二阶行列式与二元一次方程组
教学目的：理解二阶行列式的定义；
掌握用二阶行列式解二元一次方程组；
用行列式判断二元一次方程组解的情况。
教学过程：
一、 设问：什么叫二阶行列式？
（一）定义：
1、 我们用记号1
122a b a b 表示算式1221,a b a b - 即1
122a b a b = 1221,a b a b - 其中记号1
122a b a b 叫做行列式，因为它只有两行、两列，所以把它叫做二阶行列式。
2、 1221,a b a b -叫做行列式1
12
2a b a b 的展开式，其计算结果叫做行列式的值。 3、 1221,,,,a b a b 叫做行列式1
122a b a b 的元素。
（二）二阶行列式的展开满足：对角线法则 1
122a b a b 实线表示的对角线叫主对角线，虚线表示的对角线叫副对角线。
二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号．
（三）例和练习：
例1、判断以下几项中哪些是二阶行列式？是的，求出值。
（1）1
11222
a b c a b c （2）sin cos cos sin α
ααα
（3）12
3456
（4）sin cos sin cos sin cos a a a
a a a -+
（5
）1212
3434
12242
363
--
例2：将下列各式用行列式表示：——解唯一吗？
（1）22
14;(2)5;(3)422b ac x y x x ---+
二、 用二阶行列式解二元一次方程组
(四)设有二元一次方程组
111222,(1)
().(2)a x b y c A a x b y c +=??+=?
用加减消元法
得 1221122112211221();
().a b a b x c b c b a b a b y a c a c -=--=-
(1)当 12210a b a b -≠ 时，有（A ）有唯一解，
(B) 122112211221
122c b c b x a b a b a c a c y a b a b -?=?-??-?=?-?
求根公式。
(2)当 12210a b a b -= 时,122112210c b c b a c a c -=-=无穷组解；
（3）当 12210a b a b -=时122112210,0c b c b or a c a c -≠-≠无解。 （五）记1122a b D a b =，系数行列式 11
22x c b D c b =，112
2y a c D a c = ——类比，对照
则（1）当D ≠0时，方程组(A) 的解(B)可以表示成
X
y
D x D D y D
?=????
=??；
（2）当D =0时,0x y D D == 无穷组解；
(3) 当D =0时,0,0x y D or D ≠≠ 无解。 系数行列式11
22
a b D a b =也为二元一次方程组解的判别式。
（六）学生巩固记忆理解。
（七）例和练习。
用行列式解方程组。11250
37240x y x y -+=??++=?
解：标准形式1125
3724x y x y -=-??+=-?
三、 作业：
高中数学教材（沪教版）目录 高一上 第一章集合与命题 一集合 1.1集合及其表示法 1.2集合之间的关系 1.3集合的运算 二四种命题的形式 1.4命题的形式及等价关系 三充分条件与必要条件 1.5充分条件、必要条件 1.6子集与推出关系 第二章不等式 2.1不等式的基本性质 2.2一元二次不等式的解法2.3其他不等式的解法 2.4基本不等式及其应用 *2.5不等式的证明 第三章函数的基本性质3.1函数的概念3.2函数关系的建立 3.3函数的运算 3.4函数的基本性质 第四章幂函数、指数函数和对数函数（上）一幂函数 4.1幂函数的性质与图像 二指数函数 4.2指数函数的性质与图像 *4.3借助计算器观察函数递增的快慢 高一下 第四章幂函数、指数函数和对数函数（下）三对数 4.4对数的概念及其运算 四反函数 4.5反函数的概念 五对数函数 4.6对数函数的性质与图像 六指数方程和对数方程 4.7简单的指数方程
4.8简单的对数方程 第五章 三角比 一 任意角的三角比 5.1任意角及其度量 5.2任意角的三角比 二 三角恒等式 5.3同角三角比的关系和诱导公式 5.4两角和与差的正弦、余弦和正切 5.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切 三 解斜三角形 5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形 第六章 三角函数 一 三角函数的图像及性质 6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质 6.2正切函数的图像与性质 6.3函数()sin y A x ωφ=+的图像与性质 二 反三角函数与最简三角方程 6.4反三角函数 6.5最简三角方程 高二上 第七章 数列与数学归纳法 一 数列 7.1数列 7.2等差数列 7.3等比数列 二 数学归纳法 7.4数学归纳法 7.5数学归纳法的应用 7.6归纳—猜想—证明 三 数列的极限 7.7数列的极限 7.8无穷等比数列各项的和 第八章 平面向量的坐标表示 8.1向量的坐标表示及其运算 8.2向量的数量积 8.3平面向量的分解定理 8.4向量的应用 第九章 矩阵和行列式初步 一 矩阵 9.1矩阵的概念 9.2矩阵的运算 二 行列式 9.3二阶行列式 9.4三阶行列式
直线的点法向式方程 教学目标： 1、掌握直线的点法向式方程 2、通过直线点法向式方程的推导，体会向量知识的应用和坐标法的含义.初步认识曲线与方程的关系，并体会解析几何的基本思想 3、培养学生的自主探索研究能力. 教学重点：直线的点法向式方程 教学难点：选择恰当的形式求解直线方程 教学方法：教师启发引导，学生主动探索 教学过程： 一、复习引入 上节课我们学习了直线方程及直线的点方向式方程，首先我们一起回顾一下： （1） 若给出方程y ＝x －1 问：①点（2,1），（3,2）是否在直线l 上？②如 何判断点P 是否在直线l 上？ （①l 上任意点的坐标满足方程y ＝x －1②以方程y ＝x －1的任意解为坐标 的点都在直线l 上） 我们就称方程y ＝x －1是直线l 的方程，直线l 是方程y ＝x －1的图形 （2） 复习点方向式方程 直线的方向，与直线平行的向量有无数个，所以方向向量不唯一，则直线的点方向式方程显然也不唯一 问：若过已知点与某一非零向量垂直的直线是否唯一确定呢？ 今天我们就来学习根据上述条件求出直线l 的方程。（写出课题） 二、概念形成 设P 00(,)x y ，非零向量(,)n a b =r ，Q (,)x y 为直线l 上任意一点 则=PQ ),(O O y y x x -- ∵PQ n ⊥u u u r r ∴0=? 即00()()0a x x b y y -+-=① ∴直线l 上的任一点都满足方程① 反之，若11(,)x y 为方程①的解，即1010()()0a x x b y y -+-=，则1Q 11(,)x y 符合1PQ n ⊥u u u u r r ，即1Q 在直线l 上. 根据直线方程的定义知，方程①是直线l 的方程，直线l 是方程①的直线.
高中数学知识点归纳 高一(上)数学知识点归纳 第一章 集合与命题 1.主要内容：集合的基本概念、空集、子集和真子集、集合的相等；集合的交、 并、补运算。四种命题形式、等价命题；充分条件与必要条件。 2.基本要求：理解集合、空集的意义，会用列举法和描述法表示集合；理解子集、 真子集、集合相等等概念，能判断两个集合之间的包含关系或相等关系；理解 交集、并集，掌握集合的交并运算，知道有关的基本运算性质，理解全集的意 义，能求出已知集合的补集。理解四种命题的形式及其相互关系，能写出一个 简单命题的逆命题、否命题与逆否命题；理解充分条件、必要条件与充要条件 的意义，能在简单问题的情景中判断条件的充分性、必要性或充分必要性。 3.重难点：重点是集合的概念及其运算，充分条件、必要条件、充要条件。难点 是对集合有关的理解，命题的证明，充分条件、必要条件、充要条件的判别。 4.集合之间的关系：(1)子集：如果A 中任何一个元素都属于B ，那么A 是B 的 子集，记作A ?B.(2)相等的集合:如果A ?B,且B ?A ，那么A=B.(3).真子集： A ?B 且B 中至少有一个元素不属于A ，记作A ?B. 5.集合的运算：(1)交集：}.{B x A x x B A ∈∈=且I (2)并集:}.{B x A x x B A ∈∈=或Y （3）补集：}.{A x U x x A C U ?∈=且 6.充分条件、必要条件、充要条件 如果P Q ?,那么P 是Q 的充分条件，Q 是P 的必要条件。 如果P Q ?,那么P 是Q 的充要条件。也就是说，命题P 与命题Q 是等价命题。 有关概念：1.我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合。 2.数集有：自然数集N ，整数集Z ，有理数集Q ,实数集R 。 3.集合的表示方法有列举法、描述法和图示法。 4.用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图 叫做文氏图。
目录 一、集合与常用逻辑 二、不等式 三、函数概念与性质 四、基本初等函数 五、函数图像与方程 六、三角函数 七、数 列 八、平面向量 九、复数与推理证明 十、直线与圆 十一、曲线方程 十二、矩阵、行列式、算法初步 十三、立体几何 十四、计数原理 十五、概率与统计 补集： C U A {xx U 且x A} 3．集合关系 空集 A 子集 A B : 任意 x A x B 注：数形结合 --- 文氏图、数轴 4．四种命题 原命题：若 p 则 q 否命题：若 p 则 q 原命题 逆否命题 5．充分必要条件 p 是 q 的充分条件： P q p 是 q 的必要条件： P q p 是 q 的充要条件： p? q 6．复合命题的真值 ① q 真(假) ? “ q ”假(真) ② p 、q 同真 ? “ p ∧ q ”真 ③ p 、q 都假 ? “ p ∨ q ”假 7. 全称命题、存在性命题的否定 M, p(x )否定为 : M, p(X) M, p(x )否定为 : M, p(X) 并集： A B {x x A 或 x B} 一、集合与常用逻辑 1．集合概念 元素：互异性、无序性 2．集合运算 全集 U ：如 U=R 交集： A B {x x A 且x B} 逆命题：若 q 则 p 逆否命题：若 q 则 p 否命题 逆命题
二、不等式 1．一元二次不等式解法 若a 0，ax2 bx c 0有两实根, ( ) ，则ax2 bx c 0 解集( , ) ax2 bx c 0 解集( , ) ( , ) 注： 若a 0，转化为a 0 情况 2．其它不等式解法—转化 x a a x a x2 a2 x a x a 或x a x2 a2 f(x) 0 f (x)g(x) 0 g(x) a f(x) a g(x) f (x) g(x)( a 1) f (x) 0 log a f(x) log a g(x) (0 a 1) a a f (x) g(x) 3．基本不等式 ①a2 b 2 2ab ②若a,b R ，则 a b ab 2 注：用均值不等式a b 2 ab 、ab (a b)2 2 求最值条件是“一正二定三相等” 三、函数概念与性质 1．奇偶性 f(x) 偶函数 f ( x) f (x) f(x) 图象关于y 轴对称 f(x) 奇函数 f ( x) f(x) f(x) 图象关于原点对称注：① f(x) 有奇偶性定义域关于原点对称 ② f(x) 奇函数, 在x=0 有定义f(0)=0 ③“奇+奇=奇”(公共定义域内) 2．单调性 f(x) 增函数：x1
沪教版高二数学试题 一、曲线与方程 1．已知曲线C上点的坐标都是方程f（x，y）=0的解，则下列命题准 确的是（） A．坐标满足方程f（x，y）=0的点都在曲线C上 B．方程f（x，y）=0是曲线C的方程 C．曲线C是满足方程f（x，y）=0的曲线 D．方程f（x，y）=0的曲线包含曲线C上任意一点 2．已知坐标满足方程f（x，y）=0的点都在曲线C上，那么下列结论 准确的是（） A．曲线C上的点的坐标都适合方程f（x，y）=0 B．凡坐标不适合f（x，y）=0的点都不在曲线C上 C．不在曲线C上的点的坐标必不适合方程f（x，y）=0 D．不在曲线C上的点的坐标有的适合方程f（x，y）=0，有的不适合 方程f（x，y）=0 3．等腰△ABC中，若底边两端点坐标分别是B（4，2），C（－2，0），则顶点A的轨迹方程是（） A．x－3y+2=0（x≠1） B．3x―y―2=0（x≠1） C．3x+y－4=0（x≠1） D．3x－y+1=0（x≠1） 4．方程(|y|-x )(x--y2)=0的曲线是图21中的（）
5．曲线x+y-4ax+2ay-20+20a=0(a∈R)恒过定点，则定点的坐标为 ________________________________。 220γχ 6．由动点p向 + = 1 引两条切线PA、PB，切点为A，B, ∠APB=60 则22 p的轨迹方程___________________。 7．已知点A（－a，0），B（a，0）（a∈R），若动点C与点A、B构成直角三角形，试求直角顶点C的轨迹方程。 8．求由方程|2x+3|+|y－2|=3确定在多边形所围成的图形的面积S。 3y=x-x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t，s单位长度 9．设曲线C的方程是 后得到曲线C1。 （1）写出的曲线C1方程； tsA() （2）证明曲线关于点22对称； （3）如果曲线C1和C有且仅有一个公共点，证明： 参考答案 1．D （点评：曲线与方程的定义应包含两条：曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都是曲线上的点，因给出了曲线上的点的坐标都是方程的解，故以方程的解为坐标的点必都在曲线上，于是对照定义知，答案应选D） 2．C （点评：本题与上题是曲线与方程的定义中所要求的两个要求的不同表现，对于本题，设方程f（x，y）=0所表示的曲线为E，依题意有曲线E为曲线C的一部分，故不在曲线C上的点的必不适合方程f （x，y）=0） s=13t-t4，且t≠0。3．C （点评：设A（x，y），显
高二数学下册知识点梳理 第11 章坐标平面上的直线 1、内容要目：直线的点方向式方程、直线的点法向式方程、点斜式方程、直线 方程的一般式、直线的倾斜角和斜率等。点到直线的距离，两直线的夹角以及两平行线之间的距离。 2、基本要求：掌握求直线的方法，熟练转化确定直线方向的不同条件（例如： 直线方向向量、法向量、斜率、倾斜角等）。熟练判断点与直线、直线与直线的不同位置，能正确求点到直线的距离、两直线的交点坐标及两直线的夹角大小。 3、重难点：初步建立代数方法解决几何问题的观念，正确将几何条件与代数表 示进行转化，定量地研究点与直线、直线与直线的位置关系。根据两个独立条件求出直线方程。熟练运用待定系数法。
已知直线l 的斜率为k,且经 过点A(x 0 , y0 ) 点斜式方程y -y0=k (x -x0 ) （4）两直线的位置关系：l i : y =k i x +b i (i = 1,2). 位置关系系数关系 l 1与l 2 相交k 1 ≠k 2 l 1与l 2 平行k 1 =k 2 且b 1 ≠b 2 l 1与l 2 重合k 1 =k 2 且b 1 =b 2 l 1与l 2 垂直k 1 ?k 2 =-1 （5）点到直线的距离公式d = （6）两直线的夹角公式cos= （7）直线的倾斜角的范围是0 ≤<,当直线l 的斜率不存在时，直线的倾斜角为 2 第12 章圆锥曲线 1、内容要目：直角坐标系中，曲线C 是方程F（x,y）=0 的曲线及方程F（x,y）=0 是曲 线C 的方程，圆的标准方程及圆的一般方程。椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及它们的性质。 2、基本要求：理解曲线的方程与方程的曲线的意义，利用代数方法判断定点是否在曲线上 及求曲线的交点。掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义和求这些曲线方程的基本方法。 求曲线的交点之间的距离及交点的中点坐标。利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们的位置关系并利用解析法解决相应的几何问题。 3、重难点：建立数形结合的概念，理解曲线与方程的对应关系，掌握代数研究几何的方法，掌握 把已知条件转化为等价的代数表示，通过代数方法解决几何问题。 4、椭圆、双曲线和抛物线及其标准方程表格 椭圆双曲线抛物线 几何条件平面内到两个定点 F1, F2的距离和等于常 数2a(2a >F1F2 ) 平面内与两个定点F1, F2 的距离之差的绝对值等于 常数2a(2a 高二上册数学知识点归纳 第七章 数列与数学归纳法 1.内容要目：第1节数列：数列的概念，等差数列与等比数列的定义，等差中项与等比数列，等差数列与等比数列的通项公式。第2节数学归纳法：数学归纳法的原理，数学归纳法的一般步骤，数学归纳法的应用。第3节数列的极限：数列极限的概念，数列极限的运算法则，常用的数列极限公式，无穷等比数列各项的和。 2.基本要求：第1节数列：理解数列的概念，掌握等差数列与等比数列的定义，会求等差中项与等比数列，理解数列通项公式的含义，掌握等差数列与等比数列的通项公式。第2节数学归纳法：会用数学归纳法解决整除问题及证明某些与正整数有关的等式，领会“归纳—猜想—论证”的思想方法。第3节数列的极限：掌握数列极限的运算法则，常用的数列极限公式，掌握无穷等比数列前n 项和的极限公式。 3.重难点：第1节数列：等差数列与等比数列的通项公式，数列的概念及由计算数列的前若干项，通过归纳得出数列的通项公式，第2节数学归纳法：用数学归纳法证明命题的步骤，数学归纳法的应用及通过归纳猜想命题的一般结论。第3节数列的极限：无穷等比数列各项和公式的应用。 公式：（1）等差数列}{n a 的通项公式：d n a a n )1(1-+=.（2）等差数列}{n a 的前n 项和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2 ) (11-+ =+= .（3）等比数列}{n a 的通项公式： .1 1-=n n q a a （4）等比数列}{n a 的前 n 项和公式：)1(1==q na S n )1(11)1(11≠--= --= q q q a a S q q a S n n n n 或.(5)当0lim 1= 高一上 第一章集合与命题 一集合 1.1集合及其表示法 1.2集合之间的关系 1.3集合的运算 二四种命题的形式 1.4命题的形式及等价关系 三充分条件与必要条件 1.5充分条件、必要条件 1.6子集与推出关系 第二章不等式 2.1不等式的基本性质 2.2一元二次不等式的解法 2.3其他不等式的解法 2.4基本不等式及其应用 *2.5不等式的证明 第三章函数的基本性质 3.1函数的概念 3.2函数关系的建立 3.3函数的运算 3.4函数的基本性质 第四章幂函数、指数函数和对数函数（上）一幂函数 4.1幂函数的性质与图像 二指数函数 4.2指数函数的性质与图像 *4.3借助计算器观察函数递增的快慢 高一下 第四章幂函数、指数函数和对数函数（下）三对数 4.4对数的概念及其运算 四反函数 4.5反函数的概念 五对数函数 4.6对数函数的性质与图像 六指数方程和对数方程 4.7简单的指数方程 4.8简单的对数方程 第五章三角比 一任意角的三角比 5.1任意角及其度量 5.2任意角的三角比 二三角恒等式 5.3同角三角比的关系和诱导公式 5.4两角和与差的正弦、余弦和正切 5.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切 三解斜三角形 5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形 第六章三角函数 一三角函数的图像及性质 6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质6.2正切函数的图像与性质 6.3函数y=Asin（ωx+ψ）的图像与性质二反三角函数与最简三角方程 6.4反三角函数 6.5最简三角方程 高二上 第七章数列与数学归纳法 一数列 7.1数列 7.2等差数列 7.3等比数列 二数学归纳法 7.4数学归纳法 7.5数学归纳法的应用 7.6归纳—猜想—证明 三数列的极限 7.7数列的极限 7.8无穷等比数列各项的和 第八章平面向量的坐标表示 8.1向量的坐标表示及其运算 8.2向量的数量积 8.3平面向量的分解定理 8.4向量的应用 第九章矩阵和行列式初步 一矩阵 9.1矩阵的概念 9.2矩阵的运算 二行列式 9.3二阶行列式 9.4三阶行列式 第十章算法初步 10.1算法的概念 10.2程序框图 *10.3计算机语句和算法程序高二上册数学(沪教版)知识点归纳
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