第一章 习题解答
1.2给定三个矢量A ，B ，C
：
A =x a +2y a -3z a
B = -4y a +z a
C =5x a -2z a
求：错误！未找到引用源。矢量A
的单位矢量A a ；
错误！未找到引用源。矢量A 和B
的夹角AB θ； 错误！未找到引用源。A ·B 和A ?B
错误！未找到引用源。A ·（B ?C ）和（A ?B
）·C ；
错误！未找到引用源。A ?（B ?C ）和（A ?B ）?C
解：错误！未找到引用源。A a =A A
=
149A
++ =（x a +2y a -3z a ）/14 错误！未找到引用源。cos AB
θ =A ·B /A B
AB θ=135.5o
错误！未找到引用源。A ·B =-11, A ?B =-10x a -y a
-4z a 错误！未找到引用源。A ·（B ?C
）=-42
（A ?B
）·C =-42
错误！未找到引用源。A ?（B ?C ）=55x a -44y a
-11z a
（A ?B ）?C =2x a -40y a +5z a
1.3有一个二维矢量场F(r) =x a
（-y ）+y a (x)，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图
形。
解：由dx/(-y)=dy/x,得2
x +2
y =c
1.6求数量场ψ=ln （2
x +2y +2
z ）通过点P （1，2，3）的等值面方程。
解：等值面方程为ln （2x +2y +2
z ）=c 则c=ln(1+4+9)=ln14 那么2
x +2y +2
z =14
1.9求标量场ψ（x,y,z ）=62
x 3y +z
e 在点P （2，-1，0）的梯度。
解：由ψ?=x a x ψ??+y a y
ψ??+z a z ψ??=12x 3
y x a +182x 2y y a +z e z a 得
ψ?=-24x a +72y a +z a
1.10 在圆柱体2
x +2
y =9和平面x=0，y=0,z=0及z=2所包围的区域，设此区域的表面为S: 错误！未找到引用源。求矢量场A
沿闭合曲面S 的通量，其中矢量场的表达式为
A =x a 32x +y a
（3y+z ）+z a (3z -x)
错误！未找到引用源。验证散度定理。
解：错误！未找到引用源。??s d A
=
A d S ?? 曲
+
A dS ??
xoz
+
A d S ??
yoz
+A d S ?? 上
+A d S ?? 下
A d S ?? 曲
=232
(3cos 3sin sin )z d d ρθρθθρθ++?曲
=156.4
A dS ??
xoz
=
(3)y z dxdz +?xoz
=-6
A d S ??
yoz
=-
23x dydz ?
yoz
=0
A d S ?? 上+A d S ?? 下=(6cos )d d ρθρθρ-?上+cos d d ρθρθ?下=272π ??s d A
=193
错误！未找到引用源。dV A V
???=(66)V
x dV +?=6(cos 1)V
d d dz ρθρθ+?=193
即：??s
s d A
=dV A V
???
1.13 求矢量A =x a x+y a x 2
y 沿圆周2x +2
y =2a 的线积分，再求A ?? 对此圆周所包围的表
面积分，验证斯托克斯定理。
解：??l l d A =2
L
xdx xy dy +? =44a π
A ?? =z a 2
y
????S
s d A =2S y dS ? =22sin S
d d θ
ρρρθ? =44a π 即：??l
l d A =????S
s d A
，得证。
1.15求下列标量场的梯度： 错误！未找到引用源。u=xyz+2
x
u ?=x a u x ??+y a u y ??+z a u z
??=x a (yz+zx)+y a xz+z a xy
错误！未找到引用源。u=42
x y+2y z -4xz
u ?=x a u x ??+y a u y
??+z a u z ??=x a (8xy-4z)+y a (42
x +2yz)+z a (2y -4x)
错误！未找到引用源。u ?=x a u x ??+y a u y ??+z a u z
??=x a 3x+y a
5z+z a 5y
1.16 求下列矢量场在给定点的散度
错误！未找到引用源。A ??=x A x ??+y A y ??+z
A z ??=32x +32
y +3(1,0,1)|-=6
错误！未找到引用源。A
??=2xy+z+6z (1,1,0)|=2
1.17求下列矢量场的旋度。
错误！未找到引用源。A ?? =0
错误！未找到引用源。A ?? =x a （x -x ）+y a
（y -y ）+z a （z -z ）=0
1.19 已知直角坐标系中的点P(x,y,z)和点Q(x ’,y ’,z ’),求：
错误！未找到引用源。P 的位置矢量r 和Q 点的位置矢量'
r ；
错误！未找到引用源。从Q 点到P 点的距离矢量R
；
错误！未找到引用源。r ?? 和r
??；
错误！未找到引用源。1()R
?。
解：错误！未找到引用源。r =x a x+y a y+z a
z;
'
r =x a x ’+y a y ’+z a z ’
错误！未找到引用源。R =r -'r =x a （x -x ’）+y a
（y -y ’）+z a （z -z ’）
错误！未找到引用源。r ?? =0 , r
??=3
错误！未找到引用源。
22211
(')(')(')
R x x y y z z =
-+-+-
1
()R ?=(x a x ??+y a y
??+z a z ??)1R =-x a 212(')2x x R R --y a
212(')2y y R R --z a 2
12(')
2z z R R
- =-x
a 3
'x x R --y a
3'y y R --z a 3'z z R -
=-
31R [x a （x -x ’）+y a
（y -y ’）+z a （z -z ’）]
=-3R R
即：1()R ?=-3R
R
第二章 习题解答
2.5试求半径为a ，带电量为Q 的均匀带电球体的电场。
解：以带电球体的球心为球心，以r 为半径，作一高斯面， 由高斯定理
S
D dS ??
=Q ，及D E ε=
得，
错误！未找到引用源。 r ≤a 时，
由
S
D dS ??
=
224
433
Q
r a ππ?，得
3
4Qr D a π=
3
04Qr
E a
πε=
错误！未找到引用源。
r>a 时，
由
S
D dS ??
=Q ，得
3
4Qr D r
π=
3
04Qr
E r πε=
2.5 两无限长的同轴圆柱体，半径分别为a 和b （a
导体内、外导体上的电荷均匀分布，其电荷密度分别为1S ρ和2S ρ，求：
错误！未找到引用源。空间各处的电场强度；
错误！未找到引用源。两导体间的电压；
错误！未找到引用源。要使ρ>b 区域内的电场强度等于零，则1S ρ和2S ρ应满足什么关系？
解：错误！未找到引用源。以圆柱的轴为轴做一个半径为r 的圆柱高斯面，由高斯定理
S
D dS ??
=q
及D E ε=
得，
当0 S D dS ?? =q=0，得 D =0， E =0 当a ≤r ≤b 时，由 S D dS ?? =q,得D r l π?2?= 1S ρa l π?2? D =1S r e r ρ ，10S r a E e r ρε= 当b S D dS ?? =q,得D r l π?2?= 1S ρa l π?2?+2S ρb l π?2? D =12s s r a b e r ρρ+ ， E =12 0s s r a b e r ρρε+ 错误！未找到引用源。 1 1ab 0 0ln b b s s a a a a a E dr dr r b ρρεε?===?? 错误！未找到引用源。要使ρ>0的区域外电场强度为0，即： E =12 0s s r a b e r ρρε+ =0，得1S ρ=2s b a ρ- 2.9 一个半径为a 的薄导体球壳，在其内表面覆盖了一层薄的绝缘膜，球内充满总电量为Q 的电荷，球壳上又另充了电量为Q 的电荷，已知内部的电场为4 ()r r E a a = ，计算： 错误！未找到引用源。球内电荷分布； 错误！未找到引用源。球的外表面的电荷分布； 错误！未找到引用源。球壳的电位； 错误！未找到引用源。球心的电位。 解：错误！未找到引用源。由0 v E ρε?= ，得304 r a ερ6= 错误！未找到引用源。r E e E = 00s r r e D e E ρεε=?=?= 错误！未找到引用源。由高斯定理S D dS ?? =24r D π=q 当r ≥a 时，q=2Q ，Q=204a πε 222r Q a r ?πε= = 错误！未找到引用源。0 2a a Edl a ?==-? r a ???=+=2-2a 2.17一个有两层介质（1ε，2ε）的平行板电容器，两种介质的电导率分别为1σ和2σ，电容器极板的面积为S 。当外加压力为U 时，求： 错误！未找到引用源。电容器的电场强度； 错误！未找到引用源。两种介质分界面上表面的自由电荷密度； 错误！未找到引用源。电容器的漏电导； 错误！未找到引用源。当满足参数是1221σεσε=，问G/C=?(C 为电容器电容) 解：错误！未找到引用源。由11221n 2n E D E D ,J J U +==，得 212112U E d d σσσ= +，122112 U E d d σσσ=+ 错误！未找到引用源。两介质分界面的法线由1指向2 由2211s E E εερ-=，得 s ρ= 212112U d d εσσσ+122112 U d d εσσσ-+ 错误！未找到引用源。由11I J E S σ==，知 1 I S σ= 22112 U d d σσσ+ G= I U =122112 S d d σσσσ+ 错误！未找到引用源。1D S Q C U U = ==122112 S d d εσσσ+ G/C= 1 1 σε 3.1设一点电荷q 与无限大接地导体平面的距离为d ，如图3.1所示。求： （1）空间的电位分布和电场强度； （2）导体平面上感应电荷密度； （3）点电荷q 所受的力。 12012 2 2 2 2 2 2 333333021212122212220(1)(,,)(,,) 11( )41 1 ( ) 4() () [()()()] 4(2) z=0,2(x y z r x y z d r x y z d q r r q x y z d x y z d E q x x y y z d z d a a a r r r r r r r r x y d qd E x y d φπεπεφ πεπε=-=+= -= - ++-+++=-?+-=--+-+-==++=-++ 在导体平面上有则 3 2203 2222 222 00).2() (3) ()4(2)16z s z z a qd a E x y d q q q F a d d ρεππεπε==-++-==- 由库仑定律得 3.6两无限大接地平行板电极，距离为d ，电位分别为0和0U ，板间充满电荷密度为0x d ρ 的电荷，如题3.6图所示。求极板间的电位分布和极板上的电荷密度。 解：板间电位满足泊松方程 200ρφε?=- x d 边界条件为0(0)=0,(d)=U φφ 对方程进行两次积分得 3 01206ρφε=-++x C x C d 代入边界条件得002100,C ρε==+U d C d d 300000 ,()66所以板间电位分布为 ρρφεε=-++x U d x d d 200000 200000000 00000 () 26() 26 6 ()3 x=0极板上的电荷密度为 x=d 极板上的电荷密度为 ρρφεερερεερρερρ===-?=--==--=?=--=-?=- x x s x x sd x x d x U d E a d d x U d D E a d d U d a D d U d a D d 3.8 一个沿z 方向的长且中空的金属管，其横截面为矩形，金属管的三边保持零电位，而第 四边的电位为U ，如题3.8图所示。求： （1）当0=U U 时，管内的电位分布； （2）当0sin π=y U U b 时,管内的电位分布。 （1）电位分布满足拉普拉斯方程 222 220 0,0,00,0,0''''''''''''00 000 ()() ()()()()0()() ()()=()()()()0(1)()()即边界条件为分离变量,设代入方程并且两边同时除以得设则方程可写成以下形式φφ φφφφ φ φλλλλ=≤≤=≤≤=≤≤=≤≤???=+=??=====+==--=+x y b x a y b y x a y b x a x y U f x g y f x g y f x g y f x g y f x g y f x g y f x f x g y g y 0 (2) = (2)解方程并要求满足边界条件 0,0,0000得 只有时方程满足要求 y x a y b x a φφλ=≤≤=≤≤==> 222 ()sin( )解得n n n n g y y b b ππλ== 0,01,0 ()sinh( )将代入方程()并满足边界条件 解得φπ=≤≤==x y b n n n f x A x b sinh()sin()则ππ φ=n n n n A x y b b 则电位的通解为1sinh( )sin()ππ φ∞ ==∑n n n n A x y b b ,01 000101 sinh( )sin()sin()sin()0 sin()sin()2 sinh()sin()sinh()sin()代入边界条件得 两边同时乘以sin(y)并对y 从0到b 积分,并由 时时得 φππφπ ππ ππππ ππ=≤≤∞ ==∞=∞====≠====∑??∑?∑?x a y b n x a n b b b n n b n n U n n A a y U b b m b n m n m y y dy b b n m b n m y y dy b b n n A a y dy b b n n A a y b b 0sinh()2sin (3)(y)ππ==?m b dy b m A a b m U dy b 00(1)U=U (3)U (1cos )sinh()2时,由方程得 m b b m m A a m b πππ-= 0 01,3,541 (1,3,5) sinh() sinh( )4sin() sinh()则代入电位的通解求得电位为 m n U A m m m a b n x U n b y n n b a b ππ ππφππ∞ == ==∑ 00000(2)sin sin sin sin =(m=1)2 时 (y)(y)b b y U U b m y m U dy U dy b b b b U ππππ ==?? 010 10 (3)sinh()22sinh() sinh( )sin( ) sinh() 由方程得 则代入电位的通解求得电位为 b b U A a b U A a b x y b U b a b ππππφπ == = 3.9一个沿+y 方向无限长的导体槽，其底面保持电位为0U ，其余两面的电位为零，如图3.9所示。求槽内的电位函数。 222 22000 00 00 U 电位分布满足拉普拉斯方程即边界条件为x x a y y x y C φφφφφφ φ ====∞ ???=+=??==== ''''''''()() ()()()()0()()()()=()() 分离变量,设代入方程并且两边同时除以得设则f x g y f x g y f x g y f x g y f x g y f x g y φλλ=+==- ''''x 0x ()()0(1)()()0 (2) (1)00方程可写成以下形式解方程并要求满足边界条件 得 a f x f x g y g y λλφφ==+=-=== 22n 2y y a n y a 0()sin(x) a a 2,C ()sin()a n n n n n n n n f x g y A e n A x e ππλππ λφπ φ=∞-->=====只有时方程满足要求解得将代入方程()并满足边界条件 解得则 y a 1 0y 001 00a 0001 sin()a sin( x)a x x a a sin()sin()2sin()sin()0sin x sin(x)sin()a a n n n n n a m a a n n n A x e U n U A m n m a m n x x dx A a a n m m n x x dx a a m n m a U A x dx a ππ φφπ π ππππ πππ∞ -==∞ =∞======≠==∑∑??∑??则电位的通解为 代入边界条件得两边同时乘以sin()并对从0到积分,并由 时时得 ()=00 y 0a 1,3,52(1cos )24(1,3,5) 4sin()a m m m n n A a a U m A m U A m m U n x e n ππππ π φπ ∞ -=-====∑ 既则代入电位的通解方程得 4.3若半径为a 、电流为I 的无线长圆柱导体置于空气中，已知导体的磁导率为0μ，求导体内、外的磁场强度H 和磁通密度B 。 解：（1）导体内：0≤ρ 由安培环路定理，? ?l l d H ='I ' I =2 2.I a πρπ=22I a ρ 所以，21. 2 2I H a ρπρ=，122I H a ρπ= ， 122I H e a ?ρπ→ → = ， 011022I B H e a ?μρμπ→→→== （2）导体外：a ≤ρ<+∞ ??l l d H =I, 所以2.2H I πρ=,22I H e ?πρ→→ =，022I B e ?μπρ→→= 4.5 在下面的矢量中，哪些可能是磁通密度B ？如果是，与它相应的电流密度J 为多少？ （1）F a ρ ρ→→ = 解: 1..()F F ρρρρ → ? ?=?=1.2ρρ=2≠0 所以F →不是磁通密度 （2）F → =-x a → y+y a → x 解：?.F → =y x ?- ?+x y ??=0 所以F 是磁通密度 B → ??=0μJ → =|x y z e e e x y z y x 0 →→→ ??? ???-=2z e → 所以 J →= 02μz e → （3）F → =x a → x —y a → y ?.F →=0 F → 是磁通密度 B → ??=0μJ → =|x y z e e e x y z x y →→→ ??? ???-=0 所以J → =0 （4）F → =a ?→ -r ?.F →=0 所以F → 是磁通密度 B →??=r 2a a a r sin r sin r r 20r sin 0?θθθθ?θ → →→ ??????-=r a →-θcot +2a θ→=0μJ → 所以J →=0cot θμ-r a →+ 2μa θ→ 4.6已知某电流在空间产生的磁矢位是A → =x a → 2 x y+y a → x 2 y +z a → （2y —2 z ） 求磁感应强度B → 解：B → =A → ??=| x y z 2e e e x y z 2 22 x y xy y z →→→ ??? ???-=2y x e →+z e → （2y —2 z ） 4.13已知钢在某种磁饱和情况下的磁导率为1μ=20000μ，当钢中的磁通密度为 B 1= 0.5× 102 T ，1θ= 75°时，试求此时的磁力线由钢进入自由空间一侧后，磁通密度2B 的大小及 2B 与法线的夹角2θ。 解：由折射定律得 1122 tan tan θμθμ= 所以2tan θ=12μμ1tan θ 2θ=0 0.107 1n 2n B B = 即 1122B c o s B c o s θθ= 2B =1 12 cos B cos θθ 2B =20.1310-?T 4.15通有电流1I 的平行直导线，两轴线距离为d ，两导线间有一载有电流2I 的矩形线圈，求两平行直导线对线圈的互感。 解：左边长直导线作用：B 02I μπρ = 所以 b R 01 m1s a R 01I B d s cd 2I c b R ln 2a R μ??πρ μπ→→ ++=?=?+= +?? 右边长直导线作用 d a R 01 m2s d b R 01I B d s cd 2I c d a R ln 2d b R μ??πρ μπ→→ ----=?=?--= --?? 合成后 m m1m2 01I c b R d a R ln 2a R d b R ???μπ=++--????= ???+--???? M= m 1 I ?= 0c b R d a R ln 2a R d b R μπ+--???? ???+--???? 4.17无限炒年糕直导线附近有一矩形回路，回路与导线不共面。证明：它们之间的互感为 M= ()01 1222222a R ln 22b R C b R μπ-?? -++???? 解：B 02I μπρ = ， () 1 22 1 2222R C b c 01 m s R I B d s ad 2μ?ρπρ ??? ???-++ ?→→ ???? ??? =?=??? =01I a 2μπ （ln () 1 2 2 1 222 2R C b c ??? ???-++ ? ????? ?? —lnR ）= ()011 1222222aI R ln 22b R C b R μπ-?? -++???? 所以互感M= m 1I ?=()01 1222222a R ln 22b R C b R μπ-?? -++???? 5.3设y=0为两种磁介质的分界面，y<0为媒质1，其磁导率为1μ，y>0为媒质2，其磁导率 为2μ，分界面上有电流密度s x J 2a A/m = 分布的面电流，已知媒质1中磁场强度为 123/x y z H a a a A m =++ 求媒质2中磁场强度2H 解： m A a a a H a n J H H n z y x y S /52)(2 12 1212 ++=-==-?μμ其中则由到媒质设电磁波由媒质 5.6已知在空气中，电场强度矢量为9 0.1sin(10)cos(610)/y E a x t z V m ππβ=?- 求磁场强 度H 和相位常数β 解： 3939,0.2310sin(10)cos(61054.41) 0.1310cos(10)sin(61054.14) 20/x z E jwB B H H a x t z a x t z rad m μππππηωμεωνπ--??=-==-??--??-==÷= 由得相位常数： 5.7自由空间中，已知电场强度矢量为4cos()3cos()x y E a t z a t z ωβωβ=-+- 求（1）磁 场强度的复数表达式（2）坡印廷矢量的瞬时表达式（3）平均坡印廷矢量 解: (1) m /4)e a 3a (120113e a e 4a z j -y x z -j y z -j x )(V B H B j E E z βββπ μω -==-=??+=得 由 (2) z) -t (cos 245a H E S z) -t 4)cos(a 3a (1201z)-t 3cos(a z)-t cos(4a 2z y x ),(y x )t ,(βωπβωπ βωβω =?=-=+=所以t z z H E w/m 2 (3) () [] ππ485)43()34(120121H E Re 21 S av z y x y x a a a a a =-?+=?=* 5.9 将下列复数形式的场矢量变换成瞬时表达式，或作用反的变换 （1）43j z j z x y E a e a je ββ--=+ ()()2 (,)4Re[]3Re[] 4cos()3cos() 2 4cos()3sin() j t z j t z z t x y x y x y E a e a e a t z a t z a t z a t z πωβωβπωβωβωβωβ-+-=+=-+-+=--- （2）4sin()sin()cos()cos()x z E a x t z a x t z a a ππωβωβ=-+- (,)()()2 ()2 ()4sin()cos()cos()cos() 24sin()Re[]cos()Re[] 4sin()cos()4sin()cos()z t x z j t z j t z x z j z j z z x z j z j z x z E a x t z a x t z a a a x e a x e a a E a x e a x e a a a j x e a x e a a π ωβωβπββββπππωβωβππππππ--------=--+-=+=+=-+ （3）cos()2sin()x y E a t z a t z ωβωβ=-+- (,)()()2 ()cos()2cos() 2 Re[]2Re[]2z t x y j t z j t z x y j z j z z x y E a t z a t z a e a e E a e a je π ωβωβββπωβωβ-----=-+--=+=- （4）sin 3cos(cos )jkz y x E a j k e θ θ-= (sin )2 ()(sin )2 (,)3cos(cos )3cos(cos )Re[] 3cos(cos )cos(sin ) 2 3cos(cos )sin(sin ) j kz z y x j t kz z t y x y x y x E a k e E a k e a k t kz a k t kz πθπωθθθπθωθθωθ---+===-+=-- （5）2sin()y E a t z ωβ?=-+ (,)()() ()2cos() 2 2Re[]2z t y j t z y j z z y E a t z a j e E a je ωβφβφπωβφ-+-+=-+-=-=- 5.12 对于线性，均匀和各向同性导电媒质，设媒质的介电常数为，磁导率为电导率为，试 证明无源区域中时谐电磁场所满足的波动方程为2 222E jw E k E H jw H k H μσμσ?=-?=- 式中22k w με= 解: H k H j H H H j H H H j H H H E H H H E j E H E j E D j J H 222 2220 )j ()()(j )() (-=?-=?∴=??-?+=?-???-=??????+?=???+??=????+=+=??ωμσμεωωμσωμωεσωμωεσωεσω即代入上式 将 E k E j E 2 2 :-=?ωμσ同理 5.15设电场强度和磁场强度分别为cos() cos() o e o m E E t H H t ωφωφ=+=+ 求其平均坡印廷矢量。00()00001Re[] 2 1Re[] 21 ()Re[] 2 1 ()cos() 2 e m e m j j j e m S E H E e H e E H e E H φφφφφφ*--=?=?=?=?- 6.2 自由空间中一均匀平面波的磁场强度为 )cos()(0x wt H a a H z y π-+= m A / 求：（1）波的传播方向；（2）波长和频率；（3）电场强度; （4）瞬时坡印廷矢量。 解：)cos()(0x wt H a a H z y π-+= m A / (1) 波沿+x 方向传播 (2) 由题意得：k=π rad/m ， 波长m k 22== πλ ， 频率Hz c f 8 105.1?==λ （3）)cos(120 )(0x wt H a a a H E z y x ππη--=?= m v / （4）)(cos 24020x wt H a H E S x ππ-=?= 2/m w 6.3无耗媒质的相对介电常数4=r ε，相对磁导率1=r μ，一平面电磁波沿+z 方向传播，其 电场强度的表达式为)106cos(80z t E a E y β-?= 求：（1）电磁波的相速；（2）波阻抗和β；（3）磁场强度的瞬时表达式；（4）平均坡印廷矢量。 解： （1）s m c v r r p /105.11 8?== = εμμε （2）)(6000Ω=== πεεμμεμηr r ， m r a d c w w r r /4== =εμμεβ （3）)4106cos(60180z t E a E a H x z -?-=?= π η m A / （4） π120]Re[21 20*E a H E S z av =?= 2 /m w 6.4一均匀平面波从海水表面（x=0）沿+x 方向向海水中传播。在x=0处，电场强度为 m v t a E y /)10cos(1007π =，若海水的80=r ε，1=r μ，m s /4=γ。 求：（1）衰减常数、相位常数、波阻抗、相位速度、波长、趋肤深度； （2）写出海水中的电场强度表达式； （3）电场强度的振幅衰减到表面值的1%时，波传播的距离； （4）当x=0.8m 时，电场和磁场得表达式； （5）如果电磁波的频率变为f=50kHz ，重复（3）的计算。比较两个结果会得到什么结论？ 解： （1） ) /(9.82 ) /(9.8222 11800m r a d m Np r == ≈== ∴>>==ωμγ βπωμγ αεωεγωεγ s m v j j p /1053.3)1(2 )1(26?==Ω+=+== β ω πγωμεμη m m c 11.01 707.02== == α δβ π λ (2)m v x t e a E x y /)9.810cos(10079.8-=-π (3)m x e x 52.0%19.8=∴=- (4)4 )1(2π ππ ηj e j =+= x j x y e e a E 9.89.8100 --= m A x e a e H H m A e e a E a H x z t j j x j x z x /)4 9.810cos(100 ]Re[/100179.849.89.8π πππ ηωπ--==∴=?=∴---- 当x=0.8m 时， m A t a H m v t a E z y /)9.710cos(026.0/)11.710cos(082.077-=-=ππ （5）当f=50KHz 时， m Np f /89.02 === μγπωμγ α m x e x 2.5% 189.0=∴=∴- 结论：频率越大，电磁波衰减越快。 6.5判断下面表示的平面波的极化形式： （1）)sin(2)cos(z wt a z wt a E y x ββ-+-= （2）)cos()sin(z wt a z wt a E y x ββ-+-= （3）)sin(5)sin(z wt a z wt a E y x ββ-+-= 一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B g ； （4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C g 和()?A B C g ；（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= ==-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B g (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e g －11 （4）由 cos AB θ ===A B A B g ，得 1cos AB θ- =(135.5=o （5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ ==A B B g （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04 1502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 123041 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C g (23)x y z +-e e e g (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C g (1014)x y z ---e e e g (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 1014502x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e A．电磁场理论B基本概念 1．什么是等值面？什么是矢量线？ 等值面——所有具有相同数值的点组成的面 ★空间中所有的点均有等值面通过； ★所有的等值面均互不相交； ★同一个常数值可以有多个互不相交的等值面。 矢量线（通量线）---- 一系列有方向的曲线。 线上每一点的切线方向代表该点矢量场方向， 而横向的矢量线密度代表该点矢量场大小。 例如，电场中的电力线、磁场中的磁力线。 2．什么是右手法则或右手螺旋法则？本课程中的应用有哪些？（图） 右手定则是指当食指指向矢量A的方向，中指指向矢量B的方向，则大拇指的指向就是矢量积C=A*B的方向。 右手法则又叫右手螺旋法则，即矢量积C=A*B的方向就是在右手螺旋从矢量A转到矢量B的前进方向。 本课程中的应用： ★无限长直的恒定线电流的方向与其所产生的磁场的方向。 ★平面电磁波的电场方向、磁场方向和传播方向。 3．什么是电偶极子？电偶极矩矢量是如何定义的？电偶极子的电磁场分布是怎样的？ 电偶极子——电介质中的分子在电场的作用下所形成的一对等值异号的点电荷。 电偶极矩矢量——大小等于点电荷的电量和间距的乘积，方向由负电荷指向正电荷。 4.麦克斯韦积分和微分方程组的瞬时形式和复数形式； 积分形式： 微分方式： （1）安培环路定律 （2）电磁感应定律 （3）磁通连续性定律 （4）高斯定律 5.结构方程 6.什么是电磁场边界条件？它们是如何得到的？（图） 边界条件——由麦克斯韦方程组的积分形式出发，得到的到场量在不同媒质交界面上应满足的关系式（近似式）。 边界条件是在无限大平面的情况得到的，但是它们适用于曲率半径足够大的光滑曲面。 7.不同媒质分界面上以及理想导体表面上电磁场边界条件及其物理意义； （1）导电媒质分界面的边界条件 ★ 导电媒质分界面上不存在传导面电流，但可以有面电荷。 在不同媒质分界面上，电场强度的切向分量、磁场强度的切向分量和磁感应强度的法向分量永远是连续的 （2）理想导体表面的边界条件 ★ 理想导体内部，时变电磁场处处为零。导体表面可以存在时变的面电流和面电荷。 电磁场与电磁波复习题 一、填空题 1、矢量的通量物理含义是矢量穿过曲面的矢量线总数，散度的物理意义矢量场中任 意一点处通量对体积的变化率。散度与通量的关系是矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。 2、 散度在直角坐标系的表达式 z A y A x A z y x A A ??????++ = ??=ρ ρdiv ； 散度在圆柱坐标系下的表达 ； 3、矢量函数的环量定义矢量A 沿空间有向闭合曲线C 的线积分， 旋度的定义 过点P 作一微小曲面S,它的边界曲线记为L,面的法线方与曲线绕向成右 手螺旋法则。当S 点P 时,存在极限环量密度。二者的关系 n dS dC e A ρρ?=rot ； 旋度的物理意义点P 的旋度的大小是该点环量密度的最大值；点P 的旋度的方向是该 点最 大环量密度的方向。 4.矢量的旋度在直角坐标系下的表达式 。 5、梯度的物理意义标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数。梯度的大小为该点 标量函数 ?的最大变化率，即该点最 大方向导数;梯度的方向为该点最大方向导数的 方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向等值面、方向导数与 梯度的关系是梯度的大小为该点标量函数 ?的最大变化率，即该点最 大方向导数; 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数 的增加方向.； 6、用方向余弦cos ,cos ,cos αβγ写出直角坐标系中单位矢量l e r 的表达 式 ； 7、直角坐标系下方向导数 u ?的数学表达式是 ，梯度的表达式 8、亥姆霍兹定理的表述在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定，说明的问题是矢量场的散度应满足的关系及旋度应满足的关系决定了矢量场的基本性质。 9、麦克斯韦方程组的积分形式分别为 ()s l s s l s D dS Q B E dl dS t B dS D H dl J dS t ?=??=-??=?=+????????r r r r r r r r g r r r r r g ???? 其物理描述分别为 10、麦克斯韦方程组的微分形式分别为 2 0E /E /t B 0 B //t B c J E ρεε??=??=-????=??=+??r r r r r r r 其物理意义分别为 11、时谐场是激励源按照单一频率随时间作正弦变化时所激发的也随时间按照正弦变化的 场， 一般采用时谐场来分析时变电磁场的一般规律，是因为任何时变周期函数都可以用正弦函数表示的傅里叶级数来表示；在线性条件下，可以使用叠加原理。 12、坡印廷矢量的数学表达式 2 0S c E B E H ε=?=?r r r r r ，其物理意义表示了单 位面积的瞬时功率流或功率密度。功率流的方向与电场和磁场的方向垂直。表达式 ()s E H dS ??r r r g ?的物理意义穿过包围体积v 的封闭面S 的功率。 13、电介质的极化是指在外电场作用下，电介质中出现有序排列电偶极子以及表面上出 第六章 时变电磁场 6.1 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场 5cos mT z e t ω=B 之中，如题6.1图所示。滑片的位置由0.35(1cos )m x t ω=-确定，轨道终端接有电阻0.2R =Ω，试求电流i. 解 穿过导体回路abcda 的磁通为 5cos 0.2(0.7) cos [0.70.35(1cos )]0.35cos (1cos )z z d B ad ab t x t t t t ωωωωωΦ==?=?-=--=+? B S e e 故感应电流为 11 0.35sin (12cos ) 1.75sin (12cos )mA in d i R R dt t t t t R ωωωωωωΦ = =-=-+-+E 6.2 一根半径为a 的长圆柱形介质棒放入均匀磁场0z B =B e 中与z 轴平行。设棒以角 速度ω绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。 解 介质棒内距轴线距离为r 处的感应电场为 00z r r r B φωω=?=?=E v B e e B e 故介质棒内的极化强度为 00000(1)()e r r r r B r B εεεωεεω==-=-P E e e X 极化电荷体密度为 200 00 11()()2()P rP r B r r r r B ρεεωεεω?? =-??=- =--??=--P 极化电荷面密度为 0000()()P r r r a e r a B σεεωεεω==?=-?=-P n B e 则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为 220020012()212()P P PS P Q a a B Q a a B πρπεεωπσπεεω=??=--=??=- 6.3 平行双线传输线与一矩形回路共面，如题6.3图所示。设0.2a m =、0.1m b c d ===、7 1.0cos(210)A i t π=?，求回路中的感应电动势。 电磁场与电磁波理论基础自学指导书 课程简介：电磁场理论是通信技术的理论基础，是通信专业本科学生必须具备的知识结构的重要组成部分之一。使学生掌握电磁场的有关定理、定律、麦克斯韦方程等的物理意义及数学表达式。使学生熟悉一些重要的电磁场问题的数学模型（如波动方程、拉氏方程等）的建立过程以及分析方法。培养学生正确的思维方法和分析问题的能力，使学生对"场"与"路"这两种既密切相关又相距甚远的理论有深刻的认识，并学会用"场"的观点去观察、分析和计算一些简单、典型的场的问题。为以后的学习和工作打下坚实的理论基础。 第一章矢量分析场论初步 1主要内容 本章从矢量分析入手，介绍了标量场和矢量场的基本概念，学习了矢量的通量、散度以及散度定理，矢量的环流、旋度以及斯托克斯定理，标量的梯度，以及上述的物理量在圆柱和球坐标系下的表达形式，最后介绍了亥姆霍兹定理，该定理说明了研究一个矢量场从它的散度和旋度两方面入手。通过本章的学习，使学生掌握场矢量的散度、旋度和标量的梯度的概念和数学计算为以后的电磁场分析打下基础。 2学习要求 深刻理解标量场和矢量场的概念；深刻理解散度、旋度和梯度的概念、物理意义及相关定理； 熟练使用直角坐标、圆柱坐标和球坐标进行矢量的微积分运算； 了解亥姆霍兹定理的内容。 3重点及难点 重点：在直角坐标、圆柱坐标和球坐标中计算矢量场的散度和旋度、标量场的梯度以及矢量的线积分、面积分和体积分。 难点：正确理解和掌握散度、旋度和梯度的概念及定理，可以借助流体的流量和涡旋等自然界中比较具体而形象的相似问题来理解。 4思考题合作业 1.4, 1.8, 1.9, 1.11, 1.14, 1.16, 1.24 第二章静电场 1主要内容 本章我们从点电荷的库仑定律发，推导出静电场的基本方程（微分表达及积分表达），该基本方程第一组与静电场的散度和通量有关（高斯定律），第二组有关静电场的环量和旋度，推导的过程运用了叠加原理。由静电场的基本方程中的环量和旋度的基本方程，我们引入了电位的概念，并给出了电场强度与电位之间的关系以及电位的计算公式。运用静电场的基本方程及电位可以解决静电场中的场源互求问题（已知源求场或已知场求源）。然后介绍了电偶极子的概念，推导了电偶极子的电场强度与电位的表达式。接着介绍了介质的极化，被极化的分子可等效为电偶极子，所以介质极化产生的电位就可以借用电偶极子的相关结论。由极化介质的电位公式我们推导了介质中的高斯定律，在该定律中引入了一个新的量— 电磁场与电磁波试题及答案 1.麦克斯韦的物理意义：根据亥姆霍兹定理，矢量场的旋度和散度都表示矢量场的源。麦克斯韦方程表明了电磁场和它们的源之间的全部关系：除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。 1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。 2.答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为,,0,D B H J E B D t t ρ????=+ ??=-??=??=??，(3分)（表明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁 场也是电场的源。 1.简述集总参数电路和分布参数电路的区别： 2.答：总参数电路和分布参数电路的区别主要有二：（1）集总参数电路上传输的信号的波长远大于传输线的几何尺寸；而分布参数电路上传输的信号的波长和传输线的几何尺寸可以比拟。（2）集总参数电路的传输线上各点电压（或电流）的大小与相位可近似认为相同，无分布参数效应；而分布参数电路的传输线上各点电压（或电流）的大小与相位均不相同，呈现出电路参数的分布效应。 1.写出求解静电场边值问题常用的三类边界条件。 2.答：实际边值问题的边界条件可以分为三类：第一类是整个边界上的电位已知，称为“狄利克莱”边界条件；第二类是已知边界上的电位法向导数，称为“诺依曼”边界条件；第三类是一部分边界上电位已知，而另一部分上的电位法向导数已知，称为混合边界条件。 1.简述色散效应和趋肤效应。 2.答：在导电媒质中，电磁波的传播速度（相速）随频率改变的现象，称为色散效应。在良导体中电磁波只存在于导体表面的现象称为趋肤效应。 1.在无界的理想媒质中传播的均匀平面波有何特性？在导电媒质中传播的均匀平面波有何特性？ 2. 在无界的理想媒质中传播的均匀平面波的特点如下：电场、磁场的振幅不随传播距离增加而衰减，幅度相差一个实数因子η（理想媒质的本征阻抗）；时间相位相同；在空间相互垂直，与传播方向呈右手螺旋关系，为TEM 波。 在导电媒质中传播的均匀平面波的特点如下：电磁场的振幅随传播距离增加而呈指数规律衰减；电、磁场不同相，电场相位超前于磁场相位；在空间相互垂直，与传播方向呈右手螺旋关系，为色散的TEM 啵。 1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。 2. 时变场的一般边界条件 2n D σ=、20t E =、2t s H J =、20n B =。 (或矢量式2n D σ=、20n E ?=、 2s n H J ?=、20n B =) 1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。 2. 答矢量位,0B A A =????=；动态矢量位A E t ??=-?- ?或A E t ??+=-??。库仑规范与洛仑兹规范的作用都 是限制A 的散度，从而使A 的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。 1. 简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义 2. s A ds φ=??? 是矢量A 穿过闭合曲面S 的通量或发散量。若Ф> 0，流出S 面的通量大于流入的通量，即通量由S 面内向外扩散，说明S 面内有正源若Ф< 0，则流入S 面的通量大于流出的通量，即通量向S 面内汇集，说明S 面内有负源。若Ф=0，则流入S 面的通量等于流出的通量，说明S 面内无源。 1. 证明位置矢量 x y z r e x e y e z =++ 的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关。 2. 证明在直角坐标系里计算 ，则有 ()()x y z x y z r r e e e e x e y e z x y z ? ? ?????=++?++ ?????? 3x y z x y z ???= ++=??? 若在球坐标系里计算，则 23 22 11()()()3r r r r r r r r r ????= ==??由此说明了矢量场的散度与坐标的选择无关。 《电磁场与电磁波》试卷1 一. 填空题（每空2分,共40分） 1．矢量场的环流量有两种特性：一是环流量为0，表明这个矢量场 无漩涡流动 。另一个是环流量不为0，表明矢量场的 流体沿着闭合回做漩涡流动 。 2．带电导体内静电场值为 0 ，从电位的角度来说，导体是一个 等电位体 ，电荷分布在导体的 表面 。 3．分离变量法是一种重要的求解微分方程的方法，这种方法要求待求的偏微分方程的解可以表示为 3个 函数的乘积，而且每个函数仅是 一个 坐标的函数，这样可以把偏微分方程化为 常微分方程 来求解。 4．求解边值问题时的边界条件分为3类，第一类为 整个边界上的电位函数为已知 ，这种条件成为狄利克莱条件。第二类为已知 整个边界上的电位法向导数 ，成为诺伊曼条件。第三类条件为 部分边界上的电位为已知，另一部分边界上电位法向导数已知 ，称为混合边界条件。在每种边界条件下，方程的解是 唯一的 。 5．无界的介质空间中场的基本变量B 和H 是 连续可导的 ，当遇到不同介质的分 界面时，B 和H 经过分解面时要发生 突变 ，用公式表示就是 12()0n B B ?-=，12()s n H H J ?-=。 6．亥姆霍兹定理可以对Maxwell 方程做一个简单的解释：矢量场的 旋度 ，和 散度 都表示矢量场的源，Maxwell 方程表明了 电磁场 和它们的 源 之间的关系。 二．简述和计算题（60分） 1．简述均匀导波系统上传播的电磁波的模式。（10分） 答：（1）在电磁波传播方向上没有电场和磁场分量，即电场和磁场完全在横平面内，这种模式的电磁波称为横电磁波，简称TEM 波。 （2）在电磁波传播方向上有电场和但没有磁场分量，即磁场在横平面内，这种模式的电磁波称为横磁波，简称TM 波。因为它只有纵向电场分量，又成为电波或E 波。 （3）在电磁波传播方向上有磁场但没有电场分量，即电场在横平面内，这种模式的电磁波称为横电波，简称TE 波。因为它只有纵向磁场分量，又成为磁波或M 波。 从Maxwell 方程和边界条件求解得到的场型分布都可以用一个或几个上述模式的适当幅相组合来表征。 2．写出时变电磁场的几种场参量的边界条件。（12分） 解：H 的边界条件 12()s n H H J ?-= E 的边界条件 电磁场与电磁波复习材料 简答 1． 简述恒定磁场的性质，并写出其两个基本方程。 2． 试写出在理想导体表面电位所满足的边界条件。 3． 试简述静电平衡状态下带电导体的性质。 答：静电平衡状态下，带电导体是等位体，导体表面为等位面；（2分） 导体内部电场强度等于零，在导体表面只有电场的法向分量。（3分） 4． 什么是色散？色散将对信号产生什么影响？ 答：在导电媒质中，电磁波的传播速度随频率变化的现象称为色散。 （3分） 色散将使信号产生失真，从而影响通信质量。 （2分） 5．已知麦克斯韦第二方程为t B E ??- =?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 6．试简述唯一性定理，并说明其意义。 7．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 8．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 9．简述亥姆霍兹定理，并说明其意义。 答：当一个矢量场的两类源(标量源和矢量源)在空间的分布确定时，该矢量场就唯一地确定了，这一规律称为亥姆霍兹定理。 （3分） 亥姆霍兹定理告诉我们，研究任意一个矢量场（如电场、磁场等），需要从散度和旋度两个方面去研究，或者是从矢量场的通量和环量两个方面去研究 10．已知麦克斯韦第二方程为S d t B l d E S C ???-=???，试说明其物理意义，并写出方程的微 分形式。 答：其物理意义：随时间变化的磁场可以产生电场。 （3分） 方程的微分形式： 11．什么是电磁波的极化？极化分为哪三种？ 答：电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹称为极化。（2分） 极化可以分为：线极化、圆极化、椭圆极化。 12．已知麦克斯韦第一方程为 t D J H ??+ =?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 1.麦克斯韦的物理意义：根据亥姆霍兹定理，矢量场的旋度和散度都表示矢量场的源。麦克斯韦方程表明了电磁场和它们的源之间的全部关系：除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。 1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。 2.答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为,,0,D B H J E B D t t ρ????=+ ??=-??=??=??，(3分)（表明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁 场也是电场的源。 1.简述集总参数电路和分布参数电路的区别： 2.答：总参数电路和分布参数电路的区别主要有二：（1）集总参数电路上传输的信号的波长远大于传输线的几何尺寸；而分布参数电路上传输的信号的波长和传输线的几何尺寸可以比拟。（2）集总参数电路的传输线上各点电压（或电流）的大小与相位可近似认为相同，无分布参数效应；而分布参数电路的传输线上各点电压（或电流）的大小与相位均不相同，呈现出电路参数的分布效应。 1.写出求解静电场边值问题常用的三类边界条件。 2.答：实际边值问题的边界条件可以分为三类：第一类是整个边界上的电位已知，称为“狄利克莱”边界条件；第二类是已知边界上的电位法向导数，称为“诺依曼”边界条件；第三类是一部分边界上电位已知，而另一部分上的电位法向导数已知，称为混合边界条件。 1.简述色散效应和趋肤效应。 2.答：在导电媒质中，电磁波的传播速度（相速）随频率改变的现象，称为色散效应。在良导体中电磁波只存在于导体表面的现象称为趋肤效应。 1.在无界的理想媒质中传播的均匀平面波有何特性？在导电媒质中传播的均匀平面波有何特性？ 2. 在无界的理想媒质中传播的均匀平面波的特点如下：电场、磁场的振幅不随传播距离增加而衰减，幅度相差一个实数因子η（理想媒质的本征阻抗）；时间相位相同；在空间相互垂直，与传播方向呈右手螺旋关系，为TEM 波。 在导电媒质中传播的均匀平面波的特点如下：电磁场的振幅随传播距离增加而呈指数规律衰减；电、磁场不同相，电场相位超前于磁场相位；在空间相互垂直，与传播方向呈右手螺旋关系，为色散的TEM 啵。 1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。 2. 时变场的一般边界条件 2n D σ=、20t E =、2t s H J =、20n B =。 (或矢量式2n D σ=、20n E ?=、 2s n H J ?=、20n B =) 1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。 2. 答矢量位,0B A A =????=；动态矢量位A E t ??=-?- ?或A E t ??+=-??。库仑规范与洛仑兹规范的作用都 是限制A 的散度，从而使A 的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。 1. 简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义 2. s A ds φ=??? 是矢量A 穿过闭合曲面S 的通量或发散量。若Ф> 0，流出S 面的通量大于流入的通量，即通 量由S 面内向外扩散，说明S 面内有正源若Ф< 0，则流入S 面的通量大于流出的通量，即通量向S 面内汇集，说明S 面内有负源。若Ф=0，则流入S 面的通量等于流出的通量，说明S 面内无源。 1. 证明位置矢量 x y z r e x e y e z =++ 的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关。 2. 证明在直角坐标系里计算 ，则有 ()()x y z x y z r r e e e e x e y e z x y z ? ? ?????=++?++ ?????? 3x y z x y z ???= ++=??? 若在球坐标系里计算，则 23 22 11()()()3r r r r r r r r r ????===??由此说明了矢量场的散度与坐标的选择无关。 1. 在直角坐标系证明0A ????= 2. 第一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）A B θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C 和()?A B C ；（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= = =e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11 （ 4 ） 由 c o s AB θ =1 1 2 3 8 = A B A B ， 得 1 c o s A B θ- =(135.5- = （5）A 在B 上的分量 B A =A c o s AB θ = =- A B B （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04 1502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 1 230 4 1 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 1014502 x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e 1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。 （1）判断123P P P ?是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。 《电磁场与电磁波》试题1 填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导磁率为μ ，则磁感应强度B 和磁场H 满足的方程 为： 。 2．设线性各向同性的均匀媒质中， 02=?φ称为 方程。 3．时变电磁场中，数学表达式H E S ?=称为 。 4．在理想导体的表面， 的切向分量等于零。 5．矢量场 )(r A 穿过闭合曲面S 的通量的表达式为： 。 6．电磁波从一种媒质入射到理想 表面时，电磁波将发生全反射。 7．静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于 。 8．如果两个不等于零的矢量的 等于零，则此两个矢量必然相互垂直。 9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合 关系。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用 函数的旋度来表 示。 二、简述题 （每小题5分，共20分） 11．已知麦克斯韦第二方程为 t B E ??-=?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 12．试简述唯一性定理，并说明其意义。 13．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 14．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 三、计算题 （每小题10分，共30分） 15．按要求完成下列题目 （1）判断矢量函数y x e xz e y B ??2+-= 是否是某区域的磁通量密度？ （2）如果是，求相应的电流分布。 16．矢量z y x e e e A ?3??2-+= ，z y x e e e B ??3?5--= ，求 （1）B A + （2）B A ? 17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为 （1） 试写出其时间表达式； （2） 说明电磁波的传播方向； 四、应用题 （每小题10分，共30分） 18．均匀带电导体球，半径为a ，带电量为Q 。试求 （1） 球内任一点的电场强度 （2） 球外任一点的电位移矢量。 2009——2010学年第一学期期末考试 ?电磁场与微波技术?试卷A 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题2分，共20分) 1. 静电场是( ) A. 无散场 B. 旋涡场 C.无旋场 D. 既是有散场又是旋涡场 2. 已知(23)()(22)x y z D x y e x y e y x e =-+-+- ，如已知电介质的介电常数为0ε，则自由电荷密度ρ为( ) A. B. 1/ C. 1 D. 0 3. 磁场的标量位函数的单位是( ) A. V/m B. A C. A/m D. Wb 4. 导体在静电平衡下，其内部电场强度( ) A.为零 B.为常数 C.不为零 D.不确定 5. 磁介质在外部磁场作用下，磁化介质出现( ) A. 自由电流 B. 磁化电流 C. 传导电流 D. 磁偶极子 6. 磁感应强度与磁场强度的一般关系为( ) A.H B μ= B.0H B μ= C.B H μ= D.0B H μ= 7. 极化强度与电场强度成正比的电介质称为( )介质。 A.各向同性 B. 均匀 C.线性 D.可极化 8. 均匀导电媒质的电导率不随( )变化。 A.电流密度 B.空间位置 C.时间 D.温度 9. 磁场能量密度等于( ) A. E D B. B H C. 21E D D. 2 1B H 10. 镜像法中的镜像电荷是( )的等效电荷。 A.感应电荷 B.原电荷 C. 原电荷和感应电荷 D. 不确定 二、填空题(每空2分，共20分) 1. 电场强度可表示为_______的负梯度。 2. 体分布电荷在场点r 处产生的电位为_______。 0ε0ε 第2章习题解答 2.2已知半径为a 、长为l 的圆柱体内分布着轴对称的体电荷，已知其电荷密度()0V a ρρρρ =， ()0a ρ≤≤。试求总电量Q 。 解：2π20000 2d d d d π3 l a V V Q V z la a ρρ ρρρ?ρ= ==? ? ?? 2.3 半径为0R 的球面上均匀分布着电荷，总电量为Q 。当球以角速度ω绕某一直径(z 轴)旋转时，试求 其表面上的面电流密度。 解：面电荷密度为 2 04πS Q R ρ= 面电流密度为 002 00 sin sin sin 4π4πS S S Q Q J v R R R R ωθ ρρωθωθ=?== = 2.4 均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流0S S J e J ?=。已知导线的直径为d ，导线中的电流为0I ，试 求0S J 。 解：每根导线的体电流密度为 00 22 4π(/2)πI I J d d = = 由于导线是均匀密绕，则根据定义面电流密度为 04πS I J Jd d == 因此，等效面电流密度为 04πS I J e d ?= 2.6 两个带电量分别为0q 和02q 的点电荷相距为d ，另有一带电量为0q 的点电荷位于其间。为使中间的 点电荷处于平衡状态，试求其位置。当中间的点电荷带电量为-0q 时，结果又如何？ 解：设实验电荷0q 离02q 为x ，那么离0q 为x d -。由库仑定律，实验电荷受02q 的排斥力为 12 214πq F x ε= 实验电荷受0q 的排斥力为 022 1 4π()q F d x ε= - 要使实验电荷保持平衡，即21F F =，那么由0022 211 4π4π() q q x d x εε=-，可以解得 d d x 585.01 22=+= 如果实验电荷为0q -，那么平衡位置仍然为d d x 585.01 22=+=。只是这时实验电荷与0q 和02q 不 是排斥力，而是吸引力。 2.7 边长为a 的正方形的三个顶点上各放置带电量为0q 的点电荷，试求第四个顶点上的电场强度E 。 解：设点电荷的位置分别为()00,0,0q ，()0,0,0q a 和()00,,0q a ，由库仑定律可得点(),,0P a a 处的电 场为 ( ) ( 00 2 22 00001114π4π4π221x y y x x y q q q E e e e e a a q e e εεε? =+++ ?+=+ 《电磁场与电磁波》试题2 一、填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的介电常数为ε，则电位移矢量D ?和电场E ? 满足的 方程为： 。 2．设线性各向同性的均匀媒质中电位为φ，媒质的介电常数为ε，电荷体密度为V ρ，电位 所满足的方程为 。 3．时变电磁场中，坡印廷矢量的数学表达式为 。 4．在理想导体的表面，电场强度的 分量等于零。 5．表达式()S d r A S ? ????称为矢量场)(r A ? ?穿过闭合曲面S 的 。 6．电磁波从一种媒质入射到理想导体表面时，电磁波将发生 。 7．静电场是保守场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于 。 8．如果两个不等于零的矢量的点积等于零，则此两个矢量必然相互 。 9．对横电磁波而言，在波的传播方向上电场、磁场分量为 。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是 场，因此，它可用磁矢位函数的旋度来表示。 二、简述题 （每小题5分，共20分） 11．试简述磁通连续性原理，并写出其数学表达式。 12．简述亥姆霍兹定理，并说明其意义。 13．已知麦克斯韦第二方程为S d t B l d E S C ???????-=???，试说明其物理意义，并写出方程的微 分形式。 14．什么是电磁波的极化？极化分为哪三种？ 三、计算题 （每小题10分，共30分） 15．矢量函数 z x e yz e yx A ??2+-=? ，试求 （1）A ? ?? （2）A ? ?? 16．矢量 z x e e A ?2?2-=? ， y x e e B ??-=? ，求 （1）B A ? ?- （2）求出两矢量的夹角 1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。 2.答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为 ,,0,D B H J E B D t t ρ????=+??=-??=??=??v v v v v v v ，(3分)（表明了电磁场和它们的源之 间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。 1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。 2. 时变场的一般边界条件 2n D σ=、20t E =、2t s H J =、20n B =。 (或矢量式2n D σ=v v g 、20n E ?=v v 、2s n H J ?=v v v 、20n B =v v g ) 1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。 2. 答矢量位,0B A A =????=v v v ；动态矢量位A E t ??=-?-?v v 或A E t ??+=-??v v 。库仑规范 与洛仑兹规范的作用都是限制A v 的散度，从而使A v 的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。 1. 简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义 2. s A ds φ=???v v ò 是矢量A 穿过闭合曲面S 的通量或发散量。若Ф> 0，流出S 面的通量大于流入的通量，即通量由S 面内向外扩散，说明S 面内有正源若Ф< 0，则流入S 面的通量大于流出的通量，即通量向S 面内汇集，说明S 面内有负源。若Ф=0，则流入S 面的通量等于流出的通量，说明S 面内无源。 1. 证明位置矢量x y z r e x e y e z =++r r r r 的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择 《电磁场与电磁波》试题1 一、填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导磁率为，则磁感应强度和磁场满足的方程为：。 2．设线性各向同性的均匀媒质中，称为方程。 3．时变电磁场中，数学表达式称为。 4．在理想导体的表面，的切向分量等于零。 5．矢量场穿过闭合曲面S的通量的表达式为：。 6．电磁波从一种媒质入射到理想表面时，电磁波将发生全反射。 7．静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于。 8．如果两个不等于零的矢量的等于零，则此两个矢量必然相互垂直。 9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合关系。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用函数的旋度来表示。 二、简述题（每小题5分，共20分） 11．已知麦克斯韦第二方程为，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 12．试简述唯一性定理，并说明其意义。 13．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 14．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 三、计算题（每小题10分，共30分） 15．按要求完成下列题目 （1）判断矢量函数是否是某区域的磁通量密度？ （2）如果是，求相应的电流分布。 16．矢量，，求 （1） （2） 17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为 （1）试写出其时间表达式； （2）说明电磁波的传播方向； 四、应用题（每小题10分，共30分） 18．均匀带电导体球，半径为，带电量为。试求 （1）球内任一点的电场强度 （2）球外任一点的电位移矢量。 19．设无限长直导线与矩形回路共面，（如图1所示）， （1）判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向（在图中标出）；（2）设矩形回路的法向为穿出纸面，求通过矩形回路中的磁通量。 20．如图2所示的导体槽，底部保持电位为，其余两面电位为零，（1）写出电位满足的方程； （2）求槽内的电位分布 第1章习题解答 1.4 计算下列标量场u 的梯度u ? ： （1）234u x y z =； （2）u xy yz zx =++； （3）222323u x y z =-+。 解：（1） 34224233234x y z x y z u u u u e e e e xy z e x y z e x y z x y z ????=++=++??? （2）()()()x y z x y z u u u u e e e e y z e x z e y x x y z ????=++=+++++??? （3）646x y z x y z u u u u e e e e x e y e z x y z ????=++=-+??? 1.6 设()22,,1f x y z x y y z =++。试求在点()2,1,3A 处f 的方向导数最大的方向的单位矢量及其方向导 数。方向导数最小值是多少？它在什么方向？ 解： ()2222x y z x y z f f f f e e e e xy e x yz e y x y z ????=++=+++??? 因为410x y z x y z A f f f f e e e e e e x y z ????=++=++??? 所以 ( max 410l x y z f e e e e l ?==++? ( min 410l x y z f e e e e l ?==-++? 1.10 求下列矢量场在给定点的散度值： （1）()x y z A xyz e x e y e z =++ 在()1,3,2M 处； （2）242x y z A e x e xy e z =++ 在()1,1,3M 处； （3）())1222x y z A e x e y e z x y z =++++ 在()1,1,1M 处。 解：（1） 222636y x z M A A A A xyz xyz xyz xyz A x y z ?????=++=++=??=??? （2）42212y x z M A A A A x z A x y z ?????= ++=++??=??? （3）y x z A A A A x y z ?????=++ ??? ( )( )( ) 2222 2222 2222 3 3 3 x y z x x y z y x y z z ++-++-++ -= + + = M A ??= v1.0 可编辑可修改 1 ())] 43(cos[31,,z x t-e t z x H +=πωπ y ωz x z k y k x k z y x ππ43+=++π3=x k 0=y k π4=z k )/(5)4()3(2 2222m rad k k k k z y x πππ=+=++=λ π 2= k ) (4.02m k ==π λ c v f ==λ)(105.74 .010388 Hz c f ?=?= = λ )/(101528s rad f ?==ππω ) /(31),() 43(m A e e z x H z x j y +-=ππ ) /()243254331120),(),(),() 43()43(m V e e e e e e e k k z x H e z x H z x E z x j z x z x z x j y n +-+--=+? ?=?=?=πππ π πππηη（() [])/()43(cos 2432),,(m V z x t e e t z x E z x +--=πω ())] 43(cos[31 ,,z x t-e t z x H +=πωπ y () []() [])/()43(cos 322431)] 43(cos[31 )43(cos 243222m W z x t e e z x t-e z x t e e H E S z x z x +-+=+?+--=?=πωπ πωπ πωy () )43(2432),(z x j z x e e e z x E +--=π)43(31),(z x j y e e z x H +-=ππ () () )/(322461312432Re 21Re 212* )43() 43(*m W e e e e e e e H E S z x z x j y z x j z x av +=?????????????????-=??? ???= +-+-ππππ z 00 x φ==0 x a φ==00001 (,)()()(sin cos )(sinh cosh ) (3) n n n n n n n n n x y A x B C y D A k x B k x C k y D k y φ∞ ==+++ ++∑(0,)0 (0)y y b φ=≤< 0001 0()(sinh cosh ) n n n n n n B C y D B C k y D k y ∞ ==+++∑y 0b →0(0,1,2,) n B n ==0001 (,)()sin (sinh cosh ) n n n n n n n x y A x C y D A k x C k y D k y φ∞ ==+++∑(,)0(0)a y y b φ=≤< 0001 0()sin (sinh cosh ) n n n n n n n A a C y D A k a C k y D k y ∞ ==+++∑y 0b →00A =sin 0(1,2,)n n A k a n ==n A 0φ≡sin 0n k a = (1,2,) n n k n a π==1 (,)sin (sinh cosh )n n n n n x n y n y x y A C D a a a πππφ∞ ==+∑ (,0)0 (0)x x a φ=≤≤ 1 0sin n n n n x A D a π∞ ==∑ 0a →0n A ≠ 0(1,2,)n D n == 1(,)sin sinh n n n x n y x y A a a ππφ∞ ='=∑ n n n A A C '= 0 (,)(0)x b U x a φ=≤≤ 01 sin sinh n n n x n b U A a a ππ∞ ='=∑ n A '(0,)a sin n x a π????? ? 01 sin n n n x U f a π∞ ==∑ 002sin a n n x f U dx a a π= ?041,3,5,0 2,4,6, U n n n π?=?=??=? sinh n n f A n b a π'=041,3,5,sinh 02,4,6,U n n b n a n ππ? =?? =??=?? 1,3, 41(,)sin sinh sinh n U n x n y x y n b a a n a ππφππ ∞ == ∑ ) 0(0),0(b y y <≤=?)0(0),(b y y a <≤=?)0(0)0,(a x x ≤≤=?) 0(),(0 a x U b x ≤≤=?02= ??(完整版)电磁场与电磁波答案(第四版)谢处方
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