![[数学]北师大版八年级数学下册全册学案](https://img.doczj.com/img44/17ztwjb3v42354l1u2tf3ae240gtq3ym-41.webp)
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1.1 不等关系
教学目的和要求：
理解不等式的概念，感受生活中存在的不等关系 教学重点和难点： 重点：
对不等式概念的理解 难点：
怎样建立量与量之间的不等关系。
从问题中来，到问题中去。
1. 如图1-1，用用根长度均为l ㎝的绳子，分别围成一个正方形和圆。
（1）如果要使正方形的面积不大于25㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？ （2）如果要使圆的面积大于100㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？ （3）当l =8时，正方形和圆的面积哪个大？l =12呢？
（4）改变l 的取值再试一试，在这个过程中你能得到什么启发？
分析解答：在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表示为2)4(l ，圆的面积可以表示为2
2??
?
??ππl 。
（1） 要使正方形的面积不大于25㎝2，就是
25)4
(2
≤l ，即25162≤l 。
（2） 要使圆的面积大于100㎝2，就是
2
2??
?
??ππl ＞100， 即 π
42
l ＞100
（3） 当l =8时，正方形的面积为)(41682
2cm =，圆的面积为)(1.54822cm ≈π
， 4＜5.1，此时圆的面积大。
当l =12时，正方形的面积为)(916122
2cm =，圆的面积为)(5.1141222cm ≈π
， 9＜11.5，此时还是圆的面积大。
（4） 不论怎样改变l 的取值，通过计算发现：总是圆的面积大，因此，我们可以猜想，用长度增色为l
㎝的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即
π42l ＞16
2
l 2. （1）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可能计算出它的树龄，通常规定以树干离地面1.5m 的地
方作为测量部位。某树栽种时的树围为5㎝，以后树围每年增加约3㎝，这棵树至少要生长多少年其树围才能超过2.4m ？（只列关系式）
（2）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m 以外的安全区域。已知导火线的燃烧速度为0.2m/s ，人离开的速度为4m/s ，导火线的长度x （m ）应满足怎样的关系式？ 答案：（1）设这棵树生长x 年其树围才能超过2.4m ，则5+3x ＞240。
（2）人离开10m 以外的地方需要的时间，应小于导火线燃烧的时间，只有这样才能保证人的安全：
410＜2
.0x 分析巩固练习： 用不等式表示：
（1） a 的相反数是正数；
（2） m 与2的差小于3
2； （3） x 的
3
1
与4的和不是正数； （4） y 的一半与x 的2倍的和不小于3。 解答：（1）a 的相反数是-a ，正数是比零大的数，所以“a 的相反数是正数”就是-a ＞0；
（2）“m 与2的差”就是m-2，“ 差小于32”即是m-2＜3
2
； （3）“x 的31”就是31x ，“x 的31与4的和不是正数”就是3
1
x+4≤0；
（4）“y 的一半”不是21
y,“x 的2倍”就是2x ，“不小于3”即指大于或等于3，故“y 的一半与x
的2倍的和不小于”就是2
1
y+2x ≥3。
3. 下列各数：2
1
，-4，π，0，5.2，3其中使不等式2-x ＞1，成立是 （ ）
A ．-4，π，5.2
B ．π，5.2，3
C ．2
1
，0，3 D ．π，5.2
答案：D
4. 有理数a ，b 在数轴上的位置如图1-2所示，所
b
a b
a +-的值 （ ）
A ．＞0
B ．＜0
C ．＝0
D ．≥0 答案：B
小结提问，快速回答：
1. 表示不等式关系的符号有哪些?
2. 用适当的符号表示下列关系:
（1）x 的5倍与3的差比x 的4倍大； （2）a 的
4
1
的相反数是非负数； （3）x 的3倍不小于y 的8倍。
3. 下列不等式中，总能成立的是 （ ）
A ．2
a ＞0 B ．02≤-a C ．2a ＞a D ．2
a ＞a 作业要求：作业本
1.2不等式的基本性质
一、教学目标
1．经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。 2．掌握不等式的基本性质。 二、教学重难点
不等式的基本性质的掌握与应用。 三、教学过程设计 1.比较归纳，产生新知
我们知道，在等式的两边都加上或都减去同一个数或整式，等式不变。
请问：如果在不等式的两边都加上或都减去同一个整式，那么结果会怎样？请兴几例试一试，并与同伴交流。
类比等式的基本性质得出猜想：不等式的结果不变。试举几例验证猜想。如3＜7，3+1=4，7+1=8，4＜8，所以3+1＜7+1；3-5=-2，7-5=2，-2＜2，所以 3-5＜7-5；3+a ＜7+a ；3＜7,3-a ＜7-a 等。都能说明猜想的正确性。
2.探索交流，概括性质
完成下列填空。
2＜3，2×5 3×5；
2＜3，2×（-1） 3×（-1）； 2＜3，2×（-5） 3×（-5）；
你发现了什么？请再举几例试试，与同伴交流。
通过计算结果不难发现：前两个空填“＜”，后三个空填“＞”。
得出不等式的基本性质：
不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
（通过自我探索与具体的例子使学生加深对不等式性质的印象）
3.练习巩固，促进迁移
1．（1）用“＞”号或“＜”号填空，并简说理由。
①6+2 -3+2；②6×（-2）-3×（-2）；
③6÷2 -3÷2；④6÷（-2）-3÷（-2）
（2）如果a＞b，则
2．利用不等式的基本性质，填“＞”或“＜”：
（1）若a＞b，则2a+1 2b+1;
（2）若＜10，则y -8；
（3）若a＜b，且c＞0，则ac+c bc+c；
（4）若a＞0，b＜0，c＜0，（a-b）c 0。
4.巩固应用，拓展研究.
1. 按照下列条件，写出仍能成立的不等式，并说明根据。
（1）a＞b两边都加上-4；（2）-3a＜b两边都除以-3；
（3）a≥3b两边都乘以2；（4）a≤2b两边都加上c；
2. 根据不等式的性质，把下列不等式化为x＞a或x＜a的形式（a为常数）：
5.课内深化，提升能力
比较下列各题两式的大小：
6.回顾联系，形成结构
想一想：本节课学了哪些知识？有哪些性质？在运用性质时应注意什么？
（通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．）
7.课外作业与拓展
课外作业：课本第9页“习题1.2”
1.3不等式的解集
一、教学目标
1．理解不等式解与解集的意义。
2．了解不等式解集的数轴表示。
二、教学重难点
重点是区分不等式解与解集的概念，难点是在数轴上表示不等式的解集。
三、教学过程设计
1.创设情景，导出问题
（课本问题）燃放某中礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前10m以外的安全区域。已知导火线的燃烧速度为0.02m/s，人离开的速度为4m/s，那么导火线的长度应为多少厘米？
（在建立不等式之前，先让学生分析清楚问题中量与量之间的关系：为了使人有足够的时间到达安全区域，导火线燃烧的时间应大于人到达安全区域的时间。）
设导火线的长度应为x cm ，根据题意，得
即x>5
2.探索交流，得出概念
1．想一想：（1）你能找出几个使不等式x>5成立的x的值吗？
（2）x＝5,6,8能使不等式x>5成立吗？
(字母可以表示任何数，但对于满足x>5中的字母x，它能够取任意数吗？如果不能，它能取哪些数呢？启发学生动手验证、动脑思考，并从中初步体会不等式解的意义及不等式解与方程解的不同之处。)能使不等式成立得未知数得值，叫做不等式的解。例如，6是不等式x>5一个解，7,8,9,……也是不等式x>5的解。
一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。例如不等式x-5≤-1的解集为x≤4；不等式x2>0的解集是所有非零实数。
求不等式解集的过程叫做解不等式。
2．议一议：请你用自己的方式将不等式x>5的解集和x-5≤-1的解集分别表示在数轴上，并与同伴交流。（引导学生回忆实数与数轴上点的对应关系，认识数轴上的点是有序的，实数是可以比较大小的，让学生用具体实数对应的点加以说明）
3.练习巩固，促进迁移
1.判断下列说法是否正确：
（1）x=2是不等式x+3＜4的解；
（2）x=2是不等式3x＜7的解集；
（3）不等式3x＜7的解是x=2；
（4）x=3是不等式3x≥9的解。
答案：（1）不正确；（2）不正确；（3）不正确；（4）正确。
2.在数轴上表示出下列不等式的解集：
（1）x＞-1；（2）x≥-1；（3）x＜-1；（4）x≤-1
答案：
（1）数轴上实心与空心的区别在于：空心点表示解集不包括这一点，实心点表示解集包括这一点。（2）数轴上表示不等式的解集遵循“大于向右走，小于向左走”这一原则。
4.回顾联系，形成结构
想一想：本节课学了哪些知识？在运用时应注意什么？
（通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．）
5.课外作业与拓展
课外作业：课本第12页“习题1.3”
1.4一元一次不等式(1)
教学目的和要求:会用一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集。
教学重点和难点：
重点：一元一次不等式的解法
难点：解决一元一次不等式时等号方向的改变。
教学过程：
1. 观察下列不等式：
（1）155.22≥-x ； （2）75.8≤x （3）x ＜4 （4）x 35+＞240 这些不等式有哪些共同特点？
这些等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，象这样的不等式，叫做一元一次不等式。
2. 先阅读每（1）题的解法，然后仿做第（2）题，最后谈谈自己读题、做题的体会。 （1）解不等式
3
722x
x -≥
-，并把它的解集表示在数轴上。 解 去分母，得 )7(2)2(3x x -≥- 去括号，得 x x 21463-≥-
移项、合并同类项，得
205≥x
两边都除以5，得
4≥x
这个不等式的解集在数轴上表示如下（图1-13）
（2）解不等式
22
35-+
≥x x ，并把它的解集表示的数轴上。 答案：3
20
-≤x
其解集在数轴上表示如下图1-40
3. 解不等式)1(2)3(410-≤--x x ，并把它的解集在数轴上表示出来。 解答：去括号，得2212410-≤+-x x ， 移项，得x x 4212210+≤++。 合并同类项，得 24x 6≤
系数化为1，得x ≤4。得4≥x 。 在数轴上表示不等式解集如图
4. 解不等式
6
1
2131-≥--+y y y ，并把它的解集在数轴上表示出来。 解答：去分母，得11)(3)1(2-≥--+y y y
答案：3≤y
这个不等式的解集数轴上表示如图
5. y 取何正整数时，代数式2(y-1)的值不大于10-4（y-3）的值。 解答：根据题意列出不等式：
)3(410)1(2--≤-y y
答案：解这个不等式，得4≤y ，解集4≤y 中的正整数解是：1，2，3，4。 6. 解关于x 的不等式： k(x+3)＞x+4; 解答：去括号，得kx+3k ＞x+4;
答案：若k-1=0，即k=1时，0＞1不成立，∴不等式无解。
若k-1＞0，即k ＞1时，134-->k k
x 。 若k-1＜0，即k ＜1时，1
34-- x 。 7. m 取何值时，关于x 的方程2 1 53166-- =--m x m x 的解大于1。 解答：解这个方程： )15(36)16(2--=--m x m x ∴ 51 3-=m x 根据题意，得 15 1 3>-m 解得 m ＞2 8. 是否存在整数m ，使关于x 的不等式2 2931m m x m x +>+ 与132+<+-x m x 是同解不等式？如果存在，求出整数m 和不等式的解集；如果不存在，请说明理由。 答案：x ＞-8 因此，存在符合题意的m ，当m=-11时，两个不等式同解，解集为x ＞-8。 小结：本节课我们学了什么？ 作业布置 一元一次不等式（2） 目的、要求：加强巩固一元一次不等式的解法 及用数轴表示不等式的解集 了解不等式在生活中的应用 重点、难点：有分母的一元一次不等式的解法 一元一次不等式的特殊解的求法以及一元一次不等式的应用 例。解下列不等式。并把它们的解集 s 在数轴上表示出来 解：在不等式的两边同时解乘以8得；即 化简得； 例一教师师范板演。其他学生模仿联系 解下列不等式．并把它们的解集在数轴上表示出来 例3、一次环保知识竞赛，共有25道题，规定答对一题得4分，答错一或不答扣一分。 ○ 1小明得了85分，他答对了多少题？ ○2小立在这次竞赛中被评为优秀（85分或85分以上），小立可能答对了多少题？她至少答对了多少 题？ 解：○ 1设小明答对了x 道题，那么答错或不答（25-x ）道题。 ()()()311 238421251017 12341137131373625 y y x x x x x x x +-+ <--+-->++--<--()311 8[2][3]8 84 y y +-?+<-?36246163 y y +<+--119 y <11 234 x x -+<-110.5 1.4(045)524 x x +≥-- 根据题意、得4x-（25-x）=85 解这个方程、得x=22 所以小明答对了22道题。 ○2设小立可能答对了x道题，那么答错或不答（25-x）道题。 根据提意，得4x-（25-x）>=85 解这个不等式，得x>=22 因为x答对题的个数，所以取不等式的正整数解，又只有25道题，因此小立可能答对了22，23，24，25道题。她至少答对了22道题。 说明：第一小题是列一元一次方程解应用题，第二小题是列一元一次不等式解应用题，目的是让学生认识两者的区别与联系。 二、出示投影片2：例四、小颖准备用21元钱买笔和笔记本。已知每支笔3元，每个笔记本2.2元，她买了2个笔记本，请你帮她算一算她还可能买几支笔。 解：设小颖还可能买n支笔。 根据题意，得3n+2.2≦21 解这个不等式，得n≦16.6∕3 因为n表示笔的支数，所以应取不等式的正整数解。因此小颖还可能买1支，2支，3支，4支或5支笔。 三、让学生交流对列不等式解应用题的认识，归纳列不等式解应用题的基本步骤。 四、做17页随堂练习第二题 五、课下作业，习题1.5,1题，2题 六、课后小结；列不等式解应用题的一般步骤：1、分析题意，清楚已知量与未知量之间的关系，找到题中适当的不等关系。2、正确的设未知数，根据不等关系列出不等式。 3、解不等式。 4、在不等式的解集中选取符合题意的解。 5、做出正确的结论。 随堂练习 作业布置 1.5一元一次不等式与一次函数 一、教学目标 1.通过作函数图象、观察函数图象，进一步理解函数的概念，并从中初步体会一元一次不等式与一次 函数的内在联系。 2.通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式的解集的联系。 3.感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系。 二、教学重难点 教学重点初步建立“数”（一元一次不等式）与“形”（一次函数）之间的关系，根据一次函数图象求一元一次不等式的解集。教学难点是理解一元一次不等式与一次函数的关系。 三、教学过程设计 精选文档 1.创设情景，导出问题 小明听了爸爸的字如其人的一番教诲，想到自己龙飞凤舞的“草书”作品连自己都认不出来的笑话，下决心练字，在第一周的前3天每天练字6页。设每周计划练字x 页。你能写出x 与y 之间的关系式吗？ 这是一个什么函数？ 若周计划为y=38页，则x 取怎样的值，小明才能超额完成计划？ （由实际问题出发引导学生回顾一次函数相关概念以及一次函数与方程的关系。回顾所学知识作 好新知识的衔接。） 回顾：①一次函数的定义。②一次函数的图象。③直线y=kx+b 与方程的联系。 2.探索交流，发现规律 我们来看下面这个问题。 作出函数y=2x-5的图象，观察图象回答下列问题： （1）、x 取何值时，y=0？[提示： （此题摘自励耘精品系列丛书《课时导航》北师大版八年级（下）P9第8题） (让学生认真观察图象，分析图象，初步学会用分段函数的思想去考虑问题，初步建立“数”（一元一次不等式）与“形”（一次函数）之间的关系。使学生初步体会函数、方程、不等式都是刻画现实世界中量与量之间变化规律的重要模型，通过具体例子渗透三者之间的内在联系，帮助学生从整体上认识不等 式，感受函数、方程、不等式的作用。) 5.回顾联系，形成结构 通过本节课的学习，你有哪些收获？ (学生小结,教师对学生小结内容作肯定或补充。通过学生自我总结使之进一步理解函数的概念，并从中初步体会一元一次不等式与一次函数的内在联系。通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一 次不等式的解集的联系。使学生从整体上认识不等式，感受函数、方程、不等式的作用。) 6.课外作业与拓展 课外作业：课本第19页“读一读”、第20页“习题1.6” 课外拓展：参见励耘精品系列丛书《课时导航》北师大版八年级（下）P7－P10 取 1.6 一元一次不等式组 第一课时 一、教学目标： 1. 知识目标: ①理解一元一次不等式组解集的概念，掌握一元一次不等式组的解法． ②会利用数轴较简单的一元一次不等式组 ③通过练习，理解并掌握一元一次不等式组解集的几种情况． 2. 能力目标： ①通过利用数轴来寻求不等式组的解，培养学生的观察能力、分析能力， ②让学生从练习中发现不等式组解集的四种情况，以培养学生归纳总结能力． 3. 情感目标： 将不等式组的解法和归纳留给学生在交流、讨论中完成，培养学生养成良好的学习习惯和转变一种观念——将老师与学习伙伴看成是自己有利的学习资源。 二、教学重难点： 教学重点：在紧密联系不等式的同时，理解不等式组解集的意义。教学难点：借助数形结合的方法找出不等式的解集。 三、教学过程设计： 1.回顾旧知，探索发展 回顾：解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来。 （1）2x+3＞5 （2）6x—5≤1 （让学生上台演示，注意指导其解题的规范性） 探索：用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水在1200吨到1500吨之间，那么大约需要多长时间才能将污水抽完？ 分析：设需要x分钟才能将污水抽完，那么总的抽水量应为30x吨。由题意，积存的污水在1200吨到1500吨之间，因此，应有 1200≤30x≤1500 （通过一个具体的问题引入一元一次式组的概念。学生在研究这一具体问题时，自然感知到要解决的问题同时满足两个约束条件，而这两个约束条件都是不等式。这样引入不等式组比较自然）上式实际上包括了两个不等式 30x≥1200 和30x≤1500 它说明要这个实际问题中，未知量x应同时满足这两个条件。 我们把这两个一元一次不等式合在一起，就得到一个一元一次不等式组： （你能尝试找出符合上面一元一次不等式组的未知数的值吗？与同伴交流。学生可以通过列表、画数轴图的方法，寻求不等式组的解。要让学生在充分交流的基础上体会寻找不等式的公共解的方法。）分别求这两个不等式的解集，得 同时满足①②的未知数x应是个不等式的解集的公共部分。 在数轴上表示出来 ∴x应取40≤x≤50 这就是所列不等式组的解集。即答案为：大约需要40到50分钟才能将污水抽完。 概括： 几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。 解一元一次不等式组，其步骤通常为： (1)先分别求出不等式组中的每一个不等式的解集； (2)在数轴上把它们的解集表示出来； (3)找出解集的公共部分，即不等式组的解集。 2.练习巩固，促进迁移 (1)例题：解不等式组 解：解不等式①，得x＞2 解不等式②，得x＞4 在数轴上表示出①②的解集 ∴原不等式组的解集为x＞4 （要让学生认识到准确、熟练得解不等式是解不等式组的基础，而运用数轴表示（找公共部分）是关键。让学生再次体会数形结合思想的魅力。） （2）练习： （3）问题探讨： 从练习的情况来看，请同学们认真观察它与下面几种图示的关系： ①当不等号的方向一致时(称同向不等式)，即： 对这类不等式组可按“同大取大；同小取小”的法则，即取公共部分为它的解(如图)． ②当不等号的方向相反时(称异向不等式)，即： 则若未知数的取值比大数小，比小数大时，不等式组的解集在两数之间，取公共部分(如图)； ③若未知数的取值比大数还大，比小数还小，不等式组的解集是空集，即没有公共部分(如图3)． (先让学生通过练习，从感性上了解不等式组解集的基本情况；其次引导学生通过“练习解答的形式与所给图示”的对比，引发出不等式组解集的四种基本情况；从而加深学生对不等式组解集的理解，更重要的是学生区分出这四种不同的情况后，在结合图形能更快更准地找出不等式组的解集。) 3.巩固应用，拓展研究 （1）找出下列不关x的公共部分。 (2)解不等式组 (3)求不等式组的整数解 (巩固应用的设计突出一个层次性，满足不同基础水平的同学的需要。其中第1题主要训练学生的定向思维，巩固不等式组解集的四种情况；第2题则是以训练学生解不等式组的方法。第3题则以发散思维为主，其目的是让优生吃得饱。在挑战难题的过程中，培养学生学习的意志力。) 4.回顾联系，形成结构 通过本节课的学习，你有哪些收获？ (学生小结,教师对学生小结内容作肯定或补充。启发学生动脑思考、归纳、总结所学知识，从而培养学生简明的语言概括能力和准确的语言表达能力。通过学生自我总结使之进一步理解一元一次不等式组的概念，并从中初步体会一元一次不等式与一元一次不等式组的内在联系。促进学生对数学知识的记忆,并把所学知识结构化系统化。) 5.课外作业与拓展 课外作业：课本第26页“习题1.8” 第二课时 一、教学目标： 1、一元一次不等式组的解集的表示，尤其是在数轴上的表示让学生们必需掌握。 2、让学生理解一元一次不等式组及其解的意义。利用不等式来解决实际问题，让学生进一步感受数形结合的作用。 3、让学生经历具体具体问题抽象出不等式组的过程。 二、教学重难点： 教学重点：掌握一元一次不等式组的解法；会用数轴表示一元一次不等式组解集的几种情况．教学难点：不等式组解集几种情况的灵活应用。 三、教学过程设计： 1.基础运用， 例1. 解不等式组，并将解集标在数轴上. 北师大版八年级上册数学整理总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算 三、平方根、算数平方根和立方根 《函数》 《函数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第四章《一次函数》第一节的内容。教材中的函数是从具体实际问题的数量关系和变化规律中抽象出来的，主要是通过学生探索实际问题中存在的大量的变量之间关系， 进而抽象出函数的概念。与原传统教材相比，新教材更注重感性材料，让学生分析了大量的问题，感受到在实际问题中存在两个变量，而且这两个变量之间存在一定的关系，它们的表示方式是多样地，如可以通过列表的方法表示，可以通过画图像的方法表示，还可以通过列解析式的方法表示，但都有着共性：其中一个变量依赖于另一个变量。 本节内容是在七年级知识的基础上，继续通过对变量间的关系的考察，让学生初步体会函数的概念，为后续学习打下基础。同时，函数的学习可以使学生体会到数形结合的思想方法，感受事物是相互联系和规律的变化。 1．初步掌握函数概念，能判断两个变量间的关系是否可以看成函数； 2．根据两个变量之间的关系式，给定其中一个量，相应的会求出另一个量的值； 3．了解函数的三种表示方法。 4.通过函数概念的学习，初步形成学生利用函数观点认识现实世界的意识和能力； 5.在函数概念形成的过程中，培养学生联系实际、善于观察、乐于探索和勤于思考的精神。 对学生来讲本节课的难点在于对函数概念的理解。 教具：教材，课件，电脑。 学具：教材，笔，练习本。 第一环节：创设情境、导入新课 内容： 展示一些与学生实际生活有关的图片，如心电图片，天气随时间的变化图片，抛掷铅球球形成的轨迹，k 线图等，提请学生思考问题。 意图： 承接上一学期变量关系的学习，让学生感受到变量之间关系的是通过多种形式表现出来的，感受研究函数的必要性。 效果： 生活实例，激发了学生的研究热情，起到很好的导入效果。 第二环节：展现背景，提供概念抽象的素材 内容： 问题1.你去过游乐园吗？你坐过摩天轮吗？你能描述一下坐摩天轮的感觉吗？ 当人坐在摩天轮上时，人的高度随时间在变化，那么变化有规律吗？ 摩天轮上一点的高度h 与旋转时间t 之间有一定的关系，下图就反映了时间t(分）与摩天轮上一点的高度h （米)之间的关系.你能从上图观察出，有几个变化的量吗？当t 分别取3，6，10时，相应的h 是多少？给定一个t 值，你都能找到相应的h 值吗？ 问题2.瓶子或罐头盒等圆柱形的物体，常常如下图这样堆放。随着层数的增加，物体的总 第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组 一. 不等关系 ※1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式. ¤2. 要区别方程与不等式: 方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系. ※3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语. 非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0 非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0 二. 不等式的基本性质 ※1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用: (1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即: 如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c. (2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即 如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, c b c a >. (3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即: 如果a>b,并且c<0,那么ac 第一节不等关系 本节知识点： 1.理解不等式的意义. 2.能根据条件列出不等式. 知识点1通过实例体会生活中存在的大量的不等关系 [例题1] 如图1－1，用两根长度均为l cm的绳子，分别围成一个正方形和圆. 图1－1 （1）如果要使正方形的面积不大于25 cm2，那么绳长l应满足怎样的关系式？ （2）如果要使圆的面积不小于100 cm2,那么绳长l应满足怎样的关系式？ （3）当l=8时，正方形和圆的面积哪个大？l=12呢？ （4）你能得到什么猜想？改变l的取值，再试一试. 分析: 一个是正方形和圆的面积计算公式_______________ 另一个是了解“不大于”“大于”等词的含意_____________ （1）因为绳长l为正方形的周长，所以正方形的边长为______，得面积为__________， 要使正方形的面积不大于25 cm2，就是___________________ （2）因为圆的周长为l，所以圆的半径为_________________要使圆的面积不小于100 cm2，就是_______________________ （3）当l=8时，正方形的面积为_________________ 圆的面积为_____________________ ∴______的面积大 当l=12时，正方形的面积为_________ 圆的面积为__________≈______（cm2） 此时_____的面积大. (4) （4）我们可以猜想，用长度均为l cm的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即________________ 因为分子都是____相等、分母_____＜______，根据分数的大小比较，分子相同的分数，分母大的反而小，因此不论l取何值，都有______＞_______.. 一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式.. [针对性训练1] 通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄.通常规定以树干 北师大版八年级上册教学案 同庆初中教学设计 （导学模式） 学科：； 任课班级：； 任课教师：； 年月日 第一章勾股定理 §1.1 探索勾股定理（一） 教学目标： 1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。 重点难点： 重点：了解勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。 难点：勾股定理的发现 教学过程 一、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题 出示投影1 （章前的图文 p1）教师道白：介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献，并结合课本p5谈一谈，讲述我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高(三千多年前周期的数学家)在勾股定理方面的贡献。 出示投影2 （书中的P2 图1—2）并回答： 1、观察图1-2，正方形A中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。正方形B中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。 正方形C中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。 2、你是怎样得出上面的结果的？在学生交流回答的基础上教师直接发问： 3、图1—2中，A,B,C 之间的面积之间有什么关系？ 学生交流后形成共识，教师板书，A+B=C，接着提出图1—1中的A.B,C 的关系呢？ 二、做一做 出示投影3（书中P3图1—4）提问： 1、图1—3中，A,B,C 之间有什么关系？ 2、图1—4中，A,B,C 之间有什么关系? 以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积。 三、议一议 1、图1—1、1— 2、1— 3、1—4中，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？ 2、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？ 在同学的交流基础上，老师板书： 直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理” 也就是说：如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c 那么2 2c 2 a= + b 我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。 3、分别以5厘米和12厘米为直角边做出一个直角三角形，并测量斜边的长度（学生测量后回答斜边长为13）请大家想一想（2）中的规律，对这个三角形仍然成立吗？（回答是肯定的：成立） 四、想一想 这里的29英寸（74厘米）的电视机，指的是屏幕的长吗？只的是屏幕的款吗？那他指什么呢？ 五、巩固练习 1、错例辨析： △ABC的两边为3和4，求第三边 解：由于三角形的两边为3、4 所以它的第三边的c应满足2 24 2 c=25 = 3+ 即：c=5 辨析：（1）要用勾股定理解题，首先应具备直角三角形这个必不可少的条件，可本题 △ABC并未说明它是否是直角三角形，所以用勾股定理就没有依据。 （2）若告诉△ABC是直角三角形，第三边C也不一定是满足2 2 2c a= +，题目中并为 b 交待C 是斜边 综上所述这个题目条件不足，第三边无法求得。 2、练习P7 §1.1 1 六、作业 课本P7 §1.1 2、3、4 §1.1 探索勾股定理（二） 教学目标： 1．经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。 2．掌握勾股定理和他的简单应用 重点难点： 重点：能熟练运用拼图的方法证明勾股定理 难点：用面积证勾股定理 教学过程 北师大版八年级数学下册各章知识要点总结 第一章三角形的证明 一、全等三角形判定、性质： 1.判定(SSS) （SAS) (ASA) (AAS) （HL直角三角形） 2.全等三角形的对应边相等、对应角相等。 二、等腰三角形的性质: 定理：等腰三角形有两边相等；(定义) 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。（三线合一） 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。 等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 三、等腰三角形的判定: 1. 有关的定理及其推论 : 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 2. 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法 四、直角三角形 1、直角三角形的性质 直角三角形的两锐角互余 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 2、直角三角形判定 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 3、互逆命题、互逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命 题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定 理称为另一个定理的逆定理. 五、线段的垂直平分线、角平分线 : 1、线段的垂直平分线。 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（外心） 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 2、角平分线。 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（内心） 判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组 1.定义：一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。 2.基本性质：性质1：.不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变. 如果a>b,那么 a+c>b+c, a-c>b-c.（注：移项要变号，但不等号不变） 性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, c b c a >. 性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 如果a>b,并且c<0,那么ac 课题因式分解 【学习目标】 1．理解因式分解的意义以及因式分解与整式乘法的关系． 2．对因式分解作出正确判断，培养观察能力． 【学习重点】 因式分解的意义及因式分解与整式乘法的关系． 【学习难点】 对因式分解及整式乘法关系的理解． 行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么． 行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点． 方法指导：因式分解必须把一个多项式分成几个单项式与多项式相乘的形式，并且不能与整式乘法混淆．学习笔记：因式分解是整式乘法的逆变形，所以分解因式后的两个因式的乘积一定等于原来的多项式，用这种方法可检测因式分解的结果是否正确． 情景导入生成问题 旧知回顾： 1．计算下面各式： m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc；(x＋2)(x－2)＝x2－4；(a－b)2＝a2－2ab＋b2． 2．根据左边的结果填空： ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)；x2－4＝(x＋2)(x－2)；a2－2ab＋b2＝(a－b)2． 很显然第1题中各式属于整式乘法，第2题中各式的变形属于什么呢？ 自学互研生成能力 【自主探究】 阅读教材P92－93的内容，回答下列问题： 1．你能尝试把a3－a化成几个整式的乘积的形式吗？ 答：a3－a＝a(a2－a)＝a(a＋1)(a－1)． 2．什么叫因式分解？ 答：把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解，因式分解也可以称为分解因式． 范例1：下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是( C) A．a(x＋y)＝ax＋ay B．x2－4x＋4＝x(x－4)＋4 C．10x2－5x＝5x(2x－1) D．x2－16＋16x＝(x＋4)(x－4)＋6x 仿例1：下列从左到右的变形中是因式分解的有( B) ①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)． A．1个B．2个C．3个D．4个 仿例2：通过计算说明992＋99不能被( D) A．9整除B．99整除C．100整除D．101整除 归纳：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式，因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式． 【自主探究】 范例2：如果多项式3x2－mx＋n因式分解的结果为(3x＋2)(x－1)，求m，n的值． 解：∵(3x＋2)(x－1)＝3x2－x－2，∴－m＝－1，n＝－2，∴m＝1. 仿例1：若m2－n2＝8，且m－n＝2，则m＋n＝4． 仿例2：(2x＋a)(2x－a)是哪个多项式因式分解的结果( B) A．4x2＋a2B．4x2－a2C．－4x2＋a2D．－4x2－a2 范例3：利用因式分解计算：2 016×45＋2 016×56－2 016×100. 解：原式＝2 016×(45＋56－100) ＝2 016. 仿例：利用因式分解计算：2 0163－2 0162－2 014×2 0162. 解：原式＝2 0162×2 016－2 0162×1－2 0162×2 014 ＝2 0162(2 016－1－2 014) ＝2 0162×1 北师大版八年级下册数学考试知识点 第一章 三角形的证明 一、全等三角形的判定及性质 ※1性质：全等三角形对应 角 相等、对应 边 相等 ※2判定：①判定一般三角形全等：（SSS 、SAS 、ASA 、AAS ）. ②判定直角三角形全等独有的方法：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，即HL 二. 等腰三角形 ※1. 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. ※2. 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）． ※3. 推论：等腰三角形 顶角平分线 、 底边中线 、 底边上的高 互相重 合（即“ 三线合一 ”）． ※4. 等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 60° ；等边三角形是轴对称 图形，有 3 条对称轴. 判定定理：(1)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. 三.直角三角形 ※1. 勾股定理及其逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 满足关系22b a =2 c ，那么这个三角 形是直角三角形 （勾股定理的逆定理）（满足的三个正整数，称为勾股数：，常见的勾股数有： （1）3，4，5； （2）5，12，13；（3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 ※2.含30°的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对应的直角边等于斜边的一半. ※3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和 等于第三边的平方”． ②直角三角形的全等判定方法，HL还有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5种判定 方法． 四. 线段的垂直平分线 ※1. 线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 . ※2.三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 五. 角平分线 ※1. 角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平 1、一支蜡烛长20厘米,．点燃后每小时燃烧5厘米,燃烧时剩下的高度n (厘米)与燃烧时间t(时)的函数关系的图象是（ ） A B C D 2、已知正比例函数kx y =（0≠k ）的函数值y 随x 的增大而增大，则一次函数k x y +=的图象大致是（ ） A C D 3、甲、乙两人同时沿着一条笔直的公路朝同一方向前行，开始时，乙在甲前2千米处， 甲、乙两人行走的路程S （千米）与时间t （时）的函数图象（如图所示），下列说法正 确的是（ ） A 、乙的速度为4千米/时 B 、经过1小时，甲追上乙 C 、经过0.5小时，乙行走的路程约为2千米 D 、经过1.5小时，乙在甲的前面 4、当14+a 的值为最小值时，a 的取值为（ ） A 、－1 B 、0 C 、4 1 - D 、1 5、若错误!未找到引用源。是169的算术平方根，错误!未找到引用源。是121的负的平方根，则（错误!未找到引用源。＋错误!未找到引用源。）2的平方根为（ ） A. 2 B. 4 C.±2 D. ±4 6、满足－3＜x ＜5的整数x 是（ ） A 、－2,－1,0,1,2,3 B 、－1,0,1,2,3 C 、－2,－1,0,1,2 D 、－1,0,1,2 7、如图，有一圆柱，它的高等于8cm ，底面直径等于4cm (π=3)．在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程大约等于 （ ） A ．10cm B ．12 cm C ．19cm D ．20cm 8、直线y kx b =+经过点(1,)A m -，(,1)B m (1)m >，则必有（ ） A. 0,0k b >> .0,0B k b >< .0,0C k b <> .0,0D k b << 9、如果0ab >， 0a c <，则直线a c y x b b =-+不通过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10、如图，两直线1y kx b =+和2y bx k =+在同一坐标系内图象的位置可能是（ ） x y x y x y x y O O O O S(千米) 1 2 3 4 0.5 1 乙 甲 O t (时) 4估算 学习目标： 1. 会估算一个无理数的大致范囤，比较两个无理数的大小，会利用估算解决一些简单 的实际问题?发展估算意识和数感. 2. 体会数学知识的实用价值，激发学生的学习热情. 学习方法与媒体：独立思考、小组合作探究，学案 学习过程： 一、知识链接： 请你来帮忙： 当你在公园玩累的时候，有没有在公园的凉亭里休息过？你观察过凉亭的形状吗？小明同学是一个非常细心的孩子，爸爸妈妈带他去过许多公园，他注意到公园的底而形状有正方形、圆形、正六边形、 正八边形等，并且他根据自己所学的知识为自己设计了这样一个题目：（1）如果一个正方形凉亭的占地而积为10平方米，那么它的边长大约是多少呢？（精确到0」米） （2）如果改建成一个同样而积的圆形凉亭，它的半径大约是多少米？（精确到0.1米） 二、自主学习、合作探究： 环节一：由修建环保公恫的实际问题情境引岀本巧课的学习内容一一公园有多宽. 某市开辟了一块长方形的荒地用来建一个以环保为主题的公园.已知这块地的长是宽的 两倍，它的面积为400000平方米.此时公园的宽是多少?长是多少？ 问题：公园的宽有1000米吗？那么怎么讣算岀公园的长和宽. （自主学习5分钟，交流2分钟） 学生活动二：例1下列结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴交流. ①顷?20 ; ②3; ③ JlOOOOO =500; ④ 5/900 ^96. （自主学习3分钟，交流2分钟） 学生活动三：通过活动，你从中得到了什么启示？（2分钟思考，3分钟交流） 环节二：例2你能估算它们的大小吗？说岀你的方法. （①②误差小于0. 1;③误差小于10;④误差小于1.） 小试牛刀：你能比较亘丄与、的大小吗？你是怎样想的？ 2 2 方法要点小结： 三、质疑问难： 四.整体建构: 数学试题 一、选择题： 1．4的平方根是（ A ） A ．2± B ．2 C ． D 2.在平面直角坐标系中，点P （3，-2）在（ D ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.下列实数2 1 - , 0, π , 4 , 31 , 5中是无理数的有（ B ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．在下列四组数中，不是勾股数的是（ B ） A ．7,24,25 B ．3,5,7 C ．8,15, 17 D ．9,40,41 5．下列计算正确的是（ A ） A ．632= ? B ．532=+ C ．5315= D ．235=- 6．如图以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以 数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时 针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的 点A 处，则点A 表示的数是（ B ） A ．3 2 B C D .4.1 7．点（2，6）关于x 轴的对称点坐标为（ A ） A .（2，－6） B . （－2，－6） C . （－2，6） D . （6，2） 8．已知直角三角形中一条直角边长为12cm ，周长为30cm ，则这个三角形的面积是（B ）A ．2 20cm B ．2 30cm C ．2 60cm D ．2 75cm 9 -（ D ） A B ．2 C ． D ． 10．已知平面内的一点P ，它的横坐标与纵坐标互为相反数，且与原点的距离是2，则点 P 的坐标是（ C ） A ．（-1，1）或（1，-1） B ．（1，-1） C ．（ ， ） D ） 11．实数b a ,在数轴上的位置如图所示， 则 ()a b a ++2 的化简结果为（ B ） A ．2a b + B ．b - C ．b D ．2a b - 12．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中' ' ' 9,5,6AB BB B C ===，在线段AB 的 三等分点E （靠近点A ）处有一只蚂蚁，'' B C 中点F 处有一米粒，则蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为（ A ） A ．10 B ．106 C ．5+35 D ．6+34 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将答案填 在题后的横线上. 13．在平面直角坐标系中，点(),2P a a -在x 轴上，则a = 2 14．比较大小：23 < 52 （填“＞”或“＜”或“=” ） 15．x 为无理数21的小数部分，则x = 214- （结果保留根号） 16．如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪， 拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是 5 17．在平面直角坐标系中，等边ABC ?的顶点(6,0)A -，(2,0)B ，则顶点C 的坐标 为 (2,43),(2,43)--- 第12题图 第16题图 第11题图 八年级数学下册教学 工作计划 本学期我继续担任八年级（2）班的数学教育教学工作。为了更好地完成教育教学任务，现就本学期的教育教学计划制定如下：一、学生情况分析 上学期期末考试的成绩总体来看，成绩不太理想。在学生所学知识的掌握程度上，大部分学生能够透彻理解知识，知识间的内在联系也较为清楚，但个别学生连简单的基础知识还不能有效的掌握，成绩较差。在学习能力上，一些学生课外主动获取知识的能力较差，向深处学习知识的能力没有得到培养，学生的逻辑推理、逻辑思维能力，计算能力需要进一步加强，以提升学生的整体成绩；在学习态度上，绝大部分学生上课能全神贯注，积极的投入到学习中去。 二、本学期教学内容分析 本学期教学内容共计六章，第一章《三角形的证明》本章将证明与等腰三角形和直角三角形的性质及判定有关的一些结论，证明线段垂直平分线和角平分线的有关性质，将研究直角三角形全等的判定，进一步体会证明的必要性。第二章《一元一次不等式和一元一次不等式组》本章通过具体实例建立不等式，探索不等式的基本性质，了解一般不等式的解、解集、解集在数轴上的表示，一元一次不等式的解法及应用；通过具体实例渗透一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的内在联系．最后研究一元一次不等式组的解集和应用．第三章《图形的平移与旋转》本章将在小学学习的基础上进一步认识平 面图形的平移与旋转，探索平移，旋转的性质，认识并欣赏平移，中心对称在自然界和现实生活中的应用。第四章《分解因式》本章通过具体实例分析分解因式与整式的乘法之间的关系揭示分解因式的实质，最后学习分解因式的几种基本方法。第五章《分式与分式方程》本章通过分数的有关性质的回顾建立了分式的概念、性质和运算法则，并在此基础上学习分式的化简求值、解分式方程及列分式方程解应用题，能解决简单的实际应用问题。第六章《平行四边形》本章将研究平行四边形的性质与判定，以及三角形中位线的性质，还将探索多边形的内角和，外角和的规律；经历操作，实验等几何发现之旅，享受证明之美。 三、本学期教学内容目的要求，重难点 第一章主要让学生经历证明等腰三角形和直角三角形的图形性质与判定的过程，进一步发展推理能力；第二章主要让学生经历探索发现不等关系，进一步体会模型思想，体会不等式，函数，方程之间的联系；第三章主要让学生经历平移与旋转的认识及应用的过程，发展空间观念，增强观察，归纳，抽象，概括等能力；第四章主要让学生体会因式分解的意义，体会因式分解与整式乘法间的联系与区别；第五章主要让学生了解分式的概念，探索分式的基本性质，能用分式方程解决简单的实际问题，体会模型思想；第六章主要让学生探索并证明平行四边形的有关性质与判定及多边形的内角和，外角和公式，积累数学活动经验，发展推理能力。 重点：（１）掌握等腰三角形和直角三角形的性质与判定，能证 北师大版八年级上册数学知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 （1）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的 平方，即2 22c b a =+ （2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法） （3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 22c b a =+，那 么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 22c b a =+的三个正整数a ，b ， c ，称为勾股数。 常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）…… 规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a 为奇数且a ＜b 时，如果b+c=a2那么a,b,c 就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）…… （2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一组 勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）…… 4、常见题型应用： （1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积…… （2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积…… （3）判定三角形形状： a2 +b2＞c2锐角~，a2 +b2=c2直角~，a2 +b2＜c2钝角~ 判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状 （4）构建直角三角形解题 例1. 已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为 10。求直角三角形的两直角边。 解：设两直角边为3x ，4x ，由题意知： ∴x=2，则3x=6，4x=8，故两直角边为6，8。 中考突破 （1）中考典题 例. 如图（1）所示，一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 位置上，如图（2）所示，测得 得BD=0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？ 思维入门指导：梯子顶端A 下落的距离为AE ，即求AE 的长。已知AB 和BC ，根据勾股定理可求AC ，只要求出EC 即可。 解：在Rt △ACB 中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4， ∴AC=2 ∵BD=0.5，∴CD=2 ∴EC=1.5 答：梯子顶端下滑了0.5米。 点拨：要考虑梯子的长度不变。 例5. 如图所示的一块地，AD=12m ，CD=9m ，∠ADC=90°，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。 思维入门指导：求面积时一般要把不规则图形分割成规则图形，若连结BD ，似乎不 解：连结AC ，在Rt △ADC 中， 在△ABC 中，AB2=1521 答：这块地的面积是216平方米。 点拨：此题综合地应用了勾股定理和直角三角形判定条件。 第二章 实数 基本知识回顾 1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。 得要领，连结，求出即可。AC S S ABC ACD ??- 2020春北师大版八下数学2.1——2.3学案设计 2．1不等关系 学习目标： 1.能理解不等式的概念； 2.能根据实际问题中的不等关系列不等式； 重点和难点： 通过实际问题中的不等关系，认识不等式； 通过实际问题建立合理的不等关系； 学习过程： 一、阅读教材37页“做一做”之前部分，完成下列内容： 1.写出（1）（2）中绳长l 应满足的关系式： （1） ; （2） . 2.通过计算：当8l = 时，圆的面积 正方形的面积；当12l =时，圆的面积 正方形的面积。由此 得出猜想：○124l π 2 16 l ，即：周长相等的正方形和圆中， 的面积最大。 阅读教材37页“做一做”，完成下列内容： 3. “做一做”中，由（1）得到的关系式为○ 2 ； 由（2）得到的关系式为○ 3 . 4.观察关系式○ 1○2○3，它们有什么共同特点？ 5.归纳:一般地，用符号 连接的式子叫做 。 二、合作探究学习 1.探究1：下面给出5个数学表达式：○ 110-< ○2320m n -> ○34x = ○47x ≠ ○5m n +，其中不等式有哪些？ 2.探究2： 用不等式表示下列数量关系： （1） a 是非正数； （2） x 与8的差是正数； （3） x 的平方的相反数不是正数； （4） x 的3倍与5的差不小于4； （5） a 的12 与b 的3倍的差的绝对值小于2； （6） x ，y 的平方和大于1. 3.探究3： (1)已知一支圆珠笔1.5元，签字笔和圆珠笔相比每支贵2元，小华想要买x支圆珠笔和10支签字笔，若付50元还找回若干元，则如何用含x的不等式来表示小华所需支付的金额与50元之间的关系？ （2）设计一个实际背景来表示下列不等式 x-≥ ○1220 +<○23510 x y 三、当堂检测： 1、用适当的符号表示下列关系： （1）a 是非负数； （2）直角三角形斜边c 比它的两直角边a、b 都长； （3）x 与17 的和比它的5倍小； （4）两数的平方和不小于这两数积的2倍。 2、表达式①x2≥0；②2a+4b≠3；③5m+2n；④x+y<0；⑤3x+2=9中的不等式有（填序号）。 3、8.3班班长拿了56元钱去给班内20名优秀学生买奖品，奖品有两种：钢笔和笔记本。已知钢笔每支5元，笔记本每本3元，如果买x支钢笔，则列出关于x的不等式是。 4、某厂今年的产值为100万元，预计明后两年平均每年增长率为x%，如果按此速度发展，后年该厂产值将超过a万元，请用不等式表示a与x的关系式 四、课时小结师生相互交流，总结本节重难点。 本课我主要学会了。 五、课后作业：习题2.1: 第1、2、3、4题 八年级下册数学各章节知识点总结 第一章一元一次不等式和一元一次 不等式组 一. 不等关系 1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式. 2.区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示是不相等的关系。 3.准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语. 非 负数<===> 大于等于0(≥0)<===> 0 和正数<===> 不小于0 非正数<===> 小于等于0(≤0)<===> 0 和负数<===> 不大于0 二. 不等式的基本性质 1.掌握不等式的基本性质,并会灵活运用: (1)不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即: 如果 a>b,那么 a+c>b+c, a-c>b-c. (2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即 如果 a>b,并且 c>0,那么 ac>bc, a >b . c c (3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即: 如果 a>b,并且 c<0,那么 ac 北师大版八年级上册数学知识点总结 第一章勾股定理 1、勾股定理(1)直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ （2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄 图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法） （3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形 2、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 2 2 c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41） 4、 勾股数的规律： （1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数， 两边之和是短直角边的平方。即当a 为奇数且a ＜b 时，如果b+c=a2， 那么a,b,c 就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）…… （2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一组勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1 如： （6,8,10）（8,15,17）（10,24,26） 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； 1.1 不等关系 教学目的和要求： 理解不等式的概念，感受生活中存在的不等关系 教学重点和难点： 重点： 对不等式概念的理解 难点： 怎样建立量与量之间的不等关系。 从问题中来，到问题中去。 1. 如图1-1，用用根长度均为l ㎝的绳子，分别围成一个正方形和圆。 （1）如果要使正方形的面积不大于25㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？ （2）如果要使圆的面积大于100㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？ （3）当l =8时，正方形和圆的面积哪个大？l =12呢？ （4）改变l 的取值再试一试，在这个过程中你能得到什么启发？ 分析解答：在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表示为2)4(l ，圆的面积可以表示为2 2?? ? ??ππl 。 （1） 要使正方形的面积不大于25㎝2，就是 25)4 (2 ≤l ，即25162≤l 。 （2） 要使圆的面积大于100㎝2，就是 2 2?? ? ??ππl ＞100， 即 π 42 l ＞100 （3） 当l =8时，正方形的面积为)(41682 2cm =，圆的面积为)(1.54822cm ≈π ， 4＜5.1，此时圆的面积大。 当l =12时，正方形的面积为)(916122 2cm =，圆的面积为)(5.1141222cm ≈π ， 9＜11.5，此时还是圆的面积大。 （4） 不论怎样改变l 的取值，通过计算发现：总是圆的面积大，因此，我们可以猜想，用长度增色为l ㎝的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即 π42l ＞16 2 l 2. （1）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可能计算出它的树龄，通常规定以树干离地面1.5m 的地 方作为测量部位。某树栽种时的树围为5㎝，以后树围每年增加约3㎝，这棵树至少要生长多少年其树围才能超过2.4m ？（只列关系式） （2）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m 以外的安全区域。已知导火线的燃烧速度为0.2m/s ，人离开的速度为4m/s ，导火线的长度x （m ）应满足怎样的关系式？ 答案：（1）设这棵树生长x 年其树围才能超过2.4m ，则5+3x ＞240。 （2）人离开10m 以外的地方需要的时间，应小于导火线燃烧的时间，只有这样才能保证人的安全： 410＜2 .0x 分析巩固练习： 用不等式表示： （1） a 的相反数是正数； （2） m 与2的差小于3 2； （3） x 的 3 1 与4的和不是正数； （4） y 的一半与x 的2倍的和不小于3。 解答：（1）a 的相反数是-a ，正数是比零大的数，所以“a 的相反数是正数”就是-a ＞0； （2）“m 与2的差”就是m-2，“ 差小于32”即是m-2＜3 2 ； （3）“x 的31”就是31x ，“x 的31与4的和不是正数”就是3 1 x+4≤0； （4）“y 的一半”不是21 y,“x 的2倍”就是2x ，“不小于3”即指大于或等于3，故“y 的一半与x 的2倍的和不小于”就是2 1 y+2x ≥3。 3. 下列各数：2 1 ，-4，π，0，5.2，3其中使不等式2-x ＞1，成立是 （ ） A ．-4，π，5.2 B ．π，5.2，3 C ．2 1 ，0，3 D ．π，5.2 答案：D 4. 有理数a ，b 在数轴上的位置如图1-2所示，所 b a b a +-的值 （ ） A ．＞0 B ．＜0 C ．＝0 D ．≥0 答案：B 小结提问，快速回答： 1. 表示不等式关系的符号有哪些?北师大版八年级数学上册知识点总结
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