导数的概念及其几何意义教案
导数的概念及其几何意义
一、导数的定义和基本概念
1. 导数的定义
导数是微积分学中一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点附近的变化率。在数学上，对于给定的函数f(x)，它在某一点x0处的导数可以用极限的概念来定义，即：
\[ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) -
f(x_0)}{\Delta x} \]
其中，f'(x0)表示函数f(x)在点x0处的导数。
2. 导数的基本概念
根据导数的定义可以知道，导数可以理解为函数图像在某一点的切线的斜率，也就是函数在该点的瞬时变化率。导数的概念是微积分的基础，它在物理、经济、生物等领域有着广泛的应用。
二、导数的几何意义
1. 切线和切线斜率
在几何意义上，导数可以理解为函数图像在某一点的切线的斜率。对于函数f(x)，在点x0处的切线斜率即为该点处的导数值f'(x0)。通过
求导可以获得函数曲线在任意点的切线斜率，从而更好地理解函数图
像在各个点的变化趋势。
2. 导数与函数图像的关系
导数还可以帮助我们理解函数曲线的凹凸性、极值点以及拐点等性质。对于函数f(x)，如果在某一点的导数值为0，那么这个点可能是函数的极值点或者拐点。通过导数，我们可以更直观地理解函数的整体形态
和特性。
三、深入理解导数的意义
1. 导数的局部性
导数反映了函数在某一点附近的变化情况，是一种局部性的量。通过
导数，我们可以得知函数在某一点处的瞬时变化率，从而对函数的局
部特性有更深入的理解。
2. 导数与积分的关系
在微积分中，导数和积分是密切相关的。导数描述了函数的瞬时变化率，而积分则描述了函数在一定区间内的累积效应。导数和积分是微
积分学中最重要的两个概念，它们相互补充，共同构成了微积分学的
核心内容。
结语：
导数作为微积分学中的重要概念，在数学和应用领域都有着广泛的意
义。通过深入理解导数的概念及其几何意义，我们可以更好地理解函
数图像的变化规律，为后续的微积分学习打下扎实的基础。希望本文
对你有所帮助，也欢迎大家分享自己对导数概念的理解和看法。
3. 导数在优化中的应用
在现实生活中，导数的概念和应用也是非常广泛的。特别是在优化问
题中，导数可以帮助我们寻找函数的极值点。通过求导并令导数为零，我们可以找到函数的极小值或者极大值点，这在工程、经济学和其他
领域的优化问题中有着重要的应用。在工程设计中，需要考虑成本和
效率的最优化问题，而导数则可以帮助我们找到这些最优解。
4. 导数在物理学中的应用
在物理学中，导数也有着重要的应用。速度和加速度分别是位移函数
和速度函数的导数。通过求解这些导数，我们可以得到物体的速度和
加速度，从而更好地理解物体的运动规律。导数的概念也在其他物理
学领域中有着广泛的应用，帮助我们理解自然界的各种现象。
5. 导数与函数的图像
除了切线斜率和函数图像的特性，导数还可以帮助我们更直观地理解
函数的曲线形状。通过导数的符号和大小，我们可以推断函数的增减性、凹凸性以及拐点的位置。这些信息对于理解函数的整体性质至关
重要，通过导数，我们可以更深入地探索函数图像的特性。
6. 导数与变化率
导数可以解释函数在某一点的瞬时变化率，这对于理解变化和趋势也是非常重要的。在经济学中，导数可以帮助我们分析市场需求和供给的变化率；在生物学中，导数可以帮助我们理解生物体的增长速率。导数的概念和应用贯穿于各个学科领域，为我们提供了更深入地理解复杂现象的工具。
通过扩展对导数的几何意义和应用领域的讨论，我们可以更全面地理解导数的重要性和广泛的应用。导数不仅是微积分学中的基础概念，更是我们理解自然界和现实生活中复杂问题的重要工具。希望通过这些深入的讨论，大家可以对导数有更深入的理解，并在实际应用中更加灵活地运用导数的概念。
导数的概念及其几何意义教案 导数的概念及其几何意义 一、导数的定义和基本概念 1. 导数的定义 导数是微积分学中一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点附近的变化率。在数学上，对于给定的函数f(x)，它在某一点x0处的导数可以用极限的概念来定义，即： \[ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \] 其中，f'(x0)表示函数f(x)在点x0处的导数。 2. 导数的基本概念 根据导数的定义可以知道，导数可以理解为函数图像在某一点的切线的斜率，也就是函数在该点的瞬时变化率。导数的概念是微积分的基础，它在物理、经济、生物等领域有着广泛的应用。 二、导数的几何意义 1. 切线和切线斜率 在几何意义上，导数可以理解为函数图像在某一点的切线的斜率。对于函数f(x)，在点x0处的切线斜率即为该点处的导数值f'(x0)。通过
求导可以获得函数曲线在任意点的切线斜率，从而更好地理解函数图 像在各个点的变化趋势。 2. 导数与函数图像的关系 导数还可以帮助我们理解函数曲线的凹凸性、极值点以及拐点等性质。对于函数f(x)，如果在某一点的导数值为0，那么这个点可能是函数的极值点或者拐点。通过导数，我们可以更直观地理解函数的整体形态 和特性。 三、深入理解导数的意义 1. 导数的局部性 导数反映了函数在某一点附近的变化情况，是一种局部性的量。通过 导数，我们可以得知函数在某一点处的瞬时变化率，从而对函数的局 部特性有更深入的理解。 2. 导数与积分的关系 在微积分中，导数和积分是密切相关的。导数描述了函数的瞬时变化率，而积分则描述了函数在一定区间内的累积效应。导数和积分是微 积分学中最重要的两个概念，它们相互补充，共同构成了微积分学的 核心内容。 结语： 导数作为微积分学中的重要概念，在数学和应用领域都有着广泛的意
导数的概念及其几何意义 一.教学内容解析 （一）内容结构图 1.章内容结构图 2.单元内容结构图 （二）教学内容解析 1.本章内容解析 本章内容——导数及其应用是众多知识的交汇，是研究函数性质，解决不等式、数列、几何等相关问题的重要工具. 为了描述现实世界中的运动变化现象，在数学中引入了函数.在对函数的深入研究中，数学家创立了微积分，这是具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑.微积分的创立与处理四类科学问题直接相关：一是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；二是求曲线的切线；三是求函数的最大值与最小值；四是求长度、面积、体积和重心等. 导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；它定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等性质的基本方法 .因而也是解决诸如增长率、
膨胀率、效率、密度、加速度等实际问题的基本工具. 2.本单元内容解析 在本单元——导数的概念及其意义中，学生将通过实际情境，经历用平均变化率和瞬时变化率刻画实例的过程，感受数学的极限思想，抽象生成导数的概念，并通过函数图像直观感受导数的几何意义，感受“以直代曲”的极限思想.能够用导数的概念解释生活中的现象，体会用导数的知识研究函数的思想方法.通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义. 本单元设计了三个分讲，共计4课时，分别是章引言与两个变化率问题（2课时），导数的概念及其几何意义（1课时），导数的应用及导函数（1课时）. 3. 课时内容解析 本课时内容选自人教社A 版《选修2-2》第一章导数及其应用中第一单元导数的概念及其意义中的单元分讲2——导数的概念及其几何意义，用时1课时. 本课时内容是在学生已经学习了分讲1——章引言和两个变化率问题，即：已经研究了物理学中的平均速度和瞬时速度，几何学中的割线斜率和切线斜率的基础上，通过数学抽象，生成导数的概念及其表达.从“数”的角度理解导数概念的本质就是瞬时变化率.从“形”的角度，类比分讲1中曲线2 ()f x x =在点(0,0)处的切线的斜率就是函数2 ()f x x =在0x =处的导数的几何意义，抽象生成一般曲线()y f x =在0x x =处的导数的几何意义. 通过信息技术，直观感受“以直代曲”的极限思想，感受“数”与“形”的相辅相成.由质疑“切线的原始定义”为出发点，类比分讲1中曲线2 ()f x x =在点(0,0)处的切线定义，抽象生成一般曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线定义. 体会微积分的重要思想——用运动变化的观点解决问题.课时中的两个生活实例，意在引导学生用导数的概念解决 “原油的瞬时变化率”问题，用导数的几何意义解决运动员“高台跳水”不同时刻的变化情况，感受数学源于生活，用于生活的价值.培养学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界，提升分析问题、解决问题的能力，提升数学抽象和直观想象的数学核心素养. 基于以上分析，确定本课时的教学重点：抽象生成导数的概念，直观感受导数的几何意义，体会“以直代曲”的极限思想. 二.教学目标设置 （一）本章教学目标
导数的概念及其几何意义 教学目标： 1.了解平均变化率与割线之间、瞬时变化率与切线之间的关系,通过函数的图象理解导数的几何意义. 2.了解导函数的概念,会求导函数. 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 重点 本课重点是求曲线上某点处的切线方程. 难点： 本课难点是准确理解函数在某点处与过某点的切线方程. 教学过程： 1导函数的概念 （1）定义式： . （2）f ′(0x )与f ′(x)的区别：f ′(0x )是一个确定的数，f ′(x)是随x 的变化而变化的一个函数. 2.函数y=f(x)在点0x 处的导数的几何意义 （1）几何意义：是曲线y=f(x)在点P(0x ,f(0x ))处的切线的 斜率 （2）相应的切线方程：y-f(0x )=f ′(0x )(x-0x ) 特别明确： 1.曲线在某点处的切线与曲线的公共点是否只有一个？ 提示：不一定.曲线在某点处的切线只是一个局部概念，是该点处割线的极限情况，在其他地方可能还有公共点. 2.导数与切线有何联系？ 提示：函数y=f(x)在x=处的0x 导数f ′(0x )是曲线f(x)在x=0x 处的切线的斜率，即k=f ′(0x ). 例1一条水管流过的水量y(单位：m 3)是时间s)(单位：x 的函数x x f y 3)(==求函数)(x f y =在2=x 处的导数)2(f '并解释它的实际意义. 解当x 从2变到x x ?+时函数值32?从变到)2(3x ?+函数值y 关于x 的平均变化率为 ()()()x 0f x x f x y f x lim x ?→+?-'='=?
)/(3323)2(3)2()2(3s m x x x x x f x f =??=??-?+=?-?+ 当x 趋于2时平均变化率趋于3所以s m f /3)2(3=' 导数)2(f '表示当时2=x 水量的瞬时变化率，即水流的瞬时速度，也就是如果水管中的水以s x 2=是的瞬时速度流动的话，每经过1s 水管中流过的水量为33m 的食品 么他每时可以生产保持这一生产速度，那也就是说，如果的时候，其生产速度为表示该工人上班后工作食品 可以生产生产速度，那么他每时就是说，如果保持这一，也工作效率）为的时候其生产速度（即表示该工人上班后工作解试解释它们的实际意义 和处的导数分别为和在假设函数的函数工作时间是其单位：生产的食品量上班后开始连续工作，一名食品加工厂的工人例 3.5kg 3.5kg/h 3h 3.5(3)f 4kg kg/h 41h 4(1)f :, 3.5(3)f 4(1)f 3x 1x f(x)y f(x).y x kg)y(2='='='='====[][][][][][]l (-2,4)x y 4 -2x x y x 4)(4)2(x)2-x 2-2-)2(5.35 .0)2()5.1(5.0)2()5.1(31 )2()1(1)2()1(22 )2(02f(-2)-f(0).5.1-2-1-2-0,2-x 2,1,0.5x 12x y 2,x y 2,1,0,5x )1(2 ,x f(x)y 32022 2222 22 22 200,0200202处的切线为在点曲线处的导数为在趋于零，知函数令（上的平均变化率为 ，在区间化率分别为 在这些区间上的平均变，，，，相应为时区间）解（处的导数 在）求函数（上的平均变化率， 在区间求分别对已知函数例=-==??+-=??+?-=?--?+?+=-=---=----=---=----=--=?+=?-==?+==?-===x x x x x x y f f f f x x x x x x x （四）小结: 利用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤：（可让学生归纳） ①求出函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0x f ' ②得切线方程))(()(00x x x f x f y -'=-
导数的概念和几何意义 一、教学目标 (一)知识目标 1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵. 2．通过函数图象直观了解导数的几何意义. （二）能力目标 掌握用定义法求函数的导数的一般步骤，并能利用函数的导数知识解决一些应用性问题. （三）情感目标 通过“极限法”的学习，提高学生的数学素质，加强学生分析问题和解决问题的能力，认识事物之间的相互联系，会用联系的观点看问题. 二、教学重点 导数的定义与求导的方法. 三、教学难点 对导数概念的理解. 四、教学过程： （一）复习引入 师：前面我们研究了两类问题，一类来自物理学，涉及平均速度和瞬时速度；另一类问题来 自几何学，涉及割线斜率和切线斜率.你们能否将这两类问题所涉及的共性表述出 来？ 生：这两类问题都涉及到以下几件事： （1）一个函数f （x ）； （2）f （x+d ）－f （x ）； （3） d x f d x f )()(-+； （4）当d 趋于0时，d x f d x f )()(-+趋于一个确定的常数. 师：很好，我们发现上述两类问题虽然来自的学科领域，但有着相同的数学模型，今天我们就一起来研究这个数学模型——导数的概念和几何意义. （二）探求新知 1.增量、变化率的概念 对于函数),(),(000y x P x f y =是函数图象上的一点，),(11y x Q 是另一点，自变量从x 0变化为x 1时，相应的函数值有y 0变为y 1，其中x 1－x 2叫做自变量x 的增量，记为△x ， y 1－y 0叫做函数的增量（也叫函数的差分），记为△y ，则).()(01x f x f y -=?x y ??叫做函数的变化率（或函数)(x f 在步长为△x 的差商）.
导数的概念及几何意义教学设计 导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在其中一点的瞬时变化率。导数的几何意义是切线的斜率，可以帮助我们更好地理解函数的变化规律 和性质。本教学设计旨在通过直观的几何图像和实际问题的分析，帮助学 生深刻理解导数的概念及几何意义。设计主要针对高中数学任课老师使用。 一、教学目标： 1.理解导数的概念及几何意义； 2.能够通过几何图像和实际问题分析导数的性质和应用。 二、教学准备： 1.教学实例：选择一个具有实际意义的函数作为示例，比如一个运动 物体的位移函数； 2. 数学软件：准备一台计算机并安装数学软件，如Geogebra，用于 绘制函数图像和求解导数。 三、教学过程： 1.引入导数的概念： b.教师出示一个运动物体的位移函数图像，提问“你们觉得这个函数 图像代表了什么？”引导学生讨论函数图像表达的是运动物体的位置随时 间的变化规律。 c.教师解释导数的概念：导数就是函数在其中一点的变化率，可以看 作是瞬时变化率。 2.几何意义的引入：
a.教师给出一个具体的实例，比如一个运动物体的位移函数 y(t)=t^2，在计算机上绘制该函数图像并标出一个点A(2,4)。 b.教师引导学生思考，如何找到函数在点A处的变化率或斜率？ c.教师通过计算机软件，绘制出点A处的切线，并解释切线斜率与导 数的关系，即导数就是切线的斜率。 3.导数的计算： a.教师解释导数的计算方法，即通过函数的极限定义求解。 b.教师通过计算机软件演示导数的计算步骤，例如求解函数 y(x)=2x^3-3x^2+4x-1的导数。 c.教师引导学生思考，导数是否对函数的每一个点都有定义？如何解 释导数不存在的情况？ 4.导数的性质和应用： a.教师解释导数的性质，如导数为正表示函数在该点增加，导数为负 表示函数在该点减少。 b.教师给出一些实际问题，如抛物线的导数在哪些点为零？求解这些 问题并解释其实际意义。 c.教师引导学生思考，导数与极值和拐点的关系，并解释其几何意义。 5.总结与拓展： a.教师与学生一起总结导数的概念及几何意义，并强调函数图像和实 际问题分析的重要性。
导数的几何意义教案 教案标题：导数的几何意义 教案目标： 1. 理解导数的几何意义及其在几何中的应用。 2. 掌握导数的计算方法。 3. 能够将导数应用于解决几何问题。 教学重点： 1. 导数的几何意义。 2. 导数的计算方法。 3. 导数在几何中的应用。 教学难点： 1. 理解导数的几何意义。 2. 能够将导数应用于解决几何问题。 教学准备： 1. 教师准备：教学课件、教学素材、导数的几何意义的示意图。 2. 学生准备：几何工具、笔记本。 教学过程： Step 1: 引入导数的概念（10分钟） 1. 教师通过示意图或实际物体展示，引导学生思考两点间的斜率和变化率的概念。 2. 引导学生思考斜率和变化率的关系，并引出导数的概念。 Step 2: 导数的几何意义（20分钟）
1. 教师通过示意图和实例，解释导数的几何意义是函数图像上某一点处的切线 斜率。 2. 引导学生思考导数与函数图像的变化趋势之间的关系。 3. 引导学生通过观察导数的正负和零点，理解函数图像的增减性和极值点。 Step 3: 导数的计算方法（20分钟） 1. 教师介绍导数的计算方法：使用极限定义或基本导数公式。 2. 通过示例演示如何计算导数，并引导学生进行练习。 Step 4: 导数在几何中的应用（20分钟） 1. 教师通过几何问题的实例，展示导数在几何中的应用。 2. 引导学生通过计算导数，解决几何问题，如求切线方程、判断函数图像的凸 凹性等。 Step 5: 总结与拓展（10分钟） 1. 教师与学生一起总结导数的几何意义及应用。 2. 鼓励学生思考导数在其他学科中的应用，如物理、经济等领域。 教学延伸： 1. 学生可以通过绘制函数图像和计算导数，进一步加深对导数的几何意义的理解。 2. 学生可以选择一个几何问题，应用导数的知识进行解决，并进行展示和分享。教学评估： 1. 教师通过课堂练习和问题解答，检查学生对导数的几何意义的理解情况。 2. 学生完成课后作业，包括计算导数和应用导数解决几何问题。 教学反思：
《导数的几何意义》说课稿(2篇) 《导数的几何意义》说课稿(篇1) 一、说教材: 1、教材的地位与作用 导数是微积分的核心概念之一，它为研究函数提供了有效的方法、在前面几节课里学生对导数的概念已经有了充分的认识，本节课教材从形的角度即割线入手，用形象直观的“逼近”方法定义了切线，获得导数的几何意义，更有利于学生理解导数概念的本质内涵、这节课可以利用几何画板进行动画演示，让学生通过观察、思考、发现、思维、运用形成完整概念、通过本节的学习，可以帮助学生更好的体会导数是研究函数的单调性、变化快慢等性质最有效的'工具，是本章的关键内容。 2、教学的重点、难点、关键 教学重点：导数的几何意义、切线方程的求法以及“数形结合，逼近”的思想方法。 教学难点：理解导数的几何意义的本质内涵 1) 从割线到切线的过程中采用的逼近方法; 2) 理解导数的概念，将多方面的意义联系起来，例如，导数反映了函数f(x)在点x附近的变化快慢，导数是曲线上某点切线的斜率，等等、
二、说教学目标： 根据新课程标准的要求、学生的认知水平，确定教学目标如下： 1、知识与技能: 通过实验探求理解导数的几何意义，理解曲线在一点的切线的概念，会求简单函数在某点的切线方程。 过程与方法： 经历切线定义的形成过程，培养学生分析、抽象、概括等思维能力;体会导数的思想及内涵，完善对切线的认识和理解通过逼近、数形结合思想的具体运用，使学生达到思维方式的迁移，了解科学的思维方法。 3、情感态度与价值观： 渗透逼近、数形结合、以直代曲等数学思想，激发学生学习兴趣，引导学生领悟特殊与一般、有限与无限，量变与质变的辩证关系，感受数学的统一美，意识到数学的应用价值 三、说教法与学法 对于直线来说它的导数就是它的斜率，学生会很自然的思考导数在函数图像上是不是有很特殊的几何意义。而且刚刚学过了圆锥曲线，学生对曲线的切线的概念也有了一些认识，基于以上学情分析，我确定下列教法： 教法：从圆的切线的定义引入本课，再引导学生讨论一般曲线的切线的定义，通过几何画板的动画演示，得出曲线的切线的
《导数的概念与几何意义》导学案 导数是微积分的重要内容之一，它是在数学中用来描述函数变化速率的一个概念。导数的几何意义在于，它可以帮助我们理解函数的曲线在其中一点的切线斜率，以及曲线的凸凹性质。 一、导数的定义与计算 导数的定义是在函数的极限的基础上得到的，定义如下： 设函数y=f(x)，如果函数在点x₀的一些邻域内有定义，那么当自变量x的增量趋于0时，函数增量f(x)−f(x₀)与x−x₀的比值的极限存在，则称该极限为函数f(x)在点x₀的导数，记作f'(x₀)，或者dy/dx(x₀)。 导数的计算公式包括以下几个常见的形式： 1.常数函数的导数为0； 2. 幂函数的导数公式：对于幂函数y=x^n（n为常数），其导数为 y'=nx^(n-1)； 3. 指数函数的导数公式：对于指数函数y=a^x（a为常数），其导数为y'=ln(a)a^x； 4. 对数函数的导数公式：对于对数函数y=logₐx（a为常数），其导数为y'=1/(xln(a))； 5. 三角函数的导数公式：对于三角函数y=sin(x)，y'=cos(x)；对于y=cos(x)，y'=-sin(x)；对于y=tan(x)，y'=sec²(x)； 6. 反三角函数的导数公式：对于y=sin⁻¹(x)，y'=1/√(1-x²)；对于y=cos⁻¹(x)，y'=-1/√(1-x²)；对于y=tan⁻¹(x)，y'=1/(1+x²)；
7. 双曲函数的导数公式：对于双曲函数y=sinh(x)，y'=cosh(x)； 对于y=cosh(x)，y'=sinh(x)；对于y=tanh(x)，y'=sech²(x)。 二、导数的几何意义 导数的几何意义主要体现在两个方面，即切线斜率和曲线凹凸性。 1.切线斜率：导数可以帮助我们计算函数曲线在其中一点的切线斜率。在函数的图像中，一条直线可以与函数曲线在其中一点相切，而这条直线 的斜率正好等于该点的导数值。因此，导数可以帮助我们确定切线方程， 并且可以帮助我们理解曲线在其中一点的斜率变化。 2.曲线凹凸性：导数还可以帮助我们理解函数曲线的凹凸性质。在函 数的图像中，当导数在其中一点的值大于0时，表示函数曲线在该点上凸；当导数在其中一点的值小于0时，表示函数曲线在该点上凹。因此，通过 导数的正负可以判断曲线的凹凸性。 三、导数的应用 导数的应用非常广泛，可以应用于许多实际问题的求解中。以下是一 些常见的导数应用场景： 1.极值问题：通过求函数的导数，可以帮助我们找出函数的极值点。 在函数的极值点上，导数为0或者不存在。因此，可以通过求导数并解方 程得到函数的极值点。 2.切线问题：通过导数可以帮助我们确定函数曲线上其中一点的切线 方程。根据切线的特性，可以通过导数求出切线斜率，并利用切点坐标和 斜率得到切线方程。
“导数的概念及其意义”单元教学设计 一、内容和及其解析 （一）内容 导数的概念及其意义。 （二）内容解析 1.内容本质： 按照概念教学的基本环节（引入、明确、巩固、应用），本单元引导学生经历4次由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程： 过程1 物理学中由平均速度过渡到瞬时速度的过程——典型实例分析； 过程2 几何学中特殊曲线由割线过渡到切线、由割线斜率过渡到切线斜率的过程——典型实例分析； 过程3 一般函数y＝f（x）从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程——给出导数的概念； 过程4 一般曲线y＝f（x）由割线过渡到切线、由割线斜率过渡过渡到切线斜率的过程——给出导数的几何意义． 前3个过程的重心是对两个不同类型的典型实例进行属性的分析、比较、综合，概括它们的共同本质特征得到本质属性，进而抽象概括出导数概念——用准确的数学语言表述的导数概念，属于概念教学一般进程中的“概念的形成”和“概念的明确与表示”环节；过程2、过程4是从特殊到一般得到一般切线概念以及导数的几何意义的过程，其中过程4让学生又一次经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，有利于建立多元联系，进一步理解导数的概念．这样多次、反复经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，极大地助力学生初步理解导数的内涵——导数是瞬时变化率 需要特别注意的是，在上述4个过程尤其是过程1和过程2中，还应不断渗透和多次使用“运动变化的观点”、“在局部小范围内以不变代变、以直代曲”等微积分基本思想以及“极限思想”解决问题，这样在抽象概括导数的概念和几何意义时，可以对研究问题思想方法、过程，极限思想和结果形式的一致性等“内容及其蕴含的思想、方法”一并进行适度总结概括；在过程2和过程4中，让学生通过函数图象直观体会 割线逼近切线过程，理解导数的几何意义． 2.蕴含的思想方法 在介绍两个典型实例、导数的概念及其几何意义的过程中，引导学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，不断渗透“用运动变化的观点研究问题”、“逼近（极限）”、“以直代曲”等微积分
零时平均速度的极限，即V2、曲线的切线lim A/->0 As Ar 得出: lim— 山TO 心lim A AT O 佩 + Ax)-/(%)Ax 导数的概念及几何意义教学设计 一、目标分析 依据教材结构与内容，并结合学生实际，特确定以下知、能、情教学目标： （1）知识与能力目标：理解导数的概念，探求导数的几何意义，培养学生运用极限思想去 思考问题的能力以及建立数学模型的能力。 （2）过程与方法目标：通过实例引入、师生共同探究，培养学生提出、分析、解决问题的 能力，提高学生逻辑思维和抽象概括能力。 （3）情感态度与价值观冃标：通过导数的学习拓宽学生的视野，提升学生思考问题的广度和深度，让学生学会自主学习与相互交流学习，激发学生学习数学的热情。 二、教学重点 理解导数的概念及儿何意义运用极限的思想抽象出导数的定义 三、教学方法是 讨论发现法，问题探究法。 四、设计的指导思想 现代认知心理学——建构主义学习理论。 五、设计的设计理念 为了学生的一切. 六、教学过程 （一）创设情境、导入课题_ 1、在时间段（to+At）— to= At内，刘翔的平均速度为：v =— Ar 因此刘翔在跨过最后一栏的I瞬时速度V就是他在to到S+ △ t这段时间内，当△ t趋向于 我们发现，当点Q沿肴曲线无限接近点P即△ X-0时，割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为a , 那么当△ x->0时，割线PQ的斜率，称为曲线在点P处的切线的斜率. （二）实例分析、形成概念 物体的瞬时速度及切线的斜率的共同特点是什么？ 函数的改变量Ay与自变量的改变量Ax比值的极限。 .. Av 5（r +Ar）-5（r） v = lim ——=lim --- -------------- - zU->0 人工A XT O 提炼得出概念 导数的定义：设函数丿才仪）在点心处及其附近有定义，当自变量X在点心处有改变量△x时，函数y相应的增量△y=/Cr°+ Ax）— /（x0）,
导数几何意义教案1 教学目 1．使学生理解导数几何意义；并会用求导数方法求切线斜率与切线方程；利用导数求法线方程． 2．通过提醒割线与切线之间内在联系对学生进展辩证唯物主义教育． 教学重点 理解导数几何意义是本节重点． 教学过程 一、复习提问 1．导数定义是什么？求导数三个步骤是什么？求函数y＝x2在x＝2处导数． 2．怎样定义曲线C在点P切线？(即切线定义) 在学生答复根底上教师重点讲评第2题，然后逐步引入导数几何意义． 如图2－1，设曲线C是函数y=f(x)图象，点P(x0，y0)是曲线C 上一点．点Q(x0＋Δx，y0＋Δy)是曲线C上与点P邻近任一点，作
割线PQ，当点Q沿着曲线C无限地趋近于点P，割线PQ便无限地趋近于某一极限位置PT，我们就把极限位置上直线PT，叫做曲线C 在点P处切线． 追问：怎样确定曲线C在点P切线呢？因为P是给定，根据平面解析几何中直线点斜式方程知识，只要求出切线斜率就够了．设割线PQ倾斜角为 由上式可知：曲线f(x)在点(x0，f(x0))处切线斜率就是y＝f(x)在点x0处导数f'(x0)． 二、新课 1．导数几何意义： 函数y＝f(x)在点x0处导数f'(x0)几何意义，就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线斜率． 口答练习： (2)函数y＝f(x)图象(如图2－2)，分别为以下三种情况直线，通过观察确定函数在各点导数． 2．利用导数求曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线方程． 例1求曲线y＝x2在点M(2，4)处切线方程． ∴y'|x=2=2×2=4．
∴点M(2，4)处切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4=0．由上例可归纳出求切线方程两个步骤： (1)先求出函数y＝f(x)在点x0处导数f'(x0)． (2)根据直线方程点斜式，得切线方程为 y－y0=f'(x0)(x－x0)． 3．利用导数求曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处法线方程． (先由学生来答复，教师再讲评总结．) 我们由已学平面解析几何可知：(1)经过点P与切线PT垂直直线叫做曲线C在点P处法线．(2)如果两条有斜率直线互相垂直，那么，它们斜率互为负倒数． 利用导数求法线方程可归纳为两步： (1)求出函数y＝f(x)在点x0处导数．即求出切线在(x0，f(x0))处斜率．(2)求出曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处法线方程．应分三种情况：f'(x0)≠0时，由直线方程点斜式得法线方程 f'(x0)＝0时，过点(x0，f(x0))切线平行于x轴，所以过点(x0，f(x0))法线垂直于x轴，即平行于y轴，得法线方程为x＝x0．
1.2 导数的概念及其几何意义一等奖创新教学设计 5.1.2《导数的几何意义》教学设计 一、教材分析： 本节课是《普通高中教科书数学》（人民教育出版社、课程教材研究所A版教材）选择性必修第二册中第5章5.1.2节，它是学均变化率，瞬时变化率基础上，进一步从几何意义的基础上理解导数的含义与价值，是可以充分应用信息技术进行概念教学与问题探究的内容，导数的几何意义学习为常见函数的导数计算、研究函数的应用的基础。因此，导数的几何意义有承前启后的重要作用。本节课不仅能帮助学生更好地理解导数的概念，并且能让学生认识导数是刻画函数的单调性、变化快慢和极值等性质最有效的工具，是本章的关键内容. 教学目标： 知识与技能：（1）使学生了解导数的几何意义； 体会“数形结合、以直代曲”的数学思想方法。 过程与方法：渗透“逼近”思想，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探究新知识的精神. 情感与价值：通过揭示割线与切线之间的内在联系，对学生进行辩证唯物主义教育，引导学生从有限中认识无限. 三、教学重点、难点： 重点：导数的概念，导数的几何意义. 难点：导数的概念，曲线切线概念. 三、教学过程设计 （一）旧知回顾 1. 高台跳水运动员的速度 设高台跳水运动员起跳高度h与时间t的函数为，则到的平均速度为 而在时刻的瞬时速度为 2. 抛物线的切线的斜率 设抛物线解析式为， 则割线的斜率为 而在处切线的斜率为
3. 导数的概念 对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从变化到，的变化量为，的变化量为， 我们把比值，即叫做函数从到的平均变化率.当时，平均变化率无限接近一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数(也称瞬时变化率)，记作：或，即新知学习 导数表示函数在处的瞬时变化率，反映了函数在附近的变化情况.那么导数的几何意义是什么？ 平均变化率表示什么？ 表示割线的斜率. 当点沿着曲线无限接近于点， 割线无限接近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线 称为曲线在的切线. 割线的斜率当时，无限接近函数 在的导数， 导数的几何意义：是函数在处切线的斜率. 继续观察：点处的切线比任何一条割线更贴近点附近的曲线，将附近的曲线不断放大，附近的曲线越来越接近于直线.因此，在附近曲线可以用点处的切线近似代替. 例1 高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象.根据图象，请描述、比较曲线在附近的变化情况. 解：用曲线在处的切线斜率，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况. 当时，曲线在处的切线平行于轴，在附近曲线比较平坦； 当时，曲线h(t)在处的切线的斜率在附近单调递减, 下降缓慢； 当时，曲线h(t)在处的切线的斜率在附近单调递减，但下降迅速. 例2 如图是人体血管中药物浓度(单位：mg/mL) 随时间t(单位：min)变化的函数图象.根据图象，估计时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).
课前案 一、教学目标：1. 理解导数的概念及其几何意义；2. 掌握用导数的概念求简单函数在某点处的导数及曲线的切线问题. 二、教学重难点：1. 教学重点：导数的概念及利用导数概念求导数、导数的几何意义及其应用. 2. 教学难点：导数的概念及其几何意义的理解. 三、教材梳理：1. 导数的概念 对于函数()y f x =，设自变量x 从0x 变化到0x x +∆，相应地，函数值y 就从0()f x 变化到0(Δ)f x x +. 这时，x 的变化量为Δx ，y 的变化量为00Δ(Δ)()y f x x f x =+-.我们把比值ΔΔy x ，即 Δ_________________Δy x =叫做函数()y f x =从0x 到0x x +∆的平均变化率. 如果当Δ0x →时，平均变化率 ΔΔy x 无限趋近于一个确定的值，即ΔΔy x 有极限，则称()y f x =在0x x =处可导，并把这个确定的值叫做()y f x =在0x x =处的导数（也称为瞬时变化率），记作0()f x '或0 x x y ='， 即0Δ0Δ()lim ____________________Δx y f x x →'==. 2. 导数的几何意义 平均变化率 00(Δ)() ΔΔΔf x x f x y x x +-= 表示割线0P P 的斜率. 函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '就是切线0 PT 的斜率0k ，即0000Δ0(Δ)() lim ()Δx f x x f x k f x x →'+-==.这就是导数的几何意义. 函数()y f x =在0x x =处的切线方程为： 。 3.导函数：()''____________________f x y ==。 课中案 例1 （1）设1 ()f x x = ，求(1)f '. （2）()f x x =，求(1)f '. 例2 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设s t 时汽车的速度（单位：m/s ）为2()660y v t t t ==-++，求汽车在第2 s 与第6 s 时的瞬时加速度，并说明它们的意义. 例3 如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数2() 4.9 4.811h t t t =-++的图象.根据图象，请描述、比较曲线()h t 在012t t t t =， ，附近的变化情况. 例4 已知曲线C:3 ()f x x =。（1）求曲线C 上横坐标为1的点处的切线的方程；（2）求过点(1,1)与 3()f x x =相切的直线方程。 练习：已知直线:4l y x a =+和曲线32 :23C y x x =-+相切，求a 的值和切点的坐标。
§2 导数的概念及其几何意义 第四课时 导数的几何意义习题课 一、教学目标：会利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程。 二、教学重点：曲线上一点处的切线斜率的求法 教学难点：理解导数的几何意义 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习：导数的几何意义：函数)(x f y =在x 0处的导数就是曲线)(x f y =在点（x 0，)(0x f ）处的切线的斜率。 （二）、探究新课 例1、在曲线34x y =上求一点P 使得曲线在该点处的切线满足下列条件： （1）平行于直线y ＝x ＋1； （2）垂直于直线2x －16y ＋1＝0； （3）倾斜角为135°。 解：设点坐标为（0x ，0y ），则 202002020202020) (48)()(484)(4x x x x x x x x x x x x x x x x x y ∆+∆--=∆∆+∆-∆-=∆-∆+=∆∆ ∴当Δx 趋于0时，30 400088)(x x x x f -=-='。 （1）∵切线与直线y ＝x ＋1平行。 ∴1)(0='x f ，即1830 =-x ， ∴20-=x ，10=y 。 即P （―2，1）。 （2）∵切线与直线2x －16y ＋1＝0垂直， ∴1)16 2(·)(0-=--'x f ，即181·830-=-x ，
∴10=x ，40=y 。 即P （―1，4）。 （3）∵切线倾斜角为135°， ∴1135tan )(00-=='x f ，即1830 -=- x ， ∴20=x ，10=y 。 即P （2，1）。 例2、求曲线1)(3+==x x f y 过（1，1）点的切线的斜率。 解：设过（1，1）点的切线与13+=x y 相切与点)1,(300+x x P ，则 2020320203030)(33)()(33)1(1)(x x x x x x x x x x x x x x x y ∆+∆+=∆∆+∆+∆=∆+-+∆+=∆∆ 当Δx 趋于0时， 2003)(x x f ='， 由导数的几何意义可知，曲线在点P 处的切线的斜率为203x k = ① 又过（1，1）点的切线的斜率1 11030--+=x x k ② ∴由①②得：130302 -=x x x 解得：00=x 或230=x ，∴0=k 或427=k ， ∴曲线13+=x y 过（1，1）点的切线的斜率为0或427。 例3、如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 2() 4.9 6.510h x x x =-++，根据图像，请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况． 解：我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线，刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况． （1） 当0t t =时，曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于x 轴，所以，在0t t =附近曲线 比较平坦，几乎没有升降． （2） 当1t t =时，曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<，所以，在1t t =附近
《导数的概念及其几何意义》教学设计 一、内容及内容解析 1．内容：（高中新课标数学课程内容）导数的概念及其几何意义. 2．解析：导数是微积分中的核心概念，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用.在本章的学习中，学生将学习导数的有关知识，体会其中蕴含的思想方法，感受其在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值. 导数概念的本质是极限，但学生很难理解极限的形式化定义，人教版新教材不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是通过列表计算、直观地把握函数变化趋势(蕴含着极限的描述性定义)，这种直观形象的方法中蕴含了极限思想. 本节课的教学重点：从求瞬时速度和求曲线的切线斜率等问题中抽象概括出导数的概念，利用信息技术工具揭示导数的几何意义，并以此进一步体会极限思想. 二、目标及目标解析 1．教学目标 （1)从具体案例中抽象概括出函数平均变化率与导数的概念，并以此培养数学抽象素养. （2)通过函数在某点的导数就是函数图象在该点的切线斜率的事实，揭示导数的几何意义，并由此加强直观想象素养的培养. （3)通过求简单函数的导数，掌握由导数定义求函数导数的步骤，进一步体会极限思想，加强数学运算素养的培养. 2．目标解析 （1）导数的本质是函数的瞬时变化率，而求函数瞬时变化率的问题广泛地存在于社会生活与科学研究中，因此，从具体案例中抽象出导数概念，不仅可以得到一个应用广泛的数学工具，还可以由此培养学生的数学抽象素养，体会数学研究的一般过程. （2）导数概念高度抽象，虽然通过计算瞬时速度等具体案例有所认识，但要深入理解其是平均变化率的极限，还需要加强导数的“多元联系”.因此，从函数在0x x 处的导数就是函数图象在对应点的切线的斜率这个几何直观上进一步认识导数是非常重要的，这也是培养学生直观想象素养的难得机会. （3）导数是特殊的极限，通过导数的学习体会极限思想，可以为未来进一步学习极限提供典型案例，使学生更深刻地认识“从特殊到一般”、“从具体到抽象”是数学研究的重要思想方法. 三、学生学情诊断分析
第五章 一元函数的导数及其应用 5.1 导数的概念及其意义 5.1.2.2 导数的概念及其几何意义 一、教学目标 1、正确理解导数的概念. 2、能够根据导数的定义求简单函数的导数，逐步熟悉求函数导数的步骤与方法. 3、从导数的概念和求取步骤中体会导数的内涵和意义，进一步体会极限思想. 二、教学重点、难点 重点：导数的概念和极限思想，导数的几何意义. 难点：导数概念的理解. 三、学法与教学用具 1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标. 2、教学用具：多媒体设备等 四、教学过程 （一）创设情景，揭示课题 【问题】我们知道，导数0()f x '表示在0x x =处的瞬时变化率，反映了函数()y f x =附近的变化情况， 那么导数0()f x '的几何意义是什么？
（二）阅读精要，研讨新知 【观察与思考】观察函数()y f x =的图象，平均变化率 00()() f x x f x y x x +∆-∆= ∆∆表示什么？ 瞬时变化率00000()()()lim lim x x f x x f x y f x x x ∆→∆→+∆-∆'==∆∆表示什么？ 布置学生阅读课本6769P P - 【解读】平均变化率 00()() f x x f x y x x +∆-∆= ∆∆表示割线的斜率. 当曲线()y f x =的图象上的任意点(,())P x f x 沿着曲线无限趋近于点000(,())P x f x 时， 割线 0P P 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线0P T 称为曲线()y f x =在点 0P 处的切线 (tangent line ). 【导数的几何意义】瞬时变化率即为函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '，即为切线0P T 的斜率0k . 所以00000 ()() lim ()x f x x f x k f x x ∆→+∆-'==∆表示切线0P T 的斜率， 【动态体验】 【结论】从求函数()y f x =在0x x = 处导数的过程可以看到，当0x x =时，0()f x ' 是一个 唯一确定的数. 这样，当x 变化时，()y f x '=就是x 的函数，我们称它为()y f x =的导函数(derived function) (简称导数). ()y f x = 的导函数有时也记作y '，即0 ()() ()lim x f x x f x f x y x ∆→+∆-''==∆.