导数
一、导数的相关概念 1、导数的定义： x
x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)
()(l i m
)(000
0/
例1、用导数的定义求下列函数的导数 （1）1)(=x f （2）x x f x
2)(2
+=
2、单侧导数（左、右导数）： （1）、左导数：x x f x x f f x x ∆-∆+=-
→∆-
)
()(0lim )(
000/
（2）、右导数：x
x f x x f f x x ∆-∆+=+
→∆+
)
()(0
lim )(
000/
例2、求函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=)
1(14)
1(2)(2
x x x x x f x 在点1=x 处的左导数和右导数。
3、函数)(x f y =在点x
x 0
=
处可导的充要条件：左、右导数均存在且相等，即
)()(0/0/x x f f +
-=
例3、已知函数x x f =)(，试判定)(x f 在0=x 是否可导？若可导，求出其导数值；若不可导数，请说明理由。
4、导数的几何意义：
曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 ))(()(00/0x x x f x f y -=- 例3、求函数1)(2
+=x
x f 在点3=x 处的切线方程。
注意：
导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值，它们之间的关系是函数)(x f y =在点0x 处的导数就是导函数)(/
x f 在点0x 的函数值，通常记作x x ＇
y
=
或
)(0
'
x f 。
例5、求函数x
x f 1
)(=的导数及其在1=x 处的导数值。
5、可导与连续的关系
如果函数)(x f y =在点x x 0
=
处可导，那么函数)(x f y =在点x
处连续，反之不成
立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件；即函数在某一点可导则在该点一定连续，但函数在某点连续不一定可导。
例4、已知函数⎩
⎨⎧-≥==)0(0(x ＜x x x x y ）
，试判断)(x f y =在0=x 处的连续性和可导性。
6、求函数)(x f y =导数的一般方法：
（1）、求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆；
（2）、求平均变化率x
x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)
()(； （3）、取极限，得导数/
y ＝=)(x f ‘x
y x ∆∆→∆0lim 。
例5、求x
y 2
=的导数及其在点1=x 处的导数值。
例6、 已知123+-=x x y ，求y ＇
，2
=x ＇
y 。
二、几种常见函数的导数
1、0'=C (C 为常数) 例如：求下列函数的导数：（1）0=y ；（2）)(R a a y ∈=
2、1)'(-=n n nx x ()Q n ∈ 例如：求下列函数的导数：（1）x
y 2
=；（2）x
y 3
-=
；（3）x y =
3、x x cos )'(sin =
4、x x sin )'(cos -=
5、x
x 1
)'(ln =
6、a
x x a ln 1
)'(log =
例如：求下列函数的导数：（1）x y log 3=
7、e e
x
x =)('
8、a x a a
x ln )('
=例如：求下列函数的导数：（1）3x y =；（2）)2
1(x
y = 三、函数的和、差、积、商的导数
1、法则 1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即
'')'(v u v u ±=±
2、法则2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即'')'(uv v u uv +=
3、法则3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即
'
2
''
(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭
例7、求下列函数的导数 （1）x y x sin 3
+= （2）32
4
+--=
x y x x
（3）4532
2
3
-+-=x y x x
（4）)23)(32(2
-+=x y x
（5）x x y x
cos 32
+=
（6）9cos 2sin 5
10
--=x x x y x
（7）x
y x
sin 2
=
（8）x x
y cos 1
∙=
（9）x y cot = （10）=
y x
x
-+31 （11）=y x
x sin 12
-
四、复合函数的导数
1、复合函数：由几个函数复合而成的函数，叫复合函数。由函数)(u f y =与)(x u ϕ=复合而成的函数一般形式是)]([x f y ϕ=，其中u 称为中间变量。
2、复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u )
ϕ
′(x )。
例8、试说明下列函数是怎样复合而成 ⑴3
2)2(x y -=； ⑵2
sin x y =； ⑶)4
cos(
x y -=π
；
⑷)13sin(ln -=x y ．
例9、写出由下列函数复合而成的函数
⑴u y cos =，2
1x u +=；
⑵u y ln =，x u ln =． 例10、求下列函数的导数
（1）=y x
x x cos 423
-
（2）)132ln(2
++=x x y （3）21lg x y -=
（4）⎪⎭
⎫
⎝
⎛-+=x y x
1ln 2
（5）()[]x y ln ln ln = （6）x y ln = （7）x a
y 2
1log
+=
（8）5)12(+=x y （9）x
x f 2
sin )(=
（10）)3
2(sin
2
π
+
=
x y
（11）32c bx ax y ++= （12）y=5
1x
x
- （13）
2
sin 1=y x
（14）x x
y 2
2
1)32
(+-=
（15）()
5
2
21
51
13-+=+x y x
x
（16）()x
y x x 3sin 2
232
+-= （17）()x x y n
ln =
（18）x y e x
3cos 2=
（19）a
x
y 5=
（20）e x
y sin =
；
（21）(
)21ln x y +=
（22）()
e x
y 22=
；
（23）1
ln
22+=e e x
x
y
（24）10sin 2
x
y =；
（25）3ln 2
+=
x e x y ．
（26）e
x
x y 3sin 2-=
（27）x
y e
x
3sin 2-=
（28）x x y sin =
（29）()x x y 2cos 1lg 32-= （30）x
x
y 2=
（31）)100)(100()3)(2)(1(>----=x x x x x y
（32）)
4)(3(2
)(1(++++=
x x x x y
例11、利用导数证明2
1
32132-∙=++++n n n n n n n n C C C C ，其中N
n *
∈
．
同步练习
1、数()x f y =在x x 0=处可导是它在x x 0=处连续的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2、在曲线122-=x y 的图象上取一点)1,1(及邻近一点()y x ∆+∆+1,1，则x
y
∆∆等于（ ） A.)(242
x x ∆+∆ B.x ∆+24 C )(42
x x ∆+∆ D.x ∆+4
3、已知命题:p 函数)(x f y =的导函数是常数函数；命题:q 函数)(x f y =是一次函数，则命题p 是命题q 的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 4、设函数)(x f 在x 0处可导，则()h
h x f h x x --+→∆000)(lim 等于（ ）
A.)(0‘
x f
B.0
C. )(20‘
x f D. )(20‘
x f -
5、设()()
x x x f +=1，则)0(‘
f 等于（ ）
A.0
B.1
C.1-
D.不存在
6、若曲线上每一点处的切线都平行于x 轴，则此曲线的函数必是___。
7、曲线x y 3=在点)8,2(P 处的切线方程是___________。
8、曲线x x x f 3)(2+=在点)10,2(A 处的切线斜率=k __________。 9、两曲线12+=x y 与x y 23-=在交点处的两切线的夹角为___________。 10、设)(x f 在点x 处可导，b a ,为常数，则
=∆∆--∆+→∆x
x b x f x a x f x )
()(lim
____。
11、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧+≤++=)
0()
0(1)(2x ＞b ax x x x f x
，试确定b a ,的值，使)(x f 在0=x 处可导。
12、设)
()2)(1()
()2)(1()(n x x x n x x x x f +⋯++-⋯--=，求)1(f ＇。
13、利用导数的定义求函数)0(≠=x x y 的导数。
导数的概念及其几何意义教案 导数的概念及其几何意义 一、导数的定义和基本概念 1. 导数的定义 导数是微积分学中一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点附近的变化率。在数学上，对于给定的函数f(x)，它在某一点x0处的导数可以用极限的概念来定义，即： \[ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \] 其中，f'(x0)表示函数f(x)在点x0处的导数。 2. 导数的基本概念 根据导数的定义可以知道，导数可以理解为函数图像在某一点的切线的斜率，也就是函数在该点的瞬时变化率。导数的概念是微积分的基础，它在物理、经济、生物等领域有着广泛的应用。 二、导数的几何意义 1. 切线和切线斜率 在几何意义上，导数可以理解为函数图像在某一点的切线的斜率。对于函数f(x)，在点x0处的切线斜率即为该点处的导数值f'(x0)。通过
求导可以获得函数曲线在任意点的切线斜率，从而更好地理解函数图 像在各个点的变化趋势。 2. 导数与函数图像的关系 导数还可以帮助我们理解函数曲线的凹凸性、极值点以及拐点等性质。对于函数f(x)，如果在某一点的导数值为0，那么这个点可能是函数的极值点或者拐点。通过导数，我们可以更直观地理解函数的整体形态 和特性。 三、深入理解导数的意义 1. 导数的局部性 导数反映了函数在某一点附近的变化情况，是一种局部性的量。通过 导数，我们可以得知函数在某一点处的瞬时变化率，从而对函数的局 部特性有更深入的理解。 2. 导数与积分的关系 在微积分中，导数和积分是密切相关的。导数描述了函数的瞬时变化率，而积分则描述了函数在一定区间内的累积效应。导数和积分是微 积分学中最重要的两个概念，它们相互补充，共同构成了微积分学的 核心内容。 结语： 导数作为微积分学中的重要概念，在数学和应用领域都有着广泛的意
导数的概念 （教案•讲稿•PPT） 一、教案 【教学目标】 (1)、知识与技能目标 1.了解导数的历史背景,体会导数定义的探索过程 2.掌握导数的内容，初步会用它进行有关的计算求解． 3.使学生深刻理解导数的概念，理解导数在几何、物理上的意义，能够根据导数的定义求函数在区间上的导数． (2)、过程与方法目标 1. 在导数定义的过程中,用形象直观的两个实际例子作为引例，培养学生的观察能力、抽象思维能力.体会数形结合的思想. 2．通过探究导数定义的过程，体验数学思维的严谨性。 (3)、情感、态度与价值观目标 1. 了解导数发现的历史，感受数学知识所蕴含的数学文化，培养学生学习数学，探究数学的兴趣与本领。 2. 在探究活动中，体验用极限方法解决平均变化率逼近某点处的变化率的思想，培养学生的探究精神。 【教学重点】导数的概念. 【教学难点】如何引出导数的概念，并根据导数的定义计算导数. 【教学方法】形象直观式教学法、问题探究式教学法. 【背景知识】自由落体物体的瞬时速度问题，曲线切线的斜率问题等. 【特色和创新之处】 用通俗易懂的语言，通过文、理结合的方式，最后以口诀的形式结尾，讲解抽象的内容，体现数学的草根本色。 【教学进程概要】 用两个实际问题阐述函数在一点上导数的定义，由例题1和例题2，来讲述在一点上求导的方法；接着由例题2，引出函数左、右导数的概念；用例题3引出在开区间上的导数，即导函数的定义，在此基础上给出求导函数的例子，例题4；最后以口诀的形式结尾。 【板书内容】 导数的概念
00000 ()()()lim lim t t s t t s t s v t t t ∆→∆→+∆-∆==∆∆ 0000 ()()lim lim MT x x f x x f x y k x x ∆→∆→+∆-∆==∆∆ 对一般函数： ()y f x = 0000 0()()|lim lim x x x x f x x f x y y x x =∆→∆→+∆-∆'==∆∆ x x f x x f x y y x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆) ()(lim lim 00
导数的概念与基本运算 1．导数的概念 设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，自变量x 在点x 0有增量△x ，函数y ＝f (x )相应有增量 △y ＝f (x 0＋△x )－f (x 0)，比值 x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00是函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋△x 的平均变化率。如果当0→?x 时， x y ??有极限，则称函数y ＝f (x )在点x 0处有导数（又称可导），而这个极限值就叫做函数y ＝f (x )在点x 0处的导数（或变化率），记作f ' (x 0)或y'|0x x =，即 )(x f '=x y x ??→?0lim ＝x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 000。 2．导数概念的某些实际背景 瞬时速度是导数概念的一个物理背景，切线的斜率是导数概念的一个几何背景。 3．求导数的方法 导数应用很广泛，经常需要求导，如果都用定义求一遍，不胜其烦，人们就用定义推导出一些常见函数的导函数，并作为公式加以应用。教科书上只介绍了两个求导公式：C'=0， 及()n x '= （n 为正整数）；两个法则：[f(x)±g(x)]'=f '(x)±g '(x)， [Cf （x ）]'=C f '(x) 。 根据定义不难证明上述两个法则： [f(x)±g(x)]'= = = ±= ()f x '()g x '±； ()Cf x '????0 lim x C ?→==()Cf x ' 。 有了这些工具，我们就能求出一切多项式函数的导数了。 另外，∵=≈， ∴当△x 很小时，可把它作为一个简单易记的近似计算公式。 （1）几种常用函数的导数公式如下：
导数 一、导数的相关概念 1、导数的定义： x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆) ()(l i m )(000 0/ 例1、用导数的定义求下列函数的导数 （1）1)(=x f （2）x x f x 2)(2 += 2、单侧导数（左、右导数）： （1）、左导数：x x f x x f f x x ∆-∆+=- →∆- ) ()(0lim )( 000/ （2）、右导数：x x f x x f f x x ∆-∆+=+ →∆+ ) ()(0 lim )( 000/ 例2、求函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=) 1(14) 1(2)(2 x x x x x f x 在点1=x 处的左导数和右导数。
3、函数)(x f y =在点x x 0 = 处可导的充要条件：左、右导数均存在且相等，即 )()(0/0/x x f f + -= 例3、已知函数x x f =)(，试判定)(x f 在0=x 是否可导？若可导，求出其导数值；若不可导数，请说明理由。 4、导数的几何意义： 曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 ))(()(00/0x x x f x f y -=- 例3、求函数1)(2 +=x x f 在点3=x 处的切线方程。 注意： 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值，它们之间的关系是函数)(x f y =在点0x 处的导数就是导函数)(/ x f 在点0x 的函数值，通常记作x x ＇ y = 或 )(0 ' x f 。 例5、求函数x x f 1 )(=的导数及其在1=x 处的导数值。
《导数的概念》教案 【教学目标】：理解导数的概念并会运用概念求导数。 【教学重点】：导数的概念以及求导数 【教学难点】：导数的概念 【教学过程】： 一、导入新课： 上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。 二、新授课： 1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ?时，则函数)(x f Y =相应地有增量)()(00x f x x f y -?+=?，如果0→?x 时，y ?与x ?的比 x y ??（也叫函数的平均变化率）有极限即x y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0 / x x y =，即 x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(000 0/ 注：1.函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。 2.在定义导数的极限式中，x ?趋近于0可正、可负、但不为0，而y ?可能为0。 3. x y ??是函数)(x f y =对自变量x 在x ?范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ?+?+）的割线斜率。 4.导数x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(000 0/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变 化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线 )(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。因此，如果)(x f y =在点0x 可导，
第一节 导数的概念 教学目标：理解导数的概念，理解导数的几何意义，会求切线方程和法线方程。 教学重点：导数的定义。 教学难点：导数的定义。 教学方法：讲授法 教学用具：多媒体，黑板。 教学步骤： 一、导入新课： 首先提出芝诺的“飞矢不动”的怪论：他说一支射出去的箭在每一瞬间都有一个确定的位置，因而在每一瞬间都没有动。既然每个瞬间都没有动，它怎么能够动呢？ 并给出瞬间的正确含义。 1、瞬时速度 设一质点作直线运动，其运动规律为 ()s f t =，其中s 表示路程，t 表示时间。 求质点在0t t =时的瞬时速度v (0t )。 取邻近于0t 的时刻0,t t +∆那么质点在t ∆这一时间段上的平均速度为 s v t ∆= ∆=t t f t t f ∆-∆+)()(00. 0()v t =0 lim →∆t t s ∆∆=0 lim →∆t t t f t t f ∆-∆+)()(00. 2、切线的斜率 设曲线y =)(x f 的图形如图所示, 点),(00y x M 为曲线上一定点, 过M 点作切线MT ，求切线的斜率。 切线MT 可以看作割线MN 当动点N 沿着此曲线无限接近于点M 时的极限位置。既然割线的极限位置就是切线，我们就可以通过计算割线的斜率，然后取极限得到切线的斜率。 割线MN 的斜率为 x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00. 下面来取极限。当N 无限接近于点M 时，点N 与 点M 的横坐标之差0,x ∆→因此
k =0 lim →∆x x y ∆∆=0 lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00. 上面这两个问题中，最后都归结为同一类型的的极限，即 当自变量的增量趋近于0时，函数增量与自变量增量比的极限。这类极限如果存在，将极限值称为函数的导数。 二、新课教学 1、给出导数的定义 设函数y =)(x f 在点0x 的某邻域内有定义, 若极限 x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000 存在, 则称函数y =)(x f 在点0x 处可导, 并称此极限值为函数y =)(x f 在点0x 处的导数. 记为 )(0' x f ， 0 ' x x y =或 .x x dy dx = 2、因此，质点在时刻0t 的瞬时速度就是路程函数)(t f 在0t 处的导数； 曲线y =)(x f 在点),(00y x M 处的切线斜率就是)(x f 在0x 处的导数。 3、例 求做自由落体运动的物体在时刻0t 的瞬时速度0().v t （运动方程为12()2 h t gt = ） 解 0()v t =0lim →∆t 00()()h t t h t t +∆-∆=0lim →∆t 001122()22g t t gt t +∆-∆ =1 2g 0lim →∆t 0022()t t t t +∆-∆=12g 0lim →∆t 202t t t t ∆+∆∆=12g 0 lim →∆t 0(2)t t +∆0gt =. 4、导数的几何意义： 曲线=y )(x f 在点00(,())x f x 处的切线方程为 -y )(0x f =('f )0x (x x -0). 曲线=y )(x f 在点00(,())x f x 处的法线方程为 -y )(0x f =' 01 () f x - (x x -0).
全国高中数学优质课 课题：导数的概念 一、教学内容解析 《导数的概念》是《选修2-2》第一章第1.1节中第1.1.2小结的内容，是高中数学的一节概念课.数学学习离不开推理，推理离不开判断，而判断是以一切概念为基础的.因此，数学教师必须要重视概念的教学. 纵观《导数及其应用》这章内容，导数以高起点，高观点和更一般的方法简化了中学数学中许多与函数相关的问题.导数的出现也为我们今后微积分的发展提供了方法和工具，从而使得它在其它学科领域也有了广泛的应用.但我们又不能将导数作为一种规则和步骤来学习，否则，学生很难体会导数的思想及其内涵，这样导数概念的学习就至关重要. 一般地，导数概念学习的起点是极限，但就高中学生的认知水平而言，他们很难理解极限的形式化定义.因此，我们对导数概念的引入从变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数. 我们将导数概念的建立分为两个阶段，在明确瞬时速度含义的基础上，将瞬时速度一般化，即抽象为一般的函数，从而形成导数的概念. 第一阶段：明确瞬时速度的含义及平均速度与瞬时速度的区别和联系.让学生在观察实验的同时，体会当||t ∆变小，趋于0时， t s ∆∆趋于一个定值，这个定值就是瞬时速度.在经历平均速度到瞬时速度的过程中，第一次体会逼近的数学思想. 第二阶段，将平均速度和瞬时速度抽象为一般的表达式，完全转化为数学问题，在揭示研究瞬时变化率必要性的同时，用类比的思想方法，经历从
平均变化率到瞬时变化率的过渡，再次体会逼近的思想方法.最后，建立导数的概念. 因此，根据以上对教学内容的分析，确立本节课的教学重点：在充分经历导数概念的建立过程中，体会逼近的数学思想，理解导数的思想及其内涵. 二、教学目标 1.在导数概念建立的过程中，引导学生通过观察、数值逼近、几何直观感受、解析式抽象、类比等方法体会数学概念的发生和形成. 2.理解导数的概念，初步掌握导数的计算方法，并在具体数学问题中进一步理解导数的概念. 3.通过对瞬时速度、瞬时变化率的探索，激发学生对本部分内容学习的兴趣. 三、学生学情分析 1.导数是对变化率的一种“度量”.实际生活中，学生最为熟悉的一种变化率就是物体的运动速度.学生在1.1.1小结学习了导数的物理意义，掌握了变化率，在高一年级的物理课程中学习过瞬时速度，因此，学生已经具备了一定的认知基础，他们不会对新知识感到无所适从. 2.可能存在的问题：（1）“逼近”的思想对于学生而言，还是比较陌生，需要精心设计教学活动，比如借助物理知识等，激发学生的兴趣，从学生已有的知识背景出发，帮助学生经历从平均速度到瞬时速度，从平均变化率到瞬时变化率的过渡.（2）使学生能通过观察发现：运动的物体在某一时刻的平均速度在时间间隔越来越小时，逐渐趋于一个不变的常数，而且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度.这个过程学生难以想象，同时数值逼近的运
课 题 导数的概念 课 型 新授 时 间 09/ 9 / 课程标准 1、理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法； 理解导数的几何意义；理解导函数的概念和意义； 2、先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义，培养转化问题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力 3、让学生感受事物之间的联系，体会数学的美。 教学重点 1、导数的求解方法和过程； 2、导数符号的灵活运用 一、自主学习 1、求函数2)(x x f =在点（2，4）处的切线斜率。 2、直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是12 -=t V ，求o t t =时的瞬时速度。 3.上述两个函数)(x f 和)(t V 中，当x ?(t ?)无限趋近于0时，t V ??(x V ??)都无限趋近于一个常数。 归纳：一般的，定义在区间（a ，b ）上的函数)(x f ，)(b a x o ，∈，当x ?无限趋近于0时，x x f x x f x y o o ?-?+=??)()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称)(x f 在o x x =处可导，并称A 为)(x f 在o x x =处的导数，记作)('o x f 或o x x x f =|)(' 上述两个问题中：（1）4)2('=f ，（2）o o t t V 2)('= 我们上述过程可以看出)(x f 在0x x =处的导数就是)(x f 在0x x =处的切线斜率。（即导数的几何意义） 4.自学检测： （1）见课本（文P66，理P14）练习 第1题： ； ；（说明什么？ ） 第2题：（1） ；（2） ；（3） 。 （2）见课本（文P67，理P16）习题 第2题：=)5(f ；=)5(' f ； 第4题：斜率为 ；切线方程为 。 二次备课：
【教学课题】：§2.1 导数的概念（第一课时） 【教学目的】：能使学生深刻理解在一点处导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背 景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数在一点处的导数；明确 一点处的导数与单侧导数、可导与连续的关系。 【教学重点】：在一点处导数的定义。 【教学难点】：在一点处导数的几种等价定义及其应用。 【教学方法】：系统讲授，问题教学，多媒体的利用等。 【教学过程】： 一） 导数的思想的历史回顾 导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat ）为研究极值问题而引入的，但导数作为微积分的最主要的概念，却是英国数学家牛顿（Newton ）和德国数学家莱布尼兹（Leibniz ）在研究力学与几何学的过程中建立起来的。 二）两个来自物理学与几何学的问题的解决 问题1 （以变速直线运动的瞬时速度的问题的解决为背景）已知：自由落体运动方程为：2 1()2 s t gt = ，[0,]t T ∈，求：落体在0t 时刻（0[0,]t T ∈）的瞬时速度。 问题解决：设t 为0t 的邻近时刻，则落体在时间段0[,]t t （或0[,]t t ）上的平均速度为 00 ()() s t s t v t t -= - 若0t t →时平均速度的极限存在，则极限 00 ()() lim t t s t s t v t t →-=- 为质点在时刻0t 的瞬时速度。
问题2 （以曲线在某一点处切线的斜率的问题的解决为背景）已知：曲线)(x f y =上点00(,)M x y ，求：M 点处切线的斜率。 下面给出切线的一般定义；设曲线C 及曲线C 上的一点M ，如图，在M 外C 上另外取一点N ，作割线MN ，当N 沿着C 趋近点M 时，如果割线MN 绕点M 旋转而趋于极限位置MT ，直线MT 就称为曲线C 在点M 处的切线。 问题解决：取在C 上M 附近一点(,)N x y ，于是割线PQ 的斜率为 0000 ()() tan y y f x f x x x x x ?--= =--（?为割线MN 的倾角） 当0x x →时，若上式极限存在，则极限 00 ()() tan lim x x f x f x k x x α→-==-（α为割线MT 的倾角） 为点M 处的切线的斜率。 上述两问题中，第一个是物理学的问题，后一个是几何学问题，分属不同的学科，但问 题的解决都归结到求形如 0()(lim x x x f x f x x --→） （1） 的极限问题。事实上，在学习物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中，尽管其背景各不相同，但最终都化归为讨论形如（1）的极限问题。也正是这类问题的研究，促使“导数”的概念的诞生。 三） 导数的定义 定义 设函数)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，若极限 0()(lim x x x f x f x x --→） 存在，则称函数f 在点0x 处可导，并称该极限为f 在点0x 处的导数，记作)('0x f 。即 000 ()('()lim x x f x f x f x x x →-=-） （2）
导数的概念》教学设计完美版导数的概念》教学设计 XXXXXX 课型：新授课 一、教学内容解析 导数是微积分学的核心概念之一，导数是导函数的简称，本质仍是函数，其实也就是微商．导数不仅是数学知识，也是一种数学思想，也蕴含着函数思想和极限的思想方法，本节内容的核心是用平均变化率的极限来刻划瞬时变化率，从课标要求与教材的编写看，淡化了极限的形式化定义，不把导数作为一种特殊的极限来处理，而是直接通过实例来反映导数的思想和本质，因此，让学生充分体验“极限的过程及研究的思想方法”为本节课的重点． 导数属于事实型知识——函数的瞬时变化率是客观存在的，用平均变化率的极限来刻划，并用形式化的极限符号表示只是我们研究导数的方法．导数为研究变量和函数提供了重要的方法和手段，具有将复杂问题归纳为简单规则和步骤的非凡能力，不仅是研究初等函数最有效的工具，还是研究微积分学的必备基础，也是研究各种科学的工具，XXX曾说过“只有在微积分发明之后，物理学才成为一门科学”，天地通用微积分．
变量和函数在天然界和社会中有着几乎地处不在的实际背景，所以高中学生不论他将来是不是进入高校研究，都应研究导数及其使用的内容，并使用它考察和了解实际现象中的变革．毫不夸张地说，不学或未学懂微积分，学生思维难以达到较高的程度，从某种意义上看，对导数所蕴含的数学思想方法的研究价值，远高于对其常识的研究．通过本课导数概念的形成过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟“逼近”思想、数形结合思想和函数思想，进一步体会数学的本质． 2、教学目标设置 知识与技能： 1）知道平均变化率与瞬时变化率的关系；能正确区分平均变化率与瞬时变化率；会描述导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，知道函数在某点的导数与在某个区间内的导函数的关系，体会导数的思想及其内涵． 2）会依据定义求简单函数在某点处的导数，能初步按定义归纳求函数在某点处导数的基本步骤． 过程与方法： 1）通过用几何画板的动态演示，让学生观察、经历由平均变化率到瞬时变化率的“逼近”过程，体会极限的思想方法．
函数导数的性质教案 教案标题：函数导数的性质教案 教案目标： 1. 使学生了解函数导数的概念和性质。 2. 帮助学生掌握函数导数的计算方法。 3. 培养学生分析和解决实际问题时运用函数导数的能力。 教学内容： 1. 函数导数的定义和基本性质。 2. 导数的计算方法：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。 3. 函数导数的应用：切线与法线的问题、函数的单调性和极值问题。 教学步骤： 引入： 1. 引导学生回顾导数的概念，通过提问和讨论，引出函数导数的概念。 探究： 2. 介绍函数导数的定义和基本性质，包括导数的几何意义和物理意义。 3. 通过具体的例子，引导学生计算常见函数的导数，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。 拓展： 4. 引导学生思考函数导数的应用，如切线与法线的问题、函数的单调性和极值问题。 5. 通过实际问题的解析和讨论，帮助学生理解函数导数在实际问题中的应用价值。
总结： 6. 总结函数导数的性质和计算方法，强调函数导数的重要性和应用范围。 7. 布置练习作业，巩固学生对函数导数的理解和应用能力。 教学资源： 1. 教科书或课本中关于函数导数的相关知识点和例题。 2. 计算器或电脑软件，用于辅助计算函数导数。 评估方法： 1. 课堂练习：通过课堂练习检查学生对函数导数的计算和应用能力。 2. 作业评估：根据学生完成的作业，评估他们对函数导数的理解和应用能力。教学建议： 1. 在引入部分，可以通过引用实际问题的例子来激发学生的兴趣和学习动力。 2. 在探究部分，可以设计一些互动性强的活动，如小组讨论、问题解答等，促进学生的主动参与和思考。 3. 在拓展部分，可以引导学生进行实际问题的解析和讨论，加深他们对函数导数应用的理解和认识。 4. 在评估方法中，可以设计一些开放性问题，考察学生对函数导数的深入理解和创新思维能力。 希望以上教案建议和指导对您有所帮助！如有需要，还请随时提问。
导数的概念教案 教案名称：导数的概念教案 教学目标： 1. 了解导数的概念及其意义； 2. 理解导数的计算方法； 3. 掌握导数的性质和应用； 4. 能够应用导数解决实际问题。 教学准备： 1. 打印教学材料，包括导数的定义和计算方法； 2. 准备多个实例进行演示； 3. 录制导数的演示视频或准备PPT。 教学流程： 引入导数概念（10分钟） 1. 显示导数的定义：导数是描述函数在某一点附近的变化率的量，也可看作是函数图像在某一点处的切线斜率。 2. 解释导数的意义：导数可以告诉我们函数在某点的瞬时变化速率。比如，如果一个函数的导数为正，表示函数在该点上升；若导数为负，表示函数在该点下降；若导数为零，表示函数在该点处于极值。 3. 引导学生举例说明导数在实际生活中的应用场景，如速度为
时间的导数，可以表示物体的加速度；收入为销售额的导数，可以表示销售额的增长速率等。 导数的计算方法（20分钟） 1. 讲解导数的计算方法：导数的计算方法有多种，主要介绍以下几种： a. 使用定义计算导数：利用导数的定义公式，计算函数在某 一点处的导数，即导数等于函数在该点的极限。 b. 使用公式计算导数：介绍常用函数的导数公式，如幂函数、指数函数、对数函数等。 c. 使用求导法则：介绍导数四则运算法则，如求和法则、差 法则、积法则和商法则，以及复合函数求导法则等。 2. 举例演示导数的计算方法：通过几个具体的函数例子，进行导数的计算演示，包括使用定义计算导数、使用公式计算导数和使用求导法则计算导数。 导数的性质和应用（20分钟） 1. 解释导数的性质：导数的性质有连续性、可导性和递增、递减性等，侧重讲解连续性和可导性的概念和性质。 2. 展示导数的应用：介绍导数在数学和实际问题中的应用，如极值问题、最优化问题、函数图像的绘制等。 解决实际问题（10分钟）
导数的背景（5月4日） 教学目标理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 教学重点瞬时速度、切线的斜率、边际成本 教学难点极限思想 教学过程 一、导入新课 1.瞬时速度 问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ 析：大家知道，自由落体的运动公式是（其中g是重力加速度）. 当时间增量很小时，从3秒到（3＋）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大.因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度. 从3秒到（3＋）秒这段时间内位移的增量： 从而，. 从上式可以看出，越小，越接近29.4米/秒；当无限趋近于0时，无限趋近于29.4米/秒.此时我们说，当趋向于0时，的极限是29.4. 当趋向于0时，平均速度的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做瞬时速度. 一般地，设物体的运动规律是s＝s（t），则物体在t到（t＋）这段时间内的平均速度为.如果无限趋近于0时，无限趋近于某个常数a，就说当趋向于0时，的极限为a，这时a就是物体在时刻t的瞬时速度. 2.切线的斜率 问题2：P（1,1）是曲线上的一点，Q是曲线上点P附近的一个点，当点Q沿曲线逐渐向点P趋近时割线PQ的斜率的变化情况. 析：设点Q的横坐标为1＋，则点Q的纵坐标为（1＋）2，点Q对于点P的纵坐标的增量（即函数的增量）， 所以，割线PQ的斜率. 由此可知，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，变得越来越小，越来越接近2；当点Q无限接近于点P时，即无限趋近于0时，无限趋近于2.这表明，割线PQ无限趋近于过点P且斜率为2的直线.我们把这条直线叫做曲线在点P处的
切线.由点斜式，这条切线的方程为：. 一般地，已知函数的图象是曲线C，P（），Q（）是曲线C上的两点，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P转动.当点Q沿着曲线无限接近点P，即趋向于0时，如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线.此时，割线PQ的斜率无限趋近于切线PT的斜率k，也就是说，当趋向于0时，割线PQ的斜率的极限为k. 3.边际成本 问题3：设成本为C，产量为q，成本与产量的函数关系式为，我们来研究当q ＝50时，产量变化对成本的影响.在本问题中，成本的增量为：. 产量变化对成本的影响可用：来刻划，越小，越接近300；当无限趋近于0时，无限趋近于300，我们就说当趋向于0时，的极限是300. 我们把的极限300叫做当q＝50时的边际成本. 一般地，设C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为C＝C（q），当产量为时，产量变化对成本的影响可用增量比刻划.如果无限趋近于0时，无限趋近于常数A，经济学上称A为边际成本.它表明当产量为时，增加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本的一个近似值）. 二、小结 瞬时速度是平均速度当趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率当趋近于0时的极限；边际成本是平均成本当趋近于0时的极限. 三、练习与作业： 1.某物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s）求它在t＝2s时的速度. 2.判断曲线在点P（1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 3.已知成本C与产量q的函数关系式为，求当产量q＝80时的边际成本. 4.一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h（单位：m）与时间t（单 位：s）之间的函数关系为，求t＝4s时此球在垂直方向的瞬时速度.
“导数的概念及其意义”单元教学设计 一、内容和及其解析 （一）内容 导数的概念及其意义。 （二）内容解析 1.内容本质： 按照概念教学的基本环节（引入、明确、巩固、应用），本单元引导学生经历4次由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程： 过程1 物理学中由平均速度过渡到瞬时速度的过程——典型实例分析； 过程2 几何学中特殊曲线由割线过渡到切线、由割线斜率过渡到切线斜率的过程——典型实例分析； 过程3 一般函数y＝f（x）从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程——给出导数的概念； 过程4 一般曲线y＝f（x）由割线过渡到切线、由割线斜率过渡过渡到切线斜率的过程——给出导数的几何意义． 前3个过程的重心是对两个不同类型的典型实例进行属性的分析、比较、综合，概括它们的共同本质特征得到本质属性，进而抽象概括出导数概念——用准确的数学语言表述的导数概念，属于概念教学一般进程中的“概念的形成”和“概念的明确与表示”环节；过程2、过程4是从特殊到一般得到一般切线概念以及导数的几何意义的过程，其中过程4让学生又一次经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，有利于建立多元联系，进一步理解导数的概念．这样多次、反复经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，极大地助力学生初步理解导数的内涵——导数是瞬时变化率 需要特别注意的是，在上述4个过程尤其是过程1和过程2中，还应不断渗透和多次使用“运动变化的观点”、“在局部小范围内以不变代变、以直代曲”等微积分基本思想以及“极限思想”解决问题，这样在抽象概括导数的概念和几何意义时，可以对研究问题思想方法、过程，极限思想和结果形式的一致性等“内容及其蕴含的思想、方法”一并进行适度总结概括；在过程2和过程4中，让学生通过函数图象直观体会 割线逼近切线过程，理解导数的几何意义． 2.蕴含的思想方法 在介绍两个典型实例、导数的概念及其几何意义的过程中，引导学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，不断渗透“用运动变化的观点研究问题”、“逼近（极限）”、“以直代曲”等微积分
《导数的概念》教案 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时． 教学内容分析 1．导数的地位、作用 导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后研究微积分的基础．同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具. 2．本课内容剖析 教材安排导数内容时，学生是没有研究极限概念的．教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上研究．所以，让学生通过研究导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后研究极限提供了认识基础．另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是
研究函数的有力工具，因此，安排先研究导数方便学生研究和研究函数． 基于学生曾经在高一年级的物理课程中研究了瞬时速率，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速率的极限去得出瞬时速率，再由此笼统出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率界说为导数，这是吻合学生认知规律的． 进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率，我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想． 教学目的 1．使学生认识到：其工夫距离越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速率趋向于一个常数，而且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速率； 2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；
课题：导数的概念（第三课时） 教材：人民教育出版社A（选修Ⅱ） 教师：中卫市第一中学俞清华 一、教材分析 1. 本节内容： 《导数的概念》这一小节分“曲线的切线”，“瞬时速度”，“导数的概念”，“导数的几何意义”四个部分展开，大约需要4个课时．第一、二课时学习“曲线的切线”，“瞬时速度”，今天说的是第三课时的内容导数概念的形成. 2. 导数在高中数学中的地位与作用： 导数作为微积分的核心概念之一，在高中数学中具有相当重要的地位和作用. 从横向看，导数处于一种特殊的地位．它是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具，它以更高的观点和更简捷的方法简化中学数学的许多问题． 从纵向看，导数是对函数知识的深化，对极限知识的发展，同时为以后研究导数的几何意义及应用打下必备的基础，具有承前启后的重要作用． 二、学情分析 1. 有利因素：学生已较好地掌握了函数极限的知识，又刚刚学过曲线的切线、瞬时速度，并积累了大量的关于函数变化率的经验；另外，我班学生思维比较活跃，对数学新内容的学习，有相当的兴趣和积极性，这为本课的学习奠定了基础． 2. 不利因素：导数概念建立在极限基础之上，超乎学生的直观经验，抽象度高；再者，本课内容思维量大，对类比归纳，抽象概括，联系与转化的思维能力有较高的要求，学生学习起来有一定难度． 三、目标分析 1. 教学目标 （1）知识与技能目标：①理解导数的概念.②掌握用定义求导数的方法. （2）过程与方法目标：通过导数概念的形成过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想和函数思想；提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力．（3）情感、态度与价值观目标： ①通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度． ②培养学生正确认识量变与质变、运动与静止等辩证唯物主义观点，形成正确的数学观． 2. 教学重、难点 【确定依据】依据教学大纲的要求，结合本节内容和本班学生的实际 重点：导数的定义和用定义求导数的方法． 难点：对导数概念的理解． 【难点突破】本课设计上从瞬时速度、切线的斜率两个具体模型出发，由特殊到一般、从具
导数的概念 [教学目的] 1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定义、几何意义； 2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数的定义求导数的一般方法 3.在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。 [教学重点和难点]导数的概念是本节的重点和难点 [教学方法]讲授启发，自学演练。 [授课类型]：新授课 [课时安排]：1课时 [教 具]：多媒体、实物投影仪 [教学过程] 一、复习提问(导数定义的引入) 1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度) 2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？ 在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系()105.69.42 ++-=t t t h ，那么我们就会计算任意一段的平均速 度v ，通过平均速度v 来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？ （2）新课 我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。先计算2秒之前的t ∆时间段内的平均速度v ，请同学们完成表格1左边部分，（事先准备好的），再完成表格的右边部分〉 表格1
表格2 0<∆t 时，在[]2,2t ∆+这段时间内 0>∆t 时，在[]t ∆+2,2这段时间内 ()()()1 .139.41.139.422222-∆-=∆-∆+∆= ∆+-∆+-=t t t t t t h h v ()()()1 .139.41.139.422222-∆-=∆∆-∆-= -∆+-∆+=t t t t t h t h v 当-=∆t 0.01时，-=v 13.051； 当=∆t 0.01时，-=v 13.149； 当-=∆t 0.001时，-=v 13.095 1； 当=∆t 0.001时，-=v 13.104 9； 当-=∆t 0.000 1时，-=v 13.099 51； 当=∆t 0.000 1时，-=v 13.100 49； 当-=∆t 0.000 01时，-=v 13.099 951； 当=∆t 0.000 01时，-=v 13.100 049； 当-=∆t 0.000 001时，-=v 13.099 995 1； 当=∆t 0.000 001时，-=v 13.100 004 9； 。。。。。。 。。。。。。 关于这些数据，下面的判断对吗？ 2．当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是t 从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1s m /。 3． 靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段[]2,2t ∆+上的平均速度； 4． 靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段[]t ∆+2,2上的平均速度； 5． -13.1表示在2秒附近，运动员的速度大约是-13.1s m /。 分析:2=t 秒时有一个确定的速度，2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬时速度，所以比-13.1大的数作为2秒的瞬时速度不合理，比-13.1小的数作为2秒的瞬时速度也不合理，因此，运动员在2秒时的瞬时速度是-13.1s m /。 这样，我们就得到了2秒时的瞬时速度是-13.1s m /，现在我们一起回忆一下是如何得到的： 首先，算出[]t ∆+2,2上的平均速度 ()()t h t h ∆-∆+22=1.139.4-∆-t ，接着观察当t ∆趋近于 0时，上式趋近于一个确定的值-13.1，这个值就是运动员在2秒时的瞬时速度。为了表述方便，