2022年中考数学压轴题
1．抛物线y=1
4x
2﹣3mx+2m+1与x轴正半轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴正半
轴交于点C，且OA＝OC．
（1）抛物线的解析式为y=1
4x
2−3
2x+2（直接写出结果）；
（2）如图1，D为y轴上一点，过点D的直线y=1
2x+n交抛物线于E，F，若EF＝5√3，
求点D的坐标；
（3）将△AOC绕平面内某点逆时针旋转90°至△A'O'C'（点A，C，O的对应点分别为A'，C'，O'），若旋转后的△A'O'C'恰好有一边的两个端点落在抛物线上，请求出点A'的坐标．
解：（1）点C（0，2m+1），OA＝OC，则点A（2m+1），
将点A的坐标代入抛物线的表达式并解得：m=1 2，
故抛物线的表达式为：y=1
4（x
2﹣6x+8）=1
4x
2−3
2x+2…①，
故答案为：y=1
4x
2−3
2x+2；
（2）由抛物线的表达式知，点A、C的坐标分别为：（2，0）、（0，2），则点D（0，n），设点E、F的纵坐标为：a，b，
联立①与直线EF的表达式并整理得：x2﹣8x+8﹣4n＝0，
则a+b＝8，ab＝8﹣4n，
设直线EF的倾斜角为α，则tanα=1
2，则cosα=√5，
则b﹣a=
EF
cosα
=2√15，
（b﹣a）2＝（a+b）2﹣4ab＝64﹣4（8﹣4n）＝（2√15）2，解得：n=7 4，
故点D 的坐标为：（0，74）；
（3）将△AOC 绕平面内某点逆时针旋转90°至△A 'O 'C '（点A ，C ，O 的对应点分别为A '，C '，O '），
若旋转后的△A 'O 'C '恰好有一边的两个端点落在抛物线上，如图所示，
①当A ′C ′在抛物线上时（左侧图），
设点A ′（x ，y ），则点C ′（x ﹣2，y ﹣2），
将点A ′、C ′的坐标代入抛物线表达式得：
y =14（x 2﹣6x +8），y ﹣2=14
[（x ﹣2）2﹣6（x ﹣2）+8）]，
解得：x ＝6，y ＝2，故点A ′（6，2）；
②当O ′C ′在抛物线上时（右侧图），
由图象可得：点A ′（4，2）；
综上，点A ′的坐标为：（6，2）或（4，2）．
2．已知抛物线y ＝a （x ﹣1）（x ﹣3）（a ＜0）的顶点为A ，交y 轴交于点C ，过C 作CB ∥x 轴交抛物线于点，过点B 作直线l ⊥x 轴，连结OA 并延长，交l 于点D ，连结OB ．
（1）当a ＝﹣1时，求线段OB 的长．
（2）是否存在特定的a 值，使得△OBD 为等腰三角形？若存在，请写出a 值的计算过程；若不存在，请说明理由．
（3）设△OBD 的外心M 的坐标为（m ，n ），求m 与n 的数量关系式．
解：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），
则点C（0，3a）、函数的对称轴为：x＝2，则点B（4，3a），点A（2，﹣a），点D（4，﹣2a）；
（1）点B（4，﹣3），故OB＝5；
（2）OD2＝16+4a2，OB2＝16+9a2，BD2＝25a2，
①当OD＝OB时，即16+4a2＝16+9a2，解得：a＝0（舍去）；
②当OD＝BD时，同理可得：a=−4√21
21（正值已舍去）；
③当OB＝BD时，同理可得：a＝﹣1（正值已舍去）；
综上，a＝﹣1或−4√21 21；
（3）线段OD的函数表达式为：y=−1
2ax，直线OD的中点为点A（2，﹣a），
则线段OD的中垂线的表达式为：y=2
a x+b，
将点A的坐标代入上式并解得：
线段OD的中垂线的表达式为：y=2
a x﹣a−
4
a
⋯①，
线段BD的中垂线的表达式为：y=1
2a…②，
联立①②并解得：x=3
4a
2+2＝m，y=1
2a＝n，
故m＝3n2+2．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=1
3x
2﹣2x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，
该抛物线的顶点为M，直线y=−1
2x+b经过点A，与y轴交于点B，连接OM．
（1）求b的值及点M的坐标；
（2）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°；
（3）点E是线段AB上一动点，点F是线段OA上一动点，连接EF，线段EF的延长线与线段OM交于点G．当∠BEF＝2∠BAO时，是否存在点E，使得3GF＝4EF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）解：对于抛物线y=1
3x
2﹣2x，令y＝0，得到
1
3
x2﹣2x＝0，
解得x＝0或6，∴A（6，0），
∵直线y=−1
2x+b经过点A，
∴0＝﹣3+b，∴b＝3，
∵y=1
3x
2﹣2x=1
3（x﹣3）
2﹣3，
∴M（3，﹣3）．
（2）证明：如图1中，设平移后的直线的解析式y=−1
2x+n．
∵平移后的直线经过M（3，﹣3），
∴﹣3=−3
2
+n，
∴n=−3 2，
∴平移后的直线的解析式为y=−1
2x−
3
2，
过点D（2，0）作DH⊥MC于H，
则直线DH 的解析式为y ＝2x ﹣4，
由{y =2x −4y =−12x −32，解得{x =1
y =−2， ∴H （1，﹣2），
∵D （2，0），M （3，﹣3），
∴DH =√22+12=√5，HM =√12+22=√5，
∴DH ＝HM ．
∴∠DMC ＝45°，
∵∠ADM ＝∠DMC +∠ACM ，
∴∠ADM ﹣∠ACM ＝45°．
（3）解：如图2中，过点G 作GH ⊥OA 于H ，过点E 作EK ⊥OA 于K ．
∵∠BEF ＝2∠BAO ，∠BEF ＝∠BAO +∠EF A ，
∴∠EF A ＝∠BAO ，
∵∠EF A ＝∠GFH ，tan ∠BAO =OB OA =36=12，
∴tan ∠GFH ＝tan ∠EFK =12，
∵GH ∥EK ，
∴GF EF =GH EK =43，设GH ＝4k ，EK ＝3k ， 则OH ＝HG ＝4k ，FH ＝8k ，FK ＝AK ＝6k ，
∴OF ＝AF ＝12k ＝3，
∴k =14，
∴OF ＝3，FK ＝AK =32，EK =34，
∴OK =92
，
∴E （92，34）． 4．如图，已知抛物线：y 1＝﹣x 2﹣2x +3与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．
（1）直接写出点A ，B ，C 的坐标；
（2）将抛物线y 1经过向右与向下平移，使得到的抛物线y 2与x 轴交于B ，B '两点（B '在B 的右侧），顶点D 的对应点为点D '，若∠BD 'B '＝90°，求点B '的坐标及抛物线y 2的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点Q 在x 轴上，则在抛物线y 1或y 2上是否存在点P ，使以B ′，C ，Q ，P 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．
解：（1）对于y 1＝﹣x 2﹣2x +3，令y 1＝0，得到﹣x 2﹣2x +3＝0，解得x ＝﹣3或1， ∴A （﹣3，0），B （1，0），
令x ＝0，得到y 1＝3，
∴C （0，3）．
（2）设平移后的抛物线的解析式为y 2＝﹣（x ﹣a ）2+b ，
如图1中，过点D ′作D ′H ⊥OB ′于H ，连接BD ′．
∵D′是抛物线的顶点，
∴D′B＝D′B′，D′（a，b），
∵∠BD′B′＝90°，D′H⊥BB′，
∴BH＝HB′，
∴D′H＝BH＝HB′＝b，
∴a＝1+b，
又∵y2＝﹣（x﹣a）2+b，经过B（1，0），
∴b＝（1﹣a）2，
解得a＝2或1（不合题意舍弃），b＝1，
∴B′（3，0），y2＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3．
（3）如图2中，
观察图象可知，当点P的纵坐标为3或﹣3时，存在满足条件的平行四边形．
对于y1＝﹣x2﹣2x+3，令y1＝3，x2+2x＝0，解得x＝0或﹣2，可得P1（﹣2，3），
令y1＝﹣3，则x2+2x﹣6＝0，解得x＝﹣1±√7，可得P2（﹣1−√7，﹣3），P3（﹣1+√7，﹣3），
对于y2＝﹣x2+4x﹣3，令y2＝3，方程无解，
令y2＝﹣3，则x2﹣4x＝0，解得x＝0或4，可得P4（0，﹣3），P5（4，﹣3），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣2，3）或（﹣1−√7，﹣3）或（﹣1+√7，﹣3）或（0，﹣3）或（4，﹣3）．
2022年中考数学压轴题 1．抛物线y=1 4x 2﹣3mx+2m+1与x轴正半轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴正半 轴交于点C，且OA＝OC． （1）抛物线的解析式为y=1 4x 2−3 2x+2（直接写出结果）； （2）如图1，D为y轴上一点，过点D的直线y=1 2x+n交抛物线于E，F，若EF＝5√3， 求点D的坐标； （3）将△AOC绕平面内某点逆时针旋转90°至△A'O'C'（点A，C，O的对应点分别为A'，C'，O'），若旋转后的△A'O'C'恰好有一边的两个端点落在抛物线上，请求出点A'的坐标． 解：（1）点C（0，2m+1），OA＝OC，则点A（2m+1）， 将点A的坐标代入抛物线的表达式并解得：m=1 2， 故抛物线的表达式为：y=1 4（x 2﹣6x+8）=1 4x 2−3 2x+2…①， 故答案为：y=1 4x 2−3 2x+2； （2）由抛物线的表达式知，点A、C的坐标分别为：（2，0）、（0，2），则点D（0，n），设点E、F的纵坐标为：a，b， 联立①与直线EF的表达式并整理得：x2﹣8x+8﹣4n＝0， 则a+b＝8，ab＝8﹣4n， 设直线EF的倾斜角为α，则tanα=1 2，则cosα=√5， 则b﹣a= EF cosα =2√15， （b﹣a）2＝（a+b）2﹣4ab＝64﹣4（8﹣4n）＝（2√15）2，解得：n=7 4，
故点D 的坐标为：（0，74）； （3）将△AOC 绕平面内某点逆时针旋转90°至△A 'O 'C '（点A ，C ，O 的对应点分别为A '，C '，O '）， 若旋转后的△A 'O 'C '恰好有一边的两个端点落在抛物线上，如图所示， ①当A ′C ′在抛物线上时（左侧图）， 设点A ′（x ，y ），则点C ′（x ﹣2，y ﹣2）， 将点A ′、C ′的坐标代入抛物线表达式得： y =14（x 2﹣6x +8），y ﹣2=14 [（x ﹣2）2﹣6（x ﹣2）+8）]， 解得：x ＝6，y ＝2，故点A ′（6，2）； ②当O ′C ′在抛物线上时（右侧图）， 由图象可得：点A ′（4，2）； 综上，点A ′的坐标为：（6，2）或（4，2）． 2．已知抛物线y ＝a （x ﹣1）（x ﹣3）（a ＜0）的顶点为A ，交y 轴交于点C ，过C 作CB ∥x 轴交抛物线于点，过点B 作直线l ⊥x 轴，连结OA 并延长，交l 于点D ，连结OB ． （1）当a ＝﹣1时，求线段OB 的长． （2）是否存在特定的a 值，使得△OBD 为等腰三角形？若存在，请写出a 值的计算过程；若不存在，请说明理由． （3）设△OBD 的外心M 的坐标为（m ，n ），求m 与n 的数量关系式．
2022年中考数学压轴题 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过原点，与x轴交于另一点A，对称轴x＝﹣2交x轴于点C，直线l过点N（0，﹣2），且与x轴平行，过点P作PM⊥l 于点M，△AOB的面积为2． （1）求抛物线的解析式； （2）当∠MPN＝∠BAC时，求P点坐标； （3）①求证PM＝PC； ②若点Q坐标为（0，2），直接写出PQ+PC的最小值． 解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过原点，且对称轴为x＝﹣2， ∴c＝0，OA＝4，又△AOB的面积为2， ∴BC＝1，即顶点B的坐标为（﹣2，﹣1）， ∴−b 2a =−2， −b2 4a =−1，解得a=14，b＝1， ∴抛物线的解析式为y=1 4 x2+x； （2）∵BC＝1，AC＝2，∴tan∠BAC=1 2，设P点坐标为（x， 1 4 x2+x）， 如图1，当点P在y轴右侧，PM=1 4 x2+x−（﹣2）=14x2+x+2，MN＝x， ∴tan∠MPN=MN PM =x 1 4 x2+x+2 =12，即x2﹣4x+8＝0，此方程无解； 如图2，当点P在y轴左侧，此时PM=1 4 x2+x+2，MN＝﹣x， ∴tan∠MPN=MN PM =−x 1 4 x2+x+2 =12， 即x2+12x+8＝0，解得x1=−6+2√7，x2=−6−2√7，则y1=10−4√7，y2=10+4√7，∴点P坐标为（−6+2√7，10−4√7）或（−6−2√7，10+4√7）； （3）①如图3，过点P作PD⊥BC于点D，则PD＝x+2，DC=1 4 x2+x，
由（2）知PM =1 4 x 2+x +2， 在Rt △PCD 中， PC 2=(x +2)2+(14 x 2+x)2=116x 4+12 x 3 +2x 2+4x +4=PM 2， ∴PM ＝PC ； ②由①知，PM ＝PC ， ∴PQ +PC 的最小值为PQ +PM 的最小值，当Q 、P 、M 三点共线时，PQ +PM 有最小值为4． ∴PQ +PC 的最小值为4． 2．如图，抛物线y =−√3 3x 2−√3x +4√3 3与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接AC ． （1）求顶点D 的坐标及直线AC 的解析式；
一、解答题 1．如图①，二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象经过点A （1-，0），并且与直线1 22 y x = -相交于坐标轴上的B 、C 两点，动点P 在直线BC 下方的二次函数的图象上． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图①，连接PC ，PB ，设△PCB 的面积为S ，求S 的最大值； （3）如图②，过点A ，C 作直线，求证AC ⊥BC ； （4）如图②，抛物线上是否存在点Q ，使得∠ABQ ＝2∠ABC ？若存在，则求出直线BQ 的解析式；若不存在，请说明理由． 2．如图，直线3y kx =+交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线的顶点坐标(1，4)． （1）求k 的值和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上求一点P ，使得PAB 的周长最小，并求出最小值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由． 3．已知：如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y ＝﹣x +b （b ＞0）交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，以OA ，OC 为边作矩形ABCO ，矩形ABCO 的面积是36．
（1）求直线AC 的解析式． （2）点P 为线段AB 上一点，点Q 为第一象限内一点，连接PO ，PQ ，∠OPQ ＝90°，且 OP ＝PQ ，设AP 的长为t ，点Q 的横坐标为d ，求d 与t 的函数关系式．（不要求写出自 变量t 的取值范围） （3）在（2）的条件下，过点Q 作QE ∥PO 交AB 的延长线于点E ，作∠POC 的平分线OF 交PE 于点F ，交PQ 于点K ，若KQ ＝2EF ，求点Q 的坐标． 4．在ABC 中，AB BC =，45B ∠=︒，AD 为BC 边上的高． （1）如图1，若1AD =，求线段CD 的长度； （2）如图2，点E ，点F 在AB 边上，且满足AE BF =，连接CE ，CF 分别交线段AD 于点 M ，点N ，若点M 为线段CE 的中点，求证：2AN CD AB +=； （3）在（2）问条件下，若2AC =，点K 为AC 边上一动点，点Р为ACF 内一点且满足ACP CAD ∠=∠，当PK PA +取最小值时，请直接写出CPK S △的值． 5．已知有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点分别为A ，B ，C ，其中b 是最小的正整数，a ， c 满足()2 250a c ++-=． （1）填空：=a ______，b =______，c =______； （2）点A ，B ，C 分别以每秒4个单位长度，1个单位长度，1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t 秒．
一、解答题 1．△ABC中，BC＝AC＝5，AB＝8，CD为AB边上的高，如图1，A在原点处，点B在y 轴正半轴上，点C在第一象限，若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动△ABC在平面上滑动．如图2，设运动时间表为t秒，当B到达原点时停止运动． （1）当t＝0时，求点C的坐标； （2）当t＝4时，求OD的长及∠BAO的大小； （3）求从t＝0到t＝4这一时段点D运动路线的长； （4）当以点C为圆心，CA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值． 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙是△ABC的外接圆，连接BO并延长交边AC于点D． （1）如图1，求证：∠BAC＝2∠ABD； （2）如图2，过点B作BH⊥AC于点H，延长BH交⊙O于点G，连接OC，CG，OC交BG于点F，求证：BF＝2HG； （3）如图3，在（2）的条件下，若AD＝2，CD＝3，求线段BF的长． 3．已知，ABC内接于⊙O，AD BC ⊥于点G （1）如图1，求证：BAO CAD ∠=∠； （2）如图2，过点O作ON BC ⊥于N，过点作BH AC ⊥于H，交⊙O于点F，求证：=； AE ON 2
（3）如图3，在（2）的条件下，直线OE 交AB 于点P ，若:3:2HC EF =，7OE =，2CQ =，求线段AD 的长． 4．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：()23y x m x =+-经过点()1,0A -． （1）求抛物线C 的表达式； （2）将抛物线C 沿直线1y =翻折，得到的新抛物线记为1C ，求抛物线1C 的顶点坐标； （3）将抛物线C 沿直线y n =翻折，得到的图象记为2C ，设C 与2C 围成的封闭图形为M ，在图形M 上内接一个面积．． 为4的正方形（四个顶点均在M 上），且这个正方形的边分别与坐标轴平行．求n 的值． 5．如图1在平面直角坐标系中，抛物线2142 y x x = +-与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ．
一、解答题 1．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0），点B（1，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD．直线y＝经过点A，且与y轴交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)点N是抛物线上的一点，当△BDN是以DN为腰的等腰三角形时，求点N的坐标； (3)点F为线段AE上的一点，点G为线段OA上的一点，连接FG，并延长FG与线段BD 交于点H（点H在第一象限），当∠EFG＝3∠BAE且HG＝2FG时，求出点F的坐标．2．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m+1． （1）当m＝2时． ①求函数顶点坐标； ②当n≤x≤n+1时，该函数的最大值为3，求n的值． （2）当x≤2时，函数图象上有且只有2个点到x轴的距离为2，求m的取值范围．（3）已知点P为二次函数上一点，点P的横坐标为﹣3m+2，点M的坐标为（2m，m），以PM为对角线构造矩形PQMN，矩形的各边与坐标轴垂直，当抛物线在矩形PQMN内部的函数部分y随着x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 3．给出定义：有两个内角分别是它们对角的两倍的四边形叫做倍对角四边形． （1）如图1，在倍对角四边形ABCD中，∠D＝2∠B，∠A＝2∠C，求∠B与∠C的度数之和； （2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO，∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE＝2∠EAF．求证：四边形DBCF是倍对角四边形； （3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G．当4DH＝ 3BG时，求△BGH与△ABC的面积之比．
一、解答题 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y x 2+bx ﹣2的图象与x 轴交于点A 和点B （4，0），与y 轴交于点C ． (1)求二次函数的表达式； (2)若点P 是抛物线上一点，满足∠PCB +∠ACB ＝∠BCO ，求点P 的坐标； (3)若点Q 在第四象限内，且tan∠AQB ，M （﹣2，1），线段MQ 是否存在最大值， 如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由． 2．如图1，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点B 作BE CD ⊥，交AC 于点H ，交CD 于点E ．过点C 作//CF BD ，交BE 的延长线于点F ，过点F 作 //FG BC ，交BD 的延长线于点G ． （1）若8AC =，6BD =，求BE 的长； （2）如图2，连接AF ，交BG 于点K ，若GFA BFC ∠=∠，求证：2BF BC CD -． （3）如图3，当点D 与点G 重合时，若9AB =，将BOH 沿射线BC 方向平移，当点B 到达点C 时停止平移．当平移结束后（即点B 到达点C 时），将BOH 绕点B 顺时针旋转一个角度()0360αα<<︒，O 的对应点'O ，H 的对应点'H ，直线'CH 与直线BF 的交点为M ，直线''O H 与直线BF 的交点为N ，在旋转过程中，当'MNH △是直角三角形，且 '90MNH ∠=︒时，直接写出'MNH △的面积．
3．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝ax2+bx经过A（﹣4，0），B （﹣3，3）两点，连接AB，BO． （1）求抛物线表达式和直线OB解析式； （2）点C是第二象限内直线OB上方抛物线上的一个动点，是否存在一点C使△COB面积最大？若存在请求出点C坐标及最大面积，若不存在请说明理由； （3）若点D从点O出发沿线段OA向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，同时线段OA上另一个点H从点A出发沿线段AO向点O作匀速运动，速度为每秒2个单位长度（当点H到达点O时，点D也同时停止运动）．过点D作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长DE到点F，使得EF＝DE，以DF为边，在DF左侧作等边△DGF（当点D运动时点G、点F也随之运动）．过点H作x轴的垂线，与直线AB交于点L，延长HL到点M，使得LM＝HL，以HM为边，在HM的右侧作等边△HMN（当点H运动时，点M、点N也随之运动）．当点D运动t秒时，△DGF有一条边所在直线恰好过△HMN的重心，直接写出此刻t的值． 4．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂直四边形吗？请说明理由； （2）性质探究：如图1，垂直四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．猜想：AB2＋CD2与AD2＋BC2有什么关系？并证明你的猜想． （3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE，BG，GE．已知AC＝2，AB＝3，求GE的长． 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连接CP．设点P运动的时间为t秒． （1）填空：AB＝；
一、解答题 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A（1，0），B（0，2），二次函数y＝x2+bx﹣2的图象经过C点． （1）求二次函数的解析式； （2）若点P是抛物线的一个动点且在x轴的下方，则当点P运动至何处时，恰好使△PBC 的面积等于△ABC的面积的两倍． （3）若点Q是抛物线上的一个动点，则当点Q运动至何处时，恰好使∠QAC＝45°？请你求出此时的Q点坐标． 2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M绕点P顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．例如，图1中点D为点C关于点P的“垂直图形”． （1）点A关于原点O的“垂直图形”为点B． ①若点A的坐标为（0，2），则点B的坐标为； ②若点B的坐标为（2，1），则点A的坐标为； （2）E（﹣3，3），F（﹣2，3），G（a，0）．线段EF关于点G的“垂直图形”记为E′F′，点E的对应点为E′，点F的对应点为F′． ①求点E′的坐标（用含a的式子表示）； ②若⊙O的半径为2，E′F′上任意一点都在⊙O内部或圆上，求a的范围并直接写出满足条件的EE′的长度的最大值．
3．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”． （1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是； （2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0．若BC是⊙O的以点A 为中心的“关联线段”，求t的值； （3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长． 4．如图1，矩形ABCD中，点E是CD边上的动点（点E不与点C、D重合），连接AE，过点A作AF⊥AE交CB延长线于点F，连接EF，点G为EF的中点，连接BG． （1）如图2，若四边形ABCD为正方形，其面积为S，四边形BCEG的面积为S1，当S1＝ 1 4S时，求 DE DC 的值． （2）如图1，若AB＝20，AD＝10，设DE＝x，点G到直线BC的距离为y，求出y与x的 关系式；当EC BG ＝ 24 13 时，求x的值．
2022年中考数学压轴题 1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3），且OB＝OC＝3AO．直线y＝x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点Q是抛物线的顶点，设直线AD上方的抛物线上的动点P的横坐标为m． （1）求该抛物线的解析式及顶点Q的坐标； （2）连结CQ，判断线段CQ与线段AE的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）连结P A、PD，当m为何值时，S△P AD=1 2S△DAB； （4）在直线AD上是否存在一点H使△PQH为等腰直角三角形，若存在请求出m的值，不存在请说明理由． 解：（1）直线y＝x+1与抛物线交于A点，则点A（﹣1，0）、点E（0，1）， 则点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，3）， 故抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）， 即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3， 函数的对称轴为：x＝1，故点Q（1，4）； （2）CQ＝AE，且CQ∥AE，理由： CQ=√1+(4−3)2=√2， 而AE=√AO2+OE2=√1+1=√2 ∴CQ＝AE， 同理直线CQ表达式中的k值也是1，故AE∥CQ， 故线段CQ与线段AE的数量关系和位置关系是平行且相等； （3）联立直线y＝x+1与抛物线的表达式并解得：x＝0或2，故点D（2，3），
过点P作y轴的平行线交AD于点K， 设点P（m，﹣m2+2m+3），则点K（m，m+1）， S△P AD=1 2 ×PK×（xD﹣xA）=12×3×（﹣m2+2m+3﹣m﹣1）=12S△DAB=14×4×3， 解得：m＝0或1， 故点P（0，3）或（1，4）； （4）存在，理由： 设点H（t，t+1），点P（m，n），n＝﹣m2+2m+3，而点Q（1，4）， ①当∠QPH＝90°时，如图2， 过点P作y轴的平行线，分别交过点H、点Q与x轴的平行线于点M、G，∵∠GQP+∠QPG＝90°，∠QPG+∠HPM＝90°，∴∠HPM＝∠GQP， ∠PGQ＝∠HMP＝90°，PH＝PQ， ∴△PGQ≌△HMP（AAS），∴PG＝MH，GQ＝PM， 即：4﹣n＝t﹣m，1﹣m＝n﹣t﹣1， 解得：m＝0或2， 故点P（2，3）（舍去）或（0，3）； ②当∠PQH＝90°时，
2022年中考数学压轴题 1．如图，在矩形OABC中，OC＝8，OA＝10，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立如图所示平面直角坐标系，已知，点D是线段AB上一点，沿直线CD折叠矩形OABC 的一边BC1使点B落在OA边上的点E处抛物线y=−2 3 x2+bx+c经过O，D，C三点． （1）求抛物线的表达式； （2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q 从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE 相似？ （3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵四边形ABCO为矩形，CO＝8， ∵抛物线y=−2 3x 2+bx+c过点C（8，0），O（0，0）， 将点C、O坐标代入二次函数表达式并解得： ∴抛物线的解析式为：y=−2 3x 2+16 3x； （2）∵∠DEA+∠OEC＝90°，∠OCE+∠OEC＝90°，
∴∠DEA＝∠OCE， ∵四边形ABCO为矩形， ∴∠OAB＝∠AOC＝∠B＝90°，AB＝CO＝8，AO＝BC＝10． 由题意，△BDC≌△EDC． ∴∠B＝∠DEC＝90°，EC＝BC＝10，ED＝BD． 则EO＝6．∴AE＝10﹣6＝4， 设AD＝x，则BD＝ED＝8﹣x，由勾股定理，得x2+42＝（8﹣x）2，解得，x＝3，∴AD＝3． AE＝4，DE＝5．设CQ＝t，EP＝2t，∴PC＝10﹣2t． 当∠PQC＝∠DAE＝90°， 则△ADE∽△QPC， QC AE = PC ED ， t 4 = 10−2t 5 ， 解得：t=40 13， 当∠QPC＝∠DAE＝90°，则△ADE∽△PQC， PC AE = DC DE ， 10−2t 4 = t 5 ， 解得：t=25 7； 当t=40 13或 25 7 时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似； （3）点E、C的坐标分别为（0，6）、（8，0）， 设点P坐标为（m，n），n=−2 3m 2+16 3m， ①当EC是平行四边形的一条边，点M在对称轴左侧时，如图所示，四边形ECNM平行
2022年中考数学压轴题 1．已知二次函数l1：y＝x2+6x+5k和l2：y＝kx2+6kx+5k，其中k≠0且k≠1．（1）分别直接写出关于二次函数l1和l2的对称轴及与y轴的交点坐标； （2）若两条抛物线l1和l2相交于点E，F，当k的值发生变化时，判断线段EF的长度是否发生变化，并说明理由； （3）在（2）中，若二次函数l1的顶点为M，二次函数l2的顶点为N； ①当k为何值时，点M与点N关于直线EF对称？ ②是否存在实数k，使得MN＝2EF？若存在，求出实数k的值，若不存在，请说明理由． 解：（1）二次函数l1的对称轴为x=−b 2a =−62×1=−3， 令x＝0，则y＝5k，故该抛物线和y轴的交点坐标为（0，5k）；同理可得：l2的对称轴为x＝﹣3，与y轴的交点坐标（0，5k）； （2）线段EF的长度不发生变化， 理由：当y1＝y2时，x2+6x+5k＝kx2+6kx+5k， 整理得：（k﹣1）（x2+6x）＝0． ∵k≠1， ∴x2+6x＝0， 解得：x1＝0，x2＝﹣6． 不妨设点E在点F的左边， 则点E的坐标为（﹣6，5k），点F的坐标为（0，5k）， ∴EF＝|0﹣（﹣6）|＝6， ∴线段EF的长度不发生变化； （3）①由y1＝x2+6x+5k＝（x+3）2+5k﹣9得M（﹣3，5k﹣9），由y2＝kx2+6kx+5k＝k（x+3）2﹣4k得N（﹣3，﹣4k）． ∵直线EF的关系式为y＝5k，且点M与N关于直线EF对称，∴﹣4k﹣5k＝5k﹣（5k﹣9）， 解得：k＝﹣1， ∴当k为﹣1时，点M与N关于直线EF对称；
②∵MN ＝|（5k ﹣9）﹣（﹣4k ）|＝|9k ﹣9|，MN ＝2EF ＝12， ∴|9k ﹣9|＝12， 解得k 1=7 3，k 2=−1 3， ∴实数k 为7 3或−13 ． 2．如图1，抛物线y ＝ax 2−15 4x +c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直线y =−3 4x +3经过点B ，C ． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P 为直线BC 下方的抛物线上一动点（不与点B ，C 重合），则△PBC 的面积能够等于△BOC 的面积吗？若能，求出相应的点P 的坐标；若不能，请说明理由； （3）如图2，现把△BOC 平移至如图所示的位置，此时三角形水平方向一边的两个端点点O ′与点B ′都在抛物线上，称点O ′和点B ′为△BOC 在抛物线上的一“卡点对”；如果把△BOC 旋转一定角度，使得其余边位于水平方向然后平移，能够得到这个三角形在抛物线上新的“卡点对”．请直接写出△BOC 在已知抛物线上所有“卡点对”的坐标． 解：（1）分别把x ＝0，y ＝0代入一次函数表达式得：点C 、B 的坐标分别为（0，3）、（4，0）， 将点B 、C 的坐标代入二次函数表达式得：{16a −15+c =0c =3，解得：{a =3 4c =3 ， 故抛物线的表达式为：y =34x 2−15 4x +3； （2）直线y =−3 4x 和直线BC 平行， 直线y =−3 4x 和抛物线的交点就是满足条件的点P ，
2022年中考数学压轴题 1．如图1，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣5x +5与x 轴，y 轴分别交于A ，C 两点，抛物线y ＝x 2+bx +c 经过A ，C 两点，与x 轴的另一交点为B ． （1）求抛物线解析式及B 点坐标； （2）若点M 为x 轴下方抛物线上一动点，连接MA 、MB 、BC ，当点M 运动到某一位置时，四边形AMBC 面积最大，求此时点M 的坐标及四边形AMBC 的面积； （3）如图2，若P 点是半径为2的⊙B 上一动点，连接PC 、P A ，当点P 运动到某一位置时，PC +12 P A 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由． 解：（1）直线y ＝﹣5x +5，x ＝0时，y ＝5 ∴C （0，5） y ＝﹣5x +5＝0时，解得：x ＝1 ∴A （1，0） ∵抛物线y ＝x 2+bx +c 经过A ，C 两点 ∴{1+b +c =00+0+c =5 解得：{b =−6c =5 ∴抛物线解析式为y ＝x 2﹣6x +5 当y ＝x 2﹣6x +5＝0时，解得：x 1＝1，x 2＝5 ∴B （5，0） （2）如图1，过点M 作MH ⊥x 轴于点H ∵A （1，0），B （5，0），C （0，5） ∴AB ＝5﹣1＝4，OC ＝5 ∴S △ABC =12AB •OC =12×4×5＝10
∵点M 为x 轴下方抛物线上的点 ∴设M （m ，m 2﹣6m +5）（1＜m ＜5） ∴MH ＝|m 2﹣6m +5|＝﹣m 2+6m ﹣5 ∴S △ABM =12AB •MH =12×4（﹣m 2+6m ﹣5）＝﹣2m 2+12m ﹣10＝﹣2（m ﹣3）2+8 ∴S 四边形AMBC ＝S △ABC +S △ABM ＝10+[﹣2（m ﹣3）2+8]＝﹣2（m ﹣3）2+18 ∴当m ＝3，即M （3，﹣4）时，四边形AMBC 面积最大，最大面积等于18 （可以直接利用点M 是抛物线的顶点时，面积最大求解） （3）如图2，在x 轴上取点D （4，0），连接PD 、CD ∴BD ＝5﹣4＝1 ∵AB ＝4，BP ＝2 ∴BD BP =BP AB =12 ∵∠PBD ＝∠ABP ∴△PBD ∽△ABP ∴PD AP =BD BP =12， ∴PD =12AP ∴PC +12P A ＝PC +PD ∴当点C 、P 、D 在同一直线上时，PC +12P A ＝PC +PD ＝CD 最小 ∵CD =√OC 2+OD 2=√52+42=√41 ∴PC +12P A 的最小值为√41
2022年中考数学压轴题 1．已知：如图1，抛物线C：y=1 8 x2+c交x轴于A、B两点（A在B左侧），交y轴于点C， 若OB＝2OC．（1）求c的值； （2）如图2，已知y=1 4 x2+c，过C点的直线1分别交第一象限内的抛物线C1、C2于 M、N两点，探究M、N两点横坐标之间的数量关系； （3）如图3，将抛物线C1向下平移经过点K（8，0），交y轴于点T，得抛物线C3，点P是抛物线C3上在T、K间的一个动点（含端点）．若D（0，﹣6）、E（4，0），记△PDE 的面积为S，点P的横坐标为x． ①求S关于x的函数关系式； ②求满足S为整数的点P的个数． 解：（1）OB＝2OC＝2c，则点B（﹣2c，0）， 将点B的坐标代入抛物线表达式得：0=1 8 ×（﹣2c）2+c， 解得：c＝﹣2或0（舍去0）， 故c＝﹣2； （2）直线y＝kx（k＞0）分别交第一象限内的抛物线C2，C1于M，N两点， 两抛物线的表达式为：y=1 8 x2−2，y=14x2−2， 将y=1 8 x2−2与y＝kx联立并整理得：x2﹣8kx﹣16＝0， 即x M+0＝8k，解得：x M＝8k，同理x N＝4k， 故x M＝2x N；
（3）①依题意可求出抛物线C3的解析式为y=1 8x 2﹣8， ∴S＝S△PDO+S△POE﹣S△ODE＝3x+2×（8−1 8）﹣12 =−14x2+3x+4 （0≤x≤8 ）， ②∵S=−14x2+3x+4=−14（x﹣6）2+13， 在0≤x≤8 的取值范围内，S的取值为：4≤S≤13， 即S可取4至13的10个整数， 又当S＝12时，x有两个值相对应，即存在两个点P的位置使S＝12， 所以共有11个点P使S的值为整数． 2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、C（3，0），点B为抛物线顶点，直线BD为抛物线的对称轴，点D在x轴上，连接AB、BC． （1）如图1，若∠ABC＝60°，则点B的坐标为B（1，2√3）； （2）如图2，若∠ABC＝90°，AB与y轴交于点E，连接CE． ①求这条抛物线的解析式； ②点P为第一象限抛物线上一个动点，设△PEC的面积为S，点P的横坐标为m，求S 关于m的函数关系式，并求出S的最大值； ③如图3，连接OB，抛物线上是否存在点Q，使直线QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD， 若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 解：（1）∵A（﹣1，O）、C（3，0）， ∴AC＝4 ∵直线BD为抛物线的对称轴，
2022年中考数学压轴题 1．抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．（1）如图1，点P，Q都在直线BC上方的抛物线上，且点P的横坐标比点Q的横坐标小1，直线PQ与x轴交于点D，过点P，Q作直线BC的垂线，垂足分别为点E，F．当PE+QF的值最大时，将四边形PEFQ沿射线PQ方向平移，记平移过程中的四边形PEFQ 为P1E1F1Q1，连接CP1，P1F1，求CP1+P1F1+√2 2Q1D的最小值，并求出对应的点Q1的坐标． （2）如图2，对于满足（1）中条件的点Q1，将线段AQ1绕原点O顺时针旋转90°，得线段A1Q2，点M是抛物线对称轴上一点，点N是坐标平面内一点，点N1是点N关于直线A1Q2的对称点，若以点A1，Q1，M，N1为顶点的四边形是一个矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 解：（1）如图1，过P作PL∥y轴交直线BC于L，过Q作QS∥y轴交BC于S， 抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C． ∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）； ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 设P（t，﹣t2+2t+3），则L（t，﹣t+3），Q（t+1，﹣t2+4），S（t+1，﹣t+2）， PL＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，QS＝﹣t2+4﹣（﹣t+2）＝﹣t2+t+2， ∵PE⊥BC，QF⊥BC，PL∥y轴，QS∥y轴
∴∠PEL＝∠QFS＝∠BOC＝90°，∠PLE＝∠QSF＝∠BCO＝45° ∴PE=√2 2 PL=√22(−t2+3t)，QF=√22QS=√22(−t2+t+2)， ∴PE+QF=√2 2 (−t2+3t)+√22（﹣t2+t+2）=−√2(t−1)2+2√2 ∵−√2＜0，0＜t＜3， ∴当t＝1时，PE+QF有最大值为2√2，此时P（1，4），Q（2，3）， ∴直线PQ解析式为y＝﹣x+5，PQ=√(1−2)2+(4−3)2=√2．H（0，5），D（5，0）∴BD＝2 如图2，过B作BB′⊥PQ于B′，在Rt△BB′D中，BB′＝BD•sin∠BDB′＝2sin45°=√2， ∴PE＝QF＝P1E1＝Q1F1＝BB′=√2（平行线间距离相等） ∴PQ＝QF ∵QF⊥BC，BC∥PQ， ∴QF⊥PQ， ∴四边形PEFQ是正方形， ∵∠QEP＝∠EPQ＝45°， ∴E点与C点重合，F点坐标为（1，2） 由平移知P1E1F1Q1与正方形PEFQ是全等形， ∴P1F1＝PF＝2．易证Rt△CPP1≌Rt△FQQ1， ∴CP1＝FQ1 作D（5，0）作DH⊥x轴，过Q1作Q1H⊥DH， ∵∠HDQ1＝45°， ∴Q1H=√2 2Q1D， 当点F、Q1、H三点在同一直线上，FQ1H⊥DH轴时，FQ1+Q1H最小，即CP1+P1F1+√2 2Q1D 的值最小， ∵此时，F点坐标为（1，2），Q1（3，2），H（5，2），FH＝4． ∴CP1+P1F1+√2 2Q1D的最小值＝4+2＝6，Q1（3，2）． （2）如图3，将线段AQ1绕原点O顺时针旋转90°得线段A1Q2，根据旋转90°点坐标变化规律可知A1（0，1），Q2（2，﹣3）．
2022年中考数学压轴题 1．二次函数y ＝ax 2+bx +3的图象与x 轴交于A （2，0），B （6，0）两点，与y 轴交于点C ，顶点为E ．． （1）求这个二次函数的表达式，并写出点E 的坐标； （2）如图①，D 是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD 的垂直平分线恰好经过点C 时，求点D 的坐标； （3）如图②，P 是该二次函数图象上的一个动点，连接OP ，取OP 中点Q ，连接QC ，QE ，CE ，当△CEQ 的面积为12时，求点P 的坐标． 解：（1）将A （2，0），B （6，0）代入y ＝ax 2+bx +3， 得{4a +2b +3=036a +6b +3=0 ， 解得{a =14b =−2 ∴二次函数的解析式为y =14x 2−2x +3． ∵y =14x 2−2x +3=14(x −4)2−1， ∴E （4，﹣1）． （2）如图1，图2，连接CB ，CD ，由点C 在线段BD 的垂直平分线CN 上，得CB ＝CD ． 设D （4，m ），
∵C （0，3），由勾股定理可得： 42+（m ﹣3）2＝62+32． 解得m ＝3±√29． ∴满足条件的点D 的坐标为（4，3+√29）或(4，3−√29)． （3）如图3，设CQ 交抛物线的对称轴于点M ， 设P （n ，14n 2−2n +3），则Q （12n ，18n 2−n +32）， 设直线CQ 的解析式为y ＝kx +3，则18 n 2−n +32=12nk +3． 解得k =14n −2−3n ，于是CQ ：y ＝（14n −2−3n ）x +3， 当x ＝4时，y ＝4（14n −2−3n ）+3＝n ﹣5−12n ， ∴M （4，n ﹣5−12n ），ME ＝n ﹣4−12n ． ∵S △CQE ＝S △CEM +S △QEM =12×12n ⋅ME =12⋅12n ⋅(n −4−12n )=12． ∴n 2﹣4n ﹣60＝0， 解得n ＝10或n ＝﹣6， 当n ＝10时，P （10，8），当n ＝﹣6时，P （﹣6，24）． 综合以上可得，满足条件的点P 的坐标为（10，8）或（﹣6，24）． 2．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点B （4，0），C （0，﹣2），对称轴为直线x ＝1，与x 轴的另一个交点为点A ．
2022年中考数学压轴题 1．如图1，抛物线y =14 （x ﹣m ）2的顶点A 在x 轴正半轴上，交y 轴于B 点，S △OAB ＝1． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，P 是第一象限内抛物线上对称轴右侧一点，过P 的直线l 与抛物线有且只有一个公共点，l 交抛物线对称轴于C 点，连PB 交对称轴于D 点，若∠BAO ＝∠PCD ，求证：AC ＝2AD ； （3）如图3，以A 为顶点作直角，直角边分别与抛物线交于M 、N 两点，当直角∠MAN 绕A 点旋转时，求证：MN 始终经过一个定点，并求出该定点的坐标． 解：（1）由题意和y =14 （x ﹣m ）2设A （m ，0） 当x ＝0时，y ═14（0﹣m ）2=m 24，即设B （0，m 24） ∴OA ＝m ，OB =m 24 由S △OAB ＝1 ∴12•OA •OB ＝1，即m •m 24=2 解得，m ＝2 ∴A （2，0），B （0，1） 把y =14（x ﹣2）2化为一般式为，y =14 x 2﹣x +1． （2）由（1）得抛物线对称轴为直线x ＝2． D 、C 两点在直线x ＝2上，则设C （2，n ），D （2，n '） 如图2延长BA 交直线PC 于点Q 并设直线PC 交x 轴于点E ．
∵∠BAO ＝∠PCD ，∠BOA ＝∠EAC ＝90° ∴Rt △BOA ∽Rt △EAC ∴∠BAO ＝∠ECA ∴tan ∠BAO ＝tan ∠ECA =12 ∴AE AC =12 ∴AC ＝2AE 又∵∠BAO ＝∠EAQ ，∠BAO ＝∠ECA ∴∠ECA ＝∠EAQ 又∵∠ECA +∠CEA ＝90° ∴∠EAQ +∠QEA ＝90° ∴BQ ⊥PC 设直线AB 的解析式为y ＝kx +b ，把A （2，0），B （0，1）代入得， {0=2k +b 1=b 解得{k =−12b =1 ∴直线AB 的解析式为，y =−12x +1 由BQ ⊥PC 设直线PC 的解析式为y ＝2x +b '． 又∵过P 的直线l 与抛物线有且只有一个公共点 ∴令2x +b '═14（x ﹣2）2 整理得，x 2﹣12x +4﹣4b '＝0，且△＝0 即144﹣4（4﹣4b '）＝0 解得，b '＝﹣8 ∴直线PC 的解析式为，y ＝2x ﹣8．
2022年中考数学压轴题 1．如图1，矩形的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为（6，8）．D 是AB 边上一点（不与点A 、B 重合），将△BCD 沿直线CD 翻折，使点B 落在点E 处． （1）求直线AC 所表示的函数的表达式； （2）如图2，当点E 恰好落在矩形的对角线AC 上时，求点D 的坐标； （3）如图3，当以O 、E 、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求△OEA 的面积． 解：（1）∵点B 的坐标为（6，8）且四边形OABC 是矩形， ∴点A 、C 的坐标分别为（6，0）、（0，8）， 设AC 的表达式为y ＝kx +b ， 把A 、C 两点的坐标分别代入上式得{0=6k +b 8=b ，解得{k =−4 3b =8， ∴直线AC 所表示的函数的表达式是y =−4 3x +8； （2）∵点A 的坐标为（6，0），点C 的坐标为（0，8）， ∴OA ＝6，OC ＝8． ∴Rt △AOC 中，AC =√62+82=10， ∵四边形OABC 是矩形， ∴∠B ＝90°，BC ＝6，AB ＝8， ∵沿CD 折叠， ∴∠CED ＝90°，BD ＝DE ，CE ＝6，AE ＝4， ∴∠AED ＝90°， 设BD ＝DE ＝a ，则AD ＝8﹣a ， ∵Rt △AED 中，由勾股定理得：AE 2+DE 2＝AD 2， ∴42+a 2＝（8﹣a ）2，解得a ＝3，
∴点D 的坐标为（6，5）； （3）过点E 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为M 、N ， ∵EN ⊥OC ，EM ⊥OA ，OC ⊥OA ， ∴∠ENO ＝∠NOM ＝∠OME ＝90°， ∴四边形OMEN 是矩形， ∴EM ＝ON ． ①当EC ＝EO 时， ∵EC ＝EO ，NE ⊥OC ， ∴ON =1 2 OC ＝4＝EM ， △OEA 的面积= 12×OA ×EM =1 2 ×6×4＝12； ②当OE ＝OC 时， ∵EN ⊥OC ， ∴∠ENC ＝∠ENO ＝90°， 设ON ＝b ，则CN ＝8﹣b ， 在Rt △NEC 中，NE 2＝EC 2﹣CN 2， 在Rt △ENO 中，NE 2＝EO 2﹣ON 2， 即62﹣（8﹣b ）2＝82﹣b 2， 解得：b = 234 ， 则EM ＝ON =23 4， △OEA 的面积= 12×OA ×EM =12×6×234=694 ； 故△OEA 的面积为12或694 ．
一、解答题 1．如图，在正方形ABCD 中，点P 为CB 延长线上一点，连接AP ． (1)如图1，连接PD ，若∠PDC ＝60°，AD ＝4，求tan ∠APB 的值； (2)如图2，点F 在DC 上，连接AF ．作∠APB 的平分线PE 交AF 于点E ，连接DE 、CE ，若∠APB ＝60°，PA 十PC ＝3PE ．求证：DE 平分∠ADF ； (3)如图3，在（2）的条件下，点Q 为AP 的中点，点M 为平面内一动点，且AQ ＝MQ ，连接PM ，以PM 为边长作等边△PMM '，若BP ＝2，直接写出B M '的最小值． 2．已知有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点分别为A ，B ，C ，其中b 是最小的正整数，a ，c 满足()2250a c ++-=． （1）填空：=a ______，b =______，c =______； （2）点A ，B ，C 分别以每秒4个单位长度，1个单位长度，1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t 秒． ①当AC 长为6时，求t 的值； ②当点A 在点C 左侧时（不考虑点A 与B ，C 重合的情况），是否存在一个常数m 使得2AC m AB +⋅的值在某段运动过程中不随t 的改变而改变？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 3．如图抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0A -，点()3,0B ，点()0,3C ． （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点P 为抛物线上一点，连接CP ，若直线CP 分四边形CBPA 的面积为1:3的两部分，求点P 的坐标． （3）点D 、E 是直线1x =上的两个动点，且1DE =，点D 在点E 的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值及此时点D 的坐标．
一、解答题 1．如图，在直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象分别交x轴、y轴于点A、B，OB＝ 6，设∠ABO＝α，若tanα＝4 3 ． （1）求点A的坐标和一次函数关系式． （2）①利用没有刻度的直尺和圆规，在图1中的线段AB上求作一点P，以点P为圆心，BP为半径作⊙P，使得⊙P与x轴相切．②求①中⊙P的半径． （3）如图2，以坐标原点O为圆心，3为半径作⊙O，点M是线段AB上的一动点，将射线MA绕点M顺时针旋转2α角度至MA1的位置，若射线MA1与⊙O相切，则称点M为⊙O的“和谐点”，求“和谐点”M的坐标． 2．如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点(2，﹣3)和(1，﹣27 8 )，与x轴从左至右分 别交于点A，B，点M为抛物线的顶点． （1）求二次函数的解析式． （2）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． （3）连接BM，若点Q为线段OB上的一动点（Q不与点B、点O重合），过点Q作x轴的垂线交线段BM于点N，当点Q以1个单位/s的速度从点B向点O运动时，设运动时间为t，四边形OCNQ的面积为S，求S与t之间的函数关系及自变量t的取值范围，并求出S的最值． （4）若点R在抛物线上，且以点R、C、B为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点R的坐标（不需要计算过程）．
3．如图①，直线:24l y x =-+分别交x 轴和y 轴于点A 和点B ，将AOB 绕点O 逆时针旋转90︒得到COD △．抛物线2:4h y ax bx =++经过A 、B 、D 三点． （1）求抛物线h 的表达式； （2）若与y 轴平行的直线m 以1秒钟一个单位长的速度从y 轴向左平移，交线段CD 于点M 、交抛物线h 于点N ，求线段MN 的最大值； （3）如图②，点E 为抛物线h 的顶点，点P 是抛物线h 在第二象限的上一动点（不与点D 、B 重合），连接PE ，以PE 为边作图示一侧的正方形PEFG ．随着点P 的运动，正方形的大小、位置也随之改变，当顶点G 恰好落在y 轴的负半轴时，试求出此时点P 的坐标． 4．问题提出： （1）如图①，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AH BC ⊥，垂足为点H ，若4AB =，3AC =，则线段CH 的长度为___________； 问题探究： （2）如图②，在四边形ABCD 中，90BAD C ∠=∠=︒，AB AD =，点F 为CD 边的中点，点E 是BC 边上的一点，连接AE ，AF ，EF ．若45EAF ∠=︒，6BC =，2CD =，求线段