[文件] sxc3dja0009.doc
[科目] 数学
[年级] 初三
[章节]
[关键词] 方程/判别式
[标题] 一元二次方程根的判别式的意义及应用
[内容]
一元二次方程根的判别式的意义及应用
教学目标
(一)使学生理解一元二次方程的根的判别式，知道所判别的对象是什么；
(二)使学生会运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况.
教学重点和难点
重点：一元二次方程的根的判别式的运用.
难点：对一元二次方程的根的判别式的结论的理解.
教学过程设计
(一)复习
1.请同学们回想一下，我们用求根公式法解一元二次方程时，在把系数代入求根公式前 ，必须写出哪两步?为什么要先写这两步?
例 用求根公式法解方程(教师把这个过程写在黑板上)
2x 2+10x-7=0.
解：因为a=2,b=10,c=-7, ①
b 2-4ac=102-4×2×(-7)=156＞0, ② 23952215610±-=⨯±-=x ，所以2
3925,2392521--=+-=x x 2.为什么在把系数代入求根公式前，要先写①式、②式这两步?
答：因为方程的根是由各项系数确定的，所以必须先确认一下，a,b,c 的取值，这是 要先写①式的原因；
因为一元二次方程不一定有(实数)解，所以有必要先了解一下代数式b 2-4ac 的值，
如果b 2-4ac 的值是负的，则方程无(实数)解，也就没有必要继续往下计算了，这是要先写② 式的原因.
(二)新课
1.从上面的解释可见，在一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，代数式b 2-4ac 起着重
要的作用，我们把它叫做根的判别式，通常用记号表示，即
Δ=b 2
-4ac(注意不是Δ=ac b 42- 2.教师紧接着提问学生：根的判别式是判别根的什么?
3.把课本P27的黑体字(实际上就是定理)用三个定理来表示(我们通常把记号A ⇒B 表 示为A 是命题的条件，B 是命题的结论)于是有：
定理1 ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，Δ0⇒方程有两个不等实数根.
定理2 ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，Δ=0⇒方程有两个相等实数根.
定理3 ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，Δ＜0⇒方程没有实数根.
注意：根据课本P27第8行的“反过来也成立”，我们还得到三个定理，那就是
定理4 ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，方程有两个不等实数根⇒Δ＞0.
定理5 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个相等实数根⇒Δ＝0.
定理6 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程没有实数根⇒Δ＜0.
显然，定理1与定理4，互为逆定理，定理2与定理5，互为逆定理.定理3与定理6，互逆定理.
定理1，2，3的作用是用已知方程的系数，来判断根的情况.(课本P27的例(1)，(2)，(3)，用这组定理来解)
定理4，5，6的作用是已知方程根的情况，来确系数之间的关系，进而求出系数中某些字母的值.(课本P29，习题12.3，B组的1，用这组定理来解)
运用根的判别式解题举例
例1 不解方程，判别下列方程根的情况.
(1) 2x2+3x-4=0; (2) 16y2+9=24y; (3)5(x2+1)-7x=0.
解：(1)因为Δ=32-4×2(-4)=9+32＞0；所以原方程有两个不相等的实数根.
(注意：①老师的板书及要求学生作业的写法都按照课本的格式.②只要知道Δ＞0, Δ=0 , Δ＜0就可以了，所以课本没有算出9+32=41＝
(2) 原方程变形为16y2-24y+9=0,因为Δ=(-24) 2-4×16×9=576-576=0，所以原方程有
两个相等实数根.
(3) 原方程变形为5x2-7x+5=0,因为Δ=(-7)2-4×5×5=49-100＜0,所以原方程没有实数根.
例2 已知方程2x2+(k-9)x+(k2+3k+4)=0有两个相等的实数根，求k值，并求出方程的.
解：因为方程有两个相等实数根，所以Δ=0,即(k-9) 2-8(k2+3k+4)=0,k2-18k+81-8k2-2 4k-32k=0，化简，得k2+6k-7=0,(k+7)(k-7)=0，所以k1=-7,k=1.
当k=-7时，原方程为2x2-16x+32=0,得x1=x2=4;
当k=1时，原方程为2x2-8x+8=0,得x3=x4=2.
(问：本题的算理是什么?答：是定理5)
例3 若关于x的方程x2+2(a+1)x+(a2+4a-5)=0有实数根，试求正整数a的值.
分析：要注意两个条件：①有实数根，②a是正整数.
解：由方程有实根Δ≥0，得[2(a+1)] 2-4×1×(a2+4a-5)≥0,不等式两边同除以正数4，不等号的方向不变，得a2+2a+1-a2-4a+5≥0,,-2a+6≥0,所以a≤3.
因为a是正整数，所以a=1,2,3.
(注意：本题的算理是根据定理4，5，而不是定理1，2)
(三)课堂练习
1.关于x一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等实数根，则k的取值范围是_______.
2.当1 4a2＜b,关于x的方程x2-ax+b=0的实情况是_______
(答案或提示：1.k＞-1且k≠0; 2.无实数根)
(四)小结
1.根的判别式是用来判断一元二次方程的根的情况：方程有没有实数根；如果有实根，是两个相等实根，还是不相等实根.
2.运用根的判别式解题时，必须先把方程化为一元二次方程的一般形式，并认准a,b,c 的值.
3.要注意课本P27第8行的“反过来也成立”.在解题时，应明确何时用定理1，2，3，何时，用定理4，5，6.
(五)作业
1.读课文P26～P27.
2.下列方程中，有两个相等实数根的方程是( ).
3.若方程(k2-1)x 2-6(3k-1)+72=0有两个不同的正整数根，则整数k 的值是( ).
4.若a,b,c 互不相等，则方程(a 2+b 2+c 2)x 2+2(a+b+c)x+3=0( ).
(A) 有两个相等的实数根 (B) 有两个不相等的实数根
(C) 没有实数根 (D) 根的情况不确定
5.不解方程，判别下列方程的根的情况：
6.已知关于x 的方程x 2+(2m+1)x+(m-2)2=0.m 取什么值时，
(1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3) 方程没有实数根?
7.k 取什么值时，方程4x 2-(k+2)x+k-1=0有两个相等的实数根?并求出这时方程的根.
8.求证：关于x 的方程x 2+(2k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根. 作业的答案或提示
2.(B).
3.(C). 因为Δ=36(3k-1) 2-288(k 2-1)=36(k-3),当k ≠3时，要使.同
时为正整数，只有k=2.
4.(C) 因为Δ=4(a+b+c)2-12(a 2+b 2+c 2)=4(-2a 2-2b 2-2c 2+2ab+2ac+2bc)=-2[(a-b) 2+(b
-c) 2+(c-a) 2]＜0.
5.(1) Δ=42-4×2×35＜0,原方以有实数根；
(2) 4m 2-4m+1=0, Δ=(-4m) 2-16m 2=0,原方程有两个相等的实数根；
(3) 0.4x 2-3x-10-=0, Δ=9-4×0.4×(-10)＞0,原方程有两个不相等的实数根；
(4) 4y 2-2.4y+0.36=0, Δ=(-2.4) 2-4×4×0.36=0,原方程有两个相等的实数根；
(5) x 2-2 3x-222=0, Δ=(-23)2-4×(-22)＞0,原方程有两个不相等的实
数根；
(6) 5 5t 2-10t+5=0, Δ=100-4×55×5=0,原方程有两个相等的实数根； 6.=(2m+1)2-4(m-2)2
=5(4m-3) (1) 当4m-3＞0,即m ＞
4
3时，原方程有两个不相等的实数根； (2) 当m=43时，原方程有两个相等的实数根；(3)当m ＜43时，原方程没有实数根. 7.令Δ=(k+2)2-4×4(k-1)=0,k 2
-12k+20=0,k 1=2,k 2=10. 当k=2时，原方程4x 2
-4x+1=0,x 1=x 2=2
1; 当k=10时，原方程4x 2-12x+9=0,x 1=x 2=23. 8.因为Δ=(2k+1)2-4(k-1)=4k 2+4k+1-4k+4=4k 2
+5＞0,所以原方程有两个不相等的实数根.
课堂教学设计说明
1.为了很自然地引入新课的课题，在本节课开始请学生回忆上节课用求根公式法解一
元二次方程的书写步骤，特别要问学生为什么在代入求根公式之前要先计算一下b 2-4ac 的值
.由此引入b 2-4ac 的名称的作用.
2.在新课中，提出一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中的b 2-4ac 叫做根的判别式后，提醒
学生要注意两点：(1)根的判别不是ac b 42 b2-4ac;(2)判别根的什么性质.
3.教学设计中，把根的判别式性质用三个原命题与三个相应的逆命题形式出现，把条件
与结论分得明确，使学生易于接受及记忆.
4.上述命题与逆命题的功能分为两类，一类是已知方程的系数，要判别方程根的情况， 为此教学设计中，安排了例1；另一类是已知方程根的情况，要求方程的系数中所含字母的
值或求字母间的关系式，为些教学设计中，安排了例2，例 3.为了强化这两类问题的功能.在
题目安排中，并提问了解题所依据的算理是什么.
一元二次方程的根的判定 一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c 为已知常数，且a ≠ 0。解一元二次方程的关键在于判定方程是否有实根，即方程的解是否存在于实数范围内。 要判定一元二次方程的根的情况，可以通过计算方程的判别式来进行推断。方程的判别式Δ = b^2 - 4ac，其中b、a、c分别是方程ax^2 + bx + c = 0中的系数。根据判别式的值，可以得到以下结论： 1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。判别式大于零意味着方程的平方项和一次项的系数平方之和大于二次项系数与常数项的乘积的四倍，表明方程的图像与x轴有两个不同的交点，即有两个实根。 2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根。判别式等于零意味着方程的平方项和一次项的系数平方之和等于二次项系数与常数项的乘积的四倍，表明方程的图像与x轴有一个重合的交点，即有两个相等的实根。 3. 当Δ < 0时，方程没有实根。判别式小于零意味着方程的平方项和一次项的系数平方之和小于二次项系数与常数项的乘积的四倍，表明方程的图像与x轴没有交点，即没有实根。
通过判别式的计算和分析，可以确定一元二次方程的根的情况。根据判别式的正负与零的关系，可以得到方程的解的个数和性质。 举例来说，对于方程x^2 + 2x + 1 = 0，其中 a = 1，b = 2，c = 1。计算判别式Δ = 2^2 - 4*1*1 = 4 - 4 = 0。由于Δ = 0，所以方程有两个相等的实根。解方程得到x = -1为方程的解。 再举例来说，对于方程2x^2 + 3x - 4 = 0，其中a = 2，b = 3，c = -4。计算判别式Δ = 3^2 - 4*2*(-4) = 9 + 32 = 41。由于Δ = 41大于零，所以方程有两个不相等的实根。解方程可以使用求根公式或其他方法得到方程的解。 需要注意的是，判别式只能判断方程的解的情况，而不能直接求解方程的根。求解方程的根需要使用求根公式或其他解方程的方法。判别式的作用在于帮助判断方程是否有实根以及实根的性质。 在实际问题中，一元二次方程的根的判定常用于求解抛物线的顶点、解决物理问题中的运动方程以及经济学中的成本、收益等相关问题。对于这些问题，通过判别一元二次方程的根的情况，可以得到解的个数和性质，进而对问题进行分析和求解。 一元二次方程的根的判定是通过计算方程的判别式来推断方程的解的情况。根据判别式的值与零的关系，可以确定方程的解的个数和性质。判别式大于零时，方程有两个不相等的实根；判别式等于零时，方程有两个相等的实根；判别式小于零时，方程没有实根。判
b 2 2 Δ 一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用 【学习目标】 1．掌握一元二次方程根的判别式的应用． 2．掌握一元二次方程的根与系数的关系． 【主体知识归纳】 1．一元二次方程的根的判别式：－4ac 叫做一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0） 的根的判别式．通常用符号“”来表示． 2．对于一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），当Δ ＞0 时，方程有两个不 相等的实数根；当Δ ＝0 时，方程有两个相等的实数根；当Δ ＜0 时，方程没有 实数根．反过来也成立． 3.如果关于 x 的一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根是 x ，x ， 1 2 那么 x +x =- 1 2 b a ，x x = 1 2 c a 4. 如果关于 x 的一元二次方程 x 2＋px ＋q ＝0（a ≠0）的两个根是 x ，x ， 1 2 那么 x +x =-p ，x x =q 1 2 1 2 【基础知识讲解】 1．根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系 2.根的判别式是指Δ ＝b 2－4ac ，而不是指Δ ＝ b 2 4ac ． 3．根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的， 因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数 的符号． 4．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有 两个相等的实数根两种情况，此时 b 2－4ac ≥0，不要丢掉等号． 5. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是： （1）二次项系数 a≠0，即保证是一元二次方程； （2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即： b 2－4a c ≥0 6．判别式有以下应用：
一元二次方程的根的性质 一元二次方程是数学中常见且重要的方程形式，其一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b和c为给定的实数，且a ≠ 0。解一元二次方程的 过程中，我们可以发现一些根的性质，对于解方程以及理解方程的含 义有着重要的帮助。本文将从根的判别式、根的个数以及根与系数的 关系等几个方面来论述一元二次方程的根的性质。 一、根的判别式 在解一元二次方程时，我们可以通过判别式Δ = b² - 4ac来判断方程 的根的情况。根据判别式的值，我们可以将根的情况分为三种： 1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。这意味着方程表示的 曲线与x轴在两个不同的点处相交，且有两个实数解。 2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。这意味着方程表示的曲 线与x轴在同一个点相切，且有两个相等的实数解。 3. 当Δ < 0时，方程没有实数根，而是有两个共轭复数根。这意味 着方程表示的曲线与x轴没有交点，且方程没有实数解。 通过根的判别式，我们可以更好地理解一元二次方程的解的特点与 性质，对解题有着重要的指导意义。 二、根的个数与系数的关系 在一元二次方程中，根的个数与方程的系数之间存在着一定的关系。根据这个关系，我们可以推导出一元二次方程根的性质。
1. 当a ≠ 0时，如果方程有两个不相等的实数根x₁和x₂，则有以下关系成立： - x₁ + x₂ = -b/a - x₁ * x₂ = c/a 这意味着方程的根与系数之间具有一定的线性关系，可以通过根的和与积来确定方程的系数的值。 2. 当方程有两个相等的实数根x₁=x₂时，即Δ = 0时，有以下关系成立： - x₁ + x₂ = -b/a - x₁ * x₂ = c/a 这说明方程的两个根相等，也可以通过根的和与积来确定方程的系数的值。 综上所述，一元二次方程的根的性质包括根的判别式、根的个数与系数的关系等。通过了解这些性质，我们可以更好地理解并解决一元二次方程相关的问题。同时，对于理解数学中的其他概念与应用也有着积极的促进作用。 (字数：523)
新方法一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理讲义 中考要求 知识点睛 一、根的判别式 1.一元二次方程根的判别式的定义： 运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a -+=，显然只有当2 40b ac -≥时，才能直接开 平方得：2b x a += 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件 240b ac ?=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式． 2.判别式与根的关系： 在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ?=-确定． 判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ?=-则 ①0?>? 方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =． ②0?=?方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a ==-． ③0?;有两个相等的实数根时，0?=;没有实数根时，0?<． (2)在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ?=-判定方程的根的情况 (有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根)．当240b ac ?=-=时，方程有两个相等的实数根(二重根)，不能说方程只有一个根． ① 当0a >时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ② 当0a <时?抛物线开口向下?顶点为其最高点． 3.一元二次方程的根的判别式的应用：
一元二次方程根的判别式知识点及应用 1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式定理：在一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠0)中，Δ=b24ac 若△＞0则方程有两个不相等的实数根 若△=0则方程有两个相等的实数根 若△＜0则方程没有实数根 2、这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理： 在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b24ac 若方程有两个不相等的实数根，则△＞0 若方程有两个相等的实数根，则△=0 若方程没有实数根，则△＜0 特别提示：（1）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。 一、不解方程，判断一元二次方程根的情况。 例1、判断下列方程根的情况 2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0 二、已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。 例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0 有两个实数根？ 三、证明方程根的性质。 例3、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。 四、判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。 例4、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围 内因式分解。 五、判定二次三项式为完全平方式。 例5、若x2-2（k+1）x+k2+5是完全平方式，求k的值。 例6、当m为何值时，代数式（5m-1）x2-（5m+2）x+3m—2是完全平方式。 六、利用判别式构造一元二次方程。 例7、已知：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x≠y） 求证：2y=x+z 七、限制一元二次方程的根与系数关系的应用。
一元二次方程根的判别式的六种常见应用 应用1：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况 已知方程x 2－2x －m ＝0没有实数根，其中m 是实数，试判断方程x 2＋2mx ＋m (m ＋1)＝0有无实数根． 解：∵x 2－2x －m ＝0没有实数根， ∴Δ1＝(－2)2－4·(－m )＝4＋4m <0，即m <－1. 对于方程x 2＋2mx ＋m (m ＋1)＝0， Δ2＝(2m )2－4·m (m ＋1)＝－4m >4， ∴方程x 2＋2mx ＋m (m ＋1)＝0有两个不相等的 实数根． 同类变式 2．已知关于x 的方程x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. (1)不解方程，判别方程根的情况； (2)若方程有一个根为3，求m 的值． 应用2：利用根的判别式求字母的值或取值范围 3．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0， (1)证明：不论m 为何值，方程总有实数根； (2)m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 证明： (1)Δ＝[－(m ＋2)]2－8m ＝m 2－4m ＋4 ＝(m －2)2. ∵(m －2)2≥0，即Δ≥0. ∴不论m 为何值，方程总有实数根． (2)解关于x mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0， 得 ∴x 1＝2/m ，x 2＝1. ∵方程的两个根都是正整数， ∴ 是正整数， ∴m ＝1或m ＝2. 又∵方程的两个根不相等， ∴m ≠2，∴m ＝1. 应用3：利用根的判别式求代数式的值 4．已知关于 x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，求 的值． 解：∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0，即2m －1＝±4. ∴m ＝5/2 或m ＝－3/2. 当m ＝5/2时， 当m ＝－－3/2时， 应用4：利用根的判别式解与函数综合问题 5．y x ＋1是关于x 的一次函数，则关于x 的一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的根的情况为 22.2m m x m -=?)21(21)2m x m --+251112;(21)216514 m m m -==--++231152.(21)216326m m m -==----+-
一元二次方程根的判别式的六种常见应用 所以kx2＋2x＋1＝0是一个关于x的一元二次方程。 利用根的判别式，Δ＝(2)2－4(k)(1)＝4－4k. 当Δ<0时，方程没有实数根； 当Δ=0时，方程有一个实数根； 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。 所以，答案为C．有两个不相等的实数根。 应用5：利用根的判别式解函数的最值问题 6．已知函数f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的最小值． 解：f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞2. 由于平方项非负，所以当且仅当x＝1时，(x－1)2＝0，f(x)取得最小值3. 所以，f(x)的最小值为3. 一元二次方程根的判别式有着广泛的应用。下面介绍其中的六种常见应用。 应用1：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况。例如，已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0是否有实数根。解法如下：
由于x2－2x－m＝0没有实数根，因此判别式Δ1=（－2）2－4·（－m）＝4＋4m4，因此方程有两个不相等的实数根。 应用2：利用根的判别式求字母的值或取值范围。例如， 已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0，要求不解方程，判 别方程根的情况，以及若方程有一个根为3，求m的值。解法如下：对于方程x2＋2mx＋m2－1＝0，判别式Δ=（2m）2－4·（m2－1）＝4＋4=8＞0，因此方程有两个不相等的实数根。又因为方程有一个根为3，代入方程可得2m2－7m＋5＝0， 解得m＝1或m＝5/2.但由于方程的两个根不相等，因此m≠2，因此m＝1. 应用3：利用根的判别式求代数式的值。例如，已知关于 x的方程mx2－（m＋2）x＋2＝0有两个相等的实数根，求m 的值。解法如下：对于方程mx2－（m＋2）x＋2＝0，判别式Δ＝（m＋2）2－4m·2＝（m－2）2≥0，因此不论m为何值， 方程总有实数根。又因为方程有两个相等的实数根，因此Δ＝0，解得m＝1.
一元二次方程的根的判别式 一元二次方程的根的判别式 〖教材分析〗 1、地位和作用 本节内容是在一元二次方程的解法的基础上进行教学的，是对公式法的完善与发展。利用根的判别式可以不解方程而直接判断一元二次方程的根的情况。由于前面已经学习了求根公式，所以教材开门见山，首先直接对求根公式进行讨论，给出根的判别式的意义，进而得出一元二次方程根的判别方法，然后给出了判别方法的逆定理。最后，通过例题及练习，对一元二次方程根的判别方法及其逆定理进行了巩固。一元二次方程根的判别方法及其逆定理是一元二次方程的重要性质，对于二次函数、一元二次不等式等后继知识的学习具有十分重要的意义。 2、重点和难点 本节内容的教学重点是用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等；教学难点是弄懂为什么可以用判别式判别一元二次方程根的情况；突破难点的关键在于结合平方根的性质理解求根公式。 〖学生情况分析及应对策略〗 学生在上一节推导求根公式以及用公式法解一元二次方程的过程中，对一元二次方程根的不同情况已经有了初步认识，对分类讨论的思想方法也不陌生，这为本节内容的教学提供了有利条件。教学中可以先让学生解几个根的情况不同的方程，以获得更充分的感性认识，然后结合求根公式及b2-4ac的符号情况进行讨论，从而得出结论。教师应充分调动学生的参与积极性，尽量通过他们自己的探究与思考得出结论，并注意适时引导。 〖设计理念〗 教学活动的设计以学生为主体，先通过练习获得感性认识，然后经过观察、思考、交流、讨论等活动，主动获取知识；强调通过学生
积极主动的参与，充分经历知识的形成、发展与应用的过程，在这个过程中掌握知识，形成技能，发展思维；在整个教学活动中，学生是学习的主人，教师是学生学习的组织者与引导者。 〖教学准备〗 教具准备：多媒体课件。 学生准备：复习一元二次方程的解法，预习本节内容。 〖教学目标〗 根据课标要求，结合学生的具体情况，确定本节课的教学目标为：知识与技能：了解一元二次方程根的判别式的意义，理解为什么能根据它判断方程根的情况；能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根以及两个实数根是否相等。 过程与方法：经历一元二次方程根的判别式的意义及作用的探究过程，体会分类讨论和转化的思想方法，感受数学思想的严密性与方法的灵活性。 情感态度与价值观：通过对根的判别式的意义及作用的探究，培养对科学的探索精神和严谨的治学态度。 〖教学流程〗 一、创设情境，提出问题 1、你能说出我们共学过哪几种解一元二次方程的方法吗？ 2、能力展示：分组比赛解方程 （1）x2+4=4x ；（2）x2+2x=3 ；（3）x2-x+2=0。 （待学生做完后，教师点评。（1）x1 = x2 = 2 ；（2）x 1 = 1，x2 =-3 ；（3）无实数根。) 3、发现问题 观察上面三个方程的根的情况，你有什么发现？ （学生观察得出：三个方程的根的情况是不同的，其中（1）有两个相等的实数根，（2）有两个不相等的实数根，（3）没有实数根） 4、提出问题 教师引导学生思考上述方程根的情况不同的原因，尝试提出下列问题：
一元二次方程的根与判别式一元二次方程是数学中的经典问题，它的解析式可表示为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。而求解一元二次方程的根则需要使用判别式，下面将详细介绍一元二次方程的根和判别式。 1. 一元二次方程根的定义 一元二次方程的根是指满足方程成立的未知数值。对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0而言，若存在实数x1和x2使得将x1和x2代入方程后方程成立，则称x1和x2是一元二次方程的根。 2. 一元二次方程的解法 (1) 因式分解法 当一元二次方程的系数a、b、c满足一定条件时，可以使用因式分解法来求解方程的根。 例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其进行因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0，从而得到方程的两个根为x = -2和x = -3。 (2) 完全平方法 当一元二次方程的系数a、b、c满足一定条件时，可以使用完全平方法来求解方程的根。 例如，对于方程x^2 - 4x + 4 = 0，我们可以将其改写为(x - 2)^2 = 0，从而得到方程的根为x = 2。
(3) 公式法 对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以使用求根公式来 求解方程的根。 公式如下： x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a) 其中，±表示两个根，分别称为x1和x2。 3. 一元二次方程的判别式 判别式是指用来判断一元二次方程的根的性质的一项数学公式。对 于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0而言，其判别式的计算公式为Δ = b^2 - 4ac，即Δ等于系数b的平方减去4ac。 判别式Δ的值有以下三种情况： (1) 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。此时，方程的根可以通过求根公式求解。 (2) 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。此时，方程的根可以通过求根公式求解，并且两个根是相等的。 (3) 当Δ < 0时，方程没有实数根，而是有两个共轭复数根。此时，方程的根可以通过求根公式求解，但是根是复数。 4. 利用判别式判断一元二次方程根的性质 根据一元二次方程的判别式可以进一步判断方程的根的性质。例如：
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系（一） 一、知识归纳： 1.一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式是：△=b 2-4ac ，当△>0时；△=0；△<0时方程分别有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；没有实数根。 2.判别式“△”的应用：1)由“△”的符号判定方程根的情况；2)由“△”的符号，证明方程的根可能出现的情况；3)由方程的情况通过“△”的符号，确定方程中参数字母的取值范围。 例1. 关于x 的方程（m －1）x 2 －2（m －3）x ＋m ＋2＝0有实数根．．． ，求m 的取值范围。 解：当m －1≠0时, 该方程为关于x 一元二次方程 ∵原方程有实数根 ∴0≥∆即Δ＝［－2（m －3）］2－4（m －1）（m ＋2）＝－28m ＋440≥即7 11≤ m ， 当m-1=0时，该方程变为4x+3=0,它是一元一次方程，有实数根3 4 x =- 练习：1.关于x 的方程m 2x 2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数．．．．．．．．．根．，求m 。 (注意二次项系数不为零) 2.已知a ，b ，c 为一个三角形的三边，求证方程b 2x 2+(b 2+c 2-a 2)x+c 2=0无实数根。 3.已知方程x 2+2x=k-1没有实数根，求证方程x 2+kx=1-2k 必定有两个不相等的实数根。 4.已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2+m 2x+n=0的两个实数根，y 1,y 2是关于y 的方程y 2+my+7=0两个实数根，且x 1-y 1=2, x 2-y 2=2，求m ，n 的值。
3．一般地，对于关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 用求根公式求出它的两个根x 1、x 2 ，由一元 二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的求根公式知x 1=a ac b b 242-+-,x 2=a ac b b 242--- 能得出以下结果：x 1＋x 2= 即：两根之和等于 x 1•x 2= 即：两根之积等于 12x x +=a ac b b 242-+-+a ac b b 242--- =a ac b b a c b b 24422----+- = 12.x x =a ac b b 242-+-×a ac b b 242--- =2224)4)(4(a ac b b ac b b ----+- = 2 2 24)()( a -= 由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系为 x 1+x 2=a b - ， x 1x 2=a c 如果把方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的二次项系数化为1，则方程变形为 x 2＋ x ＋ a c ＝0(a ≠0)， 则以x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是： x 2 -（ ）x ＋x 1x 2＝0(a ≠0) 3.一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根为x 1,x 2它的根与系数的关系是： 例1：已知方程5x 2＋k x -6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k 的值； 解：设方程的另一个根是x 1，那么5 6 21-=x （为什么？）∴ x 1= 又x 1+2=5 k - （为什么？）∴ k= 例2：利用根与系数的关系，求一元二次方程2x 2＋3x -1＝0的两个根的（1）平方和 （2）倒数和 解：设方程的两个根分别为x 1，x 2，那么x 1+x 2= ， x 1x 2= （1）∵ （x 1+x 2）2= x 12+2 +x 22 ∴ x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2 = （2） ==+2 12 111x x x x 例3：求一个一元二次方程，使它的两个根是2 12313， - 解：所求的方程是x 2 -（212 313+-）x ＋（ ）2 1 2⋅＝0 (为什么？) 即 x 2 + x- ＝0 或 6x 2 + x- ＝0
一元二次方程根的判别式的多种应用 一元二次方程根的判别式用来判断一元二次方程根的情况，能帮助我们解一元二次方程，也是以后学习一些知识的基础，在解题中应用很多，举例如下： 一、不解方程，判断一元二次方程根的情况。 例1、判断下列方程根的情况 2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0 二、已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。 例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0 有两个实数根？ 简解：当Δ=[-（2m-1）]2-4（m-4）m≥0时，原方程有两个实数根， ∴4m2-4m+1-4m2+16m≥0，解得m≥- 又∵m-4≠0 ∴m≠4 ∴当m≥- 且m≠4时，原方程有两个实数根。 例3、当m分别取何值时关于x的方程（m-1）x2+（2m-1）x+m-1=0 l 有两个不相等的实数根 l 有两个相等的实数根 l 有两个实数根 l 有一个实数根 l 有实数根 l 无实数根 评析：初中阶段的根的判别式Δ=b2-4ac是相对于一元二次方程而言的，而ax2+bx+c=0当a=0时是一元一次方程不能用判别式，所以例2中一定要考虑二次项系数m-4≠0；例3则一定要做分类讨论。 三、证明方程根的性质。 例4、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。简解：∵Δ=（m2+3）2-4╳0.5(m2+2)=m4+4m2+5=（m2+2）2+1>0 ∴无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。 评析：这种应用有两个难点：（1）是容易与（二）中求字母取值混淆，即用Δ≥0求m的取值范围；（2）是用配方法证明二次三项式的特性。 四、判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。 例5、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围 内因式分解。 简解：当Δ=[-2（m+2）]2-4m（m+5）≥0时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。 ∴m≥4且m≠0。 评析：对于系数是有理数的二次三项式ax2+bx+c（a≠0）的因式分解，其方法是先求ax2+bx+c=0（a≠0）的根然后再代入公式，所以，判别式决定了二次三项式能否在实数范围内因式分解，即： Δ<0时不能在实数范围内因式分解； Δ≥0时能在实数范围内因式分解；进而当Δ为完全平方数时能在有理数范围内因式分解； 再进而当Δ=0时ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）=a（x-x1）2（a≠0），所以此时可以说它是完全平方式。五、判定二次三项式为完全平方式。 例6、若x2-2（k+1）x+k2+5是完全平方式，求k的值。 例7、当m为何值时，代数式（5m-1）x2-（5m+2）+3m—2是完全平方式。 六、利用判别式构造一元二次方程。 例8、已知：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x≠y） 求证：2y=x+z
一元二次方程根的判别式的意义及应用 教学目标 （一）使学生更且元二次方程的根的判别式，知道所判别的对象是什么；（二）使学生会运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况。 教学重点和难点 重点：一元二次方程的根的判别式的运用。 难点：对一元二次方程的根的判别式的结论的理解。 教学过程设计 （一）复习 1、请同学们回想一下，我们用求根公式法想一元二次方程时，在把系数代入求根公式前，必须写出哪两步？为什么要先写这两步？ 例用求根公式法解方程（教师把这个过程写在黑板上） 2x2+10x－7=0. 解：因为a=2,b=10,c= -7, ① b2－4abc=102－4×2×（-7）=156＞0，② x= ,所以x1= . 2.为什么在把系数代入求根公式前，要先写①式、②式这两步？ 答：因为方程的根是由各项系数确定的，所以必须先确认一下a,b,c的取值，这是要先写①式的原因； 因为一元二次方程不一定有（实数）解，所以有必要先了解一下代数式b2-4ac 的值，如果b2-4ac的值是负的，则方程无（实数）解，也就没有必要继续往下计算了，这是要先写②式的原因。
（二）新课 1．从上面的解释可见，在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，代数b2-4ac起着重要的作用，我们把它叫做根的判别式，通常用记号△表示，即 △=b2-4ac (注意不是△=ac 2-) b4 2．教师紧接着提问学生：提的判别根的什么？ 3．把课本P27黑体字（实际上就是定理）用三个定理来表示（我们通常把记号A⇒B表示为A是命题的条件，B是命题的结论）于是有： 定理1 ax2+bx+c=0(a≠0)中，△＞0⇒方程有两个不等实数根 定理2 ax2+bx+c=0(a≠0)中，△=0⇒方程有两个相等实数根 定理3 ax2+bx+c=0(a≠0)中，△＜0⇒方程没有实数根 注意：根据课本P27第8行的“反过来也成立”，我信平炉处到三个定理，那就是 定理4 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个不等实数根⇒△＞0 定理5 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个相等实数根⇒△=0 定理6 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程没有实数根⇒△＜0 显然，定理1与定理4，互为逆定理，定理2与定理5，互为逆定理，定理3与定理6，互为逆定理。 定理1，2，3的作用是用已知方程的系数，来判断根的情况。 定理4，5，6的作用是已知方程根的情况，来确定系数之间的关系，进而求出系数中某些字母的值。 运用根的判别式解题举例 例1 不解方程，判别下列方程根的情况。 （1）2x2+3x-4=0; (2)16y2+9=24y; (3)5(x2+1)-7x=0
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解（基础） 责编：常春芳 【学习目标】 1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围； 2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用. 【要点梳理】 知识点一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆ （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点诠释： 利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程()002 ≠=++a c bx ax 中， （1）方程有两个不相等的实数根 ⇒ac b 42-﹥0； （2）方程有两个相等的实数根 ⇒ac b 42-=0； （3）方程没有实数根 ⇒ac b 42-﹤0. 要点诠释： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ac b 42-≥0.
知识点二、一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，a c x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①222121212()2x x x x x x +=+-； ②121212 11x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+； ④2221121212 x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-； ⑥12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++； ⑦12||x x -== ⑧22212121222222121212()211() x x x x x x x x x x x x ++-+==； ⑨12 x x -== ⑩12||||x x +== = (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数 为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则
一元二次方程的根的判别式学习指导 一、基本知识点： 1. 根的判别式： 对于任何一个一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)可以用配方法将其 变形为: (x+b 2a )2=b 2–4ac 4a 2 因为a≠0，所以4a 2＞0，这样一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的情况可由b 2－4ac 来判定。 我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的判别式，用希腊字母⊿来表示，即⊿=b 2－4ac 。 一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a≠0)， 当⊿=b 2－4ac ＞0时，有两个不相等的实数根； 当⊿=b 2－4ac=0时，有两个相等的实数根； 当⊿=b 2－4ac ＜0时，没有实数根。 上述性质反过来也成立。 2. 判别式的应用 (1) 不解方程，判断方程的根的情况； (2)根据方程的根情况确定方程的待定系数的取值范围； (3) 证明方程的根的性质； (4) 运用于解综合题。 二、重点与难点 一元二次方程的根的判别式的性质是初中数学中的一个重要内
容，在高中数学中也有重要应用。正确理解判别式的性质，熟练灵活地运用它，是本节的重点，同时也是难点。 三、例题解析 例1 不解方程，判断下列方程根的情况 (1) 2x2－5x+10=0 (2) 16x2－83x+3=0 (3) (3－2)x2－5x+10=0 (4) x2－2kx+4(k－1)=0 (k为常数) (5) 2x2－(4m－1)x+(m－1)=0 (m为常数) (6) 4x2+2nx+(n2－2n+5)=0 (n为常数) 解：(1) ⊿=(－5)2－4×2×10=－55＜0 ∴方程没有实数根 (2)⊿=(－83)2－4×16×3=0 ∴方程有两个相等的实数根 (3) ⊿=（－5)2－4(3－2)×10=5－430+85＞0 ∴方程有两个不相等实根 (4) ⊿=(－2k)2－4×1×4(k－1)=4k2－16k+16 =4(k2－4k+4)=4(k－2)2≥0 ∴方程有实数根 (5) ⊿=〔－(4m－1)〕2－4×2×(m－1) =16m2－8m+1－8m+8 =16m2－16m+9=4(2m－1)2+5＞0 ∴方程有两个不相等实根
一元二次方程根的判别式 一、知识要点： 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。 Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。 Δ=0时，方程有两个相等的实数根。 Δ<0时，方程没有实数根。 以上定理也可以逆向应用。在应用判别式之前，要把方程化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。 注意：（1）根的判别式是指Δ=b2-4ac，不是Δ= ，（2）使用判别式之前一定要先把方程变为一元二次方程的一般形式。 2.根的判别式有以下应用： ①不解一元二次方程，判断根的情况。 ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。 ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。 注意： ①如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时 b2-4ac≥0，切勿丢掉等号。 ②根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0. 二、例题精讲：
例1．不解方程，判断下列方程的根的情况： (1)2x2+3x-4=0 (2)3x2+2=2x (3) x2+1=x (4)ax2+bx=0(a≠0) (5)ax2+c=0(a≠0) 分析；一元二次方程的根的情况是由Δ=b2-4ac的符号决定的，所以，在判断一元二次方程根的情况时，应想尽办法判断出“Δ”的符号，然后根据判别式定理判定根的情况。尤其是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“Δ”化成完全平方式或完全平方式加上（或减去）一个常数，再根据完全平方式的非负性判断“Δ”的符号，从而决定方程的根的情况，有时还需要对字母进行讨论。 解：(1) 2x2+3x-4=0 a=2, b=3, c=-4, ∵Δ=b2-4ac =32-4×2×(-4)=41>0 ∴方程有两个不相等的实数根。 （2）将方程化为一般形 3x2-2x+2=0 a=3, b=-2,c=2 ∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4×3×2=0, ∴方程有两个相等的实数根。