初中数学“最短距离”问题分类及解题策略
绵阳市游仙区新桥中学数学教研组何道华最短距离问题贯穿于初中几何学习的整个过程，由初一上册的“两点之间的距离”，初一下册的“点到直线的距离”、“平移”等基本问题开始，到初二上册的轴对称，初二下册的直角三角形的有关计算，再到初三上册的旋转等，都涉及到研究距离最短的问题。虽然解决此类问题的依据很简单，主要是线段最短、垂线段最短以及三角形中的三边大小关系等原理，但图形千变万化，经常与三角形、四边形、圆及抛物线等问题综合考察，涉及的知识背景多，动点、动线的位置不确定，往往需要作平移、对称、旋转等辅助线才能发现线段之间的联系，找到最短距离的位置后，通常还需要进行准确的计算。通过这类问题的解决，能培养学生动手操作、逻辑思考、严密计算等能力，是各类考试的热点同时也是难点问题。
一、最短距离的基本原理
1、两点间的距离是指连接两点的的长度。
在连接两点的所有线中，最短。简称。
2、点到直线的距离是指点到直线的的长度。
在连接直线外一点与直线上一点的所有线段中，最短。
简称。
3、两平行线间的距离是指平行线中一条直线上的任意一点到另一直线的的长度。
4、三角形中，两边之和大于第三边，两边只差小于第三边。
由任意三点连接的三条线段中，另两边之差≤第三边≤另两边之和。
二、题型及解题策略
题型
解题策略项
目
举例
解题策略问题解法依据
一条线段同
一
平
面
内
有关联
线段
Rt△ABC中，点
D在斜边AB上
移动，DE⊥BC
于E，DF⊥AC
于F，点G是EF
的中点。作出CG
最短时的图形。
连接CD，则
CD
EF
CG
2
1
2
1
=
=，
当CD┴AB时，
CG最短。
垂线段
最短
利用相等
线段转化。
无关联
线段
正方形的顶点
A、B分别在x、
y的正半轴上，
AB=a，作出OC
最长时的图形。
找AB的中点E，
连接OE、CE，当
三点O、E、C共
线时，OC最长。
三角形
的一边
小于另
两边之
和
挖掘图中
的固定点
及长度不
变的线段，
与所求线
段构造△。
空间距离求一只蚂蚁从点A
沿正方体表面爬到
点G的最短距离。
把正方体展开，
使点A和点G在
同一平面内。
两点之
间线段
最短
把空间距
离问题转
化在同一
平面内。
两条线段两
线
段
之
和
最
小
两线段
共点
在河边建抽
水站P，使
它到两厂
A、B距离之
和最短。
作其中一厂关于
河边的对称点，
连接该点与另一
厂，与河边的交
点P即为所求。
任意三
点构成
的线段
中，当第
三边为
定值，另
两边的
公共点
在第三
边上时，
两边之
和最小；
若另两
边的公
共点在
第三边
延长线
上时，两
边之差
最大。
利用轴对
称将其中
一条线段
转移到与
另一线段
在同一△
中，而该△
的第三边
是固定的。
两线段
不共点
要沿河边
修一条
100米长
的绿道，
方便C、D
两小区居民散步。怎样规划路线，
才能使所建的道路之和最短？
沿河边方向把点
C向右平移100
米到点E，作点E
关于河边的对称
点E′，连接
DE′，交河边于
点B，再作
AB=100米即可。
两
线
段
之
差
最
大
定点在
定直线
同侧
在河边找一
点Q，使
|QA-QB|的值
最大。
两定点所连直线
与定直线的交点
为Q。
定点在
定直线
异侧
在河边找一
点Q，使
|QA-QB|最
大。
作点A关于河边
的对称点A′，
连接A′B，与河
边的交点即为Q。
带
系
数
的
线
段
之
和
动点在
线段上
点B在射线
AM外，请在
射线上求一
点P，使
2
1
AP+PB的
值最小。
作∠MAN=30°，
BE┴AN于E，交
AM于P，则
PE=1/2AP，当点
C移动到点P时，
1/2AC+CB的值
最小=BE。
（1）△
两边之
和大于
第三边；
（2）垂
线段最
短。
构造正弦
值与系数
相等的角，
进而转化
为两线段
的和。
动点在
圆上
如图AC⊥BC，
CB=4，CA=6，
⊙C的半径为2，
点P在圆C上。
求PA+
2
1
PB的
最小值。
连接CP，因
CP:CB=1:2想到
作CD=1，构造
△CPD∽△CBP，
则PD=1/2PB，连
接AD与交⊙C
于E，当P与E
重合时，
PA+1/2PB最小。
（1）圆
的半径
相等；
（2）△
两边之
和大于
第三边
利用半径
相等的特
点构造相
似比等于
所求系数
的母子相
似△，进而
转化为两
线段的和。
三 条 线 段
三线段 首尾相连
点A 、B 在∠MON 的两边上，请在∠MON 的两边上找两点C 、D ，使AD+CD+
CB 的值最小。
分别作点A 、B 关于ON 、OM 的对称点E 、F ，连接EF ，分别交角的两边于点C 、D 。
两点之间线段最短
通过作对称点，把不在同一直线的线段转化在同一直线上。
三条线段共 点
在△ABC 中找一点P ，使它到三顶点的距离之和最短（即费马点）。 把△PBC 逆时针旋转60°得△CP ′′B ′，当点P ′、P ′′在线段AB ′上时，PA+PB+PC 最短。由全等得∠APC=∠BPC=120°，再作等边△ACE ，BE 与AB ′的交点即为所求点P 。
利用旋转，将不在同一直线的线段转化在同一直线上。
三、典型例题 1、如图，直线33
3
-=
x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，请在x 轴上求一点C ，使点C 到点B 和直线AB 的距离之和最短。
分析：虽然线段CB 和CD 同在一个三角形，但这个三角形三边都不固定。把线段BC 翻折到B ′C ，从而当B ′、C 、D 三点在同一直线上，且该直线垂直于AB 时，点C 到点B 和直线AB 的距离之和最短。
解：作点B 关于x 轴的对称点B ′，再作B ′E ⊥AB 于E ，交x 轴于点F ，连接B ′C ， ∴B ′C=BC ，
∴CB+CD=B ′C+CD
即当C 与F 重合时，CB+CD 最短为B ′E ，
∵33
3
-=
x y ，
∴A （3，0），B （0，3-），
∴∠ABB ′=60°，BB ′=23， ∴B ′E=3，
∴点C 到点B 和直线AB 的距离之和最短为3。 解后反思：（1）此题利用轴对称把CB+CD 转移到另一个三角形中，而该三角形的第三边容易找到最小值。（2）在平面直角坐标系中求线段最短问题时，要注意“解析式↔坐标值↔线段长”三者的相互转化，特别是要善于发现特殊数量与特殊图形之间的联系，充分运用好数形结合思想。（3）利用轴对称把不在同一三角形的线段转移到同一三角形的问题通常称为“将军饮马”问题。
2、如图，Rt △OAB 中，∠OAB=90°，AB=6，OA=8，⊙O 的半径为4，点C 是圆O 上的一个动点，点D 是CB 的中点。求AD 的取值范围。
分析：从静止的图形入手，圆的半径和直角三角形是固定的，容易想到连接半径，以及直角三角形斜边的中线，进而利用三角形三边关系可求解。
解法一：作OB 的中点E ，连接OC 、AE 、DE ， ∵∠OAB=90°，AB=6，OA=8，点D 是CB 的中点，
∴AE=
OB 21=5，DE=2
1
OC=2， ∵当点D 在线段AE 的延长线上时，AD 最长；当点D 在线段AE
上时，AD 最短，
∴73≤≤AD 。
解法二：倍长AD 至DF ，连接CF ，并把点O 向右平移6个单位到O ′，易知CF //AB //OO ′=6，
∴当点C 在⊙O 上移动时，点F 也在以O ′为圆心，4为半径的圆上移动， ∵AO ′=BO=10，那么6≤AF ≤14， ∴73≤≤AD 。 解后反思：（1）遇到中点问题，通常要考虑作中位线、直角三角形斜边的中线或倍长构造全等等辅助线；在圆中，连接半径能很快找到线段之间的关系。（2）在动态问题中，要善于从静止的点、线段、角中发现变化的规律，动中有静，静中察变，动静结合，以静制动。特殊位置的图形中隐含特殊的数量关系，反之亦然。
3、如图，AD 是等腰△ABC 底边的高，AB=AC =6，BC =4，点E 在AD 上，点P 从点A 出发，沿A →E →C 移动，点P 在线段AD 上移动的速度是在线段EC 上移动的3倍。当点E 位于何处时，点P 移动的时间最短？
分析：设点P 在EC 上的运动速度为单位1，此题就是要求EC AE +3
1
的最小值。由已知得sin ∠BAD =
3
1
，因此过点C 作CF ⊥AB 于点F ，CF 交AD 于点E ，此时点P 的运动时间最短。 解：过点C 作CF ⊥AB 于点F ，CF 交AD 于点E ， ∵AD 是等腰△ABC 底边的高，AB=AC =6，BC =4， ∴AD ⊥BC ，BD =DC =2，
而∠BAD 是公共角，则△A EF ∼△ABD ， ∴
AB AE BD EF =，即62AE EF =
，∴EF=3
1
AE ， 设点P 在EC 上的运动速度为单位1，则点P 移动的时间为EC AE +3
1
， ∴
EC AE +3
1
=EF+EC=CF ，
由垂线段最短知，此时点P 移动的时间最短， 又∠DCE=∠BAD ，则△CDE ∼△ABD ，得AD
BD
CD ED =
， ∵AB=6，BD=DC=2，则AD=42，
∴
2
42
2=ED ，解得ED=22，则AE=42—22=227，
∴当AE=
2
2
7时，点P 运动的时间最短。 解后反思：（1）把点P 在EC 上的运动速度看着单位1可大大简化此题的计算量。（2）充分利用已有的线段比值是构造恰当的相似三角形的关键。
4、如图，点A 、B 在圆O 上，OA ⊥OB ，OA=OB=6，C 是OA 中点，点D 在OB 上，OD=4，点P 是⊙O 上的一个动点。
（1）求2PC+PD 的最小值。 （2）求PC+
2
1
PD 的最小值。
（3）求PD PC -2的最大值。 （4）求PC+
2
3
PD 的最小值。 分析：连接OP ，则图中△包含边之比为1：2和2：3两种关系，从而想到构造相似比为1：2和2：3的△，可把带系数的线段转化为相等线段，进而可用三角形三边关系找最大或最小值。
解：（1）如图1，连接OP ，倍长OA 到AE ，再连接EP 、ED ，ED 交⊙O 于点F ， ∵C 是OA 中点，OA=OB=6，
∴
2
1
==OE OP OP OC ， 而∠POC=∠POE ，
∴△POC ∽△EOP ，∴PE=2PC ， ∴2PC+PD=PE+PD
∴当点P 移动到点F 时，2PC+PD 最小=DE ，
在Rt △DOE 中，DE=2
2124+=410，
∴2PC+PD 的最小值=DE=410. （2）如图1，∵PC+
21PD=2
1
（2PC+PD ）， ∴由（1）知：PC+2
1
PD 的最小值是210。
（3）如图2，由（1）知：当点P 移动到ED 与⊙O 的另一交点G 时，PD PC -2的值最大，
∴PD PC -2的最大值=DE=410。
（4）延长OB 至H ，使BH=3，连接PH 、CH ，CH 交⊙O 于点I ， ∵OP=OB=6，OD=4， ∴
3
2
==OH OP OP OD ， 而∠POD=∠POH ， ∴△POD ∽△HOP ，∴PH=
2
3
PD ， ∴PC+2
3
PD=PC+PH ，
∴当点P 移动到点I 时，PC+
2
3
PD 最短=CH ， 在Rt △COH 中，CH=2293+=310， ∴PC+
2
3
PD 的最小值=CH=310。 解后反思：（1）当动点在直线上，且线段带系数时，要马上想到通过构造相似三角形（此题要向外构造），转化为系数为1的一般的两线段之和，而构造的前提是充分利用现有图形中包含的特殊比值；（2）当动点在直线上，带系数的线段之和的问题通常称为“胡不归”问题。 5、如图，抛物线y =ax 2+bx+c 与x 轴交于A （3，0），B 两点（点B 在点A 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB=3OA=3OC ，∠OAC 的平分线AD 交y 轴于点D ，过点A 且垂直于AD 的直线l 交y 轴于点E ，点P 是x 轴下方抛物线上的一个动点，过点P 作PF ⊥x 轴，垂足为F ，交直线AD 于点H ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P 的横坐标为m ，当FH=HP 时，求m 的值；
（3）当直线PF 为抛物线的对称轴时，以点H 为圆心，
2
1
HC 为半径作⊙H ，点Q 为⊙H 上图2
图1
图3
的一个动点，求
4
1
AQ+EQ 的最小值． 分析：第一问比较简单，第二问很容易想到利用线段相等列方程求解。第三问需要在准确计算的前提下找出线段之间是否有1：4的关系，进而通过作相似三角形转化线段。
解：（1）由题意A （，0），B （﹣3，0），C （0，﹣3）， 设抛物线的解析式为y ＝a （x +3）（x ﹣），把C （0，﹣3）代入得到a ＝，
∴抛物线的解析式为y ＝x 2+x ﹣3． （2）在Rt △AOC 中，tan ∠OAC ＝＝
，
∴∠OAC ＝60°，
∵AD 平分∠OAC ，则∠OAD ＝30°， ∴OD ＝OA •tan30°＝1， ∴D （0，﹣1）， ∴直线AD 的解析式为y ＝x ﹣1， 由题意设P （m ，m 2+m ﹣3），H （m ，
m ﹣1），F （m ，0），
∵FH ＝PH ， ∴1﹣
m ＝
m ﹣1﹣（m 2+
m ﹣3）
解得m ＝﹣或（舍弃），
∴当FH ＝HP 时，m 的值为﹣． （3）如图，∵PF 是对称轴， ∴由第（2）知：F （﹣，0），H （﹣，﹣2），
∴AH ＝2FH ＝4，
∵AH ⊥AE ，且∠OAD ＝30°， ∴∠EAO ＝60°，则AE=2AO=23， ∵C （0，﹣3）， ∴HC ＝
＝2，
∴⊙H 的半径QH ＝CH ＝1， 在HA 上取一点K ，使HK ＝， ∴
＝
＝，而∠QHK ＝∠AHQ ，
∴△QHK ∽△AHQ ，则KQ ＝AQ ， ∴AQ +EQ ＝KQ +EQ ，
∴当E 、Q 、K 共线时，AQ +QE 最小＝EK=
4
417
)41
-(4)3(22222=
+=+AK AE ． 解后反思：（1）本题考查二次函数、一次函数的应用、一元二次方程、圆的有关性质、相似三角形的判定和性质等知识，第（3）问解题的关键是学会添加辅助线，利用半径相等的特点向内构造相似比等于所求系数的“母子”相似△，进而将带系数的线段之和转化为一般的两线段之和，属于中考压轴题。（2）当动点在圆上，带系数的线段之和的问题通常称为“阿氏圆”问题。
四、巩固提高 第一部分：基础题
1、已知⊙O 的半径为1，点P 在⊙O 外，OP=5，点Q 是⊙O 上的一个动点，则线段PQ 的取值范围是 。
2、如图1，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P 在AB 上移动，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥AC 于F ，连接EF ，点D 是EF 的中点。则线段CD 的最小值= 。
3、如图2，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AC=6，点P 在AC 上移动，点D 在AB 上移动，且满足PC=PD 。则PC 的取值范围是 。
图1 图2 4、如图，长方体的长、宽、高分别为4、1、2，有一只蚂蚁从项点A 出发， 沿长方体表面爬行到顶点B 去找食物。请画出蚂蚁所走的最短路线图，并计算其长度。
5、如图，边长为4的正方形ABCD 的顶点O 、A 、B 在坐标轴上，点M 是OA 边的中点， 动点P 在对角线AC 上。当△POM 的周长最小时，求这个最小值及点P 的坐标。
6、若点A （2，0），点B （4，4），点Q 在直线y= -x 上运动，当点Q 运动到什么位置时能使：
（1）QA+QB 的值最小？ （2）QB QA -的值最大？
7、在下列各图中，河的两岸m 与n 、p 与q 均为平行直线，要在河上设计出架桥的位置，使
D P B A C
点A 到点B 的距离最短，请画出相应的线路图（注意：桥的走向必须与河岸垂直）。
第二部分：拓展题
1、如图，等腰Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=6，点D 是边AC 上的一个动点，以AD 为直径作⊙O ，连接BD 交⊙O 于点E ，连接CE ，求CE 的取值范围。
2、已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=20，动点D 、E 在AB 上，保持∠DCE=30°。求DE 的最小值。
3、如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A=60°，AC ＝4．△BCD 为等边三角形，点E 是△BCD 所围区域（包括各边）内的点，过点E 作EM ∥AB 交直线AC 于点M ，作EN ∥AC 交直线AB 于点N ，求AN+2AM 的取值范围．
4、如图，点D 、E 、F 分别在等边△ABC 的三边上，AB=4，当△DEF 的周长最小时，作出相应图形并求出最小值。
5、如图，抛物线y =
21x 2 - 2
3
x +c 与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，且A(-1，0)。
（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；
（2）连接AC ，判断△ABC 的形状，并说明理由；
（3）点M （m ，0）是x 轴上一动点，点N （a ，b ）是直线BC 上一个动点。当MC+MN+ND 的值最小时，求m 、a 的值。
图1 图2 图3
6、如图，在平面直角坐标系中，抛物线
522
5452--=
x x y 与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C 。
（1）求直线AC 的解析式。
（2）点E （a ，b ）是对称轴右侧抛物线上一点，过点E 垂直于y 轴的直线与AC 交于点D （m ，n ），点P 是x 轴上一点，点Q 是抛物线对称轴上一点，当a+m 最大时，求点E 坐标，并求EQ+PQ+
3
2
PB 的最小值。 （3）在（2）的条件下，连接OD ，将△AOD 沿x 轴翻折到△AOM ，再将△AOM 沿射线CB 的方向以每秒3个单位的速度平移到△A'O'M'，同时抛物线以每秒1个单位的速度沿x 轴正方向平移，点B 的对应点为B'。△A'B'M'能否为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点M'的坐标；若不能，请说明理由。
习题参考答案：
基础题：
1、点E 在以AB 为直径的圆周上，4≤PQ ≤6.
2、5
12.
3、2≤PC ≤6.
4、在三种平面展开方式中，以长为4的边为公共边时，AB=5，此时蚂蚁所走的路程最短； 以长为2的边为公共边时，AB=29；以长为1的边为公共边时，AB=37。
5、△POM 的周长最小值=2+25， 此时点P 的坐标是）（3
438,。 6、（1）Q )5
4- ,5
4(， （2）Q )3
4- ,3
4(。
7、
拓展题：
1、点E 在以AB 为直径的圆周上，353353+≤≤-CE 。
2、因CE CD DE -≥，则当CD=CE 时，DE 最小=403-60。
3、作∠BAP=45°，过点N 作NF ⊥AP 于F ，EG ⊥AP 于G ，
∴NF=2
2AN ，则22
AN+AM=NF+NE ≤EG ，
∴当点E 与点D 重合，且点N 与点H 重合时，2
2AN+AM 最大=DG ，
设AG=GH=x ，则HB=DB=4×2-2x =43，解得：x =42-26， ∴
2
2
AN+AM 最大=DG=GH+HD=（42-26）+46=42+26，
∴AN+2AM 最大=2（2
2
AN+AM ）=8+43。 4、如图，分别作点D 关于AB 、BC 的对称点G 、H ，连接GH 交 AB 、BC 于E 、F ，当BD ⊥AC 时，△DEF 的周长最小=6。 5、（1）223212--=
x x y ，D （8
2523-，） （2）由A(-1,0)、B(4,0)、C(0,-2)得三边长，由勾股定理的逆定理可判
断△ABC 是Rt △。
（3）作点C 关于x 轴的对称点C'，连接C'D ，交x 轴于M ，
交直线BC 于N ，则MC+MN+ND 最小，由C'（0，2）、
D （
2
3
，-825），得直线C'D 为y =-1241x +2，而直线BC 为
y =21x -2，∴M （4124，0），N(4748，-4770）， 即m =4124，a =47
48。
6、（1）解：∵5225452--=x x y =4
5(x +1)(x -4)， ∴A （-2,0），B （4,0），C （0，-2√(5)） 易得：y AC =5-x -25。
13．4 课题学习最短路径问题 教学目标 1．能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．(重点) 2．利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．(难点) 教学过程 一、情境导入 相传，古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 二、合作探究 探究点：最短路径问题 【类型一】两点的所有连线中，线段最短 如图所示，在河a两岸有A、B两个村庄，现在要在河上修建一座大桥， 为方便交通，要使桥到这两村庄的距离之和最短，应在河上哪一点修建才能满足要求？(画出图形，做出说明) 解析：利用两点之间线段最短得出答案． 解：如图所示，连接AB交直线a于点P，此时桥到这两村庄的距离之和最
短．理由：两点之间线段最短． 方法总结：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． 【类型二】运用轴对称解决距离最短问题 在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小． 解析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点． 解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l 于点M；(3)点M即为所求的点． 方法总结：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系求解． 【类型三】最短路径选址问题 如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村 供水． (1)若要使厂址到A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明)? (2)若要使厂址到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？ 解析：(1)欲求到A、B两村的距离相等，即作出AB的垂直平分线与EF的交点即可，交点即为厂址所在位置；(2)利用轴对称求最短路线的方法是作出A点
专题五：最短距离问题 最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。利用一次函数和二次函数的性质求最值。 一、“最值”问题大都归于两类基本模型： Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函 数的最大或最小值 Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况： （1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时， 大都应用这一模型。 （2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大 都应用这一模型。 几何模型： 条件：如图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点． 问题：在直线l 上确定一点P ，使PA PB +的值最小． 方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于点P ， 则PA PB A B '+=的值最小（不必证明）． 模型应用： （1）如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点， P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知， B 与D 关于直线A C 对称．连结E D 交AC 于P ，则 PB PE +的最小值是___________； （2）如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上， OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点， 求PA PC +的最小值； （3）如图3，45AOB ∠=°，P 是AOB ∠内一点，10PO =， Q R 、分别是OA OB 、上的动点，求PQR △周长的最小值． （4）如图，要在一条河上架一座桥MN （河的两岸互相平行，桥与河岸垂直），在如下四种方案中，使得E 、F 两地的路程最短的是 A B A ' P l A B P R Q 图3 A B B 图1 A B C 图2 P A B C D · · E F · · E F · · E F M N M N M N EM 与河岸垂直 EM ∥FN E 、M 、F 共线 FN 与河岸垂直 · · E F M N · · E F (4)题图
初中数学“最短距离”问题分类及解题策略 绵阳市游仙区新桥中学数学教研组何道华最短距离问题贯穿于初中几何学习的整个过程，由初一上册的“两点之间的距离”，初一下册的“点到直线的距离”、“平移”等基本问题开始，到初二上册的轴对称，初二下册的直角三角形的有关计算，再到初三上册的旋转等，都涉及到研究距离最短的问题。虽然解决此类问题的依据很简单，主要是线段最短、垂线段最短以及三角形中的三边大小关系等原理，但图形千变万化，经常与三角形、四边形、圆及抛物线等问题综合考察，涉及的知识背景多，动点、动线的位置不确定，往往需要作平移、对称、旋转等辅助线才能发现线段之间的联系，找到最短距离的位置后，通常还需要进行准确的计算。通过这类问题的解决，能培养学生动手操作、逻辑思考、严密计算等能力，是各类考试的热点同时也是难点问题。 一、最短距离的基本原理 1、两点间的距离是指连接两点的的长度。 在连接两点的所有线中，最短。简称。 2、点到直线的距离是指点到直线的的长度。 在连接直线外一点与直线上一点的所有线段中，最短。 简称。 3、两平行线间的距离是指平行线中一条直线上的任意一点到另一直线的的长度。 4、三角形中，两边之和大于第三边，两边只差小于第三边。 由任意三点连接的三条线段中，另两边之差≤第三边≤另两边之和。 二、题型及解题策略 题型 解题策略项 目 举例 解题策略问题解法依据 一条线段同 一 平 面 内 有关联 线段 Rt△ABC中，点 D在斜边AB上 移动，DE⊥BC 于E，DF⊥AC 于F，点G是EF 的中点。作出CG 最短时的图形。 连接CD，则 CD EF CG 2 1 2 1 = =， 当CD┴AB时， CG最短。 垂线段 最短 利用相等 线段转化。 无关联 线段 正方形的顶点 A、B分别在x、 y的正半轴上， AB=a，作出OC 最长时的图形。 找AB的中点E， 连接OE、CE，当 三点O、E、C共 线时，OC最长。 三角形 的一边 小于另 两边之 和 挖掘图中 的固定点 及长度不 变的线段， 与所求线 段构造△。
初中最短路径问题7种类型 初中最短路径问题7种类型 最短路径问题是离散数学中一个重要的研究领域，其应用广泛，包括交通路线规划、网络优化等。对于初中学生来说，了解和掌握最短路径问题，有助于培养他们的逻辑思维和解决问题的能力。下面将介绍初中最短路径问题的七种类型。 1. 单源最短路径问题 单源最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，从一个确定的源点出发，求到其他所有顶点的最短路径。这个问题可以通过使用迪杰斯特拉算法或贝尔曼-福特算法来求解。通过学习和理解这些算法，学生可以逐步掌握寻找最短路径的基本方法。 2. 多源最短路径问题 多源最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，求任意两个顶点之间的最短路径。这个问题可以通过使用佛洛依德算法来解决。学生可以通过了解和实践佛洛依德算法，掌握多源最短路径问题的求解方法。 3. 无权图最短路径问题 无权图最短路径问题是指在一个无向无权图中，求从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。这个问题可以通过使用广度优先搜索算法来解决。学生可以通过学习广度优先搜索算法，了解和掌握无权图最短路
径问题的解决方法。 4. 具有负权边的最短路径问题 具有负权边的最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，存在负权边，求从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。这个问题可以通过使用贝尔曼-福特算法来解决。学生可以通过了解和实践贝尔曼-福特算法，理解和应用具有负权边的最短路径问题。 5. 具有负权环的最短路径问题 具有负权环的最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，存在负权环，求从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。这个问题可以通过使用贝尔曼-福特算法的改进版来解决。学生可以通过学习和理解贝尔曼-福特算法的改进版，解决具有负权环的最短路径问题。 6. 具有边权和顶点权的最短路径问题 具有边权和顶点权的最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，除了边权之外，还考虑了顶点的权重，求从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。这个问题可以通过使用约翰逊算法来解决。学生可以通过学习和实践约翰逊算法，掌握具有边权和顶点权的最短路径问题的解决方法。 7. 具有时间限制的最短路径问题 具有时间限制的最短路径问题是指在一个给定的有向图中，每条路径都有一个时间限制，求从一个顶点到另一个顶点的最短路径。这个问
第6讲最短路径问题 知识定位 讲解用时：5分钟 A、适用范围：人教版初二，基础较好； B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习最短路径问题，现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，最值问题不仅使学生难以理解，也是中考中的一个高频考点。本节将利用轴对称知识探究数学史上著名的“将军饮马问题”。 知识梳理 讲解用时：20分钟 两点之间线段最短 C D A B E A地到B地有3条路线A-C-D-B，A-B，A-E-B，那么选哪条路线最近呢？ 选A-B，因为两点之间，直线最短 垂线段最短 如图，点P是直线L外一点，点P与直线上各 点的所有连线中，哪条最短？ PC最短，因为垂线段最短
课堂精讲精练 【例题1】 已知点A，点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得PA+PB的值最小，则下列作法正确的是（） A．B． C．D． 【答案】D 【解析】根据作图的方法即可得到结论． 解：作B关于直线l的对称点，连接这个对称点和A交直线l于P，则PA+PB的值最小， ∴D的作法正确， 故选：D． 讲解用时：3分钟 解题思路：本题考查了轴对称﹣最短距离问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题. 难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018 【练习1.1】 如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需
管道最短的是（） A． B． C．D． 【答案】D 【解析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 解：作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M． 根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短． 故选：D． 讲解用时：3分钟 解题思路：本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别． 教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题. 难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018 【练习1.2】 如图，A、B在直线l的两侧，在直线l上求一点P，使|PA﹣PB|的值最大． 【答案】见解析 【解析】作点A关于直线l的对称点A′，则PA=PA′，因而|PA﹣PB|=|PA′﹣PB|，则当A′，B、P在一条直线上时，|PA﹣PB|的值最大． 解：作点A关于直线l的对称点A′，连A′B并延长交直线l于P．
初中数学最短距离及尺规作图专题 尺规作图专题 尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。 五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线； 题目一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段a . 求作：线段AB，使AB = a . 作法： （1）作射线AP； （2）在射线AP上截取AB=a . 则线段AB就是所求作的图形。 题目二：作已知线段的中点。 已知：如图，线段MN. 求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）. 作法： （１）分别以M、N为圆心，大于 的相同线段为半径画弧， 两弧相交于P，Q； （２）连接PQ交MN于O． 则点O就是所求作的ＭＮ的中点。 （试问：PQ与ＭＮ有何关系？） 题目三：作已知角的角平分线。 已知：如图，∠AOB， 求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。 作法： （1）以O为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交OA，OB于M，N； （2）分别以M、Ｎ为圆心，大于 的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ； （3）作射线OP。 则射线OP就是∠AOB的角平分线。 题目四：作一个角等于已知角。 （请自己写出“已知”“求作”并作出图形，不写作法） 题目五：已知三边作三角形。 已知：如图，线段a，b，c.
求作：△ABC ，使AB = c ，AC = b ，BC = a. 作法： （1） 作线段AB = c ； （2） 以A 为圆心b 为半径作弧， 以B 为圆心a 为半径作弧与 前弧相交于C ； （3） 连接AC ，BC 。 则△ABC 就是所求作的三角形。 题目六：已知两边及夹角作三角形。 已知：如图，线段m ，n, ∠α. 求作：△ABC ，使∠A=∠α，AB=m ，AC=n. 作法： （1） 作∠A=∠α； （2） 在AB 上截取AB=m ,AC=n ； （3） 连接BC 。 则△ABC 就是所求作的三角形。 题目七：已知两角及夹边作三角形。 已知：如图，∠α，∠β，线段m . 求作：△ABC ，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=m. 作法： （1） 作线段AB=m ； （2） 在AB 的同旁 作∠A=∠α，作∠B=∠β， ∠A 与∠B 的另一边相交于C 。 则△ABC 就是所求作的图形（三角形）。 最短距离专题 1、如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图） （1）画出格点△ABC （顶点均在格点上）关于直线DE 对称的△A 1B 1C 1；（3分） (2)在DE 上画出点P ，使PC PB +1最小；（2分） （3）在DE 上画出点Q ，使QC QA +最小。（2分）
八年级数学最短距离问题 最短距离；对称；平移；展开 初中数学中的“最短路线”问题其实是以“平面内连接两点的线中线段最短”（以下简称“两点之间，线段最短”）这一公理为原则引申出来的。 初中数学题目中带有限制条件的最短路线问题，即最短路线问题，它的解决方法归根到底是想方设法运用“两点之间，线段最短”这一公理来解决，常用方法是对称和展开。 一、利用“对称”解决最短路线问题。 对称有一个重要的性质，即“对应点连线段被对称轴垂直平分”，简单地说就是“对称轴垂直平分这条对应点连线段”。而垂直平分线有一条重要的性质，即“垂直平分线上的点到两端点的距离相等”。 所以，我们研究A点到直线l的距离问题，就转化成了A’点到直线l的距离问题，而这个转化是等价的。 例1.（饮马问题）将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河CD去饮水一次，再回到营地A，已知A到河岸的距离AE=2公里，B到河岸的距离BF=3公里，EF=12公里，求将军最短需要走多远。 分析：本题要求的是将军行走的最短距离，而我们知道两点之间线段最短，所以我们要把本题中的问题转化成两点之间线段最短，从而求得答案。如果我们设饮水地点是P，所求的距离就是AP+BP两线段长度之和，为了应用“两点之间，线段最短”这一公理，我们利用对称的方法将A点对称到河对岸的A’点，这样AP+BP=A’P+BP，我们连接A’B，与CD的交点P 即为饮水地点，如图利用勾股定理求出结果：A’B2=AG2+BG2，A’B=13公里。 二、利用“平移”解决最短路线问题 例2.A，B两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小河上架一座小木桥，使它垂直于河岸。请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使A，B两个村子之间的路程最短。 分析：因为河垂直于河岸，所以最短路程必然是折线。分别是A点到河岸+桥长+河岸到B 点。因为桥长是垂直于桥且长度固定，等于河宽，所以我们可以作A点垂直于河岸的垂线，
人教版-八年级数学讲义-- 最短路径问题-(含解析)本页仅作为文档页封面，使用时可以删除 This document is for reference only-rar21year.March
第6讲最短路径问题 知识定位 讲解用时：5分钟 A、适用范围：人教版初二，基础较好； B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习最短路径问题，现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，最值问题不仅使学生难以理解，也是中考中的一个高频考点。本节将利用轴对称知识探究数学史上著名的“将军饮马问题”。 知识梳理 讲解用时：20分钟 两点之间线段最短 C D A B E A地到B地有3条路线A-C-D-B，A-B，A-E-B，那么选哪条路线最近呢？ 垂线段最短 如图，点P是直线L外一点，点P与直
课堂精讲精练 【例题1】 已知点A，点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得PA+PB的值最小，则下列作法正确的是（） A．B． C．D． 【答案】D 【解析】根据作图的方法即可得到结论． 解：作B关于直线l的对称点，连接这个对称点和A交直线l于P，则PA+PB 的值最小， ∴D的作法正确， 故选：D． 讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了轴对称﹣最短距离问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题. 难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018 【练习】 如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（） A． B． C．D． 【答案】D 【解析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 解：作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M． 根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短． 故选：D． 讲解用时：3分钟 解题思路：本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别． 教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题. 难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018
八年级数学讲义--最短路径问题-(含解析) 第6讲最短路径问题知识定位讲解用时：5分钟 A、适用范围：人教版初二，基础较好； B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习最短路径问题，现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，最值问题不仅使学生难以理解，也是中考中的一个高频考 点。本节将利用轴对称知识探究数学史上著名的“将军饮马问题”。知识梳理讲解用时：20分钟两点之间线段最短 C D A B E A地到B地有3条路线A-C-D-B，A-B，A-E-B，那么选哪条路线最近呢？选A-B，因为两点之间，直线最短垂线段最短如图，点P是直线L外一点，点P与直线上各点的所有连线中，哪条最短？PC 最短，因为垂线段最短两点在一条直线异侧如图，已知A点、B点在直线L异侧，在L上选一点P，使PA+PB最短、连接AB交直线L于点P，则PA+PB最短、依据：两点之间：线段最短 A P L B相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海 伦、有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的 问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B 地、到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？两点在一 条直线同侧作法： 1、作B点关于直线L的对称点B’； 2、连接AB’交直线L于点C；
3、点C即为所求、证明：在直线L上任意选一点C’（点C’不与C重合），连接AC’、BC’、B’C’、在△AB’C’中，AC’+B’C’＞AB’∴AC’+BC’＞AC+BC所以AC+BC最短、课堂精讲精练 【例题1】 已知点A，点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得PA+PB的值最小，则下列作法正确的是（） A、 B、 C、 D、【答案】 D 【解析】 根据作图的方法即可得到结论、解：作B关于直线l的对称点，连接这个对称点和A交直线l于P，则PA+PB的值最小，∴D 的作法正确，故选： D、讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了轴对称﹣最短距离问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键、教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题、难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：【练习 1、1】
13.4.课题学习《最短路径》教学设计 一、教材分析 1、地位作用：随着课改的深入，数学更贴近生活，更着眼于解决生产、经营中 的问题，于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题。 这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”，由于所给的 条件的不同，解决方法和策略上又有所差别。初中数学中路径最短问题，体现了 数学来源于生活，并用数学解决现实生活问题的数学应用性。 2、目标和目标解析： （1）目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用；感悟转化思想. （2）目标解析：达成目标的标志是：学生能讲实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将线段和最小问题转化为“连点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最算路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想. 3、教学重、难点 教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”问题 教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题 突破难点的方法：利用轴对称性质，作任意已知点的对称点，连接对称点和已知点，得到一条线段，利用两点之间线段最短来解决. 二、教学准备：多媒体课件、导学案 三、教学过程
A B C P Q 山 河岸
求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求． B分别是直线l同侧的两个点，在 这时先作点B关于直线 AB′的交点． 两地之间有两条河，现要在两条河上各造一 桥分别建在何处才能使从 （假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）
最短路径问题解题策略的分类探究 《最短路径问题》是人教版《数学》八年级上册第85页13.4课题学习的内容。在本节内容中，编者把“连接两点所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等问题，称为最短路径问题。在解决最短路径问题时，运用将军饮马和选桥选址寻找最短路径问题，说明了数学问题来源于现实生活，反过来又运用数学知识来解决现实生活中存在的数学问题。通过13.4课题学习，我们深深地知道，最短路径问题是从生产生活中提炼出来的，并不是人为的凭空臆想而得到的。 在最短路径问题中，我们必须明白最短路径其实就是一个起点，从哪儿开始；一个终点，到哪儿结束。我们只要把握住起点在哪儿开始，终点又从何处结束，运用转化的思想方法，由“折”转“直”，就解开了其中的奥妙。透过现象看清其本质，才能达到融会贯通，举一反三的效果。 解决最短路径问题的理论依据是：1.基本事实“两点的所有连线中，线段最短”2.“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”。解决最短路径问题的解题方法是：在研究的过程中，可能需借助角、三角形、矩形、菱形、圆、梯形、平面直角坐标系、抛物线等知识背景来建立数学模型，再利用轴对称、平移、三角形三边关系定理等将已知问题转化为符合上面两个结论的问题，从而选择出最短路径。 对于最短路径问题，我想从平面几何、立体几何两个方面来进行分类解析。在平面几何中，只研究平面上的直线和二次曲线中的双曲线、抛物线中的最短路径问题，在立体几何中，只研究立体图形展开图中的最短路径问题。 一、平面几何中的最短路径问题 （一）点与点的最短路径问题
从点与点之间的最短路径问题，我们一定会想到两点之间线段最短。而两点之间线段的长度又称为两点之间的距离。进而又想到，两点之间的线段不可能只有直线，也可能具有曲线、折线等。那么又可以理解在三角形中两边之和大于第三边的知识，来解决最短路径问题。 （二）点与直线的最短路径问题 从直线外一点与直线上各点的连接的线段中，垂线取最短，也就是说这条垂线段的距离是任何点到直线中最短的距离，即垂线取最短，而垂线段的长度叫做点到直线的距离。 （三）两点在直线同侧的最短路径问题 如图1（课本问题）：点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A与点B的距离之和最短？ 这个问题可以转化为在直线L上求一点P，使PA+PB值最小。那么这个问题中，我们把A点定为起点，B点定为终点。从点A到点B 的最短距离就是把AB看作是一条直线上的两个点。根据“两点确定一条直线”，可知直线AB与直线l相交于一点，这个交点即为所求的点P。而线段AB位于AB所在的直线上。所以PA+PB的最小值即为线段AB。由此，我们可以根据“两点之间，线段最短”来验证PA+PB的最小值即为线段AB这个问题。如图1-1。 （四）两点在直线l同侧的最短路径问题（有起点，有终点） 如图2：（课本问题），牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 如果把河边l近似看作一条直线l，C为直线l上一个动点，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时，AC+CB的和最小。
两之间线段最短求最值四大类型 【专题说明】 “两点之间，线段最短”是初中数学中的基本定理之一，也是人们在生活中认识到的基本事实，而对于数学中的最值问题，学生往往无从下手，其实往往就是这个基本定理的应用。 【方法技巧】 模型一“一线两点”型(一动＋两定) 类型一异侧线段和最小值问题 问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小．【解题思路】根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB的长．连接AB交直线l 于点P，点P即为所求． 类型二同侧线段和最小值问题(将军饮马模型) 问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小．【解题思路】将两定点同侧转化为异侧问题，同类型一即可解决．作点B关于l 的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点即为点P. 类型三同侧差最大值问题 问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大． 【解题思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A，B，P 三点共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长．连接AB并延长，与直线l的交点即为点P. 类型四异侧差最大值问题 问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．
【解题思路】将异侧点转化为同侧，同类型三即可解决． 模型二“一点两线”型(两动＋一定) 问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN周长最小． 【解题思路】要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN值最小．根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可． 模型三“两点两线”型(两动＋两定) 问题：点P，Q是∠AOB的内部两定点，在OA上找点M，在OB上找点N，使得四边形PQNM周长最小． 【解题思路】要使四边形PQNM周长最小，PQ为定值，即求得PM＋MN＋NQ的最小值即可，需将线段PM，MN，NQ三条线段尽可能转化在一条直线上，因此想到作点P关于OA的对称点，点Q关于OB的对称点． 【典例分析】 【典例1-1】基本模型 问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l同侧试确定点P的位置，使AP+BP的值最小． 解题思路： 一找：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB′，与直线l交于点P；
“牛喝水” 衍生的最值问题 陕西省汉中市勉县勉阳初级中学 “牛喝水”问题的实质是轴对称问题，其衍生的最短距离问题是初中阶段典 型的几何最值问题。直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等几何图形均可作 为这个模型的载体，勾股定理、函数等知识也与它联系紧密，尤其是结合图形变 换后，这类问题对学生分析问题、解决问题的能力要求更高。在教学过程中，不 能只强调解题技巧，要引导学生剖析问题本质及解题原理，设计分层拓展训练， 渗透转化、化归、迁移等数学思想，促使学生在积累解题经验的同时提升认知水平。下面说说教学中遇到的动点最值几种常见题型。 引例如图，牵牛从点A出发，到河边l喝水，再到点B处吃草，求最短路径。 作点A关于l的对称点A＇，连接A′ B，与l的交点P，即牵牛沿AP走到P处喝水，再PB沿到B处吃草，这样走的路径最短，即AP+BP最小。 1. 两定一动型 如图 1 ，在△ ABC 中， AC = BC = 2 ，∠ACB =90°, D 是BC 的中点， E 是 AB 边上一动点，则 EC + E D的最小值是 图1
解析： C 、D 是两定点， E 图 1 是在直线 AB 上移动的一动点，以 CA 、CB 为边作正方形 A C BF ，则 C 关于 AB 的对称点一定是 F ，连接 DF 交 AB 于 E ，则这时 EC + ED 最小，因为 D 是 BC 的中点，在直角三角形 FBD 中， 则 EC + ED= ED + EF = DF =。 二、一定两动型 如图2，点P是∠AOB内一定点。分别在OA、OB边上找点M、N，使△PMN的周长最小。 图2 解析：△PMN的周长=PM+MN+NP，可以利用作轴对称，把这三条线段转化为同一直线上的线段。如图2，分别作点P关于OA、OB的对称点P＇、P＇＇，连接P＇P＇＇，分别交OA、OB于点M、N，连结PM、PN，此时PM=P＇M，PN=P＇N， 三、两定两动型（两个动点分别在两条直线上） 已知：点P、Q是∠AOB内部两定点，分别在直线OA、OB上找点M、N，使四 边形PMNQ的周长最小。 图3 解析：因为PQ的长度是定值，要使四边形PMNQ的周长最小，就是要使 PM+MN+NQ的值最小。作点P关于OA的对称点P’，作点Q关于OB的对称点Q’，连结P’Q’，分别交直线OA、OB于点M、N，连结PM、MN、NQ，因为PM=P’M，
最短距离问题 1. 如图3，45AOB ∠=°，P 是AOB ∠内一点，10PO =，Q R 、分别是OA OB 、上的动点，求PQR △周长的最小值． 2. 如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（ ） A ．23 B ．26 C ．3 D ．6 3. 在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝ 4. 一次函数y kx b =+的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）． （1）求该函数的解析式； （2）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标． 5. 如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是____． 第题 O x y B D A C P A B P R Q 图3 A D E P B C
6.如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？ 作法：设a、b的距离为r。①把点B竖直向上平移r个单位得到点B'； ②连接AB'，交a于C；③过C作CD b于D； ④连接AC、BD。 证明：∵BB'∥CD且BB'＝CD，∴四边形BB'CD是平行四边形，∴CB'＝BD ∴AC＋CD＋DB＝AC＋CB'＋B'B＝AB'＋B'B 在a上任取一点C'，作C'D'，连接AC'、D'B，C'B' 同理可得AC'＋C'D'＋D'B＝AC'＋C'B'＋B'B，而AC'＋C'B'>A B'，∴AC＋CD＋DB最短。7.如图,矩形ABCD中,AB=20,BC=10,若AC,AB是各有一个动点M,N,求BM+MN最小值. 8.如图2所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为 .
初中几何“路径最短问题”的探究与解决策略作者：*** 来源：《中学课程辅导·教师教育（上、下）》2020年第10期
摘要：初中几何“路径最短问题”，近年来备受中考命题的青睐，成为中考数学的热点与考点。本文中笔者对几何“路径最短问题”的原理、路径的类型、起点终点的类型进行分类，运用图形变换，等效点、等效线段的转换，解决“路径最短问题”的策略。 关键词：几何公理;路径最短;图形变换;等效点;线段 中图分类号：G633.7 文献标识码：A文章编号：1992-7711（2020）10-075-2 2018年全国各地中考数学试卷中频频出现“最短路径问题”，如广西贵港、山东滨州泰安、天津、湖北黄冈……“路径最短问题”涉及知识较多，具有很强生产生活实践应用价值。笔者正视热点，结合自己教学实践经验，细致深入地进行探究，形成自己解决“最短路径问题”策略，教学中借助几何画板的动态化、明晰化优势，使“路径最短问题”专题教学取得良好效果。 “最短路径问题”多以填空题、选择题进行考察，分值4～5分，难易程度为0.1～0.3，属于学生较难掌握、解决的问题。 有鉴于此，笔者将从以下几个方面来探究“最短路径问题”以及解决策略。 一、“最短路径问题”的三个主要理论依据 1.线段最短 公理：连接两点之间的所有连线中，线段最短。简称：线段最短。 笔者解读：公理“两点”即两个定点，因此，公理为解决两个定点之间最短路径问题提供理论依据。同时，它还能拓展解决，圆外定点到圆周上动点最短距离问题。如下图所示： 2.垂线段最短 公理：直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短。简称：垂线段最短。 笔者解读：运用本公理能解决直线外一定点到直线上的所有点即直线上动点之间的路径最短问题。同时它还能拓展解决，圆周上动点到圆外定直线的最短距离问题。如下图所示： 3.三角形三边关系定理 定理：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 笔者解读：根据该定理，三角形的第三边长度受到一端相连的两条定长线段限制，这也说明了公共端点的两条定长线段的另外两个端点之间的路径距离范围在两条线段之和与之差之
初中数学［最短路径问题]典型题型及解题技巧 最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用.理论依据：“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图".教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”.考的较多的还是“饮马问题”。 知识点：“两点之间线段最短",“垂线段最短”,“点关于线对称"，“线段的平移”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题"，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路:找点关于线的对称点实现“折”转“直”,近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。 一、两点在一条直线异侧 例:已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P,使得PA+PB 最小。 解:连接AB，线段AB与直线L的交点P ,就是所求。（根据：两点之 间线段最短。） 二、两点在一条直线同侧 例:图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短． 解:只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线 “街道"的对称点A′,然后连接A′B，交“街道"于点C，则点C就是 所求的点． 三、一点在两相交直线内部 例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON 上各取一点B，C，组成三角形,使三角形周长最小。
解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交 OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求 分析:当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小 例：如图，A。B两地在一条河的两岸,现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 解：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E, 2.连接AE交河对岸与点M， 则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。 证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM， MN=CD, BD∥CE， BD=CE， 所以A。B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN， 若桥的位置建在CD处，连接AC。CD。DB。CE， 则AB两地的距离为： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN， 在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN，即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。 例：如图,A、B是两个蓄水池,都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物,•要在河边建一个抽水站,将河水送到A、B两地,问该站 ·· C D A B E a A· B M N E
最新精编初中数学 求线段最值问题专题分类讲解全书（共计66页） 线段最值问题（一） 一．两点之间线段最短 两点之间，线段最短经常结合三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边和圆来求解线段或者线段和的最大最小值问题。解题的关键是找到定点和定长的线段，然后利用上述知识找到临界位置，求出最值. 1.两点之间，线段最短：A 和B 两点之间，线段AB 最短. 2. AB a =，BC b =（a b >），则当点C 在D 点时，min AC AB AC a b =-=-，当点C 在点E 时，max AC AB BC a b =+=+ 二．垂线段最短 垂线段最短是直线外一点与直线上各点的连线中垂线段最短的简称，如图，线段AB 外一点C D C B A E D C B A
与线段上各点的连线中，垂线段CD 最短. 一．考点：两点之间线段最短，垂线段最短 二．重难点：两点之间线段最短，垂线段最短 三．易错点： 1．利用两点之间线段最短求解最值时要找到定点和定线段，然后再找到临界位置求解； 2．利用垂线段最短求解最值时关键是找准定点和动点所在的线段或直线． 题模一：两点之间线段最短 例1.1.1 在RtABC 中，∠ACB=90°，BAC=30°，BC=6． （I ）如图①，将线段CA 绕点C 顺时针旋转30°，所得到与AB 交于点M ，则CM 的长=__； （II ）如图②，点D 是边AC 上一点D 且 ，将线段AD 绕点A 旋转，得线段AD′，点F 始终为BD′的中点，则将线段AD 绕点A 逆时针旋转__度时，线段CF 的长最大，最大值为__． F E D C B A