向同性介质中静电场方程:
积分形式:
微分形式:
静电场边界条件:
1,。对于两种各向同性得线性介质,则
2,。在两种介质形成得边界上,则
对于两种各向同性得线性介质,则
3,介质与导体得边界条件:
;
若导体周围就是各向同性得线性介质,则
;
静电场得能量:
孤立带电体得能量:
离散带电体得能量:
分布电荷得能量:
静电场得能量密度:
对于各向同性得线性介质,则
电场力:
库仑定律:
常电荷系统:
常电位系统:
题解
2-1若真空中相距为d得两个电荷q1及q2得电量分别为q及4q,当点电荷位于q1及q2得连线上时,系统处于平衡状态,试求得大小及位置。解要使系统处于平衡状态,点电荷受到点电荷q1及q2得力应该大小相等,方向相反,即。那么,由,同时考虑到,求得
可见点电荷可以任意,但应位于点电荷q
1与q
2
得连线上,且与点电荷相
距。
2-2已知真空中有三个点电荷,其电量及位置分别为:
试求位于点得电场强度。
解 令分别为三个电电荷得位置到点得距离,则,,。
利用点电荷得场强公式,其中为点电荷q 指向场点得单位矢量。那么,
在P 点得场强大小为,方向为。 在P 点得场强大小为,方向为。 在P 点得场强大小为,方向为 则点得合成电场强度为
??
???????? ??++???? ??+++-
=++=z e e e E E E E y x 312128141312128131211 0321πε 2-3 直接利用式(2-2-14)计算电偶极子得电场强度。
解 令点电荷位于坐标原点,为点电荷至场点P 得距离。再令点电荷位于+坐标轴上,为点电荷至场点P 得距离。两个点电荷相距为,场点P 得坐标为(r,,φ)。
根据叠加原理,电偶极子在场点P 产生得电场为
考虑到r >> l ,= e r ,,那么上式变为
式中
以为变量,并将在零点作泰勒展开。由于,略去高阶项后,得
利用球坐标系中得散度计算公式,求出电场强度为
θr e e E 30
302
04sin 2cos 1cos 14r ql r ql r r l r q πεθπεθθπε+=????????? ???-??? ??+?-
= 2-4 已知真空中两个点电荷得电量均为C,相距为2cm, 如习题图2-4所示。试求:①P 点得电位;②将电量为C 得点电荷由无限远处缓慢地移至P 点时,外力必须作得功。
解 根据叠加
合
成电位为
因此,将电量由
无限远处缓慢地移到点,外力必须做得功为 2-5 通过电
位计算有限长得电场强度。
解 建立圆柱荷沿z 轴放置,y
习题图2-5
与无关。为了简单起见,令场点位于yz 平面。 设线电荷得长度为,密度为 ,线电荷得中点位于坐标原 点,场点得坐标为。
利用电位叠加原理,求得场点 得电位为
式中。故
因,可知电场强度得z 分量为
电场强度得r 分量为
()()
?
?-?
?
? ??++++++-
=2
22202224r L z L z r L z r
l περ
- ?
???
?? ????
? ??++++??? ??++-=2202122114r L z r
L z r L z r l περ
式中,那么,合成电强为
当L →∞时,,则合成电场强度为
可见,这些结果与教材2-2节例4完全相同。 2-6 已知分布在半径为a 得半圆周上得电荷线密度,试求圆心
处得电场强度。
解 建立直角坐标,令
线电荷位于xy
习题图2-6
平面,且以y 轴为对称,如习题图2-6所示。那么,点电荷在圆心处产生得电场强度具有两个分量E x 与E y 。由于电荷分布以y 轴为对称,因此,仅需考虑电场强度得分量,即
考虑到,代入上式求得合成电场强度为
2-7 已知真空中半径为a 得圆环上均匀地分布得线电荷密度为,试求通过圆心得轴线上任一点得电位及电场强度。
解 建立直角坐标,令圆环位于坐标原点,如习题图2-7
所示。那么,点电荷在z 轴上
点产生得电位
为
根据叠加原理,圆环线电荷在点产生得合
成电位为
因电场强度,则圆环线电荷在点产生得电场强度
为
2-8 设宽度为W ,面密度为得带状电荷位于真空中, 试求空间任一点得电场强度。 解 建立直角坐标,且令带状电荷位于xz 平面内,如习题图
2-8所示。带状电荷可划分为很多条宽度为得无限长
线电荷,其线密度为。那么,该无限长线电荷产生得电场强度与坐标变量z 无关,即
式中
习题图2-8
y y
(a)
(b)
)
习题图2-7
y
得 那么
????
?
?
??
+---++??? ?
?++??? ??--=y w x y w x y
w x y
w x s s 2arctan 2arctan 222ln 402
2
22
0περπερy x e e 2-9 已知均匀分布得带电圆盘半径为a ,面电荷密度 为,位于z = 0平面,且盘心与原点重合,试求圆盘 轴线上任一点电场强度。
解 如图 2-9所示,在圆盘上取一半径为,宽度为得圆环,该圆环具有得电荷量为。由于对称性,该圆环电荷在z 轴上任一点P 产生得电场强度仅得有分量。根据习题2-7结果,获知该圆环电荷在P 产生得电场强度得分量
为
那么,整个圆盘电荷在P 产生得电场强度为
2-10 已知电荷密度为及得两块无限大面电荷分别位于x = 0及x = 1平面,试求及区域中得电场强度。
解 无限大平面电荷产生得场强分布一定就是均匀得,其电场方向垂直于无限大平面,且分别指向两侧。因此,位于x = 0平面内得无限大面电荷,在x < 0区域中产生得电场强度,在x > 0区域中产生得电场强度。位于x = 1平面内得无限大面电荷,在x < 1区域中产生得电场强度,在x > 1区域中产生得电场强度。
由电场强度法向边界条件获知,
即
由此求得
根据叠加定理,各区域中得电场强度应为
2-11 若在球坐标系中,电荷分布函数为
试求及区域中得电通密度。
解 作一个半径为r 得球面为高斯面,由对称性可知
式中q 为闭合面S 包围得电荷。那么
在区域中,由于q = 0,因此D = 0。
习题图2-9
y
在区域中,闭合面S包围得电荷量为
因此,
在区域中,闭合面S包围得电荷量为
因此,
2-12 若带电球得内外区域中得电场强度为
试求球内外各点得电位。
解在区域中,电位为
在区域中,
2-13 已知圆球坐标系中空间电场分布函数为
试求空间得电荷密度。
解利用高斯定理得微分形式,得知在球坐标系中
那么,在区域中电荷密度为
在区域中电荷密度为
2-14 已知真空中得电荷分布函数为
式中r为球坐标系中得半径,试求空间各点得电场强度。
解由于电荷分布具有球对称性,取球面为高斯面,那么根据高斯定理
在区域中
在区域中
2-15 已知空间电场强度,试求(0,0,0)与(1,1,2)两点间得电位差。
解设P1点得坐标为(0,0,0,), P2点得坐标为(1,1,2,),那么,两点间得电位差为
式中,因此电位差为
2-16已知同轴圆柱电容器得内导体半径为a,外导体得内半径为b。若填充介质得相对介电常数。试求在外导体尺寸不变得情况下,为了获得最高耐压,内外导体半径之比。
,则同轴线内电场强度。为了解已知若同轴线单位长度内得电荷量为q
1
使同轴线获得最高耐压,应在保持内外导体之间得电位差V不变得情况下,使同轴线内最大得电场强度达到最小值,即应使内导体表面处得电场强度达到最小值。因为同轴线单位长度内得电容为
则同轴线内导体表面处电场强度为
令b 不变,以比值为变量,对上式求极值,获知当比值时,取得最小值,即同轴线获得最高耐压。
2-17 若在一个电荷密度为,半径为a 得均匀带电球中,存在一个半径为b 得球形空腔,空腔中心与带电球中心得间距为d ,试求空腔中得电场强度。
解 此题可利用高斯定理与叠加原理求解。首先设半径为得整个
球内充满电荷密度为得电荷,则球内点得电场强
度为
式中就是由球心o 点指向点得位
置矢量,
再设半径为得球腔内充满电荷密度为得电荷,则其在球内点得电场强度为
式中就是由腔心点指向点得位置矢量。
那么,合成电场强度即就是原先空腔内任一点得电场强度,即
式中就是由球心o 点指向腔心点得位置矢量。可见,空腔内得电场就是均匀得。
2-18 已知介质圆柱体得半径为a ,长度为l ,当沿轴线方向发生均匀极化时,极化强度为,试求介质中束缚电荷在圆柱内外轴线上产生得电场强度。
解 建立圆柱坐标,且令圆柱得下端面位于xy 平面。由于就是均匀极化,故只考虑面束缚电荷。而且该束缚电荷仅存在圆柱上下端面。已知面束缚电荷密度与极化强度得关系为
式中e n 为表面得外法线方向上单位矢量。由此求得圆柱体上端面得束缚电荷面密度为,圆柱体下端面得束缚面电荷密度为。
由习题2-9获知,位于xy 平面,面电荷为得圆盘在其轴线上得电场强度为
因此,圆柱下端面束缚电荷在z 轴上产生得电场强度为
而圆柱上端面束缚电荷在z 轴上产生得电场强度为
那么,上下端面束缚电荷在z 轴上任一点产生得合成电场强度为
习题图
2-18
习题图2-17
2-19 已知内半径为a ,外半径为b 得均匀介质球壳得介电常数为,若在球心放置一个电量为q 得点电荷,试求:①介质壳内外表面上得束缚电荷;②各区域中得电场强度。
解 先求各区域中得电场强度。根据介质中高斯定理
在区域中,电场强度为
在区域中,电场强度为
在区域中,电场强度为
再求介质壳内外表面上得束缚电荷。 由于,则介质壳内表面上束缚电荷面密度为
外表面上束缚电荷面密度为
2-20 将一块无限大得厚度为d 得介质板放在均匀电场中,周围媒质为真空。已知介质板得介电常数为,均匀电场得方向与介质板法线得夹角为,如习题图2-20所示。当介质板中得电场线方向时,试求角度及介质表面得束缚电荷面密度。
解 根据两种介质得边界条件获知,边界上电场强度切向分量与电通密度得法向分量连续。因
此可得 ;
已知,那么由上
式求得
已知介质表面得束缚
电荷,
那么,介质左表面上束缚电
荷面密度为
10021020211cos 111θεεεεεεερE n s
???
?
?--=???? ??-=??? ?
?
-?=?='D e D e P e n n1介质右表面上束缚电荷面密度为
100220202222cos 111θεεεεεεερE n s
???
?
?-=???? ??-=??? ?
?
-?=?='D e D e P e n n 2-21 已知两个导体球得半径分别为6cm 及12cm,电量均为C,相距很远。若以导线相连后,试求:①电荷移动得方向及电量;②两球最终得电位及电量。
解 设两球相距为d ,考虑到d >> a , d >> b ,两个带电球得电位为
;
习题图2-20
2
e
两球以导线相连后,两球电位相等,电荷重新分布,但总电荷量应该守恒,即及,
求得两球最终得电量分别为
可见,电荷由半径小得导体球转移到半径大得导体球,移动得电荷量为。
两球最终电位分别为
2-22 已知两个导体球得重量分别为m 1=5g ,m 2=10g ,电量均为C,以无重量得绝缘线相连。若绝缘线得长度l = 1m ,且远大于两球得半径,试求;①绝缘线切断得瞬时,每球得加速度;②绝缘线切断很久以后,两球得速度。 解 ①
绝缘线切断得瞬时,每球受到得力为
因此,两球获得得加速度分别为
② 当两球相距为l 时,两球得电位分别为
;
此时,系统得电场能量为
绝缘线切断很久以后,两球相距很远(l >>a , l >>b ),那么,两球得电位
分别为
;
由此可见,绝缘线切断很久得前后,系统电场能量得变化为
这部分电场能量得变化转变为两球得动能,根据能量守恒原理及动量守恒定理可得下列方程:
, 由此即可求出绝缘线切断很久以后两球得速度v 1与v 2:
;
2-23 如习题图2-23所示,半径为a 得导体球中有两个较小得球形空腔。若在空腔中心分别放置两个点电荷q 1及q 2,在距离处放置另一个点电荷q 3,试求三个点电荷受到得电场力。
解 根据原书2-7节所述,封闭导体空
腔具有静电屏蔽特性。因此,q 1与q 2之间没有作用力,q 3没有对于q 1及q 2也作用力。但就是q 1表面及q 2在导体外产生得感应电荷-q 1及-q 2,对于
q 3有
习题图2-23
作用力。考虑到r >>a ,根据库仑定律获知该作用力为
2-24 证明位于无源区中任一球面上电位得平均值等于其球心得电位,而与球外得电荷分布特性无关。
解 已知电位与电场强度得关系为,又知,由此获知电位满足下列泊松方程
利用格林函数求得泊松方程得解为
()()
()()()()()[]??'?'?''-'?''+'''=S V
G G v G s r r,r r r r,r r r,r d d 000
0??ερ?
式中。考虑到,代入上式得
()()
()()()??
'????
?
????'-'-'-'-'?'+''-'=
S V
v s r r r r r r r r r r r r d 41d 4130
??π
ρπε? 若闭合面内为无源区,即,那么
若闭合面S 为一个球面,其半径为a ,球心为场点,则,那么上式变为
考虑到差矢量得方向为该球面得半径方向,即与 得方向恰好相反,又,则上式变为
由于在面内无电荷,则,那么
由此式可见,位于无源区中任一球面上得电位得平均值等于其球心得电位,而与球外得电荷分布无关。
2-25 已知可变电容器得最大电容量,最小电容量,外加直流电压为300V,试求使电容器由最小变为最大得过程中外力必须作得功。
解 在可变电容器得电容量由最小变为最大得过程中,电源作得功与外力作得功均转变为电场储能得增量,即
式中
因此,外力必须作得功为
2-26 若使两个电容器均为C 得真空电容器充以电压V 后,断开电源相互并联,再将其中之一填满介电常数为得理想介质,试求:①两个电容器得最终电位;②转移得电量。
解 两电容器断开电源相互并联,再将其中之一填满相对介电常数为理想介质后,两电容器得电容量分别为
两电容器得电量分别为,且
由于两个电容器得电压相等,因此
联立上述两式,求得
,
因此,两电容器得最终电位为
考虑到,转移得电量为
2-27 同轴圆柱电容器得内导体
半径为a,外导体半径为b,其
内一半填充介电常数为得介
质,另一半填充介质得介电常
数为,如习题图2-27所示。
当外加电压为V时,试求:①电容器中得电场
②各边界上得电荷密度;③电容及储能。解①设内导体得外表面上单位长度得
单
位长度得电量为。取内外导体之间一个同斯面,由高斯定理
求得
已知,在两种介质得分界面上电场强度得切向分量必须连续,即,求得
内外导体之间得电位差为
即单位长度内得电荷量为
故同轴电容器中得电场强度为
②由于电场强度在两种介质得分界面上无法向分量,故此边界上得电荷密度为零。
内导体得外表面上得电荷面密度为
;
外导体得内表面上得电荷面密度为
;
③单位长度得电容为
电容器中得储能密度为
2-28 一平板电容器得结构如习题图2-28所示,间距为d,极板面积为。试求:
①接上电压V时,移去介质前后电容器中得电场强度、电通密度、各边界上得电荷密度、电容及储能;
②断开电源后,再计算介质移去前后以上各个参数。
解①接上电场强度切向分量必须连续,因此,介质内外得强度为。但就是介质内外得电通密度不等,
两部分极
,
习题图2-28
电容器得电量 电容量为
电容器储能为
若接上电压时,移去介质,那么电容器中得电场强度为
电通密度为
极板表面自由电荷面密度为 电容器得电量为 电容量为
电容器得储能为
②断开电源后,移去介质前,各个参数不变。但就是若移去介质,由于极板上得电量不变,电场强度为
电通密度为
极板表面自由电荷面密度为 两极板之间得电位差为
电容量为
电容器得储能为
2-29 若平板电容器得结构如习题图2-29所示,尺寸同上题,计算上题中各种情况下得参数。
解 ①接上电压,介
密度均为,因此,介质内外得电场强度分别为
两极板之间得电位则
则电位移矢量为
; 极板表面自由电荷面密度为
;
介电常数为得介质在靠近极板一侧表面上束缚电荷面密度为
介电常数为与介电常数为得两种介质边界上得束缚电荷面密度为
此电容器得电量 则电容量为 电容器得储能为
接上电压时,移去介质后: 电场强度为 电位移矢量为
极板表面自由电荷面密度为 电容器得电量 电容量为 电容器得储能为
(2) 断开电源后,介质存在时,各个参数与接上电源时完全相同。但就是,
d/2
ε
习题图2-29
移去介质后,由于极板上得电量不变,电容器中电场强度为,电通密度为
极板表面自由电荷面密度为
两极板之间得电位差为 电容量为
电容器得储能为
2-30 已知两个电容器C 1及C 2得电量分别为q 1及q 2,试求两者并联后得总储能。若要求并联前后得总储能不变,则两个电容器得电容及电量应满足什么条件？
解 并联前两个电容器总储能为
并联后总电容为,总电量为,则总储能为
要使,即要求
方程两边同乘,整理后得
方程两边再同乘,可得
即
由此获知两个电容器得电容量及电荷量应该满足得条件为
2-31 若平板电容器中介电 常数为
平板面积为A ,间距为d ,如 习题2-31所示。试求平板电 容器得电容。 解 设极板上得电荷密度分别为,则由高斯定理,可得
电通密度,因此电场强度为
那么,两极板得电位差为
则电容量为
2-32 若平板空
气电容器得 电压为V ,极板面积为A , 间距为d ,如习题图2-32所 示。若将一块厚度为 得导体板平行地插入该平板 电容器中,试求外力必须作 得功。
解 未插入导体板之前,电容量。插入导体板后,可瞧作两个电容串联,其中一个电容器得电容,另一个电容器得电容,那么总电容量为
根据能量守恒原理,电源作得功与外力作得功均转变为电场能得增量,即
习题图2-31
习题图2-32
式中
则
2-33 已知线密度得无限长线电荷位于(1,0, z)处,另一面密度得无限大面电荷分布在x = 0平面。试求位于处电量得点电荷受到得电场力。 解 根据题意,两种电荷得位置如图2-33所示。由习题 2-10知,无限大面电荷在P 点产生得电场强度为
无限长线电荷在P 点产生得电场强度为
因此,P 点得总电场强度为
所以位于P 点得点电荷受到得电场力为
2-34 已知平板电容器得极板尺寸为,
间距为d ,两板间插入介质块得介电常数为,如习题图2-34所示。试求:①当接上电压V 时,插入介质块受得力;②电源断开后,再插入介质时,介质块得受力。
解 ①此时为常电位系统,因此
介质块受到得电场力为
式中x 为沿介质块宽边b 得位移。介质块插入后,引起电容改变。设插入深度x ,则电容器得
电容为
电容器得电场能量可表示为
那么介质块受到得x 方向得电场力为
② 此时为常电荷系统,因此介质块受到得电场力为
式中x 为沿介质块宽边b 得位移。
介质块插入后,极板电量不变,只有电容改变。此时电容器得电场能量可表示为
因此介质块受到得x 方向得电场力为
习题图2-34
习题图2-33
一、名词解释 1.通量、散度、高斯散度定理 通量：矢量穿过曲面的矢量线总数。（矢量线也叫通量线，穿出的为正，穿入的为负） 散度：矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。 高斯散度定理：任意矢量函数A的散度在场中任意一个体积内的体积分，等于该矢量函在限定该体积的闭合面的法线分量沿闭合面的面积分。 2.环量、旋度、斯托克斯定理 环量：矢量A沿空间有向闭合曲线C的线积分称为矢量A沿闭合曲线l的环量。其物理意义随A 所代表的场而定，当A为电场强度时，其环量是围绕闭合路径的电动势；在重力场中，环量是重力所做的功。 旋度：面元与所指矢量场f之矢量积对一个闭合面S的积分除以该闭合面所包容的体积之商，当该体积所有尺寸趋于无穷小时极限的一个矢量。 斯托克斯定理:一个矢量函数的环量等于该矢量函数的旋度对该闭合曲线所包围的任意曲面的积分。 3.亥姆霍兹定理 在有限区域V内的任一矢量场，由他的散度，旋度和边界条件（即限定区域V的闭合 面S上矢量场的分布）唯一的确定。 说明的问题是要确定一个矢量或一个矢量描述的场，须同时确定其散度和旋度 4.电场力、磁场力、洛仑兹力电场力：电场 力：电场对电荷的作用称为电力。 磁场力：运动的电荷，即电流之间的作用力，称为磁场力。 洛伦兹力：电场力与磁场力的合力称为洛伦兹力。 5.电偶极子、磁偶极子 电偶极子：一对极性相反但非常靠近的等量电荷称为电偶极子。 磁偶极子：尺寸远远小于回路与场点之间距离的小电流回路（电流环）称为磁偶极子。 6.传导电流、位移电流 传导电流：自由电荷在导电媒质中作有规则运动而形成的电流。 位移电流：电场的变化引起电介质内部的电量变化而产生的电流。 7.全电流定律、电流连续性方程 全电流定律（电流连续性原理）：任意一个闭合回线上的总磁压等于被这个闭合回线所包围的面内穿过的全部电流的代数和。 电流连续性方程： 8.电介质的极化、极化矢量 电介质的极化：把一块电介质放入电场中，它会受到电场的作用，其分子或原子内的正，负电荷将在电场力的作用下产生微小的弹性位移或偏转，形成一个个小电偶极子， 这种现象称为电介质的极化。 极化矢量P：单位体积内的电偶极矩矢量和。 9.磁介质的磁化、磁化矢量 磁介质的磁化：当把一块介质放入磁场中时，它也会受到磁场的作用，其中也会形成一个个 小的磁偶极子，这种现象称为介质的磁化。
第六章 时变电磁场 6.1 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场 5cos mT z e t ω=B 之中，如题6.1图所示。滑片的位置由0.35(1cos )m x t ω=-确定，轨 道终端接有电阻0.2R =Ω，试求电流i. 解 穿过导体回路abcda 的磁通为 5cos 0.2(0.7)cos [0.70.35(1cos )]0.35cos (1cos )z z d B ad ab t x t t t t ωωωωωΦ==?=?-=--=+?B S e e 故感应电流为 11 0.35sin (12cos ) 1.75sin (12cos )mA in d i R R dt t t t t R ωωωωωωΦ = =-=-+-+E 6.2 一根半径为a 的长圆柱形介质棒放入均匀磁场0z B =B e 中与z 轴平行。设棒以角 速度ω绕轴作等速旋转，求介质的极化强度、体积和表面上单位长度的极化电荷。 解 介质棒距轴线距离为r 处的感应电场为 00 z r r r B φωω=?=?=E v B e e B e 故介质棒的极化强度为 00000(1)()e r r r r B r B εεεωεεω==-=-P E e e X 极化电荷体密度为 200 00 11()()2()P rP r B r r r r B ρεεωεεω?? =-??=- =--??=--P 极化电荷面密度为 0000()()P r r r a e r a B σεεωεεω==?=-?=-P n B e 则介质体积和表面上同单位长度的极化电荷分别为 220020012()212()P P PS P Q a a B Q a a B πρπεεωπσπεεω=??=--=??=- 6.3 平行双线传输线与一矩形回路共面，如题6.3图所示。设0.2a m = 、0.1m b c d ===、7 1.0cos(210)A i t π=?，求回路中的感应电动势。
第二章 静电场 重点和难点 电场强度及电场线等概念容易接受，重点讲解如何由物理学中积分形式的静电场方程导出微分形式的静电场方程，即散度方程和旋度方程，并强调微分形式的场方程描述的是静电场的微分特性或称为点特性。 利用亥姆霍兹定理，直接导出真空中电场强度与电荷之间的关系。通过书中列举的4个例子，总结归纳出根据电荷分布计算电场强度的三种方法。 至于媒质的介电特性，应着重说明均匀和非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性等概念。讲解介质中静电场方程时，应强调电通密度仅与自由电荷有关。介绍边界条件时，应说明仅可依据积分形式的静电场方程，由于边界上场量不连续，因而微分形式的场方程不成立。 关于静电场的能量与力，应总结出计算能量的三种方法，指出电场能量不符合迭加原理。介绍利用虚位移的概念计算电场力，常电荷系统和常电位系统，以及广义力和广义坐标等概念。至于电容和部分电容一节可以从简。 重要公式 真空中静电场方程： 积分形式： ? = ?S S E 0 d εq ?=?l l E 0d 微分形式： ερ= ??E 0=??E 已知电荷分布求解电场强度： 1， )()(r r E ?-?=； ? ' '-'= V V d ) (41)(| r r |r r ρπε? 2， ? '''-'-'=V V 3 d |4) )(()(|r r r r r r E περ 3， ? = ?S S E 0 d εq 高斯定律
介质中静电场方程： 积分形式： q S =?? d S D ?=?l l E 0d 微分形式： ρ=??D 0=??E 线性均匀各向同性介质中静电场方程： 积分形式： ε q S = ?? d S E ?=?l l E 0d 微分形式： ε ρ= ??E 0=??E 静电场边界条件： 1， t t E E 21=。对于两种各向同性的线性介质，则 2 21 1εεt t D D = 2， s n n D D ρ=-12。在两种介质形成的边界上，则 n n D D 21= 对于两种各向同性的线性介质，则 n n E E 2211εε= 3，介质与导体的边界条件： 0=?E e n ； S n D e ρ=? 若导体周围是各向同性的线性介质，则 ε ρS n E = ； ε ρ? S n -=?? 静电场的能量：
第九章习题解答 9.1 设元天线的轴线沿东西方向放置，在远方有一移动接收台停在正南方而收到最大电场强度，当电台沿以元天线为中心的圆周在地面移动时，电场强度渐渐减小，问当电场强 时，电台的位置偏离正南多少度？ 解：元天线（电基本振子）的辐射场为 j k r j θ-=E e 可见其方向性函数为(),sin f θφθ=，当接收台停在正南方向（即090θ=）时，得到最大电场强度。由 s i n θ= 得 045θ= 此时接收台偏离正南方向045±。 9.2 上题中如果接收台不动，将元天线在水平面内绕中心旋转，结果如何？如果接收天线也是元天线，讨论收发两天线的相对方位对测量结果的影响。 解： 如果接收台处于正南方向不动，将天线在水平面内绕中心旋转，当天线的轴线转至沿东西方向时，接收台收到最大电场强度，随着天线地旋转，接收台收到电场强度将逐渐变小，天线的轴线转至沿东南北方向时，接收台收到电场强度为零。如果继续旋转元天线，收台收到电场强度将逐渐由零慢慢增加，直至达到最大，随着元天线地不断旋转，接收台收到电场强度将周而复始地变化。 当接收台也是元天线，只有当两天线轴线平行时接收台收到最大电场强度；当两天线轴线垂直时接收台收到的电场强度为零；当两天线轴线任意位置，接收台收到的电场强介于最大值和零值之间。 9.3 如题9.3图所示一半波天线，其上电流分布为() 11cos 2 2m I I kz z ??=-<< ??? （1）求证：当0r l >>时， 020 cos cos 22sin jkr m z I e A kr πθμπθ -?? ? ??= ? （2）求远区的磁场和电场； （3）求坡印廷矢量； （4）已知22 c o s c o s 20.609sin d π πθθθ ?? ? ?? =? ，求辐射电阻； （5）求方向性系数。 题9.3（1） 图 解：（1）沿z 方向的电流z I 在空间任意一点()0,P r θ产生的矢量磁位为
第一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）A B θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C 和()?A B C ；（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= = =e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11 （ 4 ） 由 c o s AB θ =1 1 2 3 8 = A B A B ， 得 1 c o s A B θ- =(135.5- = （5）A 在B 上的分量 B A =A c o s AB θ = =- A B B （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04 1502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 1 230 4 1 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 1014502 x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e 1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。 （1）判断123P P P ?是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。
电磁场与电磁波复习 第一部分 知识点归纳 第一章 矢量分析 1、三种常用的坐标系 （1）直角坐标系 微分线元：dz a dy a dx a R d z y x → → → → ++= 面积元：?????===dxdy dS dxdz dS dydz dS z y x ，体积元：dxdydz d =τ （2）柱坐标系 长度元：?????===dz dl rd dl dr dl z r ??，面积元??? ??======rdrdz dl dl dS drdz dl dl dS dz rd dl dl dS z z z r z r ????，体积元：dz rdrd d ?τ= （3）球坐标系 长度元：??? ??===?θθ? θd r dl rd dl dr dl r sin ，面积元： ?? ? ??======θ ?θ? θθθ??θθ?rdrd dl dl dS drd r dl dl dS d d r dl dl dS r r r sin sin 2，体积元：?θθτd drd r d sin 2= 2、三种坐标系的坐标变量之间的关系 （1）直角坐标系与柱坐标系的关系 ?? ?? ??? ==+=?????===z z x y y x r z z r y r x arctan ,sin cos 22??? （2）直角坐标系与球坐标系的关系 ? ?? ? ?? ??? =++=++=?????===z y z y x z z y x r r z r y r x arctan arccos ,cos sin sin cos sin 2 222 22?θθ?θ?θ （3）柱坐标系与球坐标系的关系 ?? ? ? ???=+=+=?????===??θθ??θ2 2'2 2''arccos ,cos sin z r z z r r r z r r 3、梯度 （1）直角坐标系中： z a y a x a grad z y x ??+??+??=?=→→→ μ μμμμ （2）柱坐标系中： z a r a r a grad z r ??+??+??=?=→→→ μ ?μμμμ?1 （3）球坐标系中：
第8章 电磁辐射 前面讨论了电磁波的传播问题，本章讨论电磁波的辐射问题。时变的电荷和电流是激发电磁波的源。为了有效地使电磁波能量按所要求的方向辐射出去，时变的电荷和电流必须按某种特殊的方式分布，天线就是设计成按规定方式有效地辐射电磁波能量的装置。 本章先讨论电磁辐射原理，再介绍一些常见的基本天线的辐射特性。 8.1滞后位 在洛仑兹条件下，电磁矢量位A 和标量位?满足的方程具有相同的形式 22 2t ?ρ ?μεε??-=-? （8.1.1） J A A μμε-=??-?222 t （8.1.2） 我们先来求标量位?满足的方程式（8.1.1）。该式为线性方程，其解满足叠加原理。设标量位?是由体积元'V ?内的电荷元'q V ρ?=?产生的，'V ?之外不存在电荷，则由式（8.1.1）'V ?之外的标量位?满足的方程 22 20t ? ?με??-=? （8.1.3） 可将q ?视为点电荷，它所产生的场具有球对称性，此时标量位?仅与r 、t 有关，与θ和φ无关，故在球坐标下，上式可简化为 222 210r r r r t ?? με?????-= ?????? （8.1.4） 设其解()() ,,U r t r t r ?= ，代入式（8.1.4）可得 012 2222=??-??t U v r U （8.1.5） 其中，με 1 = v 。该方程的通解为 (),()()r r U r t f t g t v v =-++ （8.1.6） 式中的()r f t v -和()r g t v +分别表示以()r t v -和()r t v +为变量的任意函数。所以q ?周围的 场为 ()11,()()r r r t f t g t r v r v ?= -++ （8.1.7） 式（8.1.7）中第一项代表向外辐射出去的波，第二项代表向内汇聚的波。在讨论发射天线的 电磁波辐射问题时，第二项没有实际意义，取0=g ，而f 的具体函数形式需由定解条件来确定。此时 ()1,()r r t f t r v ?= - （8.1.8）
第一章 矢量分析 重点和难点 关于矢量的定义、运算规则等内容可让读者自学。应着重讲解梯度、散度、旋度的物理概念和数学表示，以及格林定理和亥姆霍兹定理。至于正交曲面坐标系一节可以略去。 考虑到高年级同学已学过物理学，讲解梯度、散度和旋度时，应结合电学中的电位、积分形式的高斯定律以及积分形式的安培环路定律等内容，阐述梯度、散度和旋度的物理概念。详细的数学推演可以从简，仅给出直角坐标系中的表达式即可。讲解无散场和无旋场时，也应以电学中介绍的静电场和恒定磁场的基本特性为例。 至于格林定理，证明可免，仅给出公式即可，但应介绍格林定理的用途。 前已指出，该教材的特色之一是以亥姆霍兹定理为依据逐一介绍电磁场，因此该定理应着重介绍。但是由于证明过程较繁，还要涉及? 函数，如果学时有限可以略去。由于亥姆霍兹定理严格地定量描述了自由空间中矢量场与其散度和旋度之间的关系，因此应该着重说明散度和旋度是产生矢量场的源，而且也是惟一的两个源。所以，散度和旋度是研究矢量场的首要问题。 此外，还应强调自由空间可以存在无散场或无旋场，但是不可能存在既无散又无旋的矢量场。这种既无散又无旋的矢量场只能存在于局部的无源区中。 重要公式 直角坐标系中的矢量表示：z z y y x x A A A e e e A ++= 矢量的标积：代数定义：z z y y x x B A B A B A ++=?B A 几何定义：θcos ||||B A B A =? 矢量的矢积：代数定义：z y x z y x z y x B B B A A A e e e B A =? 几何定义：θsin ||B ||A e B A z =? 标量场的梯度：z y x z y ??+??+??=?Φ ΦΦΦe e e x 矢量场的散度：z A y A x A z y x ??+??+??= ??A 高斯定理：???=??S V V d d S A A 矢量场的旋度：z y x z y A A A z y x ?? ???? = ??e e e A x ； 斯托克斯定理： ???=???l S d d )(l A S A
第3章习题 习题3.3 解： （1） 由?-?=E 可得到 a <ρ时， 0=-?=?E a >ρ时， φρφρ?φρsin 1cos 12222??? ? ??-+???? ??+-=-?=a A e a A e E （2） 圆柱体为等位体且等于0，所以为导体制成，其电荷面密度为 φεεερρρρcos 2000A E e E e a a n s -=?=?=== 习题3.5 证： 根据高斯定律q S d D S =?? ，得 0R r <时。ρππ344312 r D r =，则0 01113,3εερεερr r r D E r D === 0R r >时。ρππ3443022 R D r =，则203002 223023,3r R D E r R D ερερ=== 则中心点的电位为 20 0200 203 020 13633)0(0 ερεερερεερ?R R dr r R dr r dr E dr E r R R R r R += +=+=?? ??∞ ∞ 习题3.8
解： 根据高斯定律q S d D S =?? ，得同轴线内、外导体间的电场强度为 περ ρ2)(l q E = 内、外导体间的电压为 a b q d q Ed U l b a b a l ln 22περπερ ρ= ==?? 则同轴线单位长度的电容为 ) /ln(2a b U q U Q C l πε = == 则同轴线单位长度的静电储能为 )/ln(422212122 2 a b q d q dV E W l b a l V e περπρπερεε=??? ? ??==?? 习题3.11 解： （1） 设同轴电缆中单位长度的径向电流为I ，电流密度 )(2c a I e J <<=ρπρ ρ 介质中的电场 )(21 1 1b a I e J E <<==ρπρσσρ )(22 2 2c b I e J E <<==ρπρσσρ 而 ? ?+= ?+?=b a b a b c I a b I d E d E U ln 2ln 221 210πσπσρρ ) /ln()/ln(2120 21b c a b U I σσσπσ+=
电磁场与电磁波（第四版）谢处方 课后答案 第一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B g ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C g 和()?A B C g ； （8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= ==+e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B g (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e g －11 （4）由 cos AB θ = ==A B A B g ，得 1cos AB θ- =(135.5=o （5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ ==A B B g （6）?=A C 1235 02 x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 041502 x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 123041 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C g (23)x y z +-e e e g (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C g (1014)x y z ---e e e g (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 1014502 x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e 1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。 （1）判断123 PP P ?是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。 解 （1）三个顶点1(0,1,2) P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 的位置矢量分别为 12y z =-r e e ，243x y z =+-r e e e ，3625x y z =++r e e e
电磁场与电磁波课程知识点汇总和公式
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电磁场与电磁波课程知识点总结与主要公式 1 麦克斯韦方程组的理解和掌握 （1）麦克斯韦方程组 ??????=?=??=?=?????-=???- =?????+=???+ =??s s l s l s s d B B Q s d D D s d t B l d E t B E s d t D J l d H t D J H 0 )( ρ 本构关系： E J H B E D σμε=== （2）静态场时的麦克斯韦方程组（场与时间t 无关） ????=?=??=?=??=?=??=?=??s s l l s d B B Q s d D D l d E E I l d H J H 0 000 ρ 2 边界条件 （1）一般情况的边界条件 n n n sT t t s n s n n s n t t n B B B B a J H H J H H a D D D D a E E E E a 21212121212121210 )())(0 )==-?=-=-?=-=-?==-? （（ρρ （2）介质界面边界条件（ρs = 0 J s = 0） n n n t t n n n n t t n B B B B a H H H H a D D D D a E E E E a 21212121212121210 )(0 )0 )(0 )==-?==-?==-?==-? （（
（1）基本方程 00 2 2 =?==?- =?=?=??=?=??? ??A A p s l l d E Q s d D D l d E E ???ε ρ ?ρ 本构关系： E D ε= （2）解题思路 ● 对称问题（球对称、轴对称、面对称）使用高斯定理或解电位方程（注 意边界条件的使用）。 ● 假设电荷Q ——> 计算电场强度E ——> 计算电位φ ——> 计算能 量ωe =εE 2/2或者电容（C=Q/φ）。 （3）典型问题 ● 导体球（包括实心球、空心球、多层介质）的电场、电位计算； ● 长直导体柱的电场、电位计算； ● 平行导体板（包括双导体板、单导体板）的电场、电位计算； ● 电荷导线环的电场、电位计算； ● 电容和能量的计算。 例 ： a b ρ r ε ρs r S a b ε q l 球对称 轴对称 面对称
第一章习题解答 给定三个矢量、和如下： 求：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）在上的分量；（6）； （7）和；（8）和。 解（1） （2） （3）－11 （4）由，得 （5）在上的分量 （6） （7）由于 所以 （8） 三角形的三个顶点为、和。 （1）判断是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。 解（1）三个顶点、和的位置矢量分别为 ，， 则，， 由此可见 故为一直角三角形。 （2）三角形的面积 求点到点的距离矢量及的方向。 解，， 则 且与、、轴的夹角分别为 给定两矢量和，求它们之间的夹角和在上的分量。 解与之间的夹角为 在上的分量为 给定两矢量和，求在上的分量。 解 所以在上的分量为 证明：如果和，则； 解由，则有，即 由于，于是得到 故 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设为一已知矢量，而，和已知，试求。
解由，有 故得 在圆柱坐标中，一点的位置由定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐标；（2）球坐标中的坐标。 解（1）在直角坐标系中、、 故该点的直角坐标为。 （2）在球坐标系中、、 故该点的球坐标为 用球坐标表示的场， （1）求在直角坐标中点处的和； （2）求在直角坐标中点处与矢量构成的夹角。 解（1）在直角坐标中点处，，故 （2）在直角坐标中点处，，所以 故与构成的夹角为 球坐标中两个点和定出两个位置矢量和。证明和间夹角的余弦为 解由 得到 一球面的半径为，球心在原点上，计算：的值。 解 在由、和围成的圆柱形区域，对矢量验证散度定理。 解在圆柱坐标系中 所以 又 故有 求（1）矢量的散度；（2）求对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求对此立方体表面的积分，验证散度定理。 解（1） （2）对中心在原点的一个单位立方体的积分为 （3）对此立方体表面的积分 故有 计算矢量对一个球心在原点、半径为的球表面的积分，并求对球体积的积分。 解 又在球坐标系中，，所以 求矢量沿平面上的一个边长为的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与轴和轴相重合。再求对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。 解 又
电磁场与电磁波课程知识点总结与主要公式 1 麦克斯韦方程组的理解和掌握 （1）麦克斯韦方程组 ??????=?=??=?=?????-=???- =?????+=???+ =??s s l s l s s d B B Q s d D D s d t B l d E t B E s d t D J l d H t D J H 0 )( ρ 本构关系： E J H B E D σμε=== （2）静态场时的麦克斯韦方程组（场与时间t 无关） ????=?=??=?=??=?=??=?=??s s l l s d B B Q s d D D l d E E I l d H J H 0 000 ρ 2 边界条件 （1）一般情况的边界条件 n n n sT t t s n s n n s n t t n B B B B a J H H J H H a D D D D a E E E E a 21212121212121210 )())(0 )==-?=-=-?=-=-?==-? （（ρρ （2）介质界面边界条件（ρs = 0 J s = 0） n n n t t n n n n t t n B B B B a H H H H a D D D D a E E E E a 21212121212121210 )(0 )0 )(0 )==-?==-?==-?==-? （（
（1）基本方程 00 2 2 =?==?- =?=?=??=?=??? ??A A p s l l d E Q s d D D l d E E ???ε ρ ?ρ 本构关系： E D ε= （2）解题思路 ● 对称问题（球对称、轴对称、面对称）使用高斯定理或解电位方程（注 意边界条件的使用）。 ● 假设电荷Q ——> 计算电场强度E ——> 计算电位φ ——> 计算能 量ωe =εE 2/2或者电容（C=Q/φ）。 （3）典型问题 ● 导体球（包括实心球、空心球、多层介质）的电场、电位计算； ● 长直导体柱的电场、电位计算； ● 平行导体板（包括双导体板、单导体板）的电场、电位计算； ● 电荷导线环的电场、电位计算； ● 电容和能量的计算。 例 ： ρ s 球对称 轴对称 面对称
第一章 习题解答 1.2解：⑴.A a =A A =149A ++ =（x a +2y a -3z a ）/14 ⑵cos A B θ =A ·B /A B A B θ=135.5o ⑶A ·B =-11, A ?B =-10x a -y a -4z a ⑷A ·（B ?C ）=-42 （A ?B ）·C =-42 ⑸A ?（B ?C ）=55x a -44y a -11z a （A ?B ）?C =2x a -40y a +5z a 1.3有一个二维矢量场F(r) =x a （-y ）+y a (x)，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图 形。 解：由dx/(-y)=dy/x,得2x +2y =c 1.6求数量场ψ=ln （2x +2y +2z ）通过点P （1，2，3）的等值面方程。 解：等值面方程为ln （2x +2 y +2z ）=c 则c=ln(1+4+9)=ln14 那么2x +2 y +2z =14 1.9求标量场ψ（x,y,z ）=62 x 3 y +z e 在点P （2，-1，0）的梯度。 解：由ψ?=x a x ψ??+y a y ψ??+z a z ψ??=12x 3y x a +182x 2y y a +z e z a 得 ψ?=-24x a +72y a +z a 1.10 在圆柱体2 x +2 y =9和平面x=0，y=0,z=0及z=2所包围的区域，设此区域的表面为S: ⑴求矢量场A 沿闭合曲面S 的通量，其中矢量场的表达式为 A =x a 32 x +y a （3y+z ）+z a (3z -x)
错误！未找到引用源。验证散度定理。 解：⑴??s d A =?? 曲+A d S ?? xoz +A d S ?? yoz +A d S ?? 上+A d S ?? 下 A d S ?? 曲 =232 (3cos 3sin sin )z d d ρθρθθρθ++?曲 =156.4 A d S ?? xoz = (3)y z dxdz +? xoz =-6 A d S ?? yoz =- 2 3x dydz ? yoz =0 A d S ?? 上 +A d S ?? 下=(6cos )d d ρθρθρ-?上+cos d d ρθρθ?下 =272π ? ?s d A =193 ⑵dV A V ???=(66)V x dV +?=6(cos 1)V d d dz ρθρθ+?=193 即：??s s d A =dV A V ??? 1.13 求矢量A =x a x+y a x 2y 沿圆周2x +2y =2 a 的线积分，再求A ?? 对此圆周所包围的表 面积分，验证斯托克斯定理。 解：??l l d A =2 L xdx xy dy +? =44a π A ?? =z a 2 y ????S s d A =2S y dS ? =22sin S d d θ ρρρθ? =44a π 即：??l l d A =????S s d A ，得证。 1.15求下列标量场的梯度： ⑴u=xyz+2 x u ?=x a u x ??+y a u y ??+z a u z ??=x a (yz+zx)+y a xz+z a xy ⑵u=42 x y+2 y z -4xz u ?=x a u x ??+y a u y ??+z a u z ??=x a (8xy-4z)+y a (42 x +2yz)+z a (2y -4x) ⑶u ?=x a u x ??+y a u y ??+z a u z ??=x a 3x+y a 5z+z a 5y
第二章 2-1 若真空中相距为d 的两个电荷q 1及q 2的电量分别为q 及4q ，当点电荷q '位于q 1及q 2的连线上时，系统处于平衡状态，试求q '的大小及位置。 解 要使系统处于平衡状态，点电荷q '受到点电荷q 1及 q 2的力应该大小相等，方向相反，即q q q q F F ''=2 1 。那么， 由 122 2 022 1 01244r r r q q r q q =?'= 'πεπε，同时考虑到d r r =+21，求得 d r d r 3 2 ,3121== 可见点电荷q '可以任意，但应位于点电荷q 1和q 2的连线上，且与点电荷1q 相距d 3 1 。 2-2 已知真空中有三个点电荷，其电量及位置分别为： ) 0,1,0( ,4 )1,0,1( ,1 )1,0,0( ,1332211P C q P C q P C q === 试求位于)0,1,0(-P 点的电场强度。 解 令321,,r r r 分别为三个电电荷的位置321,,P P P 到P 点的距离，则21=r ，32=r ，23=r 。 利用点电荷的场强公式r e E 2 04r q πε= ，其中r e 为点电 荷q 指向场点P 的单位矢量。那么，
1q 在P 点的场强大小为0 2 1 011814πεπε= = r q E ，方向为 ()z y r e e e +- =2 11。 2q 在P 点的场强大小为0 2 2 022121 4πεπε= =r q E ，方向为()z y x r e e e e ++- =3 12。 3q 在P 点的场强大小为0 2 3 033414πεπε= =r q E ，方向为 y r e e -=3 则P 点的合成电场强度为 ?? ???????? ??++???? ??+++-=++=z e e e E E E E y x 312128141312128131211 03 21πε 2-3 直接利用式（2-2-14）计算电偶极子的电场强度。 解 令点电荷q -位于坐标原点，r 为点电荷q -至场点P 的距离。再令点电荷q +位于+z 坐标轴上，1r 为点电荷q +至场点P 的距离。两个点电荷相距为l ，场点P 的坐标为（r,θ, ）。 根据叠加原理，电偶极子在场点P 产生的电场为 ???? ??-= 311304r r q r r E πε 考虑到r >> l ，1r e = e r ，θcos 1l r r -=，那么上式变为 r r r r r r r r q r r r r q e e E ??? ? ??+-=???? ??-=2121102122210))((44πεπε
第一章 给定三个矢量A u r ，B u r ，C u r ： A u r =x a u u r +2y a u u r -3z a u u r B u r = -4y a u u r +z a u u r C u r =5x a u u r -2z a u u r 求：⑴矢量A u r 的单位矢量A a u u r ； ⑵矢量A u r 和B u r 的夹角AB θ； ⑶A u r ·B u r 和A u r ?B u r ⑷A u r ·（B u r ?C u r ）和（A u r ?B u r ）·C u r ； ⑸A u r ?（B u r ?C u r ）和（A u r ?B u r ）?C u r 解：⑴A a u u r =A A u r u r =u r （x a u u r +2y a u u r -3z a u u r ） ⑵cos AB θu r u r =A u r ·B u r /A u r B u r AB θ=135.5o ⑶A u r ·B u r =-11, A u r ?B u r =-10x a u u r -y a u u r -4z a u u r ⑷A u r ·（B u r ?C u r ）=-42 （A u r ?B u r ）·C u r =-42 ⑸A u r ?（B u r ?C u r ）=55x a u u r -44y a u u r -11z a u u r （A u r ?B u r ）?C u r =2x a u u r -40y a u u r +5z a u u r 有一个二维矢量场F(r)r =x a u u r （-y ）+y a u u r (x)，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图形。 解：由dx/(-y)=dy/x,得2x +2y =c 求数量场ψ=ln （2x +2y +2z ）通过点P （1，2，3）的等值面方程。 解：等值面方程为ln （2x +2y +2 z ）=c
习题 1.1 已知z y x B z y x A ?2??;??3?2-+=-+= ，求:(a) A 和B 的大小（模）； (b) A 和B 的单位 矢量；(c) B A ?；(d) B A ?；(e)A 和B 之间的夹角；(f) A 在B 上的投影。 解：(a) A 和B 的大小 74.314132222222==++=++= =z y x A A A A A 45.2621122222 2==++=++==z y x B B B B B (b) A 和B 的单位矢量 z y x z y x A A a ?267.0?802.0?535.0)??3?2(74.31?-+=-+== z y x z y x B B b ?816.0?408.0?408.0)?2??(45 .21?-+=-+== (c) A B ? 7232=++=++=?z z y y x x B A B A B A B A (d) B A ? z y x z y x B B B A A A z y x B A z y x z y x ??3?52 11132??????-+-=--==? (e)A 和B 之间的夹角α 根据αcos AB B A =? 得 764.0163 .97 cos ==?=AB B A α 019.40=α (f) A 在B 上的投影 86.245 .27?==?=?B B A b A 1.2如果矢量A 、B 和C 在同一平面，证明A ·(B ?C )=0。 证明：设矢量A 、B 和C 所在平面为xy 平面 y A x A A y x ??+= y B x B B y x ??+= y C x C C y x ??+=
第一章 习题解答 1.2给定三个矢量A ，B ，C ： A =x a +2y a -3z a B = -4y a +z a C =5x a -2z a 求：错误！未找到引用源。矢量A 的单位矢量A a ； 错误！未找到引用源。矢量A 和B 的夹角AB θ； 错误！未找到引用源。A ·B 和A ?B 错误！未找到引用源。A ·（B ?C ）和（A ?B ）·C ； 错误！未找到引用源。A ?（B ?C ）和（A ?B ）?C 解：错误！未找到引用源。A a =A A = 149A ++ =（x a +2y a -3z a ）/14 错误！未找到引用源。cos AB θ =A ·B /A B AB θ=135.5o 错误！未找到引用源。A ·B =-11, A ?B =-10x a -y a -4z a 错误！未找到引用源。A ·（B ?C ）=-42 （A ?B ）·C =-42 错误！未找到引用源。A ?（B ?C ）=55x a -44y a -11z a （A ?B ）?C =2x a -40y a +5z a 1.3有一个二维矢量场F(r) =x a （-y ）+y a (x)，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图 形。 解：由dx/(-y)=dy/x,得2 x +2 y =c 1.6求数量场ψ=ln （2 x +2y +2 z ）通过点P （1，2，3）的等值面方程。
解：等值面方程为ln （2x +2y +2 z ）=c 则c=ln(1+4+9)=ln14 那么2 x +2y +2 z =14 1.9求标量场ψ（x,y,z ）=62 x 3y +z e 在点P （2，-1，0）的梯度。 解：由ψ?=x a x ψ??+y a y ψ??+z a z ψ??=12x 3 y x a +182x 2y y a +z e z a 得 ψ?=-24x a +72y a +z a 1.10 在圆柱体2 x +2 y =9和平面x=0，y=0,z=0及z=2所包围的区域，设此区域的表面为S: 错误！未找到引用源。求矢量场A 沿闭合曲面S 的通量，其中矢量场的表达式为 A =x a 32x +y a （3y+z ）+z a (3z -x) 错误！未找到引用源。验证散度定理。 解：错误！未找到引用源。??s d A = A d S ?? 曲 + A dS ?? xoz + A d S ?? yoz +A d S ?? 上 +A d S ?? 下 A d S ?? 曲 =232 (3cos 3sin sin )z d d ρθρθθρθ++?曲 =156.4 A dS ?? xoz = (3)y z dxdz +?xoz =-6 A d S ?? yoz =- 23x dydz ? yoz =0 A d S ?? 上+A d S ?? 下=(6cos )d d ρθρθρ-?上+cos d d ρθρθ?下=272π ??s d A =193 错误！未找到引用源。dV A V ???=(66)V x dV +?=6(cos 1)V d d dz ρθρθ+?=193 即：??s s d A =dV A V ??? 1.13 求矢量A =x a x+y a x 2 y 沿圆周2x +2 y =2a 的线积分，再求A ?? 对此圆周所包围的表 面积分，验证斯托克斯定理。 解：??l l d A =2 L xdx xy dy +? =44a π A ?? =z a 2 y