柯西中值定理与洛必达法则

中值定理证明

中值定理 首先我们来瞧瞧几大定理: 1、 介值定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A 及 f(b)=B,那么对于A 与B 之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ

(整理)中值定理的应用方法与技巧.

中值定理的应用方法与技巧 中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分。微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述。积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。积分第一中值定理为大家熟知，即若)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f b a -=?ξ。积分第二中值定理为前者的推广，即若)(),(x g x f 在[a,b]上连续，且)(x g 在[a,b]上不变号，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得??=b a b a dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。 一、 微分中值定理的应用方法与技巧 三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明，也可应用于恒等式及不等式证明。由于三大中值定理的条件和结论各不相同，又存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数，套用相应的中值定理进行证明。这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。 例一．设)(x ?在[0,1]上连续可导，且1)1(,0)0(==??。证明：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得b a b a +='+') ()(η?ξ?成立。 证法1：任意给定正整数a ，令)()(,)(21x x f ax x f ?==，则在[0,1]上对)(),(21x f x f 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a a =--=')0()1(0)(??ξ?。 任意给定正整数b ，再令)()(,)(21x x g bx x g ?==，则在[0,1]上对)(),(21x g x g 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈η，使得b b b =--=') 0()1(0)(??η?。 两式相加得：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得 b a b a +='+') ()(η?ξ? 成立。 证法2：任意给定正整数b a ,，令)()(,)(21x x f ax x f ?==，则在[0,1]上对

柯西中值定理

§2 柯西中值定理和不等式极限 一柯西中值定理 定理(6.5) 设、满足 (i) 在区间上连续， (ii) 在内可导 (iii) 不同时为零; (iv) 则至少存在一点使得 柯西中值定理的几何意义 曲线由参数方程 给出，除端点外处处有不垂直于轴的切线， 则上存在一点 P处的切线平行于割线.。 注意曲线 AB在点处的切线的斜率为

， 而弦的斜率为 . 受此启发，可以得出柯西中值定理的证明如下： 由于， 类似于拉格朗日中值定理的证明，作一辅助函数 容易验证满足罗尔定理的条件且 根据罗尔定理，至少有一点使得，即

由此得 注2：在柯西中值定理中，取，则公式（3）可写成 这正是拉格朗日中值公式，而在拉格朗日中值定理中令，则 . 这恰恰是罗尔定理. 注3:设在区间I上连续，则在区间I上为常数，. 三、利用拉格朗日中值定理研究函数的某些特性 1、利用其几何意义 要点：由拉格朗日中值定理知：满足定理条件的曲线上任意两点的弦，必与两点间某点的切线平行。 可以用这种几何解释进行思考解题： 例1：设在（a ，b）可导，且在 [a，b] 上严格递增，若，则对一切 有。 证明：记A（），，对任意的x，记C（），作弦线AB，BC，应用拉格 朗日中值定理，使得分别等于AC，BC弦的斜率，但因严格递增，所以

＜，从而 ＜ 注意到，移项即得＜， 2、利用其有限增量公式 要点：借助于不同的辅助函数，可由有限增量公式 进行思考解题： 例2：设上连续，在（a，b）内有二阶导数，试证存在使得 证：上式左端 作辅助函数 则上式 =， =

，其中 3、作为函数的变形 要点：若在[a，b]上连续，（a，b）内可微，则在[a，b]上 （介于与 之间） 此可视为函数的一种变形，它给出了函数与导数的一种关系，我们可以用它来研究函数的性质。 例3 设在上可导，，并设有实数A＞0，使得 ≤在上 成立，试证 证明：在[0，]上连续，故存在] 使得 ==M 于是 M=≤A≤≤ 。 故 M=0，在[0，] 上恒为0。用数学归纳法，可证在一切[]（ i=1,2,…）上恒有 =0, 所以=0, 。

关于高等数学常见中值定理证明及应用

中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ

柯西中值定理的证明及应用

柯西中值定理的证明及应用 马玉莲 （西北师范大学数学与信息科学学院，甘肃，兰州，730070） 摘要：本文多角度介绍了柯西中值定理的证明方法和应用, 其中证明方法有: 构造辅助函数利用罗尔定理证明，利用反函数及拉格朗日中值定理证明, 利用闭区间套定理证明, 利用达布定理证明, 利用坐标变换证明. 其应用方面有：求极限、证明不等式、证明等式、证明单调性、证明函数有界、证明一致连续性、研究定点问题、作为函数与导数的关系、推导中值公式. 关键词：柯西中值定理; 证明; 应用

1.引言 微分中值定理是微分学中的重要定理，它包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理，而柯西中值定理较前两者更具有一般性、代表性，其叙述如下： 柯西中值定理：设函数f(x),g(x)满足 (1) 在[,]a b 上都连续; (2) 在(,)a b 内都可导; (3) '()f x 和'()g x 不同时为零; (4) ()()g a g b ≠, 则存在(,)a b ξ∈，使得 ()()() ()()() f f b f a g g b g a ξξ''-=- . （1） 本文从不同思路出发，展现了该定理的多种证明方法及若干应用，以便其更好的被认识、运用. 2.柯西中值定理的证明 2.1构造辅助函数利用罗尔定理证明柯西中值定理 罗尔定理 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 上可导，且 ()()f a f b =则至少存在一点,(,)a b ξ∈ , 使得 因为()0g ξ'≠（若()g ξ'为0则()f ξ'同时为0, 不符条件）故可将（2）式改写为(1)式. 便得所证.

微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用 微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“ξ”，虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用. 1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用L＇Hospital法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题. 2．教学重点与难点： 重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性. 难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性. 3．教学内容： §1 拉格朗日定理和函数的单调性 本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由此来讨论函数的单调性. 一罗尔定理与拉格朗日定理 定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设f满足 (ⅰ)在[]b a,上连续; (ⅱ)在) a内可导; (b , (ⅲ)) a f= f ) ( (b

则),(b a ∈?ξ使 0)(='ξf (1) 注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可. 如: 1o ? ??=<≤=1 010 x x x y , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足, 结论不成立. 2o x y = , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立. 3o x y = , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立. (ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件. 如:[]1,1 )(2 2-∈?????-∈-∈=x Q R x x Q x x x f , f 不满足(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)中任一条,但0)0(='f . (ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续 曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线. 例 1 设f 在R 上可导,证明:若0)(='x f 无实根,则0)(=x f 最多只有一个实根. 证 (反证法,利用Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式 n n n n n dx x d n x P )1(!21)(2-?= 在)1,1(-内有n 个互不相同的零点. 将Rolle 定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广

总结拉格朗日中值定理的应用

总结拉格朗日中值定 理的应用

总结拉格朗日中值定理的应用 以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，尤其是拉格朗日中值定理。他建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数研究函数的性态。中值定理的主要作用在于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数单调性、取极值、凹凸性、拐点等项重要函数性态提供重要理论依据，从而把握函数图像的各种几何特征。总之，微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。而拉格朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下的一个定理，我们需要对其能够熟练的应用，这对高等数学的学习有着极大的意义！ 拉格朗日中值定理的应用主要有以下几个方面：利用拉格朗日中值定理证明（不）等式、利用拉格朗日中值定理求极限、研究函数在区间上的性质、估值问题、证明级数收敛。首先我想介绍几种关于如何构造辅助函数的方法。 凑导数法。：这种方法主要是把要证明的结论变形为罗尔定理的结论形式， 凑出适当的函数做为辅助函数，即将要证的结论中的换成X，变形后观察法凑成F’(X)，由此求出辅助函数F(x)．如例1. 常数值法：在构造函数时；若表达式关于端点处的函数值具有对称性，通 常用常数k值法来求构造辅助函数，这种方法一般选取所证等式中含的部分

作为k，即使常数部分分离出来并令其为k，恒等变形使等式一端为a与f(a)构成的代数式，另一端为b与．f(b)构成的代数式，将所证式中的端点值(a或b)改为变量x移项即为辅助函数f(x),再用中值定理或待定系数法等方法确定k，一般来说，当问题涉及高阶导数时，往往考虑多次运用中值定理，更多时要考虑用泰勒公式．如例3. 倒推法：：这种方法证明方法是欲证的结论出发，借助于逻辑关系导出已知的条件和结论．如例4。

中值定理、洛必达、函数单调性、极值、最值,凹凸性的应用

第三章中值定理及导数的应用 一．验证罗尔中值定理、拉格朗日中值定理的条件及结论是否成立 要牢记三个中值定理成立的条件及其结论。 例1．验证：在上满足拉氏定理的条件，并求出定理 结论中的点. 解：（一）1.由，知在处连续，从而在上连续； 2.按左、右导数的定义不难求出从而在 内 可导，且 因此，在上满足拉氏定理的条件. （二）由拉氏定理的结论：，使 .不难算得：或. 注意：中值定理中结论只保证中间值的存在性，至于是否唯一，不唯一时有几个，如何求？定理本身并未指出. 二．利用拉格朗日中值定理证明不等式（尤其是双向不等式） 利用拉格朗日中值定理证明不等式的一般方法是；先根据所要证明的不等式的特点作一辅助函数，并恰当选择相应的闭区间；然后利用拉格朗日中值定理，得到一个含中值的等式，最后适当放大或缩小不等式即可. 例2.证明：对. 证明：设，则.在上由拉氏定理知，

即：.() 例3.证明：对. 例4．证明：对. 大家自己证明，这两个结论要记住. 三．利用中值定理证明等式成立（或方程有无根） 例5．设在上连续，在内可导，且证明：使 证明：（分析寻找合适的辅助函数应用罗尔中值定理，采用倒推的方法分析。 命题只须证，使 ，或者. 故令。显然，且在上连续，在内可导，从而由罗尔定理知，，使 例6．设，证明方程有三个实根，并且它们分别位于区间（见书第105页） 例7．证明方程只有一个正根.(反证). 拉氏定理有两个重要的的推论，也要会记会用. 推论1：若对任意，则 例8.证明：. 证明：设， 则，， 所以，由推论1， 推论2:若对于，则. 四．洛必达法则

我们在第一章曾注意到，考试时考察得最多的求极限问题要么是型，要么是。对付这种问题，我们根据具体情形曾给出了因式分解约零因子、根式有理化约零因子、等价无穷小替换、凑重要极限等方法。现在有一个著名的法则——洛必达法则，可用一招统一解决大部分的或的极限问题。 现在先回顾一下洛必大达法则的条件及结论： 第一种：型的洛必达法则 设函数满足： （1）； （2）在的某个去心邻域内，都存在 ； （3）存在（或为）. 则，存在（或为）. 第二种．型的洛必达法则 设函数满足： （1）； （2）在的某个去心邻域内，都存在， ； （3）存在（或为）.

第四章----中值定理与导数的应用--习题及答案(1)

第四章 中值定理与导数的应用 一、填空 1、若()x x x f -=3在[0，3]上满足罗尔定理的ξ值为 。 2、若2 1 cos 1sin lim 20=-→kx x x ，则k = 。 3、=a ，=b 时，点（1，3）为2 3bx ax y +=的拐点。 4、3+=x e x 在),(+∞-∞内的实根的个数为 。 5、函数)1ln(2 x x y +-=的单调递增区间 ，在[-1，1]中最大值为 ，最小值为 。 6、函数23 )5()(-=x x x f 的驻点为 ，其极大值为 ，极小值为 。 7、若5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，则=a ，=b 。 8、x x x y )1 1(-+=的水平渐近线为 。 二、选择 1、设R x x x x f ∈+-='),12)(1()(，则在)4 1 ,21(- 内)(x f 是（ ） A 、单调增加，图形上凹 B 、单调减少，图形上凹 C 、单调增加，图形下凹 D 、单调减少，图形下凹 2、设函数)(x f 在[0，1]上可导，0)(>'x f 并且0)1(,0)0(>

第三章 中值定理与导数的应用经典例题

第三章 中值定理与导数的应用 例4 设n a a a a 321,,为满足 01 2)1(3121=-=-++- -n a a a n n 的实数，试证明方程 ,0)12cos(3cos cos 21=-+++x n a x a x a n 在)2/,0(π内至少存在一个实根. 证 作辅助函数 ,)12sin(1 213sin 31sin )(21x n a n x a x a x f n --+++= 显然,0)2/()0(==πf f )(x f 在]2/,0[π上连续,在)2/,0(π内可导,故由罗尔定理知, 至少存在一点),2/,0(πξ∈使 ,0)(='ξf 即 0)12c o s (3c o s c o s )(21=-+++='ξξξ ξn a a a f n 从而题设方程在)2/,0(π内至少有一个实根. 例5 设)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导, 且 .0)()(==b f a f 证明: 存在),(b a ∈ξ,使)()(ξξf f ='成立. 证 从结论倒退分析知, 可引进辅助函数 ,)()(x e x f x -=? 由于,0)()(==b a ?? 易知)(x ?在],[b a 上满足罗尔定理条件,且 ,)()()(x x e x f e x f x ---'='? 因此, 在),(b a 内至少存在一点),,(b a ∈ξ使 ,0)(='ξ? 即 ,0)()(=-'--ξξξξe f e f 因,0≠-ξe 所以 ).()(ξξf f =' 例9(E04) 证明当0>x 时,.)1ln(1x x x x <+<+ 证 设),1ln()(x x f +=则)(x f 在],0[x 上满足拉格朗日定理的条件. 故 )0)(()0()(-'=-x f f x f ξ ),0(x <<ξ ,0)0(=f ,11)(x x f += ' 从而ξ +=+1)1ln(x x ),0(x <<ξ

柯西中值定理在中学中的应用和扩展

中值定理在中学数学教学的应用 摘要：通过对柯西中值定理进行讨论，明确了中学教学引入柯西中值定理的意义。分别讨论了柯西中值定理在中学教学中关于函数单调性、不等式和等式证明方面的应用。提出柯西中值定理在不等式和等式证明方面相较于纯粹的求导的方法具有快捷、计算简单的优势。最后，对中值定理在中学教学的扩展进行了讨论。 关键词：柯西中值定理；中学教学 前言随着当今社会科学技术的不断发展，定量思维正逐渐影响着公众的生活。随之而来的是对各个学科教学发展的要求。将微积分这一思想引入中学的教学是提高中学教学水平的一种体现。相较于基础教学，微积分具有鲜明的几何意义，目前在中学数学、物理等学科的教学中已经由辅助角色抬升到处理解决问题的有效工具。但是，由于引入了新的概念，在具体应用，尤其是教学的方式方法上与以往的教学差别很大，给教学工作带来了一定的困难。柯西中值定理作为微分中值定理中重要的一个定理，在中学微积分的教学中占有重要比例。但是，目前对柯西中值定理在中学教学的讨论和分析较少。因此，有必要对可惜中值定理在中学教学中的应用和扩展进行讨论。 一柯西中值定理 柯西中值定理与罗尔定理、拉格朗日中值定理并称为微分方程三个基本定理。柯西中值定理的具体表述概念为：假设两个函数分别为f（x）和g（x）。这两个函数f（x）和g（x）分别满足三个条件：第一个是条件是f（x）和g（x）在闭区间[a,b]上函数是连续的，第二个条件是是f（x）和g（x）在开区间（a,b）内函数是可导的，第三个条件是当x∈开区间（a,b）时，不等于0。当三个条件同时满足时，在开区间(a,b)中至少存在一点ξ∈开区间（a,b），能够使得（ξ）/（ξ）=（f（a）-f（b））/g（a）-g（b））。具体证明为如果假设g（a）与g（b）相等。根据罗尔定理，在开区间(a,b)上，存在一点x，使得等于0。而这与之前假设的第三个条件矛盾。因此， g（a）与g（b）不相等。然后假设存在一函数h（x）,且h（x）=f（x）-（f（b）-f（a））/（g（b）-g（a））。根据h（x）得出该函数在闭区间[a,b]上是连续的，在开区间（a,b）上是可导的且h（a）=h（b）=（f（a）g（b）-f（b）g（a））/（g（b）-g（a））。则根据罗尔定理推出，在开区间（a,b）上，存在一点ξ，使得（ξ，也就是ξ=（f（b）-f（a））/（g（b）-g（a））·ξ。由以上证明过程可以看出，柯西中值定理就是一个函数相较于另一个函数的变化的问题。倘若g（x）设定为g（x）=x，即一个函数相较于x坐标轴的相较变化的问题，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理的形式。由此分析拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特定表达形式，而柯西中值定理则是x坐标轴参数化了的拉格朗日中值定理。从几何角度分析，其意义为以参数方程为表达形式的曲线中，存在一个点，使得在这个点上的曲线的切线与曲线两个端点所在的弦。 二中学教学引入柯西中值定理的意义 恩格斯曾经将微积分学的创立称为“人类精神层面的最高胜利”。将包括柯西中值定理在内的微分中值定理的内容引入到中学数学，不仅为学生在学习和计算上提供了一个有力的工具、扩展了学生学习的领域，还发散了学生思考、考虑问题的方式，有助于学生有效的解决与函数相关的大量问题。而且，将包括柯西中值定理在内的微分中值定理的内容引入到中学数学，

zt5专题五关于中值定理的应用

专题五 关于中值定理的应用 中值定理的形式很多，其应用也很广泛。众所周知，积分中值定理和微分中值定理是研究函数性质的重要工具。这里就中值定理在积分和微分两方面的应用进行答疑，并将其加以推广，意在扩大中值定理的应用范围，增强其实际应用价值。使中值定理发挥更大作用。 问题1：中值定理都包括哪些内容？它们的关系如何？ 答：中值定理主要包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理及泰勒中值定理等。以拉格朗日中 值定理（也称微分学中值定理）为中心，介值定理是中值定理的前奏，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形，而柯西中值定理、泰勒中值定理及定积分中值定理则是它的推广。下面分别介绍： 介值定理：设函数)(x F 在区间[]b a ,上连续，且A a F =)(，B b F =)(，B ≠A ，那么，对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间()b a ,内至少有一点ξ，使得()C F =ξ()b a <<ξ. 罗尔定理：如果函数)(x F 在区间[]b a ,上连续，在区间()b a ,内可导，且)()(b F a F =，那么至少有一点ξ()b a <<ξ，使得0)(='ξF . 拉格朗日中值定理：如果函数)(x F 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，那么至少有一点 ξ()b a <<ξ，使))(()()(a b F a F b F -'=-ξ成立. 柯西中值定理：如果函数)(x F 及)(x G 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，且0)(≠x G 。那么至少有一点ξ()b a <<ξ使等式 ()()()()a G b G a F b F --=()() ξξG F ''成立. 问题2：积分中值定理都包括哪些内容？ 答：积分中值定理主要包括： 1、（积分第一中值定理）：若函数()x f 与()x g 在区间[]b a ,上连续，且()x g 在[]b a ,上不变号，则在 []b a ,上至少存在一点ξ，使()()()()b b a a f x g x dx f g x dx ξ=??. 注: 该定理中()g x 在[],a b 是可积,且不变号,结论仍成立 2、（积分第二中值定理）：若函数()f x 在区间[],a b 非负单调递增,()g x 为可积函数,则存在 [],a b ξ∈，()()()()b a a f x g x dx f a g x dx ξ =?? 3、（定理3）: 若在[],a b 上()0f x ≥且单调递增,()g x 为可积函数,则存在[],a b ξ∈使得

关于高等数学常见中值定理证明及应用

关于高等数学常见中值定理证明及应用 集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]

中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ

微积分中值定理及其应用

微积分中值定理及其应用 前言: 关于微分中值定理的证明问题是数学分析中的难点，本文将从微分中值定理的证明入手，对其进行证明，讨论了微分中值定理的内在联系及推广，并给出其在解题中的应用，如：微分中值定理在一些定理中的证明，利用几何意义思考解题，讨论导函数零点的存在性，研究函数性态，证明不等式和求极限等。 主题： 有关定理： 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 Cauchy 中值定理统一了微积分中值定理各种形式,从而建立了微分中值定理和积分中值定理之间的 内在联系. 以Rolle 中值定理为基础,借助不同形式辅助函数可对其它几个中值定理作出多种形式的统一证 明;利用Taylor 公式可以进一步导出微积分中值定理的推广形式. 作为微积分知识体系中十分重要的三个中值定理之一,拉格朗日中值定理中中值的存在性问题, 对理解和应用定理有着十分重要的意义。一般意义上说, 同数学中许多存在性问题一样, 只需关注是否存 在即可。但是, 认真分析拉格朗日中值定理的结构, 就会产生这样的问题其中值〔的存在是否具有函数属性, 在什么条件下能够具有函数的属性。 总结： 在解关于微分中值的题目时，大多数题是有一定技巧的。在习题解题答中可以看到这方面的应用，虽然有些实例，但却凌乱无序，不成系统，本文针对这个问题，通过总结归纳，以建立初具规模的体系框架。 微积分概念和基本定理已成为大众化的知识，但是由于种种原因，例如，对相关数学知识的研究不够透彻，使得微积分中值定理应用存在某些问题，通过对例题的分析和总结，对微积分的应用作了更为清晰和简便的解法，对提高微积分课程，尤其是微分中值定理的教学质量和效果发挥了良好的作用。

微分中值定理及其应用

本科生毕业论文（设计）系（院）数学与信息科学学院专业数学与应用数学 论文题目微分中值定理及其应用 学生姓名贾孙鹏 指导教师黄宽娜（副教授） 班级11级数应1班 学号 11290056 完成日期：2015年4月

微分中值定理及其应用 贾孙鹏 数学与信息科学学院数学与应用数学 11290056 【摘要】微分中值定理是研究复杂函数的一个重要工具，是数学分析中的重要内容。我们可以运用构造函数的方法来巧妙的运用微分中值定理解决问题。本文主要研究微分中值定理的内容和不同形式之间的关系，以及它的推广形式。并归纳了它在求极限，根的存在性，级数等方面的应用。最后对中间点的问题进行了讨论。 【关键词】微分中值定理应用辅助函数 1引言 微分中值定理主要包括罗尔（Roll）定理，拉格朗日（Lagannge）中值定理，柯西(Cauchy)中值定理，以及泰勒(Taylor)公式。他们之间层层递进。研究了单个函数整体与局部，以及多个函数之间的关系。对掌握函数的性质，以及根的存在性等方面具有重要的作用。学微分中值定理这节同我们要掌握为什么要学这节，和不同定理之间的关系和应用。从教材来看，我们已经明白了导数微分重要性，但没讲明如何运用，因此有必要加强导数的应用，而微分中值定理是导数运用的理论基础。所以这部分内容很重要。它是以后研究函数极限，单调，凹凸性的基础。从微分中值定理的产生来看，其中一个基础问题就是函数最值问题。而解决此类问题就是能熟练的运用微分中值定理。此文为加深对中值定理的理解，在它推广的基础上详细解释了定理间的关系，对它的应用作了5个大方面的归纳。并对最新研究成果作了解释。 2柯西与微分中值定理 2.1柯西的证明 首先在柯西之前就有很多科学家给出了导数的定义，当然他们对导数的认识存在着差异。比如说欧拉在定义导数的时候就用了差商的形式，如将() g x的导数定义 为 ()() g x h g h h +- 当趋于0时的极限。对于拉格朗日他对导数的认识开始是建立在 错误观点的，他认为任意的函数都可以展开成幂级数的形式，但是事实并不是这样。而柯西采用的是极限来定义并将其转化成了不等式的语言。我们来看下柯西的证明，它开始于：

第14讲柯西中值定理与洛必达法则2009

第14讲 柯西中值定理与洛必达法则 讲授内容 一、柯西中值定理 定理 6.5(柯西（cauchy ）中值定理) 设函数f 和g 满足 (i)在],[b a 上都连续；(ii)在(b a ,)上都可导；(iii))()(x g x f ''和不同时为零；(iv)),()(b g a g ≠ 则存在),,(b a ∈ξ使得 .) ()()()() ()(a g b g a f b f g f --=''ξξ 证：作辅助函数)).()(() ()()()()()()(a g x g a g b g a f b f a f x f x F ---- -=易见)(x F 在],[b a )上满足罗尔定理 条件，故存在),(b a ∈ξ，使得.0)() ()()()()()(='--- '='ξξξg a g b g a f b f f F 因为0)(≠'ξg (否则由上式)(ξf '也为零)，所以得证. 例1 设函数f 在[a,b])0(>a 上连续，在(b a ,)内可导，则存在),(b a ∈ξ，使得 .ln )()()(a b f a f b f ξξ'=- 证：设x x g ln )(=，显然它在],[b a 上与)(x f 一起满足柯西中值定理条件，于是存在b a ,(∈ξ)，使得

+ →0 lim x .1 )(ln ln )()(ξ ξf a b a f b f '= --整理便得所要证明的等式． 二、不定式极限 现在我们将以导数为工具研究不定式极限，这个方法通常称为洛必达(L ’Hospital)法则． 1． 0型不定式极限 定理6.6 若函数f 和g 满足：(i)0)(lim )(lim 0 ==→→x g x f x x x x ；(ii)在点0x 的某空心邻域)(0x U 内两者都 可导，且0)(≠'x g ；A x g x f x x =''→) ()(lim (A 可为实数，也可为±∞或)∞，则.) ()(lim ) ()(lim A x g x f x g x f x x x x =''=→→ 证：补充定义0)()(00==x g x f ，使得f 与g 在点0x 处连续．任取x ∈)(0x U ，在区间[x x ,0] (或[0,x x ]上应用柯西中值定理，有 ,) ()() ()()()(00ξξg f x g x g x f x f ''=--即 ) ()() ()(ξξg f x g x f ''= (ξ介于).0之间与x x 当令0x x →时,也有,0x →ξ使得.) ()(lim ) ()(lim ) ()(lim A x g x f g f x g x f x x x x x x =''=''=→→→ξξ 注意 若将定理6.6中0x x → 换成,,,,00∞→±∞→→→- +x x x x x x 也可得到同样的结论. 例2 求 .tan cos 1lim 2 x x x +→π 解：容易检验x x f cos 1)(+=与x x g 2 tan )(=在点π=0x 的邻域内满足定理6．6的条件(i)和(ii)，又因 2 12 c o s lim sec tan 2sin lim ) ()(lim 3 2 = -=-=''→→→x x x x x g x f x x x π π π 故由洛必达法则求得.2 1) ()(lim ) ()(lim = ''=→→x g x f x g x f x x π π 例3 求.) 1ln()21(lim 2 21 x x e x x ++-→ 解：利用)1ln(2 x +～),0(2 →x x 则得 x x e x x e x x e x x x x x x 2) 21(lim )21(lim ) 1ln()21(lim 2 10 2 2 1 2 2 1 - →→→+-=+-=++-=12 22 ) 21(lim 2 30 == ++- →x e x x 求 .1x e x - 例4

拉格朗日中值定理的推广及其应用

嘉应学院 本科毕业论文（设计） （2014届） 题目：拉格朗日中值定理的推广及其应用姓名：徐佳琳 学号：101010045 学院：数学学院 专业：数学与应用数学（师范） 指导老师：温坤文 申请学位：学士学位 嘉应学院教务处

摘要 拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一，在理论和应用上都有极其重要的意义.本文先对拉格朗日中值定理作了一定的阐述，并将其进行了推广，然后通过对几种类型问题的解决，对拉格朗日值定理的应用作一些探讨和归纳，以起到对定理的深入理解，熟悉掌握并能够正确应用的作用. 关键词：拉格朗日中值定理，定理的推广及应用，极限，不等式，级数的敛散性.

Abstract Lagrange mean value theorem is one of the basic theorem of differential calculus，It has extremely important meaning in the theory and application. This article first to make the Lagrange theorem certain, and put it to the promotion, then through several types on the solution of the problem,and it will make some discussions and studies on the application of lagrange mean value theorem .It’s purpose is to have in-depth understanding of theorem, the role of expert knowledge and be able to correct application. Keywords： Lagrange mean value theorem,The generalization and application of the theorem, The limit, Inequality, The convergence and divergence of the series.

中值定理证明题

中值定理证明题 1. 设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+. 【分析】)(x f 在[0,2a]上连续，条件中没有涉及导数或微分，用介值定理或根的存在性定理证明。辅助函数可如下得到 0)()(0)()()()(=-+→=-+→=+x f x a f f a f f a f ξξξξ 【证明】令)()()(x f x a f x G -+=，],0[a x ∈．)(x G 在[0,a]上连续，且 )()0()()2()(a f f a f a f a G -=-= )0()()0(f a f G -= 当)0()(f a f =时，取0=ξ，即有)()(ξξf a f =+； 当)0()(f a f =时，0)()0(

3.5拉格朗日中值定理与洛必达法则

子项目3.1 拉格朗日中值定理与洛必达法则 能力目标：了解拉格朗日中值定理及几何意义;掌握用洛必达法则求0 0和 ∞∞ 未定式的 极限. 任务引入： 求ln ln lim ,(0)x a x a a x a →->-的值. 任务分析： 对于这个极限,当x a →时,分子和分母同时都趋向于零,用我们原来几种求极限的方法都 不能解决,学了本项目以后我们将很轻松的求出这类极限的值. 相关知识：1.了解拉格朗日中值定理及其几何意义. 2.掌握用洛必达法则求0 0型和 ∞∞ 型未定式极限的方法. 一、拉格朗日(Lagrange)中值定理 Th 3.1（拉格朗日中值定理）： 设函数f (x )满足下列条件： (1)在闭区间[,]a b 上连续； (2)在开区间(,)a b 内可导， 则在(,)a b 内至少存在一点ξ,(ξ 与,a b 有关)，使得 a b a f b f f --= )()()('ξ． (3-1) 定理证明从略. 定理的几何意义：因为等式(5-1)的右面表示连接端点((,()),(,()))A a f a B b f b 的线段所在直线的斜率，定理表示，如果()f x 在[,]a b 上连续，且除端点,A B 外在每一点都存在切线，

那么至少有一点(,())P f ξξ处 的切线与A B 平行． 例1：验证2()f x x =在区间[1,2]上拉格朗日中值定 理成立，并求ξ． 解： 显然2()f x x =在[1,2]上连续且在(1,2)上可导，所以拉格朗日中值定理成立． '()2f x x =, 令 (2)(1) ()21 f f f x -=-，即32x =，得 1.5x =． 所以， 1.5ξ=． 例2：证明当0>>a b 时，不等式)(3)(32332a b b a b a b a -<-<-成立。 证：设3)(x x f =，[]b a x ，∈，则)(x f 在区间[]b a ，上连续，在()b a ，内可导，由拉格朗日定理，得)(3233a b a b -=-ξ()a b ξ<< 于是，有)(3)(32 3 3 2 a b b a b a b a -<-<-. 例3：证明不等式 a a b a b b a b -<<-ln 对任意0a b <<成立． 证：改写欲求证的不等式为如下形式： a a b a b b 1ln ln 1<--< ， (1) 因为ln x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，所以据拉格朗日中值定理有 ξ ξ 1 )(ln ln ln = '=--=x x a b a b ,()a b ξ<<， 因为a b ξ<<，a b 111<< ξ ，所以(1)成立．原不等式得证．