一元二次方程的解与根的区别
一元二次方程是高中数学中的重要内容之一，它的解和根是我们在解题过程中经常遇到的概念。虽然这两个概念有些相似，但在数学上却有着明显的区别。下面我们将详细探讨一元二次方程的解与根的区别。
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知系数，x为未知数。解指的是方程的解集，即所有使方程成立的x的取值。根是指方程所对应的函数的自变量取值为x时，函数值为0的点。在解与根的概念中，解更偏重于方程的解集，而根则更偏重于函数与坐标轴的交点。
我们来看一元二次方程解的概念。解是指方程的解集，即所有满足方程的取值。对于一元二次方程而言，它可能有两个不同的解、一个重根或无实数解。解的个数与方程的判别式有关，判别式的值为b^2 - 4ac。当判别式大于0时，方程有两个不同的实数解；当判别式等于0时，方程有一个重根；当判别式小于0时，方程无实数解。
我们来看一元二次方程根的概念。根是指方程所对应的函数与坐标轴的交点。一元二次方程可以表示一个抛物线，根即为抛物线与x 轴的交点。根的个数与抛物线与x轴的交点数有关。当抛物线与x 轴有两个交点时，方程有两个不同的实数根；当抛物线与x轴有一
个交点时，方程有一个重根；当抛物线与x轴没有交点时，方程无实数根。
一元二次方程的解与根在数学上有着明显的区别。解是指方程的解集，它的个数与方程的判别式有关；根是指方程所对应的函数与坐标轴的交点，它的个数与抛物线与x轴的交点数有关。解更偏重于方程本身，根更偏重于函数与坐标轴的几何性质。
在解题过程中，我们常常需要求解一元二次方程的解或根。通过求解方程的解，我们可以得到方程的解集，从而求得方程的一些性质，如方程的零点、顶点等；通过求解方程的根，我们可以得到抛物线与x轴的交点，从而求得抛物线的开口方向、最值等。因此，对于一元二次方程的解与根的概念的理解是解题过程中的关键。
总结起来，一元二次方程的解与根是我们在高中数学中经常遇到的概念。解是指方程的解集，根是指方程所对应的函数与坐标轴的交点。解更偏重于方程的解集，根更偏重于函数与坐标轴的几何性质。在解题过程中，我们需要根据问题的要求来求解方程的解或根，从而得到问题的答案。对于解与根的概念的理解，能够帮助我们更好地理解和应用一元二次方程。
一元二次方程的根的判定 一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c 为已知常数，且a ≠ 0。解一元二次方程的关键在于判定方程是否有实根，即方程的解是否存在于实数范围内。 要判定一元二次方程的根的情况，可以通过计算方程的判别式来进行推断。方程的判别式Δ = b^2 - 4ac，其中b、a、c分别是方程ax^2 + bx + c = 0中的系数。根据判别式的值，可以得到以下结论： 1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。判别式大于零意味着方程的平方项和一次项的系数平方之和大于二次项系数与常数项的乘积的四倍，表明方程的图像与x轴有两个不同的交点，即有两个实根。 2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根。判别式等于零意味着方程的平方项和一次项的系数平方之和等于二次项系数与常数项的乘积的四倍，表明方程的图像与x轴有一个重合的交点，即有两个相等的实根。 3. 当Δ < 0时，方程没有实根。判别式小于零意味着方程的平方项和一次项的系数平方之和小于二次项系数与常数项的乘积的四倍，表明方程的图像与x轴没有交点，即没有实根。
通过判别式的计算和分析，可以确定一元二次方程的根的情况。根据判别式的正负与零的关系，可以得到方程的解的个数和性质。 举例来说，对于方程x^2 + 2x + 1 = 0，其中 a = 1，b = 2，c = 1。计算判别式Δ = 2^2 - 4*1*1 = 4 - 4 = 0。由于Δ = 0，所以方程有两个相等的实根。解方程得到x = -1为方程的解。 再举例来说，对于方程2x^2 + 3x - 4 = 0，其中a = 2，b = 3，c = -4。计算判别式Δ = 3^2 - 4*2*(-4) = 9 + 32 = 41。由于Δ = 41大于零，所以方程有两个不相等的实根。解方程可以使用求根公式或其他方法得到方程的解。 需要注意的是，判别式只能判断方程的解的情况，而不能直接求解方程的根。求解方程的根需要使用求根公式或其他解方程的方法。判别式的作用在于帮助判断方程是否有实根以及实根的性质。 在实际问题中，一元二次方程的根的判定常用于求解抛物线的顶点、解决物理问题中的运动方程以及经济学中的成本、收益等相关问题。对于这些问题，通过判别一元二次方程的根的情况，可以得到解的个数和性质，进而对问题进行分析和求解。 一元二次方程的根的判定是通过计算方程的判别式来推断方程的解的情况。根据判别式的值与零的关系，可以确定方程的解的个数和性质。判别式大于零时，方程有两个不相等的实根；判别式等于零时，方程有两个相等的实根；判别式小于零时，方程没有实根。判
一元二次方程的解与根的区别 一元二次方程是高中数学中的重要内容之一，它的解和根是我们在解题过程中经常遇到的概念。虽然这两个概念有些相似，但在数学上却有着明显的区别。下面我们将详细探讨一元二次方程的解与根的区别。 一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知系数，x为未知数。解指的是方程的解集，即所有使方程成立的x的取值。根是指方程所对应的函数的自变量取值为x时，函数值为0的点。在解与根的概念中，解更偏重于方程的解集，而根则更偏重于函数与坐标轴的交点。 我们来看一元二次方程解的概念。解是指方程的解集，即所有满足方程的取值。对于一元二次方程而言，它可能有两个不同的解、一个重根或无实数解。解的个数与方程的判别式有关，判别式的值为b^2 - 4ac。当判别式大于0时，方程有两个不同的实数解；当判别式等于0时，方程有一个重根；当判别式小于0时，方程无实数解。 我们来看一元二次方程根的概念。根是指方程所对应的函数与坐标轴的交点。一元二次方程可以表示一个抛物线，根即为抛物线与x 轴的交点。根的个数与抛物线与x轴的交点数有关。当抛物线与x 轴有两个交点时，方程有两个不同的实数根；当抛物线与x轴有一
个交点时，方程有一个重根；当抛物线与x轴没有交点时，方程无实数根。 一元二次方程的解与根在数学上有着明显的区别。解是指方程的解集，它的个数与方程的判别式有关；根是指方程所对应的函数与坐标轴的交点，它的个数与抛物线与x轴的交点数有关。解更偏重于方程本身，根更偏重于函数与坐标轴的几何性质。 在解题过程中，我们常常需要求解一元二次方程的解或根。通过求解方程的解，我们可以得到方程的解集，从而求得方程的一些性质，如方程的零点、顶点等；通过求解方程的根，我们可以得到抛物线与x轴的交点，从而求得抛物线的开口方向、最值等。因此，对于一元二次方程的解与根的概念的理解是解题过程中的关键。 总结起来，一元二次方程的解与根是我们在高中数学中经常遇到的概念。解是指方程的解集，根是指方程所对应的函数与坐标轴的交点。解更偏重于方程的解集，根更偏重于函数与坐标轴的几何性质。在解题过程中，我们需要根据问题的要求来求解方程的解或根，从而得到问题的答案。对于解与根的概念的理解，能够帮助我们更好地理解和应用一元二次方程。
典型例题一 例 求证：如果关于x 的方程922 +=+m x x 没有实数根，那么，关于y 的方程0522=+-+m my y 一定有两个不相等的实数根. 分析：由已知，可根据一元二次方程的根的判别式证之. 证明 设方程922+=+m x x 即0922 =--+m x x 的根的判别式为1?，方程0522=+-+m my y 的根的判别式为2?，则 . 36)4( 208)25(4. 440)9(42222221-+=-+=--=?+=++=?m m m m m m m ∵方程922 +=+m x x 无实数根， 01+∴m ，即036)4(2>-+m . 故方程0522 =+-+m my y 有两个不相等的实数根. 说明：上述证明中，判定02>?用到了01
一元一次方程，二元一次方程组，一元二次方程 教学目的 1. 回顾已学过的关于方程（组）与方程的解的概念 掌握方程的一些特点以及常规考点，特别是一元二次方程和二元一次方程组的解题技巧和容易犯错的地方，巩固关于一元二次方程和二元一次方程组的解的应用的问题解决方法。 重难点 1. 二元一次方程组，一元二次方程的应用 在做关于应用题的时候要会理清各个量之间的关系，并运用存在的关系建立方程 教学过程 一．一次方程与一次方程组 1.方程（组）与方程的解的概念 （1）方程：含有未知数的等式叫做方程 （2）方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。 （3）一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式的方程叫做一元一次方程;它的标准形式是ax+b=0(a ≠0)。 （4）二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是一次的整式方程叫做二元一次方程，它的基本形式是ax+by=0(a ≠0, b ≠0)。 （5）二元一次方程组：几个一次方程组成的含有两个未知数的一组方程叫做二元一次方程组。 （6）二元一次方程组的解：方程组里每个方程的公共解叫做二元一次方程组的解 2.解方程的依据 等式的性质： （1） 等式的两边都加上或者减去同一个整式，得到的结果仍是等式 （2） 等式的两边都乘或除以同一个不为零的数或整式，所得结果仍是等式 2. 方程或方程组的解法与步骤 （1） 解一元一次方程的一般步骤：①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤未 知数的系数化为一 （2） 解二元一次方程组的基本思路：通过消元使其转化为一元一次方程来解， 通常的消元法有代入法和加减法。 3. 列方程（组）解应用题的一般步骤 （1） 审题，特别注意关键的字和词的意义，弄清相关数量关系，已知什么，求 什么； （2） 设未知数（注意单位的同意）； （3） 根据相灯关系列出方程（组）； （4） 解方程（组），并检验； （5） 写出答案（包括单位名称）。 注意：列方程（组）解应用题的关键是：确定等量关系。 基础训练（一） 1. 在方程y x 4 13 ＝5中，用含x 的代数式表示y 为y ＝ ；当x ＝3时，y
一元二次方程
代数第十一章一元二次方程 一、一元二次方程 ⒈有关概念： ⑴定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。 ⑵一般形式：ax2+bx+c=0 （a≠0）（也 叫标准形式）, 其中ax2叫二次项，bx 叫 一次项，c 叫常数项，a叫二次项系数，b 叫一次项系数。 [注]：如果明确指出ax2+bx+c=0是一元二次方程，则一定有a≠0；如果仅指出方程 ax2+bx+c=0，则有a≠0和a＝0两种情况。 ⒉一元二次方程的解法： ⑴直接开平方法：方程的一边可以化为完全平方式，另一边是非负数时适用。 ⑵配方法：二次项系数是1，一次项系数是2的倍数时适用。 ⑶因式分解法：方程的一边易于分解因式，另一边是0时适用。 ⑷公式法：（万能方法，但未必简便） 一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的求根公式
那么ｘ１＋ｘ２＝－a b ， ｘ１ｘ２＝a c 。 [注]：⑴ 定理的两个条件：a ≠0，△≥0； ⑵ 特别地，若x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，则x 1+x 2=－p ，x 1x 2=q ； ⑶ 定理的逆命题成立，可当定理用。 应用： ⑴ 不解方程，求与两根有关的代数式的值： 把所求代数式尽可能化成两根的和与积 的形式。 常用关系式： ① x 12+x 22=（x 1+x 2）2－2x 1x 2 ； ② x 13+x 23=（x 1+x 2）[（x 1+x 2）2－3x 1x 2 ] ③ （x 1－x 2）2=（x 1+x 2）2－4x 1x 2 ⇒ |x 1 －x 2|= 2 12214)(x x x x -+ ④ 2 12 12 1 1 1x x x x x x += + ⑤ （x 1+1）（x 2+1）= x 1x 2+（x 1+x 2）+1 ⑵ 不解方程，根据根的情况求方程中有关字母的值
中考数学复习讲义一元二次方程及应用 第一部分：知识点精准记忆 1.一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程． 它的一般形式为(a ≠0)． 2.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：把方程变成的形式，当m ＞0时，方程的解为；当m ＝0时，方程的解；当m ＜0时，方程没有实数解． （2）配方法：通过配方把一元二次方程变形为的形式，再利用直接开平方法求得方程的解． （3）公式法：对于一元二次方程，当时，它的解为． （4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解． 3．一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式为． △>0方程有两个不相等的实数根； △＝0方程有两个相等的实数根； △<0方程没有实数根． (1)上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边． (2)△≥0方程有实数根. 4．一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程(a ≠0)的两个根是，那么 5.一元二次方程的应用 解应用题的步骤 (1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； 2 0ax bx c ++=2x m =x m =±1,20x =20ax bx c ++=2 22424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 20ax bx c ++=240b ac -≥242b b ac x a -±-=ac 4b 2-=∆⇔⇔⇔⇔0c bx ax 2=++21x x 、a c x x a b x x 2121=⋅-=+，
(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； (3)找出相等关系，并用它列出方程； (4)解方程求出题中未知数的值； (5)检验所求的答数是否符合题意，并做答． 方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想． 注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意． 第二部分：考点举例 考点一: 一元二次方程的根 【例1-1】（2022•东坡区）已知m 是一元二次方程x 2﹣2x ﹣2＝0的一个根，则代数式2m 2﹣4m +2017的值为（ ） A ．2020 B ．2021 C ．2022 D ．2023 【例1-2】(2020•枣庄)已知关于x 的一元二次方程(a-1)x 2-2x+a 2-1＝0有一个根为x ＝0,则 a ＝ . 考点二: 一元二次方程的解法 【例2-1】（2022•兴宁区）解方程：x 2﹣4x +2＝0． 【例2-2】（2022•安徽三模）解方程：x 2﹣8x +7＝0 【例2-3】 (2021·海南)用配方法解方程x 2－6x ＋5＝0,配方后所得的方程是( ) A. (x ＋3)2＝－4 B.(x －3)2＝－4 C.(x ＋3)2＝4 D.(x －3)2＝4 考点三: 根的判别式 【例3-1】(2020贵州黔西南)已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2x ＋1＝0有实数根,则m 的取值范围是( ) A.m ＜2 B.m ≤2 C.m ＜2且m ≠1 D.m ≤2且m ≠1 【例3-2】(2021·泰安中考)已知关于x 的一元二次方程kx 2－(2k －1)x ＋k －2＝0有两个 不相等的实数根,则实数k 的取值范围是( ) A.k ＞－14 B.k ＜14 C.k ＞－14 且k ≠0 D.k ＜14 且k ≠0 【例3-3】(2020•北京)已知关于x 的方程x 2+2x+k ＝0有两个相等的实数根,则k 的值是 . 【例3-4】(2020秋•舞钢市期末)已知关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+2mx+m-3＝0,求:当方程有两个不相等的实数根时m 的取值范围. 考点四: 根与系数的关系
2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 课标要求 素养要求 1.理解判别式的作用，掌握一元二次方 程的解法：因式分解法(包括“十字相乘法”)，配方法和求根公式法(重点). 2.掌握一元二次方程根与系数的关系(韦达定理). 通过求一元二次方程的解集及根与系数关系的应用，提升逻辑推理和数学运算 素养. 教材知识探究 利用恒等式的变形，推导一元二次方程根与系数的关系如下 设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)两根为x 1，x 2， 令ax 2＋bx ＋c ＝a (x －x 1)(x －x 2)＝ax 2－a (x 1＋x 2)x ＋ax 1x 2， ∴???b ＝－a （x 1＋x 2），c ＝ax 1x 2 ，即???? ?x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a . 1.一元二次方程的解集 (1)一般地，方程x 2＝t ： ①当t >0时，解集为{t ，－t }； ②当t ＝0时，解集为{0}； ③当t <0时，解集为?． (2)一般地，方程(x －k )2＝t ： ①当t >0时，解集为{k ＋t ，k －t }； ②当t ＝0时，解集为{k }； ③当t <0时，解集为?． (3)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的判别式及求根公式 判别式只能判定实系数(系数全都是实数)一元二次方程的解集的情况 一般地，Δ＝b 2－4ac 称为一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的判别式．对一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，Δ>0?有两个不相等的实根；Δ＝0?有两个相等的实根；Δ<0?无实数根． 当Δ≥0时，x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 的求根公式． (4)一元二次方程的解集 实系数一元二次方程有实数根的充要条件是Δ≥0 设ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) ①当 Δ＝b 2－4ac ＞0 时，方程的解集为?? 2a ， 2a ； ②当Δ＝b 2－4ac ＝0时，方程的解集为? ??? ?? －b 2a ； ③当Δ＝b 2－4ac ＜0，方程的解集为?. 是指在实数范围内方程无解． 2.一元二次方程根与系数的关系 对任何Δ≥0的一元二次方程，根与系数的关系都成立 设x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根，则有 ???x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2 ＝c a Ｗ. 常用的几个变形： ①x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ； ②(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2； ③x 31＋x 32＝(x 1＋x 2)3－3x 1x 2(x 1＋x 2 )； ④|x 1－x 2|＝（x 1－x 2）2＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2； ⑤1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2 . 教材拓展补遗 [微判断] 1.ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为常数)叫做一元二次方程.(×) 提示 当a ＝0时，不是一元二次方程. 2.一元二次方程均可化为(x －k )2＝t 的形式.(√) 3.一元二次方程解的情况由一元二次方程的系数完全确定.(√) [微训练] 1.下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是( ) A.3(x ＋1)2＝2(x ＋1) B.1x 2＋1 x －2＝0
一元二次方程求根公式和常见解法 一元二次方程求根公式和常见解法是什么 只含有一个未知数(一元)，并且这个未知数项的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。下面小编给大家整理了关于一元二次方程求根公式和常见解法的内容，欢迎阅读，内容仅供参考! 一元二次方程求根公式和常见解法 一、一元二次方程的概述 1、定义：等号两边都是等式，只含有一个未知数，未知数的最高次数是2且最高次项的系数不为0，这样的整式方程叫做一元二次方程. 2、求根公式：x=?b±b2?4ac√2a(b2?4ac≥0)x=?b±b2?4ac2a(b2?4ac≥0)。 3、一元二次方程的一般形式： 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)ax2+bx+c=0(a≠0).其中ax2ax2是二次项，aa 是二次项系数;bxbx 是一次项，bb 是一次项系数;cc 是常数项. 4、一元二次方程的根： 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 5、一元二次方程的常见解法： (1)直接开平方法
(2)配方法 (3)公式法 (4)因式分解法 (5)利用根与系数的关系 二、一元二次方程的例题 例：如果方程(m?2–√)xm2+3mx?1=0(m?2)xm2+3mx?1=0 是关于__ 的一元二次方程，那么 mm 的值是____. 答案：?2–√?2 解析：由一元二次方程的定义知 m2=2m2=2，即m=±2–√m=±2，又∵m?2–√≠0，∴m≠2–√，∴m=?2–√∵m?2≠0，∴m≠2，∴m=?2. 一元二次方程判别式 利用一元二次方程根的判别式(△=b?-4ac)可以判断方程的根的情况。 一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：△=b?-4ac ①当△0时，方程有两个不相等的实数根; ②当△=0时，方程有两个相等的实数根; ③当△0时，方程无实数根，但有2个共轭复根。 上述结论反过来也成立。 一元二次方程解法 1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=±根号下n+m . 2.配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 3.公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2- 4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) , (b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。 4.因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因 式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元 一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分 解法。
一元二次方程根的判别式 一、知识要点： 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。 Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。 Δ=0时，方程有两个相等的实数根。 Δ<0时，方程没有实数根。 以上定理也可以逆向应用。在应用判别式之前，要把方程化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。 注意：（1）根的判别式是指Δ=b2-4ac，不是Δ= ，（2）使用判别式之前一定要先把方程变为一元二次方程的一般形式。 2.根的判别式有以下应用： ①不解一元二次方程，判断根的情况。 ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。 ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。 注意： ①如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时 b2-4ac≥0，切勿丢掉等号。 ②根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0. 二、例题精讲：
例1．不解方程，判断下列方程的根的情况： (1)2x2+3x-4=0 (2)3x2+2=2x (3) x2+1=x (4)ax2+bx=0(a≠0) (5)ax2+c=0(a≠0) 分析；一元二次方程的根的情况是由Δ=b2-4ac的符号决定的，所以，在判断一元二次方程根的情况时，应想尽办法判断出“Δ”的符号，然后根据判别式定理判定根的情况。尤其是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“Δ”化成完全平方式或完全平方式加上（或减去）一个常数，再根据完全平方式的非负性判断“Δ”的符号，从而决定方程的根的情况，有时还需要对字母进行讨论。 解：(1) 2x2+3x-4=0 a=2, b=3, c=-4, ∵Δ=b2-4ac =32-4×2×(-4)=41>0 ∴方程有两个不相等的实数根。 （2）将方程化为一般形 3x2-2x+2=0 a=3, b=-2,c=2 ∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4×3×2=0, ∴方程有两个相等的实数根。
高一数学必修一-教案-2.3-二次函数与一元二次方程、不等式(总15 页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-- --内页可以根据需求调整合适字体及大小--
2．3 二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时二次函数与一元二次方程、不等式 学习目标 1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 知识点一一元二次不等式的概念 定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 知识点二一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 知识点三二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx ＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实 数根x1，x2(x1 ax 2＋bx ＋c >0(a >0) 的解集 {x |x 一元二次方程的根的判别式学习指导 一、基本知识点： 1. 根的判别式： 对于任何一个一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)可以用配方法将其 变形为: (x+b 2a )2=b 2–4ac 4a 2 因为a≠0，所以4a 2＞0，这样一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的情况可由b 2－4ac 来判定。 我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的判别式，用希腊字母⊿来表示，即⊿=b 2－4ac 。 一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a≠0)， 当⊿=b 2－4ac ＞0时，有两个不相等的实数根； 当⊿=b 2－4ac=0时，有两个相等的实数根； 当⊿=b 2－4ac ＜0时，没有实数根。 上述性质反过来也成立。 2. 判别式的应用 (1) 不解方程，判断方程的根的情况； (2)根据方程的根情况确定方程的待定系数的取值范围； (3) 证明方程的根的性质； (4) 运用于解综合题。 二、重点与难点 一元二次方程的根的判别式的性质是初中数学中的一个重要内 容，在高中数学中也有重要应用。正确理解判别式的性质，熟练灵活地运用它，是本节的重点，同时也是难点。 三、例题解析 例1 不解方程，判断下列方程根的情况 (1) 2x2－5x+10=0 (2) 16x2－83x+3=0 (3) (3－2)x2－5x+10=0 (4) x2－2kx+4(k－1)=0 (k为常数) (5) 2x2－(4m－1)x+(m－1)=0 (m为常数) (6) 4x2+2nx+(n2－2n+5)=0 (n为常数) 解：(1) ⊿=(－5)2－4×2×10=－55＜0 ∴方程没有实数根 (2)⊿=(－83)2－4×16×3=0 ∴方程有两个相等的实数根 (3) ⊿=（－5)2－4(3－2)×10=5－430+85＞0 ∴方程有两个不相等实根 (4) ⊿=(－2k)2－4×1×4(k－1)=4k2－16k+16 =4(k2－4k+4)=4(k－2)2≥0 ∴方程有实数根 (5) ⊿=〔－(4m－1)〕2－4×2×(m－1) =16m2－8m+1－8m+8 =16m2－16m+9=4(2m－1)2+5＞0 ∴方程有两个不相等实根 四、一元二次方程式 就一般而言，凡是使得方程式等号成立的数称之为方程式的解；而使得多项式的值为零的数称之为多项式的根。因此，一元二次方程式的解就是所对应的二次多项式的根。所以，我们也称此类方程式的解为根。 我们将首先介绍常见的一元二次方程式的三种解法：因式分解法、配方法和公式解。然后，利用判别式来探讨两根的特性，最后再讨论根与系数之间的关系。 4-1 一元二次方程式的解法 【因式分解法】 因为一元二次方程式20ax bx c ++=（a 、b 和c 为实数且a ≠0）的左式为二次多项式，如果我们能将这个多项式因式分解成两个一次多项式的乘积，就很容易求得方程式的解。我们以下面的例子来说明这种解法。 【范例1】求22151x x +=-的解。 【解】 利用移项可把原方程式改写为 2252x x -+= 0。 由因式分解，可得 2252x x -+= (21)(2)x x -- 因此，原方程式改写为 (21)(2)x x --= 0 所以，可得 210x -=或20x -= 即 12 x =或2x =。 【类题练习1】求231030x x ++=的解。 【配方法】 我们也可以利用平方根的概念来解方程式，例如将2420x x -+=改写 为2(2)2x -=的形式，进而解得2x = 2420x x -+=⇒242x x -=- 两边同加22 ⇒22222222x x -⋅⋅+=-+ 左式可写成完全平方式 ⇒ 2(2)2x -= ∵右式为正，两边开平方 ⇒ 2x -= ⇒ 2x =上面的例子是利用配成完全平方式的方法，先将方程式改写成 (x －h )2＝k 的形式。当0≥k 时，我们就可以利用平方根的概念来解题： 即 2()0x h k -=≥ 两边同时开方 ⇒ x -h = 移项 ⇒ x = h 注：x = h ±表示x = h x = h 我们将这个方法称为配方法，也就是配成完全平方的意思。以下的例题继续来说明这种解法。 【范例2】求下列各方程式的解： (1) 2680x x -+= (2) 22460x x +-= 【解】 (1) 2680x x -+=⇒2238x x -⋅⋅=- ⇒22223383x x -⋅⋅+=-+ ⇒ 2(3)1x -= ⇒31x -=± ⇒ x -3 = 1或x -3 =-1 ⇒ x = 2或x = 4 一元二次方程的求根公式及根的判别式 主讲：黄冈中学高级教师余国琴 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实 根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)；(2)；(3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算， 解：(1)因为a=1，，c=10 所以 公式法——一元二次方程根的判别式 一、教学内容分析 “一元二次方程的根的判别式”一节，从定理的推导到应用都比较简单。但是它在整个中学数学中占有重要的地位，既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究不等式，二次三项式，二次函数，二次曲线等奠定基础，并且用它可以解决许多其它综合性问题。通过这一节的学习，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力，并向学生渗透分类的数学思想，渗透数学的简洁美。 教学重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用 教学难点：根的判别式定理及逆定理的运用。 教学关键：对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻理解。 二、教学目标 依据教学大纲和对教材的分析，以及结合学生已有的知识基础，本节课的教学目标是： 知识和技能： 1、感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程； 2、能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证； 3、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围； 过程和方法： 1、培养学生的探索、创新精神； 2、培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力。 情感态度价值观： 1、向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美； 2、加深师生间的交流，增进师生的情感； 3、培养学生的协作精神。 三、教学策略： 本着“以学生发展为本”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生的主观能动性，本节课主要采用了引导发现、讲练结合的教学方法，按照“实践——认识——实践”的认知规律设计，以增加学生参与教学过程的机会和体验获取知识过程的时间，从而有效地调动了学生学习数学的积极性。具体如下： 22．1 一元二次方程 课题： 设计人：授课人： 设计时间：授课时间： 教学设计授课备注 22．1 一元二次方程 第二课时 教学内容 1．一元二次方程根的概念； 2．•根据题意断定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它 们解决一些详细题目． 教学目的 理解一元二次方程根的概念，会断定一个数是否是一个一元二 次方程的根及利用它们解决一些详细问题． 提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式， 列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念断定一个数是否是 根．同时应用以上的几个知识点解决一些详细问题． 重难点关键 1．重点：断定一个数是否是方程的根； 2．•难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要 考虑这些根是否确定是实际问题的根． 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学独立完成以下问题． 问题1．如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距 地面的垂直间隔为8m，那么梯子的底端距墙多少米？ 10 8 设梯子底端距墙为xm，那么， 根据题意，可得方程为___________． 整理，得_________． 列表： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … 问题2．一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，•苗 圃的长和宽各是多少？ 设苗圃的宽为xm，那么长为_______m． 根据题意，得________． 整理，得________． 列表： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 教师点评〔略〕 二、探究新知 提问：〔1〕问题1中一元二次方程的解是多少？问题2•中一元二次方程的解是多少？ 〔2〕假如抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？ 教师点评：〔1〕问题1中x=6是x2-36=0的解，问题2中，x=10是x2+2x-120=0的解． 〔3〕假如抛开实际问题，问题〔1〕中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解． 为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称：一元二次方程的解叫做一元二次方程的根． 回过头来看：x2-36=0有两个根，一个是6，另一个是－6，但-6不满足题意；同理，问题2中的x=-12的根也满足题意．因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解． 例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4． 分析：要断定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可． 解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根． 例2．你能用以前所学的知识求出以下方程的根吗？ 〔1〕x2-64=0 〔2〕3x2-6=0 〔3〕x2-3x=0 分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义． 解：〔1〕移项得x2=64 根据平方根的意义，得：x=±8 即x1=8，x2=-8 〔2〕移项、整理，得x2=2 根据平方根的意义，得x=±2 即x1=2，x2=-2 〔3〕因为x2-3x=x〔x-3〕 所以x2-3x=0，就是x〔x-3〕=0 所以x=0或x-3=0 即x1=0，x2=3 三、稳固练习 教材P33考虑题练习1、2． 四、应用拓展 例3．要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，•这块铁片应该怎样剪？ 设长为xcm，那么宽为〔x-5〕cm 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系一知识讲解(提高) 【学习目标】 1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围； 2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用 【要点梳理】 要点一、一元二次方程根的判别式 1. 一元二次方程根的判别式 ____ 2 2 2 一元二次方程ax bx c = 0(a = 0)中，b -4ac叫做一元二次方程ax bx 0(a = 0)的 根的判别式，通常用“厶”来表示，即厶二b2 _4ac (1 )当厶>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； (2)当厶=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； (3)当厶<0时，一元二次方程没有实数根• 要点诠释： 利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a,b.c 的值；③计算b2 -4ac的值；④根据b2 -4ac的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程ax2■ bx ■ c = 0 a = 0 中， (1)方程有两个不相等的实数根 -b2 -4ac > 0； (2)方程有两个相等的实数根―b2 -4ac=0； (3)方程没有实数根=b2 -4ac < 0. 要点诠释： (1)逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； (2)若一元二次方程有两个实数根则b2 -4ac > 0. 要点二、一元二次方程的根与系数的关系 1•一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程ax2• bx • c = 0(a = 0)的两个实数根是x1?x2, 一元二次方程的根的判别 式 Ting Bao was revised on January 6, 20021 一元二次方程的根的判别式学习指导 一、基本知识点： 1.根的判别式： 对于任何一个一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)可以用配方法将其变形为:(x+)2= 因为a≠0，所以4a2＞0，这样一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由b2－4ac来判定。 我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，用希腊字母⊿来表示，即⊿=b2－4ac。 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)， 当⊿=b2－4ac＞0时，有两个不相等的实数根； 当⊿=b2－4ac=0时，有两个相等的实数根； 当⊿=b2－4ac＜0时，没有实数根。 上述性质反过来也成立。 2.判别式的应用 (1)不解方程，判断方程的根的情况； (2)根据方程的根情况确定方程的待定系数的取值范围； (3)证明方程的根的性质； (4)运用于解综合题。 二、重点与难点 一元二次方程的根的判别式的性质是初中数学中的一个重要内容，在高中数学中也有重要应用。正确理解判别式的性质，熟练灵活地运用它，是本节的重点，同时也是难点。 三、例题解析 例1不解方程，判断下列方程根的情况 (1)2x2－5x+10=0 (2)16x2－8x+3=0 (3)(－)x2－x+=0 (4)x2－2kx+4(k－1)=0(k为常数) (5)2x2－(4m－1)x+(m－1)=0(m为常数) (6)4x2+2nx+(n2－2n+5)=0(n为常数) 解：(1)⊿=(－5)2－4×2×10=－55＜0∴方程没有实数根 (2)⊿=(－8)2－4×16×3=0∴方程有两个相等的实数根 (3)⊿=（－)2－4(－)×=5－4+8＞0∴方程有两个不相等实根 (4)⊿=(－2k)2－4×1×4(k－1)=4k2－16k+16 =4(k2－4k+4)=4(k－2)2≥0∴方程有实数根 (5)⊿=〔－(4m－1)〕2－4×2×(m－1) =16m2－8m+1－8m+8一元二次方程的根的判别式
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初三九年级数学学冀教版 第24章 一元一次方程 24.2.3 公式法——一元二次方程根的判别式【教案】
九年级数学上册 22.1《一元二次方程》(第2课时)教案 新人教版
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