A 1
C
B A
B 1
C 1
D 1
D
O
高三数学·单元测试卷(九）
第九单元 [简单几何体],交角与距离
(时量:120分钟 １5０分）
一、选择题：本大题共1０小题,每小题5分，共5０分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.
1．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条,其中异面直线有
A.1８对 ?Ｂ．２4对
C ．30对 ?
D ．36对
2..一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为
A.π28 Ｂ.π8?Ｃ.π24? D.π4
3．设三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为V,P 、Q 分别是侧棱AA 1、C Ｃ1上的点,且PA ＝ＱC １,则四棱锥B －AP ＱC 的体积为
Ａ.V
６
B.错误! ?C ．错误! D.错误!
4.如图，在多面体ABCDEF 中，已知ＡBCD 是边长为1的正方形，且△A ＤE 、△BCF 均为正三角形,ＥＦ∥A Ｂ,EF=2，则该多面体的体积为
Ａ.32 B.3
3 C ．
3
4
Ｄ．错误!
５.设α、β、γ为平面,l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是
A ．l m l ⊥=?⊥
,,βαβα?Ｂ．γβγαγα⊥⊥=?,,m
C.αγβγα⊥⊥⊥m ,, D ．αβα⊥⊥⊥m n n ,,
6．如图，正方体ＡBCD －A 1B １C 1D 1的棱长为1，O 是底面Ａ1B 1C 1D １的中心，则O 到平面A ＢC 1D 1
的距离为 Ａ.＼f （1,2) Ｂ．错误!
C ．错误!
D.错误!
7.不共面的四个定点到平面α的距离都相等,这样的平面α共有
A ．３个
B ．４个 ?
C ．6个
．7个 8．正方体AB ＣＤ-Ａ1B 1C 1Ｄ１中，E 、F 分别为棱ＡB 、C 1D 1的中点,则直线A １Ｂ１与平面A 1Ｅ
ＣF 所成角的正弦为
Ａ．错误!??? Ｂ.错误!? ? Ｃ.错误!?? D ．错误!
9．在空间直角坐标系O —x yz 中，有一个平面多边形，它在ｘO ｙ平面的正射影的面积为8，
在ｙO ｚ平面和ｚO x 平面的正射影的面积都为6，则这个多边形的面积为
A ．2错误!?
B ．错误!?
C ．2错误!?Ｄ.错误!
1０．将半径都为1的４个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小
值为 A.
3
6
23+ Ｂ.2+
3
6
2 C.4＋3
6
2 Ｄ.
3
6
234+
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
二、填空题：本大题共5小题,每小题4分，共20分．把答案填在横线上. １１．正三棱锥Ｐ-AB Ｃ的四个顶点同在一个半径为2的球面上,若正三
棱锥的侧棱长为2＼r （3),则正三棱锥的底面边长是_＿_＿__＿__＿___ . 12.如图，P Ａ⊥平面AB Ｃ,∠ABC ＝90°且PA=A Ｂ＝BC=a ,
则异面直线PB 与ＡＣ所成角的正切值等于_＿_＿____．
13.已知球面上A 、B 两点间的球面距离是1，过这两点的球面半径的
夹角为60°，则这个球的表面积与球的体积之比是 . 1４．下面是关于三棱锥的四个命题：
①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．
④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. 其中，真命题的编号是_＿＿＿__________（写出所有真命题的编号）.
1５．在正方体ABCD －A １B 1C 1D 1中，过对角线BD １的一个平面交AA 1于E ，交CC 1于Ｆ，则
① 四边形BFD 1E 一定是平行四边形 ② 四边形ＢF Ｄ1E 有可能是正方形
③ 四边形BFD 1Ｅ在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形BFD 1E 有可能垂直于平面ＢB 1Ｄ
以上结论正确的为 （写出所有正确结论的编号)．
三、解答题:本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 1６．(本题满分l2分)
在四棱锥V-A ＢCD 中，底面ＡB ＣD 是正方形， 侧面VAD 是正三角形,平面ＶAD ⊥底面AB ＣD. (Ⅰ）证明ＡB ⊥平面ＶAD.
(Ⅱ）求面ＶAD 与面VDB 所成的二面角的大小．
D C
B
A
V
１７．（本题满分12分）
如图1,已知AB ＣD 是上、下底边长分别是2和6,高为错误!的等腰梯形．将它沿对称轴OO １折成直二面角，如图2.
（Ⅰ）证明AC ⊥BO 1;
（Ⅱ)求二面角O-AC-Ｏ1的大小.
18.(本题满分1４分）
如图,在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中，ＰA ⊥底面ABC Ｄ，PA=AB ＝1，BC=2. (1）求证：平面PDC ⊥平面P ＡD;
(2）若E 是PD 的中点,求异面直线AE 与P Ｃ所成角的余弦值;
（3)在BC 边上是否存在一点Ｇ，使得D 点到平面PA Ｇ的距离为1，若存在,求出ＢＧ的值；若不存在，请说明理由.
A
B
O
C
O 1
D
P
A B
C
D
E
19．(本题满分14分）
如图，已知三棱柱ＡBC-Ａ1Ｂ1C 1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A １Ａ与ＡB 、ＡC 均成45°角，且A 1E ⊥B １B 于E,A 1F ⊥ＣC 1于F ． ⑴求证:平面Ａ１ＥF ⊥平面B 1BCC 1; ⑵求直线AA 1到平面B １B ＣＣ1的距离; ⑶当AA 1多长时,点A 1到平面ＡBC 与平面B 1B ＣC 1的距离相等.
20．(本题满分14分)
如图直角梯形OA ＢC 中，∠COA=∠O ＡB ＝
2
π
,OC=2,OA ＝A Ｂ＝1,ＳO ⊥平面O ＡB Ｃ，S Ｏ=１，以O Ｃ、OA 、O Ｓ分别为ｘ轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系O-x ｙz ．
?⑴求SC OB α与的夹角的大小（用反三角函数表示)；
⑵设:,),,,1(求平面满足SBC n q p n ⊥= ①;n 的坐标
②OA 与平面SBC 的夹角β（用反三角函数表示);
③O 到平面S ＢC 的距离.
?⑶设:.),,1(填写且满足s r ⊥⊥= ?①的坐标为k .
②异面直线S Ｃ、OB 的距离为 ．(注:⑶只要求写出答案)
A C A 1 C 1 F E
B 1
21.(本题满分14分)
直三棱柱A ＢC -A 1B 1C 1，底面△ABC 中,ＣA =CB =a ,∠BC Ａ＝90°，AA 1=2a ,M 、N 分别是A 1B 1、AA 1的中点. (I ）求的长;
（II ）求cos 〈11,CB BA 〉
； (II Ｉ）求证:A １B ⊥C １M ．
[简单几何体]，交角与距离参考答案
三、解答题 16.证明：（Ⅰ)作ＡD 的中点Ｏ,则VO ⊥底面ABCD ．…………………………1分 建立如图空间直角坐标系,并设正方形边长为1,…………………………２分 则A(
12,0,0),Ｂ(12,1，0）,Ｃ(－12，１,0）,D(-1
2
，０,0）,V(0，0,2)，
∴1
(0,1,0),(1,0,0),(2AB AD AV ===-....................................3分 由(0,1,0)(1,0,0)0AB AD AB AD ?=?=?⊥ (4)
分
13
(0,1,0)(,0,)02AB AV AB AV ?=?-=?⊥……………………………………5分
又A Ｂ∩AV ＝A
∴ＡB ⊥平面VAD …………………………………………………………………………6分 （Ⅱ)由（Ⅰ)得(0,1,0)AB =是面VAD 的法向量………………………………7分 设(1,,)n y z =是面VDB 的法向量，则
110
(1,,)(,1,
0(1,1,)2
30(1,,)(1,1,0)0x n VB y z n z n BD y z =-????=?-=???
???=-??
?=?=?????--=??
……9分 ∴(0,1,0)(1,cos ,73
AB n ?-<>=
=-,……………………………………11分
又由题意知，面V ＡD 与面V ＤB 所成的二面角，所以其大小为arccos 7
…………1２分 17.解法一(I ）证明 由题设知O Ａ⊥ＯO 1，OB ⊥ＯＯ1. ?所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角, ?即OA ⊥ＯＢ. 故可以O 为原点，OA 、OB 、ＯO １
?所在直线分别为x 轴、ｙ轴、z 轴建立空间直角坐标系， ?如图3，则相关各点的坐标是A （３,0,0)， ?B （０,3,0),C （0,1,3）
O 1(0，0,3).
?从而.0333),3,3,0(),3,1,3(11=?+-=?-=-=BO AC BO AC
图3
?所以AC ⊥ＢO 1.
（ＩI ）解：因为,03331=?+-=?OC BO 所以BO 1⊥ＯC,
由(Ｉ)A Ｃ⊥ＢO 1，所以ＢＯ1⊥平面OAC ，1BO 是平面OAC 的一个法向量. 设),,(z y x =是０平面O 1ＡＣ的一个法向量, 由,3.0,033001=???==++-???
???=?=?z y z y x O AC n 取 得)3,
0,1(=n .
设二面角O —A Ｃ—Ｏ1的大小为θ，由、1BO 的方向可知=<θ,1BO >,
所以cos <=cos θ，1BO .431=
?即二面角O —A Ｃ—O 1的大小是.4
3arccos
解法二（I ）证明 由题设知OA ⊥OO 1,OB ⊥OO １,所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角，
?即OA ⊥OB. 从而AO ⊥平面OBCO １, OC 是ＡC 在面O ＢＣO １内的射影. 因为3
tan 1
1==
∠OO OB B OO
3
3tan 1
11=
=
∠OO C O OC O ， 所以∠OO １B=60°，∠Ｏ1OC=30°，从而OC ⊥BO 1
由三垂线定理得AC ⊥BO 1.
(II ）解 由(I)ＡC ⊥BO 1，OC ⊥BO 1，知BO 1⊥平面AO Ｃ. ?设OC ∩O 1B=E ，过点E 作ＥＦ⊥ＡC 于F,连结O １F （如图4），则E Ｆ是Ｏ1Ｆ在平面A ＯC 内的射影，由三垂线定理得O 1Ｆ⊥A Ｃ． 所以∠O 1ＦE 是二面角O —AC —O 1的平面角.
由题设知OA=3,ＯO 1=3,O 1C=1,
?所以13,3221212121=+==+=C O A O AC OO OA A O , ?从而13
32111=
?=
AC C O A O F O ,?又Ｏ1E ＝OO １·s ｉn ３0°=23
， ?所以.4
13
sin 111==
∠F O E O FE O 即二面角O —AC —O 1的大小是.43arcsin 18.解:以A 为原点，A Ｂ所在直线为ｘ轴，AD 所在直线为y 轴，ＡP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则Ａ(０,０，０)，Ｂ（１,0,0)，Ｃ(12,0,），D(０，2，0),E(０，1,１
2),Ｐ（0,0，
1).
A B O C
O 1
D
图4
F
E
∴CD ＝(－1,0，０)，AD ＝(0,2，0），AP =(0，0，１），AE =(0,1,1
2
） ,PC =(1，2，－１)，
(1) 00CD AD CD AD CD PAD CD AP CD AP CD PDC AP AD A ?
=?⊥?⊥?
?=?⊥??????
?
=??平面平面平面PDC ⊥平面P ＡD ． (5)
分
(2）∵c ｏｓ,||||
AE PC
AE PC AE PC ??=
=错误!＝错误!,
∴所求角的余弦值为错误!.………………………………………………………………9分 (３）假设B Ｃ边上存在一点G 满足题设条件,令BG ＝x ,则G(１,x ,0)，作DQ ⊥ＡG,则DQ ⊥平面P ＡG,即DQ ＝１．∵2Ｓ△ＡDG =S 矩形ABCD ，∴||||||||AG DQ AB AD ==2∴||
AG ＝2，又A Ｇ=＼r(x 2
＋1)，∴x ＝错误!<2，
故存在点Ｇ,当BG=错误!时，使点D 到平面PAG 的距离为1.…………………………1４分
1９．解:⑴CC 1∥BB 1，又B Ｂ１⊥A 1Ｅ,∴CC 1⊥A 1Ｅ，而CC 1⊥Ａ1Ｆ，∴C Ｃ1⊥平面A １EF ，∴平面Ａ1EF ⊥平面B 1ＢCC 1………………………………………………………………4分
⑵作A 1H ⊥ＥF 于Ｈ，则A １H ⊥面B 1ＢCC 1，∴A 1H 为A 1到面B 1BCC 1的距离,在△A 1EF 中,A 1E=Ａ1
F=２，EF=2，∴△A 1EF 为等腰R ｔ△且ＥF 为斜边，∴Ａ１H 为斜边上中线,可得A 1H=错误!E Ｆ＝1…………………………………………………………………………９分
⑶作A 1G ⊥面A ＢC 于G ，连AG,则A 1Ｇ就是A 1到面ABC 的距离,且AG 是∠BA Ｃ的角平分线，A 1G=1…………………………………………………………………………12分
∵cos ∠A 1A Ｇ＝错误!,∴sin ∠A １ＡＧ＝错误!，∴A １A=错误!=１………………1４分 20．解：(Ⅰ）如图所示: Ｃ（2,0,０），S （０,0,1），O （0，0,0）,B(1,1，0)
510arccos ,510252
,cos )0,1,1(),1,0,2(==?>=
<∴=-=∴α
………………………………………………………4分
(Ⅱ）①SBC ⊥-=-= )0,1,1(),1,1,1(
,,1010,:1,2,(1,1,2)
n SB n CB n SB p q n CB p p q n ∴⊥⊥∴?=+-=?=-+===∴=解得
……………………………………………………………………………7分
②SOE BC E BC OE O
面则于作过
⊥⊥,,SAB SOE ⊥∴
,,,,2,SE O OH SE H OH SBC OA CB F OF FH OFH OE SE ⊥⊥=∠=∴=又两面交于过作于则延长与交于则连则为所求又
3
sin
2
arcsin10
6
SO OE
OH
SE
β
β
?
∴===∴==
∴=分
③()
1,1,2
-；
3
6
=
OH……………………………………１4分．
21.以C为原点建立空间直角坐标系
(I)B（0,ａ,0),N（ａ,0,ａ），
∴a
a
a
a
BN3
)0
(
)
0(
)0
(
|
|2
2
2=
-
+
-
+
-
=．4分
（II)A１(a,0,2a),C（0,0,０)，B1(0,a，2a），
∴
1
BA＝(a,－a，2a)，
1
CB=（0，ａ,2a)，
∴
1
BA·
1
CB＝a×0＋(－a)×a+2a×２a＝3a2,５分
|
1
BA|＝a
a
a
a6
)
2(
)
(2
2
2=
+
-
+，|
1
C B|＝a
a
a5
)
2(
02
2
2=
+
+，7分
∴cｏｓ〈
1
1
,CB
BA
10
30
5
6
3
|
||
|
1
1
1
1=
?
=
?CB
BA
.９分
(ＩII）C１(0,0,2ａ)，M（
2
a
，
2
a
,２a),∴C
1
=(
2
a
,
2
a
，０）,A
1
＝(-a，a，２a),
∴A
1
·C
1
=(－a）×
2
a
＋a×
2
a
+2a×0=0，∴A
1
⊥C
1
，∴A１B⊥C1Ｍ.14分