A 1
C
B A
B 1
C 1
D 1
D
O
高三数学·单元测试卷(九)
第九单元 [简单几何体]，交角与距离
(时量:120分钟 150分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．
1．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有
A ．18对
B ．24对
C ．30对
D ．36对
2．．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为
A ．π28
B ．π8
C ．π24
D ．π4
3．设三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA ＝QC 1，则四棱锥B －APQC 的体积为
A ．V
6
B ．V
4
C ．V
3
D ．V
2
4．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE 、△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为
A ．
3
2
B ．
3
3 C ．
3
4
D ．32
5．设α、β、γ为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是
A ．l m l ⊥=?⊥
,,βαβα
B ．γβγαγα⊥⊥=?,,m
C ．αγβγα⊥⊥⊥m ,,
D ．αβα⊥⊥⊥m n n ,,
6．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离为 A ．12 B ．2
4 C ．
22
D ．
32
7．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有
A ．3个
B ．4个
C ．6个
D ．7个
8．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB 、C 1D 1的中点，则直线A 1B 1与平面A 1ECF 所成
角的正弦为 A ．
63
B ．
33
C ．
66
D ．
22
9．在空间直角坐标系O —x yz 中，有一个平面多边形，它在x Oy 平面的正射影的面积为8，
在yOz 平面和zO x 平面的正射影的面积都为6，则这个多边形的面积为
A ．246
B ．46
C ．234
D ．34
10．将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为
A ．
3
6
23+ B ．2＋
3
6
2 C ．4＋3
6
2 D ．
3
6
234+
答题卡
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在横线上． 11．正三棱锥P －ABC 的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三
棱锥的侧棱长为23，则正三棱锥的底面边长是_____________ ． 12．如图，PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°且PA ＝AB ＝BC ＝a ， 则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于________．
13．已知球面上A 、B 两点间的球面距离是1，过这两点的球面半径的
夹角为60°，则这个球的表面积与球的体积之比是 ． 14．下面是关于三棱锥的四个命题：
①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥． ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．
④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． 其中，真命题的编号是______________（写出所有真命题的编号）．
15．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过对角线BD 1的一个平面交AA 1于E ，交CC 1于F ，则 ① 四边形BFD 1E 一定是平行四边形 ② 四边形BFD 1E 有可能是正方形
③ 四边形BFD 1E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形BFD 1E 有可能垂直于平面BB 1D
以上结论正确的为 （写出所有正确结论的编号）．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本题满分l2分)
在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形， 侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ． （Ⅰ）证明AB ⊥平面VAD ．
（Ⅱ）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小．
D C
B
A
V
17．（本题满分12分）
如图1，已知ABCD 是上、下底边长分别是2和6，高为3的等腰梯形．将它沿对称轴
OO 1折成直二面角，如图2．
（Ⅰ）证明AC ⊥BO 1；
（Ⅱ）求二面角O －AC －O 1的大小．
18．（本题满分14分）
如图，在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝1，BC ＝2． （1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；
（2）若E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值；
（3）在BC 边上是否存在一点G ，使得D 点到平面PAG 的距离为1，若存在，求出BG 的值；若不存在，请说明理由．
A
B
O
C
O 1
D
P
A B
C
D
E
19．（本题满分14分）
如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A 与AB 、AC 均成45°角，且A 1E ⊥B 1B 于E ，A 1F ⊥CC 1于F ． ⑴求证：平面A 1EF ⊥平面B 1BCC 1； ⑵求直线AA 1到平面B 1BCC 1的距离； ⑶当AA 1多长时，点A 1到平面ABC 与平面B 1BCC 1的距离相等．
20．(本题满分14分)
如图直角梯形OABC 中，∠COA ＝∠OAB ＝
2
π
，OC ＝2，OA ＝AB ＝1，SO ⊥平面OABC ，SO=1，以OC 、OA 、OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系O-xyz .
⑴求SC OB α与的夹角的大小（用反三角函数表示）； ⑵设:,),,,1(求平面满足SBC q p ⊥= ①;n 的坐标
②OA 与平面SBC 的夹角β（用反三角函数表示）；
③O 到平面SBC 的距离.
⑶设:.),,1(填写且满足s r ⊥⊥=
① .
②异面直线SC 、OB 的距离为 .（注：⑶只要求写出答案）
A B C A 1 C 1 F E B 1
21．(本题满分14分)
直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA ＝CB ＝a ，∠BCA ＝90°，AA 1＝2a ，M 、N 分别是A 1B 1、AA 1的中点． （I ）求BN 的长；
（II ）求cos 〈11,CB BA 〉
； （III ）求证：A 1B ⊥C 1M ．
[简单几何体]，交角与距离参考答案
三、解答题 16．证明：（Ⅰ）作AD 的中点O ，则VO ⊥底面ABCD ．…………………………1分 建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，…………………………2分 则A （
12，0，0），B （12，1，0），C （－12，1，0），D
（－1
2
，
0，0），V （0，0，2），
∴1
(0,1,0),(1,0,0),(2AB AD AV ===-………………………………3分 由(0,1,0)(1,0,0)0AB AD AB AD ?=?=?⊥……………………………………4分
13
(0,1,0)(,0,)02AB AV AB AV ?=?-=?
⊥……………………………………5分
又
AB ∩AV ＝A
∴AB ⊥平面VAD …………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得(0,1,0)AB =是面VAD 的法向量………………………………7分 设(1,,)n y z =是面VDB 的法向量，则
110(1,,)(,1,0(1,1,)230(1,,)(1,1,0)03x n VB y z n z n BD y z =-????=?-=???
???=-???=-?=?????--=??
……9分 ∴(0,1,0)(1,cos ,73
AB n ?-<>=
=-，……………………………………11分
又由题意知，面VAD 与面VDB 所成的二面角，所以其大小为arccos 7
…………12分 17．解法一（I ）证明 由题设知OA ⊥OO 1，OB ⊥OO 1. 所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角， 即OA ⊥OB. 故可以O 为原点，OA 、OB 、OO 1
所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 如图3，则相关各点的坐标是A （3，0，0），
B （0，3，0），
C （0，1，3）
O 1（0，0，3）.
从而.0333),3,3,0(),3,1,3(11=?+-=?-=-=BO BO
所以AC ⊥BO 1.
（II ）解：因为,03331=?+-=?BO 所以BO 1⊥OC ，
由（I ）AC ⊥BO 1，所以BO 1⊥平面OAC ，1BO 是平面OAC 的一个法向量. 设),,(z y x n =是0平面O 1AC 的一个法向量， 由,3.
0,033001=???==++-??????=?=?z y z y x O 取 得)3,
0,1(=.
设二面角O —AC —O 1的大小为θ，由n 、1BO 的方向可知=<θn ，1BO >，
所以cos <=cos θ，1BO .43||||11=?BO n
即二面角O —AC —O 1的大小是.4
3arccos
解法二（I ）证明 由题设知OA ⊥OO 1，OB ⊥OO 1，所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角，
即OA ⊥OB. 从而AO ⊥平面OBCO 1， OC 是AC 在面OBCO 1内的射影. 因为3
tan 1
1==
∠OO OB B OO
3
3tan 1
11=
=
∠OO C O OC O ， 所以∠OO 1B=60°，∠O 1OC=30°，从而OC ⊥BO 1
由三垂线定理得AC ⊥BO 1.
（II ）解 由（I ）AC ⊥BO 1，OC ⊥BO 1，知BO 1⊥平面AOC. 设OC ∩O 1B=E ，过点E 作EF ⊥AC 于F ，连结O 1F （如图4），则EF 是O 1F 在平面AOC 内的射影，由三垂线定理得O 1F ⊥AC.
所以∠O 1FE 是二面角O —AC —O 1的平面角.
由题设知OA=3，OO 1=3，O 1C=1，
所以13,3221212121=+==+=C O A O AC OO OA A O ，
从而13
32111=
?=
AC C O A O F O ， 又O 1E=OO 1·sin30°=23
，
所以.4
13
sin 111==
∠F O E O FE O 即二面角O —AC —O 1的大小是.43arcsin 18．解：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直
图3
A B
O C
O 1 D
图4
F
E
角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(12，0，)，D(0，2，0)，E(0，1，1
2)，P(0，0，1)．
∴CD ＝(－1，0，0)，AD ＝(0，2，0)，AP ＝(0，0，1)，AE ＝(0，1，1
2
) ，PC ＝(1，2，
－1)，
(1) 00CD AD CD AD CD PAD CD AP CD AP CD PDC AP AD A ?
=?⊥?⊥?
?=?⊥??????
?
=??
平面平面平面PDC ⊥平面PAD ．……5分
(2)∵cos ,||||AE PC
AE PC AE PC ??=＝2－121+14·6
＝3010，
∴所求角的余弦值为
30
10
．………………………………………………………………9分 (3)假设BC 边上存在一点G 满足题设条件，令BG ＝x ，则G(1，x ，0)，作DQ ⊥AG ，则DQ ⊥平面PAG ，即DQ ＝1．∵2S △ADG ＝S 矩形ABCD ，∴||||||||AG DQ AB AD =＝2∴||AG ＝2，又AG ＝x 2
+1，∴x ＝3<2，
故存在点G ，当BG ＝3时，使点D 到平面PAG 的距离为1．…………………………14分
19．解：⑴CC 1∥BB 1，又BB 1⊥A 1E ，∴CC 1⊥A 1E ，而CC 1⊥A 1F ，∴CC 1⊥平面A 1EF ，∴平面A 1EF ⊥平面B 1BCC 1………………………………………………………………4分
⑵作A 1H ⊥EF 于H ，则A 1H ⊥面B 1BCC 1，∴A 1H 为A 1到面B 1BCC 1的距离，在△A 1EF 中，A 1E ＝A 1F ＝2，EF ＝2，∴△A 1EF 为等腰Rt △且EF 为斜边，∴A 1H 为斜边上中线，可得A 1H ＝1
2EF
＝1…………………………………………………………………………9分
⑶作A 1G ⊥面ABC 于G ，连AG ，则A 1G 就是A 1到面ABC 的距离，且AG 是∠BAC 的角平分线，A 1G ＝1…………………………………………………………………………12分 ∵cos ∠A 1AG ＝cos45°cos30°＝63，∴sin ∠A 1AG ＝33，∴A 1A ＝1
3
3＝1………………14分
20．解：（Ⅰ）如图所示： C （2，0，0），S （0，0，1），O （0，0，0），B （1，1，0）
510arccos ,510252
,cos )0,1,1(),1,0,2(==?>=
<∴=-=∴α
………………………………………………………4分
（Ⅱ）①SBC ⊥-=-= )0,1,1(),1,1,1(
,,1010,:1,2,(1,1,2)
n SB n CB n SB p q n CB p p q n ∴⊥⊥∴?=+-=?=-+===∴=解得
……………………………………………………………………………7分
②SOE BC E BC OE O 面则于作过⊥⊥,，SAB SOE ⊥∴
,,,,2,SE O OH SE H OH SBC OA CB F OF FH OFH OE SE ⊥⊥=∠=∴=又两面交于过作于则延长与交于则连则为所求又
3,sin 326arcsin
10SO OE OH SE ββ?∴===∴==
∴=分
③的坐标为k ()1,1,2-；3
6
=
OH ……………………………………14分． 21．以C 为原点建立空间直角坐标系
（I ）B(0，a ，0)，N(a ，0，a )，
∴a a a a 3)0()0()0(||222=-+-+-=
．4分
（II ）A 1(a ，0，2a )，C(0，0，0)，B 1(0，a ，2a )， ∴1BA ＝(a ，－a ，2a )，1CB ＝(0，a ，2a )， ∴1BA ·1CB ＝a ×0＋(－a )×a ＋2a ×2a ＝3a 2
，5分 |1BA |＝a a a a 6)2()(222=+-+，|1C B |＝a a a 5)2(0222=++，7分
∴cos 〈11,CB BA 10
30
5
63|
|||1111=
?=
?CB BA ．9分 （III ）C 1(0，0，2a )，M(2a ，2a ，2a )，∴M C 1＝(2a ，2
a
，0)，B A 1＝(－a ，a ，2a )，
∴A 1·C 1＝(－a )×
2a ＋a ×2
a
＋2a ×0＝0，∴A 1⊥C 1，∴A 1B ⊥C 1M ．14分
立 体几何试题 一．选择题（每题4分，共40分） 1.已知AB 0300300150空间，下列命题正确的个数为（ ） （1）有两组对边相等的四边形是平行四边形,（2）四边相等的四边形是菱形 （3）平行于同一条直线的两条直线平行 ;（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 A 1 B 2 C 3 D 4 3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（ ） A 平行 B 相交 C 在平面内 D 平行或在平面内 4.已知直线m αα过平面α外一点，作与α平行的平面，则这样的平面可作（ ） A 1个 或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个 6.如图,如果MC ⊥菱形ABCD 所在平面,那么MA 与BD 的位置关系是( ) A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（ ） A 0个 B 1个 C 无数个 D 1个或无数个 8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( ) A //,,m n n m βα⊥? B //,,m n n m βα⊥⊥ C ,,m n m n αβα⊥=?I D ,//,//m n m n αβ⊥ 10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 二．填空题（每题4分，共16分） 11.已知?ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N ，设直线AB 与平面α交于点O ，则点O 与直线MN 的位置关系为_________ 12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有 _____________条 13.一块西瓜切3刀最多能切_________块
高中数学《立体几何》练习题 1．用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为 ( ) A.12 B.24 C.62 D.122 2．设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是 ( ) A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥ B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβ C ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥β D ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ 3．如图，棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为线段B A 1上的动点，则下列结论错误．． 的是 A ．P D DC 11⊥ B ．平面⊥P A D 11平面AP A 1 C ．1AP D ∠的最大值为090 D ．1PD AP +的最小值为22+ 4．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为______m 3. 5．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于 . 6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是____________
7．如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞F E D ,,，且知 1:2:::===FS CF EB SE DA SD ，若仍用这个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的 . 8．如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝ 12 PD. (1)证明：PQ ⊥平面DCQ ； (2)求棱锥Q -ABCD 的体积与棱锥P -DCQ 的体积的比值．[来 9．如图所示的多面体中，ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，ED ⊥面ABCD ,3 BAD π ∠=． （1）求证://BCF AED 平面平面. （2）若,BF BD a A BDEF ==-求四棱锥的体积。 10．在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，ABCD PD 底面⊥，1=AB ，2=BC ，3=PD ，F G 、分别为CD AP 、的中点． (1) 求证：PC AD ⊥； (2) 求证：//FG 平面BCP ； S F C B A D E
… 数学立体几何练习题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．如图，在正方体－A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为 A 1 B 和上 的点，A 1M ＝＝，则与平面1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定 2．将正方形沿对角线折起，使平面⊥平面，E 是中点，则AED ∠的大小为（ ） A.45 B.30 C.60 D.90 ] 3．，，是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线 与平面所成的角的余弦值为（ ） A ．12 B 。 3 C 。 3 D 。 6 4．正方体—A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是1与1的中点，则直线与D 1F 所成角的余弦值是 A ．15 B 。13 C 。12 D 。 3 5． 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面的中心，E 、 F 分别是1CC 、的中点，那么异面直线和1FD 所成的角的余弦值等于（ ） A ． 5 10 B ．32 C ． 5 5 D ． 5 15
6．在正三棱柱1B 1C 1中，若2，A A 1=1，则点A 到平面A 1的距离为（ ） A ． 4 3 B ． 2 3 C ． 4 33 D ．3 ： 7．在正三棱柱1B 1C 1中，若1,则1与C 1B 所成的角的大小为 （ ） o B. 90o o D. 75o 8．设E ，F 是正方体1的棱和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对 角线中，与截面A 1成60°角的对角线的数目是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.在正方体－A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱1和1的中点，则 〈CM ，1D N 〉的值为. 10．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点， A 、B 、M 是顶点， 那么点M 到截面的距离是 . 11．正四棱锥的所有棱长都相等，E 为中点，则直线与截面所成的角为 ． 12．已知正三棱柱1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则 直线与平面B 1所成角的正弦值为 . ： 13．已知边长为的正三角形中，E 、F 分别为和的中点，⊥面， 且2，设平面α过且与平行，则与平面α间的距离 A B | D C
新课标立体几何常考证明题汇总 1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形 （2） 若 BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。 证明：在ABD ?中，∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1 //,2 EH BD EH BD = 同理，1 //,2 FG BD FG BD =∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形。 (2) 90° 30 ° 考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 证明：（1）BC AC CE AB AE BE =??⊥?=? 同理， AD BD DE AB AE BE =? ?⊥?=? 又∵CE DE E ?= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE 又∵AB ?平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定 A H G F E D C B A E D B C
3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。 证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内，1A C 在平面BDE 外 ∴1//A C 平面BDE 。 考点：线面平行的判定 4、已知ABC ?中90ACB ∠=o ,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 证明：90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥ 又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥ 又,SC AD SC BC C ⊥?=AD ∴⊥面SBC 考点：线面垂直的判定 5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1 AC ⊥面11AB D ． 证明：（1）连结11A C ，设 11111 A C B D O ?=，连结1AO ∵ 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形 ∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC = 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11O C AO = 11AOC O ∴是平行四边形 111,C O AO AO ∴? ∥面11AB D ，1C O ?面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D （2）1CC ⊥Q 面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 又 1111 A C B D ⊥∵， 1111B D A C C ∴⊥面 1 11AC B D ⊥即 同理可证 11 A C AD ⊥， 又 1111 D B AD D ?= ∴1A C ⊥面11AB D 考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 A E D 1 C B 1 D C B A S D C B A D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C
高中数学必修2立体几何测试题及答案（一）一，选择（共80分，每小题4分） 1，三个平面可将空间分成n个部分，n的取值为（） A，4；B，4，6；C，4，6，7 ；D，4，6，7，8。 2，两条不相交的空间直线a、b，必存在平面α，使得（） A，a?α、b?α；B，a?α、b∥α；C，a⊥α、b⊥α；D，a?α、b⊥α。 3，若p是两条异面直线a、b外的任意一点，则（） A，过点p有且只有一条直线与a、b都平行；B，过点p有且只有一条直线与a、b都垂直；C，过点p有且只有一条直线与a、b都相交；D，过点p有且只有一条直线与a、b都异面。 4，与空间不共面四点距离相等的平面有（）个 A，3 ；B，5 ；C，7；D，4。 5，有空间四点共面但不共线，那么这四点中（） A，必有三点共线；B，至少有三点共线；C，必有三点不共线；D，不可能有三点共线。 6，过直线外两点，作与该直线平行的平面，这样的平面可有（）个 A，0；B，1；C，无数；D，涵盖上三种情况。 7，用一个平面去截一个立方体得到的截面为n边形，则（） A，3≤n≤6 ；B，2≤n≤5 ；C，n=4；D，上三种情况都不对。 8，a、b为异面直线，那么（） A，必然存在唯一的一个平面同时平行于a、b；B，过直线b 存在唯一的一个平面与a平行；C，必然存在唯一的一个平面同时垂直于a、b；D，过直线b 存在唯一的一个平面与a垂直。 9，a、b为异面直线，p为空间不在a、b上的一点，下列命题正确的个数是（） ①过点p总可以作一条直线与a、b都垂直；②过点p总可以作一条直线与a、b都相交；③
过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行；④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直；⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ，1； B ，2； C ，3； D ，4。 10，异面直线a 、b 所成的角为80°，p 为空间中的一定点，过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有（ ）条 A ，2； B ，3； C ，4； D ，6。 11，P 是△ABC 外的一点，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，PA=1、PB=2、PC=3，则△ABC 的 面积为（ ）平方单位 A ，25； B ，611； C ，27； D ，2 9。 12，空间四个排名两两相交，以其交线的个数为元素构成的集合是（ ） A ，{2，3，4}； B ，{1，2，3，}； C ，{1，3，5}； D ，{1，4，6}。 13，空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1，点P 在AB 上移动 ，点Q 在CD 上移 动，点P 到点Q 的最短距离是（ ） A ，21； B ，22； C ，23； D ，4 3。 14，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，PA ⊥平面ABC ，PA=8，则P 到BC 的距离是（ ） A ，45； B ，43； C ，25； D ，23。 15，已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，下列命题正确的是（ ） ①若m 垂直于α内的无数条直线，则m ⊥α；②若m 垂直于梯形的两腰，则m 垂直于梯形所 在的平面；③若n ∥α，m ?α，则n ∥m ；④若α∥β，m ?α，n ⊥β，则n ⊥m 。 A ，①②③； B ，②③④； C ，②④； D ，①③。 16，有一棱长为1的立方体，按任意方向正投影，其投影最大面积为（ ）
2013-2018高考立体几何题文科数学（Ⅰ） （2013年）： （11）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） （A ）168π+ （B ）88π+ （C ）1616π+ （D ）816π+ （15）已知H 是球O 的直径AB 上一点， :1:2AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为_______。 （19）如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =， 1AB AA =，160BAA ∠=。 （Ⅰ）证明：1 AB AC ⊥； （Ⅱ）若2AB CB == ，1 AC 111ABC A B C -的体积。 （2014年）： （8）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三 视图，则这个几何体是 A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 1
（19）如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ， 且⊥AO 平面C C BB 11.（Ⅰ）证明：证明：;1AB C B ⊥（Ⅱ）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB 求三棱柱111C B A ABC -的高. （2015年）： 6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆 放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径 为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( ) （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8
立体几何大题专练 1、如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点； (1)求证：MN//平面PAD (2)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD 2（本小题满分12分） 如图，在三棱锥P ABC -中，,E F 分别为,AC BC 的中点． （1）求证：//EF 平面PAB ； （2）若平面PAC ⊥平面ABC ，且PA PC =，90ABC ∠=?， 求证：平面PEF ⊥平面PBC ． P A C E F
（1）证明：连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点， //EF AB ∴. ……………………2分 又?EF 平面PAB ，?AB 平面PAB ， ∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分 （2）PA PC =，E 为AC 的中点， PE AC ∴⊥ ……………………6分 又平面PAC ⊥平面ABC PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分 又因为F 为BC 的中点， //EF AB ∴ 090,BC EF ABC ⊥∠=∴……………………10分 EF PE E = BC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ?面PBC ∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分 3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。 （1）求证：BC 1//平面CA 1D ； （2）求证：平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B 。 4．已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、PC 的中点． (1) 求证：EF ∥平面PAD ； (2) 求证：EF ⊥CD ； (3) 若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．
高考立体几何大题及答案 1.（2009全国卷Ⅰ文）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ， 2AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，o ∠ABM=60。 （I ）证明：M 是侧棱SC 的中点； ()II 求二面角S AM B --的大小。 2.（2009全国卷Ⅱ文）如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ⊥AC,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1（Ⅰ）证明：AB=AC （Ⅱ）设二面角A-BD-C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小 3.（2009浙江卷文）如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====， 120ACB ∠=o ，,P Q 分别为,AE AB 的中点．（I ）证明：//PQ 平面ACD ；（II ）求AD 与平 面ABE 所成角的正弦值． A C B A 1 B 1 C 1 D E
4.（2009北京卷文）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；（Ⅱ）当2PD AB = 且E 为PB 的中点时，求 AE 与平面PDB 所成的角的大小. 5.（2009江苏卷）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C ⊥。 求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面1A FD ⊥平面11BB C C .
6.（2009安徽卷文）如图，ABCD 的边长为2的正方形，直线l 与平面ABCD 平行，g 和F 式l 上的两个不同点，且EA=ED ，FB=FC ， 和是平面ABCD 内的两点，和都与平面ABCD 垂直，（Ⅰ）证明：直线垂直且平分线段AD ：（Ⅱ）若∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，求多 面体ABCDEF 的体积。 7.（2009江西卷文）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球 面交PD 于点M ． （1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （2）求直线PC 与平面ABM 所成的角； （3）求点O 到平面ABM 的距离． 8.（2009四川卷文）如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ?==∠= （I ）求证：EF BCE ⊥平面； （II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证： PM ∥BCE 平面 （III ）求二面角F BD A --的大小。 O A P B M D
第一章 空间几何体 [基础训练A 组] 一、选择题 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对 2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） 3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ） A B 2 C ． 5．在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周， 则所形成的几何体的体积是（ ） A. 92π B. 72π C. 52π D. 32 π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长 分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 二、填空题 1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点， 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。 2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。 3．正方体1111ABCD A BC D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ， 则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。 4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形 E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。 5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个 长 方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________. 三、解答题 1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用） ，已建的仓库的 主视图 左视图 俯视图
2008年-2014年山东高考文科数学立体几何大题及答案 （08年）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==，245AB DC == （Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积． （09年）如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB 11111 （10年）（本小题满分12分） 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==. （I ）求证：平面EFG ⊥平面PDC ； （II ）求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积之比. （11年）（本小题满分12分） 如图，在四棱台 1111 ABCD A B C D -中， 1D D ABCD ⊥平面，底面 ABCD 是平行四边形， 112,,60AB AD AD A B BAD ==∠= （Ⅰ）证明：1AA BD ⊥； （Ⅱ）证明：11//CC A BD 平面. A B C M P D E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D D B1 D1 C1 C B A A1
（12年） (本小题满分12分) 如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形， ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =； (Ⅱ)若∠120BCD =?，M 为线段AE 的中点， 求证：DM ∥平面BEC . （13年）（本小题满分12分） 如图，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AC ， AB ⊥PA ，AB ∥CD ，AB=2CD ，E ，F ，G ， M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点。 （Ⅰ）求证，CE ∥平面PAD; （Ⅱ）求证，平面EFG ⊥平面EMN 。 （14年）（本小题满分12分） 如图，四棱锥P ABCD -中，,//,BC AD PCD AP 平面⊥AD BC AB 2 1 = =,F E ,分别为线段PC AD ,的中点。 （Ⅰ）求证：BEF AP 平面// （Ⅱ）求证：PAC BE 平面⊥ P A C D E
1、如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形， （1）线段的中点为，线段的中点为， 求证：； （2）求直线与平面所成角的正切值. 解：（1）取AB 的中点为N ，连MN ,PN ,则//MN EB ,//PN BC ∴ PMN EBC ∴//PM BCE 平面FE ⊥EBC FCE ∴∠ ⊥//AB DE (1)求证：AO ⊥平面CDE ； (2)求直线BD 与平面CBE 所成角的正弦值 3、如图，在△ABC 中，?=∠90C ，a BC AC 3==，点P 在AB 上，BC PE //交AC 于 E ，AC P F //交BC 于F ．沿PE 将△APE 翻折成△PE A '，使平面⊥PE A '平面 ABC ；沿PF 将△BPF 翻折成△PF B '，使平面⊥PF B '平面ABC ． （1）求证：//'C B 平面PE A '； （2）若PB AP 2=，求二面角E PC A --'的平面角的正切值． 解：（1）因为PE FC //，?FC 平面PE A '，所以//FC 平面PE A '． 因为平面⊥PE A '平面PEC ，且PE E A ⊥'，所以⊥E A '平面ABC ． …2分 同理，⊥F B '平面ABC ，所以E A F B '//'，从而//'F B 平面PE A '． …4分 所以平面//'CF B 平面PE A '，从而//'C B 平面PE A '． …6分 （2）因为a BC AC 3==，BP AP 2=， 所以a CE =，a A E 2='，a PE 2=，a PC 5=． …8分 A B C D E F M . . C B F P A F C ' B ' A E
A C D 图2 B A C D 图1 1 C 1B 1 A 1D C B A D F E 1，(本小题满分14分)如图（1），ABC ?是等腰直角三角形，4AC BC ==，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，将AEF ?沿EF 折起， 使A '在平面BCEF 上的射影O 恰为EC 的中点，得到图（2）． （Ⅰ）求证：EF A C '⊥； （Ⅱ）求三棱锥BC A F '-的体积． 2，（本小题满分13分） 如图1,在直角梯形中,,,.将沿折起,使平面 平面,得到几何体,如图2所示. (Ⅰ) 求证:平面； (Ⅱ) 求几何体的体积. 3，（本小题满分14分）、已知几何体1111ABCD A B C D -的直观图如图所示，其三视图中主视图是长边为3的矩形，左视图是边长为2有一个角等于60°的菱形。 （1）求证平面1AD C ⊥平面11A DCB （2）求四棱锥1111D A B C D -的体积 4．（本小题满分12分） 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别是棱1111,,,AB CC D A BB 的中点. （1）证明：//FH 平面1A EG ； （2）证明：AH EG ⊥； （3）求三棱锥1A EFG -的体积. 5.（本小题满分14分） 如图，已知三棱锥A-BPC 中，AP ⊥PC, AC ⊥BC ， M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形。 (Ⅰ) 求证：DM ∥平面APC ：(Ⅱ) 求证：平面ABC ⊥平面APC ； (Ⅲ) 若BC=4，AB=20，求三棱锥D-BCM 的体积． 6．（本小题满分12分）在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中,E 是线段11A C 中点,AC BD F =. (Ⅰ) 求证:CE ⊥BD ；(Ⅱ) 求证:CE ∥平面1A BD ； (Ⅲ) 求三棱锥1D A BC -的体积. ABCD 90ADC ∠=?//CD AB 4,2AB AD CD ===ADE ?AC ADE ⊥ABC D ABC -BC ⊥ACD D ABC -3 2 2 A 1 B 1 A D C B D 1 C 1 俯视图 左视图 主视图 A C A 1E F
立体几何大题专练 1、如图，已知PA丄矩形ABCD所在平面，M、N分别为AB、PC的中点; ⑴求证: 2Q.证明江1〉取FD的中点AE,NE t 丁Nft PC 的中点.A NEX^CD . 又四边形ABCU为矩形且M星BA中点' MN :* 寺CD垒MA , ￡ ：■ NEXMA.KP四边形MAEN是平行四也形, 昇 MN〃AE* 由于AEU罕面PAD,MN(Z^ffi PAD? A MN"平廊PAD, (2>V FA 丄平ABCD，ZPDA-45\ 代APAD是等 B?三肃形?桩AE」PH 由题意，CD丄AD,CD丄叭 :.CD丄平面PAD. 从而AE_LCD, 代AE丄平面PCD,故VIN丄平而PCH . Ml、If ：< 1)「1 {' 的方程为(x —a)* + (y 一h J —pf (2a+ b?0* ... IQ* V ■ ■ ■ V ■] ... 12* ……r ABC PA PC ABC 90 PEF PBC EF Q E F AC BC EF // AB....2 分又EF 平面PAB，AB 平面PAB， EF //平面PAB. ? (5) (2)Q PA PC，E为AC的中点， PE AC (6) P ABC E,F AC, BC EF // PAB PAC 又Q平面PAC 平面ABC PE 面ABC ................. 8 分 PE BC ............... 9 分 又因为F为BC的中点， Q ABC 900, BC EF .................... 10 分BC 面PEF ............... 11 分 又Q BC 面PBC 面PBC 面PEF ............... 12分 3.如图，在直三棱柱ABC-ABQ中，AC=BC点D是AB的中点
数学立体几何练习题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上 的点，A 1M ＝AN ＝ 2a 3 ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定 2．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面CBD ，E 是CD 中点，则AED ∠的大小为（ ） A.45 B.30 C.60 D.90 3．PA ，PB ，PC 是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为（ ） A ． 12 B C D 4．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1与CC 1的中点，则直线ED 与D 1F 所成角的余弦值是 A ． 15 B 。13 C 。 12 D 5． 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、 AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于（ ） A ．510 B ．3 2 C ．55 D ．515 6．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，A A 1=1，则点A 到平面A 1BC 的距离为（ ） A ． 4 3 B ． 2 3 C ． 4 3 3 D ．3 7．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角的大小为 （ ） A.60o B. 90o C.105o D. 75o 8．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面 A 1ECF 成60°角的对角线的数目是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则 sin 〈CM ，1D N 〉的值为_________. 10．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点， A 、B 、M 是顶点， 那么点M 到截面ABCD 的距离是 . A B M D C
《立体几何 》练习题 一、 选择题 1、一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（ ） A 、垂直 B 、平行 C 、相交不垂直 D 、不确定 2. 在正方体1111ABCD A B C D -中, 与1A C 垂直的是（ ） A. BD B. CD C. BC D. 1CC 3、线n m ,和平面βα、，能得出βα⊥的一个条件是( ) A.βα//n ,//m ,n m ⊥ B.m ⊥n ,α∩β=m ,n ?α C.αβ?⊥m n n m ,,// D.βα⊥⊥n m n m ,,// 4、平面α与平面β平行的条件可以是（ ） A.α内有无穷多条直线与β平行； B.直线a//α,a//β C.直线a α?,直线b β?,且a//β,b//α D.α内的任何直线都与β平行 5、设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是( ) A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④ 6.点P 为ΔABC 所在平面外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O,若PA=PB=PC ， 则点O 是ΔABC 的（ ） A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 7. 若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面， 则下列命题中为真命题的是（ ） A ．若//,,l n αβαβ??，则//l n B ．若,l αβα⊥?，则l β⊥ C. 若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ D ．若,l n m n ⊥⊥，则//l m 8. 已知两个平面垂直，下列命题中正确的个数是（ ） ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面； ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. A.3 B.2 C.1 D.0 9． 设m.n 是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面, （ ） A ．若m∥α,n∥α,则m∥n B ．若m∥α,m∥β,则α∥β C ．若m∥n,m⊥α,则n ⊥α D ．若m∥α,α⊥β,则m⊥β
23 正视图 图1 侧视图 图2 2 2 图3 立几习题2 1若直线l 不平行于平面a ，且l a ?，则 A ．a 内的所有直线与异面 B ．a 内不存在与l 平行的直线 C ．a 内存在唯一的直线与l 平行 D ．a 内的直线与l 都相交 2.1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 （A ）12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ? （B ）12l l ⊥，23//l l ?13l l ⊥ （C ）233////l l l ?1l ，2l ，3l 共面 （D ）1l ，2l ，3l 共点?1l ，2l ，3l 共面 3．如图1 ~ 3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为 A ．3 B ．4 C ．3 D ．2 4.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ） A.283 π - B.83 π- C.8-2π D.23 π 5、如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求证： （1）直线E F ‖平面PCD ； （2）平面BEF ⊥平面PAD
5（本小题满分13分） 如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OD=，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形。 OA=，2 1 ∥； （Ⅰ）证明直线BC EF -的体积. （Ⅱ）求棱锥F OBED 6.（本小题共14分） 如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点. （Ⅰ）求证：DE∥平面BCP； （Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形； . （Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由 7．（本小题满分12分） 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。
1.如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面 ABCD ，2AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上， ∠ABM=60 。 （I ）证明：M 是侧棱SC 的中点； ()II 求二面角S AM B --的大小。 2.如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1（Ⅰ）证明：AB =AC （Ⅱ）设二面角A -BD -C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小 3.如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=，,P Q 分别为,AE AB 的中点．（I ）证明：//PQ 平面ACD ； （II ）求 AD 与平面ABE 所成角的正弦值． 4.如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形， PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；（Ⅱ）当2PD AB =且E 为PB 的中 点 时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小. 5.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形， PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M ． B C D E O A P B M
（1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （2）求直线PC 与平面ABM 所成的角； （3）求点O 到平面ABM 的距离． 6.如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ?==∠=（I ）求证：EF BCE ⊥平面； （II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证： PM ∥BCE 平面 （III ）求二面角F BD A --的大小。 7.如图，四棱锥S -ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ,SD ＝AD ＝a ,点E 是SD 上的点，且DE ＝λa (0<λ≦1). (Ⅰ)求证：对任意的λ∈（0、1）， 都有AC ⊥BE : (Ⅱ)若二面角C -AE -D 的大小为600C ，求λ的值。 8.如图3，在正三棱柱111ABC A B C -中，AB =4, 17AA =,点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，且DE ⊥1A E .（Ⅰ）证明：平面1A DE ⊥平面 11ACC A ;（Ⅱ）求直线AD 和平面1A DE 所成角的正弦值。 9.如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ?==∠= （I ）求证：EF BCE ⊥平面；
立体几何综合试题 1．（本小题满分12分）如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长都相等，D、E分别为AC1，BB1的中点。（1）求证：DE∥平面A1B1C1；（2）求二面角A1—DE—B1的大小。 2．（本小题满分12分） 如图：已知直三棱柱ABC—A1B1C1，AB＝AC，F为棱BB1上一点，BF∶FB1＝2∶1，BF＝BC＝2a。 （I）若D为BC的中点，E为AD上不同于A、D的任意一点，证明EF⊥FC1； （II）试问：若AB＝2a，在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60°角，为什么？证明你的结论 A B C 1 A 1 B 1 C E D
3. （本小题满分12分） 如图，在底面是直角梯形的四棱锥P ABCD -中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，且 ∠ADC =arcsin 5 5 ，又PA ⊥平面ABCD ，AD ＝3AB ＝3PA ＝3a 。 （I ）求二面角P —CD —A 的正切值； （II ）求点A 到平面PBC P B C A D 4.（本小题满分14分）在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA=CB=CC 1=2，∠ACB=90°，E 、F 分别是BA 、BC 的中点，G 是AA 1上一点，且AC 1⊥EG. （Ⅰ）确定点G 的位置； （Ⅱ）求直线AC 1与平面EFG 所成角θ的大小.
已知四棱锥P —ABCD ，底面ABCD 是菱形，⊥?=∠PD DAB ,60平面ABCD ，PD=AD ， 点E 为AB 中点，点F 为PD 中点. （1）证明平面PED ⊥平面PAB ； （2）求二面角P —AB —F 的平面角的余弦值 6.在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1 上，且CC 1=4CP. (Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； (Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ； (Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离. · B 1 P A C D A 1 C 1 D 1 B O H ·
城北中学高二上期第八周20班周末双休数学练笔 题目及参考答案 1、已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为14 5 ，求双曲线方程． 解： 由椭圆方程可得椭圆的焦点为F (0，±4)，离心率e ＝4 5 ， 所以双曲线的焦点为F (0，±4)，离心率为2， 从而c ＝4，a ＝2，b ＝2 3.所以双曲线方程为y 24－x 2 12 ＝1. 2、如图4所示，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为 CE 上的点，且BF ⊥平面ACE . (1)求证：AE ⊥平面BCE ； (2)求证：AE ∥平面BFD ； (1)证明 ∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ， ∴BC ⊥平面ABE ，则AE ⊥BC . 又∵BF ⊥平面ACE ，则AE ⊥BF ， 又BC ∩BF ＝B ，∴AE ⊥平面BCE . (2)证明 由题意可得G 是AC 的中点，连结FG ， ∵BF ⊥平面ACE ，∴CE ⊥BF . 而BC ＝BE ，∴F 是EC 的中点， 在△AEC 中，FG ∥AE ，∴AE ∥平面BFD . 3、设椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝ 3 2 .已知点P ????0，32到这个椭圆上的点的最远距离为7，求这个椭圆的方程． 解： 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，M (x ，y )为椭圆上的点，由c a ＝3 2 得a ＝2b . |PM |2＝x 2＋????y －322＝－3????y ＋1 22＋4b 2＋3(－b ≤y ≤b )， 若b <1 2，则当y ＝－b 时，|PM |2最大，即????b ＋322＝7， 则b ＝7－32>1 2 ，故舍去． 若b ≥12时，则当y ＝－1 2时，|PM |2最大，即4b 2＋3＝7， 解得b 2＝1. ∴所求方程为x 24 ＋y 2 ＝1. 4、矩形ABCD ，AB ＝2，AD ＝3，沿BD 把ΔBCD 折起，使C 点在平面ABD 上的射影E 恰好落在AD 上. (1)求证：CD ⊥AB