第二章静电场
重点和难点
电场强度及电场线等概念容易接受，重点讲解如何由物理学中积分 形式的静电场方程导出微分形式的静电场方程，即散度方程和旋度方 程，并强调微分形式的场方程描述的是静电场的微分特性或称为点特 性。
利用亥姆霍兹定理，直接导出真空中电场强度与电荷之间的关系。 通过书中列举的4个例子，总结归纳出根据电荷分布计算电场强度的三 种方法。
至于媒质的介电特性，应着重说明均匀和非均匀、线性与非线性、 各向同性与各向异性等概念。讲解介质中静电场方程时，应强调电通密 度仅与自由电荷有关。介绍边界条件时，应说明仅可依据积分形式的静 电场方程，由于边界上场量不连续，因而微分形式的场方程不成立。 关于静电场的能量与力，应总结出计算能量的三种方法，指出电场能量 不符合迭加原理。介绍利用虚位移的概念计算电场力，常电荷系统和常 电位系统，以及广义力和广义坐标等概念。至于电容和部分电容一节可 以从简。
重要公式
真空中静电场方程：
q
E d SE d l 0积分形式： Sl
EE 0微分形式：
已知电荷分布求解电场强度：
1(r )
1，E (r )(r )；(r )d V
4|rr|
V 0
2， E (r ) V 4 (r 0 )( | r r r r ) 3 |
d
V q
E d S 3，
高斯定律
S
1
介质中静电场方程：
E d l0
积分形式：D d S q
S l 微分形式：DE0
线性均匀各向同性介质中静电场方程：
q
E d SE d l0积分形式：
S l
微分形式：EE0
静电场边界条件：
1，E1t E2t。对于两种各向同性的线性介质，则
D 1tD t
2
12
2，D2n D1ns。在两种介质形成的边界上，则
D 1
2n
nD
对于两种各向同性的线性介质，则
E
2n
1 12
nE
3，介质与导体的边界条件：
e n E0；e n DS
若导体周围是各向同性的线性介质，则
S
S
E；
n n
静电场的能量：
2
2
1Q1 孤立带电体的能量：WQ
e
2C2
离散带电体的能量：
n
1
W e Q
i
12
i
i
111
分布电荷的能量：WVSl
eddd
Sl
VSl
222
1
静电场的能量密度：DE
w
e
2
对于各向同性的线性介质，则w
e 1
2
E
2
电场力：
库仑定律：F
4r
2 e r
d W
e
常电荷系统：F
q
常数
d l
dW
e
F
常电位系统：常数
d l
题解
2-1若真空中相距为d的两个电荷q1及q2的电量分别为q及4q，当
点电荷q位于q1及q2的连线上时，系统处于平衡状态，试求q的大小及位置。
解要使系统处于平衡状态，点电荷q受到点电荷q1及q2的力应该大
小相等，方向相反，即 F qF
q
1
q2 q。那么，由
4
q qqq 12 2
rr 22
21 r4r 0102
，同时考虑到rrd 1，求得
2
r 1 1 3
d, r 2 2 3
d 可见点电荷q 可以任意，但应位于点电荷q
1
和q 2 的连线上，且与点电 3
荷
1
q相距d
1
3
。
z
2-2已知真空中有三个点电荷，其
电量及位置分别为：q
1
q1C, 1
q1C, 2 P(0,0
1
P(1,0
2
,1)
,1) E3
q
2
q
3
P o
q4C, 3 P(0,1,
3
0) E1
试求位于P(0,1,0)点的电场强度。x
E2
解令r
1,r,r分别为三个电电荷
23
习题图2-2
的位置P
1,P,P到P点的距离，则r12，r23，r32。
23
利用点电荷的场强公式E
q
4r
2 e r，其中e r为点电荷q指向场点P的单位矢量。那么，
q在P点的场强大小为1
q1
1
E，方向为
1
2
8
4r
01
1
e r ee
y
1
2
z。
q在P点的场强大小为2
q1
2
E，方向为
2
2
12
4r 0
02
1
e r eee
2
xyz
3
。
q在P点的场强大小为3
q1
3
E，方向为e r e y
3
2 3
4
4r 03
则P点的合成电场强度为EEEE
123
111111
1 e
e
xy
4
1238212382123
e z
2-3直接利用式（2-2-14）计算电偶极子的电场强度。
解令点电荷q位于坐标原点，r为点电荷q至场点P的距离。再令
点电荷q位于+z坐标轴上，r为点电荷q至场点P的距离。两个点
1
4
电荷相距为l ，场点P 的坐标为（r,,）。
根据叠加原理，电偶极子在场点P 产生的电场为
E
q rr
1
33
4rr
01
考虑到r>>l ， e =e r ，cos
r 1rl ，那么上式变为
r 1
E 4 q 0 2 r 1 r r 22 r 1 2
e
r
4 q 0 (r 1 r)(r 1 22 rr
1
r )
e r
1 式中
1
2
1
22
1ll
r 1l2rlcos12cos
r2
2
rrr
2 1
l r
为变量，并将
1 l r
2 2 2 l
r cos 2 以在零点作泰勒展开。由于 lr ，略去高阶项后，得 r 1 1 1 r 1 l r cos 1 r r
l 2 cos 利用球坐标系中的散度计算公式，求出电场强度为
E
q1l1qlcosqlsin
cos e r e 233
θ
40rrr2r4r
00
2-4已知真空中两个点电荷的电量均为
6
210C ，相距为2cm ，如习
题图2-4所示。试求：①P 点的电位；②将电量为2106
C 的点电荷由
无限远处缓慢地移至P 点时，外力必须作的功。
P
r
m c 1
1cm1cm
解根据叠加原理，P 点的 习题图2-4
合成电位为
q
6
22.510V
4 0r
6
因此，将电量为210C 的点电荷由无限远处缓慢地移到P点，外力
5
必须做的功为Wq5J
2-5通过电位计算有限长线电荷
的电场强度。
z
解建立圆柱坐标系。令先电
荷沿z轴放置，由于结构以z轴对称，
2
场强与无关。为了简单起见，令场点位于yz平面。
zr
d l r 0
P
设线电荷的长度为L，密度为l，线电荷的中点位于坐标原l
o
dl
y
y
点，场点P的坐标为r,,z。
2
1
利用电位叠加原理，求得场点
P的电位为
4 l
L
2
dl
r
L
20
习题图2-5
式中
2
2
r0zlr。故
L
4
2
2
l
2
lnzlzlr
L
2
2
L
L
z
2
2
l
ln
2
4
0LL
zz
22
2
zr
2
r
因E，可知电场强度的z分量为
2
LL
2
zzr
l
Eln
z
z4z
0 z 2
L
z
2
L
2
2
r
22
6
11l
4 0 z L 2 2 r 2 z L 2
2 2
r
11l
4 r
2
0zL2zL2
11
rr
2 rrl
4rzL
r
222
0rzL22
2
l 4r
s insin
2 1
电场强度的r 分量为
2
LL 2
zzr
22l
Eln r
r4r
2 0 2
LL zzr
22
r
l
4
22 0zL2rzL2zL2
2 r
2 r
zL 222 2rzL2zL2r
2 1
l
4 r
2
02
zL2zL2zL 11
rrr
2
7
1
22
zL2zL2zL2 11
rrr
1
l
4r 0 1 tan 1 2 1 1 tan 1 1 tan
1 2
1
1
1 tan 1
2 2 1 tan 2 1 tan
1 2
2
l 1cos1cos
1
4r
2
l 4r
c oscos
1
2 式中
rr
a r cta n ,a r cta n
1L
2
L zz
22
，那么，合成电强为
E
4
l
r 0
s insin e 21z c os 2 c os 1 e r
当L 时，0,
1
2
，则合成电场强度为
E
l 2r
e r 可见，这些结果与教材2-2节例4完全相同。 2-6已知分布在半径为a 的半圆周上的电荷线密度
sin,0
，试求圆心处的电场强度。
l0
8
y
dl
o
a
x
解建立直角坐标，令线电荷位于 E
xy 平面，且以y 轴为对称，如习题 图2-6所示。那么，
习题图2-6
点电荷l
l
d
在圆心处产生的电场强度具有两个分量E x 和E y 。由于电荷分布以y 轴 为对称，因此，仅需考虑电场强度的 E 分量，即 y
dEdE
y 4 l
d l 2
0a
sin 考虑到dlad,sin ，代入上式求得合成电场强度为
l0 E e y 0 4 0 0 a s in 2 d 8 0 0
a e y
2-7已知真空中半径为a 的圆环上均匀地分布的线电荷密度为l ，试求 通过圆心的轴线上任一点的电位及电场强度。
z P
r o y
a
dl
解建立直角坐标，令圆环
xy
位于坐标原点，如习题图 2-7所示。那么，
习题图2-7
点电荷l
l
d
在z 轴上P 点产生的电位为
d ll
4 r
根据叠加原理，圆环线电荷在P 点产生的合成电位为
z
4 1 2a2a ll
dldl
00
r4r
02
0 l a
a 2 2 z
9
因电场强度E ，则圆环线电荷在P 点产生的电场强度为
E
az zl
e z e
z
z
2
2az 0
2
32
2-8设宽度为W ，面密度为
S 的带状电荷位于真空中， 试求空间任一点的电场强度。
z dx
w
2
w
2
y
y
o
x dx
r
w
w 2
x
P(x,y)
2
x
解建 立直角
(a)(b)坐标，
且令带 习题图2-8
状电荷
位于xz 平面内，如习题图2-8所示。带状电荷可划分为很多条宽度为dx 的无限长线电荷，其线密度为s dx 。那么，该无限长线电荷产生的电 场强度与坐标变量z 无关，即
d E
2
s d x r 0
e r 2 2
式中rxxy
xxy1
e r eee xx e
xyx
y
y
rrr
dx
s
得d Ee x xx e y
2
2 y
2xxy
w
dx
s
2
那么E w e x xx e y y
2
2
22xxy
10