隔板法在解排列组合问题中的应用 河南省三门峡市卢氏一高（472200）赵建文 隔板法又称隔墙法、插板法是处理名额分配、相同物体的分配等排列组合问题的重要方法，本文将将通过例题将这种方法作以介绍，供同学们学习时参考. 一、将n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题 例1将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，有多少种不同的方法？ 分析：本题中的小球大小形状完全相同，故这些小球没有区别，问题等价于将小球分成三组，允许有若干组无元素，用隔板法. 解析：将20个小球分成三组需要两块隔板，将20个小球及两块隔板排成一排，两块隔板将小球分成三块，从左到右看成三个盒子应放的球数，每一种隔板与球的排法对应一种分法.将20个小球和2块隔板排成一排有22个位置，先从这22个位置中取出两个位置放隔 板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有222C 种不同的放法，再将小球 放入其他位置，由于小球与隔板都无差别，故小球之间无序，只有1种放法，根据分步计数 原理，共有222C ×1=231种不同的方法. 点评：对n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题,可以看成将这n 件物品分成m 组，允许若干组为空的问题.将n 件物品分成m 组，需要1m -块隔板，将这n 件物品和1m -块隔板排成一排，占1n m +-位置，从这1n m +-个位置中选1m -个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有11m n m C -+-种不同的方法， 再将物品放入其余位置，因物品相同无差别，故物品之间无顺序，是组合问题，只有1种放法，根据分步计数原理，共有11m n m C -+-×1=11m n m C -+-种排法,因 1m -块隔板将n 件相同物品分成m 块，从左到右可以看成每人所得的物品数，每一种隔板与物品的 排法对应于一种分法，故有11m n m C -+-种分法. 二、将n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），每人（或位置）必须有物品问题 例2将20个优秀学生名额分给18个班，每班至少1个名额，有多少种不同的分配方法？ 分析：本题是名额分配问题，用隔板法. 解析：将20个名额分配给18个班，每班至少1个名额，相当于将20个相同的小球分成18组，每组至少1个，将20个相同的小球分成18组，需要17块隔板，先将20个小球排成一排，因小球相同，故小球之间无顺序，是组合，只有1种排法，再在20个小球之间的19个空档中，选取17个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故 隔板有1719C 种不同的放法，根据分步计数原理，共有1719C 种不同的方法，因17块隔板将20个小球分成18组，从左到右可以看成每班所得的名额数，每一种隔板与小球的排法对应于 一种分法，故有11m n m C -+-种分法. 点评：：对n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），每个人（或位置）必须有
“相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。 例1．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？ 【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“A，B”、C、D、E“四个人”进行排列，有种排法。又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序，有种排法。根据分步乘法原理，总的排法有种。 例2．有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有多少种？ 【解析】：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有种排法；又3本数学书有种排法，2本外语书有种排法；根据分步乘法原理共有排法种。 【王永恒提示】：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题。解题过程是“先捆绑，再排列”。 “不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。
例3．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？ 【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。首先将C、D、E三个人排列，有种排法；若排成D C E，则D、C、E“中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：︺ D ︺ C ︺ E ︺，此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有种插法。由乘法原理，共有排队方法：。 例4．在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？ 【解析】：直接解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目去插7个空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位），有种方法；再用另一个节目去插8个空位，有种方法；用最后一个节目去插9个空位，有方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为=504种。 例4．一条马路上有编号为1、2、……、9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？ 【解析】：若直接解答须分类讨论，情况较复杂。故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插7个空位，共有种方法（请您想想为什么不是），因此所有不同的关灯方法有种。 【王永恒提示】：运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。解题过程是“先排列，再插空”。 练习：一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添加进去2个新节目，有多少种安排方法？（国考2008-57）
麻绳的绳扣制作方法 麻绳在使用过程中，由于使用的场合不同，需将麻绳打成各式各样的绳结，以满足不同的需要。如麻绳与麻绳的连接，麻绳与吊钩、吊环的连接，作捆绑的绳结等。麻绳的几种常用绳结及其打结方法步骤如下。 1．平结 平结又称接绳扣，用于连接两根粗细相同的麻绳。结绳方法如下： 第一步，将两根麻绳的绳头互相交叉在一起，如图1(a)所示(A绳头在B绳头的下方，也可以互相对调位置)。 第二步，将A绳头在B绳头上绕一圈，如图1(b)所示。 第三步，将A、B两根绳头互相折拢并交叉，A绳头仍在B绳头的下方，如图1(e)所示。 第四步，将A绳头在B绳头上绕一圈，即将A绳头绕过B绳头从绳圈中穿入，与A绳并在一起(也可以将B绳头按A绳头的穿绕方法穿绕)，将绳头拉紧即成平结[如图1（d）所示]。 在进行第三步时，A、B两个绳头不能交叉错，如果A绳头放在B绳头的上方[如图1(e)所示]，则A绳头在B绳头上方绕过后，A绳头就不会与A绳并在一起，而打成的绳结如图1(f)所示。此绳结的牢固程度不如平结，外表不如平结美观。 2．活结 活结的打结方法基本上与平结相同，只是在第一步将绳头交叉时，把两个绳头中的任一根绳头(A或B)留得稍长一些；在第四步中，不要把绳头A(或绳头B)全部穿入绳圈，而将其绳端的圈外留下一段，然后把绳结拉紧，如图2所示。 活结的特点是当需要把绳结拆开时，只需把留在圈外的绳头A(或B)用力拉出，绳结即 被拆开，拆开方便而迅速。
图2 活结 3．死结 死结大多数用在重物的捆绑吊装，其绳结的结法简单，可以在绳结中间打结。捆绑时必须将绳与重物扣紧，不允许留有间隙，以免重物在绳结中滑动。死结的结绳方法有两种：（1）第一种方法是将麻绳对折后打成绳结，然后把重物从绳结穿过，把绳结拉紧后即成死结，如图3所示。下述为打结步骤： 第一步，将麻绳在中间部位（或其他适当部位）对折，如图3（a）所示。 第二步，将对折后的绳套折向后方（或前方），形成如图3（b）所示的两个绳圈。 第三步，将两个绳圈向前方（或后方）对折，即成为如图3所示的死结。 图3 死结 （2）第一种结绳方法是先结成绳结，然后将物件从绳结中穿过再扣紧绳结，故当物件很长时，利用第一种方法很困难，可采用第二种方法。其步骤如下： 第一步，将麻绳在中间对折并绕在物件(如电杆木)上，如图4（a）所示。 第二步，将绳头从绳套中穿过，如图4（b)所示，然后将绳结扣紧，即可进行吊运工作。 图4 死结的另一种结绳方法 4．水手结(滑子扣、单环结) 水手结在起重作业中使用较多，主要用于拖拉设备和系挂滑车等。此绳结牢固、易解，
行测答题技巧：排列组合问题之捆绑法，插空法和插板法 “相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再 考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。 例1 ?若有A、B、C、D E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法 【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“ A，B”、C D E “四个人”进行排列，有■< 种排法。又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序，有I种排法。根据分步乘法原理，总的排法有I -种 例2.有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。若 将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法 共有多少种 【解析】：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有丄种排法；又3 本数学书有丄种排法，2本外语书有雹种排法；根据分步乘法原理共有排法.<■'I - -- I 种。 【王永恒提示】：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑” 起来的大元素内部的顺序问题。解题过程是“先捆绑，再排列”。 “不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将 问题解决的策略。 例3.若有A、B、C、D E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法
【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。首先将C、D E三个人排列, 有「「种排法；若排成D C E，则D C E “中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：?D C E ,此时可将 A B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有q种插法。由乘法原理，共有排队方法：匚二 :-。 例4.在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种 【解析】：直接解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目 去插7个空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位），有「种方法；再用另一个节目去插8个空位，有种方法；用最后一个节目去插9个空位，有」：.方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为匚-.,=504种。 例4.一条马路上有编号为1、2、……、9的九盏路灯，为了节约用电， 可以把其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种 【解析】：若直接解答须分类讨论，情况较复杂。故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插7个空位，共有'种方法（请您想想为什么不是八），因此所有不同的关灯方法有'_「种。 【王永恒提示】：运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。解题过程是“先排列，再插空”。 练习：一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添加进去2个新节目，有多少种安排方法（国考2008-57） A. 20 B . 12 C . 6 D . 4 插板法是用于解决“相同元素”分组问题，且要求每组均“非空”，即要求
“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三） 排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。 例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？ （2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种？ （3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？ 解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1”，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有3 11C =165种。 （2）法1：（分类）①装入一个盒子有144C =种；②装入两个盒子，即12个相同的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有2141166C C =种;③装入三个盒子，即12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32411C C =220种;④装入四个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有311165C =种;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。 法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有3 15455C =种。 （3）法1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2个小球，则这两个小球可以装在1个盒子或两个盒子，共有124410C C +=种。 法2：先给每个盒子装上比编号小1的小球，还剩6个小球，则转化为将6个相同的小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个，由隔板法有3510C = 由上面的例题可以看出法2要比法1简单，即此类问题都可以转化为至少分一个的问题。 例2、（1）方程123410x x x x +++=的正整数解有多少组？ (2) 方程123410x x x x +++=的非负整数解有多少组？ （3）方程1231023x x x x ++++=L 的非负整数整数解有多少组？
绳结的捆绑法 1．平结 平结又称接绳扣，用于连接两根粗细相同的麻绳。结绳方法如下： 第一步，将两根麻绳的绳头互相交叉在一起，如图1(a)所示(A绳头在B绳头的下方，也可以互相对调位置)。 第二步，将A绳头在B绳头上绕一圈，如图1(b)所示。 第三步，将A、B两根绳头互相折拢并交叉，A绳头仍在B绳头的下方，如图1(e)所示。 第四步，将A绳头在B绳头上绕一圈，即将A绳头绕过B绳头从绳圈中穿入，与A绳并在一起(也可以将B绳头按A绳头的穿绕方法穿绕)，将绳头拉紧即成平结[如图1（d）所示]。 在进行第三步时，A、B两个绳头不能交叉错，如果A绳头放在B绳头的上方[如图1(e)所示]，则A绳头在B绳头上方绕过后，A绳头就不会与A绳并在一起，而打成的绳结如图1(f)所示。此绳结的牢固程度不如平结，外表不如平结美观。 2．活结 活结的打结方法基本上与平结相同，只是在第一步将绳头交叉时，把两个绳头中的任一根绳头(A或B)留得稍长一些；在第四步中，不要把绳头A(或绳头B)全部穿入绳圈，而将其绳端的圈外留下一段，然后把绳结拉紧，如图2所示。 活结的特点是当需要把绳结拆开时，只需把留在圈外的绳头A(或B)用力拉出，绳结即被拆开，拆开方便而迅速。
图2 活结 3．死结 死结大多数用在重物的捆绑吊装，其绳结的结法简单，可以在绳结中间打结。捆绑时必须将绳与重物扣紧，不允许留有间隙，以免重物在绳结中滑动。死结的结绳方法有两种：（1）第一种方法是将麻绳对折后打成绳结，然后把重物从绳结穿过，把绳结拉紧后即成死结，如图3所示。下述为打结步骤： 第一步，将麻绳在中间部位（或其他适当部位）对折，如图3（a）所示。 第二步，将对折后的绳套折向后方（或前方），形成如图3（b）所示的两个绳圈。 第三步，将两个绳圈向前方（或后方）对折，即成为如图3所示的死结。 图3 死结 （2）第一种结绳方法是先结成绳结，然后将物件从绳结中穿过再扣紧绳结，故当物件很长时，利用第一种方法很困难，可采用第二种方法。其步骤如下： 第一步，将麻绳在中间对折并绕在物件(如电杆木)上，如图4（a）所示。 第二步，将绳头从绳套中穿过，如图4（b)所示，然后将绳结扣紧，即可进行吊运工作。 图4 死结的另一种结绳方法 4．水手结(滑子扣、单环结) 水手结在起重作业中使用较多，主要用于拖拉设备和系挂滑车等。此绳结牢固、易解，
各种绳结的介绍用途和打法——不错不错！转了。。。 转载自安飞龙崔海斌转载于2010年07月08日 09:01 阅读(0) 评论(0) 分类：个人日记 举报 半结Overhand Knot 简介：所有绳结的基本结。 用途：防止滑动、或是在绳子未端绽开时可做为暂时防止继续脱线。 缺点：当结打太紧或弄湿时很难解开。 八字结 Figure-of-Eight Knot 简介：打法简单、易记。 用途：可作为一条绳上的一个临时或简单中止，制动点。 特征：即使两端拉得很紧，依然可以轻松解开。
平结Reef Knot 用途：将同一条绳的两端绑在一起。适用于连结同样粗细、同样质材的绳索；但不适用在较粗、表面光滑的绳索上。 特征：缠绕方法一旦发生错误，结果可能会变成个不完全的活结，用力一拉结目就会散开。其结目如果拉得太紧，就不太容易解开；不过如果双手握住绳头，朝两边用力一拉，就可轻松解开。 秘诀：左搭右、右搭左。 称人结 Bowline 简介：被称为绳结之王，为世界上最广为欢迎，于各种户外运动，甚至各行各业或日常生活中频繁的使用到。 用途：当绳索系在其它物体或是在绳索的末端结成一个圈圈时使用 特征：宜结宜解、配合保固安全性高、用途广泛、变化多端
双套结Clove Hitch 简介：其它绳结的开头和结束之用。 用途：通常应用在两端施力均等的物品上，适用于水平拉力之下。 三套结 Lashing for Shear 简介：作用和双套结相同，但较为牢固。 用途：应用在垂直方向的拖力。 其它：又称为转动结( Rolling Hitch)，马格纳斯结 ( Magnus Hitch ) ，拉绳结 ( Taut-line Hitch)，止索结 ( Stopper Hitch ) 。 渔人结 Fishermans Knot 简介：此结十分容易打，但很难拆开。故应尽量避免用在一些质地好的绳上，也不好用在会扯得很紧的绳上，因扯紧后，很难解开。 用途：将两条绳绳连接一起，通常是硬和软的两条绳。
利用隔板法巧解排列、组合题 河南省卢氏县第一高级中学，孙仕卿 472200 隔板法是将相同的球放入不同的盒子，每盒放入球的个数不限，求不同方法种数的一种解题方法。利用隔板法能够巧解许多排列、组合问题。 一、 放球问题。 例1、把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同方法？ 解：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置。由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上隔板，共有C 311种排法。 311C =1 2391011????=165(种) 所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有165种不同方法。 点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法。隔板的块数要比盒子数少1。 一、 指标分配问题。 例2、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，又有多少种不同分法？ 解：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，这样，把10相同的名额分配到6个不同的班级中，适合隔板法。将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，可分以下两步完成。第一步：每班先给1个名额，仅有1种给法；第二步：将剩余的4个名额分到这6个班里，由隔板法知，此时，有C 59种不同分法。由分步计数原理知，共有C 59种不同分法。 C 59=C 49=1 2346789??????=126（种）。 答：某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，有126种不同分法. 点评：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，故适合隔板法。 二、 求n 项展开式的项数。 例3、求10521)(x x x +???++展开式中共有多少项？ 解：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有1x 、2x 、…、5x 的5个不同的盒子表示数1x 、2x 、…、5x ，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有i x （i=1,2,…,5）每个盒子得到的小球数i k （i=1，2，…，5; i k N ∈），记作i x 的i k 次方。这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一 项。由隔板法知，这样的放法共有414C 种，故10521)(x x x +???++的展开式中共有414C 项。
[隔板法解排列组合问题]解读隔板法[隔板法解排列组合问题]解读隔板法篇一 : 解读隔板法 隔板法就是在n个元素间的个空中插入 k个板，可以把n个元素分成k+1组的方法。应用隔板法必须满足3个条件: 这n个元素必须互不相异 所分成的每一组至少分得1个元素 分成的组别彼此相异 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有 m2种不同的方 法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有: 种不同的方法( 2.分步计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有: 种不同的方法(
3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件( 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步 与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题还是组合问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,1 先排末位共有C3 1 然后排首位共有C4 3 最后排其它位置共有A4 113 由分步计数原理得C4C3A4?288 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有 多少不同的种法, 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
实用绳结 教学目标： 1、使学生认识到绳结是劳动人民是劳动生产和日常生活中摸索总结出来的非常实用的劳动本领之一。 2、教会学生掌握几种常用的绳结法，提高生活技能，培养学生的技术意识。 3、使学生了解平凡的劳动中也有发明创造。 教学重点： 通过本课的学习，规范几种结绳的方法，学习并掌握几种绳结技术。 教学难点： 学习并掌握几种特殊绳结的方法。 教学准备： 彩色绒绳，绳结示意图 教学过程： 1、出示有关图片 人们在生产劳动的过程中，或在日常生活里，需用绳子捆绑系结的东西是很多的，比如物体的连结、悬挂、固定、紧扎以及对牲畜野兽的捕捉等等，都需用到绳子系结。 2、出示打结方法示意图，教师边讲解边演示操作，学生在自己坐位上跟着一个一个地进行练习。 （1）半结：所有绳结的基本结。可防止滑动、或是在绳子未端绽开
时可做为暂时防止继续脱线。缺点，当结打太紧或弄湿时很难解开。（2）八字结：打法简单、易记，可作为一条绳上的一个临时或简单中止，制动点。特征：即使两端拉得很紧，依然可以轻松解开 （3）平头结：快速、方便 （4）蝴蝶结：绑鞋带时最常使用的结，它在日常生活中出现的频率相当高，只要拉两端的绳头，结目就会自动解开。完成的形状非常美观，经常作为装饰用。 （5）接绳结：用途，将两条绳按在一起。特征：容易解开。 （6）平结：又称连接结，适用于连结同样粗细、同样质材的绳索。（7）双环结：广泛地应用在将绳索绑系在物体上的双环结，它不但简单而且实用。 3、组织学生前后座位的4人小组，就课堂中介绍的几种打绳结方法，进一步开展互教互学，做到准确、熟练。 4、每个小组选派一位代表，讲台前进行打绳结比赛，看谁结得又快又准。 5、学生评价。 6、游戏：绳编织（或捆扎） 7、课堂小结： 以上几种绳结技法是可以综合运用的，而且还可以有多种变化，希望你们能创造出更加方便、实用的打结方法。 8、课外作业： 收集各种中国结。
排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻） 插板法（m为空的数量） 【基本题型】 有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分法？ ”表示相同的名额，“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10 个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的， 【总结】 需满足条件：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。 注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。 插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板,可以把n个元素分成（b+1）组的方法. 应用插板法必须满足三个条件： （1）这n个元素必须互不相异 （2）所分成的每一组至少分得一个元素 (3) 分成的组别彼此相异 举个很普通的例子来说明 把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况? 问题的题干满足条件（1）（2）,适用插板法,c9 2=36 下面通过几道题目介绍下插板法的应用 e 二次插板法 例8 ：在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况? -o - o - o - o - o - o - 三个节目abc 可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位 所以一共是c7 1×c8 1×c9 1=504种 【基本解题思路】 将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。
隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解, 下面通过典型例子加以解决。 例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种 （2）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种 （3）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种 解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11 个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“ 1”看成隔板，则如图00 隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4 四个盒子相应放入2个，4个，4个，2 个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11 个间隔中选出 3 个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有C131 =165 种。 1 （2）法1 （分类）①装入一个盒子有C4 4种；②装入两个盒子，即12个相同的小 21 球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有C42C111 66种; ③装入三个盒子，即12个相同 的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有C：Gi=220种;④装入四个盒子，即12个 相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有C131 165种;由加法原理得共有 4+66+220+165=455 种。 法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12 个小球任意装，即16 个小球装入 4 个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有C135 455 种。 （3）法1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2 个小球，则这两个小球可以装在 1 个盒子或两个盒子，共有C41C4210 种。 法2：先给每个盒子装上比编号小 1 的小球，还剩 6 个小球，则转化为将 6 个相同的小球装入4 个不同的盒子，每盒至少装一个，由隔板法有C5310 由上面的例题可以看出法2要比法1简单，即此类问题都可以转化为至少分一个的问题。
隔板法在解排列组合问题中的应用 隔板法又称隔墙法、插板法是处理名额分配、相同物体的分配等排列组合问题的重要方法，本文将将通过例题将这种方法作以介绍，供同学们学习时参考. 一、将n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题 例1将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，有多少种不同的方法？ 分析：本题中的小球大小形状完全相同，故这些小球没有区别，问题等价于将小球分成三组，允许有若干组无元素，用隔板法. 解析：将20个小球分成三组需要两块隔板，将20个小球及两块隔板排成一排，两块隔板将小球分成三块，从左到右看成三个盒子应放的球数，每一种隔板与球的排法对应一种分法.将20个小球和2块隔板排成一排有22个位置，先从这22个位置中取出两个位置放隔 板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有222C 种不同的放法，再将小球 放入其他位置，由于小球与隔板都无差别，故小球之间无序，只有1种放法，根据分步计数 原理，共有222C ×1=231种不同的方法. 点评：对n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题,可以看成将这n 件物品分成m 组，允许若干组为空的问题.将n 件物品分成m 组，需要1m -块隔板，将这n 件物品和1m -块隔板排成一排，占1n m +-位置，从这1n m +-个位置中选1m -个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有11m n m C -+-种不同的方法， 再将物品放入其余位置，因物品相同无差别，故物品之间无顺序，是组合问题，只有1种放法，根据分步计数原理，共有11m n m C -+-×1=11m n m C -+-种排法,因 1m -块隔板将n 件相同物品分成m 块，从左到右可以看成每人所得的物品数，每一种隔板与物品的 排法对应于一种分法，故有11m n m C -+-种分法. 二、将n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），每人（或位置）必须有物品问题 例2将20个优秀学生名额分给18个班，每班至少1个名额，有多少种不同的分配方法？ 分析：本题是名额分配问题，用隔板法. 解析：将20个名额分配给18个班，每班至少1个名额，相当于将20个相同的小球分成18组，每组至少1个，将20个相同的小球分成18组，需要17块隔板，先将20个小球排成一排，因小球相同，故小球之间无顺序，是组合，只有1种排法，再在20个小球之间的19个空档中，选取17个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有1719C 种不同的放法，根据分步计数原理，共有17 19C 种不同的方法，因17块隔板将20个小球分成18组，从左到右可以看成每班所得的名额数，每一种隔板与小球的排法对应于一种分法，故有11m n m C -+-种分法. 点评：：对n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），每个人（或位置）必须有
创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克* “隔板法”解决排列组合问题（高二、高三） 排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。 例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？ （2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种？（3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？ 解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1”看成隔板，则如图001000010000100隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有3 11 C=165种。 （2）法1：（分类）①装入一个盒子有1 44 C=种；②装入两个盒子，即12个相同 的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有21 41166 C C=种;③装入三个盒子，即 12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32 411 C C=220种;④装入四 个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有3 11165 C=种;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。 法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个小球
插板法、插空法解排列组合问题 华图教育 邹维丽 排列组合问题是行测数学运算中的经常碰到的一类问题，试题具有一定的灵活性、机敏性和综合性，也是考生比较头疼的问题。掌握排列组合问题的关键是明确基本概念，熟练基本题型。解决排列组合问题的方法很多，有插板法，捆绑法，优先法等等，本文主要介绍插板法、插空法在行测数学运算中的应用，以供大家参考。 所谓插板法，就是在n 个元素间的n-1个空中插入若干个（b ）个板，可以把n 个元素 分成b+1组的方法，共有b n C 1-种方法。 应用插板法必须满足三个条件： (1) 这n 个元素必须互不相异； (2) 所分成的每一组至少分得一个元素； (3) 分成的组别彼此相异 举个普通的例子来说明。 把8个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？问题的题 干满足条件（1），（2），（3），所以适用插板法。在8个小球间的7个空插入3个板，共有35 37=C 种情况。 上面介绍的插板法主要是用解决相同元素的名额分配问题，而对于排列组合中常出现的几个元素的不相邻问题，我们可以用插空法来解决，对这种问题，可先将余下的元素进行排列，然后在这些元素形成的空隙中将不相邻的元素进行排列。 下面我们通过几道题来熟悉这两种方法的应用。 例1 某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法？（ ）（国2010 -46） A.7 B.9 C.10 D.12 【解析】C 。本题乍一看不满足应用插板法的条件，插板法的条件（2）要求所分成的每一组至少分得一个元素，可本题要求每个部门至少发放9份材料。事实上，我们可以分两步来解这道题： 1. 先给每个部门发放8份材料，则还剩下30-8*3=6份材料。 2. 本题即可转化为：将6份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放1份材料。问一共有多少种不同的发放方法？应用插板法可得共有103 5=C
巧用隔板法解排列组合题 徐帮利 临沂市第二中学 解决排列组合问题的方法很多,从解题形式来看,可分为直接法和间接法两种;根据具体问题情景又有：相邻问题“捆绑法”;不相邻问题“插空法”;特殊定位“优限法”(优先排列受限制的位置或元素);同元问题“隔板法”等.这里我们重点看一下“隔板法”. “隔板法”适用于相同元素的分配问题,如投球进盒、名额或指标的分配、部分不定方程的整数解的组数等,解决时通常设计一个问题情景,构造一个隔板模型,将复杂的问题简单化,抽象的问题具体化,从而实现解题的目的.下举例述之. 例1.某运输公司有7个车队,每个车队的车多于4辆,现从这7个车队中抽出10辆车,且每个车队至少抽1辆,组成一个运输队,则不同的抽法有（ ）种. 解析:此题若使用其它方法,则需要分类,都比较麻烦,若用“隔板法”,则就轻而易举了.首先将10辆车排好,这样形成9个空,从这9个空中选6个,插入隔板,即将这10辆车分成7 份,每一种插法对应一种抽法,故共有6984C =种不同的抽法.所以选A. 例2.方程123410x x x x +++=共有多少组正整数解 解析:此题乍看上去,好象思路不太好找,那就只好列举了(麻烦啊！).殊不知,巧构隔板模型,即可化繁为简.将10个完全相同的小球排成一列,形成9个空,从中选3个,插入隔板,将球分成4份,每一种插法所得4份球的各份的数目,分别对应1234x x x x 、、、,即为原方程 的一组正整数解.故原方程组共有3984C =组不同的整数解. 例3．将10个相同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒子中所放的球数不少于其编号数,问不同的放法有多少种 解析:由于条件要求每个盒子中所放的球数不少于其编号数,我们不妨先“找平了”,即先在第1,2,3个盒中各放0,1,2个球.问题即转化为求:将7个相同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒中至少1个球的不同放法.将7个小球排成一排,形成6个空,从中选2个,插入隔板,把球分成三组,放入对应的盒子里,每一种插法,对应一种放法,故共有2615C =种不同的放法. 强化训练:
为什么绳结是必要的呢？ 假设我们先取一条长度适中的绳索。在野外，光是靠这一条绳子就可以变成“魔法绳索”。不管是当成晒衣架、物品的整理、包装、野营、备用鞋带或是路时的标旗等等，如能好好的处理，应该可以使用在各种用途上。因此，我们不能不了解隐藏着无限可能性的绳索的结绳法。在任何一方面都很有益助。可惜的是，似乎还有少数的人不会使用绳结。也许有些登山人士或露营的人会说：“就算完全不了解结绳，也不会有什么不便呀！”的确如此，就算不懂绳结仍旧可以登山、可以野营。不过，能够自由自在地操作一条绳索，将可加倍享受活动的乐趣。更甚者，在危急的时候，它就发挥了莫大的功效了。我们可以说，在变化万千的大自然里，户外活动是一种有创意是靠自己所营造出来的世界。而在这里，结绳法是不可欠缺的技术之一。可是和事实相反的是，一般大众收集了所有有关户外活动的最新资料杂志，却只是一一的照着所谓的《使你的户外活动更有趣的方法》入门书上所记载的东西去做，既没有自己的创意也没有灵活运用。一遇到书上所没写的状况，那就呼天不应呼地不灵了。这已经不是野外生活，而是野外生活方式了。如果您想拥有一个有创造性的户外活动，还是练就一身结绳技术以备不时之需吧！ 留意结绳的清理 北阿尔卑斯山的剑峰，因为它的雄壮，造就了如此荒蛮的景色而深深地吸引着我，并可说是我最喜爱的山。欲攀登此峰须利用滑雪缆绳。正因为此种交通设施，使得我们得以不须受苦便能接触剑峰的自然景观。不过，这也可以做为破坏自然中最佳的例证。人类为追求自然而走向山林。有时，乘坐着排满废气的车子，行驶于森林中开筑的林道。而延绵到山顶的登山道路，不知道从何时开始，附近的植物都早已因大批登山客的践踏而慢慢减少。在日本，也有很多山区正在进行道路的加宽以及裸地化的工作。
隔板法解决排列组合问题 Prepared on 22 November 2020
“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有 序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。 例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种 （2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种 （3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种 解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1”看成隔板，则如图00隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以 不同的放法有3 11 C=165种。 （2）法1：（分类）①装入一个盒子有1 44 C=种；②装入两个盒子，即12 个相同的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有21 41166 C C=种;③装入三个盒子，即12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32 411 C C=220种;④装入四个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每 盒至少装一个有3 11165 C=种;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。
隔板法题型总结 隔板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。 应用隔板法必须满足三个条件： （1）这n个元素必须相同（2）所分成的每一组至少分得一个元素 （3）分成的组别彼此相异 组合不排列的情况可以用隔板法 例如：某校组建一球队需16人，该校共10个班级，且每个班至少分配一个名额, 共有几种情况？ 解:C[（16-1），（10-1）]=C（15，9）=1816214400种例1. 求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。 [分析]将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x、y、z 之值（如下图）。则隔法与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为C92=36（个）。实际运用隔板法解题时，在确定球数、如何插隔板等问题上形成了一些技巧。下面举例说明。 技巧一：添加球数用隔板法。 ○ ○ ○∣○ ○ ○∣○ ○ ○ ○ 例2. 求方程X+Y+Z=10的非负整数解的个数。 [分析]注意到x、y、z可以为零，故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了，怎么办呢？只要添加三个球，给x、y、z各一个球。这样原问题就转化为求X+Y+Z=13的正整数解的个数了，故解的个数为C122=66（个）。 [点评]本例通过添加球数，将问题转化为如例1中的典型隔板法问题。 技巧二：减少球数用隔板法： 例3. 将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。 解法1：先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，剩下14个球，有1种方法；再把剩下的球分成4组，每组至少1个，由例1知方法有C133=286（种）。 解法2：第一步先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放1，2，3，4个球，剩下10个球，有1种方法；第二步把剩下的10个相同的球放入编号为1，2，3，4的盒子里，由例2知方法有C133=286（种）。 [点评] 两种解法均通过减少球数将问题转化为例1、例2中的典型问题。 技巧三：先后插入用隔板法。