专题05 函数的周期性和对称性形影不离
【高考地位】
函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。
类型一函数的周期性的判定及应用
例 1 函数定义域为，且对任意，都有，若在区间上
则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】第一步，准确求出函数的周期性：
由()()2f x f x +=，可知()f x 是周期为2的函数， 第二步，运用函数的周期性求解实际问题：
令1-=x 故()()11f f -=，代入解析式，得()22a a e -+=-，解得2a =，
从而()()22,10
{
22,01
x x x f x x e x +-≤≤=-<≤，
故()()()()2017201810022f f f f +=+=+=，故选C.
【点评】函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．
【变式演练1】【陕西省西安市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测文科数学】已知定义域为R 的函数()f x 满足()2()f x f x +=，且当01x ≤≤时，()2
(12)f x g x =+，则()2021f -=（ ）
A ．lg3-
B ．lg 9
C ．lg 3
D ．0
【答案】C 【分析】
由()()2f x f x +=得出函数的周期2T =，所以()()20211f f -=代入解析式可得答案. 【详解】
由()f x 满足()()2f x f x +=，
所以函数的周期2T =，且当01x ≤≤时，()2
(12)f x g x =+，
所以()()20211lg3f f -==. 故选：C.
【变式演练2】定义域为R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x -+=+，且()11f -=，则()2017f =（ ）
A. 2
B. 1
C. -1
D. -2 【答案】C
【解析】()()11f x f x -+=+ ()()()24f x f x f x T ?=-=--?= ,因此()2017f =
()()111f f =--=- ，选C.
考点：函数的周期性.
【变式演练3】函数y =f(x)在[0，2]上单调递增，且函数f(x +2)是偶函数，则下列结论成立的是( ) A ． f(1) 2) 2) B ． f(7 2) 2) 2) 2) D ． f(5 2) 2) 【答案】C 【解析】函数f(x +2)是偶函数，则其图象关于y 轴对称，所以函数y =f(x)的图像关于x =2对称，则f(5 2)=f(3 2)，f(7 2)=f(1 2)，函数y =f(x)在[0,2]上单调递增，则有 f(1 2 ) 2 )，所以f(7 2 ) 2 ).选C . 考点：抽象函数的周期性． 类型二 函数的对称性问题 例2 ．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f =（ ) A ．3- B ．0 C ．1 D ．3 【答案】B 【解析】 试题分析：)3()3(),()(--=-∴-=-x f x f x f x f ，且0)0(=f ，又(3)()f x f x -=， ()(3)f x f x ∴=--，由此可得)6()3(--=-x f x f ，)6()(-=∴x f x f ，)(x f ∴是周期为6的函数， ）（）（333662019+?=f f ，0)0()3()2019(===∴f f f ，故选B. 考点：函数的奇偶性，周期性，对称性，是对函数的基本性质的考察. 【易错点晴】函数()f x 满足),(-)-(x f x f =则函数关于） ，（00中心对称，(3)()f x f x -=,则函数关于3 2 = x 轴对称，常用结论：若在R 上的函数()f x 满足)()(),()(x b f x b f x a f x a f +-=+-=+，则函数)(x f 以||4b a -为周期.本题中，利用此结论可得周期为63 2 -04=?，进而(2019)(3)f f =，)3(f 需要回到本题利用题干条件赋值即可. 例 3 已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04?? - ???对称, 且满足()32f x f x ? ?=-+ ??? ,又 ()()11,02f f -==-,则()()()()123...2008f f f f ++++=（ ） A ．669 B ．670 C ．2008 D ．1 【答案】D 【解析】 试题分析：由()32f x f x ?? =-+ ??? 得()()3f x f x =+，又()()11,02f f -==-， (1)(13)(2)f f f ∴-=-+=，(0)(3)f f =，()f x 的图象关于点3,04?? - ??? 对称，所以 ()113 1()()(1),(1)(2)(3)0222 f f f f f f f -=--=-+=∴++=，由()()3f x f x =+可得 ()()()()()()()123...2008669(123)(1)(1)(1)1f f f f f f f f f f ++++=?+++==-=，故选D. 考点：函数的周期性；函数的对称性． 例 4 已知()21y f x =-为奇函数， ()y f x =与()y g x =图像关于y x =对称，若120x x +=，则 ()()12g x g x +=（ ） A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 【答案】B 【解析】 ()21y f x =-为奇函数，故()21y f x =-的图象关于原点()0,0对称，而函数()y f x =的图 象可由()21y f x =-图象向左平移 1 2 个单位，再保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到，故()y f x =的图象关于点()1,0-对称，又()y f x =与()y g x =图象关于y x =对称，故函数()y g x =的 图象关于点()0,1-对称， 120x x +=，即12x x =-，故点()()()()1122,,,x g x x g x ，关于点()0,1-对称， 故()()122g x g x +=-，故选B. 【点评】本题主要考查函数的奇偶性、函数图象的平移变换、放缩变换以及函数的对称性，属于难题题.函数图像的确定除了可以直接描点画出外，还常常利用基本初等函数图像经过“平移变换”“翻折变换”“对称变 换”“伸缩变换”得到，在变换过程中一定要注意变换顺序.本题是利用函数的平移变换、放缩变换后根据对称性解答的. 【变式演练4】定义在上的奇函数，对于，都有，且满足， ，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【解析】 试题分析：由33()()44f x f x +=-，因此函数()f x 图象关于直线3 4 x =对称，又()f x 是奇函数，因此它也是周期函数，且3 434 T =?=，∵(4)2f >-，∵(4)(4)2f f -=-<，∵(2)(232)(4)f f f =-?=-，即3 2m m - <，解得103x x <-<<或. 考点：函数的奇偶性、周期性. 【高考再现】 1. 【2016高考新课标2理数】已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1 x y x +=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ???则 1 ()m i i i x y =+=∑（ ） （A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】C 【解析】 试题分析：由于()()2f x f x -+=，不妨设()1f x x =+，与函数11 1x y x x +==+的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选C. 考点： 函数图象的性质 【名师点睛】如果函数()f x ，x D ?∈，满足x D ?∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称 R )(x f R x ∈?)4 3()43 (x f x f -=+2)4(->f m m f 3 )2(- =m 1- 轴2 a b x += ；如果函数()f x ，x D ?∈，满足x D ?∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数的图象有对称中心. 2. 【2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ）】已知f(x)是定义域为(?∞,+∞)的奇函数,满足f(1?x)=f(1+x).若f(1)=2∵则f(1)+f(2)+f(3)+?+f(50)=（ ） A ． ?50 B ． 0 C ． 2 D ． 50 【答案】C 【解析】因为f(x)是定义域为(?∞,?+?∞)的奇函数，且f(1?x)=f(1+x)， 所以f(1+x)=?f(x ?1)∴f(3+x)=?f(x +1)=f(x ?1)∴T =4, 因此f(1)+f(2)+f(3)+?+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)， 因为f(3)=?f(1)，f(4)=?f(2)，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0， ∵f(2)=f(?2)=?f(2)∴f(2)=0，从而f(1)+f(2)+f(3)+?+f(50)=f(1)=2，选C. 点睛：考点：函数的周期性. 【名师点睛】函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． 3. 【2018年全国文科数学】已知函数f(x)=lnx +ln(2?x)，则 A ． f(x)在（0，2）单调递增 B ． f(x)在（0，2）单调递减 C ． y =f(x)的图像关于直线x=1对称 D ． y =f(x)的图像关于点（1，0）对称 【答案】C 【解析】由题意知，f(2?x)=ln(2?x)+lnx =f(x)，所以f(x)的图象关于直线x =1对称，故C 正确，D 错误；又f(x)=ln[x(2?x)]（0 【名师点睛】如果函数f(x)，?x ∈D ，满足?x ∈D ，恒有f(a +x)=f(b ?x)，那么函数的图象有对称轴x =a+b 2 ； 如果函数f(x)，?x ∈D ，满足?x ∈D ，恒有f(a ?x)=?f(b +x)，那么函数f(x)的图象有对称中心( a+b 2 ,0)． 4.【2016年高考四川理数】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4x f x =，则5 ()(1)2 f f -+= . 【答案】-2 【解析】 考点：函数的奇偶性和周期性. 【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把5()2 f -和(1)f ，利用奇偶性与周期性化为(0,1)上的函数值即可． 5. 【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学】函数f(x)满足f(x +4)=f(x)(x ∈R)，且在区间(?2,2]上，f(x)={ cos πx 2,0 |x +12|,?2 则f(f(15))的值为____∵ 【答案】√2 2 【解析】由f(x +4)=f(x)得函数f (x )的周期为4，所以f(15)=f(16?1)=f(?1)=|?1+1 2|=1 2,因此f(f(15))=f(1 2)=cos π 4=√22 . 考点：函数的周期性. 【名师点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式 求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 6. 【2016高考江苏卷】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1)-上， ,10, ()2 ,01, 5x a x f x x x +-≤ =?-≤ 其中.a ∈R 若59()()22f f -= ，则(5)f a 的值是 . 【答案】25 - 【解析】51911123()()()()22222255 f f f f a a -=-==?-+= -?=， 因此32 (5)(3)(1)(1)155 f a f f f ===-=-+=- 考点：分段函数，周期性质 【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值. 【反馈练习】 1．【河南省郑州市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测文科】设()f x 是R 上的奇函数且满足 ()()11f x f x -=+，当01x ≤≤时，()()51f x x x =-，则()2020.6f -=（ ） A ． 21 25 B ． 710 C ．85 - D ．65 - 【答案】D 【分析】 由题意可知，()f x 是以2为周期的周期函数，进而可得出()()2020.60.6f f -=-，再利用奇函数的性质可求得结果. 【详解】 对任意的x ∈R ，()()11f x f x -=+，即()()2f x f x =+， 所以，函数()f x 是以2为周期的周期函数，()()2020.60.6f f ∴-=-， 由于函数()f x 为R 的奇函数，且当01x ≤≤时，()()51f x x x =-， 因此，()()()()6 2020.60.60.650.610.65 f f f -=-=-=-??-=-. 故选：D. 2.【四川省宜宾市2021届高三上学期第一次诊断考试数学（文）】已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足， ()2()f x f x +=-，若[]12,0,1x x ?∈且12x x ≠时，都有11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则下列四个 结论中：①()y f x =图象关于直线2022x =对称；①(2022)0f =；①()y f x =在[]2019,2021上为减函数；①13()()32 f f >.其中正确的个数（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 A 【分析】 根据已知求得函数()f x 的周期以及单调区间，逐个选项判断即可得结论. 【详解】 因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-， 所以()()()2f x f x f x +=-=-，所以对称轴为1x =， 因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以周期为4， 所以对称轴()14x k k Z =+∈，故2022x =不符合，所以∵不正确； ()()()()20224505220f f f f =?+==-， 因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =， 所以(2022)0f =，所以∵正确； 因为[]12,0,1x x ?∈且12x x ≠时，都有11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+， 所以()()()()()() 112212x f x f x x f x f x >--，即()()()() 12120x x f x f x -->， 所以()f x 在[0]1， 上为增函数，所以()f x 在()41[,4]k k k Z +∈上为增函数， 所以()y f x =在[] 2020,2021上为增函数，所以∵不正确； 因为311222f f f ?? ????=--= ? ? ???????，1123f f ???? > ? ????? ， 所以1332f f ???? < ? ????? ，所以∵不正确，即正确的个数为1个， 故选：A. 【点睛】 关键点睛：本题考查抽象函数的周期和单调性对称性的综合应用，解答本题的关键是先由函数为奇函数结合()()2f x f x +=-，得到()()()2f x f x f x +=-=-和()()()42f x f x f x +=-+=，从而得到函数的对称性和周期性，根据条件得出()[] 1212()()0x x f x f x -->，得到函数的单调性. 3.【四川省宜宾市2021届高三上学期第一次诊断考试数学（文）】已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足， ()2()f x f x +=-，若[]12,0,1x x ?∈且12x x ≠时，都有11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则下列四个 结论中：①()y f x =图象关于直线2022x =对称；①(2022)0f =；①()y f x =在[]2019,2021上为减函 数；①13()()32 f f >.其中正确的个数（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】A 【分析】 根据已知求得函数()f x 的周期以及单调区间，逐个选项判断即可得结论. 【详解】 因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-， 所以()()()2f x f x f x +=-=-，所以对称轴为1x =， 因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以周期为4， 所以对称轴()14x k k Z =+∈，故2022x =不符合，所以∵不正确； ()()()()20224505220f f f f =?+==-， 因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =， 所以(2022)0f =，所以∵正确； 因为[]12,0,1x x ?∈且12x x ≠时，都有11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+， 所以()()()()()() 112212x f x f x x f x f x >--，即()()()() 12120x x f x f x -->， 所以()f x 在[0]1， 上为增函数，所以()f x 在()41[,4]k k k Z +∈上为增函数， 所以()y f x =在[] 2020,2021上为增函数，所以∵不正确； 因为311222f f f ?? ????=--= ? ? ???????，1123f f ???? > ? ????? ， 所以1332f f ?? ?? < ? ????? ，所以∵不正确，即正确的个数为1个， 故选：A. 【点睛】 关键点睛：本题考查抽象函数的周期和单调性对称性的综合应用，解答本题的关键是先由函数为奇函数结合()()2f x f x +=-，得到()()()2f x f x f x +=-=-和()()()42f x f x f x +=-+=，从而得到函数的对称性和周期性，根据条件得出()[] 1212()()0x x f x f x -->，得到函数的单调性. 4.【吉林省梅河口五中、辽源五中、四平四中2020-2021学年高三（上）第一次联考】已知函数()f x 的周期为5，当05x <<时，4()log f x x x =+，则(54)f =（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】A 【分析】 由函数的周期把(54)f 化为(4)f ，再计算函数值． 【详解】 解： 函数()f x 的周期为5，当05x <<时，4()log f x x x =+， 则(54)(5104)f f f =?+=(4)44log 4415=+=+=， 故选：A ． 5.【天津市南开中学2019-2020学年高三（上）】已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对于x ∈R 都有 (6)()+(3)f x f x f +=成立，且(6)2f -=-，当12x x ，[0,3]∈，且12x x ≠时，都有 1212 ()() 0f x f x x x ->-. 则给出下列命题：①(2016)2f =-；①6x =-为函数()y f x =图象的一条对称轴；①函数()y f x =在 (9,6)--上为减函数；①方程()0f x =在[9,9]-上有4个根；其中正确的命题个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】D 【分析】 ∵首先判断出函数()y f x =是以6为周期的周期函数，可得(2016)(0)f f =，即可得到答案; ∵根据函数的周期性可以直接得到结论; ∵利用单调性的定义可以得到答案; ∵根据(3)(3)0f f =-=，以及函数的周期性，得出答案. 【详解】 对于∵，令3x =-，由(6)()+(3)f x f x f +=得(3)0f -=，又函数()y f x =是R 上的偶函数，∵ (3)(3)0f f =-=，∵(6)()f x f x +=，即函数()y f x =是以6为周期的周期函数， ∵(2016)(3366)(0)f f f =?=；又(6)2f -=-，所以(0)2f =-，从而(2016)2f =-，即∵正确； 对于∵，函数关于y 轴对称，周期为6， ∵函数()y f x =图象的一条对称轴为6x =-，故∵正确； 对于∵，当12x x ，[0,3]∈，且12x x ≠时，都有 1212 ()() 0f x f x x x ->-设12x x <，则12()()f x f x <，故函数 ()y f x =在[0,3]上是增函数，根据对称性，易知函数()y f x =在[3,0]-上是减函数，根据周期性，函数()y f x =在(9,6)--上为减函数，故∵正确； 对于∵，因为(3)(3)0f f =-=，又由其单调性及周期性可知在[9,9]-，有且仅有 (3)(3)(9)(9)0f f f f =-==-=，即方程()0f x =在[9,9]-上有4个根，故∵正确. 故选：D. 6.【江西省信丰中学2020届高三上学期第三次月考数学（文）】已知奇函数()()f x x R ∈满足 (4)(2)f x f x +=-，且当[3,0)x ∈-时，1()3sin 2 f x x x π = +，则(2018)f =（ ） A ．1 4 - B ．13 - C ． 13 D ． 12 【答案】D 【分析】 由题意，求得函数()f x 满足(6)()f x f x +=，得到函数()f x 表示以6为周期的周期函数，进而得出 (2018)(33662)(2)(2)f f f f =?+==--，即可求解，得到答案. 【详解】 由题意，函数()()f x x R ∈为奇函数满足(4)(2)f x f x +=-， 所以(6)()f x f x +=，即函数()f x 表示以6为周期的周期函数， 因为当[3,0]x ∈-时，1()3sin 2 f x x x π = +， 所以11 (2018)(33662)(2)(2)3sin()22 f f f f π??=?+==--=-+-=? ?-??， 故选D. 7.【江苏省苏州中学2021届高三（10月份）调研】若定义在R 上的奇函数()f x 满足对任意的x ∈R ，都有()()2f x f x +=-成立，且()18f =，则()2019f ，()2020f ，()2021f 的大小关系是（ ） A ．()()()201920202021f f f << B ．()()()201920202021f f f >> C ．()()()202020192021f f f >> D ．()()()202020212019f f f << 【答案】A 【分析】 由()()2f x f x +=-，可推出()()4f x f x +=，从而可知函数()f x 是周期函数，周期为4，进而可得出()()20191f f =-，()()20200f f =，()()20211f f =，然后根据()f x 是R 上的奇函数，求出三个函数值，即可得出答案. 【详解】 因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即()f x 是周期函数，周期为4， 又函数()f x 是R 上的奇函数，所以()00=f ，()()118f f -=-=-， 则()()()2019318f f f ==-=-，()()202000f f ==，()()202118f f ==， 所以()()()201920202021f f f <<. 故选：A. 8．【河南省信阳市罗山县2020届高三毕业班第一次调研数学（理）】已知函数()f x 的定义域为R 的奇函数，当[]0,1x ∈时， ()3 f x x =，且x R ?∈① ()()2f x f x =-①则()2017.5f = A ．1 8 - B ． 18 C ．0 D ．1 【答案】B 【分析】 根据函数定义域及函数对称轴，求出函数的周期，进而化简求得函数值即可． 【详解】 因为()()2f x f x =-，所以函数图像关于1x = 对称 因为()f x 的定义域为R 的奇函数，所以函数的周期为T=4 所以()()()2017.55044 1.5 1.5f f f =?+= 因为函数图像关于1x = 对称 所以()() 1.50.5f f ==1 8 所以选B 9.【贵州省贵阳市四校2021届高三上学期联合考试】已知定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x -=-， (2)()f x f x +=-，且当01x <≤时，35()2log f x x x =-，则(47)f =（ ） A ．-1 B ．-2 C ．0 D ．1 【答案】B 【分析】 根据()()f x f x -=-，(2)()f x f x +=-，可知该函数的周期为4，然后再结合周期性、奇偶性将所求的函数值转化为已知区间上的函数值求解． 【详解】 因为()()f x f x -=-，(2)()f x f x +=-， (4)(2)()f x f x f x +=-+=， 所以()f x 是周期为4的奇函数． 所以(47)(1)f f f =-=-（1）2=-． 故选：B ． 10．【安徽省滁州市定远县育才学校2020-2021学年高三上学期8月月考】定义在R 上的奇函数()f x 满足 (1)f x +是偶函数，且当[0,1]x ∈时，()(32),f x x x =-则31 ( )2 f =（） A ． 12 B ．12 - C ．1- D ．1 【答案】C 【解析】 ()y f x =是定义在R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-，函数()1y f x =+是定义在R 上的偶函数， ()()()111f x f x f x ∴-+=+=--，()()2f x f x +=-，可得()()()42f x f x f x +=-+=，则() f x 的周期是4，()3111114431122222f f f f ?????? ???? ∴=?-=-=-=-?-=- ? ? ? ????????????? ，故选C. 函数 对称性与周期性关系 【知识梳理】 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。 如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即 点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知， 函数的对称性与周期性 一、相关结论 1．关于x 轴、y 轴、原点、x y =对称 2．周期性（内同） ① 若)()(x f T x f =+(0≠T )，则)(x f 为周期函数，T 为一个周期。 ② 若)()(b x f a x f +=+(b a ≠)，则)(x f 为周期函数，||a b -为一个周期。 ③ 若)()(x f a x f -=+(0≠a )，则)(x f 为周期函数，a 2为一个周期。 ④ 若) (1 )(x f a x f =+(0≠a )，则)(x f 为周期函数，a 2为一个周期。 3．自对称性（内反） ①若)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图像关于直线2 b a x += 对称；特别地，若)()(x a f x a f -=+，则)(x f 的图像关于直线a x =对称；0=a 为偶函数。 ②若)()(x b f x a f --=+，则)(x f 的图像关于点)0,2 ( b a +对称；特别地，若)()(x a f x a f --=+，则)(x f 的图像关于点)0,(a 对称；0=a 为奇函数。 ③若c x b f x a f =-++)()(，则)(x f 的图像关于点)2 ,2(c b a +对称。 4．互对称性 ①函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图像关于直线2a b x -=对称； ②函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=的图像关于点)0,2 (a b -对称； ③函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图像关于直线0=x 对称。 5． 对称性与周期性的关系 ①若)(x f 的图像有两条对称轴a x =和b x =(b a ≠)，则)(x f 为周期函数， ||2a b -为一个周期。 ②若)(x f 的图像有两个对称中心)0,(a 和)0,(b (b a ≠)，则)(x f 为周期函数， ||2a b -为一个周期。 若)(x f 的图像有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b (b a ≠)，则)(x f 为周期函 数，||4a b -为一个周期。 专题二：函数的周期性和对称性 【高考地位】 函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。 【方法点评】 一、函数的周期性求法 使用情景：几类特殊函数类型 解题模板：第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形； 第二步 准确求出函数的周期性； 第三步 运用函数的周期性求解实际问题. 例1 (1) 函数)(x f 对于任意实数x 满足条件) (1 )2(x f x f = +，若5)1(-=f ，则=))5((f f （ ） A ．5- B ．5 C ．51 D ．5 1- 【答案】D 考点：函数的周期性． (2) 已知()x f 在R 上是奇函数，且满足()()x f x f -=+5，当()5,0∈x 时，()x x x f -=2 ，则()=2016f （ ） A 、-12 B 、-16 C 、-20 D 、0 【答案】A 试题分析：因为()()5f x f x +=-，所以()()()105f x f x f x +=-+=，()f x 的周期为10，因此 ()()()()20164416412f f f =-=-=--=-，故选A ． 考点：1、函数的奇偶性；2、函数的解析式及单调性． 【点评】(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．(2)求函数周期的方法 【变式演练1】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f =（ ） A ．3- B ．0 C ．1 D ．3 【答案】B 第5炼 函数的对称性与周期性 一、基础知识 （一）函数的对称性 1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称 2、轴对称的等价描述： （1）()()f a x f a x -=+?()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数） （2）()()()f a x f b x f x -=+?关于2 a b x +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2 a b x +=为所给对称轴即可。例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ?=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便 （3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。 ① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分： 若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+????：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+???? ② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。 函数对称性、周期性和奇偶性规律 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数 )(x f y =，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周 期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==， 即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数 )(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，即) (11x f y =，通过 b x f x a f 2)()2(=+-可知， b x f x a f 2)()2(11=+-，所以 1 112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得 证。 若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2 ,2( c b a + 对称 （3）函数 )(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个 y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0，则 有可能会出现关于 b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 4、 周期性： （1）函数 )(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为 A 、 )()(x f T x f -=+ B 、) (1 )()(1)(x f T x f x f T x f - =+= +或 C 、 )(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或) (1) (1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立） （一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 推论1：)()(x a f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称 2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数 3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称 4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称 推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称 推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称 推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称 一:有关周期性的讨论 在已知条件()()f a x f b x +=-或 ()()f x a f x b +=-中， (1) 等式两端的两自变量部分相加得常数，如()()a x b x a b ++-=+，说明f x ()的图像具有对称性，其对称轴为2 b a x +=。 (2)等式两端的两自变量部分相减得常数，如()()x a x b a b +--=+，说明 f （x ）的图像具有周期性，其周期T=a +b 。 设a 为非零常数,若对于)(x f 定义域内的任意x 恒有下列条件之一成立 周期性规律 对称性规律 (1))()(a x f a x f +=- a T 2=? (1))()(x a f x a f -=+ a x =? (2))()(a x f x f += a T =? (2))()(x b f x a f -=+ 2 b a x += ? (3))()(x f a x f -=+ a T 2=? (3) )()(x b f x a f +=- 2b a x +=? (4))(1)(x f a x f =+ a T 2=? (4) )()(x b f x a f --=+ 中心点)0,2 (b a +? (5))(1)(x f a x f - =+ a T 2=? (5) )()(x a f x a f --=+ 为对称中心点)0,(a ? (6)1 )(1)()(-+=+x f x f a x f a T 2=? (7) 1()()1() f x f x a f x -+=+ a T 2=? (8) 1()()1()f x f x a f x -+=- + a T 4=? (9) ) (1)(1)(x f x f a x f -+=+ a T 4=? (10) )()()(a x f a x f x f ++-=, 0>a a T 6=? 函数的对称性与周期性练习题 1.已知函数)(x f 是R 上的偶函数，且满足3)()1(=++x f x f ，当[]1,0x ∈-时，()2f x x =+，则)5.2007(-f 的值为（ ） A ．0.5 B ．1.5 C ． 1.5- D ．1 2．定义在R 上的函数()f x 对任意x R ∈，都有()() ()()112,214 f x f x f f x -+==+，则()2016f 等于（ ） A. 14 B. 12 C. 13 D. 35 3.已知()f x 是定义在R 上的函数，满足()()()()0,11f x f x f x f x +-=-=+，当()0,1x ∈时，()2f x x x =-+，则函数()f x 的最小值为（ ） A. 14 B. 14- C. 12- D. 12 4.已知定义域为R 的函数()f x 满足()()4f x f x -=-+，且函数()f x 在区间()2,+∞上单调递增，如果122x x <<，且124x x +<，则()()12f x f x +的值（ ） A. 可正可负 B. 恒大于0 C. 可能为0 D. 恒小于0 5．函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是奇函数，则（ ） A. ()f x 是偶函数 B. ()f x 是奇函数 C. ()()2f x f x =+ D. ()3f x +是奇函数 6．函数31()1f x x x =++关于点__________对称 7．设()f x 为定义在R 上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则(7.5)f =__________ 8．设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[)1,1x ∈-时，()242,10,01 x x f x x x ?-+-≤<=?≤ 1.3.1 三角函数的周期性 一、课题：三角函数的周期性 二、教学目标：1.理解周期函数、最小正周期的定义； 2.会求正、余弦函数的最小正周期。 三、教学重、难点：函数的周期性、最小正周期的定义。 四、教学过程： （一）引入： 1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？…… （2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？ 2．观察正（余）弦函数的图象总结规律： 自变量x 2π- 32π- π - 2 π- 2π π 32 π 2π 函数值sin x 1 0 1- 0 1 1- 正弦函数()sin f x x =性质如下： 文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得； 符号语言：当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==． 也即：（1）当自变量x 增加2k π时，正弦函数的值又重复出现； （2）对于定义域内的任意x ，sin(2)sin x k x π+=恒成立。 余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。 （二）新课讲解： 1．周期函数的定义 对于函数()f x ，如果存在一个非零常数．．．．T ，使得当x 取定义域内的每一个值．．．．时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 说明：（1）T 必须是常数，且不为零； （2）对周期函数来说()()f x T f x +=必须对定义域内的任意x 都成立。 【思考】 （1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin( )sin 636π ππ+ =，能否说 23 π 是它的周期？ （2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，k Z ∈且0k ≠） （3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，* k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？ （是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+） 2．最小正周期的定义 对于一个周期函数()f x ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期。 说明：（1）我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的最小正周期； （2）从图象上可以看出sin y x =，x R ∈；cos y x =，x R ∈的最小正周期为2π； （3）【判断】：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （()f x c =没有最小正周期） 3．例题分析： – – 高中数学——函数的周期性 一、知识回顾 1．周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 2．最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 3．关于函数周期性常用的结论 (1)若满足()()f x a f x ＋＝－，则()(2)[()]()f x a f x a a f x a f x ＋＝＋＋＝－＋＝，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； (2)若满足1()()f x a f x ＋＝，则(2)[()]f x a f x a a ＋＝＋＋＝ 1() f x a +＝()f x ，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； (3)若函数满足1()() f x a f x +＝-，同理可得2a 是函数的一个周期(0a ≠). （4）如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±． （5）函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T -=?． （6）函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T -=?． （7）函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T -=?． 二、方法规律技巧 1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝Asin(ωx ＋φ)，用公式T ＝2π|ω| 计算．递推法：若f(x ＋a)＝－f(x)，则f(x ＋2a)＝f[(x ＋a)＋a]＝－f(x ＋a)＝f(x)，所以周期T ＝2a.换元法：若f(x ＋a)＝f(x －a)，令x －a ＝t ，x ＝t ＋a ，则f(t)＝f(t ＋2a)，所以周期T ＝2a ． 2．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题． 3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期． 函数对称性、周期性和奇偶性 关岭民中数学组 (一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：（奇偶性是一种特殊的对称性） 1、奇偶性:（1）奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0) ()(x f x f （2）偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f 2、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性 （1）函数的轴对称： 函数)(x f y 关于a x 对称)()(x a f x a f )()(x a f x a f 也可以写成)2() (x a f x f 或)2()(x a f x f 若写成： )()(x b f x a f ，则函数)(x f y 关于直线22)() (b a x b x a x 对称 证明：设点),(11y x 在)(x f y 上，通过)2()(x a f x f 可知，)2()(111x a f x f y ，即点)(),2(11x f y y x a 也在上，而点 ),(11y x 与点),2(11y x a 关于x=a 对称。得证。说明：关于a x 对称要求横坐标之和为2a ，纵坐标相等。∵1111(,)(,)a x y a x y 与关于x a 对称，∴函数)(x f y 关于a x 对称 )()(x a f x a f ∵1111(,)(2,)x y a x y 与关于x a 对称，∴函数)(x f y 关于a x 对称 )2()(x a f x f ∵1111(,)(2,)x y a x y 与关于x a 对称，∴函数)(x f y 关于a x 对称 )2()(x a f x f （2）函数的点对称： 函数)(x f y 关于点),(b a 对称b x a f x a f 2)()( 函数的周期性与对称性 1、函数的周期性 若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x)定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。 ①f(x＋a)＝f(x －a) ②f(x＋a)＝－f(x) ③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x) 2、函数的对称性与周期性 性质5 若函数y ＝f(x)同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b| 性质6、若函数y ＝f(x)同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b| 性质7、若函数y ＝f(x)既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝4|a －b| 3.函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 1、)()(x b f x a f -=+ ?)(x f y =图象关于直线2 2)()(b a x b x a x += -++= 对称 推论1：)()(x a f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 2、c x b f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),2 ( c b a +对称 推论1、 b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 例题分析： 1．设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则 )5.47(f 等于 ( ) （A ）0.5 （B ）5.0- （C ）1.5 （D ）5.1- 2、（山东）已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 3．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，(1)2,(1)(6),f f x f x =+=+求(10).f 4．函数)(x f 对于任意实数x 满足条件1 (2)() f x f x += ，若(1)5f =-，则[(5)]f f =___ 函 数的奇偶性与周期性 提高精讲 奇函数 偶函数 定义 如果对于函数f (x )的定义域内的任意一个x 都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数 都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数 特点 图象关于原点对称 图象关于y 轴对称 1. 函数f (x )＝0，x ∈R 既是奇函数又是偶函数 2.奇偶函数常用结论： (1) 两个偶函数相加所得的和为偶函数. (2) 两个奇函数相加所得的和为奇函数. (3) 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数. (4) 两个偶函数相乘所得的积为偶函数. (5) 两个奇函数相乘所得的积为偶函数. (6) 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数. 3.周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 4.周期函数常见结论： (1)若f (x ＋a )＝f (x －a )，则函数的周期为2a . (2)若f (x ＋a )＝－f (x )，则函数的周期为2a . (3)若f(x+a)=() x f 1 (a>0),则函数的周期为2a . (4)若f (x ＋a )＝－() x f 1，则函数的周期为2a . 5.对称函数 如果函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线2 a b x +=对称. 练习：1. 设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ? ?? ??－52＝________. 2. 若函数f (x )＝x ?x －2??x ＋a ? 为奇函数，则a ＝( ) 3. 已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B 13 D ．－12 【难点一 奇偶性与不等式】 第8节 函数的周期性 【基础知识】 1．周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 2．最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 3．关于函数周期性常用的结论 (1)若满足()()f x a f x ＋＝－，则()(2)[()]()f x a f x a a f x a f x ＋＝＋＋＝－＋＝，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； (2)若满足1()()f x a f x ＋＝，则(2)[()]f x a f x a a ＋＝＋＋＝ 1() f x a +＝()f x ，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； (3)若函数满足1()() f x a f x +＝-，同理可得2a 是函数的一个周期(0a ≠). （4）如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±． （5）函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T -=?． （6）函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T -=?． （7）函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T -=?． 【规律技巧】 1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝Asin(ωx ＋φ)，用公式 T ＝2π|ω| 计算．递推法：若f(x ＋a)＝－f(x)，则f(x ＋2a)＝f[(x ＋a)＋a]＝－f(x ＋a)＝f(x)，所以周期T ＝2a.换元法：若f(x ＋a)＝f(x －a)，令x －a ＝t ，x ＝t ＋a ，则f(t)＝f(t ＋2a)，所以周期T ＝2a ． 2．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题． 3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期． 函数对称性与周期性几个重要结论赏析 对称性和周期性是函数的两个重要性质，下面总结这两个性质的几个重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。 一、 几个重要的结论 （一）函数图象本身的对称性（自身对称） 1、函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称。 2、函数)(x f y =满足)2()(x T f x f -=（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称。 3、函数)(x f y =满足)()(x b f x a f -=+的充要条件是)(x f y =图象关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++=对称。 4、如果函数 )(x f y =满足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+，（1T 和2T 是不相等的常数），则)(x f y =是以为)(212T T -为周期的周期函数。 5、如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以4T 为周期的周期性函数。 6、如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以2T 为周期的周期性函数。 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、曲线 )(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称。 2、曲线)(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。 3、曲线)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。 4、曲线0),(=y x f 关于直线b x =对称曲线为0)2,(=-y b x f 。 5、曲线0),(=y x f 关于直线0=++c y x 对称曲线为0),(=----c x c y f 。 6、曲线0),(=y x f 关于直线0=+-c y x 对称曲线为0),(=+-c x c y f 。 7、曲线0),(=y x f 关于点),(b a P 对称曲线为0)2,2(=--y b x a f 。 二、试试看，练练笔 1、定义在实数集上的奇函数 )(x f 恒满足)1()1(x f x f -=+，且)0,1(-∈x 时, 512)(+=x x f ,则=)20(log 2f ________。 2、已知函数)(x f y =满足0)2()(=-+x f x f ，则)(x f y =图象关于__________对称。 3、函数)1(-=x f y 与函数)1(x f y -=的图象关于关于__________对称。 4、设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=-，则)(x f y =的图象关于__________ 对称。 5、设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=+，则)1(+=x f y 的图象关于__________对称。)(x f y =图象关于__________对称。 6、设)(x f y =的定义域为R ，且对任意R x ∈，有)2()21(x f x f =-，则)2(x f y =图象关于__________对称，)(x f y =关于__________对称。 7、已知函数)(x f y =对一切实数x 满足)4()2(x f x f +=-，且方程0)(=x f 有5个实根，则这5个实根之和为（ ） A 、5 B 、10 C 、15 D 、18 8、设函数 )(x f y =的定义域为R ，则下列命题中，①若)(x f y =是偶函数，则)2(+=x f y 图象 高一数学必修一函数专题：周期性 【知识点一】：周期函数与周期 （Ⅰ）周期函数的定义：函数的图像由一段图像重复出现组成，该函数为周期函数。 （Ⅱ）周期的定义：这一段重复图像在x 轴上的长度为周期。 （Ⅲ）最小正周期的定义：这一段重复图像内部无重复，在x 轴上的长度为最小正周期。例题：根据下列图像判断函数的周期和最小正周期。 第一题 第二题解答：第一题：周期：k T ?=2π，Z k ∈；最小正周期：2 π=T 。第二题：周期：k T ?=2，Z k ∈；最小正周期：2=T 。 【知识点二】：周期定义式 （Ⅰ）定义式描述：周期函数的自变量x 加上或者减去一个周期或者周期的倍数，函数值不变。 （Ⅱ）定义式：)()(T k x f x f ?+=，Z k ∈。 例题一：已知：函数)(x f 的周期为2，当)1,1(-∈x 时：1)(-+=x e x f x 。 计算：)12(f 的值。 解答：函数)(x f 的最小正周期为2)0()620()12(f f f =?+=?，0)12(01110)0(0=?=-=-+=f e f 。例题二：已知：周期为2的函数)(x f 在R x ∈上是奇函数，当)1,0(∈x 时：12log )(2-+=x x x f 。计算：2 11(f 的值。解答：函数)(x f 的周期为2)2 1()2321()211(-=?+-=?f f f 。函数)(x f 在R x ∈上是奇函数21()21 (f f -=-?，1111121221log )21(2 -=-+-=-?+=f 1)2 1(211(1)1(21()21(=-=?=--=-=-?f f f f 。例题三：已知：周期为3的函数)(x f 在R x ∈上是偶函数，当)0,1[-∈x 时：2 2)(x x f x -=。计算：)13(f 的值。 解答：函数)(x f 的周期为3)1()341()13(f f f =?+=?。 函数)(x f 在R x ∈上是偶函数)1()1(-=?f f ，2 1)1(21121)1(2)1(21-=?-=-=--=--f f ，2 1)1()13(-==?f f 。【知识点三】：周期式 （Ⅰ）)()(a x f x f +=，周期为||a T =。 例题：根据函数关系式判断函数的周期。 ①)3()(-=x f x f ②2 1 ()(+=x f x f 解答：①)3()(-=x f x f ?)(x f 的周期：3=T 。②21 ()(+=x f x f ?)(x f 的周期：2 1=T 。（Ⅱ）)()(b x f a x f +=+，周期为||b a T -=。 【推理】：假设：a t x a x t -=?+=； 函数的奇偶性、对称性与周期性常用结论，史上最全 函数是高中数学的重点与难点，在高考数学中占分比重巨大。高考中对函数的考查灵活，相关的结论众多，有奇偶性，对称性，还有周期性，这些结论及变形能否掌握，都影响着学生的最终成绩。本篇将函数的奇偶性、对称性与周期性常用的结论进行总结，希望对同学们有帮助。需要WORD 电子文档的同学，可以入群领取。 1.奇偶函数： 设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),(Y --∈∈=或奇偶函数的定义域关于原点对称。 ①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-() ()()0,1() f x f x f x f x +-==-- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。() ()-()0,1() f x f x f x f x -==- 2.周期函数的定义： 对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。 分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量 )()0,(x f y kT ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。 [][]?? ?++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 函数对称性、周期性全解析 函数对称性、周期性是函数这一部分在历年高考中的一个重点，现在全部解析如下： 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知， )2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得证。 若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2,2( c b a + 对称 （3）函数)(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值， 都有两个y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 2. 奇、偶函数的性质 （1）函数f （x ）是奇函数或偶函数的条件是定义域关于原点对称。 （2）奇函数f （x ）的图象关于原点对称，偶函数g （x ）的图象关于y 轴对称。 （3）奇+奇=奇, 奇-奇=奇, 偶+偶=偶 ,偶-偶=偶.奇+偶无定则。奇*偶=奇 ,偶*偶=偶 ,奇*奇=偶； 在公共定义域内，两奇函数之积（商）为偶函数，两个偶函数之积（商）也为偶函数；一奇一偶函数之积（商）为奇函数（取商时分母不为零）。 1)函数y=f(x),x ∈R,若f(x+a)=f(x-a)，则函数的周期为 2）函数y=f(x),x ∈R,若f(x+a)=-f(x)，则函数的周期为 3）函数y=f(x),x ∈R,若) (1)(x f a x f ±=+，则函数的周期为 的周期为 则满足）若函数（的周期为则满足）若奇函数（的周期为则满足）若偶函数（的周期为则）若（的周期为则）若（)(, 6)2()()(5_______; )(), ()2()(4_______; )(), ()2()(3_______; )(),()4(2_______; )(),()8(1x f x f x f x f x f x f a x f x f y x f x f a x f x f y x f x f x f x f x f x f =+?-=+=-=+=-=+=+ ___;)11(,3)1(4)(2____;)13(,3)1(,4)(1====f f x f f f x f 则的奇函数，且是周期为）若（则的周期为）若（ 1.1.3.3.)( )7(,2)()2,0(),()4()(.4--=+=∈=+D C B A f x x f x x f x f R x f 则时，当上是奇函数，且满足在已知 5.对任意实数x,下列函数为奇函数的是 （ ） A.y=2x-3 B.y=-3x 2函数对称性与周期性关系
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