2
．
∴实数a的取值范围是(2
3, 3
2 )．
26.
【答案】
解：(1)∵f(x)=2x+1
2x
，
∴当2x+1
2x =5
2
时，解得x=1或x=−1，
∴f(x)=5
2
的根为x=1或x=−1.
(2)证明：任取x1,x2∈[0,+∞），且x1>x2，
则f(x1)−f(x2)=22x1+1
2x1−22x2+1
2x2
=(2x1−2x2)(2x1+x2−1)
2x1+x2
.
∵x1>x2>0，则2x1>2x2，则2x1+x2>1，∴ f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴ 证得f(x)在[0,+∞)上是增函数.
(3)由题意得f(2x)−f(x)=1
22x +22x−2x−1
2x
，
令2x+1
2x
=t(t≥2)，
则ℎ(t)=t2−2−t，
∴对称轴为t=1
2
，
∴ℎ(t)min=ℎ(2)=0，
则−m≤0，
∴m≥0，
综上所述，m的最小值为0. 【考点】
函数的求值
函数单调性的判断与证明
函数恒成立问题
函数的对称性
【解析】
直接求解方程即可.
利用函数单调性的定义证明即可.
通过构造二次函数，结合函数最值求解即可.
【解答】
解：(1)∵ f (x )=2x +
12x ， ∴ 当 2x +12x =52 时，解得 x =1 或x =−1，
∴ f (x )=52的根为 x =1 或x =−1. (2)证明：任取x 1,x 2∈[0,+∞） ，且 x 1>x 2，
则f (x 1)−f (x 2)=
22x 1+12x 1−22x 2+12x 2 =(2x 1−2x 2)(2x 1+x 2−1)
2x 1+x 2.
∵ x 1>x 2>0，则 2x 1>2x 2 ，则 2x 1+x 2>1，
∴ f (x 1)−f (x 2)>0 ，即 f (x 1)>f (x 2)，
∴ 证得 f (x ) 在[0,+∞)上是增函数.
(3)由题意得 f (2x )−f (x )=122x +22x −2x −12x ，
令 2x +1
2x =t (t ≥2)，
则ℎ(t )=t 2−2−t ，
∴ 对称轴为 t =12 ，
∴ ℎ(t )min =ℎ(2)=0，
则 −m ≤0 ，
∴ m ≥0，
综上所述 ，m 的最小值为0.
27.
【答案】
解：(1)∵ f(x)=f(2−x)，
∴ f(x)的图象关于x =1对称，
∴ a =1．
(2)令2x =t ，
则原不等式可化为m ≤(1−1t )2(t ≥2)恒成立，
∴ m ≤(1−1t )min 2=14，
∴ m 的取值范围是(−∞,14]． (3)令b =|log 2x|，
则y =g(x)可化为y =b 2−(k +2)b +k +1
=(b −1)(b −k −1)，
由(b −1)(b −k −1)=0可得b 1=1或b 2=k +1，
∵ y =g(x)有4个零点，b 1=|log 2x|有2个零点，
∴ b 2=|log 2x|有2个零点，
∴ b 2=k +1>0，
∴ k >−1．
【考点】
函数的对称性
函数恒成立问题
函数的零点与方程根的关系
【解析】
(1)由题意可得对称轴为x ＝1，计算可得a 的值；
(2)原不等式可化为m ≤(1−1t )2(t ≥2)恒成立，由函数的性质可得最小值，即可得到所求范围；
(3)令t ＝|log 2x|，则y ＝g(x)可化为y ＝t 2−(k +2)t +k +1＝(t −1)(t −k −1)，令y ＝0，解方程，再令其根大于0，可得所求范围．
【解答】
解：(1)∵ f(x)=f(2−x)，
∴ f(x)的图象关于x =1对称，
∴ a =1．
(2)令2x =t ，
则原不等式可化为m ≤(1−1t )2(t ≥2)恒成立，
∴ m ≤(1−1t )min 2=14，
∴ m 的取值范围是(−∞,14]． (3)令b =|log 2x|，
则y =g(x)可化为y =b 2−(k +2)b +k +1
=(b −1)(b −k −1)，
由(b −1)(b −k −1)=0可得b 1=1或b 2=k +1，
∵ y =g(x)有4个零点，b 1=|log 2x|有2个零点，
∴ b 2=|log 2x|有2个零点，
∴ b 2=k +1>0，
∴ k >−1．
28.
【答案】
解：(1)由题知：函数f (x )为偶函数，函数g (x )为奇函数，且f (x )−g (x )=e −x ①，
则f(−x)−g(−x)=e −(−x)=e x ，
又由f (−x )=f (x )，g (−x )=−g (x )，
故f (x )+g (x )=e x ②，
则由①②式，解得f (x )=e x +e −x 2，g (x )=e x −e −x 2．
(2)由f (2x )>ag (x )在(1,+∞)上恒成立，
即e 2x +e −2x 2>a ⋅e x −e −x 2在(1,+∞)上恒成立，
即e 2x −2⋅e x ⋅e −x +e −2x +2>a (e x −e −x )在(1,+∞)上恒成立，
则(e x −e −x )2−a (e x −e −x )+2>0在(1,+∞)上恒成立.
令t =e x −e −x ，易知t =e x −e −x 在x ∈(1,+∞)上单调递增，
故t ∈(e −1e ,+∞)， 即t 2−at +2>0在(e −1e ,+∞)上恒成立．
由at √2， 得y =t +2t 在(e −1e ,+∞)上的最小值为
e 2−1e +2e e 2−1=e 4+1e (e 2−1)， 故a ≤e 4+1e (e 2−1)
． (3)由H (x )=
g (x+1)f (x+1)+1=e x+1−e −(x+1)e x+1+e −(x+1)+1 =2e x+1
e x+1+e −(x+1).
令G (x )=2e x e x +e −x ，则G (−x )=2e −x e −x +e x ，
故G (x )+G (−x )=2(e x +e −x )
e x +e −x =2，
又由G (x +1)=H (x )，a +b =1，
故H (−4+a )+H (b +1)=G (−3+a )+G (b +2)
=G(−3+a)+G[(1−a)+2]
=G (−3+a )+G (3−a )
=2．
【考点】
函数奇偶性的性质
函数解析式的求解及常用方法
函数恒成立问题
二次函数在闭区间上的最值
函数的求值
函数的对称性
【解析】
由题知：函数f (x )为偶函数，函数g (x )为奇函数，且f (x )−g (x )=e −x ①，则f(−x)−g(−x)=e −(−x)=e x ，又由f (−x )=f (x )，g (−x )=−g (x )，故f (x )+
高一数学函数的对称性习题
高一数学函数的对称性习题 函数的对称性是数学中一个重要的概念，它能帮助我们理解函 数的性质和图像的特点。本文将介绍一些高一数学中关于函数对称 性的题，并给出对应的解答。 1.函数的奇偶性 题 1.已知函数 f(x) 的定义域为实数集，且满足 f(-x) = -f(x)，则 函数 f(x) 的奇偶性是什么？题 1.已知函数 f(x) 的定义域为实数集， 且满足 f(-x) = -f(x)，则函数 f(x) 的奇偶性是什么？题 1.已知函数 f(x) 的定义域为实数集，且满足 f(-x) = -f(x)，则函数 f(x) 的奇偶性 是什么？题 1.已知函数 f(x) 的定义域为实数集，且满足 f(-x) = -f(x)，则函数 f(x) 的奇偶性是什么？ 解答。函数 f(x) 满足 f(-x) = -f(x)，这意味着函数在自身的对称 轴上，y 值与相应的负 x 值处的 y 值相等但符号相反。由此可知， 函数 f(x) 是奇函数。解答。函数 f(x) 满足 f(-x) = -f(x)，这意味着函 数在自身的对称轴上，y 值与相应的负 x 值处的 y 值相等但符号相反。由此可知，函数 f(x) 是奇函数。解答。函数 f(x) 满足 f(-x) = -
f(x)，这意味着函数在自身的对称轴上，y 值与相应的负 x 值处的 y 值相等但符号相反。由此可知，函数 f(x) 是奇函数。解答。函数 f(x) 满足 f(-x) = -f(x)，这意味着函数在自身的对称轴上，y 值与相 应的负 x 值处的 y 值相等但符号相反。由此可知，函数 f(x) 是奇函数。 2.函数图像的对称性 题 2.函数 f(x) 的图像关于 y 轴对称，并且经过点 (-1.2)，求函 数 f(x) 的解析式。题 2.函数 f(x) 的图像关于 y 轴对称，并且经过点(-1.2)，求函数f(x) 的解析式。题2.函数f(x) 的图像关于y 轴对称，并且经过点 (-1.2)，求函数 f(x) 的解析式。题 2.函数 f(x) 的图像关 于 y 轴对称，并且经过点 (-1.2)，求函数 f(x) 的解析式。 解答。由于函数 f(x) 的图像关于 y 轴对称，可以得知函数 f(x) 中不含有 x 的一次及其以上次幂。又因为函数经过点 (-1.2)，代入 该点可得到等式 f(-1) = 2.结合图像对称性的特点，我们可以得出 f(x) = 2 的解析式。解答。由于函数 f(x) 的图像关于 y 轴对称，可 以得知函数 f(x) 中不含有 x 的一次及其以上次幂。又因为函数经过 点 (-1.2)，代入该点可得到等式 f(-1) = 2.结合图像对称性的特点，
高中数学函数的对称性专题含答案
高中数学函数的对称性专题含答案 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 1. 已知函数f(x)=x2−2x+m，若f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，则f(x1+x2 2 )=() A.1 B.2 C.m−1 D.m 2. 在同一平面直角坐标系中，函数f(x)=lg(x+1)的图象与函数g(x)=lg(−x+1)的图象关于( ) A.原点对称 B.x轴对称 C.直线y=x对称 D.y轴对称 3. 下列给出函数y=f(x)的部分对应值,则f(f(8))等于() A.π B.4 C.8 D.0 4. 已知幂函数y=f(x)，f(8)=2，则y=f(x)一定经过的点是( ) A.(2, 1) B.(2, 4) C.(4, 2) D.(0, 1) 5. 已知函数f(x+1)＝3x+2，则f(x)的解析式是( ) A.3x+2 B.3x+1 C.3x−1 D.3x+4 6. 若函数f(x)＝x2+e x−1 2 (x<0)与g(x)＝x2+ln(x+a)图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是() A.(−∞,√e) B. √e ) C. √e √e) D.(−√e, √e ) 7. 定义在上的偶函数，其图像关于点对称，且当时， ，则( )
A. B. C. D. 8. 已知函数f (x )=ln (x −2)+ln (4−x )，则( ) A.f (x )的图象关于直线x =3对称 B.f (x )的图象关于点(3,0)对称 C.f (x )在(2,4)上单调递增 D.f (x )在(2,4)上单调递减 9. 函数f (x )=x 3−2021x +1图象的对称中心为（ ） A.(0,0) B.(1,0) C.(0,1) D.(1,1) 10. 已知函数f (x )=11+e x ，若正实数m ，n 满足f (m −1)=1−f (n )，则 1m +4 n 的最小值为( ) A.7 B.9 C.3+2√2 D.8 9 11. 函数f (x )满足f (x )=f (2−x )，x ∈R ，且当x ≥1时，f (x )=lg x ，则有( ) A.f (1 3)0， |x +3|,−4≤x <0， （a >0且a ≠1）．若函数f (x )的图象上有 且只有两个点关于原点对称，则a 的取值范围是（ ） A.(0,1 4) B.(0,14)∪(1,+∞) C.(1 4,1)∪(1,+∞) D.(0,1)∪(1,4) 13. 设函数f(x)=(x −3)3+x −1，{a n }是公差不为0的等差数列，f(a 1)+f(a 2)+ ⋯+f(a 7)=14，则a 1+a 2+⋯+a 7=（ ） A.0 B.7 C.14 D.21 14. 已知定义域为R 的函数f (x )在[2,+∞)单调递减，且f (4−x )+f (x )=0，则使得不等式f (x 2+x )+f (x +1)<0成立的实数x 的取值范围是( )
高中数学专题-函数的对称性
函数对称性 1. 函数自身的对称性探究 高考题回放：设函数 ，，且在闭区间［0，7］上只有 （1）试判断函数的奇偶性； （2）试求方程在闭区间［－2005，2005］上根的个数并证明你的结论。 分析：由可得：函数图象既关于x＝2对称，又关于x＝7对称，进而可得到周期性，然后再继续求解，而本题关键是要首先明确函数的对称性，因此，熟悉函数对称性是解决本题的第一步。 定理1函数的图像关于直线x＝a对称的充要条件是 即 证明（略） 推论函数的图像关于y轴对称的充要条件是 定理2函数的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是 证明（略） 推论函数的图像关于原点O对称的充要条件是 偶函数、奇函数分别是定理1，定理2的特例。 定理3①若函数的图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（），则是周期函数，且是其一个周期。 ②若函数的图像同时关于直线成轴对称（），则 是周期函数，且是其一个周期。 ③若函数的图像既关于点A（a，c）成中心对称又关于直线x＝b成轴对称（），则是周期函数，且是其一个周期。 以下给出③的证明，①②的证明留给读者。 因为函数的图像关于点A（a，c）成中心对称。 所以代得： 又因为函数的图像关于直线成轴对称。 所以代入（*）得： 得 代入（**）得： 是周期函数，且是其一个周期。 2. 不同函数对称性的探究 定理4函数的图像关于点成中心对称。 证明：设点图像上任一点，则。点关于点的对称点为，此点坐标满足，显然点 在的图像上。 同理可证：图像上关于点对称的点也在的图像上。
推论函数与的图像关于原点成中心对称。 定理5函数与的图像关于直线成轴对称。 证明设点是图像上任意一点，则。点关于直线的对称点为，显然点在的图 像上。 同理可证：图像上关于直线对称的点也在图像上。 推论函数与的图像关于直线y轴对称。 定理6①函数与的图像关于直线成轴对称。 ②函数与的图像关于直线成轴对称。 现证定理6中的② 设点是图像上任一点，则。记点关于直线的对称点，则，所以 代入 之中得。所以点在函数的图像 上。 同理可证：函数的图像上任一点关于直线的轴对称点也在函数的图像上。故定理6中的②成立。 推论函数的图像与的图像关于直线成轴对称。 3. 函数对称性应用举例 例1 定义在R上的非常数函数满足：为偶函数，且，则一定是（） A. 是偶函数，也是周期函数 B. 是偶函数，但不是周期函数 C. 是奇函数，也是周期函数 D. 是奇函数，但不是周期函数 解：因为为偶函数，所以。 所以有两条对称轴，因此是以10为其一个周期的周期函数，所以x＝0即y轴也是的对称轴，因此还是一个偶函数。故选（A）。 例2 设定义域为R的函数、都有反函数，并且和 的函数图像关于直线对称，若，那么（） A. 2002 B. 2003 C. 2004 D. 2005 解：因为的函数图像关于直线对称，所以 的反函数是，而的反函数是，所以，所以有 故，应选（C）。 例 3 设是定义在R上的偶函数，且，当时，，则___________ 解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以的对称轴； 又因为的对称轴。故是以2为周期的周期函数，所以
高中数学《函数的周期性与对称性》针对练习及答案
第二章 函数 2.3.2 函数的周期性与对称性（针对练习） 针对练习 针对练习一 周期性与对称性的判断 1．下列函数中，既是奇函数又是周期函数的是 A ．sin y x = B ．cos y x = C ．ln y x = D ．3y x = 2．已知函数()3lg x f x x =+，则下列选项正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 是偶函数 C ．()f x 是周期函数 D ．()f x 没有最大值 3．函数22 1 ()f x x x =+的图像关于（ ） A ．y 轴对称 B ．直线y x =-对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y x =对称 4．函数5x y =与5-=x y 的图象（ ） A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y x =轴对称 5．函数cos y x =与函数cos y x =-的图象 A ．关于直线1x =对称 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y 轴对称 针对练习二 由函数周期性求函数值 6．已知()f x 在R 上是奇函数，且满足(4)()f x f x +=，当(2,0)x ∈-时，2()2f x x =，则 (2019)f 等于（ ）
A ．-2 B ．2 C ．-98 D ．98 7．已知函数()f x 是定义在R 上周期为4的奇函数，当02x <<时，()2log f x x =，则 ()722f f ⎛⎫ += ⎪⎝⎭ A ．1 B ．-1 C ．0 D ．2 8．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且3 ()()2f x f x -=-，且当30,4x ⎛⎤ ∈ ⎥⎝⎦时，()23f x x =-， 则(2021)(2022)(2023)f f f -+--的值为（ ） A ．4 B ．4- C ．0 D ．6- 9．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2=-+f x f x ，当(]0,2x ∈时，()22log x f x x =+， 则(2022)f =（ ） A ．5 B ．1 2 C ．2 D ．－2 10．定义在R 上的函数()f x ，满足()()5f x f x +=，当(]3,0x ∈-时，()1f x x =--，当 (]0,2x ∈时，()2log f x x =，则()()()122022f f f ++⋅⋅⋅+=（ ）. A ．403 B ．405 C ．806 D ．809 针对练习三 由函数对称性求函数值 11．设定义在R 上的奇函数()y f x =，满足对任意的t R ∈都有()()1f t f t =-，且当 10,2x ⎡⎤ ∈⎢⎥⎣⎦时，()2f x x =-，则()332f f ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 的值等于（ ） A ．12 - B ．13 - C ．14 - D ．15 - 12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 的图象关于直线2x =对称，当 02x <<时，()2 2x x f x +=-，则()5f = A ．3 B ．3- C ．7 D ．7-
高考数学专题《三次函数的对称性、穿根法作图象》填选压轴题及答案
专题09 三次函数的对称性、穿根法作图象 【方法点拨】 对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d （其中a ≠0），给出以下常用结论： (1)当a ＞0，b 2－3ac ＞0时，三次函数的图象为N 字型；当a ＜0，b 2－3ac ＞0时，三次函数的图象为反N 字型；当a ＞0，b 2－3ac ≤0时，单调递增，当a ＜0，b 2－3ac ≤0时，单调递减． (2)三次函数有对称中心(x 0，f (x 0))，f ″(x 0)＝0. 【典型题示例】 例1 (2021·全国乙卷·理10)设0a ≠，若x a =为函数()()()2 f x a x a x b =--的极 大值点，则（ ） A. a b < B. a b > C. 2ab a < D. 2ab a > 【答案】D 【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对 进行分类讨论，画出 图象，即可得到,a b 所满足的关系，由此确定正确选项. 【解析】若a b =，则()()3 f x a x a =-为单调函数，无极值点，不符合题意，故a b ≠. ()f x ∴有x a =和x b =两个不同零点，且在x a =左右附近是不变号，在x b =左右附近 是变号的.依题意，为函数 的极大值点，∴在x a =左右附 近都是小于零的. 当0a <时，由x b >，()0f x ≤，画出()f x 的图象如下图所示： 故2ab a >. 由图可知b a <，0a <，()0f x >，画出()f x 的图象如 当0a >时，由x b >时，下图所示：
由图可知b a >，0a >，故2ab a >. 综上所述，2ab a >成立. 故选：D 例2 若函数2 ()f x x x a =-在区间[0,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(,0][3,)-∞+∞ 【解析】 2 2 2(),()(),x x a x a f x x x a x x a x a ⎧-≥⎪=-=⎨--<⎪⎩. 函数()f x 的一个极值点是0x =，所以以0为界与a 比较，进行分类讨论. ①当0a >时，如图一，由2 ()320f x x ax '=-+=得，0x =或23 a x = ，欲使函数2()f x x x a =-在区间[0,2]上单调递增，只需223 a x = ≥，即3a ≥. ②当0a ≤时，如图二，2 ()f x x x a =-在区间[0,2]上单调递增，满足题意. 综上知，实数a 的取值范围是(,0][3,)-∞+∞． 点评: 作三次函数f (x )＝a (x －x 1) 2(x －x 2)（其中a ≠0，x 1≠x 2）示意图的方法要点有二： a O x y （图一） x y O a （图二)
(完整版)函数的性质练习(奇偶性、单调性、周期性、对称性)(附答案)
函数的性质练习(奇偶性，单调性，周期性，对称性) 1、定义在R 上的奇函数)(x f ，周期为6，那么方程0)(=x f 在区间[6,6-]上的根的个数可能是 A.0 B.1 C.3 D.5 2、f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( ) A ．1 B ．4 C ．3 D ．2 3、已知)(x f 是R 上的偶函数,)(x g 是R 上的奇函数,且)(x g =)1(-x f ,那么=)3120(f A.0 B.2 C. 2- D.2± 4、已知1 1 2)(-+ =x x x f ，那么=+++++-+-+-)8()6()4()2()0()2()4()6(f f f f f f f f A.14 B.15 C. 16- D.16 5、已知)(x f 的定义域为R ，若)1()1(+-x f x f 、都为奇函数，则 A.)(x f 为偶函数 B.)(x f 为奇函数 C.)(x f =)2(+x f D.)3(+x f 为奇函数 6、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)1()1(--=+x f x f ，则下列结论一定成立的是 A.)(x f 的周期为4 B. )(x f 的周期为6 C. )(x f 的图像关于直线1=x 对称 D. )(x f 的图像关于点(1 , 0) 对称 7、定义在R 上的函数)(x f 满足:)()(x f x f -=-,)1()1(x f x f -=+，当∈x [1-, 1] 时，3 )(x x f =，则=)2013(f A.1- B.0 C.1 D.2 8、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)2()2(x f x f -=+，并且)1(+x f 为 偶函数. 若3)1(=f ，那么=)101(f A.1 B.2 C.3 D.4 9、已知f (x )(x ∈R)为奇函数，f (2)＝1，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (3)等于( ) A.12 B ．1 C.32 D ．2 10、若奇函数f (x )(x ∈R)满足f (3)＝1，f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)，则f ???? 32 等于( ) A ．0 B ．1 C.12 D ．－1 2 11、已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A ．f (－25)试题：函数的对称性答案
函数的对称性 一、选择题 1 ．如果函数p x nx y ++=21的图象关于点A(1,2)对称,那么 （ ） A ．p=-2,n=4 B ．p=2,n=-4 C ．p=-2,n=-4 D ．p=2,n=4 【答案】A 2 ．（山东省实验中学2014届高三上学期第二次诊断性测试数学（理）试题）函数()f x 对任 意()()()()623,1x R f x f x f y f x ∈++==-都有的图象关于点()1,0对称,则()2013f = （ ） A ．16- B ．8- C ．4- D ．0 【答案】D 3 ．（山东省桓台第二中学2014届高三第二次阶段性测试数学试题）已知函数 a x x x f --+=1)(的图像关于点)0,21 (对称,则a = A,1 B,-1 C,2 D,-2 【答案】C 4 ．（山东省广饶一中二校区2014届高三上学期10月月考数学（理）试题）为了得到函数 x y )31(3?=的图象,可以把函数x y )31 (=的图象 （ ） A ．向左平移3个单位长度 B ．向右平移3个单位长度 C ．向左平移1个单位长度 D ．向右平移1个单位长度 【答案】D 二、填空题 5 ．（山东省枣庄市滕州一中2014届高三10月第一次单元测试数学（理）试题）已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3(,0)4-对称,且满足3 ()()2f x f x =-+,又 (1)1f -=,(0)2f =-,则(1)(2)(3)(2008)f f f f ++++=L ________ 【答案】1 6 ．（山东省威海市乳山一中2014届高三上学期第一次质量检测数学试题）设f(x)是定义在R 上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线x=12对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=________. 【答案】0 7 ．（山东省青岛市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知函数()f x 是(,) -∞+∞上的奇函数,且()f x 的图象关于直线1x =对称,当[1,0]x ∈-时,()f x x =-,则
高考专题 函数对称性
函数对称性 一 知识点精讲： I 函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 1、)()(x b f x a f -=+ ?)(x f y =图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称 证明：函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于直线2a b x += 的对称点为00(,) Q a b x y +-，00()[()]f a b x f b x a +-=-+000[()]()f b b x f x y =--== ∴点Q 仍在函数)(x f y =的图象上，从而函数)(x f y =的图象关于直线2a b x += 对称. 推论1：)()(x a f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 2、c x b f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),2 (c b a +对称 证明：函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于点( ,)2a b c +的对称点为00(,2) Q a b x c y +--，00()[()]f a b x f b x a +-=-+0002[()]2()2c f b b x c f x c y =---=-=- ∴点Q 仍在函数)(x f y =的图象上，从而函数)(x f y =的图象关于点(,)2 a b c +对称. 推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 II 两个函数的图象对称性（相互对称） 1、)(x f y =与)(x f y -=图象关于y 轴对称 2、)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数 3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于x 轴对称 4、函数)(x f y =与其反函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称 5.函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线2a b x -=对称 证明：函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于直线 2 b a x -=的对称点为00(,)Q b a x y --，000[()]()f b b a x f a x y ---=+= ∴点Q 在函数()y f b x =-的图象上；反之函数()y f b x =-的图象上任一点关于直线
第6节 抽象函数的对称性结论归纳-解析版
第6节 抽象函数的对称性结论归纳 知识与方法 1.轴对称：如果函数()y f x =满足 12 2 x x a +=，就有()()12f x f x =，则()f x 的图象关于直线x a =对称. 记法：自变量关于a 对称，函数值相等. 例如，()()2f x f x +=-表示()f x 关于1x =对称，()()f m x f n x +=-表示()f x 关于2 m n x += 对称. 2.中心对称：若函数()y f x =满足 12 2 x x a +=，就有 ()()122f x f x b +=，则()f x 关于点(),a b 对称. 记法：自变量关于a 对称，函数值关于b 对称. 例如，()()112f x f x ++-=表示()f x 关于()1,1对称，()()f m x f n x a ++-=表示()f x 关于,2 2m n a +⎛⎫ ⎪⎝⎭对称. 3.常用结论（视频中有推导这些结论）： （1）如果函数()f x 有两条对称轴，则()f x 一定是周期函数，周期为对称轴距离的2倍. （2）如果函数()f x 有一条对称轴，一个对称中心，则()f x 一定是周期函数，周期为对称中心与对称轴之间距离的4倍. （3）如果函数()f x 有在同一水平线上的两个对称中心，则()f x 一定是周期函数，周期为对称中心之间距离的2倍. 典型例题 【例1】已知函数()y f x =满足()()20f x f x --=()x ∈R ，且在[)1,+∞上为增函数，则（ ）
A.()()()112f f f ->> B.()()()121f f f >>- C.()()()121f f f ->> D.()()()211f f f >-> 【解析】()()()()()202f x f x f x f x f x --=⇒=-⇒的图象关于直线1x =对称，所以 ()()13f f -=，因为123<<，且()f x 在[)1,+∞上为增函数，所以()()()123f f f <<，从而()()()121f f f ->> 【答案】C 【例2】己知函数()f x 满足()()2f x f x =-()x ∈R ，若函数()1y x f x =--共有3个不同的零点1x 、2x 、3x ，则123x x x ++=_________. 【解析】()()()2f x f x f x =-⇒的图象关于1x =对称，()()101x f x x f x --=⇒-=， 由于1y x =-的图象也关于1x =对称，故它们的交点关于1x =对称， 设123x x x <<，则必有13 12 x x +=且21x =，故1233x x x ++=. 【答案】3 【例3】已知函数()f x 满足()()22f x f x -=-()x ∈R ，若()()104f f -+=，则 ()()23f f +=_______. 【解析】()()()()2222f x f x f x f x -=-⇒-+=，分别取3x =和2x =得：()()() ()132 022f f f f ⎧-+=⎪⎨ +=⎪⎩，两式相加得：()()()()13024f f f f -+++=，又()()104f f -+=，所以()()230f f +=. 【答案】0 【例4】偶函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，若()33f =，则()1f -=_______. 【解析】由题意，()f x 周期为4，故()()133f f -==. 【答案】3 【反思】对称轴+对称轴=周期，周期为对称轴之间距离的2倍. 【例5】（2018·新课标Ⅱ卷）若()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+，若()12f =，则()()()1250f f f ++ +=（ ）
函数的周期性,奇偶性,对称性经典小题练(含答案)
函数的周期性练习题 一．选择题（共15小题） 1．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=（） A．1 B．C．﹣1 D．﹣ 2．设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣，且当x∈[﹣3， ﹣2]时，f（x）=4x，则f（107.5）=（）A．10 B．C．﹣10 D．﹣ 3．设偶函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=﹣且当x∈[﹣3，﹣2]时f（x）=4x，则f（119.5）=（）A．10 B．﹣10 C．D．﹣4．若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=3，则f （8）﹣f（4）的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 5．已知f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x） =2x+log2x，则f（2015）=（）A．﹣2 B．C．2 D．5 6．设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间 （﹣2，1]上的图象，则f（2014）+f（2015）=（） A．3 B．2 C．1 D．0 7．已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足： ，当2≤x≤3，f（x）=x，则f（5.5）=（）A．5.5 B．﹣5.5 C．﹣2.5 D．2.5 8．奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=3x+， 则f（log354）=（）A．﹣2 B．﹣ C．D．2 9．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）=0，且周期是4，若f（1）=5，则f（2015）（）A．5 B．﹣5 C．0 D．3 10．f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，若f（1）=﹣5，则
知识点196反比例函数图象的对称性(解答题)
一、解答题（共2小题） 1、如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于π． 考点：反比例函数图象的对称性。 分析：根据反比例函数的对称性，阴影部分的面积正好构成圆，利用圆的面积公式即可求解．解答：解：阴影部分的面积正好构成圆，圆的半径r=1， 则面积S=πr2=π． 故答案是：π． 点评：本题主要考查了反比例函数的对称性，理解阴影部分的面积正好构成圆是关键． 2、（1）点（3，6）关于y轴对称的点的坐标是 （﹣3，6）． （2）反比例函数关于y轴对称的函数的解析式为 y=﹣． （3）求反比例函数（k≠0）关于x轴对称的函数的解析式． 考点：反比例函数图象的对称性；关于x轴、y轴对称的点的坐标。 专题：计算题。 分析：（1）此题只需根据“两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数”即可得到对称点的坐标； （2）此题只需根据“两反比例函数关于y轴对称，比例系数k互为相反数”即可求得关于y 轴对称的函数的解析式； （3）此题只需根据“两反比例函数关于x轴对称，比例系数k互为相反数”即可求得关于x 轴对称的函数的解析式． 解答：解：（1）由于两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数； 则点（3，6）关于y轴对称的点的坐标是（﹣3，6）； （2）由于两反比例函数关于y轴对称，比例系数k互为相反数； 则k=﹣3， 即反比例函数关于y轴对称的函数的解析式为y=﹣； （3）由于两反比例函数关于x轴对称，比例系数k互为相反数； 则反比例函数（k≠0）关于x轴对称的函数的解析式为：y=﹣．
故答案为：（﹣3，6）、y=﹣． 点评：本题考查了反比例函数的对称性，要求同学们熟练掌握．
高中数学函数的对称性知识点讲解及典型习题分析
高中数学函数的对称性知识点讲解及典型习题分析 新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念： ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为a b x 2-=。 ④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x 与y=-x 均为它的对称轴。 ⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y 轴；而其他的幂函数不具备对称性。 ⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心， 2 ππ+=k x 是它的对称轴。 ⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x ，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x ，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。 ⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，) 0,2(ππ+k 是它的对称中心。 （11）正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中)0,2 ( πk 是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）。 （12）对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。但容易犯错误的是同学们可能误以为最值处是它的对称轴。 （13）三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。
高中函数的对称性(含练习题及解析)
【答案】5 【分析】先根据①①可知函数的对称中心和对称轴，再分别画出()f x 和()g x 的部分图像，由图像观察交点的个数． 【详解】根据题意，①(2)()0f x f x -+=，得函数()f x 的图像关于点()1,0对称， ①(2)()0f x f x ---=，得函数()f x 的图像关于1x =-对称，则函数()f x 与()g x 在区间[3,3]-上的图像如图所示， 由图可知()f x 与()g x 的图像在[]3,3-上有5个交点．
由图知()f x 与()h x 的图象在区间()2,6-有四个交点，设交点横坐标分别为1234,,,x x x x ，且 14 22 x x +=，23 22 x x +=，所以12348x x x x +++=，所以()f x 与()h x 的图象所有交点的横坐标之和为8， 3．定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x -=，且当1≥x 时()23,14 1log ,4x x f x x x -+≤<⎧=⎨-≥⎩ ，若对任意的 [,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，则实数t 的最大值为（ ） A ．1- B ．2 3 - C ．13 - D ． 13 【答案】C 【分析】 若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，即对[,1]x t t ∈+，不等式()()1f x f x +t ≤+恒成立，-1x x t ≥+，进而可得答案. 【详解】当14x ≤<时，3y x =-+单调递减，()()241log 41f x f >=-=-，当4x ≥时，()f x 单调递减，()()41f x f ≥=-，故()f x 在[ )1,+∞上单调递减，由()(2)f x f x -=，得()f x 的对称轴为1x =， 若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，即对[,1]x t t ∈+，不等式()()1f x f x +t ≤+恒成立，-1x x t ∴≥+，即()()2 2 1x x t -≥+，即()2 2110t x t ++-≤， ()()()2 2 211011321110 t t t t t t t ⎧++-≤⎪⇒-≤≤-⎨+++-≤⎪⎩，故实数t 的最大值为1 3-. 4．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，(1)(1)f x f x +=-，当01x ≤≤时，()1x f x e =-，则23x ≤≤时， ()f x 的解析式为（ ）
专题12函数的周期性与对称性-2021版跳出题海之高中数学必做黄金100题(解析版)
第 12 题 函数的周期性与对称性 一．题源探究·黄金母题 已知函数 y ＝f(x)的图象如图所示，试回答下列问题： （1） 求函数的周期； （2） 画出函数 y ＝f(x ＋1)的图象； （3） 你能写出函数 y ＝f(x)的解析式吗？ 【解析】（1）从图象得知，x 从 0 变 1 化到 1，函数经历 个周期，即 2 T = 1 ，故函数的周期 T=2； 2 （2）函数 y=f （x+1）的图象可由函数 y=f （x ）的图象向左平移 1 个单位得到，因为函数 y=f （x ）的图象过点（0，0）、点 （1，1）所以 y=f （x+1）的图象经过（-1，0）、点（0，1），再根据函数为周期函数画出图象： （3）当-1≤x ＜0 时，f （x ）=-x ， 当 0≤x ＜1 时，f （x ）=x ； 当 2n-1≤x ＜2n 时，f （x ）=f （x-2n ）=-（x-2n ）=2n-x ， 当 2n ≤x ＜2n+1 时，f （x ）=f （x-2n ）=x-2n ， ∴ f (x ) = ⎧2n - x , 2n -1 ≤ x < 2n （n 为整数） ⎨x - 2n , 2n ≤ x < 2n +1 ⎩ 【试题来源】人教版 A 版必修四第 47 页 B 组第 3 题 【母题评析】本题以 y ＝f(x)的图象为载体， 考查函数周期的求法、函数图像的平移及由图定式（根据图像求解析式）问题，此类问题是高考常考的题型之一． 【思路方法】数形结合思想是高中数学中常用的解题思想之一，特别是在解决函数问题 中起着举足轻重中的作用，因此，通常说“解决函数问题，数形结合你准备好了吗？”． 二．考场精彩·真题回放
函数的对称性真题答案解析
函数的对称性真题答案解析 在高中数学的学习中，函数的对称性是一个重要的概念。了解和掌握函数的对称性对于解题和理解函数性质都有很大的帮助。下面，我们将通过对几道函数对称性的真题进行解析，来深入了解函数对称性的应用和解题技巧。 1. 已知函数f(x)在R上满足f(1-x) = f(x) + 1，求f(0)的值。 首先，我们来分析题目中给出的函数对称性条件，即f(1-x) = f(x) + 1。这个条件意味着函数关于直线x=1/2对称。我们可以利用这个对称性进行解题。 假设f(x)的图像在平面直角坐标系上对称于直线x=1/2，那么对于任意x，x和1-x关于直线x=1/2的距离是相等的。也就是说，对于任意实数x，有|x-1/2|=|1-x-1/2|。 当x=0时，左边的绝对值式子等于1/2，右边的绝对值式子也等于1/2。所以，f(0)的值与f(1/2)的值是相等的。进一步推导，我们可以得到f(0) = f(1/2) + 1。 再来看题目中给出的等式f(1-x) = f(x) + 1。将x替换为1/2，得到f(1/2) = f(1/2) + 1。这个等式显然是不成立的。所以，我们可以得出结论，函数f(x)在R上不存在。 通过这道题目的解析，我们可以看到函数的对称性在解题中的应用。通过观察题目中给出的条件，我们可以得到函数图像的对称轴，进而得到所求的函数值。这种方法可以解决关于函数对称性的问题，尤其是对称于直线x=a的情况。
2. 已知函数f(x)在[-1,1]上是奇函数，且满足f(x) = f(3x)，求f(0)的值。 对于这道题目，我们需要利用函数的对称性以及函数在给定区间上等式的性质来进行解答。首先，我们来分析题目中给出的条件。 题目中指出函数f(x)在[-1,1]上是奇函数，说明函数关于原点(0,0)对称。另外，已知f(x) = f(3x)，表明函数满足f(x) = f(3x)的等式关系。 结合这两个条件，我们可以得到f(x)在[-1,1]上的对称轴是直线x=0，同时函数满足f(x) = f(3x)的等式关系。进一步推导，我们可以得到函数图像在[-1,1]上的一些性质。 由于f(x)在[-1,1]上是奇函数，即满足f(x) = -f(-x)，所以函数的对称轴是直线y=0。结合图像对称性和等式关系，我们可以得到 f(0) = f(3*0) = f(0)。 通过这个等式，我们可以得到f(0)的值可以是任意实数。因此，题目中没有给出f(0)的具体值，所以我们无法确定f(0)是多少。 通过对这道题目的解析，我们可以看到函数的对称性和等式性质在解答题目中的应用。通过观察题目中给出的条件，我们可以得出函数图像的对称轴和等式关系，进而得到所求的函数值或确定所求值的范围。 综上所述，函数的对称性在高中数学中很常见。在解题中，我们可以通过观察题目中给出的函数对称性和等式条件，来确定函数图像的对称轴和得出所求函数值的范围。函数对称性的理解和应用对于解
高考数学复习专题3 函数的周期性、对称性(解析版)
专题3函数的周期性、对称性 1．函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且()1f x -为偶函数，当[]01x ∈，时，()1 2f x x =,若函数()()g x f x x b =--恰有一个零点,则实数b 的取值集合是( ） A ．11224 4k k k z ⎛⎫ -+∈ ⎪⎝ ⎭， ， B ．15222 2k k k z ⎛⎫ ++∈ ⎪⎝ ⎭， ， C ．114444k k k z ⎛ ⎫ -+∈ ⎪⎝ ⎭ ， ， D ．1154444k k k z ⎛ ⎫ ++∈ ⎪⎝ ⎭ ， ， 【解析】 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()1f x -为偶函数， ()(),(1)(1)f x f x f x f x -=---=-， (2)((1)1)()()f x f x f x f x -=--=-=-， 即(2)(),(4)(2)()f x f x f x f x f x +=-∴+=-+=， ()f x ∴的周期为4。 []01x ∈，时,()1 2f x x ==, []1 2 ,[0,1],()()1,0()x f x x x f x -∈-=-=-∈-， ()f x ∴= (1)(1),()(2)f x f x f x f x --=-∴=--, ()f x 周期为4，()(2)(2)f x f x f x ∴=--=-+， 当[1,2],2[0,1],()(2)x x f x f x ∈-+∈=-+= 当[2,3],2[1,0],()(2)x x f x f x ∈-+∈-=-+= 做出函数()f x 图像,如下图所示: 令()()0g x f x x b =--=, 当[1,0]x ∈-，()()0g x f x x b x b =--=-=，
专题14反比例函数图像的对称性
专题14反比例函数图像的对称性 方法技巧：①当k1+k2=0时， 反比例函数与的图像关于x 轴，y 轴对称；②反比例函数的图像既是轴对称也是中心对称图形，它的对称轴是直线y= 一、妙用反比例函数的图像的轴对称性 1、如图 l 1是反比例函数在第一象限的函数图象， 且过点A （2,1），l 1与l 2关于x 轴对称，那么图像l 2的 函数解析式为＿＿＿＿＿＿＿（x ＞0） 2、双曲线的对称轴的对称轴有（ ） A 、0条 B 、1条 C 、2条 D 、3条 3、如图以O 为圆心，半径为2的圆与双曲线（x ＞0）交于 A 、 B 两点，若AB 的长度为 ，则k=＿＿＿＿＿＿ 4、如图直线y=x-1交x 轴D ，交双曲线 （x ＞0）于B ，直线y=2x 交双曲线（x ＞0）于A ，若OA=OB ，求k 的值。 二、妙用反比例函数的图像的中心对称性 5、若直线y= -2x 与双曲线交于（1，-2），则另一个交点坐标为＿＿＿＿＿＿ 6、已知直线y=kx （k ＜0）与双曲线 交于A （x 1,y 1），B （x 2，y 2）两点，则3x 1y 2-8x 2y 1=＿＿＿＿＿＿ 7、如图点P （3a ，a ）是双曲线（x ＞0）与圆O 的一 个交点，图中阴影部分的面积为10π。 （1）k=＿＿＿＿＿＿； （2）某同学在圆O 内做随机扎针实验，针头落在阴影区域 内的概率为＿＿＿＿＿＿ 8、如图点A （3,5）关于原点O 的对称点为点C ，分别过点A 、C 作y 轴的平行线，与双曲线（0＜k ＜15）交于点B 、D ，连接AD 、BC ，AD 与x 轴交于点E （-2,0）。 （1）k=＿＿＿＿＿＿；（2）阴影部分的面积之和是＿＿＿＿＿＿
