一元二次方程的根的判定
一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c 为常数，且a≠0。解一元二次方程的关键在于判定方程是否有实根或复根。
一元二次方程的根的判定可以通过求解方程的判别式来实现。判别式Δ的计算公式为Δ = b^2 - 4ac。根据Δ的值可以判定一元二次方程的根的情况。
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。这是因为当Δ大于0时，方程的根可以表示为x1 = (-b + √Δ) / (2a)和x2 = (-b - √Δ) / (2a)，其中√Δ表示Δ的平方根。两个根的实数部分不相等，因此方程有两个不相等的实根。
当Δ = 0时，方程有两个相等的实根。当Δ等于0时，方程的根可以表示为x = -b / (2a)。由于Δ等于0，因此根的实数部分相等，方程有两个相等的实根。
当Δ < 0时，方程没有实根，而是有两个共轭复根。当Δ小于0时，方程的根可以表示为x1 = (-b + i√(-Δ)) / (2a)和x2 = (-
b - i√(-Δ)) / (2a)，其中i表示虚数单位。虚数部分不为0，因此方程没有实根，而是有两个共轭复根。
通过求解方程的判别式，我们可以清楚地判定一元二次方程的根的
情况。根据Δ的大小，我们可以知道方程的根是实数还是复数，以及根的个数和性质。
举例来说，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以计算出Δ = (-5)^2 - 4(1)(6) = 1。由于Δ大于0，因此方程有两个不相等的实根。我们可以进一步求解得到x1 = 3和x2 = 2，即方程的两个实根为3和2。
再举例来说，对于方程2x^2 + 4x + 6 = 0，我们可以计算出Δ = 4^2 - 4(2)(6) = -32。由于Δ小于0，因此方程没有实根，而是有两个共轭复根。我们可以进一步求解得到x1 = -1 + 2i√2和x2 = -1 - 2i√2，即方程的两个共轭复根为-1 + 2i√2和-1 - 2i√2。通过以上例子，我们可以看到判定方程根的过程是基于判别式Δ的计算结果。根据Δ的大小，我们可以确定方程的根的性质和个数。因此，掌握一元二次方程根的判定方法对于解方程非常重要。
一元二次方程的根的判定 一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c 为已知常数，且a ≠ 0。解一元二次方程的关键在于判定方程是否有实根，即方程的解是否存在于实数范围内。 要判定一元二次方程的根的情况，可以通过计算方程的判别式来进行推断。方程的判别式Δ = b^2 - 4ac，其中b、a、c分别是方程ax^2 + bx + c = 0中的系数。根据判别式的值，可以得到以下结论： 1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。判别式大于零意味着方程的平方项和一次项的系数平方之和大于二次项系数与常数项的乘积的四倍，表明方程的图像与x轴有两个不同的交点，即有两个实根。 2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根。判别式等于零意味着方程的平方项和一次项的系数平方之和等于二次项系数与常数项的乘积的四倍，表明方程的图像与x轴有一个重合的交点，即有两个相等的实根。 3. 当Δ < 0时，方程没有实根。判别式小于零意味着方程的平方项和一次项的系数平方之和小于二次项系数与常数项的乘积的四倍，表明方程的图像与x轴没有交点，即没有实根。
通过判别式的计算和分析，可以确定一元二次方程的根的情况。根据判别式的正负与零的关系，可以得到方程的解的个数和性质。 举例来说，对于方程x^2 + 2x + 1 = 0，其中 a = 1，b = 2，c = 1。计算判别式Δ = 2^2 - 4*1*1 = 4 - 4 = 0。由于Δ = 0，所以方程有两个相等的实根。解方程得到x = -1为方程的解。 再举例来说，对于方程2x^2 + 3x - 4 = 0，其中a = 2，b = 3，c = -4。计算判别式Δ = 3^2 - 4*2*(-4) = 9 + 32 = 41。由于Δ = 41大于零，所以方程有两个不相等的实根。解方程可以使用求根公式或其他方法得到方程的解。 需要注意的是，判别式只能判断方程的解的情况，而不能直接求解方程的根。求解方程的根需要使用求根公式或其他解方程的方法。判别式的作用在于帮助判断方程是否有实根以及实根的性质。 在实际问题中，一元二次方程的根的判定常用于求解抛物线的顶点、解决物理问题中的运动方程以及经济学中的成本、收益等相关问题。对于这些问题，通过判别一元二次方程的根的情况，可以得到解的个数和性质，进而对问题进行分析和求解。 一元二次方程的根的判定是通过计算方程的判别式来推断方程的解的情况。根据判别式的值与零的关系，可以确定方程的解的个数和性质。判别式大于零时，方程有两个不相等的实根；判别式等于零时，方程有两个相等的实根；判别式小于零时，方程没有实根。判
一元二次方程的根的性质 一元二次方程是数学中常见且重要的方程形式，其一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b和c为给定的实数，且a ≠ 0。解一元二次方程的 过程中，我们可以发现一些根的性质，对于解方程以及理解方程的含 义有着重要的帮助。本文将从根的判别式、根的个数以及根与系数的 关系等几个方面来论述一元二次方程的根的性质。 一、根的判别式 在解一元二次方程时，我们可以通过判别式Δ = b² - 4ac来判断方程 的根的情况。根据判别式的值，我们可以将根的情况分为三种： 1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。这意味着方程表示的 曲线与x轴在两个不同的点处相交，且有两个实数解。 2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。这意味着方程表示的曲 线与x轴在同一个点相切，且有两个相等的实数解。 3. 当Δ < 0时，方程没有实数根，而是有两个共轭复数根。这意味 着方程表示的曲线与x轴没有交点，且方程没有实数解。 通过根的判别式，我们可以更好地理解一元二次方程的解的特点与 性质，对解题有着重要的指导意义。 二、根的个数与系数的关系 在一元二次方程中，根的个数与方程的系数之间存在着一定的关系。根据这个关系，我们可以推导出一元二次方程根的性质。
1. 当a ≠ 0时，如果方程有两个不相等的实数根x₁和x₂，则有以下关系成立： - x₁ + x₂ = -b/a - x₁ * x₂ = c/a 这意味着方程的根与系数之间具有一定的线性关系，可以通过根的和与积来确定方程的系数的值。 2. 当方程有两个相等的实数根x₁=x₂时，即Δ = 0时，有以下关系成立： - x₁ + x₂ = -b/a - x₁ * x₂ = c/a 这说明方程的两个根相等，也可以通过根的和与积来确定方程的系数的值。 综上所述，一元二次方程的根的性质包括根的判别式、根的个数与系数的关系等。通过了解这些性质，我们可以更好地理解并解决一元二次方程相关的问题。同时，对于理解数学中的其他概念与应用也有着积极的促进作用。 (字数：523)
一元二次方程根的判别式知识点及应用 1、一元二次方程aｘ2+bx+ｃ=0(a≠0)的根的判别式定理:在一元二次方程ａx2+bｘ+ｃ =０（a≠0)中，Δ=b24ac 若△>0则方程有两个不相等的实数根 若△=０则方程有两个相等的实数根 若△<0则方程没有实数根 ２、这个定理的逆命题也成立,即有如下的逆定理: 在一元二次方程ax2+bｘ+c＝0(a≠0)中,Δ=b24ac 若方程有两个不相等的实数根，则△＞0 若方程有两个相等的实数根，则△=0 若方程没有实数根, 则△＜０ 特别提示：(1）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知△值的符号时,使用定理;当已知方程根的情况时,使用逆定理。 一、不解方程，判断一元二次方程根的情况。?例１、判断下列方程根的情况?２x２+x━1=0;x2 —2x—３＝０；x2—6x+9=0；2x2+x＋1=0 二、已知一元二次方程根的情况,求方程中字母系数所满足的条件。 例２、当ｍ为何值时关于x的方程(m—4)x２—（2ｍ—1)ｘ＋m＝0有两个实数根？ 三、证明方程根的性质。?例3、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m ２+2)=０恒有两个不相等的实数根。 四、判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。?例４、当m为何值时，关于ｘ的二次三项式mｘ２-2(m＋2）x+（m+5)能在实数范围 内因式分解。 五、判定二次三项式为完全平方式。 例5、若x2-2(k+1）x+k２+5是完全平方式，求ｋ的值。 例6、当m为何值时，代数式（5m-1)x２-(5m+2）x＋3ｍ—2是完全平方式。 六、利用判别式构造一元二次方程。 例７、已知:(z-x）2-4（x-y）(y-z）=０（x≠y）?求证:２ｙ=x＋z?七、限制一元二次方程的根与系数关系的应用。?例８、已知关于x的方程x2-(k-1)ｘ-３k-2=０的两个实数根的平方和为１７，求k的值。 八、与几何知识相联系的问题。?例９、已知方程a（x2+1）-2bx＋ｃ（ｘ2-1）=０有两个相等的实数根，a、b、c为一三角形的三条边,求此三角形的形状。?例１0、已知ａ、b、c为直
一元二次方程根的判别式 一元二次方程只有当系数a 、b 、c 满足240b ac -≥时，才有实数根，于是把24b ac -叫做方程20ax bx c ++=的根的判别式，通常用△表示，即△=b 2－4ac(a ≠0) ※1、利用根的判别式可以不解方程判断方程根的情况，反之，已知方程根的情况可以确定方程待定字母系数的取值范围。 2、计算根的判别式时，先将方程化成一般形式确定a 、b 、c 后再计算。 3、一元二次方程有实数根包括有两个相等的实数根和两个不相等的实数根，即△≥0. 知识点1：根的判别式 当△>0时方程2 0ax bx c ++=（a ≠0）有两个不相等的实数根。 当△=0时方程20ax bx c ++=（a ≠0）相等的实数根。 当△<0时方程20ax bx c ++=（a ≠0）无实数根。反之，也成立。 知识点2：利用根的判别式不解方程判断根的情况 例1：①2 11;4 x x --= ②()215;x x += ③2 1 23 x x =-- ； ④() 2 5170;x x +-= ⑤241290;x x -+= ⑥2 440x x -+= ；⑦x 2+4x=0 知识点3：利用根的判别式判断含有待定字母系数的方程的根的情况 ⑧关于x 的方程()2 2120kx k x ---=（k ≠0，且1 2 k ≠- ）r 的根情况； ⑨若5200k +<，则关于x 的一元二次方程2 40x x k +-=的根情况。 ⑦⑧⑨关于x 的一元二次方程()2220x k x k -++=的根的情况 方法小结：①当根的判别式△为一个完全平方式时，方程有实数根； ②当根的判别式△为一个完全平方式加上一个正数时，方程有两个不相等的实数根； ③当根的判别式△为一个完全平方式的相反数加一个负数时，方程没有实数根。 知识点3：已知根的情况利用根的判别式求待定字母的取值范围（或值） 1、关于x 的方程()22241210x k x k -++-=，根据下列情况，求k 的范围或k 的值。 ①方程有两个不等实数；②方程有两个相等实数；③没有实根。 2、若关于x 的一元二次方程()()2 222110m x m x -+++=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围。 3、关于x 的方程2230mx x -+=有实根。求m 的取值范围。 4、关于x 的一元二次方程()231210mx m x m --+-=，其根的判别式为1，求m 的值及方程的根。 练习：（1）关于x 的方程()222110m x m x +++=有实数根，求m 的取值范围。 （2）已知：关于x 的方程()2212120a x a x +---=有实数根，求a 的取值范围。
一元二次方程的根的判别 式 Ting Bao was revised on January 6, 20021
一元二次方程的根的判别式学习指导 一、基本知识点： 1.根的判别式： 对于任何一个一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)可以用配方法将其变形为:(x+)2= 因为a≠0，所以4a2＞0，这样一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由b2－4ac来判定。 我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，用希腊字母⊿来表示，即⊿=b2－4ac。 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)， 当⊿=b2－4ac＞0时，有两个不相等的实数根； 当⊿=b2－4ac=0时，有两个相等的实数根； 当⊿=b2－4ac＜0时，没有实数根。 上述性质反过来也成立。 2.判别式的应用 (1)不解方程，判断方程的根的情况； (2)根据方程的根情况确定方程的待定系数的取值范围； (3)证明方程的根的性质； (4)运用于解综合题。 二、重点与难点
一元二次方程的根的判别式的性质是初中数学中的一个重要内容，在高中数学中也有重要应用。正确理解判别式的性质，熟练灵活地运用它，是本节的重点，同时也是难点。 三、例题解析 例1不解方程，判断下列方程根的情况 (1)2x2－5x+10=0 (2)16x2－8x+3=0 (3)(－)x2－x+=0 (4)x2－2kx+4(k－1)=0(k为常数) (5)2x2－(4m－1)x+(m－1)=0(m为常数) (6)4x2+2nx+(n2－2n+5)=0(n为常数) 解：(1)⊿=(－5)2－4×2×10=－55＜0∴方程没有实数根 (2)⊿=(－8)2－4×16×3=0∴方程有两个相等的实数根 (3)⊿=（－)2－4(－)×=5－4+8＞0∴方程有两个不相等实根 (4)⊿=(－2k)2－4×1×4(k－1)=4k2－16k+16 =4(k2－4k+4)=4(k－2)2≥0∴方程有实数根 (5)⊿=〔－(4m－1)〕2－4×2×(m－1) =16m2－8m+1－8m+8
一元二次方程的根的判别式学习指导 一、基本知识点： 1. 根的判别式： 对于任何一个一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)可以用配方法将其 变形为: (x+b 2a )2=b 2–4ac 4a 2 因为a≠0，所以4a 2＞0，这样一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的情况可由b 2－4ac 来判定。 我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的判别式，用希腊字母⊿来表示，即⊿=b 2－4ac 。 一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a≠0)， 当⊿=b 2－4ac ＞0时，有两个不相等的实数根； 当⊿=b 2－4ac=0时，有两个相等的实数根； 当⊿=b 2－4ac ＜0时，没有实数根。 上述性质反过来也成立。 2. 判别式的应用 (1) 不解方程，判断方程的根的情况； (2)根据方程的根情况确定方程的待定系数的取值范围； (3) 证明方程的根的性质； (4) 运用于解综合题。 二、重点与难点 一元二次方程的根的判别式的性质是初中数学中的一个重要内
容，在高中数学中也有重要应用。正确理解判别式的性质，熟练灵活地运用它，是本节的重点，同时也是难点。 三、例题解析 例1 不解方程，判断下列方程根的情况 (1) 2x2－5x+10=0 (2) 16x2－83x+3=0 (3) (3－2)x2－5x+10=0 (4) x2－2kx+4(k－1)=0 (k为常数) (5) 2x2－(4m－1)x+(m－1)=0 (m为常数) (6) 4x2+2nx+(n2－2n+5)=0 (n为常数) 解：(1) ⊿=(－5)2－4×2×10=－55＜0 ∴方程没有实数根 (2)⊿=(－83)2－4×16×3=0 ∴方程有两个相等的实数根 (3) ⊿=（－5)2－4(3－2)×10=5－430+85＞0 ∴方程有两个不相等实根 (4) ⊿=(－2k)2－4×1×4(k－1)=4k2－16k+16 =4(k2－4k+4)=4(k－2)2≥0 ∴方程有实数根 (5) ⊿=〔－(4m－1)〕2－4×2×(m－1) =16m2－8m+1－8m+8 =16m2－16m+9=4(2m－1)2+5＞0 ∴方程有两个不相等实根
一元二次方程根的判别式 一、知识要点： 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。 Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。 Δ=0时，方程有两个相等的实数根。 Δ<0时，方程没有实数根。 以上定理也可以逆向应用。在应用判别式之前，要把方程化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。 注意：（1）根的判别式是指Δ=b2-4ac，不是Δ= ，（2）使用判别式之前一定要先把方程变为一元二次方程的一般形式。 2.根的判别式有以下应用： ①不解一元二次方程，判断根的情况。 ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。 ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。 注意： ①如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时 b2-4ac≥0，切勿丢掉等号。 ②根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0. 二、例题精讲：
例1．不解方程，判断下列方程的根的情况： (1)2x2+3x-4=0 (2)3x2+2=2x (3) x2+1=x (4)ax2+bx=0(a≠0) (5)ax2+c=0(a≠0) 分析；一元二次方程的根的情况是由Δ=b2-4ac的符号决定的，所以，在判断一元二次方程根的情况时，应想尽办法判断出“Δ”的符号，然后根据判别式定理判定根的情况。尤其是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“Δ”化成完全平方式或完全平方式加上（或减去）一个常数，再根据完全平方式的非负性判断“Δ”的符号，从而决定方程的根的情况，有时还需要对字母进行讨论。 解：(1) 2x2+3x-4=0 a=2, b=3, c=-4, ∵Δ=b2-4ac =32-4×2×(-4)=41>0 ∴方程有两个不相等的实数根。 （2）将方程化为一般形 3x2-2x+2=0 a=3, b=-2,c=2 ∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4×3×2=0, ∴方程有两个相等的实数根。
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系（一） 一、知识归纳： 1.一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式是：△=b 2-4ac ，当△>0时；△=0；△<0时方程分别有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；没有实数根。 2.判别式“△”的应用：1)由“△”的符号判定方程根的情况；2)由“△”的符号，证明方程的根可能出现的情况；3)由方程的情况通过“△”的符号，确定方程中参数字母的取值范围。 例1. 关于x 的方程（m －1）x 2 －2（m －3）x ＋m ＋2＝0有实数根．．． ，求m 的取值范围。 解：当m －1≠0时, 该方程为关于x 一元二次方程 ∵原方程有实数根 ∴0≥∆即Δ＝［－2（m －3）］2－4（m －1）（m ＋2）＝－28m ＋440≥即7 11≤ m ， 当m-1=0时，该方程变为4x+3=0,它是一元一次方程，有实数根3 4 x =- 练习：1.关于x 的方程m 2x 2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数．．．．．．．．．根．，求m 。 (注意二次项系数不为零) 2.已知a ，b ，c 为一个三角形的三边，求证方程b 2x 2+(b 2+c 2-a 2)x+c 2=0无实数根。 3.已知方程x 2+2x=k-1没有实数根，求证方程x 2+kx=1-2k 必定有两个不相等的实数根。 4.已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2+m 2x+n=0的两个实数根，y 1,y 2是关于y 的方程y 2+my+7=0两个实数根，且x 1-y 1=2, x 2-y 2=2，求m ，n 的值。
3．一般地，对于关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 用求根公式求出它的两个根x 1、x 2 ，由一元 二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的求根公式知x 1=a ac b b 242-+-,x 2=a ac b b 242--- 能得出以下结果：x 1＋x 2= 即：两根之和等于 x 1•x 2= 即：两根之积等于 12x x +=a ac b b 242-+-+a ac b b 242--- =a ac b b a c b b 24422----+- = 12.x x =a ac b b 242-+-×a ac b b 242--- =2224)4)(4(a ac b b ac b b ----+- = 2 2 24)()( a -= 由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系为 x 1+x 2=a b - ， x 1x 2=a c 如果把方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的二次项系数化为1，则方程变形为 x 2＋ x ＋ a c ＝0(a ≠0)， 则以x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是： x 2 -（ ）x ＋x 1x 2＝0(a ≠0) 3.一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根为x 1,x 2它的根与系数的关系是： 例1：已知方程5x 2＋k x -6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k 的值； 解：设方程的另一个根是x 1，那么5 6 21-=x （为什么？）∴ x 1= 又x 1+2=5 k - （为什么？）∴ k= 例2：利用根与系数的关系，求一元二次方程2x 2＋3x -1＝0的两个根的（1）平方和 （2）倒数和 解：设方程的两个根分别为x 1，x 2，那么x 1+x 2= ， x 1x 2= （1）∵ （x 1+x 2）2= x 12+2 +x 22 ∴ x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2 = （2） ==+2 12 111x x x x 例3：求一个一元二次方程，使它的两个根是2 12313， - 解：所求的方程是x 2 -（212 313+-）x ＋（ ）2 1 2⋅＝0 (为什么？) 即 x 2 + x- ＝0 或 6x 2 + x- ＝0
一元二次方程根的判别式 判别式D是一个用来判别一元二次方程的根性质的数学公式，它被定义为D = b^2 - 4ac。判别式可以帮助我们确定一元二次方程的根的类型以及解的个数。 根据判别式D的值，一元二次方程的根可以分为以下三种情况： 1.当D>0时，方程有两个不同实数根。 如果判别式D大于零，意味着b^2 - 4ac大于零，即方程的平方项系数平方减去四倍的ac是正数。这意味着方程的根是两个不同的实数。我们可以用求根公式来计算方程的根： x1=(-b+√D)/2a x2=(-b-√D)/2a 当D大于零时，方程有两个不同实数根。 2.当D=0时，方程有两个相等的实数根。 如果判别式D等于零，意味着b^2 - 4ac等于零，即方程的平方项系数平方减去四倍的ac是零。这意味着方程的根是两个相等的实数。我们可以用求根公式来计算方程的根： x1=x2=-b/2a 当D等于零时，方程有两个相等的实数根。 3.当D<0时，方程没有实数根。
如果判别式D小于零，意味着b^2 - 4ac小于零，即方程的平方项系 数平方减去四倍的ac是负数。这意味着方程没有实数根。在这种情况下，方程的解是两个虚数根。虚数根通常用i来表示。虚数根是复数，其实部 为零。我们可以用求根公式来计算方程的虚数根： x1=(-b+√(-D))/2a x2=(-b-√(-D))/2a 当D小于零时，方程没有实数根，而是两个虚数根。 利用判别式可以帮助我们确定一元二次方程的根的性质和解的个数。 通过计算判别式，我们可以得知方程的根是否为实数，以及方程是否有一 个或两个相等的实数根。这对于求解方程以及解方程中的相关问题都非常 有用。
一元2次方程实数根的判定 一元二次方程是一种形式为ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c 为常数，x为未知数。它的一般解可以通过求根公式得到，即x=(- b±√(b^2-4ac))/(2a)。在求解一元二次方程时，我们根据方程的根的性质可以进行一系列判定。 一元二次方程的实数根的判定包括以下几个方面： 1.判别式 一元二次方程的判别式是b^2-4ac。通过判别式的正负可以判断方程有无实数根，且可以确定方程的根的种类，即： （1）当判别式大于零，即b^2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当判别式等于零，即b^2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当判别式小于零，即b^2-4ac<0时，方程没有实数根。此时方程的解为复数。
2.方程的系数与根的关系 一元二次方程的系数与根的关系可以通过韦达定理得到。根据韦 达定理可知：一元二次方程的两个根之和等于-b/a，两个根的乘积等 于c/a。通过系数与根的关系可以判断方程的根的情况，包括：（1）当系数b和c的符号相同时，两个根的符号相反，即一正一负； （2）当系数b和c的符号不同时，无法确定根的符号。 3.方程的一般形式 一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0。在方程的一般形式中，a、b、c分别代表方程的系数，通过比较方程的系数可以得到一些结论： （1）当a=0时，方程的形式为bx+c=0，此时方程化为一次方程，有一个实数根； （2）当a≠0且b=0时，方程的形式为ax^2+c=0，此时方程可以 化简为一元一次方程，有一个实数根； （3）当a≠0且b≠0时，方程为一元二次方程，根据判别式的正 负可以得到方程的实数根的情况。
一元二次方程的根的判定 一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，其一般形式可以表示为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。求解一元二次方程的根是数学中的一个重要问题，根的判定是解决这个问题的基础。 一元二次方程的根的判定依据是方程的判别式Δ（delta）= b² - 4ac 的值。根据Δ的不同取值，可以判断方程是否有实根以及实根的个数。 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。这是因为Δ的正值意味着方程的图像与x轴有两个交点，即方程有两个实根。这种情况下，方程的解可以用求根公式x₁,₂ = (-b ± √Δ) / 2a来计算，其中±表示两个相反的符号。 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根，也叫重根。这是因为Δ等于零意味着方程的图像与x轴只有一个交点，即方程有两个相等的实根。这种情况下，方程的解可以用求根公式x = -b / 2a来计算。当Δ < 0时，方程没有实根，只有复数根。这是因为Δ的负值意味着方程的图像与x轴没有交点，即方程没有实根。这种情况下，方程的解可以用复数表示，解的形式为x₁ = (-b + √(Δi)) / 2a，x₂ = (-b - √(Δi)) / 2a，其中i为虚数单位，i² = -1。
根据一元二次方程根的判定，可以利用判别式Δ的值来确定方程的根的性质。这个判定方法可以很好地帮助我们求解一元二次方程，从而解决实际生活中的问题。 举个例子，假设有一个一元二次方程x² - 4x + 4 = 0，我们可以根据判别式Δ = (-4)² - 4(1)(4) = 0来判断方程的根的性质。由于Δ等于零，所以方程有两个相等的实根。根据求根公式x = -b / 2a，可以计算出方程的解为x = -(-4) / (2*1) = 2。因此，方程x² - 4x + 4 = 0的解为x = 2。 在实际问题中，一元二次方程的应用非常广泛。例如，在物理学中，可以利用一元二次方程的根来求解抛体运动的问题；在经济学中，可以利用一元二次方程的根来求解成本、收益等问题。方程的根的判定为我们解决这些问题提供了有效的数学工具。 总结一元二次方程的根的判定是通过判别式Δ的值来确定方程的根的性质。根据Δ的不同取值，可以判断方程是否有实根以及实根的个数。这个判定方法在解决实际问题中起到了重要的作用，帮助我们求解一元二次方程从而解决实际生活中的各种问题。
2021年中考专题复习 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系回忆与思考 1．一元二次方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)的根的情况可由△=b2－4ac来判定： (1)当b2–4ac>0时，方程有实数根，即x1=，x2=． 当b2–4ac=0时，方程有实数根，即x1=x2=． 当b2–4ac<0时，方程实数根． 我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)的根的判别式． (2)一元二次方程根的判别式的应用： ①不解方程，判别根的情况，特别是判别含有字母系数的一元二次方程根的情况，可通过配方法把b2–4ac变形为±(m±h)2＋k的形式，由此得出结论，无论m为何值，b2–4ac≥0或b2–4ac<0，从而判定一元二次方程根的情况．一般步骤是：先计算△，再用配方法将△恒等变形，然后判断△的符号，最后得出结论． ②根据方程的根的情况，求待定系数的取值范围； ③进展有关的证明． (3)关于根的判别式的应用： ①对于数字系数方程，可直接计算其判别式的值，然后判断根的情况； ②对于字母系数的一元二次方程，假设知道方程根的情况，可以确定判别式大于零、等于零还是小于零，从而确定字母的取值范围； ③运用配方法，并根据一元二次方程根的判别式可以证明字母系数的一元二次方程的根的有关问题. (4)应用根的判别式须注意以下几点： ①要用△，要特别注意二次项系数a≠0这一条件． ②认真审题，严格区分条件和结论，譬如是△＞0，△≥0还是要证明△＜0． ③要证明△≥0或△＜0，需用配方法将△恒等变形为±(m±h)2＋k的形式，从而得到判断． 2．一元二次方程的根与系数的关系 (1)如果方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)的根是x1和x2，那么x1+x2=，x1x2=． 特别低，如果方程x2＋px＋q = 0的根是x1和x2，那么x1+x2=，x1x2=． (2)一元二次方程根与系数关系的应用． ①验根．验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：一 要先把一元二次方程化成标准型，二不要漏除二次项系数a≠0；三还要注意–b a中的符号． ②方程一根，求另一根． ③不解方程，求与根有关的代数式的值．一般步骤：先求出x1+x2，x1x2的值，再将所求代数式用x1+x2，x1x2的代数式表示，然后将x1+x2，x1x2的值代入求值． ④两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程：以x1，x2为根的一元二次方程可写成x2－(x1+x2)x+x1x2=0． (3)应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意： ①根的判别式b2–4ac≥0； ②二次项系数a≠0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.
一元二次方程的根的判别式 【学习目标】 1.知道什么是一元二次方程的根的判别式. 2.会用判别式判定根的情况. 【主体知识归纳】 1.一元二次方程的根的判别式：b2—4ac叫做一元二次方程ax2+bx+ c =0 (a^O)的根的判别式.通常用符号“△”来表示. 2.对于一元二次方程ax2 + bx+ c= 0 (a z 0),当4> 0时，方程有两个不相等的实数根；当△ = 0时，方程有两个相等的实数根；当△< 0 时，方程没有实数根.反过来也成立. 【基础知识讲解】 1 .根的判别式是指△= b —4ac,而不是指△ =、、b 2 4ac . 2.根的判别式是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况.要注意方程中各项系数的符号. 3.如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b2—4ac>0,不要丢掉等号. 4.判别式有以下应用： (1)不解方程，判定一元二次方程根的情况； (2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围； (3)应用判别式进行有关的证明. 例题精讲】
例1 ：不解方程，判别下列方程的根的情况： 2 (1)3x —2x —1 = 0; (2)y2= 2y—4; (3)(2k2＋1) x2—2kx＋1=0； ( 4) 9x2—( p＋7) x＋p—3= 0． 解：(1) •「△=( —2) —4 x 3x( —1 )= 4+ 12> 0，—原方程有两个不相等的实数根． (2)原方程就是 y —2y + 4 = 0.T △=( —2) —4x 1 x4 = 4 —16 v 0,二原方程无实数根. (3)v 2k2 + 1工0,二原方程为一元二次方程. 又•/ △=( —2k) 2—4 (2k2 + 1)x 1 = —4k2—4v0,二原方程无实数根. (4)△=[—( p+ 7)]2—4x 9x( p—3)=( p—11) 2+ 36， v不论p取何实数，(p—11) 2均为非负数， •••(p—11)2 + 36>0, 即卩△ >0, •••原方程有两个不相等的实数根. 说明：(1) 运用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况时，要把不是一般形式的化为一般形式. (2)判别式的应用是以方程ax2 + bx+ c = 0中0为前提条件的，对于含字母系数的二次方程要特别注意这一点. ⑶ 要判断含字母(代表实数)的二次式的正负等情况，配方是个有效的方法，如(4)小题.
一元二次方程根的判别式与韦达定理 一.一元二次方程根的判别式. 对于一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0），记Δ=b 2 -4ac 。则有:Δ＞0⇔方程有两个不等 实数根;Δ=0⇔方程有两个相等实数根；Δ＜0⇔方程没有实数根。 注意:（1）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a 、b 、c 的值。（2）如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情 况,此时b 2—4ac≥0切勿丢掉等号.(3)根的判别式b 2 —4ac 的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。(4）显然，当a 、c 异号时，Δ＞0，方程必有两不等的根，此结论宜熟记于心. 二。根的判别式有以下应用： ① 不解一元二次方程，判断根的情况。 例1.不解方程,判断下列方程的根的情况： (1) 2x 2 +3x-4=0;（2）2 210x ax a ++-=。 ② 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围. 例2。求k 的何值时,关于x 的方程2(k+1）x 2 +4kx+2k-1=0(1）有两个不相等的实数 根;(2）有两个相等的实数根;（3）没有实数根；(4)有一根. ③ 证明字母系数方程有实数根或无实数根. 例3．求证方程(m 2+1)x 2-2mx+（m 2 +4）=0没有实数根。 三。韦达定理(一元二次方程根与系数的关系). 若一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a≠0)有两个根分别为1x 、2x ，则有: 12b x x a +=- ,12c x x a =. 注意:此定理成立的前提是方程为一元二次方程（a ≠0),且方程有两根（包括相等 的两根,即要满足Δ≥0) 四.韦达定理的应用. ① 求根或参数的值。 例4。(1）已知方程2 0x px q ++=的两个根为2-和4,求p 、q 的值. (2)已知方程2 40x x m -+=的一个根是2+,求方程的另一个根及m 的值. （3）若方程2 50x kx k --+=的一个根是2, 求方程的另一个根及k 的值. 说明：这3个题目均有两种解法,即代根法与韦达定理法，其中(1)(2)用韦达定理
一元二次方程根的判别式 一、重难点解析 配方法解一元二次方程的一般形式导出公式法，分析判别式 02=++c bx ax （0≠a ） 1．根的判别式 (1) 当Δ＝ac b 42 ->0时，原方程有两个不相等的实数根； (2) 当Δ＝ac b 42-=0时，原方程有两个相等的实数根； (3) 当Δ＝ac b 42-<0时，原方程没有实数根。 例：方程2210x x +-=的判别式等于8，故该方程有两个不相等的实数根；方程2230x x ++=的判别式等于－8，故该方程没有实数根。 二、典型题 1．若关于x 的不等式12 a x -<的解集为x ＜1，则关于x 的一元二次方程210x ax ++=根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．无实数根 D ．无法确定 2．若关于x 的方程2230x x +-=与 213x x a =+-有一个解相同，则a 的值为（ ） A ．1 B ．1或﹣3 C ．﹣1 D ．﹣1或3 3．关于x 的一元二次方程()21320a x x -+-=有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．1 8a >- B ．18a ≥- C ．18a >-且1a ≠ D ．18a ≥-且1a ≠ 4．关于x 的一元二次方程2(1)210m x x ---=有两个实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≥0 B ．m ＞0 C ．m ≥0且m ≠1 D ．m ＞0且m ≠1 5．一元二次方程22(1)2(1)7x x +--=的根的情况是（ ）
A ．无实数根 B ．有一正根一负根 C ．有两个正根 D ．有两个负根 6．关于x 的一元二次方程22(21)(1)0x k x k +-+-=无实数根，则k 的取值范围为 ． 7．关于x 的一元二次方程()23220x k x k -+++=． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一根小于1，求k 的取值范围． 8．已知关于x 的一元二次方程0)(2)(2=-+++c a bx x c a ，其中c b a ,,分别为△ABC 三边的长。 （1）若1-=x 是方程的解，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （2）若方程有两个相等的实数根，判断△ABC 的形状，并说明理由； （3）若△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根。 三、小试牛刀 1．若关于x 的一元二次方程方程2(1)410k x x -++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＜5 B ．k ＜5且k ≠1 C ．k ≤5且k ≠1 D ．k ＞5 2．已知M=2 19a -，N=27 9a a -（a 为任意实数），则M 、N 的大小关系为（ ） A ．M ＜N B ．M=N C ．M ＞N D ．不能确定