《导数的概念》教学设计
王学江
一、【教材分析】
1. 本节内容：
《导数的概念》这一小节分“曲线的切线”，“瞬时速度与瞬时加速度”，“导数的概念”，“导数的几何意义”四个部分展开，大约需要4个课时．第一、二课时学习“曲线的切线”，“瞬时速度”，今天说的是第三课时的内容导数概念的形成.
2. 导数在高中数学中的地位与作用：
“导数的概念”是全章核心.不仅在于它自身具有非常严谨的结构，更重要的是，导数运算是一种高明的数学思维，用导数的运算去处理函数的性质更具一般性，获得更为理想的结果；把运算对象作用于导数上，可使我们扩展知识面，感悟变量，极限等思想，运用更高的观点和更为一般的方法解决或简化中学数学中的不少问题；导数的方法是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具，在在其它学科中同样具有十分重要的作用；在物理学，经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都有广泛的应用.导数的出现推动了人类事业向前发展.
二、【学情分析】
1. 有利因素：学生已较好地掌握了函数极限的知识，又刚刚学过曲线的切线、瞬时速度，并积累了大量的关于函数变化率的经验；另外，学生思维较活跃，对数学新内容的学习，有相当的兴趣和积极性，这为本课的学习奠定了基础．
2. 不利因素：导数概念建立在极限基础之上，超乎学生的直观经验，抽象度高；再者，本课内容思维量大，对类比归纳，抽象概括，联系与转化的思维能力有较高的要求，学生学习起来有一定难度．
三、【目标分析】
1. 教学目标
（1）知识与技能目标：①理解导数的概念.②掌握用定义求导数的方法.
（2）过程与方法目标：通过导数概念的形成过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想和函数思想；提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力．
（3）情感、态度与价值观目标：
①通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度．
②培养学生正确认识量变与质变、运动与静止等辩证唯物主义观点，形成正确的数学观．
2. 教学重、难点
【确定依据】依据教学大纲的要求，结合本节内容和本班学生的实际 重点：导数的定义和用定义求导数的方法．
难点：对导数概念的理解．
【难点突破】本课设计上从瞬时速度、切线的斜率两个具体模型出发，由特殊到一般、从具
体到抽象利用类比归纳的思想学习导数概念；把新知的核心“可导”和“导数”两个问题结合起来，利用转化的思想与学生已有的极限知识相联系，将问题化归为考
察一个关于自变量x ∆的函数x
x x f x F ∆∆∆)
()(0+=当0→x ∆时极限是否存在以及极限
是什么的问题.
四、【教学法分析】
1. 教法、学法：引导发现式教学法，类比探究式学习法
教学中遵循“学生为主体，教师为主导，知识为主线，发展思维为主旨”的“四主”原则．以恰当的问题为纽带，给学生创设自主探究、合作交流的空间，指导学生类比探究形成导数概念．引导学生经历数学知识再发现的过程，让学生在参与中获取知识，发展思维，感悟数学．
2. 教学手段：多媒体辅助教学
【设计意图】通过多媒体弥补传统教学的不足，增强教学效果的直观性，帮助学生更好地理解无限逼近思想，揭示导数本质．
五、【教学过程分析】
【确定依据】为更好落实教学目标, 把数学知识的“学术形态”转化为数学课堂的“教学形态”，，为学生创设探究空间,让学生充分经历、体验数学知识再发现的过程,从中获取知识,发展思维,感受探索的乐趣.
（一）教学环节
（一）、引言
在前面，我们学习了函数的极限，利用极限讨论了函数的一种性质，叫连续，即：0
lim 0x y ∆→∆=，今天我们来研究函数的另外一种性质。下面
我们通过两个实际的问题引出这种性质的概念描述。
（二）、问题的实际背景
首先是一个物理问题，自由落体运动（让粉笔落下）。 1、自由落体运动的瞬时速度
英国物理学家牛顿在研究质点运动时，发现导数问题。设想有一钢球做自由落体运动，自由落体运动的高度和时间容易
测量，他发现距离和时间的关系是：2
12
s gt =。这不是一个
匀速运动，速度每时每刻都在变化着。那么钢球在时刻0t 的瞬时速度如何来求？
牛顿的办法如下：用短时间段t ∆内的平均速度近似瞬时速度。他考虑0t 时刻之后经过一个极短的瞬间t ∆到达t 时刻，即0t t t =+∆，在这
一瞬间钢球所走的路程为：00()()s s t t s t ∆=
+∆-。
这样，在这一时间段内的平均速度应该是：
000()()12
s t t s t s gt g t t t +∆-∆==+∆∆∆ t ∆越小，平均速度就越接近于瞬时速度，当0t ∆→时，平均速度
的极限就是瞬时速度。
000000
()()()lim lim t t s t t s t s v t gt t t
∆→∆→+∆-∆===∆∆
这里讨论的是一个物理问题，它体现的是平均变化率接近瞬时变化率的思想。下面来看一个几何上的问题。
2、几何曲线的切线斜率问题
德国数学家莱布尼茨在研究曲线切线的斜率的时候也碰到了类似的问题。给定一曲线
()f x ，求过),(00y x M 点的切线的斜率k 。
什么是切线呢？和闭曲线只有一个交点的直线称为切线（见下图2和
图3），这种定义对于圆和椭圆等曲线是可行的，但对于一般的曲线就不行了。因此要有更为普遍可行的切线定义。
什么是切线，如何来定义切线呢？莱布尼茨是这么来考虑的：考虑曲线上的一个动点),(y x N ，其中
)(x f y =，x x x
∆+=0。MN 为
曲线的一割线，当N 沿着曲线向M 无限接近的时候，割线的极限位置为
MT ，称MT 为切线。根据定斜式知道确定一点处的切线就是确定斜率。
当M N 沿曲线
→时，则有：割线→切线，从而有
MN MT k k →，其中MN k 为割线的斜率，MT k 为切
线的斜率。割线斜率MN k 为：
00()()
tan MN f x x f x y k x x
α+∆-∆==
=
∆∆ 所以切线斜率MT k ：
000
00()()lim lim
lim
MT MN x x x f x x f x y
k k x x
∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆ 这里体现的也是函数平均变化率逼近某点处的变化率问题。从上述两个例题中，我们发现：虽然它们是两个不同范畴的实际问题，但它们的数学形式是一样的：
00000
()()()lim lim t t s t t s t s
v t t t ∆→∆→+∆-∆==∆∆ 0000
()()lim lim MT
x x f x x f x y
k x x
∆→∆→+∆-∆==∆∆ 都是对某点处函数增量与自变量增量之比取极限。类似的问题还很多，如电流强度，经济学中的边际等等…，所以对两个增量之比取极限，这个东西并不是突然从天上掉下来的，硬要说是天上掉下来的，也是天上掉下个“林妹妹”。这个“林妹妹”就是“定义1” （板书）。
（三）、导数的定义
1、定义 定义1：设函数
()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，当自变量x 在0
x 处取得增量x ∆时，相应的函数
y
取得增量
)()(00x f x x f y -∆+=∆。
若极限
000
()()lim lim x x f x x f x y
x x
∆→∆→+∆-∆=∆∆ （1） 存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导（这就是我们今天要讲的函数的
另一性质：可导性），并称该极限为函数在点0x 处的导数（言下之意 ，导数就是按增量之比取极限这一规则导出的数）。记为：
,x x y =' 或者
00
0()x x x x dy df f x dx
dx
=='，
，。
若上述极限不存在，则称函数
()y f x =在点0x 处不可导，或者说函
数在点0x 处导数不存在。（板书）
这些记号都是导数的符号，随便用哪一个都行。它们就像“林妹妹”的衣服，“传统服”、“休闲服”、“便装”、“泳装”。不过，无论穿了什么衣服，都还是这个“林妹妹”。导数的表示还不止这一些。
有人觉得x ∆不好看，我们就用一个符号h 来表示。即令h x =∆，定
义式（1）也可简单的写成如下的形式：
0000
()()
()lim h f x h f x f x h
→+-'= （2）
又有人认为0+x h 不够漂亮，不妨用一个x 来表示，即0x x h =+，
由于0x 是固定的，那么0h →等价于0x x →，上述定义式（2）就可等
价的写成下面的形式：
000
()()
()lim x x
f x f x f x x x →-'=- （3）
这么多表示方法，这么多记号，说明一个问题：导数的概念很重要。
导数的符号是采用莱布尼茨的。莱布尼茨是一位数学界的符号大师，很多符号都是采用他的，他发表微积分论文的时间要早于牛顿，但牛顿最先发现微积分，就把手稿放在家里，莱布尼茨的论文发表之后，有人认为莱布尼茨剽窃了牛顿的科研成果，莱布尼茨觉得自己很冤，“他是先有导数后有积分，我是先有积分后有导数，他在英国，我在德国。我可没偷他的九阴真经，我可不是梅超风”。后来人们公认的是，他们两个从不同的角度独立发明了微积分。他们都是微积分的奠基人。闲话少说，下面我们考虑如何求函数在一点处的导数。
2、点导数例题
例1、求函数y
C =在点0x x =处的导数。
解：第一步求增量：00()()0y f x x f x C C ∆=
+∆-=-=
第二步求比值：0y x
∆=∆
第三步取极限：0
|lim00x x x C =∆→'==
所以，函数
y C =在点0x x =处的导数恒为0。说明，对于常数函数
而言，他在0x 点处的变化率为0。
是不是一个函数在其定义区间内，每一点处都可导呢？下面我们就来考虑例2。
图8 1646年～1716年
莱布尼兹创设的微积分符号对微积分的发展有极大的影响。
图7 1643年～1727年
牛顿在数学上最卓越的成就是独立地创建了微积分。
例2、讨论函数||y x =在0x =处是否可导？ 解：根据导数定义及求导数的步骤，易判断函数在
0x =处的可导性。
第一步求增量：||y x ∆=∆
第二步算比值：
||
y x x x ∆∆=
∆∆ 第三步取极限：00
||
lim lim x x y x x x
∆→∆→∆∆=∆∆ 要将绝对值符号去掉，必须讨论x ∆的符号问题：
00||lim lim 1x x x x x x -
-
∆→∆→∆-∆==-∆∆，
00||lim lim 1x x x x x x
+
+
∆→∆→∆∆==∆∆
其左极限为1-，而右极限为1，左、右极限不相等。则0
lim
x y
x
∆→∆∆不存在，可见函数
()f x 在点0x =处的导数不存在，也就说明：一个函数在它的
定义区间内并不是每一点处都可导的。
在例2中，从直观上看：该函数的图形在0x =处切线不存在，即曲线在该点处不光滑。一般来说函数在某点可导（即切线存在），其图形必须在该点光滑。很多同学都到过美发店，美发店做出来的头发曲线优美，非常光滑，用今天的话来说，就是根根头发闪闪发亮，条条曲线处处可导。
从上面的例2中我们还发现，虽然他的极限不存在，但是它在0点处的左极限和右极限还是存在，只是可惜不相等。这就是所谓左导数和右导数。
3、单侧导数
定义2：如果
x
x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000
-
存在，则称该极限为左导
数，记为)(0x f -'；如果x
x f x x f x ∆-∆++
→∆)()(lim 000
存在，则称该极限为
右导数，记为)(0x f +'。
左导数、右导数统称为单侧导数。
定理1：函数在点0x 处可导⇔左导数)(0x f -'和右导数)(0x f +'都存在且相等。
前面例2中，我们有结论，函数图形在光滑的地方存在切线，下面我们来求一求正弦函数在),(+∞-∞内的某一点0x 处的导数。 例3 设函数x y sin =，求函数在某点0x 点处的导数。 解：由公式：sin sin 2cos
sin
2
2
αβ
αβ
αβ+--=可知：
x
x
x x x x x x ∆-∆+='→∆=sin )sin(lim
|)(sin 000
x
x
x x x ∆∆∆+
=→∆2sin )2cos(2lim
00
00cos 2
2sin )2
cos(lim x x x x x x =∆∆∆+=→∆ 即： 0cos |)(sin 0x x x x ='=
例3中，若将0x 换成x ，正弦函数在任意一点x 处的导数为x cos ，它是x 的函数，把这样的函数叫做导函数。下面给出导函数的具体定义。
4、导函数
定义3：如果函数)(x f y =在开区间I 内的每点处都可导，就称函
数
)(x f 在开区间I 内可导。对于任一I x ∈，都对应着)(x f 的一个
确定的导数值，这个函数叫做原函数
)(x f 的导函数，简称导数。记作
dx
df
dx dy x f y ,),
(,''。即h
x f h x f x x f x x f x y y h x x )()(lim )()(lim lim
000-+=∆-∆+=∆∆='→→∆→∆
这里，将函数在某点处可导的性质推广到了在一个区间上的可导性，将点导数的概念推广到了导函数的概念上。下面来看幂函数求导数的例题。 例4、设函数(),(0,)y f x x x α==∈+∞，求y '。
解：
00()()()lim lim h h f x h f x x h x y h h
αα
→→+-+-'== 10(1)1
lim h h
x x h x
αα-→+-=（等价无穷小：(1)1h h x x
αα+
-:） 10lim h h
x x h
x
αα-→==1x αα-=
即：1()x
x α
αα-'=。
（四）、小结：
今天我们主要是讲了求函数的导数，求函数导数的时候，先给自变量一个增量x ∆，并求函数的增量y ∆（或者说函数的改变量y ∆），接着将两个改变量相除，最后求比值的极限，计算是比较简单的，概括起来就是：
要求导数很简单，
先求两个改变量，
两者相除求比值，
再对比值求极限。
（五）、思考题与作业
思考题：
⑴设()f x 在0x x =处可导，即0()f x '存在，则
000()()lim x f x h f x h
∆→--= 。 提示：与导数定义要联系起来，只相差一个负号，通过变量代换，马上可以求出它的值：0()f x '-。
⑵已知物体的运动规律为2S t =（米），则该物体在2t
=秒时的速
度为： 。 提示：利用物理背景，以及导数的概念求解该题。答案是：4米/秒。 作业：
P51，1. 2.
《导数的概念》教学设计 王学江 一、【教材分析】 1. 本节内容： 《导数的概念》这一小节分“曲线的切线”，“瞬时速度与瞬时加速度”，“导数的概念”，“导数的几何意义”四个部分展开，大约需要4个课时．第一、二课时学习“曲线的切线”，“瞬时速度”，今天说的是第三课时的内容导数概念的形成. 2. 导数在高中数学中的地位与作用： “导数的概念”是全章核心.不仅在于它自身具有非常严谨的结构，更重要的是，导数运算是一种高明的数学思维，用导数的运算去处理函数的性质更具一般性，获得更为理想的结果；把运算对象作用于导数上，可使我们扩展知识面，感悟变量，极限等思想，运用更高的观点和更为一般的方法解决或简化中学数学中的不少问题；导数的方法是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具，在在其它学科中同样具有十分重要的作用；在物理学，经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都有广泛的应用.导数的出现推动了人类事业向前发展. 二、【学情分析】 1. 有利因素：学生已较好地掌握了函数极限的知识，又刚刚学过曲线的切线、瞬时速度，并积累了大量的关于函数变化率的经验；另外，学生思维较活跃，对数学新内容的学习，有相当的兴趣和积极性，这为本课的学习奠定了基础． 2. 不利因素：导数概念建立在极限基础之上，超乎学生的直观经验，抽象度高；再者，本课内容思维量大，对类比归纳，抽象概括，联系与转化的思维能力有较高的要求，学生学习起来有一定难度． 三、【目标分析】 1. 教学目标 （1）知识与技能目标：①理解导数的概念.②掌握用定义求导数的方法. （2）过程与方法目标：通过导数概念的形成过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想和函数思想；提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力． （3）情感、态度与价值观目标： ①通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度． ②培养学生正确认识量变与质变、运动与静止等辩证唯物主义观点，形成正确的数学观．
导数的概念》教学设计完美版导数的概念》教学设计 XXXXXX 课型：新授课 一、教学内容解析 导数是微积分学的核心概念之一，导数是导函数的简称，本质仍是函数，其实也就是微商．导数不仅是数学知识，也是一种数学思想，也蕴含着函数思想和极限的思想方法，本节内容的核心是用平均变化率的极限来刻划瞬时变化率，从课标要求与教材的编写看，淡化了极限的形式化定义，不把导数作为一种特殊的极限来处理，而是直接通过实例来反映导数的思想和本质，因此，让学生充分体验“极限的过程及研究的思想方法”为本节课的重点． 导数属于事实型知识——函数的瞬时变化率是客观存在的，用平均变化率的极限来刻划，并用形式化的极限符号表示只是我们研究导数的方法．导数为研究变量和函数提供了重要的方法和手段，具有将复杂问题归纳为简单规则和步骤的非凡能力，不仅是研究初等函数最有效的工具，还是研究微积分学的必备基础，也是研究各种科学的工具，XXX曾说过“只有在微积分发明之后，物理学才成为一门科学”，天地通用微积分．
变量和函数在天然界和社会中有着几乎地处不在的实际背景，所以高中学生不论他将来是不是进入高校研究，都应研究导数及其使用的内容，并使用它考察和了解实际现象中的变革．毫不夸张地说，不学或未学懂微积分，学生思维难以达到较高的程度，从某种意义上看，对导数所蕴含的数学思想方法的研究价值，远高于对其常识的研究．通过本课导数概念的形成过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟“逼近”思想、数形结合思想和函数思想，进一步体会数学的本质． 2、教学目标设置 知识与技能： 1）知道平均变化率与瞬时变化率的关系；能正确区分平均变化率与瞬时变化率；会描述导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，知道函数在某点的导数与在某个区间内的导函数的关系，体会导数的思想及其内涵． 2）会依据定义求简单函数在某点处的导数，能初步按定义归纳求函数在某点处导数的基本步骤． 过程与方法： 1）通过用几何画板的动态演示，让学生观察、经历由平均变化率到瞬时变化率的“逼近”过程，体会极限的思想方法．
《导数的概念》教学设计 一、教材分析 《导数的概念》是《普通高中课程标准实验教科书·数学选修2-2》（人教A版）第一章1.1.2的内容，是在学生学习了变化率的内容后，通过实例探究，从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，并抽象概括出导数的概念。它为即将学习的导数的几何意义、导数的计算、导数的应用等知识的奠定了基础，更是我们研究函数单调性、极值、最值和解决生活中优化等问题的有力工具。 教学重点：了解导数概念的形成，理解导数有内涵。 教学难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵，可以通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点。 二、学习目标 1.知识与技能目标 ①理解导数的概念. ②掌握用定义求导数的方法. 2.过程与方法目标 3.情感、态度与价值观目标 ①通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度. ②培养学生正确认识量变与质变、运动与静止等辩证唯物主义观点，形成正确的数学观.
三、教学程序 （一）创设情境，引入新课 [课件投影]播放一段视频林跃在2022年北京奥运会10米跳台夺冠的 视频，给出一个思考题：假如在比赛过程中，林跃相对水面的高度h（m）与起跳后的时间t（）存在这样一个函数关系：. 计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考下面的问题： （1）林跃在这段时间里是静止的吗？ （2）你認为用平均速度来描述他的运动状态有什么问题吗？ [设计意图]林跃是和我们的学生年纪相仿的国家优秀运动员，他夺冠 的经历无疑能让我们的学生感到振奋，这无形中激发了学生的爱国热情。 更重要的是，以此实例能激发学生求知的欲望，从而使学生从“要我学” 变成了“我要学”。通过数值与现实矛盾的产生，使学生意识到平均速度 只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，为了能更精确地刻画物体 运动，我们有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度。 [设计意图]通过引导使学生进一步体会从平均速度出发，“以已知探 求未知”的数学思想方法，培养学生的动手操作能力，通过亲自动手算、 动脑思，让学生初步感受到逼近的趋势。 [简要实录]这个过程比较繁琐，计算量大，需要组内成员一起来解决。同学们有的设计数据，有的计算，有的填表格，学习积极性比较高。 （二）类比探究，形成概念 [课件投影]问题3：当Δt趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？ 请同学们观察自己小组列的的表格内容，思考后回答。
5.2.1基本初等函数的导数教学设计 教学内容：基本初等函数的导数 教学目标： 1.理解导数的概念和意义。 2.掌握常见基本初等函数的导数计算方法。 3.学会利用导数计算函数在给定点的斜率和切线方程。 教学重点： 1.导数的定义和计算方法。 2.常见基本初等函数的导数。 教学难点： 1.利用导数计算函数在给定点的斜率和切线方程。 教学过程： 步骤一：导入导数的概念 1.老师简要介绍导数的概念和意义，解释导数表示函数在某一 点的变化率和斜率。 2.引导学生思考，举例说明导数在实际问题中的应用，如速度 、加速度等概念。 步骤二：讲解常见基本初等函数的导数计算方法 1.讲解常见基本初等函数的导数公式，包括常数函数、幂函数 、指数函数、对数函数、三角函数等。 2.带领学生通过实例计算各类函数的导数，强化理解和记忆。步骤三：练习导数的计算 1.给学生提供一些导数计算的练习题，让学生独立完成计算。 2.老师在黑板上批改答案，并解析解题思路。
步骤四：应用导数计算切线方程 1.引导学生理解导数在点上的几何意义，即切线的斜率。 2.讲解如何利用导数计算函数在给定点的切线方程。 步骤五：综合应用 1.提供综合应用题，结合实际情境，让学生运用所学知识求解 问题。 2.老师指导学生分析问题，制定解题计划，找出解题思路。步骤六：总结归纳 1.老师与学生共同总结导数计算方法和应用技巧。 2.激发学生对导数的兴趣，引导他们进一步探究高阶导数和导 数的应用。 教学资源： 1.教材：教科书中有关基本初等函数的导数的知识点和例题。 2.计算工具：黑板、白板、彩色粉笔，计算器（可选）。 教学评估： 1.教学过程中适时进行形式评估，如随堂练习、问题讨论等， 检查学生对导数的掌握情况。 2.可布置课后作业，巩固学生对导数计算的理解和应用能力。教学延伸： 1.引导有兴趣的学生深入学习高阶导数、微分法等更深入的数 学知识。 2.结合实际问题，进一步拓展导数的应用领域，如优化问题、 最速下降问题等。
“导数的概念及其意义”单元教学设计 一、内容和及其解析 （一）内容 导数的概念及其意义。 （二）内容解析 1.内容本质： 按照概念教学的基本环节（引入、明确、巩固、应用），本单元引导学生经历4次由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程： 过程1 物理学中由平均速度过渡到瞬时速度的过程——典型实例分析； 过程2 几何学中特殊曲线由割线过渡到切线、由割线斜率过渡到切线斜率的过程——典型实例分析； 过程3 一般函数y＝f（x）从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程——给出导数的概念； 过程4 一般曲线y＝f（x）由割线过渡到切线、由割线斜率过渡过渡到切线斜率的过程——给出导数的几何意义． 前3个过程的重心是对两个不同类型的典型实例进行属性的分析、比较、综合，概括它们的共同本质特征得到本质属性，进而抽象概括出导数概念——用准确的数学语言表述的导数概念，属于概念教学一般进程中的“概念的形成”和“概念的明确与表示”环节；过程2、过程4是从特殊到一般得到一般切线概念以及导数的几何意义的过程，其中过程4让学生又一次经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，有利于建立多元联系，进一步理解导数的概念．这样多次、反复经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，极大地助力学生初步理解导数的内涵——导数是瞬时变化率 需要特别注意的是，在上述4个过程尤其是过程1和过程2中，还应不断渗透和多次使用“运动变化的观点”、“在局部小范围内以不变代变、以直代曲”等微积分基本思想以及“极限思想”解决问题，这样在抽象概括导数的概念和几何意义时，可以对研究问题思想方法、过程，极限思想和结果形式的一致性等“内容及其蕴含的思想、方法”一并进行适度总结概括；在过程2和过程4中，让学生通过函数图象直观体会 割线逼近切线过程，理解导数的几何意义． 2.蕴含的思想方法 在介绍两个典型实例、导数的概念及其几何意义的过程中，引导学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，不断渗透“用运动变化的观点研究问题”、“逼近（极限）”、“以直代曲”等微积分
导数是近代数学中微积分的核心概念之一，是一种思想方法，这种思想方法是人类智慧的骄傲. 一、教材分析 导数的概念是高中新教材人教A版选修1-1第三章3.1.2的内容,是在学生学习了平均变化率基础上，阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系，从实例出发得到导数的概念，为以后更好地研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础。 新教材在这个问题的处理上有很大变化，它与旧教材的区别是从平均变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。 问题1气球平均膨胀率--→瞬时膨胀率 问题2高台跳水的平均速度--→瞬时速度 根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点 二、教学目标 1、知识与技能： 通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。 2、过程与方法： ①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力 ②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从非凡到一般的数学思想方法
3、情感、态度与价值观： 通过运动的观点体会导数的内涵，使学生把握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的爱好. 三、重点、难点 重点：导数概念的形成，导数内涵的理解 难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵 通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点 四、教学设想（具体如下表） 教学环节教学内容师生互动设计思路创设情境引入新课幻灯片回顾上节课留下的思考题：在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位： s）存在函数关系h（t）=－4.9t2＋6.5t＋10.计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？首先回顾上节课留下的思考题：在学生相互讨论，交流结果的基础上，提出：大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。为什么会产生这样的情况呢？引起学生的好奇，意识到平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，为了能更精确地刻画物体运动，我们有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度。使学生带着问题走进课堂，激发学生求知欲初步探索、展示内涵根据学生的认知水平,概念的形成分了两个层次： 结合跳水问题，明确瞬时速度的定义 问题一：请大家思考如何求运动员的瞬时速度，如t=2时刻的瞬时速度？提出问题一，组织学生讨论，引导他们自然地想到选取一个具体时刻如t=2，研究它四周的平均速度变化情况来寻找到问题的思路，使抽象问题具体化理解导数的内涵是本节课的教学重难点，通过层层设疑，把学生推向问题的中心，让学生动手操作，直观感受来突出重点、突破难点根
《导数的概念及其几何意义》教学设计 一、内容及内容解析 1．内容：（高中新课标数学课程内容）导数的概念及其几何意义. 2．解析：导数是微积分中的核心概念，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用.在本章的学习中，学生将学习导数的有关知识，体会其中蕴含的思想方法，感受其在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值. 导数概念的本质是极限，但学生很难理解极限的形式化定义，人教版新教材不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是通过列表计算、直观地把握函数变化趋势(蕴含着极限的描述性定义)，这种直观形象的方法中蕴含了极限思想. 本节课的教学重点：从求瞬时速度和求曲线的切线斜率等问题中抽象概括出导数的概念，利用信息技术工具揭示导数的几何意义，并以此进一步体会极限思想. 二、目标及目标解析 1．教学目标 （1)从具体案例中抽象概括出函数平均变化率与导数的概念，并以此培养数学抽象素养. （2)通过函数在某点的导数就是函数图象在该点的切线斜率的事实，揭示导数的几何意义，并由此加强直观想象素养的培养. （3)通过求简单函数的导数，掌握由导数定义求函数导数的步骤，进一步体会极限思想，加强数学运算素养的培养. 2．目标解析 （1）导数的本质是函数的瞬时变化率，而求函数瞬时变化率的问题广泛地存在于社会生活与科学研究中，因此，从具体案例中抽象出导数概念，不仅可以得到一个应用广泛的数学工具，还可以由此培养学生的数学抽象素养，体会数学研究的一般过程. （2）导数概念高度抽象，虽然通过计算瞬时速度等具体案例有所认识，但要深入理解其是平均变化率的极限，还需要加强导数的“多元联系”.因此，从函数在0x x 处的导数就是函数图象在对应点的切线的斜率这个几何直观上进一步认识导数是非常重要的，这也是培养学生直观想象素养的难得机会. （3）导数是特殊的极限，通过导数的学习体会极限思想，可以为未来进一步学习极限提供典型案例，使学生更深刻地认识“从特殊到一般”、“从具体到抽象”是数学研究的重要思想方法. 三、学生学情诊断分析
5.1.2 导数的概念及其几何意义 教学设计 一、教学目标 1.经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景. 2.了解导函数的概念，理解导数的几何意义. 3.根据导数的几何意义，会用导数的概念求简单函数在某点处的导数及曲线的切线方程. 二、教学重难点 1、教学重点 平均变化率的概念及求法、利用导数概念求导数、导数的几何意义及其应用. 2、教学难点 导数概念及其几何意义的理解和应用. 三、教学过程 1、新课导入 在上节课的学习中，我们研究了平均速度和瞬时速度的物理问题，以及割线斜率和切线斜率的几何问题，在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法，这节课我们就来探究一下平均变化率、导数的概念及其几何意义. 2、探索新知 一、平均变化率的概念 对于函数()y f x =，设自变量x 从0x 变化到0x x +∆，相应地，函数值y 就从0()f x 变化到0(Δ)f x x +. 这时，x 的变化量为Δx ，y 的变化量为00Δ(Δ)()y f x x f x =+-. 我们把比值ΔΔy x ，即00(Δ)()ΔΔΔf x x f x y x x +-=叫做函数()y f x =从0x 到0x x +∆的平均变化率. 二、瞬时变化率（导数）的概念 如果当Δ0x →时，平均变化率 ΔΔy x 无限趋近于一个确定的值，即ΔΔy x 有极限，则称()y f x =在0x x =处可导，并把这个确定的值叫做()y f x =在0x x =处的导数（也称为瞬时 变化率），记作0()f x '或0 x x y ='，即000Δ0Δ0Δ()Δ()lim lim ()ΔΔx x f x x f x y f x x x →→+-=='. 三、求函数在0x x =处的导数（瞬时变化率） 例1 设1 ()f x x = ，求(1)f '. 解：Δ0Δ0Δ01 1 (1Δ)(1)11Δ(1)lim lim lim 1ΔΔ1Δx x x f x f x f x x x →→→-+-⎛⎫+===-=- ⎪+⎝⎭ '. 例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 已
1.2 导数的概念及其几何意义一等奖创新教学设计 5.1.2《导数的几何意义》教学设计 一、教材分析： 本节课是《普通高中教科书数学》（人民教育出版社、课程教材研究所A版教材）选择性必修第二册中第5章5.1.2节，它是学均变化率，瞬时变化率基础上，进一步从几何意义的基础上理解导数的含义与价值，是可以充分应用信息技术进行概念教学与问题探究的内容，导数的几何意义学习为常见函数的导数计算、研究函数的应用的基础。因此，导数的几何意义有承前启后的重要作用。本节课不仅能帮助学生更好地理解导数的概念，并且能让学生认识导数是刻画函数的单调性、变化快慢和极值等性质最有效的工具，是本章的关键内容. 教学目标： 知识与技能：（1）使学生了解导数的几何意义； 体会“数形结合、以直代曲”的数学思想方法。 过程与方法：渗透“逼近”思想，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探究新知识的精神. 情感与价值：通过揭示割线与切线之间的内在联系，对学生进行辩证唯物主义教育，引导学生从有限中认识无限. 三、教学重点、难点： 重点：导数的概念，导数的几何意义. 难点：导数的概念，曲线切线概念. 三、教学过程设计 （一）旧知回顾 1. 高台跳水运动员的速度 设高台跳水运动员起跳高度h与时间t的函数为，则到的平均速度为 而在时刻的瞬时速度为 2. 抛物线的切线的斜率 设抛物线解析式为， 则割线的斜率为 而在处切线的斜率为
3. 导数的概念 对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从变化到，的变化量为，的变化量为， 我们把比值，即叫做函数从到的平均变化率.当时，平均变化率无限接近一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数(也称瞬时变化率)，记作：或，即新知学习 导数表示函数在处的瞬时变化率，反映了函数在附近的变化情况.那么导数的几何意义是什么？ 平均变化率表示什么？ 表示割线的斜率. 当点沿着曲线无限接近于点， 割线无限接近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线 称为曲线在的切线. 割线的斜率当时，无限接近函数 在的导数， 导数的几何意义：是函数在处切线的斜率. 继续观察：点处的切线比任何一条割线更贴近点附近的曲线，将附近的曲线不断放大，附近的曲线越来越接近于直线.因此，在附近曲线可以用点处的切线近似代替. 例1 高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象.根据图象，请描述、比较曲线在附近的变化情况. 解：用曲线在处的切线斜率，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况. 当时，曲线在处的切线平行于轴，在附近曲线比较平坦； 当时，曲线h(t)在处的切线的斜率在附近单调递减, 下降缓慢； 当时，曲线h(t)在处的切线的斜率在附近单调递减，但下降迅速. 例2 如图是人体血管中药物浓度(单位：mg/mL) 随时间t(单位：min)变化的函数图象.根据图象，估计时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).
高中数学大单元教学设计优秀案例高中数学是培养学生逻辑思维能力和解决实际问题能力的重要学 科之一。本文将介绍一篇优秀的高中数学大单元教学设计案例，主要 内容为导数与微分。该案例设计了一系列有趣、实用的教学活动，旨 在帮助学生深入理解导数与微分的概念和应用，并能够灵活运用这些 知识解决实际问题。 一、教学目标 1.理解导数的概念及其几何意义； 2.掌握求函数导数的方法，并能够运用链式法则、乘积法则和商 数法则求解复杂问题； 3.理解微分的概念及其应用，并能够计算函数的微分； 4.能够运用导数和微分解决实际问题，如最值问题、切线问题等。 二、教学内容 1.导数的概念及其几何意义；
2.导数的基本运算法则； 3.高阶导数及其应用； 4.微分的概念及其计算方法； 5.导数和微分的应用。 三、教学步骤 第一步：导入导数的概念 通过引导学生观察直线的斜率和函数图像的切线斜率的关系，引出导数的概念及其几何意义。在引入的过程中，教师可以展示一些动画或实际问题，激发学生对导数的兴趣和好奇心。 第二步：导数的基本运算法则 介绍导数的定义和求导法则，包括常数函数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数、三角函数的导数等。教师可以通过具体的例子和推导过程来讲解，让学生明确各种函数导数的求导公式。 第三步：高阶导数及其应用
介绍高阶导数的概念和计算方法，包括求函数的二阶导数、三阶导数等。同时，结合实际问题，如速度、加速度、曲率等，让学生理解高阶导数的几何意义和应用。 第四步：微分的概念及其计算方法 引入微分的概念和计算方法，重点讲解微分的计算公式以及微分与导数的关系。通过具体的例子和实际问题，让学生了解微分的应用场景和计算方法。 第五步：导数和微分的应用 通过一系列实际问题的讨论和解决，让学生运用导数和微分解决相关问题，如最值问题、切线问题、曲率问题等。教师可以设计一些有趣的问题，激发学生思考和探索的兴趣。 四、教学方法 1.示范法：通过实例和推导过程，讲解导数和微分的概念和计算方法，引导学生理解和掌握相关知识。 2.合作学习：设计小组合作活动，让学生在小组中讨论和解决问题，培养合作意识和团队精神。
第五章 一元函数的导数及其应用 5.1 导数的概念及其意义 5.1.2.2 导数的概念及其几何意义 一、教学目标 1、正确理解导数的概念. 2、能够根据导数的定义求简单函数的导数，逐步熟悉求函数导数的步骤与方法. 3、从导数的概念和求取步骤中体会导数的内涵和意义，进一步体会极限思想. 二、教学重点、难点 重点：导数的概念和极限思想，导数的几何意义. 难点：导数概念的理解. 三、学法与教学用具 1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标. 2、教学用具：多媒体设备等 四、教学过程 （一）创设情景，揭示课题 【问题】我们知道，导数0()f x '表示在0x x =处的瞬时变化率，反映了函数()y f x =附近的变化情况， 那么导数0()f x '的几何意义是什么？
（二）阅读精要，研讨新知 【观察与思考】观察函数()y f x =的图象，平均变化率 00()() f x x f x y x x +∆-∆= ∆∆表示什么？ 瞬时变化率00000()()()lim lim x x f x x f x y f x x x ∆→∆→+∆-∆'==∆∆表示什么？ 布置学生阅读课本6769P P - 【解读】平均变化率 00()() f x x f x y x x +∆-∆= ∆∆表示割线的斜率. 当曲线()y f x =的图象上的任意点(,())P x f x 沿着曲线无限趋近于点000(,())P x f x 时， 割线 0P P 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线0P T 称为曲线()y f x =在点 0P 处的切线 (tangent line ). 【导数的几何意义】瞬时变化率即为函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '，即为切线0P T 的斜率0k . 所以00000 ()() lim ()x f x x f x k f x x ∆→+∆-'==∆表示切线0P T 的斜率， 【动态体验】 【结论】从求函数()y f x =在0x x = 处导数的过程可以看到，当0x x =时，0()f x ' 是一个 唯一确定的数. 这样，当x 变化时，()y f x '=就是x 的函数，我们称它为()y f x =的导函数(derived function) (简称导数). ()y f x = 的导函数有时也记作y '，即0 ()() ()lim x f x x f x f x y x ∆→+∆-''==∆.
导数这节课的教学设计方案 一、课程概述 导数是高中数学中的重要概念之一，也是微积分的基础。本节 课的教学旨在帮助学生深入理解导数的概念和性质，能够熟练求解 导数，并能够应用导数解决实际问题。 二、教学目标 1. 知识目标：通过本节课的学习，学生将理解导数的定义、求 导法则和基本性质，掌握求导运算的基本方法。 2. 能力目标：培养学生的数学思维和推理能力，能够运用导数 解决实际问题。 3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣和热爱，培养学生的创新 精神和实际应用能力。 三、教学内容与教学步骤 1. 导入：通过提问和讲解导数的概念，引发学生对导数的兴趣，理解导数在现实生活和工程领域中的应用。 2. 导数的定义与求导法则： a. 讲解导数的定义，引导学生理解导数的几何意义和物理意义。
b. 分别讲解函数的基本求导法则，如常数函数、多项式函数、指数函数和对数函数等的导数求解方法。 c. 通过例题的演示和学生的互动讨论，巩固和加深学生对导数概念的理解。 3. 链式法则和导数的乘法法则： a. 引导学生理解链式法则的概念和应用场景。 b. 通过具体的例题和实例，讲解链式法则的求导步骤。 c. 讲解导数的乘法法则，引导学生理解乘法法则在导数求解中的应用。 4. 高阶导数与求导法则： a. 介绍高阶导数的概念和性质。 b. 讲解高阶函数的求导法则，如反函数、复合函数和隐函数 等的求导方法。 c. 通过例题和实例的演示，巩固学生对高阶导数和求导法则的理解。 5. 应用题解析： a. 通过实际问题的分析和解答，引导学生将导数应用于实际问题的求解过程中。
b. 指导学生如何建立数学模型，运用导数求解优化问题、极 值问题和速度、加速度等实际问题。 c. 通过解析实际应用题，培养学生的数学建模能力，提高其创新和实际应用能力。 6. 总结与拓展：对本节课的内容进行总结，激发学生的思考和 探索，提供进一步学习的拓展思路和资源。 四、教学方法与教具 1. 教学方法：讲授法、举例法、启发式教学法、问题解决法。 2. 教具准备：黑板、白板、多媒体投影仪、课件、教材、习题 册等。 五、教学评价与作业布置 1. 教学评价：通过课堂练习、小组合作讨论和个人演示等方式，对学生的理解、应用和创新能力进行评价。 2. 作业布置：布置相关导数习题，要求学生巩固所学内容，拓 展应用能力，并及时批改和讲解学生的作业，反馈学生的学习情况。 六、教学扩展与巩固 1. 教学扩展：通过引导学生独立思考和发散性思维，拓展导数 在其他学科和领域的应用，如物理、经济、生物等。
函数的极值与导数教学设计 导数是微积分中的重要概念，它可以帮助我们研究函数的变化趋势、 极值点等问题。在教学设计中，我们可以通过引入实际问题、图像分析等 方法，帮助学生理解导数和函数的极值。 一、引入部分 1.导入问题：引入一个实际问题，例如一个物体在其中一时刻的速度 是多少？如何求解这个问题？通过让学生思考这个问题，引导他们认识到 速度是距离对时间的导数。进一步，引入导数的概念。 2.函数的变化趋势：给出几个函数图像，让学生观察函数的变化趋势，如何通过观察图像判断函数的上升和下降区间。 二、导数的定义与计算 1.定义导数：引入导数的定义，即函数在其中一点的切线斜率。通过 几个具体的例子，让学生感受导数的概念。 2.导数的计算：介绍导数的计算方法，包括求导法则和常见函数的导 数公式。通过具体的例子，引导学生进行导数的计算。 三、函数的极值 1.极值的定义：引入函数的极值的概念，分为极大值和极小值。通过 具体的例子，让学生理解极值的含义。 2.极值的判断：介绍函数极值的判断方法，包括一阶导数的性质和二 阶导数的性质。通过图像和计算，引导学生判断函数的极值点。 四、综合运用
1.实际问题的应用：引入一些实际问题，如求解最大值最小值问题、 求解优化问题等。通过这些问题，让学生将导数和极值的概念应用到实际 问题中。 2.图像的分析：给出一些函数的图像，让学生分析函数的变化趋势和 极值点。通过这些分析，加深学生对导数和极值的理解。 五、练习与拓展 1.练习题：设计一些导数和极值的练习题，包括计算导数、判断极值 点等。通过这些练习，巩固学生对导数和极值的掌握。 2.拓展问题：引入一些拓展问题，如函数的拐点和凹凸性等。通过这 些问题，拓展学生对导数和函数性质的理解。 六、总结与评价 1.总结导数与极值：对导数和极值的概念进行总结，包括导数的定义、计算方法和函数的极值判断方法。 2.学生评价：对学生进行评价，包括对导数和极值的理解程度、计算 能力和问题解决能力等。 以上是一个关于函数的极值与导数的教学设计，通过引入实际问题、 图像分析等方法，帮助学生理解导数和函数的极值。在教学中，可以根据 学生的实际情况进行适当的调整和拓展。
函数的极值与导数教学设计对于函数的极值与导数的教学设计，我认为应该从以下几个方面进行展开：引入导数的概念、导数的几何意义、极值的概念与判定以及应用实例的探究。通过合理的教学设计，能够让学生更好地理解和掌握函数的极值与导数的相关知识。 一、引入导数的概念 在教学的开始阶段，可以通过具体的例子和观察来引导学生对导数的概念进行认识。例如，引导学生思考在直线上某一点处的斜率与该点的变化关系，进而引出导数的概念。通过引入斜率的概念，以及函数图像上的切线与导数的关系，帮助学生初步认识导数，并了解导数的计算方法。 二、导数的几何意义 在学生对导数的概念有了初步认识后，可以侧重讲解导数的几何意义。可以通过引入切线与切点的概念，帮助学生理解导数在函数图像上的表现形式。同时，可以通过实际的图像展示和示例问题，让学生能够直观地观察导数与函数图像的关系，理解导数对应于函数图像的斜率。 三、极值的概念与判定 在学习导数的几何意义后，引入极值的概念是教学的重点之一。通过定义极值，即函数在某一区间内取得最大值或最小值的点，帮助学
生理解极值的概念。同时，讲解极值的判定方法，包括一阶导数判定法和二阶导数判定法，引导学生通过求导数来判定函数的极值。 四、应用实例的探究 通过应用实例的探究，能够进一步提高学生对函数的极值与导数的理解和运用能力。可以选取一些具体的实际问题，如优化问题、生活中的应用等，引导学生将数学知识与实际问题结合起来，通过求解导数来解决实际问题。同时，通过带入具体数值，展示解决实际问题时的计算过程，让学生更好地理解导数在实际问题中的应用。 在整个教学设计中，需要注重理论与实际的结合，通过具体的图像展示和实例问题的讲解，加深学生对函数的极值与导数的理解。教师应以启发式教学为主，引导学生积极思考和参与讨论，在教学过程中注重培养学生的问题解决能力和数学思维能力。 总结起来，函数的极值与导数教学设计应从引入导数的概念、导数的几何意义、极值的概念与判定以及应用实例的探究等方面展开。通过合理的教学设计，能够增强学生对函数的极值与导数的理解和运用能力，提高他们的数学思维和问题解决能力。
导数的概念和几何意义 一、教学目标 一知识目标 1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵2．通过函数图象直观了解导数的几何意义 （二）能力目标 掌握用定义法求函数的导数的一般步骤，并能利用函数的导数知识解决一些应用性问题 （三）情感目标 通过“极限法”的学习，提高学生的数学素质，加强学生分析问题和解决问题的能力，认识事物之间的相互联系，会用联系的观点看问题 二、教学重点 导数的定义与求导的方法 三、教学难点 对导数概念的理解 四、教学过程： （一）复习引入 师：前面我们研究了两类问题，一类来自物理学，涉及平均速度和瞬时速度；另一类问题来自几何学，涉及割线斜率和切线斜率你们能否将这两类问题所涉及的共性表述出来 生：这两类问题都涉及到以下几件事： （1）一个函数f（）； （2）f（d）－f（）； （3） d x f d x f) ( ) (- +； （4）当d趋于0时， d x f d x f) ( ) (- +趋于一个确定的常数 师：很好，我们发现上述两类问题虽然来自的学科领域，但有着相同的数学
模型，今天我们就一起来研究这个数学模型——导数的概念和几何意义 （二）探求新知 1增量、变化率的概念 对于函数),(),(000y x P x f y =是函数图象上的一点，),(11y x Q 是另一点，自变量从0变化为1时，相应的函数值有0变为1，其中1－2叫做自变量的增量，记为△，1－0叫做函数的增量（也叫函数的差分），记为△，则).()(01x f x f y -=∆叫做函数的变化率（或函数在步长为△的差商） ★ 光滑曲线上某点切线的斜率的本质——函数平均变化率的极限 ★ 物体运动的瞬时速度的本质——位移平均变化率的极限 2．导数定义 设函数在包含0的某个区间上有定义，如果比值 d x f d x f ) ()(00-+在d 趋于0 时，（d ≠0）趋于确定的极限值，则称此极限值为函数在=0处的导数或微商，记做)('x f 上述定义的符号表示为：)0)(()()(0'00→→-+d x f d x f d x f 这个表达式读作“d 趋于0时，d x f d x f )()(00-+趋于)(0'x f 简单地说：函数的瞬时变化率，在数学上叫做函数的导数或微商 ★)('x f 也是关于的函数，叫做函数的导函数 3．求导数的步骤 （1）求函数的增量).()(00x f x x f y -∆+=∆； （2）求平均变化率 x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+) ()(00； （3）令△→0，差商→)(0'x f 4．导数的几何意义 函数)(x f y =在点0处的导数的几何意义，就是曲线)(x f y =在点P （0，）处的切线的斜率)(0'x f 5．导数的物理意义
“导数及其应用”单元教学设计 一、教材分析及设计意图 “导数及其应用”，是学生在学习了函数的平均变化率的基础上，学习导数的概念，了解导数的几何意义，并学习基本初等函数的导数以及求导法则，利用导数研究函数的单调性、极值、最值等。依照数学知识学习脉络，可以组建如图1所示的“导数及其应用”单元。 以“思想方法”与“核心素养（关键能力）”划分，是进阶的单元主题组建方式。以思想方法为主线组建单元，通常可以选取数学思想或数学方法相近的学习内容，组成以一类或多类数学思想方法为主线，由表及里、循序渐进的思想单元，使学生在解决类似问题时可以举一反三、触类旁通。以核心素养为主线组建单
元，要整合促进某项核心素养发展的教学内容，把握知识之间的相互关联，在单元教学中渗透、发展一类或多类核心素养。如“数学建模”单元，可以将方程模型、不等式模型、数列模型等融合到一起，突破课本中章节的限制，贯通知识间的联系，突出其中能力素养的部分，帮助学生建立完整的认知结构。 二、设计内容 （一）揭示数学内涵 数学内涵是揭示某一数学定理或概念的本质属性，是数学知识的核心内容。如导数是现代数学的基本概念，蕴含微积分的基本思想，是定量刻画函数的局部变化、研究函数性质的基本工具。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率，其本质是自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。导数实质上就是一个求极限的过程，是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。 （二）厘清知识体系 数学知识内容的本质通常孕育于多学科的知识体系之中，要从现实的框架中深入挖掘才能准确把握其数学本质。 导数最早由法国科学家费马用于导出“折射定律”，得到费马原理（最小光程原理），揭示了数学与物理学的密切关系。高中阶段导数经常用于“运动中的瞬时速度”“植物的生长状况”等问题情境，展现了数学与物理、生物学等学科的关联。
第10课导数的概念
考勤（2 min ）【教师】清点上课人数，记录好考勤 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织 纪律性，掌握学生 的出勤情况 复习（10 min）【教师】提前设计好上节课的复习题目，并针对学生存在 的问题及时讲解 【学生】做复习题目 复习上节课所学 内容，为讲授新课 打好基础 引例分析（10 min）【教师】由引例体现导数在实际问题中的应用 引例自由落体的瞬时速度 如图3-1所示是著名的伽利 略自由落体实验的场景．若物体在 真空中自由下落，则它的运动方程 为 2 1 () 2 s f t gt ==， 其中g为常量．试求物体在 t 时刻的瞬时速度v． 分析我们知道，当物体做匀 速直线运动时，它在任意时刻的速 度可用公式 = 路程 速度 时间 来计算．但这里物体是变速直线运动，上式中的速度 只能反映物体在某段时间内的平均速度，而不能精确地描 述运动过程中任意时刻的瞬时速度．因此，求物体在 t时 刻的瞬时速度，需要采用新的方法．下面我们用求极限的 方法来解决这个问题． 如图3-2所示，给定时间变量t在 t时的一个增量t∆， 则在从时刻 t到 t t +∆这段时间间隔内，物体运动路程的 增量为 00 22 00 2 ()() 11 () 22 1 () 2 s f t t f t g t t gt gt t g t ∆=+∆- =+∆- =∆+∆， 从而求得物体在时间段t∆内的平均速 度，即 00 ()()1 2 f t t f t s v gt g t t t +∆- ∆ ===+∆ ∆∆ ． 通过引例使学生 了解导数在现实 中的应用，体会到 数学是源于生活 的，是对实际问题 的抽象产生的，数 学学科不是脱离 我们实际生活的， 所以要好好学习 数学图3-2 图3-1