函数概念的历史发展
众所周知，函数是数学中一个重要概念，它几乎渗透到每一个数学分支，因此考察函数概念的发展历史及其演变过程，无疑有助于我们学生更深刻、更全面地理解函数的本职，并且从中得到有益的方法论启示。
1 函数概念的产生阶段—变量说
马克思曾认为，函数概念是源于代数中自罗马时代就已经开始的不定方程的研究，那时，伟大的数学家丢番图对不定方程的研究已有相当程度，据此，可以认为函数概念至少在那时已经萌芽。实际上作为变量和函数的朴素概念，几乎和数学源于同一时期，因为数学家在研究物体的大小及位置关系时，自然会导致通常称为函数关系的那种从属关系。但是，真正导致函数概念得以迅速发展则是在16世纪以后，特别是由于微积分的建立，伴随这一学科的产生、发展和完善，函数概念也经历了产生、发展和完善的演变过程。
哥白尼的天文学革命以后，运动成为文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，到了16世纪，对于运动的研究已变成自然科学的中心问题。在这一时期，函数概念在不同科学家那里有着不同形式的描述。在伽利略的《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数的思想，他用文字和比例的语言表述函数关系。例如，他提出：“两个等体积圆柱体的面积之比，等于它们高度之比的平方根。”“两个侧面积相等的正圆柱，其体积之比等于它们高度之比的反比。”他又说：“从静止状态开始以定常加速度下降的物体，其经过的距离与所用时间的平方成正比。”这些描述非常清楚地表明伽利略已涉及并讨论变量和函数，但他并没有做出一般的抽象，并且也没有把文字叙述表示为符号形式。
几乎与此同时，许多数学家，如托里拆利、瓦里斯、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹等，从不同角度对函数进行了不同程度的研究.有的数学家是把一些具体的函数看成曲线进行研究,尽管当时还没有建立实连续的概念,但数学家却默认曲线都是连续的。托里拆利就曾对曲线()0≥
y ex进行过研究；而瓦里斯在他的《动学》中研究过正弦曲
=x
ae
线，并注意到了这一函数的周期性。麦尔先纳研究了旋轮线等等，总的来讲，当时关于对数曲线和指数曲线的研究比较普遍。在解析几何产生前后，人们除了已认识的代数曲线外，还确定了相当多的超越曲线。笛卡儿在其著作中提到了几何曲线与机械曲线的区别并由此引出代数曲线(函数)和超越曲线(函数)的区别。
到了17 世纪，牛顿在创立微积分的过程中一直用“流量”一词来表示变量之间的依赖关系，并且从运动的角度，把曲线看成是动点的轨迹。他在《求曲边形的面积》中说：“我认为这里的数学量，不是由小块合成的，而是由连续运动描出的，线(曲线)是描画出来的，因而它的产生不是由于凑零为整，而是由于点的连续运动…”格雷果里在他的论文《论圆和双曲线的求积》中，给出函数这一模式的素朴描述，他定义函数是从一些其它的量经过一系列代数运算而得到的量，或者是经过任何其它可以想象到的运算而得到的。据他自己解释，这里的“可以想象到的运算，除了加、减、乘、除和开方外，还有极限运算。格雷果里给出的是函数的解析定义，由于此后不久就证明这一定义太狭窄，也就逐渐被人们遗忘。
"函数"作为数学术语是由微积分的另一位创立者莱布尼兹于1673年引进的,他用"函数"一词表示任一个随着曲线上的点变动的量,并指出:"象曲线上点的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等,所有与曲线上的点有关的量称为函数."除此以外,他还引进了“常量”、
‘变量”和“参变量”等概念,一直沿用到现在,这个定义仅是在几何范围内揭示某些量之问所存在的依赖关系,并无给出函数的解析定义,因此,莱布尼兹所给出的函数的定义可看成是“函数概念的几何起源"。
总之，到了17 世纪末，人们还没有从普遍意义上对函数这一概念的本质认识清楚。
2 函数概念的发展阶段—对应说
正如所知,微积分是一门研究变量和函数的学科。尽管牛顿和莱布尼兹创立了微积分，但由于他们对包括函数在内的一些基本概念，特别是对微积分赖以建立的基础一无穷小量的认识含混不清，出现了运算过程中的逻辑矛盾，导致了数学发展史上所谓的第二次数学危机。从而促使了数学家进一步寻找微积分可靠的基础，在这艰苦的探索过程中，函数自然也就成为数学家必须研究的对象。
第一个在莱布尼兹工作的基础上作出函数概念推广的是约翰·贝努里，他指出：在这里，一个变量的函数是指由这个变量和常数以任意一种方式构成的量。在符号方面，约翰·贝努里利用x 或心表示一般的x的函数，但到了1718 年，他又改为中x。约翰·贝努里在函数概念中所说的任意的方式，包括代数式子和超越式子。
数学家欧拉首先以函数的概念表示以及研究函数的无限过程建立一个与几何学和代数学相独立存在的分支一分析学，他在《无穷小分析引论》(以下简称《引论》)中，函数概念起着重要而又明确的作用，
欧拉是把函数而不是把曲线作为主要研究对象的，他第一个把对数作为指数、把三角函数作为数值之比而不是作为一些线段进行系统论述的，并且指出了显函数与隐函数、单值函数与多值函数、一元函数与多元函数之间的区别，引进了现用的函数符号f(x)。欧拉把约翰·贝努里给出的函数的定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，同时指出前者只有自变量问的代数运算，后者指三角函数、对数函数、指数函数以及变量的无理数幂所表示的函数。在《引 论》中，欧拉把指数函数和对数函数分别定义为：
n n x n x e )1(lim +=∞→，)1(log 1
lim -=∞→n n x n x 他还详细地讨论了指数函数、对数函数以及三角函数的展开式，并搞清了三角函数的周期性，引入了三角函数符号和角弧度。除了上述所讨论的各种函数外，欧拉还考虑了“表示任意地画出的曲线的函数”，并称之为“随意函数”，众所周知，连续函数()x f y =所表示的曲线与y 轴平行的两直线及x 轴所围成图形的面积S(x)，可用f(x) 定积分dt t f x
a )(?来表示，但S(x) 却未必只由x 和常数C 经过算术、三
角、对数和指数运算而得到的函数来表示。从而函数概念由微积分得到进一步扩展。不难看出，欧拉给出的函数的定义比约翰·贝努里的定义更普遍、更具有广泛意义。欧拉给出的定义是
一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解折表达式。
除此之外，欧拉还规定一个给定的函数在它的整个“定义域”内是由同样一个“解析表达式"来描述的，这种观点在数学家拉格朗日的著作中也有所体现,如在他的名著《解析函数论》中,他把函数定义为在其中可以按任何形式出现并对计算有用的表达式。他在《函数计算教程》中说：“函数代表着要得到未知量的值而对已知量要完成的那些不同运算，未知量的值本质上只是计算的最终结果。也就是说，函数是运算的一个组合。”尽管后来由于欧拉、达朗贝尔和丹尼尔·贝努里在偏微分方程的研究中发现：整条曲线并不能用一个方程来表示， 这迫使数学家修正函数的概念，但到了18 世纪，甚至19 世纪初，函数由一个解析式给出的观点仍然占统治地位，并认为连续曲线给出的连续函数一定能由一个解析表达式表示，由不连续的曲线或折线所表示的函数不可能由一个解析式表示。
由于受到多项式函数的影响，即若对于n+ 1个x 的值
多项式
0111a x a x a x a n n n n ++++-- 与
0111b x b x b x b n n n n ++++--
都相等，则这两个多项式相等。人们普遍认为，对区间][b a ，上的一切值，恒有相同函数值的两个函数是完全相同的，而对][b a ，以外的x 值，这两个函数的值也相等。
与此类似，由于受到三角函数特性的影响，许多数学家认为，只有周期性的曲线才能用周期函数来表示。在这一时期，既没有得到任何广泛采用的定义，也没有解决什么样的函数可用三角级数来表示， 所有这些表明，函数的概念还有待于继续发展。
1800年前后，数学家开始关心分析的严密化问题，函数概念自然也成为严密化的对象。具体地表现在两个方面：一方面对原来有关函数的错误看法和片面的观点进行橙清纠正；另一方面继续探讨函数概念的本质，建立含义更广泛的函数概念第一个冲破用解析式给出函数的观点是拉克鲁瓦，他在1797 年给出的函数的定义是
每一个量，如果它依赖一个或几个别的量，不管人们知道不知道用何种必要的运算可以得到前者，就称前者为这个或这些量的函数。
拉克鲁瓦还以五次方程的根是系数的函数为例给出相应的说明，这无疑对函数的概念又作出一次扩展。
在这一时期，傅里叶对函数概念的发展做出了巨大的贡献，尽管他也支持用解析式给出函数的观点，但他更深刻地揭示了函数的本
质，他在1807 年发表的题为《热的分析理论》的论文中，证明了“由不连续的曲线给出的函数，能用一个三角函数式来表示”。通过实例分析，傅里叶指出不连续函数可用一个式子，或者可用多个式子来表 示，这就否定了“不连续函数不可能用一个解析式来表示”的观点。 傅里叶通过实例指出“在某一区问上恒有相同函数值的两个函数是完全相同的”这一观点的错误。根据傅里叶的研究，不仅周期函数，而且任意连续函数f(x) 在-ππ≤≤x 的范围内都可用正弦函数、余弦函数这样的周期函数来表示，甚至不能用解析式给出的函数都可用三角级数来表示，这个观点非常重要，它动摇了18 世纪关于分段连续函数的观念。
柯西于1823 年分别给出了变量和函数的定义，指出“人们把依次取许多互不相同的值的量叫做变量。”“当变量之网这样联系起来的时候，即给定了这些变量中的一个值，就可以决定所有其它变量的值的时候，人们通常想象这些量是用其中的一个来表示的，这时这个量就取名为自变量，而由这自变量表示的其它的量就叫做这个自变量的
函数。”按照此定义，不管y是用一个式子还是用多个式子表示，只要对每个x的值，有完全确定的y值与它对应，y就是x的函数。柯西当时非常清楚无穷级数是规定函数的一种方法，但函数未必受到解析式的约束，不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这仍然是一个很大的限制。
突破这一限制的是杰出数学家狄利克雷，他给出函数数的定义是若对x的每一个值，有完全确定的y值与之对应，不管建立起的这种对应方式如何，都称y是x的函数。
由这个定义不难看出，狄利克雷是用对应的观点给出函数定义的，至于自变量之阿的联结方式如何，即y是按照一种或多种规律依赖于x，或者y依赖于x是否可用数学运算表示，这是无关紧要的。并且他还构造一个以他自己名字命名的著名的狄利克雷函数
a x为有理数
f(x)= a、b为不同的常数
b X为无理数
上述对应的思想是数学开始由过去研究的“算”到以后研究“观念”性质和结构的转变的标志，具有重要的理论意义。
随后的斯铎克斯、罗巴切夫斯基、黎曼等都分别给出了函数的定义。例如，黎曼于1851 年给出这样一个定义：
我们假定z是一个变量，它可以逐次取所有可能的实数值。若对它的每个值都有未定量w的唯一的一个值与之对应，则w称为y的函数.
黎曼指出，这个定义完全没有规定在单个的函数值之间存在一种规律，此时，如果函数在某个区问已有定义，它在该区问外的延拓方式是完全任意的，人们所定义的量w对量z的依赖关系是任意给定的或是由量的某种运算所确定并没有什么差异。
总之，从18 世纪前后开始，经过许多数学家的不断探索和研究函数概念有了长足的发展。但至少到19 世纪前半期，关于函数概念的叙述仍是不一致的，比如，当时一些最好的教科书，有的沿用18 世纪函数解析式的定义，有的利用近似黎曼的定义等等。因此函数的概念仍需进一步完善。
3 函数概念的完善阶段——关系说
在分析严格化的过程中，集合论的思想逐渐形成。皮亚诺发展了《无穷悖论》标志他第一个朝着建立集合的明确理论的方向迈出积极步伐的人。后来的康托尔对集合的概念、性质以及集合与集合之问的
关系进行了一系列的系统研究，从而建立起具有重大意义集合论基
础，康托尔认为，所谓集合就是一些确定的不同的东西的总体，这些
东西人们能意识到，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
无疑，集合的概念比人们以前研究的各类特殊的数集更具一般意义，
从而也就有着广泛的应有性。尽管集合论的产生受到许多数学家的指
贵和攻击，仍有许多数学家利用集合论解决了许多问题，建立了许多
概念，函数概念也正是在集合概念的基础上得到最终完善。
戴德金于1887 年给出了这样一个定义：
系统S上的一个映射蕴含了一种规则，按照这种规则，S 中的每
一个确定的元素都对应着一个确定的对象，它称为S的映像,记作()S
Φ,我们可以说，()S
Φ由映射中作用于s而产生或导Φ中对应于元素S，()S
出，s经映射Φ变换成()S
Φ。
这里至于系统s的对象是什么，并无限制这是函数概念的一次极
大扩充，最终给出完善的现代函数定义的是法国的布尔巴基学派，定
义如下：
设E 和F是两个集合，它们可以不同，也可以相同。E 中的一个变元x和F中的变元y 之问的一个关系称为一个函数关系，如果对每一个x∈E，都存在唯一的y∈F，,它满足与x的给定关系。我们称这样的运算为函数，它以上述方式将与x有给定关系的元素y∈F 与每一个元素x∈E相联系，我们称y是函数在元素x处的值，函数由给定的关
系所确定，两个等价的函数关系确定同一个函数。现代数学分支中的
函数定义大都是根据这一定义简化而成的。就这样，函数概念从变量
说发展到对应说，又从对应说进一步完善到现在的关系说，这就是函
数概念的整个历史发展过程。
通过对函数概念的历史发展的了解，可以让同学们对函数概念了
解更加全面，也可以激起同学们对函数学习的兴趣。
《函数》整体学习指导 解读：该部分学习意在通过对函数基本概念的理解（函数的概念丄、 巩固（分段函数）和加深（映射的概念）（教材中先函数后映 射遵循概念发展的历史过程）；基本性质的学习（为什要只重点研究函数 的这几个性质？水浒传里有108将，但是只对武松、鲁智深、 林冲等十几个人着力刻画，这是文学家的方法，也是数学家的方法。 函数（Function）本部分学习的目的是通过学习形成函数研究的一般方法和套路。 基本初等函数（指数、对数、幕函数） / 解读：该部分学习是在形成函数研究的一般方法之后对方法的 有力尝试，在尝试中不断加深对函数研究一般方法的认识和理解。 数学内部发展（函数的零点、二分法求方程近似解） 函数的应用（数学发展的两条主线都涉及了） 社会现实需要（解决社会与生活中的实际问题） 第一节：函数概念的起源及其历史演变 我们要参观的景点：（The seenery we ' II visit ） 1.函数的概念是什么？（What？） 2.为什么要建立函数的概念？（Why ?） 3.函数的概念是如何建立的？函数概念的建立经历了怎样的历史演变过程? （How？）
景点一：函数的概念是什么？函数的概念是如何建立的? 函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300年来函数概念的发展， 众多数学家从集合、代数、对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。 案例1:圆的面积S与圆半径r的关系； 案例2:锐角:与锐角1互余，:与1的关系； 案例3:气体的质量一定时，它的体积V与它的密度之间的关系； 【思考1】上述的每一个问题在变化过程中，谁是常量，谁是变量？都涉及几个变量？【思考2】两个变量之间的关系是通过什么来刻画的？ 【思考3】综合思考1和思考2的解答，总结上述例子变量间关系的共同特点？ 【早期函数概念】 十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关 系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔在他的解析几 何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念。 1718年约翰?贝努利对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构 成的量（是历史上第一个正式发表的明确的函数定义），贝努利把变量x和常量按任何方 式构成的量叫“ x的函数”。 欧拉在《无穷分析引论》（1748）中给出的函数定义是："一个变量的函数是由该 变量和一些数或常量以任何方式组成的解析式。” 【总结】十七和十八世纪的数学家对函数问题的认识上有着共同的思考：函数就是解 析式
【最新整理，下载后即可编辑】 函数概念的历史发展 函数概念是中学中最重要的概念之一，它既是数学研究的对象，又是解决数学问题的基本思想方法。早在16、17世纪，生产和科学技术的发展要求数学不仅研究静止不动的量，而且要研究运动过程中各个量之间的依赖关系，从而促进数学由常量上学时期进入到变量数学时期。函数也就成为研究变量数学必不可少的概念。 函数（function ）一词，始用于1692年，见著于微积分创始人之一莱布尼兹G.W.Leibnic,1646—1717）的著作。而f(x)则由欧拉（Euler ）于1724年首次使用。我国于1859年引进函数的概念，它首次是在清代数学家李善兰与英国传教士伟烈亚历山大合译的《代微积拾级》中出现。函数在初高等数学中，在物理、化学和其他自然科学中，在经济领域和社会科学中，均有广泛的应用，起着基础的作用。 函数的概念随着数学的发展而发展，函数的定义在发展过程中不断地精确、完善、抽象，函数的概念也不断得到严谨化、精确化的表达。 牛顿在《自然哲学的数学原理》中提出的“生成量”就是函 数概念的雏形。最初，函数是表示代数上的幂（23,,,x x x …），1673 年，莱布尼兹把任何一个随着曲线上的点变动的几何量，如切线、法线，以及点的横坐标都成为函数。 一、解析的函数概念 在18世纪占主导地位的观点是，把函数理解为一个解析表达式． 1698年，瑞士著名数学家约翰·贝努利定义：由变量x 和常量用任何方式构成的量都可以称为x 的函数．这里任何方式包括代数式子和超越式子． 1748年，约翰的学生，杰出数学家欧拉在它著名的《无穷小分析引沦》中把函数定义为“由一个变量与一些常量通过任何方
实习报告 2011年10月5日 题目函数概念发展的历史过程 作者组长：张婕组员：王笑晗，李良芳，薛兰瑞宁,严娟娟 摘要函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，也是数学的核心,纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。本文通过对函数概念的发展与比较的研究，对函数概念的几个方面进行一些探索,分为这几个方面: 1 早期函数概念——几何观念下的函数 2 十八世纪函数概念——代数观念下的函数 3 十九世纪函数概念——对应关系下的函数 4现代函数概念——集合论下的函数 正文第一方面:早期函数概念——几何观念下的函数 在欧洲，函数这一名词，是微积分的奠基人莱布尼兹首先采用的，他在年发1692表的数学论文中，就应用了函数这一概念，不过莱布尼兹仅用函数一词表示幂。后来,在十七世纪,伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线来研究的。 第二方面:十八世纪函数概念——代数观念下的函数 1718年瑞士数学家约翰·贝努利使用变量概念在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义给出了不同于几何形式的函数定义：函数就是变量和常量以任何方式组成的量，并首先采用符号作为函数的记号。也就是把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x 的函数”，表示为，其在函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子。 数学家欧拉在其著作《无穷小分析论》中，把凡是给出解析式表示的变量统称为函数。1734年，欧拉首先创造十分形象且沿用至今的符号作为函数的记号，欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍,形象,但关于函数的定义，欧拉并没有真正揭示出函数概念的实质。 第三方面: 十九世纪函数概念——对应关系下的函数 1822年傅里叶发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，从
对数函数的产生和发展历程 一、对数函数的产生： 16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的天文数值计算，于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数。德国的史蒂非（1487-1567）在1544年所著的《整数算术》中，写出了两个数列，左边是等比数列（叫原数），右边是一个等差数列（叫原数的代表，或称指数，德文是Exponent ，有代表之意）。欲求左边任两数的积（商），只要先求出其代表（指数）的和（差），然后再把这个和（差）对向左边的一个原数，则此原数即为所求之积（商），可惜史提非并未作进一步探索，没有引入对数的概念。 在纳皮尔所处的年代,哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行,这导致天文学成为当时的热门学科.可是由于当时常量数学的局限性,天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”,因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.纳皮尔也是当时的一位天文爱好者,为了简化计算。他所制造的「纳皮尔算筹」，化简了乘除法运算，其原理就是用加减来代替乘除法。他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法，他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法，其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的1619年发表《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数，记为Nap．㏒x，它与自然对数的关系为：Nap．㏒x=10㏑(107/x)由此可知，纳皮尔对数既不是自然对数，也不是常用对数，与现今的对数有一定的距离。瑞士的彪奇（1552-1632）也独立地发现了对数，可能比纳皮尔较早，但发表较迟（1620）。英国的布里格斯在1624年创造了常用对数。1619年，伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近（以e=...为底）。对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响，简化了行星轨道运算问题。 二、对数函数的发展过程： 最早传入我国的对数著作是《比例与对数》,它是由波兰的穆尼斯（1611-1656）和我国的薛凤祚在17世纪中叶合编而成的.当时在lg2=中,2叫「真数」,叫做「假数」,真数与假数对列成表,故称对数表.后来改用「假数」为「对数」.我国清代的数学家戴煦（1805-1860）发展了多种的求对数的捷法,著有《对数简法》（1845）、《续对数简法》（1846）等.1854年,英国的数学家艾约瑟（1825-1905）看到这些著作后,大为叹服.当今中学数学教科书是先讲「指数」,后以反函数形式引出「对数」的概念.但在历史上,恰恰相反,对数概念不是来自指数,因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念.布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议.1742年,J．威廉（1675-1749）在给G．威廉的《对数表》所写的前言中作出指数可定义对数.而欧拉在他的名著《无穷小分析寻论》（1748）中明确提出对数函数是指数函数的逆函数,和现在教科书中的提法一致.
总课题：数学的发展史 子课题：函数的发展史 一、组长：李 组员：刘田仁姬孙二、指导老师：张
三、班级：高一12班 四、成员简介： 李：性格开朗、刻苦认真担任组长 刘：喜欢英语、大方担任搜集 仁：喜欢信息、刻苦认真担任写作 姬：开朗大方、热情担任搜集 孙：爱好动漫、画画性格外向担任整理 田：开朗大方刻苦认真担任整理 五、选题的原因： 开阔视野，增长见识。提高我们的数学修养‘可以使我们更好的融合在一起，加强团结，了解数学。 六：研究计划： 共六人：姬刘担任搜集 李仁担任写作 孙田整理资料 七：研究成果： 历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分 有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨大作用． 马克思曾经认为，函数概念来源于代数学中不定方程的研究．由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽． 自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，人们在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自转和公转，那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆，原理是什么?还有，研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度，以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题，既是科学家的力图解决的问题，也是军事家要求解决的问题，函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念，这是函数概念的力学来源．
函数发展简史 最早提出函数（function）概念的，是１７世纪德国数学家莱布尼茨． 后又经历了贝努利、欧拉等人的改译。 １８２１年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数，在柯西的定义中，首先出现了自变量一词。 １８３４年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步指出了对应关系（条件）的必要性，利用这个关系以求出每一个ｘ的对应值． 康托尔 自从德国数学家康托尔的集合论被大家接受后，用集合对应关系来定义函数概念就是现在高中课本里用的了。 . 中文数学书上使用的“函数”一词是转译词．是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》一书时，把“function”译成函数。
优美的函数图象
笛卡尔的故事 当时法国正流行黑死病，笛卡儿不得不逃离法国，于是他流浪到瑞典当乞丐。某天，他在市场乞讨时，有一群少女经过，其中一名少女发现他的口音不像是瑞典人，她对笛卡儿非常好奇，于是上前问他…… 你从哪来的啊? “法国”“你是做什么的啊?” “我是数学家。” 这名少女叫克丽丝汀，18岁，是一个公主，她和其它女孩子不一样，并不喜欢文学，而是热衷于数学。当她听到笛卡儿说名身份之后，感到相当大的兴趣，于是把笛卡儿邀请回宫。笛卡儿就成了她的数学老师，将一生的研究倾囊相授给克丽丝汀。而克丽丝汀的数学也日益进步，直角坐标当时也只有笛卡儿这对师生才懂。后来，他们之间有了不一样的情愫，发生了喧腾一时的师生恋。这件事传到国王耳中，让国王相当愤怒！下令将笛卡儿处死，克丽丝汀以自缢相逼，国王害怕宝贝女儿真的会想不开，于是将笛卡儿放逐回法国，并将克丽丝汀软禁。笛卡儿一回到法国后，没多久就染上了黑死病，躺在床上奄奄一息。笛卡儿不断地写信到瑞典给克丽丝汀，但却被国王给拦截没收。所以克丽丝汀一直没收到笛卡儿的信…… 在笛卡儿快要死去的时候，他寄出了第13封信，当他寄出去没多久后... 就气绝身亡了。这封信的内容只有短短的一行…… r=a(1-sinθ) 国王拦截到这封信之后，拆开看，发现并不是一如往常的情话。国王当然看不懂这个数学式，于是找来城里所有科学家来研究，但都没有人能够解开到底是什么意思。国王心想……反正笛卡儿快要
函数的起源与发展 今天的数学大厦已有数千年历史，这是世界数代数学家不断建设完善的结果，伴随着数学思想的发展，函数概念由模糊逐渐严密，对于数学和科学来说，函数是一个最重要，最有意义的数学概念，是人类心智发展的重要标志。 ——引言 众所周知，函数概念是在集合论的基础上产生的。 设A，B是非空的集合，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素?和它对应，那么就称??为从集合A到集合B的一个函 数，记作??或?。
仍然是未知的。（定义?5）这实际是“列表定义”，好像有一个“表格”，其中一栏是?x值，另一栏是与它相对应的?y值。这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，把函数的“对应”思想表现出来，而“对应”概念正是函数概念的本质与核心。 十九世纪法国数学家柯西（?Cauchy）更明确的给出定义：有两个互相联系的变量，一个变量的数值可以在某一范围内任意变化，这样的变量叫做自变量，另一个变量的数值随着自变量的数值而变化，这个变量称为因变量，并且称因变量为自变量的函数。 直到1930年，现代的函数概念才“出炉”，若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数。 函数的应用领域是非常广泛的，几乎每个领域都有它的身影。下面来看一道千古谜题。 题目要求相当简单：只用圆规和没有刻度的直尺，作出一个正十七边形。（尺规作图） 要作正十七边形，还只能用尺规，谈何容易。然而一个数学天才只用一个晚上就解决了，他的名字就是高斯。 作图方法： 步骤一：?? ?给一圆O，作两垂直的半径OA、OB，????作C点使OC＝1/4OB，????作D点使∠OCD＝1/4∠OCA，?? ?作AO延长线上E点使得∠DCE＝ ???步骤二：?? ?作AE中点M，并以M F 点，此圆交直线OA于G4和G6两点。 ?步骤三：?? ??过G4作OA垂直线交圆O于P4 有2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1?? 注意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a, 令x=cosa+cos2a+cos4a+cos8№a?? y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a???? 有:x+y=-1/2?? 又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)???? =1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a)???? 经计算知xy=-1又有?? x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4?? 其次再设 x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a??? ?y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a???? 故有x1+x2=(-1+根号17)/4????y1+y2=(-1-根号17)/4?? 最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2??
函数概念的历史发展 众所周知，函数是数学中一个重要概念，它几乎渗透到每一个数学分支，因此考察函数概念的发展历史及其演变过程，无疑有助于我们学生更深刻、更全面地理解函数的本职，并且从中得到有益的方法论启示。 1 函数概念的产生阶段—变量说 马克思曾认为，函数概念是源于代数中自罗马时代就已经开始的不定方程的研究，那时，伟大的数学家丢番图对不定方程的研究已有相当程度，据此，可以认为函数概念至少在那时已经萌芽。实际上作为变量和函数的朴素概念，几乎和数学源于同一时期，因为数学家在研究物体的大小及位置关系时，自然会导致通常称为函数关系的那种从属关系。但是，真正导致函数概念得以迅速发展则是在16世纪以后，特别是由于微积分的建立，伴随这一学科的产生、发展和完善，函数概念也经历了产生、发展和完善的演变过程。 哥白尼的天文学革命以后，运动成为文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，到了16世纪，对于运动的研究已变成自然科学的中心问题。在这一时期，函数概念在不同科学家那里有着不同形式的描述。在伽利略的《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数的思想，他用文字和比例的语言表述函数关系。例如，他提出：“两个等体积圆柱体的面积之比，等于它们高度之比的平方根。”“两个侧面积相等的正圆柱，其体积之比等于它们高度之比的反比。”他又说：“从静止状态开始以定常加速度下降的物体，其经过的距离与所用时间的平方成正比。”这些描述非常清楚地表明伽利略已涉及并讨论变量和函数，但他并没有做出一般的抽象，并且也没有把文字叙述表示为符号形式。 几乎与此同时，许多数学家，如托里拆利、瓦里斯、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹等，从不同角度对函数进行了不同程度的研究.有的数学家是把一些具体的函数看成曲线进行研究,尽管当时还没有建立实连续的概念,但数学家却默认曲线都是连续的。托里拆利就曾对曲线()0≥ y ex进行过研究；而瓦里斯在他的《动学》中研究过正弦曲 =x ae 线，并注意到了这一函数的周期性。麦尔先纳研究了旋轮线等等，总的来讲，当时关于对数曲线和指数曲线的研究比较普遍。在解析几何产生前后，人们除了已认识的代数曲线外，还确定了相当多的超越曲线。笛卡儿在其著作中提到了几何曲线与机械曲线的区别并由此引出代数曲线(函数)和超越曲线(函数)的区别。
数学函数的发展史 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
总课题：数学的发展史 子课题：函数的发展史 一、组长：李 组员：刘田仁姬孙 二、指导老师：张 三、班级：高一12班 四、成员简介： 李：性格开朗、刻苦认真担任组长 刘：喜欢英语、大方担任搜集 仁：喜欢信息、刻苦认真担任写作 姬：开朗大方、热情担任搜集 孙：爱好动漫、画画性格外向担任整理 田：开朗大方刻苦认真担任整理 五、选题的原因： 开阔视野，增长见识。提高我们的数学修养‘可以使我们更好的融合在一起，加强团结，了解数学。 六：研究计划： 共六人：姬刘担任搜集 李仁担任写作 孙田整理资料 七：研究成果：
历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分 有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨大作用． （一）1.早期函数概念——几何观念下的函数 十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。 马克思曾经认为，函数概念来源于代数学中不定方程的研究．由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽． 自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，人们在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自转和公转，那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆，原理是什么?还有，研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度，以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题，既是科学家的力图解决的问题，也是军事家要求解决的问题，函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念，这是函数概念的力学来源． （二）
函数概念的历史发展 函数概念是中学中最重要的概念之一，它既是数学研究的对象，又是解决数学问题的基本思想方法。早在16、17世纪，生产和科学技术的发展要求数学不仅研究静止不动的量，而且要研究运动过程中各个量之间的依赖关系，从而促进数学由常量上学时期进入到变量数学时期。函数也就成为研究变量数学必不可少的概念。 函数（function）一词，始用于1692年，见著于微积分创始人之一莱布尼兹G.W.Leibnic,1646—1717）的著作。而f(x)则由欧拉（Euler）于1724年首次使用。我国于1859年引进函数的概念，它首次是在清代数学家李善兰与英国传教士伟烈亚历山大合译的《代微积拾级》中出现。函数在初高等数学中，在物理、化学和其他自然科学中，在经济领域和社会科学中，均有广泛的应用，起着基础的作用。 函数的概念随着数学的发展而发展，函数的定义在发展过程中不断地精确、完善、抽象，函数的概念也不断得到严谨化、精确化的表达。 牛顿在《自然哲学的数学原理》中提出的“生成量”就是函数概念的雏形。最初，函数 是表示代数上的幂（ 23 ,,, x x x… ），1673年，莱布尼兹把任何一个随着曲线上的点变动的几 何量，如切线、法线，以及点的横坐标都成为函数。 一、解析的函数概念 在18世纪占主导地位的观点是，把函数理解为一个解析表达式． 1698年，瑞士著名数学家约翰·贝努利定义：由变量x和常量用任何方式构成的量都可以称为x的函数．这里任何方式包括代数式子和超越式子． 1748年，约翰的学生，杰出数学家欧拉在它著名的《无穷小分析引沦》中把函数定义为“由一个变量与一些常量通过任何方式形成的解析表达式”，这就把变量与常量以及由它们的加、减、乘、除、乘方、开方和三角、指数、对数等运算构成的式子，均称为函数．并且，欧拉还给出了函数的分类，把函数分为：代数函数与超越函数，有理函数与无理函数，整函数与分函数，单值函数与多值函数． 当时把函数看作一个解析表达式的还有著名的法国数学家达朗贝尔和拉格朗日． 但这种解析的函数概念有其局阳性，如某些变量之间的对应关系不能用解析式子表达出来，那么根据这个定义就不能称之为函数关系．例如著名的狄利克雷（D1richkt）函数 1 D(x)= 0x x ???，为有理数，为无理数 二、几何的函数概念 因为解析表达式在几何上可表示为曲线，一些数学家把曲线称为函数． 1746年，达朗贝尔在研究弦振动问题时，提出了用单独的解析表达式给出的曲线是函数．后来欧拉发现有些曲线不一定是由单个解析式给出的，他提出了一个新定义：函数是“xy 平面上随手画出来的曲线所表示的y与x间的关系”．即把函数定义为一条随意画出来的曲线．欧拉称之为任意函数，即包括了由单个解析表达式给出的连续函数，也包括由若干个解析式表示的不连续函数(“不连续”函数的名称是欧拉首次提出的)．但是，欧拉的观点没有被达朗贝尔接受，并展开了激烈争论．
1 函数概念的历史演变过程 数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的．它研究的对象本来是十分具体的，但为了在比较纯粹的状况下来研究空间形式和数量关系，才不得不把客观对象的所有其它特征抛开不管，因此，数学的抽象完全舍弃了事物的质的内容，而仅仅保留了它们的量的属性，即数学抽象的目的只是数量关系和空间形式．这就决定了数学与其它自然科学的区别，也决定了数学的特殊性． 而数学的抽象有着不同的方式，弱抽象是数学抽象的方式之一，而函数概念的每次扩张都是弱抽象，函数概念的发展成为理解弱抽象的一个典型事例． 弱抽象就是逐渐减弱对象的特殊性，即舍去对象的一些特征而仅抽取某一特殊或某个属性加以概括，形成比原对象更为普遍，更为一般的对象的一种抽象方法． 以现实事物或现象为原型进行基本概念的抽象就是一种弱抽象，它舍弃了事物或现象的一些物理或化学特征而仅抽取量性特征． 函数的概念最早产生于运动的研究．如伽利略是用文字语言来表述这些函数关系的．“从静止状态开始以定常加速度下降的物体，其经过的距离与所用时间的平方成正比”；“沿着同高度但不同坡度的倾斜平板下滑的物体，其下滑的时间与平板的长度成正比”；显然，只需引进适当的符号，上述的函数关系就可以明 确的用数学形式表述：2s kt =；t kl =…以这些具体的函数为原型，17世纪的一 些数学家通过弱抽象获得了如下的函数概念： “函数是这样一个量，它是从一些其它的量通过一系列代数运算而得到的．” 上述定义显然过于狭窄了，因为它事实上仅适用于代数函数的范围．因此，在其后的发展中，函数概念得到了进一步的扩展．随着数学研究的深入，人们逐渐接触到了一些超越函数，如对数函数，指数函数三角函数等，尽管这些函数已经超出了代数函数的范围，但是在一些数学家看来，两者区别仅仅在于超越函数重复代数函数的那些运算无限多次，从而人们又通过弱抽象提出了如下的函数概念： “函数是指由一个变量与一些常量，通过任何方式（有限的或无限的）形成的解析表达式．” 这一由欧拉给出的定义尽管仍然过于狭窄，在18世纪却曾长期占统治地位． 19世纪初，函数概念再次得到了扩展，函数的概念开始摆脱“解析表达式”，另外狄里克雷更提出了如下的函数概念： “如果对于给定区间上的每一个x 值有唯一的一个y 值同它对应，那么，y 就是x 的一个函数．” 最后，如果用任意的数学对象去取代具体的数量，并采用集合论的语言，则可以获得更为一般的“映射”概念： 如果在两个集合的元素之间存在有确定的对应关系，就称为是一个映射．
在公元前十六世纪之前,数学上占统治地位的是常量数学,其特点是用孤立\静止的观点去研究食物,具体的函数在数学中比比皆是,但没有一把的函数概念,十六世纪,随着欧洲过度到新的资本主义生产方式,迫切需要天文知识和力学原理,当时,自然科学研究的中心转向对 运动,对各种变化过程和变化着的梁之间依赖关系的研究,数学研究也从常量转向了变量数学,数学的这个转折主要是有法国数学家笛卡尔完成的,他在<几何学>一文中首先引入变量思想,称为”未知和未定的量”,同时引入了两个变量之间的相依关系,这便是函数概念的萌芽函数是数学中最重要的基本概念之一,它作为变量数学时期的开端,同变欲概念几乎同 时步入数学领域,至今已有三百余年历史.长期以来,经过众多数学家的探索和改进,函数概念从萌芽到成熟,反映了数学本身的日益进步和不断完善.回顾函数概念的演变历史.对加深函 数概念的理解大有裨益,同时对了解数学概念的物质性,说明事物是变化运动,相互联系的都 有了具体的实例.函数概念的演变大体上可分为五个阶段 函数概念是中学数学重要概念之一，从常量数学到变量数学的转变，是从函数概念的系统学习开始的。本文从自17世纪下半叶到现在300年来函数概念的纵向历史研究 函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。 函数概念的萌芽，可以追溯到古代对图形轨迹的研究，随着社会的发展，人们开始逐渐发现，在所有已经建立起来的数的运算中，某些量之间存在着一种规律：一个或几个量的变化，会引起另一个量的变化，这种从数学本身的运算中反映出来的量与量之间的相互依赖关系，就是函数概念的萌芽。 函数概念的发展历史 1.早期函数概念——几何观念下的函数 十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。 1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。 1673年，莱布尼兹首次使用“function”（函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用“流量”来表示变量间的关系。 2.十八世纪函数概念──代数观念下的函数 1718年约翰·柏努利(Johann Bernoulli ，瑞，1667－1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。 1755，欧拉(L．Euler，瑞士，1707－1783) 把函数定义为“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。” 18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)给出了定义：“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。”他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。不难看出，
函数概念的发展历史 1.早期函数概念——几何观念下的函数 十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后(Descartes，法，1596－1650)在他的中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期、建立时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。 1673年，莱布尼兹首次使用“function”（函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用“流量”来表示变量间的关系。 2.十八世纪函数概念──代数观念下的函数 1718年约翰?贝努利(Johann Bernoulli ，瑞，1667－1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。 1755，欧拉(L．Euler，瑞士，1707－1783) 把函数定义为“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。” 18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)给出了定义：“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。”他把约翰?贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰?贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。 3.十九世纪函数概念──对应关系下的函数 1821年，柯西(Cauchy，法，1789－1857) 从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着
函数的发展史 学家从集合、代数、直至对应、集合的角度持续赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。本文拟通过对函数概念的发展与比较的研究，对函数概念的教学实行一些探索。1、函数概念的纵向发展1．1 早期函数概念——几何观点下的函数十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这个概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但因为当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，所以直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝绝大部分函数是被当作曲线来研究的。1．2 十八世纪函数概念——代数观点下的函数1718年约翰·贝努利(BernoulliJohann，瑞，1667－1748)才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念实行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量，贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为，其在函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子。18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)就给出了非常形象的，一直沿用至今的函数符号。欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。1．3 十九世纪函数概念——对应关系下的函数1822年傅里叶(Fourier，法，1768－1830)发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的理解又推动了一个新的层次。1823年柯西(Cauchy，法，1789－1857)从定义变量开始给出了函数的定义，同时指出，虽然无穷级数是规定函数的一种有效方法，但是对函数来说不一定要有解析表达式，不过他仍然认为函数关系能够用多个解析式来表示，这是一个很大的局限，突破这个局限的是杰出数学家狄利克雷。1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859)认为怎样去建立x 与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x 值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数。”狄利克雷的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受。至此，我们已能够说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义。等到康托尔(Cantor，德，1845－1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美，1880－1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量能够是数，也能够是其它对象（点、线、面、体、向量、矩阵等）。1．4 现代函数概念——集合论下的函数1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数。其优点是避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念，其不足之处是又引入了不明确的概念“序偶”。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”，即序偶(a，b)为集合{{a}，{b}}，这样，就使豪斯道夫的定义很严谨了。1930年新的现代函数定义为，若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x)。元素x称为自变元，元素y称为因变元。函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式，但这并不意味着函数概念发展的历史终结，20世纪40年代，物理学研究的需要发现了一种叫做Dirac－δ函数，它只在一点处不为零，而它在全直线上的积分却等于1，这在原来的函数和积分的定义下是不可思议的，但因为广义函数概念的引入，把函数、测度及以上所述的Dirac－δ函数等概念统一了起来。所以，随着
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ “数学”简介、含义、起源、历史与发展数学数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的，简单地说，是研究数和形的科学。 由于生活和劳动上的需求，即使是最原始的民族，也知道简单的计数，并由用手指或实物计数发展到用数字计数。 在中国，至迟在商代，即已出现用十进制数字表示大数的方法；又至迟至秦汉之际，即已出现完满的十进位值制。 在成书不迟于 1 世纪的《九章算术》中，已载有只有位值制才有可能的开平、立方的计算法则，并载有分数的各种运算以及解线性联立方程组的方法，还引入了负数概念。 刘徽在他注解的《九章算术》（3 世纪）中，还提出过用十进小数表示无理数平方根的奇零部分，但直至唐宋时期（欧洲则在 16 世纪 S.斯蒂文以后）十进小数才获通用。 在这本著作中，刘徽又用圆内接正多边形的周长逼近圆周长，成为后世求圆周率更精确值的一般方法。 虽然中国从来没有过无理数或实数的一般概念，但在实质上，那时中国已完成了实数系统的一切运算法则与方法，这不仅在应用上不可缺，也为数学初期教育所不可少。 至于继承了巴比伦、埃及、希腊文化的欧洲地区，则偏重于数的性质及这些性质间的逻辑关系的研究。 早在欧几里得的《几何原本》中，即有素数的概念和素数个数 1 / 9
无穷及整数惟一分解等论断。 古希腊发现了有非分数的数，即现称的无理数。 16 世纪以来，由于解高次方程又出现了复数。 在近代，数的概念更进一步抽象化并依据数的不同运算规律而对一般的数系统进行独立的理论探讨，形成数学中的若干不同分支。 开平方和开立方是解最简单的高次方程。 在《九章算术》中，已出现解某种特殊形式的二次方程。 发展至宋元时代，引进了天元(即未知数)的明确观念，出现了求高次方程数值解与求多至四个未知数的高次代数联立方程组的解的方法，通称为天元术与四元术。 与之相伴出现的多项式的表达、运算法则以及消去方法，已接近于近世的代数学。 在中国以外， 9世纪阿拉伯的花拉子米的著作阐述了二次方程的解法，通常被视为代数学的鼻祖，其解法实质上与中国古代依赖于切割术的几何方法具有同一风格。 中国古代数学致力于方程的具体求解，而导源于古希腊、埃及传统的欧洲数学则不同，一般致力于探究方程解的性质。 16 世纪时， F.韦达以文字代替方程系数，引入了代数的符号演算。 对代数方程解的性质的探讨，则从线性方程组导致行列式、矩阵、线性空间、线性变换等概念与理论的出现；从代数方程导致复数、对称函数等概念的引入以至伽罗瓦理论与群论的创立。
函数概念的起源,最早和人们对动点轨迹的研究密不可分。再也没有其他的例子,如同象动点作曲线运动时,它的x坐标和y坐标相互依依赖并同时发生变化那样，更有利于促使人们产全变量、因变量—产生函数的概念了. 而这又正是解析几何学的主耍内容. 14 世纪时,法国数学家奥莱斯姆(Oresme,1323-1382)在表示依 时间t而变的变数x 时,他画出了图形, 把t 称为“经度(longitude), 把x 称为“纬度”(latitude)。但是他并没有连续的概念, 只是建立了孤立的点与点之简的对应. 这种方法被开普勒(Kepler,德,1571 -1630)和伽利略(Galilei,意大利,1564 -1642)应用于关于天体运行 方面的研究〔2〕。 17世纪的绝大部分函数是被当作曲线来研究的, 而曲线被看作 运动着的点的路径这样的思想通过牛顿等人的工作而获得了认可与 接受。牛顿在他的《求曲边形的面积》中说:“我认为这里的数学量,不是由小块合成的, 而是由连续运动描出的”。英国数学家哈略特(Harriot,1560一1621)应用了直角坐标的概念求出了曲线的方程. 当坐标系一经给定,则某些几何问题便可以用代数的形式表现出，这 正是解析几何学的主耍方法.这样,函数的概念便又和轨迹的代数表 达式发生了密切联系.法国著名的数学家费尔玛(Fermat,1601 -1665)在他的《平面、立体曲线导论》中, 取相交的直线建立坐标系,导出 了直线、圆还有其它一些圆锥曲线的方程。法国著名数学家笛卡尔(Descartes, 1596 -1650)在他的《几何学》中明确地给出了点的坐 标概念, 由此当点P 根据某特定条件运动时,它的两个坐标之间的互
函数概念的发展与比较 摘要：函数概念是中学数学重要概念之一，从常量数学到变量数学的转变，是从函数概念的系统学习开始的。本文从自17世纪下半叶到现在300年来函数概念的纵向历史研究，以及中西方几种不同课程观下函数概念的横向比较入手，对函数概念的教学方面提出一些观点与看法。 关键词：函数函数概念数学教学 函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。但正是由于函数概念的抽象性与层次性，学生往往不习惯用集合、对应的观点去解释函数关系，缺乏用函数思想分析问题和解决问题的能力。本文拟通过对函数概念的发展与比较的研究，对函数概念的教学进行一些探索。 1、函数概念的纵向发展 1．1早期函数概念──几何观念下的函数 十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线来研究的。 1．2十八世纪函数概念──代数观念下的函数 1718年约翰·贝努利(BernoulliJohann，瑞，1667－1748)才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量，贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为，其在函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子。