《第二章函数》整体学程指导
集合作为近现代数学的“基本语言”被引入高中数学课程体系，利用它可以简洁、准确地表述一些数学对象。本章是集合语言应用的一个重要载体，是学习完集合语言后应用语言表述数学问题、研究数学问题和解决数学问题的一次重要实践和有力尝试。
函数分为两个部分：函数的概念及基本性质（第二章）；
指数函数、对数函数和幂函数（第三章）;
函数的概念和基本性质（单调性、奇偶性）
解读：该部分学习意在通过对函数基本概念的理解（函数的概
念）、巩固（分段函数）和加深（映射的概念）（教材中先函数后映
射遵循概念发展的历史过程）；基本性质的学习（为什要只重点研
究函数的这几个性质？水浒传里有108将，但是只对武松、鲁智深、
林冲等十几个人着力刻画，这是文学家的方法，也是数学家的方法。函数（Function）本部分学习的目的是通过学习形成函数研究的一般方法和套路。
基本初等函数（指数、对数、幂函数）
解读：该部分学习是在形成函数研究的一般方法之后对方法的
有力尝试，在尝试中不断加深对函数研究一般方法的认识和理解。
数学内部发展（函数的零点、二分法求方程近似解）
（数学发展的两条主线都涉及了）
社会现实需要（解决社会与生活中的实际问题）
第一节：函数概念的起源及其历史演变
我们要参观的景点：（The scenery we’ll visit）
1. 函数的概念是什么？（What？）
2. 为什么要建立函数的概念？（Why ?）
3. 函数的概念是如何建立的？函数概念的建立经历了怎样的历史演变过程？（How？）景点一：函数的概念是什么？函数的概念是如何建立的？
函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。
案例1：圆的面积S与圆半径r的关系；
案例2：锐角α与锐角β互余，α与β的关系；
案例3：气体的质量一定时，它的体积V与它的密度ρ之间的关系；
【思考1】上述的每一个问题在变化过程中，谁是常量，谁是变量？都涉及几个变量？【思考2】两个变量之间的关系是通过什么来刻画的？
【思考3】综合思考1和思考2的解答，总结上述例子变量间关系的共同特点？
【早期函数概念】
十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关
系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念。
1718年约翰·贝努利对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量（是历史上第一个正式发表的明确的函数定义），贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”。
欧拉在《无穷分析引论》（1748）中给出的函数定义是：“一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何方式组成的解析式。”
【总结】十七和十八世纪的数学家对函数问题的认识上有着共同的思考：函数就是解析式局限性：并不是所有的函数关系都能用表达式表示，没有解析式的能算作函数吗？
案例1：
【思考1】表格中有变量吗？有几个变量？是什么？
【思考2】当年份确定时，相应年份的人口数是否确定？那么你能根据表格写出1949
~1999年年份与我国人口数的关系式吗？
案例2：
【思考1】统计图中有变量吗？有几个变量？是什么？
【思考2】当时间确定时，相应的温度是否确定？你能写出温度随时间变化的关系式吗？
【思考】综合上述思考题的解答，总结上述例子变量间关系的共同特点？
欧拉在《微分学原理》（1755）序言中给出的定义是：”如果某个量依赖于另一个量，当后面这个量变化时，前面这个量也随之变化，则前面这个量称为后面这个量的函数。
总结：函数表示的是变量的一种依赖关系。
局限性：并不是所有变量之间都具有依赖性的，即在解析式中找不到y x ,的对应关系的能
算作函数吗？
案例：某市出租汽车的收费标准如下：在km 3（含km 3）路程按起步价11元收费，超过
km 3的路程按2.4元/km 收费，试问：某次乘坐出租汽车路程为km 1.8和km 2.7时，收费
分别是多少？如果是km 4呢？
【思考1】上述问题有变量吗？有几个变量？分别是什么？
【思考2】上述两个变量是否一定具有依赖关系？
【思考】综合上述思考题的解答，总结上述例子变量间关系的特点？
【十九世纪函数概念——变量对应关系下的函数】
1823年柯西从定义变量开始给出了函数的定义，同时指出，函数不一定要有解析表达式，不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限，突破这一局限的是杰出数学家狄利克雷。
1837年狄利克雷认为怎样去建立与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个确定的值，那么y叫做x的函数．”狄利克雷的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受．至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义。（初中学习的函数的定义）
局限性：没有局限性了，只是集合语言的引入，显得更高端洋气上档次一些。
等到20世纪康托尔创立的集合论在数学中占有重要地位之后，集合语言作为近现代数学的“基本语言”广泛的在数学的各个分支学科中占据着重要地位。那么如何利用集合语言来包装函数的变量对应说，从而给出基于集合语言的定义呢？
【思考1】变量对应说中的两个变量如何用集合语言包装？（集合的概念）两个非空数集强调：非空、数集（所谓函数函数，研究的肯定是数的集合）；
【思考2】变量对应说中的变量对应关系如何用集合语言包装？（变量对应-集合对应）强调：集合对应的本质仍然是两非空数集中元素的对应；
【思考3】 集合对应的本质仍是两非空数集中元素的对应，那么这种对应遵循什么规律？
（1）非空数集A 中能否存在多余的元素？
（2）非空数集B 中能否存在多余的元素？
（3）对于非空数集A 中的任意一个元素x ，在非空数集B 中能否有两个元素与之对应？
【思考4】结合上述几个思考题，概括函数的本质属性，并给出函数的概念？
（按照某种对应法则（可以为解析式、可以为表格、可以为图像）、在集合A 中的每一个
元素，在B 中都有唯一的元素与之对应）（看成是数值发生器）
根据函数的定义进一步思考：
【思考5】
（1）在非空数集B 中的元素x ，在非空数集A 中是否可有两个或多个元素与之对应？
（2）非空数集A 和非空数集B 是否可以为无限集？试举例说明。（有限与无限应该是同
步的，例子为：正整数集合与正偶数集合的对应关系）
数学的表述和推理离不开符号，所以函数概念要为数学服务，也要用符号表示。
数学教育国际比较的观点：David Clarke （张家港常青藤和美国芝加哥）。不同的函数可看
成是不同的数值发生器（画出三个不同形状的数值发生器）。
根据函数的表示进一步思考：
【思考6】
1: 2)(x x f =是函数么？)2(f 是函数吗？1)(=x f 是函数吗？
2：D x x f y ∈=),(；D t t f s ∈=),(表示的是同一个函数吗？
3：已知3)(2
+=x x f ，则)(),(),(何睦f f y f ?分别是什么？
【现代函数概念——集合论下的函数】
维布伦用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关
系、定义域及值域进一步具体化了；
1930年新的现代函数定义为，若对集合M 的任意元素x ，总有集合N 确定的元素y
与之对应，则称在集合M 上定义一个函数，记为()y f x =．元素x 称为自变元，元素y
称为因变元。
【小结】
其实每个数学概念和公式的背后都有着它的故事：或许源于一个灵感；或许是几代人
甚至是几个世纪人的共同努力使之完善的过程；更或许是中外数学家的一些共同思考。
应该指出的是，函数概念的整个历史进程中，经历了无数数学家“一次次的提出概念、
一次次的推翻概念”的探究过程，不断的引发更多的数学家关于函数概念和函数本质问题上
进行更深层次的思考。我想，这是必然的一个现象，因为人类在探索自然规律的过程中必
然有个中假设，虽然后来发现某些假设是错误的，但正是前人的失败才使后人的思考走上
了正确的道路。
函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式，但这并不
意味着函数概念发展的历史终结。因此，随着以数学为基础的其他学科的发展，函数的概
念还会继续扩展．
景点二：函数概念产生的历史背景
数学知识的引进必定有它存在的正面价值，小学我们虽然没有引入函数概念，但是我
们研究过：单价、数量和总价的关系，速度、时间和路程的关系，这些都是函数的影子；
初中在一次函数章节里给出过y 是x 的函数的定义：在一个变化过程中的两个变量x 和
y ，对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，我们就称y 是x 的函数。但是同学们
是否有过哲学角度的原点思考：任何事物的出现必定有它存在的正面价值，函数的概念也
不例外。为什么要学习函数？阅读下面材料，你就能发现问题的答案了！
世界上的一切，都在不停的变化。
古希腊哲学家赫拉克里特说：人不能两次踏入同一条河流。因为河水在流动，第二次
踏入的已经不是上次的河流了。
赫拉克利特用生动的比喻说明一切都在不断的变化。但他没有把概念说清楚。什么叫
同一条河流？昨天的黄河和今天的黄河是一条河还是两条河？早上的你和晚上的你是一
个人还是两个人？
当时有的哲学家走向另一个极端，认为事物实际上是静止不变的，变化和运动只是人
的幻觉。其中有个叫芝诺的诡辩家，为了论证运动是幻觉，还提出了飞矢不动的著名怪论。
飞快的箭怎么可能不动呢？芝诺的说法是：箭在每一瞬间都要占据确定的位置，所以
每一瞬间都是静止的。既然每一瞬间都是静止的，又怎么能够动呢？
数学讲究严谨，概念要清楚。要探讨动还是不动，就要先讲好什么叫动，什么叫不动。
什么叫动？一个物体，时刻1t 在甲处，另一个时刻2t 在与甲不同的乙处，我们就说它
在时刻1t 到2t 之间动了。如果对于两个时刻之间的任意时刻t 它都在甲处，就说它在这段
时间内没有动。这样把时间和物体的位置对应起来，问题就清楚了。原来，动和不动是涉
及两个或更多时刻的位置的概念，只看一瞬间，动和不动都没有意义。怪论的漏洞，源于
对运动没有严谨的表述。
从上面两个例子可见，古人已经感觉到了事物的运动变化和保持相对稳定性质之间的
矛盾，但由于尚未找到合理地刻画运动和变化的方法，就不能实事求是地认识运动和变化，或者否定运动的可能性，或者否认变化中的事物是同一事物。
直到17世纪，数学中出现了变量与函数的概念，人们才掌握了精确地描述和刻画运
动与变化的工具。
一部电影由许多画面组成。这些画面按一定顺序排列在长长的胶片上。对画面进行编
号，就得到了从一部分自然数到画面的对应。
电影是由一串离散的画面组成的。实在的事物却是由连续改变着的状态组成的。这时，
时刻代替了编号，状态代替了画面。号码是自然数，而时刻是实数。运动变化的事物，就
可以用时刻到状态的对应来刻画。时刻可以用实数表示，事物在一个时刻的状态也可以用
一组或一个实数来表示，于是，时刻到状态的对应就成了实数到实数的对应，也就是函数。 景点三：对函数概念本质理解的应用
1. 课本P25例1；
增加（3）：x x x -1+-→的对应是否为函数？（A 不为非空数集）
2. 课本P26练习第1、2、3、4题；
3. 课本P31习题2．1（1）第1、2、8题；（两个数值发生器）
1. 已知集合=A R ，{}1,1-=B ，对应法则f 如下：当x 为有理数时，1)(-=x f ；当x
为无理数时，1)(=x f ．该对应是从集合A 到集合B 的函数吗？
（意图说明：不能用解析式来表示的函数例子，体会变量与对应的特征）
2. 已知集合{}{}5,3,1,4,3,2,1==B A ，试写出从A 到B 的两个函数．
3. 请写出3个不同的函数)(x f y =的解析式，满足4)2(,1)1(==f f
《函数》整体学习指导 解读：该部分学习意在通过对函数基本概念的理解（函数的概念丄、 巩固（分段函数）和加深（映射的概念）（教材中先函数后映 射遵循概念发展的历史过程）；基本性质的学习（为什要只重点研究函数 的这几个性质？水浒传里有108将，但是只对武松、鲁智深、 林冲等十几个人着力刻画，这是文学家的方法，也是数学家的方法。 函数（Function）本部分学习的目的是通过学习形成函数研究的一般方法和套路。 基本初等函数（指数、对数、幕函数） / 解读：该部分学习是在形成函数研究的一般方法之后对方法的 有力尝试，在尝试中不断加深对函数研究一般方法的认识和理解。 数学内部发展（函数的零点、二分法求方程近似解） 函数的应用（数学发展的两条主线都涉及了） 社会现实需要（解决社会与生活中的实际问题） 第一节：函数概念的起源及其历史演变 我们要参观的景点：（The seenery we ' II visit ） 1.函数的概念是什么？（What？） 2.为什么要建立函数的概念？（Why ?） 3.函数的概念是如何建立的？函数概念的建立经历了怎样的历史演变过程? （How？）
景点一：函数的概念是什么？函数的概念是如何建立的? 函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300年来函数概念的发展， 众多数学家从集合、代数、对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。 案例1:圆的面积S与圆半径r的关系； 案例2:锐角:与锐角1互余，:与1的关系； 案例3:气体的质量一定时，它的体积V与它的密度之间的关系； 【思考1】上述的每一个问题在变化过程中，谁是常量，谁是变量？都涉及几个变量？【思考2】两个变量之间的关系是通过什么来刻画的？ 【思考3】综合思考1和思考2的解答，总结上述例子变量间关系的共同特点？ 【早期函数概念】 十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关 系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔在他的解析几 何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念。 1718年约翰?贝努利对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构 成的量（是历史上第一个正式发表的明确的函数定义），贝努利把变量x和常量按任何方 式构成的量叫“ x的函数”。 欧拉在《无穷分析引论》（1748）中给出的函数定义是："一个变量的函数是由该 变量和一些数或常量以任何方式组成的解析式。” 【总结】十七和十八世纪的数学家对函数问题的认识上有着共同的思考：函数就是解 析式
电话的历史演变过程 摘要：从古时候的鸽子传信到如今的“瞬间交流”—移动电话通信，不可否认电话的问世，使我们的生活发生了翻天覆地的变化。它的存在使距离不再是沟通、交流的阻碍。不管多远，不到一分钟信息便可传入对方耳中，如此速度，让我们不得不惊叹于它的魅力。从1983年贝尔发明这场革命至今仍未结束，让我们一起去走走这条电话百年的发展之路。 关键字：电话、贝尔、发展历程 1876年，亚历山大·格雷厄姆·贝尔发明了电话，以此开创了人类的通讯革命。从有线到无线，从台式到移动电话，从仅是通话功能到如今的手机上网，这场革命至今仍未结束。 在贝尔发明电话之前，传递消息的最快方式是通过电报线用莫尔斯码发送电报。而电报这个通讯方式这时也刚刚问世不久，在这之前，紧急信息只能由驿马、烟火信息、鸽子或船只传送。 自从人类发明电以后，就有人想利用电来进行通信。有个叫摩尔逊的人，曾架设26根电线，代表26个字母，来传递信息。这可以说是最早的"电报机"了。但其设备庞杂，传递不远，终究没能达到实用的阶段。 18世纪30年代，由于铁路迅速发展，迫切需要一种不受天气影响、没有时间限制又比火车跑得快的通信工具。 1844年5月24日，是世界电信史上光辉的一页。莫尔斯在美国国会大厅里，亲自按动电报机按键。随着一连串嘀嘀嗒嗒声响起，电文通过电线很快传到了数十公里外的巴尔的摩。他的助手准确无误地把电文译了出来。莫尔斯电报的成功轰动了世界各国，他的电报很快风靡全球。但是莫尔斯电报也有其缺点，就是从发报人到收报人需利用专门的电码译本经过两次翻译才能把信息传递过去，而且发报人不能立即获得收报人的反馈信息。 贝尔对莫尔斯电报的缺点作了分析后产生了一个大胆的设想：能否制造出一种直接传递入的语言的装置?能否把人说话的声音通过导线传到很远的地方? 他在研究一种为耳聋者使用的"可视语言的实验中，听见一个震颤声沿着电线从一个房间传到另一个房间。贝尔原是从事语音教学的教授，对人类耳朵的震动原理有着充分的了解，他立即发现通过电线传递人类的声音是可行的，电话诞生了。10年之内它遍及美国，很快又传遍全世界。 电话发明至今，从工作原理到外形设计都有不小的变化，下面就请大家跟随我们一起去走走这条电话百年发展的道路。 1878年，手持电话 这部电话是由Werner Siemens于1878年在德国制造的。它的听筒和话筒是一个，听话和说话时交替使用。 1880年，贝尔电话 这是第一种在欧洲使用的电话。它取代了电报，比装有手柄的磁力发动机电话先进。1885年，“埃菲尔铁塔”磁力发电机电话 这款电话由L. M. Ericsson于1885年制造。在当时这是第一款放在桌面上的电话。麦克风设在旋转臂上，曲柄用来接通交换机。 1897年5月18日，马可尼进行横跨布里斯托尔海峡的无线电通信取得成功。 1901年，马可尼实现了隔着大西洋的无线电通信。 1903年，无线电话试验成功。
会计的历史演变过程 会计，这一人类生产活动中的社会现象由来已久，它是人类社会生产和发展的产物。人类为了生存和发展必须进行生产活动，在生产活动中一方面进行生产，同时对生产活动进行计数。人类从学会计数开始就产生了会计的萌芽。在人类社会生产发展的低级阶段，人们管理生产过程的数量方面，还知识凭头脑去记忆，后来就逐渐发展到使用各种符号和标志。例如，在树干上，在石头上，刻画各种实物的形象。经过漫长的岁月，数量的计量由简单趋向于复杂，加上文字的出现，这给会计记录带来很大的方便。从此以后，使用文字来记录实物的数量。在生产力十分低下的很长时间内，人们所关心的还是生产本身，会计还不占重要地位，因此会计还知识生产职能的附带部分。在这种情况下，还不可能有专职人员去担任会计工作，只有当生产力发展到一定水平，劳动生产效率提高，劳动产品增加，特别是出现了剩余产品后，这种情况才可能得到改变，开始有可能和必要吧会计从生产职能中分离出来，成为带有一定程度独立性的会计工作，这是会计管理的雏形。这种变化初步改变了会计工作的地位，从附带的职能变为独立的职能，逐渐发展到承担生产管理的人物，为提高经济效益服务。会计之所以从生产的附带职能变为独立的职能，主要是由于产生了商品货币。从此，社会在生产过程中一切物质资料的生产分配和叫唤都要通过货币来计量。随着社会经济的发展和科学技术的进步，会计理论、方法、程序和组织模式，也从简单到复杂，并逐步完善起来。因此，会计是与社会生产的发展及由此产生经济管理的需要分不开的。会计伴随着社会生产的发展而发展，会计这一个古老的名词，在我国具有悠久的历史。远在公元前1100年到公元前770年之间的西周时代就已出现“会计”一词。据史书记载，我国古代有为王朝服务的会计，有专职官吏专司其事。春秋时代的孔子就曾当过管会计的官员。“会”和“计”都有计量方面的含义，并奇瑞都有汇总计算的意思，据有关历史资料考证，会计在当时的基本含义是：既有日常的零星的核算，又有年终的总和核算，称“月计岁会”。清朝焦循在《孟子正义》中对会和计两字作了具体说明，“零星之算之为计，总合算之为会”。这就是说，平时进行零星计算，期终办理决赛，把日常的核算与定期的总括核算两方面的含义都包括在一起。虽然这种简单的字面解释无法概括现代会计的丰富内容，但基本上能表达会计在核算部分的基本特征。 会计作为一项经济活动的记录、计算和汇总工作，无论在中国货在国外都有悠久的历史了，但是，会计作为一门独立的科学，具有一套科学的计量、确认和记录的方法，则是商品经济发展过程中的产物。在商品经济条件下，一切商品都有价值，在社会再生产过程中就有价值的耗费和形成、价值的实现和收回，价值的分配与积累等经济活动，对于这些经济活动从价值上进行核算和管理，离开会计工作就无法实现。会计以其确认、计量、记录、报告和分析检查为手段，目的是从一个特定的侧面管理一个单位占用财产物资和发生的劳动耗费，确保公平合理的收益分配，参与经营决策，实行会计监督，并为宏观经济管理和有关个方面提供决策有用的信息。一次会计是经济管理的重要组成部分，是一种管理活动。 会计做为一种那个管理形式并具有特定的技术方法，在我国有着长期的历史。自奴隶社会周朝开始，会计就有了发展。周朝廷和各地的奴隶主已经利用会计来管理一切贡、赋、徭、役等的征收和分配，并设有“司会”的专门官职，掌握钱粮，赋税收支，进行“月计岁会”，从秦朝到汉朝，都设有掌握钱粮、赋税和官廷财务收支的官吏。在古代，会计实际上市经济工作的主管。在会计技术方法方面，秦汉建立了一“入”、“出”为记账符号的定式会计记录方法，从西汉开始，会计与统计就分别在不同的账册中加以处理，会计账册成为簿，而统计账册成为籍。唐宋之际产生并完善了相当科学的会计结算方法，即“四柱结算法（四柱清册）”，“四柱结算法”的基本公式为“旧管（初期余额）+新收（本期收入）-开除(本期支出)=实在（期末余额）”。明末清初，在“四柱结算法”的影响下，民间出现了可以核算盈亏的“龙
【最新整理，下载后即可编辑】 函数概念的历史发展 函数概念是中学中最重要的概念之一，它既是数学研究的对象，又是解决数学问题的基本思想方法。早在16、17世纪，生产和科学技术的发展要求数学不仅研究静止不动的量，而且要研究运动过程中各个量之间的依赖关系，从而促进数学由常量上学时期进入到变量数学时期。函数也就成为研究变量数学必不可少的概念。 函数（function ）一词，始用于1692年，见著于微积分创始人之一莱布尼兹G.W.Leibnic,1646—1717）的著作。而f(x)则由欧拉（Euler ）于1724年首次使用。我国于1859年引进函数的概念，它首次是在清代数学家李善兰与英国传教士伟烈亚历山大合译的《代微积拾级》中出现。函数在初高等数学中，在物理、化学和其他自然科学中，在经济领域和社会科学中，均有广泛的应用，起着基础的作用。 函数的概念随着数学的发展而发展，函数的定义在发展过程中不断地精确、完善、抽象，函数的概念也不断得到严谨化、精确化的表达。 牛顿在《自然哲学的数学原理》中提出的“生成量”就是函 数概念的雏形。最初，函数是表示代数上的幂（23,,,x x x …），1673 年，莱布尼兹把任何一个随着曲线上的点变动的几何量，如切线、法线，以及点的横坐标都成为函数。 一、解析的函数概念 在18世纪占主导地位的观点是，把函数理解为一个解析表达式． 1698年，瑞士著名数学家约翰·贝努利定义：由变量x 和常量用任何方式构成的量都可以称为x 的函数．这里任何方式包括代数式子和超越式子． 1748年，约翰的学生，杰出数学家欧拉在它著名的《无穷小分析引沦》中把函数定义为“由一个变量与一些常量通过任何方
实习报告 2011年10月5日 题目函数概念发展的历史过程 作者组长：张婕组员：王笑晗，李良芳，薛兰瑞宁,严娟娟 摘要函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，也是数学的核心,纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。本文通过对函数概念的发展与比较的研究，对函数概念的几个方面进行一些探索,分为这几个方面: 1 早期函数概念——几何观念下的函数 2 十八世纪函数概念——代数观念下的函数 3 十九世纪函数概念——对应关系下的函数 4现代函数概念——集合论下的函数 正文第一方面:早期函数概念——几何观念下的函数 在欧洲，函数这一名词，是微积分的奠基人莱布尼兹首先采用的，他在年发1692表的数学论文中，就应用了函数这一概念，不过莱布尼兹仅用函数一词表示幂。后来,在十七世纪,伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线来研究的。 第二方面:十八世纪函数概念——代数观念下的函数 1718年瑞士数学家约翰·贝努利使用变量概念在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义给出了不同于几何形式的函数定义：函数就是变量和常量以任何方式组成的量，并首先采用符号作为函数的记号。也就是把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x 的函数”，表示为，其在函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子。 数学家欧拉在其著作《无穷小分析论》中，把凡是给出解析式表示的变量统称为函数。1734年，欧拉首先创造十分形象且沿用至今的符号作为函数的记号，欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍,形象,但关于函数的定义，欧拉并没有真正揭示出函数概念的实质。 第三方面: 十九世纪函数概念——对应关系下的函数 1822年傅里叶发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，从
对数函数的产生和发展历程 一、对数函数的产生： 16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的天文数值计算，于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数。德国的史蒂非（1487-1567）在1544年所著的《整数算术》中，写出了两个数列，左边是等比数列（叫原数），右边是一个等差数列（叫原数的代表，或称指数，德文是Exponent ，有代表之意）。欲求左边任两数的积（商），只要先求出其代表（指数）的和（差），然后再把这个和（差）对向左边的一个原数，则此原数即为所求之积（商），可惜史提非并未作进一步探索，没有引入对数的概念。 在纳皮尔所处的年代,哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行,这导致天文学成为当时的热门学科.可是由于当时常量数学的局限性,天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”,因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.纳皮尔也是当时的一位天文爱好者,为了简化计算。他所制造的「纳皮尔算筹」，化简了乘除法运算，其原理就是用加减来代替乘除法。他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法，他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法，其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的1619年发表《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数，记为Nap．㏒x，它与自然对数的关系为：Nap．㏒x=10㏑(107/x)由此可知，纳皮尔对数既不是自然对数，也不是常用对数，与现今的对数有一定的距离。瑞士的彪奇（1552-1632）也独立地发现了对数，可能比纳皮尔较早，但发表较迟（1620）。英国的布里格斯在1624年创造了常用对数。1619年，伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近（以e=...为底）。对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响，简化了行星轨道运算问题。 二、对数函数的发展过程： 最早传入我国的对数著作是《比例与对数》,它是由波兰的穆尼斯（1611-1656）和我国的薛凤祚在17世纪中叶合编而成的.当时在lg2=中,2叫「真数」,叫做「假数」,真数与假数对列成表,故称对数表.后来改用「假数」为「对数」.我国清代的数学家戴煦（1805-1860）发展了多种的求对数的捷法,著有《对数简法》（1845）、《续对数简法》（1846）等.1854年,英国的数学家艾约瑟（1825-1905）看到这些著作后,大为叹服.当今中学数学教科书是先讲「指数」,后以反函数形式引出「对数」的概念.但在历史上,恰恰相反,对数概念不是来自指数,因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念.布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议.1742年,J．威廉（1675-1749）在给G．威廉的《对数表》所写的前言中作出指数可定义对数.而欧拉在他的名著《无穷小分析寻论》（1748）中明确提出对数函数是指数函数的逆函数,和现在教科书中的提法一致.
《函数》整体学习指导 函数的概念和基本性质（单调性、奇偶性） 解读：该部分学习意在通过对函数基本概念的理解（函数的概 念）、巩固（分段函数）和加深（映射的概念）（教材中先函数后映 射遵循概念发展的历史过程）；基本性质的学习（为什要只重点研 究函数的这几个性质？水浒传里有108将，但是只对武松、鲁智深、 林冲等十几个人着力刻画，这是文学家的方法，也是数学家的方法。函数（Function）本部分学习的目的是通过学习形成函数研究的一般方法和套路。 基本初等函数（指数、对数、幂函数） 解读：该部分学习是在形成函数研究的一般方法之后对方法的 有力尝试，在尝试中不断加深对函数研究一般方法的认识和理解。 数学内部发展（函数的零点、二分法求方程近似解） （数学发展的两条主线都涉及了） 社会现实需要（解决社会与生活中的实际问题） 第一节：函数概念的起源及其历史演变 我们要参观的景点：（The scenery we’ll visit） 1. 函数的概念是什么？（What？） 2. 为什么要建立函数的概念？（Why ?） 3. 函数的概念是如何建立的？函数概念的建立经历了怎样的历史演变过程？（How？） 景点一：函数的概念是什么？函数的概念是如何建立的？
函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。 案例1：圆的面积S与圆半径r的关系； 案例2：锐角α与锐角β互余，α与β的关系； 案例3：气体的质量一定时，它的体积V与它的密度ρ之间的关系； 【思考1】上述的每一个问题在变化过程中，谁是常量，谁是变量？都涉及几个变量？【思考2】两个变量之间的关系是通过什么来刻画的？ 【思考3】综合思考1和思考2的解答，总结上述例子变量间关系的共同特点？【早期函数概念】 十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关 系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念。 1718年约翰·贝努利对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构 成的量（是历史上第一个正式发表的明确的函数定义），贝努利把变量x和常量按任何方 式构成的量叫“x的函数”。 欧拉在《无穷分析引论》（1748）中给出的函数定义是：“一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何方式组成的解析式。” 【总结】十七和十八世纪的数学家对函数问题的认识上有着共同的思考：函数就是解析式
正确处理四大关系: 如何统筹人与自然与谐发展？ 人与自然的关系有个历史演变过程。在原始发展时期,人类崇拜依附于自然,匍匐在大自然的脚下;在农业文明时期,人类利用、改造自然,对自然进行初步开发;在工业文明时期,人类控制、支配自然,以自然的“征服者”自居。尤其就是到了近代,人类开始直观地认识到人的生存与发展主要不就是依赖自然的给予,而就是依赖自己对自然的改造。为了有效地“改造自然”,人们不惜把对自然规律的“正确认识”瞧得轻而易举,并加以夸大与绝对化。随着对自然控制与支配能力的急剧增强,以及自我意识的极度膨胀,人类开始一味地对自然强取豪夺,从而激 化了与自然的矛盾,加剧了与自然的对立,人类也不得不面对人口剧增、能源短缺、臭氧层破坏、全球变暖、大气污染、水资源缺乏、森林锐减、土地沙化、水土流失、物种灭绝等生态危机的种种现实。 从现在开始,我们应当把促进当前的经济、社会发展与保障未来的持续发展统一起来,积极地肩负起自己的责任,自觉地调整自身的行为,力求正确认识与运用自然规律,通过相互依赖、互惠互补,与自然界与谐相处、协调发展,最终达到“既改造自然,又不破坏自然;既满足当代人的需要,又不对后代人满足其需要的能力构成危害的发展”的目标,以便全面长远地为人 类创造良好的生存条件,逐步提高生活质量,推动整个社会走上生产发展、生活富裕、生态良好的文明发展道路,创立一个完全新式的人类文明,一个可以永续发展的文明社会。 统筹人与自然与谐发展的根本途径 “统筹人与自然与谐发展”的新理念,对我们推进现代化、全面建设小康社会具有极其重要的思想启迪作用与现实指导意义。在新的历史发展阶段,我国要达到发展经济与环境保护并举、经济效益与生态效益兼顾、生产力发展与自然与谐“双赢”的目标,为全面建设小康社会提供物质技术基础与生态环境双重保障,就必须坚持在发展中保护、在保护中发展,走生产发展、生活富裕、生态良好的文明发展道路,把青山绿水留给子孙后代。而在具体操作中,需要特别关注下面几个方面。 确立一大战略。即坚持可持续发展战略。既着眼当前,又考虑未来,实现经济社会与人口、资源、环境的协调发展。要在保持经济增长的同时,保护自然资源,维护良好的生态环境;同时促进人的全面发展,推进经济、政治、文化的发展与人民物质文化生活改善这两个历史过程相互结合、相互促进、共同发展。 树立一个观念。即在全社会树立起新的生态观。反思人类干预自然的限度及其合理性基础,扎实解决人民群众关心的环境问题,不断满足人们改善生产生活环境与生态环境的愿望; 运用法律、经济及必要的行政手段来管理环境问题,鼓励人民群众积极参与与监督环保工作;对环境资源成本与环境资源的保护服务费用进行核算,用绿色ＧＤＰ真正体现国民经济增长的净正效应。 形成三种思想。一就是天人一体的思想。认识到人类生存资料的有限性与地球的唯一性,
总课题：数学的发展史 子课题：函数的发展史 一、组长：李 组员：刘田仁姬孙二、指导老师：张
三、班级：高一12班 四、成员简介： 李：性格开朗、刻苦认真担任组长 刘：喜欢英语、大方担任搜集 仁：喜欢信息、刻苦认真担任写作 姬：开朗大方、热情担任搜集 孙：爱好动漫、画画性格外向担任整理 田：开朗大方刻苦认真担任整理 五、选题的原因： 开阔视野，增长见识。提高我们的数学修养‘可以使我们更好的融合在一起，加强团结，了解数学。 六：研究计划： 共六人：姬刘担任搜集 李仁担任写作 孙田整理资料 七：研究成果： 历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分 有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨大作用． 马克思曾经认为，函数概念来源于代数学中不定方程的研究．由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽． 自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，人们在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自转和公转，那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆，原理是什么?还有，研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度，以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题，既是科学家的力图解决的问题，也是军事家要求解决的问题，函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念，这是函数概念的力学来源．
函数发展简史 最早提出函数（function）概念的，是１７世纪德国数学家莱布尼茨． 后又经历了贝努利、欧拉等人的改译。 １８２１年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数，在柯西的定义中，首先出现了自变量一词。 １８３４年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步指出了对应关系（条件）的必要性，利用这个关系以求出每一个ｘ的对应值． 康托尔 自从德国数学家康托尔的集合论被大家接受后，用集合对应关系来定义函数概念就是现在高中课本里用的了。 . 中文数学书上使用的“函数”一词是转译词．是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》一书时，把“function”译成函数。
优美的函数图象
笛卡尔的故事 当时法国正流行黑死病，笛卡儿不得不逃离法国，于是他流浪到瑞典当乞丐。某天，他在市场乞讨时，有一群少女经过，其中一名少女发现他的口音不像是瑞典人，她对笛卡儿非常好奇，于是上前问他…… 你从哪来的啊? “法国”“你是做什么的啊?” “我是数学家。” 这名少女叫克丽丝汀，18岁，是一个公主，她和其它女孩子不一样，并不喜欢文学，而是热衷于数学。当她听到笛卡儿说名身份之后，感到相当大的兴趣，于是把笛卡儿邀请回宫。笛卡儿就成了她的数学老师，将一生的研究倾囊相授给克丽丝汀。而克丽丝汀的数学也日益进步，直角坐标当时也只有笛卡儿这对师生才懂。后来，他们之间有了不一样的情愫，发生了喧腾一时的师生恋。这件事传到国王耳中，让国王相当愤怒！下令将笛卡儿处死，克丽丝汀以自缢相逼，国王害怕宝贝女儿真的会想不开，于是将笛卡儿放逐回法国，并将克丽丝汀软禁。笛卡儿一回到法国后，没多久就染上了黑死病，躺在床上奄奄一息。笛卡儿不断地写信到瑞典给克丽丝汀，但却被国王给拦截没收。所以克丽丝汀一直没收到笛卡儿的信…… 在笛卡儿快要死去的时候，他寄出了第13封信，当他寄出去没多久后... 就气绝身亡了。这封信的内容只有短短的一行…… r=a(1-sinθ) 国王拦截到这封信之后，拆开看，发现并不是一如往常的情话。国王当然看不懂这个数学式，于是找来城里所有科学家来研究，但都没有人能够解开到底是什么意思。国王心想……反正笛卡儿快要
函数的起源与发展 今天的数学大厦已有数千年历史，这是世界数代数学家不断建设完善的结果，伴随着数学思想的发展，函数概念由模糊逐渐严密，对于数学和科学来说，函数是一个最重要，最有意义的数学概念，是人类心智发展的重要标志。 ——引言 众所周知，函数概念是在集合论的基础上产生的。 设A，B是非空的集合，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素?和它对应，那么就称??为从集合A到集合B的一个函 数，记作??或?。
仍然是未知的。（定义?5）这实际是“列表定义”，好像有一个“表格”，其中一栏是?x值，另一栏是与它相对应的?y值。这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，把函数的“对应”思想表现出来，而“对应”概念正是函数概念的本质与核心。 十九世纪法国数学家柯西（?Cauchy）更明确的给出定义：有两个互相联系的变量，一个变量的数值可以在某一范围内任意变化，这样的变量叫做自变量，另一个变量的数值随着自变量的数值而变化，这个变量称为因变量，并且称因变量为自变量的函数。 直到1930年，现代的函数概念才“出炉”，若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数。 函数的应用领域是非常广泛的，几乎每个领域都有它的身影。下面来看一道千古谜题。 题目要求相当简单：只用圆规和没有刻度的直尺，作出一个正十七边形。（尺规作图） 要作正十七边形，还只能用尺规，谈何容易。然而一个数学天才只用一个晚上就解决了，他的名字就是高斯。 作图方法： 步骤一：?? ?给一圆O，作两垂直的半径OA、OB，????作C点使OC＝1/4OB，????作D点使∠OCD＝1/4∠OCA，?? ?作AO延长线上E点使得∠DCE＝ ???步骤二：?? ?作AE中点M，并以M F 点，此圆交直线OA于G4和G6两点。 ?步骤三：?? ??过G4作OA垂直线交圆O于P4 有2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1?? 注意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a, 令x=cosa+cos2a+cos4a+cos8№a?? y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a???? 有:x+y=-1/2?? 又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)???? =1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a)???? 经计算知xy=-1又有?? x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4?? 其次再设 x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a??? ?y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a???? 故有x1+x2=(-1+根号17)/4????y1+y2=(-1-根号17)/4?? 最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2??
函数概念的历史发展 众所周知，函数是数学中一个重要概念，它几乎渗透到每一个数学分支，因此考察函数概念的发展历史及其演变过程，无疑有助于我们学生更深刻、更全面地理解函数的本职，并且从中得到有益的方法论启示。 1 函数概念的产生阶段—变量说 马克思曾认为，函数概念是源于代数中自罗马时代就已经开始的不定方程的研究，那时，伟大的数学家丢番图对不定方程的研究已有相当程度，据此，可以认为函数概念至少在那时已经萌芽。实际上作为变量和函数的朴素概念，几乎和数学源于同一时期，因为数学家在研究物体的大小及位置关系时，自然会导致通常称为函数关系的那种从属关系。但是，真正导致函数概念得以迅速发展则是在16世纪以后，特别是由于微积分的建立，伴随这一学科的产生、发展和完善，函数概念也经历了产生、发展和完善的演变过程。 哥白尼的天文学革命以后，运动成为文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，到了16世纪，对于运动的研究已变成自然科学的中心问题。在这一时期，函数概念在不同科学家那里有着不同形式的描述。在伽利略的《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数的思想，他用文字和比例的语言表述函数关系。例如，他提出：“两个等体积圆柱体的面积之比，等于它们高度之比的平方根。”“两个侧面积相等的正圆柱，其体积之比等于它们高度之比的反比。”他又说：“从静止状态开始以定常加速度下降的物体，其经过的距离与所用时间的平方成正比。”这些描述非常清楚地表明伽利略已涉及并讨论变量和函数，但他并没有做出一般的抽象，并且也没有把文字叙述表示为符号形式。 几乎与此同时，许多数学家，如托里拆利、瓦里斯、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹等，从不同角度对函数进行了不同程度的研究.有的数学家是把一些具体的函数看成曲线进行研究,尽管当时还没有建立实连续的概念,但数学家却默认曲线都是连续的。托里拆利就曾对曲线()0≥ y ex进行过研究；而瓦里斯在他的《动学》中研究过正弦曲 =x ae 线，并注意到了这一函数的周期性。麦尔先纳研究了旋轮线等等，总的来讲，当时关于对数曲线和指数曲线的研究比较普遍。在解析几何产生前后，人们除了已认识的代数曲线外，还确定了相当多的超越曲线。笛卡儿在其著作中提到了几何曲线与机械曲线的区别并由此引出代数曲线(函数)和超越曲线(函数)的区别。
教案内容：历史科第二章（单元）第11 课 课题:社会生活的变迁 教案目标： 1、情感目标：在学习中逐步认识到随着社会的进步以及人类文明的发展、世界文化的交流等，人类的生活必会发生重大的变化。中国社会接受西方传人的照相和电影，剪发辫、改称呼以及服饰受西方影响发生变化等反映了时代发展的必然性。今天我国的旗袍在世界服饰界占有重要的地位，人类对美好的事物能够形成共识。 2、知识目标：知道照相和电影在中国的出现和发展。了解民国初年剪发辫、改称呼等基本史实，分析其原因。并通过清末民初人们服饰的变化来了解社会的变化。 3、能力目标：通过各种途径搜集有关反映民国初年社会变迁的文字、图片等史料，并对其进行归纳，培养学生收集、处理历史信息的能力。 2、通过学生表演不同时期称呼的变化，认识社会在不断地发展变化 教案重点：了解清末民初中国社会生活的变迁情况，即知道照相、电影的出现以及剪发辫、改称呼、易服饰等社会生活变化的表现。 教案难点：分析剪发辫、改称呼的原因和尝试从服饰的变化中了解社会的变化与发展，知道这些变化是历史发展的必然，培养学生的改革意识和创新精神。 教案方法：根据对教材内容、教案目标及学生的知识、心理特点等方面的分析，教案活动将采用探究性学习方式，重视教案过程的学生的参与性、探究性，使学生在主动探究中体验学习的快乐，成功的喜悦。更好地体现自主、探究、合作的学习方式。在教案中建立民主、平等和合作伙伴的新型师生关系。 教案准备：教师准备：制作有关课件，剪辑有关录像资料，印发与本课有关的文字、图片等部分资料。学生准备：1、利用各种资源（旧服饰、老照片，或图书《老照片》、《百年中国》、《旧中国大博览》）等书籍和资料，或借助互联网，以及观看相应的影视作品如（《西洋镜》、《定军山》等），搜集与本课相关的信息，并进行整理、加工，以便在课堂上展示。2、采访社区的老人，了解当时社会变迁情况。 自学指导（教材分析）： 本课主要是让学生对清末民初中国社会生活变迁的情况有一个大致的了解，并且这一课内容丰富生动、贴近学生日常生活，便于学生的自主学习。
数学函数的发展史 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
总课题：数学的发展史 子课题：函数的发展史 一、组长：李 组员：刘田仁姬孙 二、指导老师：张 三、班级：高一12班 四、成员简介： 李：性格开朗、刻苦认真担任组长 刘：喜欢英语、大方担任搜集 仁：喜欢信息、刻苦认真担任写作 姬：开朗大方、热情担任搜集 孙：爱好动漫、画画性格外向担任整理 田：开朗大方刻苦认真担任整理 五、选题的原因： 开阔视野，增长见识。提高我们的数学修养‘可以使我们更好的融合在一起，加强团结，了解数学。 六：研究计划： 共六人：姬刘担任搜集 李仁担任写作 孙田整理资料 七：研究成果：
历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分 有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨大作用． （一）1.早期函数概念——几何观念下的函数 十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。 马克思曾经认为，函数概念来源于代数学中不定方程的研究．由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽． 自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，人们在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自转和公转，那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆，原理是什么?还有，研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度，以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题，既是科学家的力图解决的问题，也是军事家要求解决的问题，函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念，这是函数概念的力学来源． （二）
函数概念的发展简史 1、函数概念的萌芽时期（自然函数、代数函数时期）[1] 函数思想是随着数学开始研究事物的运动变化而出现的。而事实上，早期的数学是不研究事物的运动变化的。古希腊科学家亚里士多德曾经认为，数学研究的是抽象的概念，而抽象的概念来自事物静止不动的属性。例如，数学中的数、线、形等数学对象都不包括运动，运动变化是物理学研究的对象等等。受其影响，直至14世纪，数学家们才逐渐开始研究物体的运动问题。到了16世纪，由于实践的需要，自然科学开始转向对运动的研究，自然中各种变化和各种变化着的物理量之间的关系也就成为数学家关注的对象。伽利略就是最早开展这方面研究的科学家之一，在他的著作里多处使用比例的语言表达了量与量之间的依赖关系。例如，从静止状态自由下落的物体所经过的距离与所用时间的平方成正比，这正是函数概念所表达的思想意义。 16世纪法国数学家笛卡尔在研究曲线问题时，发现了量的变化及量与量之间的依赖关系，并在数学中引进了变量思想，在他的《几何学》中指出：所谓变量是指：“不知的和未定的量”，成为数学发展的里程碑，也为函数概念的产生奠定了思想基础。直到17世纪下半期，牛顿—莱布尼兹的微积分问世时，数学上还没有明确的函数概念。把“函数”（function）一词最早用作数学术语的是莱布尼兹，当时，莱布尼兹用“函数”（function）一词表示幂，如都叫函数。后来又用函数表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量。例如曲线上的点的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等等。从这个定义看出，莱布尼兹利用几何概念，在几何的范围内揭示了某些量之间的依存关系。可以说出现了函数概念的一点端倪，但函数的一般定义仍没有诞生。原因在于：数学家们一直在同具体的函数打交道，对具体函数或求导，或积分，讨论各种各样的具体问题，并没有感到有定义一般函数概念的需要。\ 2、函数概念的初步形成（解析函数时期）[2] 18世纪微积分的发展促进了函数概念“解析定义”的发展。瑞士著名数学家约翰·贝努利在研究积分计算问题时，提出：积分工作的目的是在给定变量的微分中，找出变量本身之间的关系。而在对待“找出变量本身之间的关系”的表示上，显然用莱布尼兹定义的函数表示是很困难的。于是，在1718年约翰·贝努利从解析的角度，把函数定义为：“变量的函数就是由某个变量及任意一个常数结合而成的量。”意思是凡变量和常量构成的式子都叫做的函数。贝努利所强调的函数要用公式来表示。后来，数学家觉得不应该把函数概念局限在只能用公式来表达上，只要一些变量变化，另一些变量能随之而变化就可以，至于这两个变量的关系是否要用公式来表示，则不作为判别函数的标准18世纪，瑞士数学家欧拉在他的《无穷小分析引论》中进一步推广了他老师约翰·贝努利的定义：“一个变量的函数是由变量和一些数或常量以任何一种方式构造的解析式”。并且早在1734年欧拉就已经用表示的函数，这个函数符号至今仍在沿用。1755年，欧拉又在他的《微积分原理》的序言中把函数定义为：“如果某些变量以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”在欧拉的这个定义中，已经不强调函数要用公式表示了。由于函数不一定用公式来表示，欧拉曾把画在坐标系上的曲线也叫函数。他认为：“函数是随意画出的一条曲线。”欧拉用“解析表达式”代替了约翰的“任意形式”，明确地表达了变量之间相互依赖的变化关系，这促进我们对函数概念的认识在严密性上前进了一大步。但是，当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯，有的数学家甚至抱着怀疑的态度。他们把能用公式表示的函数叫“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数”。。 3、函数概念的确立（变量函数）[3] 在对前人函数概念的认识与发展的基础上，1821年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其它变数的值也可以随着确定时，则将最初的变数叫做自变量，其它各变数叫做函数”。在柯西的函数定义中，首先引入了“自变量”一词。按照这个定义，只要有自变量的一个值可以确定的相应值，则就是的函数。显然，这个函数定义比以往的要广泛的多。 1834年，德国数学家罗巴切夫斯基进一步提出函数定义：“x的函数是这样一个数，它对于每一个x都有确定的值并且随着x一起变化。函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提
正确处理四大关系： 如何统筹人与自然和谐发展？ 人与自然的关系有个历史演变过程。在原始发展时期，人类崇拜依附于自然，匍匐在大自然的脚下；在农业文明时期，人类利用、改造自然，对自然进行初步开发；在工业文明时期，人类控制、支配自然，以自然的“征服者”自居。尤其是到了近代，人类开始直观地认识到人的生存和发展主要不是依赖自然的给予，而是依赖自己对自然的改造。为了有效地“改造自然”，人们不惜把对自然规律的“正确认识”看得轻而易举，并加以夸大和绝对化。随着对自然控制与支配能力的急剧增强，以及自我意识的极度膨胀，人类开始一味地对自然强取豪夺，从而激化了与自然的矛盾，加剧了与自然的对立，人类也不得不面对人口剧增、能源短缺、臭氧层破坏、全球变暖、大气污染、水资源缺乏、森林锐减、土地沙化、水土流失、物种灭绝等生态危机的种种现实。 从现在开始，我们应当把促进当前的经济、社会发展和保障未来的持续发展统一起来，积极地肩负起自己的责任，自觉地调整自身的行为，力求正确认识和运用自然规律，通过相互依赖、互惠互补，与自然界和谐相处、协调发展，最终达到“既改造自然，又不破坏自然；既满足当代人的需要，又不对后代人满足其需要的能力构成危害的发展”的目标，以便全面长远地为人类创造良好的生存条件，逐步提高生活质量，推动整个社会走上生产发展、生活富裕、生态良好的文明发展道路，创立一个完全新式的人类文明，一个可以永续发展的文明社会。 统筹人与自然和谐发展的根本途径 “统筹人与自然和谐发展”的新理念，对我们推进现代化、全面建设小康社会具有极其重要的思想启迪作用和现实指导意义。在新的历史发展阶段，我国要达到发展经济和环境保护并举、经济效益和生态效益兼顾、生产力发展与自然和谐“双赢”的目标，为全面建设小康社会提供物质技术基础和生态环境双重保障，就必须坚持在发展中保护、在保护中发展，走生产发展、生活富裕、生态良好的文明发展道路，把青山绿水留给子孙后代。而在具体操作中，需要特别关注下面几个方面。
函数概念的历史发展 函数概念是中学中最重要的概念之一，它既是数学研究的对象，又是解决数学问题的基本思想方法。早在16、17世纪，生产和科学技术的发展要求数学不仅研究静止不动的量，而且要研究运动过程中各个量之间的依赖关系，从而促进数学由常量上学时期进入到变量数学时期。函数也就成为研究变量数学必不可少的概念。 函数（function）一词，始用于1692年，见著于微积分创始人之一莱布尼兹G.W.Leibnic,1646—1717）的著作。而f(x)则由欧拉（Euler）于1724年首次使用。我国于1859年引进函数的概念，它首次是在清代数学家李善兰与英国传教士伟烈亚历山大合译的《代微积拾级》中出现。函数在初高等数学中，在物理、化学和其他自然科学中，在经济领域和社会科学中，均有广泛的应用，起着基础的作用。 函数的概念随着数学的发展而发展，函数的定义在发展过程中不断地精确、完善、抽象，函数的概念也不断得到严谨化、精确化的表达。 牛顿在《自然哲学的数学原理》中提出的“生成量”就是函数概念的雏形。最初，函数 是表示代数上的幂（ 23 ,,, x x x… ），1673年，莱布尼兹把任何一个随着曲线上的点变动的几 何量，如切线、法线，以及点的横坐标都成为函数。 一、解析的函数概念 在18世纪占主导地位的观点是，把函数理解为一个解析表达式． 1698年，瑞士著名数学家约翰·贝努利定义：由变量x和常量用任何方式构成的量都可以称为x的函数．这里任何方式包括代数式子和超越式子． 1748年，约翰的学生，杰出数学家欧拉在它著名的《无穷小分析引沦》中把函数定义为“由一个变量与一些常量通过任何方式形成的解析表达式”，这就把变量与常量以及由它们的加、减、乘、除、乘方、开方和三角、指数、对数等运算构成的式子，均称为函数．并且，欧拉还给出了函数的分类，把函数分为：代数函数与超越函数，有理函数与无理函数，整函数与分函数，单值函数与多值函数． 当时把函数看作一个解析表达式的还有著名的法国数学家达朗贝尔和拉格朗日． 但这种解析的函数概念有其局阳性，如某些变量之间的对应关系不能用解析式子表达出来，那么根据这个定义就不能称之为函数关系．例如著名的狄利克雷（D1richkt）函数 1 D(x)= 0x x ???，为有理数，为无理数 二、几何的函数概念 因为解析表达式在几何上可表示为曲线，一些数学家把曲线称为函数． 1746年，达朗贝尔在研究弦振动问题时，提出了用单独的解析表达式给出的曲线是函数．后来欧拉发现有些曲线不一定是由单个解析式给出的，他提出了一个新定义：函数是“xy 平面上随手画出来的曲线所表示的y与x间的关系”．即把函数定义为一条随意画出来的曲线．欧拉称之为任意函数，即包括了由单个解析表达式给出的连续函数，也包括由若干个解析式表示的不连续函数(“不连续”函数的名称是欧拉首次提出的)．但是，欧拉的观点没有被达朗贝尔接受，并展开了激烈争论．