捆绑法就是把几个物体看成一个整体排列，一般几个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，“捆绑”法比较简单，注意有无顺序，有序则为排列，无序则为组合
插空法就是先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入它们的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。这个问题比较麻烦，我多举几个例子。同学参考
例1：把1、2、3、4、5组成没有重复数字且数字1、2不相邻的五位数，则所有不同排法有多少种？
解析:本题直接解答较为麻烦，因此可先将3、4、5三个元素排定,共有33A 种排法，
然后再将1、2插入四个空位有24A 种排法，故由乘法原理得：所有不同的五位数
有24
33A A ?=72种。 例2：在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去三个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？
解析：直接解答较为麻烦，故可先用一个节目去插7个空位，有7种方法；再用另一个节目去插8个空位，有8种方法；用最后一个节目去插9个空位，有9方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为987??=504种。
例3：一条马路上有编号为1、2……19的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？
解析：若直接解答须分类讨论，情况较复杂。故可把六盏亮着的灯看作六个元素，
然后用不亮的三盏灯去插7个空位，共有37C 种方法，因此所有不同的关灯方法
有37C =35种
为了同学更好的理解排列组合，同学练习一下：
有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数
(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置
(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边
(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起
(4)全体排成一行，男、女各不相邻
(5)全体排成一行，男生不能排在一起
(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变
(7)排成前后二排，前排3人，后排4人
(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人 解 (1)利用元素分析法，甲为特殊元素，故先安排甲左、右、中共三个位置可供甲选择 有A 13种，其余6人全排列，有A 6
6种 由乘法原理得A 13A 66=2160种
(2)位置分析法 先排最右边，除去甲外，有A 1
6种，余下的6个位置全排有
A 66种，但应剔除乙在最右边的排法数A 1
5A 55种 则符合条件的排法共有A 16A 66－
A 1
5A 55=3720种
(3)捆绑法 将男生看成一个整体，进行全排列 再与其他元素进行全排列
共有A 3
3A 55=720种
(4)插空法 先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有A 3
3A 44=144种
(5)插空法 先排女生，然后在空位中插入男生，共有A 4
4A 35=1440种
(6)定序排列 第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N ，
第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为七个人的全排列，因此A 7
7=N ×A 33，
∴N =33
7
7A A = 840种 (7)与无任何限制的排列相同，有A 7
7=5040种
(8)从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间的排法有A 3
5种，甲、乙和其
余2人排成一排且甲、乙相邻的排法有A 23A 33 最后再把选出的3人的排列插入到甲、乙之间即可 共有A 3
5×A 22×A 33=720种
“相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。 例1．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？ 【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“A，B”、C、D、E“四个人”进行排列，有种排法。又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序，有种排法。根据分步乘法原理，总的排法有种。 例2．有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有多少种？ 【解析】：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有种排法；又3本数学书有种排法，2本外语书有种排法；根据分步乘法原理共有排法种。 【王永恒提示】：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题。解题过程是“先捆绑，再排列”。 “不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。
例3．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？ 【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。首先将C、D、E三个人排列，有种排法；若排成D C E，则D、C、E“中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：︺ D ︺ C ︺ E ︺，此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有种插法。由乘法原理，共有排队方法：。 例4．在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？ 【解析】：直接解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目去插7个空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位），有种方法；再用另一个节目去插8个空位，有种方法；用最后一个节目去插9个空位，有方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为=504种。 例4．一条马路上有编号为1、2、……、9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？ 【解析】：若直接解答须分类讨论，情况较复杂。故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插7个空位，共有种方法（请您想想为什么不是），因此所有不同的关灯方法有种。 【王永恒提示】：运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。解题过程是“先排列，再插空”。 练习：一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添加进去2个新节目，有多少种安排方法？（国考2008-57）
复习排列与组合 考试内容：两个原理；排列、排列数公式；组合、组合数公式。 考试要求：1）掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。 2）理解排列、组合的意义。掌握排列数、组合数的计算公式，并能用它们解决一些简单的问题。 重点：两个原理尤其是乘法原理的应用。 难点：不重不漏。 知识要点及典型例题分析： 1．加法原理和乘法原理 两个原理是理解排列与组合的概念，推导排列数及组合数公式，分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据；完成一件事共有多少种不同方法，这是两个原理所要回答的共同问题。而两者的区别在于完成一件事可分几类办法和需要分几个步骤。 例1．书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。 （1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？ （2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？ （3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。 解：（1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有3种书，则分为3类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14种。 （2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成3个步骤完成，据乘法原理，得到不同的取法种数是：3×5×6=90（种）。 （3）由于从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类情况（数语各1本，数英各1本，语英各1本）而在每一类情况中又需分2个步骤才能完成。故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是：3×5+3×6+5×6=63（种）。 例2．已知两个集合A={1，2，3}，B={a,b,c,d，e}，从A到B建立映射，问可建立多少个不同的映射？ 分析：首先应明确本题中的“这件事是指映射，何谓映射？即对A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应。” 因A中有3个元素，则必须将这3个元素都在B中找到家，这件事才完成。因此，应分3个步骤，当这三个步骤全进行完，一个映射就被建立了，据乘法原理，共可建立不同的映射数目为：5×5×5=125（种）。 2．排列数与组合数的两个公式 排列数与组合数公式各有两种形式，一是连乘积的形式，这种形式主要用于计算；二是阶乘的形式，这种形式主要用于化简与证明。 连乘积的形式阶乘形式 Anm=n(n-1)(n-2)……(n-m+1) = Cnm= 例3．求证：Anm+mAnm-1=An+1m 证明：左边= ∴等式成立。 评述：这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质：n!(n+1)=(n+1)!可使变形
麻绳的绳扣制作方法 麻绳在使用过程中，由于使用的场合不同，需将麻绳打成各式各样的绳结，以满足不同的需要。如麻绳与麻绳的连接，麻绳与吊钩、吊环的连接，作捆绑的绳结等。麻绳的几种常用绳结及其打结方法步骤如下。 1．平结 平结又称接绳扣，用于连接两根粗细相同的麻绳。结绳方法如下： 第一步，将两根麻绳的绳头互相交叉在一起，如图1(a)所示(A绳头在B绳头的下方，也可以互相对调位置)。 第二步，将A绳头在B绳头上绕一圈，如图1(b)所示。 第三步，将A、B两根绳头互相折拢并交叉，A绳头仍在B绳头的下方，如图1(e)所示。 第四步，将A绳头在B绳头上绕一圈，即将A绳头绕过B绳头从绳圈中穿入，与A绳并在一起(也可以将B绳头按A绳头的穿绕方法穿绕)，将绳头拉紧即成平结[如图1（d）所示]。 在进行第三步时，A、B两个绳头不能交叉错，如果A绳头放在B绳头的上方[如图1(e)所示]，则A绳头在B绳头上方绕过后，A绳头就不会与A绳并在一起，而打成的绳结如图1(f)所示。此绳结的牢固程度不如平结，外表不如平结美观。 2．活结 活结的打结方法基本上与平结相同，只是在第一步将绳头交叉时，把两个绳头中的任一根绳头(A或B)留得稍长一些；在第四步中，不要把绳头A(或绳头B)全部穿入绳圈，而将其绳端的圈外留下一段，然后把绳结拉紧，如图2所示。 活结的特点是当需要把绳结拆开时，只需把留在圈外的绳头A(或B)用力拉出，绳结即 被拆开，拆开方便而迅速。
图2 活结 3．死结 死结大多数用在重物的捆绑吊装，其绳结的结法简单，可以在绳结中间打结。捆绑时必须将绳与重物扣紧，不允许留有间隙，以免重物在绳结中滑动。死结的结绳方法有两种：（1）第一种方法是将麻绳对折后打成绳结，然后把重物从绳结穿过，把绳结拉紧后即成死结，如图3所示。下述为打结步骤： 第一步，将麻绳在中间部位（或其他适当部位）对折，如图3（a）所示。 第二步，将对折后的绳套折向后方（或前方），形成如图3（b）所示的两个绳圈。 第三步，将两个绳圈向前方（或后方）对折，即成为如图3所示的死结。 图3 死结 （2）第一种结绳方法是先结成绳结，然后将物件从绳结中穿过再扣紧绳结，故当物件很长时，利用第一种方法很困难，可采用第二种方法。其步骤如下： 第一步，将麻绳在中间对折并绕在物件(如电杆木)上，如图4（a）所示。 第二步，将绳头从绳套中穿过，如图4（b)所示，然后将绳结扣紧，即可进行吊运工作。 图4 死结的另一种结绳方法 4．水手结(滑子扣、单环结) 水手结在起重作业中使用较多，主要用于拖拉设备和系挂滑车等。此绳结牢固、易解，
行测答题技巧：排列组合问题之捆绑法，插空法和插板法 “相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再 考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。 例1 ?若有A、B、C、D E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法 【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“ A，B”、C D E “四个人”进行排列，有■< 种排法。又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序，有I种排法。根据分步乘法原理，总的排法有I -种 例2.有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。若 将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法 共有多少种 【解析】：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有丄种排法；又3 本数学书有丄种排法，2本外语书有雹种排法；根据分步乘法原理共有排法.<■'I - -- I 种。 【王永恒提示】：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑” 起来的大元素内部的顺序问题。解题过程是“先捆绑，再排列”。 “不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将 问题解决的策略。 例3.若有A、B、C、D E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法
【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。首先将C、D E三个人排列, 有「「种排法；若排成D C E，则D C E “中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：?D C E ,此时可将 A B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有q种插法。由乘法原理，共有排队方法：匚二 :-。 例4.在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种 【解析】：直接解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目 去插7个空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位），有「种方法；再用另一个节目去插8个空位，有种方法；用最后一个节目去插9个空位，有」：.方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为匚-.,=504种。 例4.一条马路上有编号为1、2、……、9的九盏路灯，为了节约用电， 可以把其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种 【解析】：若直接解答须分类讨论，情况较复杂。故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插7个空位，共有'种方法（请您想想为什么不是八），因此所有不同的关灯方法有'_「种。 【王永恒提示】：运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。解题过程是“先排列，再插空”。 练习：一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添加进去2个新节目，有多少种安排方法（国考2008-57） A. 20 B . 12 C . 6 D . 4 插板法是用于解决“相同元素”分组问题，且要求每组均“非空”，即要求
数算]排列组合问题之插板法应用小结！ 插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。 应用插板法必须满足三个条件： （1）这n个元素必须互不相异 （2）所分成的每一组至少分得一个元素 (3) 分成的组别彼此相异 分享一点个人的经验给大家，我的笔试成绩一直都是非常好的，不管是行测还是申论，每次都是岗位第一。其实很多人不是真的不会做，90%的人都是时间不够用，要是给足够的时间，估计很多人能够做出大部分的题。公务员考试这种选人的方式第一就是考解决问题的能力，第二就是考思维，第三考决策力（包括轻重缓急的决策）。非常多的人输就输在时间上，我是特别注重效率的。第一，复习过程中绝对的高效率，各种资料习题都要涉及多遍；第二，答题高效率，包括读题速度和答题速度都高效。我复习过程中，阅读和背诵的能力非常强，读一份一万字的资料，一般人可能要二十分钟，我只需要两分钟左右，读的次数多，记住自然快很多。包括做题也一样，读题和读材料的速度也很快，一般一份试卷，读题的时间一般人可能要花掉二十几分钟，我统计过，我最多不超过3分钟，这样就比别人多出20几分钟，这在考试中是非常不得了的。QZZN有个帖子专门介绍速读的，叫做“得速读者得行测”，我就是看了这个才接触了速读，也因为速读，才获得了笔试的好成绩。其实，不只是行测，速读对申论的帮助更大，特别是那些密密麻麻的资料，看见都让人晕倒。学了速读之后，感觉有再多的书都不怕了。而且，速读对思维和材料组织的能力都大有提高，个人总结，拥有这个技能，基本上成功一半，剩下的就是靠自己学多少的问题了。平时要多训练自己一眼看多个字的习惯，慢慢的加快速度，尽可能的培养自己这样的习惯。有条件的朋友可以到这里用这个软件训练速读，大概30个小时就能练出比较厉害的快速阅读的能力，这是给我帮助非常大的一个网站，极力的推荐给大家（给做了超链接，按住键盘左下角Ctrl键，然后鼠标左键点击本行文字）。大家好好学习吧！最后，祝大家早日上岸。此段是纯粹个人经验分享，可能在多个地方看见，大家读过的就不用再读了，只是希望能和更多的童鞋分享。 =================================================== 举个很普通的例子来说明 把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？ 问题的题干满足条件（1）（2），适用插板法，c9 2=36 下面通过几道题目介绍下插板法的应用 a 凑元素插板法（有些题目满足条件（1），不满足条件（2），此时可适用此方法） 例1 ：把10个相同的小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？ 3个箱子都可能取到空球，条件（2）不满足，此时如果在3个箱子种各预先放入 1个小球，则问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？ 显然就是c12 2=66 ------------------------------------------------- 例2：把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？
排列组合公式/排列组合计算公式 排列P------和顺序有关 组合C -------不牵涉到顺序的问题 排列分顺序,组合不分 例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列" 把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2．组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3．其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列（Pnm(n为下标，m为上标)） Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn （两个n分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n 组合（Cnm(n为下标，m为上标)）
排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻） 插板法（m为空的数量） 【基本题型】 有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分法？ ”表示相同的名额，“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10 个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的， 【总结】 需满足条件：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。 注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。 插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板,可以把n个元素分成（b+1）组的方法. 应用插板法必须满足三个条件： （1）这n个元素必须互不相异 （2）所分成的每一组至少分得一个元素 (3) 分成的组别彼此相异 举个很普通的例子来说明 把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况? 问题的题干满足条件（1）（2）,适用插板法,c9 2=36 下面通过几道题目介绍下插板法的应用 e 二次插板法 例8 ：在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况? -o - o - o - o - o - o - 三个节目abc 可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位 所以一共是c7 1×c8 1×c9 1=504种 【基本解题思路】 将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。
排列组合公式/排列组合计算公式 公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。 公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。 N-元素的总个数 R参与选择的元素个数 ！-阶乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1 从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1); 因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r 举例： Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？ A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。 上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积） Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？ A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。 上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1 排列、组合的概念和公式典型例题分析 例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每
名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？ 解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法． （2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法． 点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算． 例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？ 解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出： ∴ 符合题意的不同排法共有9种． 点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型． 例３判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果． （1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？ （2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？ （3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？ （4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？ 分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析． （1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）． （2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法． （3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积． （4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法． 例４证明． 证明左式
绳结的捆绑法 1．平结 平结又称接绳扣，用于连接两根粗细相同的麻绳。结绳方法如下： 第一步，将两根麻绳的绳头互相交叉在一起，如图1(a)所示(A绳头在B绳头的下方，也可以互相对调位置)。 第二步，将A绳头在B绳头上绕一圈，如图1(b)所示。 第三步，将A、B两根绳头互相折拢并交叉，A绳头仍在B绳头的下方，如图1(e)所示。 第四步，将A绳头在B绳头上绕一圈，即将A绳头绕过B绳头从绳圈中穿入，与A绳并在一起(也可以将B绳头按A绳头的穿绕方法穿绕)，将绳头拉紧即成平结[如图1（d）所示]。 在进行第三步时，A、B两个绳头不能交叉错，如果A绳头放在B绳头的上方[如图1(e)所示]，则A绳头在B绳头上方绕过后，A绳头就不会与A绳并在一起，而打成的绳结如图1(f)所示。此绳结的牢固程度不如平结，外表不如平结美观。 2．活结 活结的打结方法基本上与平结相同，只是在第一步将绳头交叉时，把两个绳头中的任一根绳头(A或B)留得稍长一些；在第四步中，不要把绳头A(或绳头B)全部穿入绳圈，而将其绳端的圈外留下一段，然后把绳结拉紧，如图2所示。 活结的特点是当需要把绳结拆开时，只需把留在圈外的绳头A(或B)用力拉出，绳结即被拆开，拆开方便而迅速。
图2 活结 3．死结 死结大多数用在重物的捆绑吊装，其绳结的结法简单，可以在绳结中间打结。捆绑时必须将绳与重物扣紧，不允许留有间隙，以免重物在绳结中滑动。死结的结绳方法有两种：（1）第一种方法是将麻绳对折后打成绳结，然后把重物从绳结穿过，把绳结拉紧后即成死结，如图3所示。下述为打结步骤： 第一步，将麻绳在中间部位（或其他适当部位）对折，如图3（a）所示。 第二步，将对折后的绳套折向后方（或前方），形成如图3（b）所示的两个绳圈。 第三步，将两个绳圈向前方（或后方）对折，即成为如图3所示的死结。 图3 死结 （2）第一种结绳方法是先结成绳结，然后将物件从绳结中穿过再扣紧绳结，故当物件很长时，利用第一种方法很困难，可采用第二种方法。其步骤如下： 第一步，将麻绳在中间对折并绕在物件(如电杆木)上，如图4（a）所示。 第二步，将绳头从绳套中穿过，如图4（b)所示，然后将绳结扣紧，即可进行吊运工作。 图4 死结的另一种结绳方法 4．水手结(滑子扣、单环结) 水手结在起重作业中使用较多，主要用于拖拉设备和系挂滑车等。此绳结牢固、易解，
插板法、插空法解排列组合问题 华图教育 邹维丽 排列组合问题是行测数学运算中的经常碰到的一类问题，试题具有一定的灵活性、机敏性和综合性，也是考生比较头疼的问题。掌握排列组合问题的关键是明确基本概念，熟练基本题型。解决排列组合问题的方法很多，有插板法，捆绑法，优先法等等，本文主要介绍插板法、插空法在行测数学运算中的应用，以供大家参考。 所谓插板法，就是在n 个元素间的n-1个空中插入若干个（b ）个板，可以把n 个元素分成b+1组的方法，共有b n C 1-种方法。 应用插板法必须满足三个条件： (1) 这n 个元素必须互不相异； (2) 所分成的每一组至少分得一个元素； (3) 分成的组别彼此相异 举个普通的例子来说明。 把8个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？问题的题 干满足条件（1），（2），（3），所以适用插板法。在8个小球间的7个空插入3个板，共有3537=C 种情况。 上面介绍的插板法主要是用解决相同元素的名额分配问题，而对于排列组合中常出现的几个元素的不相邻问题，我们可以用插空法来解决，对这种问题，可先将余下的元素进行排列，然后在这些元素形成的空隙中将不相邻的元素进行排列。 下面我们通过几道题来熟悉这两种方法的应用。 例1 某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法？（ ）（国2010 -46） A.7 B.9 C.10 D.12 【解析】C 。本题乍一看不满足应用插板法的条件，插板法的条件（2）要求所分成的每一组至少分得一个元素，可本题要求每个部门至少发放9份材料。事实上，我们可以分两步来解这道题： 1. 先给每个部门发放8份材料，则还剩下30-8*3=6份材料。 2. 本题即可转化为：将6份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放1份材料。 问一共有多少种不同的发放方法？应用插板法可得共有1035=C
排列组合的数学公式 排列组合的数学公式 1. 排列及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n) 个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m 个宝鸡博瀚教 育元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m) 表示. p(n,m)=n(n-1)(n- 2) ...... (n -m+1)= n!/(n-m)!( 规定 0!=1). 2. 组合及计算公式 从n 个不同元素中，任取m(m≤n) 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不 同元素中取出m(m≤n) 个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m); 3. 其他排列与组合公式 从n 个元素中取出r 个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.
n 个元素被分成k 类，每类的个数分别是n1,n2,...nk 这 n 个元素的全排列数为n!/（n1!*n2!*...*nk!）. k 类元素, 每类的个数无限, 从中取出m 个元素的组合数为c（m+k-1,m）. 排列（Pnm（n为下标，m为上标）） Pnm=n×（n-1）（n- m+1）;Pnm=n!/（n-m）!（注：是阶乘符号）;Pnn（两个n 分别为上标和下标） =n!;0!=1;Pn1（n 为下标1 为上标）=n 组合（Cnm（n为下标，m为上标）） Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!（n-m）!;Cnn（两个n 分别为上标和下标） =1 ;Cn1（n 为下标 1 为上标）=n;Cnm=Cnn-m 排列组合的数学解题技巧 1. 掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。 2. 理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。 3. 理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题。 4. 掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。
各种绳结的介绍用途和打法——不错不错！转了。。。 转载自安飞龙崔海斌转载于2010年07月08日 09:01 阅读(0) 评论(0) 分类：个人日记 举报 半结Overhand Knot 简介：所有绳结的基本结。 用途：防止滑动、或是在绳子未端绽开时可做为暂时防止继续脱线。 缺点：当结打太紧或弄湿时很难解开。 八字结 Figure-of-Eight Knot 简介：打法简单、易记。 用途：可作为一条绳上的一个临时或简单中止，制动点。 特征：即使两端拉得很紧，依然可以轻松解开。
平结Reef Knot 用途：将同一条绳的两端绑在一起。适用于连结同样粗细、同样质材的绳索；但不适用在较粗、表面光滑的绳索上。 特征：缠绕方法一旦发生错误，结果可能会变成个不完全的活结，用力一拉结目就会散开。其结目如果拉得太紧，就不太容易解开；不过如果双手握住绳头，朝两边用力一拉，就可轻松解开。 秘诀：左搭右、右搭左。 称人结 Bowline 简介：被称为绳结之王，为世界上最广为欢迎，于各种户外运动，甚至各行各业或日常生活中频繁的使用到。 用途：当绳索系在其它物体或是在绳索的末端结成一个圈圈时使用 特征：宜结宜解、配合保固安全性高、用途广泛、变化多端
双套结Clove Hitch 简介：其它绳结的开头和结束之用。 用途：通常应用在两端施力均等的物品上，适用于水平拉力之下。 三套结 Lashing for Shear 简介：作用和双套结相同，但较为牢固。 用途：应用在垂直方向的拖力。 其它：又称为转动结( Rolling Hitch)，马格纳斯结 ( Magnus Hitch ) ，拉绳结 ( Taut-line Hitch)，止索结 ( Stopper Hitch ) 。 渔人结 Fishermans Knot 简介：此结十分容易打，但很难拆开。故应尽量避免用在一些质地好的绳上，也不好用在会扯得很紧的绳上，因扯紧后，很难解开。 用途：将两条绳绳连接一起，通常是硬和软的两条绳。
排列组合公式 1．分类计数原理（加法原理） 12n N m m m =+++ . 2．分步计数原理（乘法原理） 12n N m m m =??? . 3．排列数公式 m n A =)1()1(+--m n n n =！！ )(m n n -.(n ，m ∈N*，且m n ≤)． 注:规定1!0=. 4．排列恒等式 (1)1 (1)m m n n A n m A -=-+; (2) 1 m m n n n A A n m -= -; (3) 1 1m m n n A nA --=; (4)11n n n n n n nA A A ++=-; (5)11m m m n n n A A mA -+=+. (6) 1!22!33!!(1)!1n n n +?+?++?=+- . 5．组合数公式 m n C =m n m m A A =m m n n n ???+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ∈N*，m N ∈，且m n ≤). 6．组合数的两个性质 (1)m n C =m n n C - ; (2) m n C +1-m n C =m n C 1+. 注:规定 10 =n C . 7．组合恒等式 (1) 1 1m m n n n m C C m --+= ;
(2) 1 m m n n n C C n m -= -; (3) 1 1m m n n n C C m --= ; (4)∑=n r r n C =n 2; (5) 1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C . (6)n n n r n n n n C C C C C 2210=++++++ . (7)14205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C . (8)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C . (9) r n m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 . (10)n n n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ . 8．排列数与组合数的关系 m m n n A m C =?！ . 9．单条件排列 以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位” ①某（特）元必在某位有11--m n A 种； ②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1 111---=m n n A A （着眼位置）1 1111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种. （2）紧贴与插空（即相邻与不相邻） ①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有k m k n k k A A --种. ②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k k k n k n A A 1 1+-+-种. 注：此类问题常用捆绑法； ③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的 一组互不能挨近的所有排列数有 k h h h A A 1+种. （3）两组元素各相同的插空
实用绳结 教学目标： 1、使学生认识到绳结是劳动人民是劳动生产和日常生活中摸索总结出来的非常实用的劳动本领之一。 2、教会学生掌握几种常用的绳结法，提高生活技能，培养学生的技术意识。 3、使学生了解平凡的劳动中也有发明创造。 教学重点： 通过本课的学习，规范几种结绳的方法，学习并掌握几种绳结技术。 教学难点： 学习并掌握几种特殊绳结的方法。 教学准备： 彩色绒绳，绳结示意图 教学过程： 1、出示有关图片 人们在生产劳动的过程中，或在日常生活里，需用绳子捆绑系结的东西是很多的，比如物体的连结、悬挂、固定、紧扎以及对牲畜野兽的捕捉等等，都需用到绳子系结。 2、出示打结方法示意图，教师边讲解边演示操作，学生在自己坐位上跟着一个一个地进行练习。 （1）半结：所有绳结的基本结。可防止滑动、或是在绳子未端绽开
时可做为暂时防止继续脱线。缺点，当结打太紧或弄湿时很难解开。（2）八字结：打法简单、易记，可作为一条绳上的一个临时或简单中止，制动点。特征：即使两端拉得很紧，依然可以轻松解开 （3）平头结：快速、方便 （4）蝴蝶结：绑鞋带时最常使用的结，它在日常生活中出现的频率相当高，只要拉两端的绳头，结目就会自动解开。完成的形状非常美观，经常作为装饰用。 （5）接绳结：用途，将两条绳按在一起。特征：容易解开。 （6）平结：又称连接结，适用于连结同样粗细、同样质材的绳索。（7）双环结：广泛地应用在将绳索绑系在物体上的双环结，它不但简单而且实用。 3、组织学生前后座位的4人小组，就课堂中介绍的几种打绳结方法，进一步开展互教互学，做到准确、熟练。 4、每个小组选派一位代表，讲台前进行打绳结比赛，看谁结得又快又准。 5、学生评价。 6、游戏：绳编织（或捆扎） 7、课堂小结： 以上几种绳结技法是可以综合运用的，而且还可以有多种变化，希望你们能创造出更加方便、实用的打结方法。 8、课外作业： 收集各种中国结。
排列组合问题之插板法： 插板法是用于解决“相同元素”分组问题，且要求每组均“非空”，即要求每组至少一个元素；若对于“可空”问题，即每组可以是零个元素，又该如何解题呢？ 例1．现有10个完全相同的球全部分给7个班级，每班至少1个球，问共有多少种不同的分法? 【解析】：题目中球的分法共三类： 第一类：有3个班每个班分到2个球，其余4个班每班分到1个球。其分法种数为C37=35。 第二类：有1个班分到3个球，1个班分到2个球，其余5个班每班分到1个球。其分法种数2*C27=42。第三类：有1个班分到4个球，其余的6个班每班分到1个球。其分法种数C17=7。 所以，10个球分给7个班，每班至少一个球的分法种数为84：。 由上面解题过程可以明显感到对这类问题进行分类计算，比较繁锁，若是上题中球的数目较多处理起来将更加困难，因此我们需要寻求一种新的模式解决问题，我们创设这样一种虚拟的情境——插板。 将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空档，现在我们用“档板”把10个球隔成有序的7份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球（可能是1个、2个、3个、4个），借助于这样的虚拟“档板”分配物品的方法称之为插板法。 由上述分析可知，分球的方法实际上为档板的插法：即是在9个空档之中插入6个“档板”（6个档板可把球分为7组），其方法种数为C39=84。 由上述问题的分析解决看到，这种插板法解决起来非常简单，但同时也提醒各位考友，这类问题模型适用前提相当严格，必须同时满足以 下3个条件： ①所要分的元素必须完全相同； ②所要分的元素必须分完，决不允许有剩余； ③参与分元素的每组至少分到1个，决不允许出现分不到元素的组。 下面再给各位看一道例题： 例2．有8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有（）种不同方法. A．35 B．28 C．21 D．45 【解析】：这道题很多同学错选C，错误的原因是直接套用上面所讲的“插板法”，而忽略了“插板法”的适用条件。例2和例1的最大区别是：例1的每组元素都要求“非空”，而例2则无此要求，即可以出现空盒子。
排列组合的基本理论和公式 排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关．如231与213是两个排列，2＋3＋1的和与2＋1＋3的和是一个组合． (一)两个基本原理是排列和组合的基础 (1)加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法． (2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1 种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法．这里要注意区分两个原理，要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理． 这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来． (二)排列和排列数 (1)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．从排列的意义可知，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序必须完全相同，这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法． (2)排列数公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列 当m＝n时，为全排列Pnn=n(n－1)(n－2)…3·2·1＝n！ (三)组合和组合数 (1)组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合． 从组合的定义知，如果两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个
排列组合问题——插板法(分组)、插空法(不相邻)、捆绑法(相邻) 插板法(m为空得数量) 【基本题型】 有ｎ个相同得元素,要求分到不同得m组中,且每组至少有一个元素,问有多少种分法？ 图中“"表示相同得名额,“”表示名额间形成得空隙,设想在这几个空隙中插入六块“挡板",则将这１0 个名额分割成七个部分,将第一、二、三、……七个部分所包含得名额数分给第一、二、三……七所学校,则“挡板"得一种插法恰好对应了１0 个名额得一种分配方法,反之,名额得一种分配方法也决定了档板得一种插法,即挡板得插法种数与名额得分配方法种数就是相等得, 【总结】?需满足条件:ｎ个相同元素,不同个ｍ组,每组至少有一个元素,则只需在ｎ个元素得n－1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。? 注意:这样对于很多得问题,就是不能直接利用插板法解题得。但,可以通过一定得转变,将其变成符合上面3个条件得问题,这样就可以利用插板法解决,并且常常会产生意想不到得效果。 插板法就就是在n个元素间得(n—１)个空中插入若干个(b)个板,可以把n个元素分成(b+１)组得方法. 应用插板法必须满足三个条件: (1) 这n个元素必须互不相异 (2)所分成得每一组至少分得一个元素?(3)分成得组别彼此相异 举个很普通得例子来说明 把1０个相同得小球放入3个不同得箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况？ 问题得题干满足条件(1)(２),适用插板法,c9 2＝36 ?下面通过几道题目介绍下插板法得应用 e二次插板法?例8:在一张节目单中原有６个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况？?－o — o －ｏ－o -ｏ—o —三个节目ａｂｃ 可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位 所以一共就是c71×ｃ８１×c9 1=50４种 【基本解题思路】 将n个相同得元素排成一行,n个元素之间出现了(n－１)个空档,现在我们用(m—１)个“档板”插入(n-1)个空档中,就把ｎ个元素隔成有序得ｍ份,每个组依次按组序号分到对应位置得几个元素(可能就是１个、2个、3个、4个、…。),这样不同得插入办法就对应着n个相同得元素分到m组得一种分法,这种借助于这样得虚拟“档板”分配元素得方法称之为插板法。
巧用隔板法解排列组合题 徐帮利 临沂市第二中学 解决排列组合问题的方法很多,从解题形式来看,可分为直接法和间接法两种;根据具体问题情景又有：相邻问题“捆绑法”;不相邻问题“插空法”;特殊定位“优限法”(优先排列受限制的位置或元素);同元问题“隔板法”等.这里我们重点看一下“隔板法”. “隔板法”适用于相同元素的分配问题,如投球进盒、名额或指标的分配、部分不定方程的整数解的组数等,解决时通常设计一个问题情景,构造一个隔板模型,将复杂的问题简单化,抽象的问题具体化,从而实现解题的目的.下举例述之. 例1.某运输公司有7个车队,每个车队的车多于4辆,现从这7个车队中抽出10辆车,且每个车队至少抽1辆,组成一个运输队,则不同的抽法有（ ）种. 解析:此题若使用其它方法,则需要分类,都比较麻烦,若用“隔板法”,则就轻而易举了.首先将10辆车排好,这样形成9个空,从这9个空中选6个,插入隔板,即将这10辆车分成7 份,每一种插法对应一种抽法,故共有6984C =种不同的抽法.所以选A. 例2.方程123410x x x x +++=共有多少组正整数解 解析:此题乍看上去,好象思路不太好找,那就只好列举了(麻烦啊！).殊不知,巧构隔板模型,即可化繁为简.将10个完全相同的小球排成一列,形成9个空,从中选3个,插入隔板,将球分成4份,每一种插法所得4份球的各份的数目,分别对应1234x x x x 、、、,即为原方程 的一组正整数解.故原方程组共有3984C =组不同的整数解. 例3．将10个相同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒子中所放的球数不少于其编号数,问不同的放法有多少种 解析:由于条件要求每个盒子中所放的球数不少于其编号数,我们不妨先“找平了”,即先在第1,2,3个盒中各放0,1,2个球.问题即转化为求:将7个相同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒中至少1个球的不同放法.将7个小球排成一排,形成6个空,从中选2个,插入隔板,把球分成三组,放入对应的盒子里,每一种插法,对应一种放法,故共有2615C =种不同的放法. 强化训练: