立体几何基本概念选择三十题
姓名：_________________ 正确个数：_________________
选择题（共30小题）
1．（2012?浙江）设l是直线，α，β是两个不同的平面（）
A ．若l∥α，l∥β，则α∥
β
B
．
若l∥α，l⊥β，则α⊥
β
C
．
若α⊥β，l⊥α，则l⊥
β．
若α⊥β，l∥α，则l
⊥β
2．（2011?浙江）若直线l不平行于平面α，且l?α，则（）
A ．α内存在直线与l异面B
．
α内存在与l平行的直线
C ．α内存在唯一的直线与l平行D
．
α内的直线与l都相交
3．（2011?浙江）下列命题中错误的是（）
A
．
如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B
．
如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C
．
如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γ
D
．
如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
4．（2010?浙江）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）
A若l⊥m，m?α，则l⊥α B若l⊥α，l∥m，则m⊥α C若l∥α，m?α，则l∥m D若l∥α，m∥α，则l∥m
5．（2010?江西）如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题
①过M点有且只有一条直线与直线 AB、B1C1都相交；
②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；
③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；
④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．
其中真命题是（）
A ．②③④B
．
①③④C
．
①②④D
．
①②③
6．（2008?江西）设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是（）A
．
在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直
B
．
过直线m有且只有一个平面与平面α垂直
C与直线m垂直的直线不可能与平面α平行
．
D
．
与直线m平行的平面不可能与平面α垂直
7．（2008?湖南）设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（）
A
．
若m∥α，n∥α，则m∥n B.若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥βC
．
若α⊥β，m?α，则m⊥β D.若α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α8．（2008?湖南）已知直线m、n和平面α、β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则（）
A ．n⊥βB
．
n∥β，或n?βC
．
n⊥αD
．
n∥α，或n?α
9．（2008?海南）已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）
A ．AB∥m B
．
AC⊥m C
．
AB∥βD
．
AC⊥β
10．（2008?安徽）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的为（）
A若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB
．
若m∥α，m∥β，则
α∥β
C若m∥α，n∥α，则m
∥n
D若m⊥α，n⊥α，则m
∥n
11．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）
A ．若a，b与α所成的角相等，则α∥b B
．
若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
C ．若a?α，b?β，α∥b，则α∥βD
．
若a⊥α，b⊥β，α⊥β，是a⊥b
12．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（）
A ．若m?β，α⊥β，则m⊥αB
．
若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β
C ．若α⊥γ，α⊥β，则β∥γD
．
若m⊥β，m∥α，则α⊥β
13．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α?n⊥α②α∥β，m?α，n?β?m∥n
③m∥n，m∥α?n∥α④α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β
其中正确命题的序号是（）
A ．①③B
．
②④C
．
①④D
．
②③
14．平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是m′和n′，给出下列四个命题：
①m′⊥n′?m⊥n；②m⊥n?m′⊥n′；③m′与n′相交?m与n相交或重合；④m′与n′平行?m与n平行或重合．
其中不正确的命题个数是（）
A1B2C3D4
．．．．15．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）
A ．m?α，n?α，m∥β，n∥β?α∥βB
．
α∥β，m?α，n?β，?m∥n
C ．m⊥α，m⊥n?n∥αD
．
n∥m，n⊥α?m⊥α
16．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（）
A ．平行B
．
相交C
．
垂直D
．
互为异面直线
17．给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行．②垂直于同一平面的两个平面互相平行．
③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行．
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．
其中假命题的个数是（）
A ．1B
．
2C
．
3D
．
4
18．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（）
A
．
等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
B
．
等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
C
．
等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
D
．
等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
19．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：
①存在平面γ，使得α，β都平行于γ②存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；
③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β．
其中，可以判定α与β平行的条件有（）
A ．1个B
．
2个C
．
3个D
．
4个
20．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；④若m、n是异面直线，m⊥α，m∥β，n⊥β，n∥α，则α⊥β其中真命题是（）
A ．①和②B
．
①和③C
．
③和④D
．
①和④
21．已知a、b、c是三条直线，β是平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，b⊥c，则a⊥c；
③若a∥β，b?β，则a∥b；④若a与b异面，且a∥β，则b与β相交；
⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直．其中真命题的个数是（）
A ．1B
．
2C
．
3D
．
4
22．已知直线m、n与平面α，β，给出下列三个命题：
①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．其中真命题的个数是（）
A ．0B
．
1C
．
2D
．
3
23．不同直线m，n和不同平面α，β，给出下列命题：
①，②，③，④其中假命题有：（）
A ．0个B
．
1个C
．
2个D
．
3个
24．在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中，真命题是（）
A ．若l?β，且α⊥β，则l⊥αB
．
若l⊥β，且α∥β，则l⊥α
C ．若α∩β=m，且l⊥m，则l∥αD
．
若l⊥β，且α⊥β，则l∥α
25．（2004?湖北）如图是正方体的平面展开图．在这个正方形中，
①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）
A ．①②③B
．
②④C
．
③④D
．
②③④
26．设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n ②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ ③若m∥α，n∥α，则m∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
A ．①②B
．
②③C
．
③④D
．
①④
27．已知三条直线m、n、l，三个平面α、β、γ，下列四个命题中，正确的是（）
A ．
B
．
C
．
D
．
28．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）
A
．
α、β都垂直于平面r
B
．
α内存在不共线的三点到β的距离相等
C
．
l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β
D
．
l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β
29．已知m，n为异面直线，m?平面α，n?平面β，α∩β=l，则l（）
A ．与m，n都相交B
．
与m，n中至少一条相交
C ．与m，n都不相交D
．
至多与m，n中的一条相交
30．已知直线l、m，平面α、β，且l⊥a，m⊥β，给出下列四个命题；（1）若α∥β，则l⊥m．（2）若l⊥m，则α∥β．
（3）若α⊥β，则l∥m．（4）若l∥m，则α//β．
其中正确命题的个数是（）
A ．1个B
．
2个C
．
3个D
．
4个
高三数学立体几何高考题 1.（2012年7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出 的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 （A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）18 2.（2012年8）平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为 （A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π 3.(2013年11)某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为( )． A ．16＋8π B ．8＋8π C ．16＋16π D ．8＋16π 4.(2013年15)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______． 5.(2014年8)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的 事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 6.(2014年10)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4， 底面边长为2，则该球的表面积为( ) A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π4 7.(2015年6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 8.(2015年11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( ) （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 9（2016年7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的 圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π 3 ， 则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 10（2016年11）平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，11//CB D α平面, ABCD m α=I 平面，11ABB A n α=I 平面，则m ，n 所成角的正弦值为 （A ）32 （B ）22 （C ）33 （D ）1 3 11．(2017年6)如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是 12．（2017年16）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________。
立体几何大题专练 1、如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点； (1)求证：MN//平面PAD (2)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD 2（本小题满分12分） 如图，在三棱锥P ABC -中，,E F 分别为,AC BC 的中点． （1）求证：//EF 平面PAB ； （2）若平面PAC ⊥平面ABC ，且PA PC =，90ABC ∠=?， 求证：平面PEF ⊥平面PBC ． P A C E B F
（1）证明：连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点， //EF AB ∴. ……………………2分 又?EF 平面PAB ，?AB 平面PAB ， ∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分 （2）PA PC = ，E 为AC 的中点， PE AC ∴⊥ ……………………6分 又 平面PAC ⊥平面ABC PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分 又因为F 为BC 的中点， //EF AB ∴ 090,BC EF ABC ⊥∠=∴ ……………………10分 EF PE E = BC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ? 面PBC ∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分 3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。 （1）求证：BC 1//平面CA 1D ； （2）求证：平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B 。 4．已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、PC 的中点． (1) 求证：EF ∥平面PAD ； (2) 求证：EF ⊥CD ； (3) 若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．
A 1 C B A B 1 C 1 D 1 D O 高三数学·单元测试卷(九） 第九单元 [简单几何体],交角与距离 (时量:120分钟 １5０分） 一、选择题：本大题共1０小题,每小题5分，共5０分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条,其中异面直线有 A.1８对 ?Ｂ．２4对 C ．30对 ? D ．36对 2..一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为 A.π28 Ｂ.π8?Ｃ.π24? D.π4 3．设三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为V,P 、Q 分别是侧棱AA 1、C Ｃ1上的点,且PA ＝ＱC １,则四棱锥B －AP ＱC 的体积为 Ａ.V ６ B.错误! ?C ．错误! D.错误! 4.如图，在多面体ABCDEF 中，已知ＡBCD 是边长为1的正方形，且△A ＤE 、△BCF 均为正三角形,ＥＦ∥A Ｂ,EF=2，则该多面体的体积为 Ａ.32 B.3 3 C ． 3 4 Ｄ．错误! ５.设α、β、γ为平面,l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是 A ．l m l ⊥=?⊥ ,,βαβα?Ｂ．γβγαγα⊥⊥=?,,m C.αγβγα⊥⊥⊥m ,, D ．αβα⊥⊥⊥m n n ,, 6．如图，正方体ＡBCD －A 1B １C 1D 1的棱长为1，O 是底面Ａ1B 1C 1D １的中心，则O 到平面A ＢC 1D 1 的距离为 Ａ.＼f （1,2) Ｂ．错误! C ．错误! D.错误! 7.不共面的四个定点到平面α的距离都相等,这样的平面α共有 A ．３个 B ．４个 ? C ．6个 ．7个 8．正方体AB ＣＤ-Ａ1B 1C 1Ｄ１中，E 、F 分别为棱ＡB 、C 1D 1的中点,则直线A １Ｂ１与平面A 1Ｅ ＣF 所成角的正弦为 Ａ．错误!??? Ｂ.错误!? ? Ｃ.错误!?? D ．错误! 9．在空间直角坐标系O —x yz 中，有一个平面多边形，它在ｘO ｙ平面的正射影的面积为8， 在ｙO ｚ平面和ｚO x 平面的正射影的面积都为6，则这个多边形的面积为 A ．2错误!? B ．错误!? C ．2错误!?Ｄ.错误! 1０．将半径都为1的４个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小
第六讲 立体几何新题型 【考点透视】 (A)版.掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念. (B)版. ①理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘. ②了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算. ③掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式. ④理解直线的方向向量、平面的法向量，向量在平面内的射影等概念. ⑤了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念. ⑥掌握棱柱、棱锥、球的性质，掌握球的表面积、体积公式. ⑦会画直棱柱、正棱锥的直观图. 空间距离和角是高考考查的重点：特别是以两点间距离，点到平面的距离，两异面直线的距离，直线与平面的距离以及两异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角等作为命题的重点内容，高考试题中常将上述内容综合在一起放在解答题中进行考查，分为多个小问题，也可能作为客观题进行单独考查.考查空间距离和角的试题一般作为整套试卷的中档题，但也可能在最后一问中设置有难度的问题. 不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色. 求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。 【例题解析】 考点1 点到平面的距离 求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用. 典型例题 例1如图，正三棱柱111ABC A B C 的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．
（一） 1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如 右图所示，则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。 ： `
} （一） 2.83 3. 解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=， 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD （Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则 ()1,0,0A ，()03,0B ，，() 1,3,0C -，()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- < 设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0, 0, {n AB n PB ?=?= 即 3030 x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ，则 m 0,m 0, { PB BC ?=?= 可取m=（0，-1，3-） 27 cos ,727 m n = =- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27 7 - <
（二） 1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 2 3 D 63 2. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ \ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB ⊥⊥（Ⅰ）证明：SE=2EB ； （Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 . 《
数学《空间向量与立体几何》复习知识点 一、选择题 1．某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( ) A．16 9 π B． 8 9 π C． 16 27 π D ． 8 27 π 【答案】A 【解析】 【分析】 根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可． 【详解】 解：设圆柱的半径为r，高为x，体积为V， 则由题意可得 3 23 r x - =， 3 3 2 x r ∴=-， ∴圆柱的体积为23 ()(3)(02) 2 V r r r r π =-<<， 则3 333 3 163331616 442 ()(3)() 9442939 r r r V r r r r ππ π ++- =-= g g g g …． 当且仅当 33 3 42 r r =-，即 4 3 r=时等号成立． ∴圆柱的最大体积为 16 9 π ， 故选：A． 【点睛】 本题考查圆柱的体积和基本不等式的实际应用，利用条件建立体积函数是解决本题的关键，是中档题． 2．在三棱锥P ABC -中，PA⊥平面ABC，且ABC ?为等边三角形，2 AP AB ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（）
A ． 272 π B ． 283 π C ． 263 π D ． 252 π 【答案】B 【解析】 【分析】 计算出ABC ?的外接圆半径r ，利用公式R =可得出外接球的半径，进而可 得出三棱锥P ABC -的外接球的表面积. 【详解】 ABC ? 的外接圆半径为 2sin 3 AB r π = = PA ⊥Q 底面ABC ，所以，三棱锥P ABC - 的外接球半径为 3R ===， 因此，三棱锥P ABC - 的外接球的表面积为2 2 284433R πππ?=?= ?? . 故选：B. 【点睛】 本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，选择合适的公式计算外接球的半径，考查计算能力，属于中等题. 3．已知圆锥SC 的高是底面半径的3倍，且圆锥SC 的底面直径、体积分别与圆柱OM 的底面半径、体积相等，则圆锥SC 与圆柱OM 的侧面积之比为（ ）. A B ．3:1 C ．2:1 D 2 【答案】A 【解析】 【分析】 设圆锥SC 的底面半径为r ，可求得圆锥的母线长，根据圆锥侧面积公式求得侧面积；由圆锥体积与圆柱体积相等可构造方程求得圆柱的高，进而根据圆柱侧面积公式求得圆柱侧面积，从而求得比值. 【详解】 设圆锥SC 的底面半径为r ，则高为3r ，∴圆锥SC 的母线长l ==， ∴圆锥SC 的侧面积为2rl r π=； 圆柱OM 的底面半径为2r ，高为h ，