函数概念的发展史
数学史表明，重要的数学概念的产生和发展，对数学发展起着不可估量的作用．有些重要的数学概念对数学分支的产生起着奠定性的作用．我们刚学过的函数就是这样的重要概念．
在笛卡尔引入变量以后，变量和函数等概念日益渗透到科学技术的各个领域．纵览宇宙，运算天体，探索热的传导，揭示电磁秘密，这些都和函数概念息息相关．正是在这些实践过程中，人们对函数的概念不断深化．
回顾一下函数概念的发展史，对于刚接触到函数的初中同学来说，虽然不可能有较深的理解，但无疑对加深理解课堂知识激发学习兴趣将是有益的．
最早提出函数（function）概念的，是17世纪德国数学家莱布尼茨．最初莱布尼茨用“函数”一词表示幂，如都叫函数．以后，他又用函数表示在直角坐标系中曲线上一点的横坐标、纵坐标．
1718年，莱布尼茨的学生、瑞士数学家贝努利把函数定义为：“由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量．”意思是凡变量和常量构成的式子都叫做的函数．贝努利所强调的是函数要用公式来表示．后来数学家觉得不应该把函数概念局限在只能用公式来表达上，只要一些变量变化，另一些变量能随之而变化就可以．至于这两个变量的关系是否要用公式来表示，就不作为判别函数的标准．
1755年，瑞士数学家欧拉把函数定义为：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数．”在欧拉的定义中，就不强调函数要用公式表示了，由于函数不一定要用公式来表示，欧拉曾把画在坐标系的曲线也叫函数，他认为：“函数是随意画出的一条曲线．”
当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯，有的数学家甚至抱怀疑态度．他们把能用公式表示的函数叫“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数”．
1821年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数．”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词．
1834年，俄国数学家罗巴切夫斯基进一步提出函数的定义：“函数是这样的一个数，它对于每一个都有确定的值，并且随着一起变化．函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法．函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的．”这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，利用这个关系，可以求出每一个的对应值．
1837年，德国数学家狄里克雷认为怎样去建立与之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：“如果对于x的每一个值，总有一个完全确定的y值与之对应，
则y是x的函数”．这个定义抓住了概念的本质属性，变量y称为x的函数，只须有一个法则存在，使得这个函数取值范围中的每一个值，有一个确定的值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图象或表格或其他形式．这个定义比前面的定义带有普遍性，为理论研究和实际应用提供了方便．因此，这个定义曾被比较长期的使用着．
自从德国数学家康托尔的集合论被大家接受后，用集合对应关系来定义函数概念就是现在高中课本里用的了．
中文数学书上使用的“函数”一词是转译词．是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1895年）一书时，把“function”译成“函数”的．
中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思．李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数．”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量．这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数．”所以“函数”是指公式里含有变量的意思．我们可以预计到，关于函数的争论、研究、发展、拓展将不会完结，也正是这些影响着数学及其相邻学科的发展．
总之，相信同学们会和数学成为朋友，多做些数学题，就是对数学最大的礼物，数学会根据礼物的多少，给你们奖励和回报的。快快行动，比一比谁的奖品最多，谁和数学是最好的朋友！
【最新整理，下载后即可编辑】 函数概念的历史发展 函数概念是中学中最重要的概念之一，它既是数学研究的对象，又是解决数学问题的基本思想方法。早在16、17世纪，生产和科学技术的发展要求数学不仅研究静止不动的量，而且要研究运动过程中各个量之间的依赖关系，从而促进数学由常量上学时期进入到变量数学时期。函数也就成为研究变量数学必不可少的概念。 函数（function ）一词，始用于1692年，见著于微积分创始人之一莱布尼兹G.W.Leibnic,1646—1717）的著作。而f(x)则由欧拉（Euler ）于1724年首次使用。我国于1859年引进函数的概念，它首次是在清代数学家李善兰与英国传教士伟烈亚历山大合译的《代微积拾级》中出现。函数在初高等数学中，在物理、化学和其他自然科学中，在经济领域和社会科学中，均有广泛的应用，起着基础的作用。 函数的概念随着数学的发展而发展，函数的定义在发展过程中不断地精确、完善、抽象，函数的概念也不断得到严谨化、精确化的表达。 牛顿在《自然哲学的数学原理》中提出的“生成量”就是函 数概念的雏形。最初，函数是表示代数上的幂（23,,,x x x …），1673 年，莱布尼兹把任何一个随着曲线上的点变动的几何量，如切线、法线，以及点的横坐标都成为函数。 一、解析的函数概念 在18世纪占主导地位的观点是，把函数理解为一个解析表达式． 1698年，瑞士著名数学家约翰·贝努利定义：由变量x 和常量用任何方式构成的量都可以称为x 的函数．这里任何方式包括代数式子和超越式子． 1748年，约翰的学生，杰出数学家欧拉在它著名的《无穷小分析引沦》中把函数定义为“由一个变量与一些常量通过任何方
实习报告 2011年10月5日 题目函数概念发展的历史过程 作者组长：张婕组员：王笑晗，李良芳，薛兰瑞宁,严娟娟 摘要函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，也是数学的核心,纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。本文通过对函数概念的发展与比较的研究，对函数概念的几个方面进行一些探索,分为这几个方面: 1 早期函数概念——几何观念下的函数 2 十八世纪函数概念——代数观念下的函数 3 十九世纪函数概念——对应关系下的函数 4现代函数概念——集合论下的函数 正文第一方面:早期函数概念——几何观念下的函数 在欧洲，函数这一名词，是微积分的奠基人莱布尼兹首先采用的，他在年发1692表的数学论文中，就应用了函数这一概念，不过莱布尼兹仅用函数一词表示幂。后来,在十七世纪,伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线来研究的。 第二方面:十八世纪函数概念——代数观念下的函数 1718年瑞士数学家约翰·贝努利使用变量概念在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义给出了不同于几何形式的函数定义：函数就是变量和常量以任何方式组成的量，并首先采用符号作为函数的记号。也就是把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x 的函数”，表示为，其在函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子。 数学家欧拉在其著作《无穷小分析论》中，把凡是给出解析式表示的变量统称为函数。1734年，欧拉首先创造十分形象且沿用至今的符号作为函数的记号，欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍,形象,但关于函数的定义，欧拉并没有真正揭示出函数概念的实质。 第三方面: 十九世纪函数概念——对应关系下的函数 1822年傅里叶发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，从
总课题：数学的发展史 子课题：函数的发展史 一、组长：李 组员：刘田仁姬孙二、指导老师：张
三、班级：高一12班 四、成员简介： 李：性格开朗、刻苦认真担任组长 刘：喜欢英语、大方担任搜集 仁：喜欢信息、刻苦认真担任写作 姬：开朗大方、热情担任搜集 孙：爱好动漫、画画性格外向担任整理 田：开朗大方刻苦认真担任整理 五、选题的原因： 开阔视野，增长见识。提高我们的数学修养‘可以使我们更好的融合在一起，加强团结，了解数学。 六：研究计划： 共六人：姬刘担任搜集 李仁担任写作 孙田整理资料 七：研究成果： 历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分 有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨大作用． 马克思曾经认为，函数概念来源于代数学中不定方程的研究．由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽． 自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，人们在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自转和公转，那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆，原理是什么?还有，研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度，以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题，既是科学家的力图解决的问题，也是军事家要求解决的问题，函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念，这是函数概念的力学来源．
一原始广告时期（--1450年） 广告活动最早什么时候出现，还没有明确的定论。自从有了商业买卖，就有了广告。商品交换的需要时广告产生的根源。 世界上最早的文字广告是现存于英国博物馆、写在羊皮纸上的广告。这则广告是公元前1550年—公元前1080年古埃及奴隶社会时期，一名奴隶主悬赏缉拿逃奴的广告。 在古代雅典，曾流行类似四行诗形式的广告 二近代广告时期（1450—1850年） 1450年，德国工匠谷登堡（1400--1468）发明了铅活字印刷术，标志着人类广告史从原始古代的口头、招牌、实物广告传播的时代进入印刷广告的新时代。 1 印刷广告出现 1477年，在英国出现了有史以来最早的印刷品广告 2 报纸广告与报纸媒体的发展 1625年，用英文出版的《英国信使报》第一次在背面刊登了一则推销图书的广告。这被认为是世界上最早的报纸广告。 3杂志及其他媒体广告的出现 1645年1月15日，一本名为《The Weekly Account》的杂志第一次使用了“广告栏” 专门刊登广告。再次之前，广告是按“预告”的意思使用“通知”（Advices）一词，到个时候，逐渐形成“广告”特有词语。 1706年，德国人阿洛依斯.望菲尔德发明了石印技术，开创了印制五彩缤纷的招贴广告的历史 4广告代理业的形成与管理 1488年，法国散文家蒙太尼提出一则倡议：“任何人想出售珍珠，想找个仆人或伴侣去巴黎旅游，可以把他的想法及要求向一位负责这项事物的官员提出”。这一则倡议，对于建立为客户办理广告及服务业务的专门机构即后来的广告公司来说，很有启示意义。 1610年，英王詹姆斯一世让两个骑士建立第一家广告代理店。1612年，法国创立“高格德尔”广告代理店。1729年富兰克林在美国创办《宾夕法尼亚新闻报》，既做出版商和编辑，又是广告作家和广告经纪人。 为了对广告业加以管制，英国议会于1712年通过了关于报纸光告纳税的法案，开始征收广告特税。 在报纸广告日渐普及的情况下，英国一名叫约瑟夫.艾迪生的人在1710年发表了关于广告问题的议论，可以看做是最早的“广告理论”。他认为，在新闻来源不足的情况下，人们习惯性的阅读报纸后面的广告栏以自娱，“这些来自小世界的新闻同来自大世界的新闻是一样的”。 18世纪，英国文坛上的权威诗人和评论家约翰逊在他的1759年所著的《懒惰者》一书中，就当时的广告业的职业道德问题发表评论。 三现代广告过渡时期（1850--1920） 1850-1911，对世界有影响力的报纸先后创刊。这个时期的广告传媒加速大众化，广告业迅速发展。 1现代广告公司的形成 1841年，伏尔尼.B.帕尔默在美国费城开办世界上最早的广告公司。1845年以后，帕尔默又在波士顿，纽约开办了分公司。到1860年，已有30多家广告公司为4000中美国出版物出售版面。 1865年，乔治路威尔通过出版《路威尔美国报纸目录》，成立了作为报刊独家广告经济人并大规模出售广告版面的广告公司，使独家代理业开始兴起。 1869年，美国“艾尔父子广告有限公司”在费城成立，这是第一家具有现代意义的广告公司，其经营重点从单纯的推销广告版面转为为客户策划、设计、制作广告等全面的服务业务。1875年，正式采用公开合同制，加强同企业的联系。据统计，这一时期美国广告公司约1200
函数发展简史 最早提出函数（function）概念的，是１７世纪德国数学家莱布尼茨． 后又经历了贝努利、欧拉等人的改译。 １８２１年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数，在柯西的定义中，首先出现了自变量一词。 １８３４年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步指出了对应关系（条件）的必要性，利用这个关系以求出每一个ｘ的对应值． 康托尔 自从德国数学家康托尔的集合论被大家接受后，用集合对应关系来定义函数概念就是现在高中课本里用的了。 . 中文数学书上使用的“函数”一词是转译词．是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》一书时，把“function”译成函数。
优美的函数图象
笛卡尔的故事 当时法国正流行黑死病，笛卡儿不得不逃离法国，于是他流浪到瑞典当乞丐。某天，他在市场乞讨时，有一群少女经过，其中一名少女发现他的口音不像是瑞典人，她对笛卡儿非常好奇，于是上前问他…… 你从哪来的啊? “法国”“你是做什么的啊?” “我是数学家。” 这名少女叫克丽丝汀，18岁，是一个公主，她和其它女孩子不一样，并不喜欢文学，而是热衷于数学。当她听到笛卡儿说名身份之后，感到相当大的兴趣，于是把笛卡儿邀请回宫。笛卡儿就成了她的数学老师，将一生的研究倾囊相授给克丽丝汀。而克丽丝汀的数学也日益进步，直角坐标当时也只有笛卡儿这对师生才懂。后来，他们之间有了不一样的情愫，发生了喧腾一时的师生恋。这件事传到国王耳中，让国王相当愤怒！下令将笛卡儿处死，克丽丝汀以自缢相逼，国王害怕宝贝女儿真的会想不开，于是将笛卡儿放逐回法国，并将克丽丝汀软禁。笛卡儿一回到法国后，没多久就染上了黑死病，躺在床上奄奄一息。笛卡儿不断地写信到瑞典给克丽丝汀，但却被国王给拦截没收。所以克丽丝汀一直没收到笛卡儿的信…… 在笛卡儿快要死去的时候，他寄出了第13封信，当他寄出去没多久后... 就气绝身亡了。这封信的内容只有短短的一行…… r=a(1-sinθ) 国王拦截到这封信之后，拆开看，发现并不是一如往常的情话。国王当然看不懂这个数学式，于是找来城里所有科学家来研究，但都没有人能够解开到底是什么意思。国王心想……反正笛卡儿快要
函数概念的历史发展 众所周知，函数是数学中一个重要概念，它几乎渗透到每一个数学分支，因此考察函数概念的发展历史及其演变过程，无疑有助于我们学生更深刻、更全面地理解函数的本职，并且从中得到有益的方法论启示。 1 函数概念的产生阶段—变量说 马克思曾认为，函数概念是源于代数中自罗马时代就已经开始的不定方程的研究，那时，伟大的数学家丢番图对不定方程的研究已有相当程度，据此，可以认为函数概念至少在那时已经萌芽。实际上作为变量和函数的朴素概念，几乎和数学源于同一时期，因为数学家在研究物体的大小及位置关系时，自然会导致通常称为函数关系的那种从属关系。但是，真正导致函数概念得以迅速发展则是在16世纪以后，特别是由于微积分的建立，伴随这一学科的产生、发展和完善，函数概念也经历了产生、发展和完善的演变过程。 哥白尼的天文学革命以后，运动成为文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，到了16世纪，对于运动的研究已变成自然科学的中心问题。在这一时期，函数概念在不同科学家那里有着不同形式的描述。在伽利略的《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数的思想，他用文字和比例的语言表述函数关系。例如，他提出：“两个等体积圆柱体的面积之比，等于它们高度之比的平方根。”“两个侧面积相等的正圆柱，其体积之比等于它们高度之比的反比。”他又说：“从静止状态开始以定常加速度下降的物体，其经过的距离与所用时间的平方成正比。”这些描述非常清楚地表明伽利略已涉及并讨论变量和函数，但他并没有做出一般的抽象，并且也没有把文字叙述表示为符号形式。 几乎与此同时，许多数学家，如托里拆利、瓦里斯、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹等，从不同角度对函数进行了不同程度的研究.有的数学家是把一些具体的函数看成曲线进行研究,尽管当时还没有建立实连续的概念,但数学家却默认曲线都是连续的。托里拆利就曾对曲线()0≥ y ex进行过研究；而瓦里斯在他的《动学》中研究过正弦曲 =x ae 线，并注意到了这一函数的周期性。麦尔先纳研究了旋轮线等等，总的来讲，当时关于对数曲线和指数曲线的研究比较普遍。在解析几何产生前后，人们除了已认识的代数曲线外，还确定了相当多的超越曲线。笛卡儿在其著作中提到了几何曲线与机械曲线的区别并由此引出代数曲线(函数)和超越曲线(函数)的区别。
数学函数的发展史 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
总课题：数学的发展史 子课题：函数的发展史 一、组长：李 组员：刘田仁姬孙 二、指导老师：张 三、班级：高一12班 四、成员简介： 李：性格开朗、刻苦认真担任组长 刘：喜欢英语、大方担任搜集 仁：喜欢信息、刻苦认真担任写作 姬：开朗大方、热情担任搜集 孙：爱好动漫、画画性格外向担任整理 田：开朗大方刻苦认真担任整理 五、选题的原因： 开阔视野，增长见识。提高我们的数学修养‘可以使我们更好的融合在一起，加强团结，了解数学。 六：研究计划： 共六人：姬刘担任搜集 李仁担任写作 孙田整理资料 七：研究成果：
历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分 有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨大作用． （一）1.早期函数概念——几何观念下的函数 十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。 马克思曾经认为，函数概念来源于代数学中不定方程的研究．由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽． 自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，人们在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自转和公转，那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆，原理是什么?还有，研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度，以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题，既是科学家的力图解决的问题，也是军事家要求解决的问题，函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念，这是函数概念的力学来源． （二）
中国户外广告25年发展分析 许多年来，人们把目光投向传统的四大媒体，在相关的广告年鉴及媒体监测数据中，提及户外媒体时至多在结尾处补充一句“随着新材料、新技术的发展，户外广告也有较大发展”这样的字样。户外广告的研究长期以来被忽视了。基于此，我们对改革开放以来中国户外广告的发展做了一个调查分析，以期从中发现一些有价值的东西与大家分享。 1979-1987：全面恢复期 从1979年广告业恢复到1987年《广告管理条例》的颁布执行，这是中国广告业恢复、争论、探索的一个阶段。户外广告在这个大背景下，也处在全面恢复期。1979年春，北京西单出现了广告墙，正式体现出当时中国改革的路径方向。这一时期在广告媒体选择上，户外广告也是与报纸广告并列的主要广告形式。当时的著名品牌，如瑞士雷达表、西铁城手表、精工表、松下电器、雀巢咖啡、白猫洗衣粉、鹅牌衬衫、金星电视等都投放了户外媒体。这一时期的户外广告以路牌广告为主，虽然整体水平不高，但在推动树立广告意识、为广告正名的运动中却起到了举足轻重的作用。这一时期比较突出的现象是外商的户外广告较多。据统计，从1978年到1988年，外商共有35种品牌的商品在广州推出过户外广告，其中以日本商品居多。 1987-1992：默默无闻的陪衬者 1987年在中国广告发展史上具有重要意义。从广告管理、广告创作、广告公司的经营等多方面都预示着现代广告意识在中国的抬头。1987年10月26日，国务院颁发《广告管理条例》，并从1987年12月1日起施行。这是我国广告史上第一部重要的法规，为广告发展创造了有利的外部环境。在广告创作中，策划和创意的观念开始被理论界和实业界关注。在1986年中国广告协会的学术讨论会上，北京广告公司的代表提出“以创意为中心，为客户提供全面服务”的口号。中国广告联合总公司把这一口号进一步补充为“以策划为主导，以创意为中心，为客户提供全面服务”。这一口号由中国广告协会推广到全国。从此，策划和创意成为中国广告界关注的两大核心术语。但在当时，中国广告界对策划和创意的理解还处于散乱的阶段，没有真正结合现代市场整体营销理论和实践来探讨广告策划、创意的深层问题，并往往与中国传统谋术混为一谈。但对广告策划和创意的重视，无疑已深入到广告的核心问题，证明中国广告业的发展进入一个新的发展阶段。 1987年，中国广告业复兴近10年，但广告体制依然陈旧而且混乱，成为广告业进一步发展的障碍。如何改革广告体制，成为上世纪80年代后期广告理论界的核心问题之一。1987年初，陈志宏在《试论代理制的优越性》一文中，率先提出实行广告代理制的观念。同年8月，中国广告协会年度学术讨论会便集中讨论了广告代理制的问题。 在这样的大背景下，1987-1992年的户外广告并没有突飞猛进的发展。广告营业额的增长以及广告理论和实践的各种探索主要体现在报纸广告和电视广告中，户外广告并没有值得称道的成绩，在广告研究中还是最容易受忽视的。1991年的《中国广告年鉴》在提及户外广告时，仅指出“户外广告与其他媒体相比，显得较分散，营业额也不高，但在广告业的整体发展中，仍是不可或缺的，是任何其他媒体不能代替的”。 造成这种状况的原因是多方面的。首先，处于起步阶段的中国广告所关注的媒体必然集中于传统的大众媒体——报纸和杂志。特别需要指出的是，当时的人们对刚刚走进家门的电视兴
二、传播效果研究的历史与发展：(年代、代表理论、观点、意义、局限) 强大效果论有限效果论适度效果论重回强大效果论 强大效果论（魔弹论）： 1、产生于20世纪初到30年代末，也被称为子弹论、靶子论、传送带论、皮下注射论、刺激—反应论等。 2、观点是：传播媒介拥有不可抵抗的强大力量，它们所传递的信息在受传者身上就像子弹击中躯体，可以引起直接速效的反应，能左右人们的态度和意见，甚至直接支配他们的行动。 eg.希特勒政权对媒介的运用罗斯福炉边谈话“火星人入侵地球”事件“马拉松”鼓动事件 3、魔弹论的缺陷 唯意志论观点，过分夸大了大众传播的力量和影响 忽视了客观社会因素 否定了受众的差异性和主观能动性 有限效果论： 1、效果研究的第二阶段以20世纪40年代美国的研究者的一系列研究为代表的，一直延续到20世纪60年代。 媒介效果研究开始采用社会调查法和心理实验法 2、代表理论是有限效果论 该理论认为媒介的效果只能是在一定的社会关系、社会结构以及社会文化背景中产生和运行。 （2、有限效果论的研究领域 “传播流”研究说服性研究使用与满足研究（也有将之归为适度效果论的） 3、传播流 所谓传播流，指由大众传媒发出的信息，经过各种中间环节，流向传播对象的社会过程。代表成果有： 拉扎斯菲尔德《人民的选择》卡兹《个人影响》罗杰斯《创新与普及》克拉帕《大众传播效果》 4、《人民的选择》政治既有倾向假说选择性接触假说舆论领袖和两级传播
大众传播效果类型：无变化、小变化、强化、结晶、改变 5、两级传播与舆论领袖 拉扎斯费尔德、贝雷尔森等人在美国俄亥俄州伊里县开展一项有关总统选举的“投票行为研究”时发现受众中有两种人，一种人频繁接触媒介、关心政治、已决定把选票投给谁，还有一种人则相反，于是，前一种人影响后一种人。前者叫舆论领袖，后者叫追随者。 由于个人影响、舆论领袖的存在，使媒介的影响不能直接到达一般受者，从而造成“媒介→意见领袖→受者”（而非媒介→受者）的局面，这就是两级传播。 6、舆论领袖的特征 人数不多与被影响者是平等关系不集中在特定群体或阶层，分布均匀有单一型和综合型 同大众媒体关系密切，信息渠道多，社交范围广） 3、对该理论的批评和修正 大部分新闻报道仍然是由大众媒介直接传播开来 舆论领袖和非舆论领袖界限模糊 最初的两级传播论将传播划为两级，但实际的传播过程可能更多或更少。 两级传播论隐含着认为大众传播媒介是舆论领袖的唯一信息渠道，实际上信息来源可能多样化。 大众媒介的功能主要是告知，而人际传播在劝服方面更为有效。 8、创新扩散理论 9、克拉帕《大众传播效果》定理 大众传播一般不能成为对受众产生效果的必要的和充分的原因，而更可能处于各种中介因素和影响中，并通过这些因素和影响而起作用。 传播效果一般是强化现状，而非改变它。 传播对人们态度改变产生效果需要满足两个条件：其他中介不起作用；或其他中介也在促进人们效果改变 传播效果的产生，受到某些心理生理因素的制约 传播效果的产生，受到媒介自身条件及舆论的影响 4、霍夫兰的说服性效果研究
世界广告史发展的历史阶段 为了使广告对社会经济的发展起到更大的推动作用，对广告理论体系的研究和完善就显得非常重要。对广告历史的发展过程和发展规律的准确把握是研究广告理论体系的前提和基础。而要准确把握广告发展历史的发展过程和发展规律，广告发展的历史时期划分是核心问题。 1、划分世界厂告发展的历史阶段的依据 要对世界广告发展的历史阶段进行划分，就要遵循一条合理的线索，在其指引下，对广黧。罴．告发展历史阶段性的特征进行把握。把各种纷繁复杂的广告活动、事件、人与物、理论与实麟践等广告发展中出现的现象归整到一条清晰的主线下面，使整个看似繁杂、混乱的广告发展滋历程，呈现出一条合乎规律的、明晰的行进轨迹。而在广告史研究中要遵循的这条线索，也燃就是对世界广告发展史分期的主要依据。 作为广告发展历史阶段划分的依据，必须要与广告的发展根本相关，并且能够反映出广告发展的基本规律。从这两个要求出发，考察广告本身及与广告发展相关的因素，应该以社会经济形态和广告活动形态作为广告史研究的主要线索来审视广告发展的全过程，并依据社会经济形态和广告活动形态的变迁来对广告历史进行阶段性划分。之所以选择以综合考察社会经济形态和广告活动形态作为广告史研究的主要线索，是因为广告活动形态的改变与社会经济形态的改变是互相关联的。社会经济形态的改变会导致广告生存形态和广告活动方式的改变。而后者的变化又会使广告活动形态呈现出阶段性的发展特点。这主要是指，在农业社会、工业社会和新经济时代的不同社会经济形态下，广告具有相应的生存形态和活动方式。 如何来看待和理解这种生存形态及活动方式?如何看待广告发展到一定阶段后，其总体的发展水平呢?如何判断广告的发展已经从一个阶段进入了下一个阶段呢?可见，建立一个对广告阶段性发展总体水平的具体考察依据和标准也是必要的。 广告发展的总体水平可以通过一定阶段广告的生存形态和活动方式表现出来。具体来说，广告生存形态和广告活动方式可以通过三个方面表现出来：广告技术的发展水平与特征、广告行业的发展水平与特征和广告观念发展的水平与特征。它们代表了广告活动的实践水平、广告理论的创新和积累水平以及广告本身作为一个独立的产业对社会经济的参与情况和成长状况。因而它们能够从总体上全面代表广告阶段性发展的基本特点和水平。 2．广告划分的阶段 广告划分的阶段分为：初级广告时期、现代广告时期、新经济时代广告时期，每一时期都有其时代的特点。
1 函数概念的历史演变过程 数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的．它研究的对象本来是十分具体的，但为了在比较纯粹的状况下来研究空间形式和数量关系，才不得不把客观对象的所有其它特征抛开不管，因此，数学的抽象完全舍弃了事物的质的内容，而仅仅保留了它们的量的属性，即数学抽象的目的只是数量关系和空间形式．这就决定了数学与其它自然科学的区别，也决定了数学的特殊性． 而数学的抽象有着不同的方式，弱抽象是数学抽象的方式之一，而函数概念的每次扩张都是弱抽象，函数概念的发展成为理解弱抽象的一个典型事例． 弱抽象就是逐渐减弱对象的特殊性，即舍去对象的一些特征而仅抽取某一特殊或某个属性加以概括，形成比原对象更为普遍，更为一般的对象的一种抽象方法． 以现实事物或现象为原型进行基本概念的抽象就是一种弱抽象，它舍弃了事物或现象的一些物理或化学特征而仅抽取量性特征． 函数的概念最早产生于运动的研究．如伽利略是用文字语言来表述这些函数关系的．“从静止状态开始以定常加速度下降的物体，其经过的距离与所用时间的平方成正比”；“沿着同高度但不同坡度的倾斜平板下滑的物体，其下滑的时间与平板的长度成正比”；显然，只需引进适当的符号，上述的函数关系就可以明 确的用数学形式表述：2s kt =；t kl =…以这些具体的函数为原型，17世纪的一 些数学家通过弱抽象获得了如下的函数概念： “函数是这样一个量，它是从一些其它的量通过一系列代数运算而得到的．” 上述定义显然过于狭窄了，因为它事实上仅适用于代数函数的范围．因此，在其后的发展中，函数概念得到了进一步的扩展．随着数学研究的深入，人们逐渐接触到了一些超越函数，如对数函数，指数函数三角函数等，尽管这些函数已经超出了代数函数的范围，但是在一些数学家看来，两者区别仅仅在于超越函数重复代数函数的那些运算无限多次，从而人们又通过弱抽象提出了如下的函数概念： “函数是指由一个变量与一些常量，通过任何方式（有限的或无限的）形成的解析表达式．” 这一由欧拉给出的定义尽管仍然过于狭窄，在18世纪却曾长期占统治地位． 19世纪初，函数概念再次得到了扩展，函数的概念开始摆脱“解析表达式”，另外狄里克雷更提出了如下的函数概念： “如果对于给定区间上的每一个x 值有唯一的一个y 值同它对应，那么，y 就是x 的一个函数．” 最后，如果用任意的数学对象去取代具体的数量，并采用集合论的语言，则可以获得更为一般的“映射”概念： 如果在两个集合的元素之间存在有确定的对应关系，就称为是一个映射．
在公元前十六世纪之前,数学上占统治地位的是常量数学,其特点是用孤立\静止的观点去研究食物,具体的函数在数学中比比皆是,但没有一把的函数概念,十六世纪,随着欧洲过度到新的资本主义生产方式,迫切需要天文知识和力学原理,当时,自然科学研究的中心转向对 运动,对各种变化过程和变化着的梁之间依赖关系的研究,数学研究也从常量转向了变量数学,数学的这个转折主要是有法国数学家笛卡尔完成的,他在<几何学>一文中首先引入变量思想,称为”未知和未定的量”,同时引入了两个变量之间的相依关系,这便是函数概念的萌芽函数是数学中最重要的基本概念之一,它作为变量数学时期的开端,同变欲概念几乎同 时步入数学领域,至今已有三百余年历史.长期以来,经过众多数学家的探索和改进,函数概念从萌芽到成熟,反映了数学本身的日益进步和不断完善.回顾函数概念的演变历史.对加深函 数概念的理解大有裨益,同时对了解数学概念的物质性,说明事物是变化运动,相互联系的都 有了具体的实例.函数概念的演变大体上可分为五个阶段 函数概念是中学数学重要概念之一，从常量数学到变量数学的转变，是从函数概念的系统学习开始的。本文从自17世纪下半叶到现在300年来函数概念的纵向历史研究 函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。 函数概念的萌芽，可以追溯到古代对图形轨迹的研究，随着社会的发展，人们开始逐渐发现，在所有已经建立起来的数的运算中，某些量之间存在着一种规律：一个或几个量的变化，会引起另一个量的变化，这种从数学本身的运算中反映出来的量与量之间的相互依赖关系，就是函数概念的萌芽。 函数概念的发展历史 1.早期函数概念——几何观念下的函数 十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。 1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。 1673年，莱布尼兹首次使用“function”（函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用“流量”来表示变量间的关系。 2.十八世纪函数概念──代数观念下的函数 1718年约翰·柏努利(Johann Bernoulli ，瑞，1667－1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。 1755，欧拉(L．Euler，瑞士，1707－1783) 把函数定义为“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。” 18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)给出了定义：“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。”他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。不难看出，
函数概念的发展历史 1.早期函数概念——几何观念下的函数 十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后(Descartes，法，1596－1650)在他的中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期、建立时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。 1673年，莱布尼兹首次使用“function”（函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用“流量”来表示变量间的关系。 2.十八世纪函数概念──代数观念下的函数 1718年约翰?贝努利(Johann Bernoulli ，瑞，1667－1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。 1755，欧拉(L．Euler，瑞士，1707－1783) 把函数定义为“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。” 18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)给出了定义：“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。”他把约翰?贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰?贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。 3.十九世纪函数概念──对应关系下的函数 1821年，柯西(Cauchy，法，1789－1857) 从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着
中国广播广告的发展简史 一．中国广播媒介诞生伊始的广告经营 1．外商广播电台的广告经营 1922年12月奥斯邦(Osborn)在上海设立了中国境内第一座广播电台——奥斯邦电台。（图22212 某播音室场景） 图22212 某播音室场景 奥斯邦借上海中国无线电公司的名义与《大陆报》达成协议，通过报纸为电台大做宣传。（图22213 老式收音机广告3） 图22213 老式收音机广告3 美商新孚洋行和开洛公司创办的开洛电台。 2．私营广播电台的广告经营 中国人自办的第一家私人广播电台是1927年3月19日正式播音的上海新新百货公司创办的新新无线电话台。 在二十世纪三十年代的广告黄金时期，商业性的民营广播电台数量多，分布也比较广。 在天津，位于日租界的义昌洋行开设的首家小型电台。 在上海，亚美公司创办的亚美广播电台。 私营电台有迎合市民心理、消闲性、庸俗化的节目特征。（图23020 某电台自身广告）
图23020 某电台自身广告 1930年上海天灵无线电广告公司播音台的成立，标志着中国正式的付费代理制的广播广告出现。 抗日战争时期前后 四十年代的广告黄金时期，广播广告中出现了一种相声广告。 3．旧中国官方广播电台的广告经营 1926年10月1日中国第一座官办广播电台在哈尔滨正式播音，内容以新闻、音乐、演艺及钱粮行市等为主，没有广告。 1927年5月，隶属北洋政府的官办无线广播电台在天津正式对外播音，该台除曲艺、戏曲、新闻之外开办了工商广告。 国民党的“中央广播电台”在南京开播后，于1933年开始播放广告。1934年8月，筹设“中国电声广告社”，为“中央广播电台”及地方台承办、代理商业广告业务，并在娱乐节目中播出。规定广告分“普通”和“特种”两类，时段价格分甲、乙、丙三种。 3．中国共产党领导的解放区广播电台的广播广告 新中国成立前，中国共产党领导下的解放区早期的广播电台很少有广告节目，抗战胜利后陆续开办的广播电台中有些台如张家口、东北等台曾开办广告节目。 二．中华人民共和国成立后广播电视广告事业的发展 1．建国初期广播广告的恢复与调整 建国初期：岌岌可危——1952年以公私合营为契机逐步发展。 1948年11月20日，中共中央就发出了《对新解放城市中原有之广播电台及其人员的政策决定》：民营广播电台一律归军管委员会管理。 全国逐步形成了以中央人民广播电台为中心，以东北、西北、华东、中南和西南大行政区72座广播电台为辅助，全国城乡、工矿企业和机关学校1.5万个收音站和收音小组为辐射的巨大广播网。 建国初期的广播广告事业，大多存在于规模较小的地方广播电台和民营广播电台。 接管了各地广播电台后，一些大城市的人民广播电台开办专门的商业广播电台，增设广
函数的发展史 学家从集合、代数、直至对应、集合的角度持续赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。本文拟通过对函数概念的发展与比较的研究，对函数概念的教学实行一些探索。1、函数概念的纵向发展1．1 早期函数概念——几何观点下的函数十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这个概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但因为当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，所以直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝绝大部分函数是被当作曲线来研究的。1．2 十八世纪函数概念——代数观点下的函数1718年约翰·贝努利(BernoulliJohann，瑞，1667－1748)才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念实行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量，贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为，其在函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子。18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)就给出了非常形象的，一直沿用至今的函数符号。欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。1．3 十九世纪函数概念——对应关系下的函数1822年傅里叶(Fourier，法，1768－1830)发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的理解又推动了一个新的层次。1823年柯西(Cauchy，法，1789－1857)从定义变量开始给出了函数的定义，同时指出，虽然无穷级数是规定函数的一种有效方法，但是对函数来说不一定要有解析表达式，不过他仍然认为函数关系能够用多个解析式来表示，这是一个很大的局限，突破这个局限的是杰出数学家狄利克雷。1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859)认为怎样去建立x 与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x 值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数。”狄利克雷的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受。至此，我们已能够说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义。等到康托尔(Cantor，德，1845－1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美，1880－1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量能够是数，也能够是其它对象（点、线、面、体、向量、矩阵等）。1．4 现代函数概念——集合论下的函数1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数。其优点是避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念，其不足之处是又引入了不明确的概念“序偶”。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”，即序偶(a，b)为集合{{a}，{b}}，这样，就使豪斯道夫的定义很严谨了。1930年新的现代函数定义为，若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x)。元素x称为自变元，元素y称为因变元。函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式，但这并不意味着函数概念发展的历史终结，20世纪40年代，物理学研究的需要发现了一种叫做Dirac－δ函数，它只在一点处不为零，而它在全直线上的积分却等于1，这在原来的函数和积分的定义下是不可思议的，但因为广义函数概念的引入，把函数、测度及以上所述的Dirac－δ函数等概念统一了起来。所以，随着
函数概念的起源,最早和人们对动点轨迹的研究密不可分。再也没有其他的例子,如同象动点作曲线运动时,它的x坐标和y坐标相互依依赖并同时发生变化那样，更有利于促使人们产全变量、因变量—产生函数的概念了. 而这又正是解析几何学的主耍内容. 14 世纪时,法国数学家奥莱斯姆(Oresme,1323-1382)在表示依 时间t而变的变数x 时,他画出了图形, 把t 称为“经度(longitude), 把x 称为“纬度”(latitude)。但是他并没有连续的概念, 只是建立了孤立的点与点之简的对应. 这种方法被开普勒(Kepler,德,1571 -1630)和伽利略(Galilei,意大利,1564 -1642)应用于关于天体运行 方面的研究〔2〕。 17世纪的绝大部分函数是被当作曲线来研究的, 而曲线被看作 运动着的点的路径这样的思想通过牛顿等人的工作而获得了认可与 接受。牛顿在他的《求曲边形的面积》中说:“我认为这里的数学量,不是由小块合成的, 而是由连续运动描出的”。英国数学家哈略特(Harriot,1560一1621)应用了直角坐标的概念求出了曲线的方程. 当坐标系一经给定,则某些几何问题便可以用代数的形式表现出，这 正是解析几何学的主耍方法.这样,函数的概念便又和轨迹的代数表 达式发生了密切联系.法国著名的数学家费尔玛(Fermat,1601 -1665)在他的《平面、立体曲线导论》中, 取相交的直线建立坐标系,导出 了直线、圆还有其它一些圆锥曲线的方程。法国著名数学家笛卡尔(Descartes, 1596 -1650)在他的《几何学》中明确地给出了点的坐 标概念, 由此当点P 根据某特定条件运动时,它的两个坐标之间的互
函数概念的发展历史过程 自17世纪近代数学产生以来，函数的概念一直处于数学的核心位置，数学和科学的绝大部分与函数内容有关，在函数，物理和其他学科中，函数关系随处可见.例如，圆柱体的体积和表面积是其半径的函数，流体膨胀的体积是温度的函数，运动物体的路程是时间的函数等等. 十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系.1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线来研究的. 1718年约翰?贝努利(BernoulliJohann，瑞，1667－1748)才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量，贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为，其在函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子. 18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)就给出了非常形象的，一直沿用至今的函数符号.欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式.他把约翰?贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰?贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义. 1822年傅里叶(Fourier，法，1768－1830)发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新的层次.1823年柯西(Cauchy，法，1789－1857)从定义变量开始给出了函数的定义，同时指出，虽然无穷级数是规定函数的一种有效方法，但是对函数来说不一定要有解析表达式，不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限，突破这一局限的是杰出数学家狄利克雷. 1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859)认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数.”狄利克雷的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受.至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义. 等到康托尔(Cantor，德，1845－1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美，1880－1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象（点、线、面、体、向量、矩阵等）. 1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数.其优点是避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念，其不足之处是又引入了不明确的概念“序偶”.库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”，即序偶(a，b)为集合{{a}，{b}}，这样，就使豪斯道夫的定义很严谨了.1930年新的现代函数定义为，若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x).元素x称为自变元，元素y称为因变元.