子项目3.1 拉格朗日中值定理与洛必达法则
能力目标：了解拉格朗日中值定理及几何意义;掌握用洛必达法则求0
0和
∞∞
未定式的
极限.
任务引入： 求ln ln lim
,(0)x a
x a a x a
→->-的值.
任务分析：
对于这个极限,当x a →时,分子和分母同时都趋向于零,用我们原来几种求极限的方法都
不能解决,学了本项目以后我们将很轻松的求出这类极限的值.
相关知识：1.了解拉格朗日中值定理及其几何意义.
2.掌握用洛必达法则求0
0型和
∞∞
型未定式极限的方法.
一、拉格朗日(Lagrange)中值定理
Th 3.1（拉格朗日中值定理）： 设函数f (x )满足下列条件：
(1)在闭区间[,]a b 上连续； (2)在开区间(,)a b 内可导，
则在(,)a b 内至少存在一点ξ,(ξ 与,a b 有关)，使得
a
b a f b f f --=
)()()('ξ． (3-1)
定理证明从略.
定理的几何意义：因为等式(5-1)的右面表示连接端点((,()),(,()))A a f a B b f b 的线段所在直线的斜率，定理表示，如果()f x 在[,]a b 上连续，且除端点,A B 外在每一点都存在切线，
那么至少有一点(,())P f ξξ处 的切线与A B 平行．
例1：验证2()f x x =在区间[1,2]上拉格朗日中值定 理成立，并求ξ．
解： 显然2()f x x =在[1,2]上连续且在(1,2)上可导，所以拉格朗日中值定理成立． '()2f x x =, 令 (2)(1)
()21
f f f x -=-，即32x =，得 1.5x =．
所以， 1.5ξ=．
例2：证明当0>>a b 时，不等式)(3)(32332a b b a b a b a -<-<-成立。
证：设3)(x x f =，[]b a x ，∈，则)(x f 在区间[]b a ，上连续，在()b a ，内可导，由拉格朗日定理，得)(3233a b a b -=-ξ()a b ξ<< 于是，有)(3)(32
3
3
2
a b b a b a b a -<-<-.
例3：证明不等式
a
a b a b b
a b -<<-ln
对任意0a b <<成立．
证：改写欲求证的不等式为如下形式：
a
a
b a b b 1ln ln 1<--<
， (1)
因为ln x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，所以据拉格朗日中值定理有
ξ
ξ
1
)(ln ln ln =
'=--=x x a
b a b ,()a b ξ<<，
因为a b ξ<<，a
b 111<<
ξ
，所以(1)成立．原不等式得证．
注：拉格朗日中值定理可以改写成另外的形式．如
'()()()()f b f a f b a ξ-=- 或'()()()()f b f a f b a ξ=+-,a b ξ<<； '00()()()()f x f x f x x ξ=+-, (ξ 在0,x x 之间)； (3-2)
'
()()()f x x f x f x ξ+?-=?或'
()y f x ξ?=?,
(;,[,])x x x x x x a b ξ<<+?+?∈； (3-3)
一般称(5-3)形式为拉格朗日中值定理的增量形式，其中的中间值ξ与区间端点有关．
推论1 如果'()0,(,)f x x a b ≡∈，则()f x C ≡((,)x a b ∈, C 为常数)，即在(,)a b 内
()f x 为一个常数函数．
证：在(,)a b 内任取两点12,x x (不妨设12x x <)．
因为12[,][,]x x a b ?，所以()f x 在12[,]x x 上连续，在12(,)x x 内可导．于是由拉格朗日
中值定理有 '
212112()()()(),()f x f x f x x x x ξξ-=-<<
又因对(,)a b 内一切x 都有'()0f x =．ξ在12,x x 之间，当然在(,)a b 内，所以'
()0f ξ=，于是得，21()()0f x f x -=，即 21()()f x f x =．
既然对于(,)a b 内任意两点12,x x 都有21()()f x f x =，那就说明()f x 在(,)a b 内是一个常数．
以前我们证明过“常数的导数等于零”，推论1说明它的逆命题也是对的．
推论2 如果'
'
()(),(,)f x g x x a b ≡∈，则()()f x g x C ≡+, ((,)x a b ∈, C 为常数)． 证： 因为'
'
'
[()()]()()0,(,)f x g x f x g x x a b -=-≡∈，据推论1，得
()()0,f x g x -≡, ((,)x a b ∈, C 为常数)， 移项即得结论．
二、洛必达法则
若当0x x →时，两个函数(),()f x g x 都是无穷小或无穷大，则求极限)
()(lim 0
x g x f x x →时不能直
接用商的极限运算法则，其结果可能存在，也可能不存在；即使存在，其值也因式而异．因此常把两个无穷小之比或无穷大之比的极限，称为00
型或
∞
∞型未定式（也称为
0型或
∞
∞型未
定型）极限．
1.
0型未定式
Th 2（罗必塔(L’Hospital )法则Ⅰ）：设函数()f x 和()g x 满足：
(1)0
lim ()0x x f x →=，0
lim ()0x x g x →=；
(2)函数(),()f x g x 在0x 的某个邻域内（点0x 可除外）可导，且'()0g x ≠；
(3)0
'()lim
'()
x x f x A g x →=, (A 可以是有限数，也可为,,∞+∞-∞)，
则 0
()'()lim lim ()
'()
x x x x f x f x A g x g x →→==．
注：法则对于,x x →∞→±∞时的0
0型未定式同样适用．
例4：求下列
0型未定式的极限
（1）ln ln lim
,(0)x a
x a a x a →->-； （2）x x
1
2
arctan lim
-+∞
→π
； （3）x
x x x 3
sin
sin lim
-→.
解：（1）这是0
0型未定式，由罗必塔法则，得
a
a x a x a
x a x x
a
x a
x a
x 11
lim
)()ln (ln lim
ln ln lim
1=
='
-'-=--→→→．
（2）这是
0型未定式，由罗必塔法则，得
111lim
1lim
lim
)()arctan (lim
arctan lim
2
22
12
21111
2
12
=+
=+=-
-='
'-=-+∞
→+∞
→++∞
→+∞
→+∞
→x
x x x
x x x
x x
x x
x
x x
ππ
．
（3）极限是0
型未定式，使用罗必塔法则得
x
x x x x x x
x x x x x cos sin
3cos 1lim
)(sin
)sin (lim sin
sin lim
2
3
3
-='
'-=-→→→；
最后的极限仍然是极限是0
0型未定式，继续使用罗必塔法则得 x
x x x
x x x x
x x x x x 3
2
3
sin
3cos sin 6sin lim
)cos sin
3()cos 1(lim
sin
sin lim
-=''-=-→→→
2
1
1lim
6cos 3sin 6
x x x
→==-．
2.
∞
∞型未定式
Th 3（罗必塔(L’Hospital )法则II ）：设函数()f x 和()g x 满足： (1)∞=→)(lim 0
x f x x ，∞=→)(lim 0
x g x x ；
(2)函数(),()f x g x 在0x 的某个邻域内（点0x 可除外）可导，且'
()0g x ≠； (3)0
'()lim
'()x x f x A g x →=, (A 可以是有限数，也可为,,∞+∞-∞)，
则 0
()'()lim lim ()
'()
x x x x f x f x A g x g x →→==．
注：与法则Ⅰ相同，定理对于,x x →∞→±∞时的∞
∞型未定式同样适用，并且对使用后的得
到的∞
∞或
0型未定式，只要导数存在，可以连续使用．
例5： 用洛必达法则求下列极限
（1）x
x x tan 3tan lim 2
π
→
； （2）x
x n
x ln lim +∞
→ (n 为自然数)； （3）x
n x e
x +∞
→lim (n 为自然数)．
解：（1）x
x x
x x
x x x x 3cos cos 3lim
sec
3sec 3lim
tan 3tan lim
2
2
2
2
2
2
2
π
π
π
→
→
→
==(
0型未定式 )
22
6cos (sin )sin 2lim
lim
2cos 3(3sin 3)
sin 6x x x x x x x x
π
π
→
→
-==-(
0型未定式)
2
2cos 21lim 6cos 63
x x x π
→
==．
（2）+∞===+∞
→-+∞
→+∞
→n
x x
n x n
x nx
nx
x x
lim lim
ln lim
1
1．
（3）0!lim
...)2)(1(lim
)1(lim
lim
lim 3
2
1===--=-==+∞
→-+∞
→-+∞
→-+∞
→+∞
→x
x x
n x x
n x x
n x x
n x e
n e
x
n n n e
x
n n e
nx e
x ．
例6：求x
x x x sin lim
-∞
→
解：1sin 111lim
sin lim
=-
=-∞
→∞
→x
x x
x x x x
（本例虽属于
∞
∞型，但是()()x
x x x x x cos 11lim
'
sin 'lim
-=-∞
→∞
→不存在，因此洛必达法则无效，应
考虑其他方法进行计算。）
在使用罗必塔法则时，应注意如下几点：
(1)每次使用罗必塔法则时，必须检验极限是否属于0
0型或
∞
∞型未定式，如果不是这种
未定式就不能使用该法则；
(2)如果有可约因子，或有非零极限的乘积因子，则可先约去或提出，然后再利用罗必
塔法则，以简化演算步骤；
(3)当)
(')('lim x g x f 不存在时，并不能断定)
()(lim x g x f 不存在，此时应使用其他方法求极限．
例7： 证明x
x x
x sin sin lim
12
→存在，但不能用罗必塔法则求其极限． 证：2
10
sin 11lim
lim
sin lim
lim sin
0sin sin sin x
x x x x x x x x x x
x
x
x
x
→→→→==?=，
所给的极限存在为0．
又因为这是00
型未定式，可利用罗必塔法则，得
x
x x
x x
x
x x
x cos cos
sin
2lim
sin sin lim
110
12
-=→→，
最后的极限不存在，所以所给的极限不能用罗必塔法则求出．
3.其他类型的未定式
对函数(),()f x g x 在求0,,x x x x →→∞→±∞的极限时，除00
型与
∞
∞型未定式之外，
还有下列一些其他类型的未定式：
(1)0?∞型：f 的极限为0、g 的极限为∞或相反，求()()f x g x ?的极限； (2)∞-∞型：,f g 的极限为∞，求()()f x g x -的极限； (3)1∞型：f 的极限为1、g 的极限为∞，求()
()g x f x 的极限；
(4)0
0型：,f g 的极限为0，求()
()
g x f x 的极限；
(5) 0∞型：f 的极限为∞、g 的极限为0，求()
()
g x f x 的极限．
这些类型的极限，也不能机械地使用极限的运算法则来求，其极限的存在与否因式而异．
这些类型的未定式，可按下述方法处理：对（1）（2）两种类型，可利用适当变换将它们
化为0
0型或
∞
∞型未定式，再用罗必塔法则求极限；对（3）（4）（5）三种类型未定式，则直接
用)(ln )(lim )(ln )()(lim )(lim x f x g x f x g x g e e x f ==化为0?∞型．
例8：求下列极限
（1） 0lim ln ,(0)n x x x n →+
>； （2）)ln 11
(
lim 1x
x x x -
-+
→； （3）x
x x 1
lim +∞
→．
解：（1）这是0?∞型未定式，可将其化为∞
∞型未定式．
0lim
lim
ln lim
ln lim 01
1
000=-=-==+
→--+
→-+
→+
→n x
nx
x
x x x n
x n x
x n
x n
x ．
（2）这是∞-∞型未定式，通过“通分”将其化为0
0型未定式．
x
x x x x x x x
x x x x x
x x 1111ln 11ln lim
ln )1(1ln lim
)ln 11
(
lim -+
→+
→+
→+
-+=-+-=-
-
2
111
111ln 1lim
lim
ln 12
x
x x x
x
x
x x →+
→+===
+-
+
．
（3）这是0∞型未定式，将其化为0?∞型，再将其∞
∞型未定式．
1ln ln 11lim
lim
ln 0
1lim lim lim 1x
x x
x
x x x
x x x x e
e
e e e →+∞→+∞
?→+∞
→+∞
→+∞
======．
练习题3-1 1. 判断题
(1)设函数()f x 在[,]a b 上有定义，在(,)a b 内可导，()()f a f b =，则至少有一点
(,)a b ξ∈，使'
()0f ξ=；
(2)设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且在[a ,b ]上有'
'
()()f x g x ≤ ，则有
()()()()f b f a g b g a -≤-；
(3)设函数()f x 在[,]a b 上可导．若()()f a f b ≠，则不存在(,)a b ξ∈，使'
()0f ξ=．
2.
对函数()[1,4]f x x =∈，写出拉格朗日中值
)(')()(ξf a
b a f b f =-- ，并求ξ．
3. 求下列极限: (1)lim
m m n
n
x a
x a x a
→-- (2)2
ln(1)ln(1)
lim
x x x →∞
++
(3)2
tan 1sec 3
lim
x x x π
→
+- (4)sin 3tan 5lim
x x x
π
→
(5)8
lim
x x e x
→∞
(6)2
lim
x
x e
x x
-→-∞
+
(7)0
ln cot ln lim
x x x
+
→ (8)0
2(1)
lim
x
x x
x e e
x
x e -→---
在安全工作领域著名的海恩法则与 墨菲定律 欧阳家百（2021.03.07） 一、墨菲定律主要内容表述是：“事情如果有变坏的可能，不管这种可能性有多小，它总会发生。”在安全管理方面的表述“只要存在发生事故的原因，事故就一定会发生”，而且“不管其可能性多么小，但总会发生，并造成最大可能的损失”。墨菲定律在安全管理方面的启示：1、不能忽视小概率危险事件。由于小概率事件在一次生产或活动中发生的可能性很小，麻痹了人们的安全意识，加大了事故发生的可能性，其结果是事故可能频繁发生。“认为小概率事件不会发生”是导致侥幸心理和麻痹大意思想的根本原因。对任何事故隐患都不能有丝毫大意，不能抱有侥幸心理，或对事故苗头和隐患遮遮掩掩，而要想一切办法，采取一切措施加以消除，把事故消灭在萌芽状态。2、只要客观上存在危险，那么危险迟早会变成为不安全的现实状态。所以，预防和控制的前提是要辨识人们活动领域里固有的或潜在的危险，并告诫人们预防什么，并如何去控制。要求人们不仅要重视已有的危险，还要主动地去识别新的危险，变事后管理为事前与事后管理相结合，变被动管理为主动管理，牢牢掌握安全管理的主动权。 二、海恩法则的定义： 海恩法则指出: 每一起严重事故的背后，必然有29次轻微事故
和300起未遂先兆以及1000起事故隐患。海恩法则告诉我们，事故案件的发生看似偶然，其实是各种因素积累到一定程度的必然结果。任何重大事故都是有端倪可查的，其发生都是经过萌芽、发展到发生这样一个过程。如果每次事故的隐患或苗头都能受到重视，那么每一次事故都可以避免。法则强调两点：一是事故的发生是量的积累的结果；二是再好的技术，再完美的规章，在实际操作层面，也无法取代人自身的素质和责任心。法则提醒人们：事故背后有征兆，征兆背后有苗头。即使有一些小事故发生，可能是避免不了或者经常发生，也应引起足够的重视，要及时排除。“海恩法则”实际上告诉了我们这样一个道理，在安全生产中，哪怕提前防控和治理了999起事故隐患，但只要有一起被忽略，就有可能诱发严重事故。对于生产现场存在的安全隐患任何时候都不能疏忽，安全这根弦任何时候都不能松。 海恩法则给企业管理者提供了一种生产安全管理的方法，即发现并控制征兆。具体怎么做：1、事前评估风险——岗位分析评估，提前发现和评估岗位可能存在的安全风险，培养员工提前感知事故先兆的敏感性，主动消除安全隐患和提前根据风险防范措施规避安全风险； 2、事中检查监督——开展检查和监督，一方面通过检查及时发现和治理事故隐患，另一方面通过现场监督及时发现和制止违章指挥、违章作业行为； 3、事后总结反思——本单位发生事故后，要分析总结事故原因，举一反三查找类似事故隐患，制定相应防范措施；其他单位发生事
谈谈拉格朗日中值定理的证明 引言 众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学 应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数. 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述. 1罗尔()Rolle 中值定理 如果函数()x f 满足条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；（3）()()b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点ζ ,使得()0'=ζf 罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线()x f y =在点B A ,处的纵坐标相等，那么，在弧 ? AB 上至少有一点()(),C f ζζ ，曲线在C 点的切线平行于x 轴，如图1， 注意 定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于()b a ,的ζ，使得()0'=ζf . 这就是说定理的条件是充分的，但非必要的. 2拉格朗日()lagrange 中值定理
若函数()x f 满足如下条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；则在()b a ,内至少存在一点ζ，使()()()a b a f b f f --= ζ' 拉格朗日中值定理的几何意义：函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧 ? AB 上至少有一点C ，曲线在C 点的切线平行于弦AB . 如图2， 从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若()x f 在闭区间[]b a ,两端点的函数值相等，即()()b f a f =，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数()x f 作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理. 3 证明拉格朗日中值定理 3.1 教材证法 证明 作辅助函数 ()()()()f b f a F x f x x b a -=-- 显然，函数()x F 满足在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，而且 ()()F a F b =．于是由罗尔中值定理知道，至少存在一点ζ()b a <<ζ，使 ()()()()0''=--- =a b a f b f f F ζζ.即()()()a b a f b f f --=ζ'. 3.2 用作差法引入辅助函数法 证明 作辅助函数 ()()()()()()?? ???? ---+-=a x a b a f b f a f x f x ? 显然，函数()x ?在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，()()0==b a ??，因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得 ()()()()0''=---=a b a f b f f ζζ?，即 ()()()a b a f b f f --=ζ' 推广1 如图3过原点O 作OT ∥AB ，由()x f 与直线OT 对应的函数之差构成辅助函数()x ?，因为直线OT 的斜率与直线AB 的斜率相同，即有：
拉格朗日中值定理是微分学中最重要的定罗尔定理来证明。理之一，它是沟通函数与其导数之间的桥梁，也是微分学的理论基础。一般高等数学教材上，大都是用罗尔定理证明拉朗日中值定理，直接给出一个辅助函数，把拉格朗日定理的证明归结为用罗尔定理，证明的关键是给出—个辅助函数。 怎样构作这一辅助函数呢?给出两种构造辅助函数的去。 罗尔定理：函数满足在[a，b止连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈)==o (如图1)。 拉格朗日定理：若f(x)满足在『a，b』上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在_ ∈，使(如图2). 比较定理条件，罗尔定理中端点函数值相等，f ，而拉格朗日定理对两端点函数值不作限制，即不一定相等。我们要作的辅助函数，除其他条件外，一定要使端点函数值相等，才能归结为: 1.首先分析要证明的等式：我们令 (1) 则只要能够证明在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈ t就可以了。 由有，f(b)-tb=f(a)-ta (2) 分析(2)式，可以看出它的两边分别是F(X)=f(x)-tx在b,a观点的值。从而，可设辅助函数F(x)=f(x)-tx。该函数F(x)满足在{a.b{上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=F(b) 。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F。(∈)=O。也就是f(∈)-t=O，也即f(∈ )=t，代人(1 )得结论 2.考虑函数
我们知道其导数为 且有 F(a)=F(b)=0. 作辅助函数，该函数F(x)满足在[a，b]是连续，在(a，b)内可导，且f F 。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F’ 从而有结论成立.
中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ 海恩法则心得 “海恩法则”是德国飞机涡轮机的发明者德国人帕布斯·海恩提出一个在航空界关于飞行安全的法则，他指出：每一起严重事故的背后，必然有29次轻微事故和300起未遂先兆以及1000起事故隐患。 1:29:300:1000这是一组非常令人警醒的数字。从大量的安全事故本身原因来看，我们发现这样一个事实：那就是安全事故多发生在生产过程中，而且，许多安全问题的根源就是质量问题。如操作人员在生产过程中，违反生产工艺规程、检验规程、设备操作规程安全操作规程，这就可能发生安全事故：有些员工对发生的质量问题处置不当，这也是造成安全事故的主要原因之一。 针对“海恩法则”这篇文章，我从中联想到。如果我们从质量管理的角度去认识质量安全问题，用“海恩法则”的管理理论和方法来监控质量，将会更加有效地避免一些质量事故的发生。”海恩法则”中指出“问题成堆”与”墨菲定律”中指出的“差错难免”相辅相成共同制定安全生产方案，共同保障安全生产。 一、首先要加强人员的质量意识，要从环节上下功夫。再完美的流程，再完善的规章，在实际操作层面，也无法取代操作者自身的素质和责任心。这就需要每一个人都要有主人翁意识，对于自己所用的辅助材料性质怎么样？机组运行情况如何？成本怎样算都应该去 了解，这样，才知道应该怎样去控制，从哪个方面去控制，鼓励持续改进，不断对所有细节上的问题进行改进。以循环兼治，环环相扣的制度体系去监管，才能在生产过程中有效的减少质量事故。也能相对的降低生产成本，同样也能避免质量安全事故的发生。为保障产品质量安全，企业在质量管理方面应当站在一个高的起点，去看待每一个细小的隐患和漏洞。全面导入产品生产的质量管理理念，建立独立于生产管理的质量保证体系。加强产品实现过程的质量检查和质量监督，在解决产量、成本、质量发生冲突时，从根本上杜绝牺牲质量的思想痼疾。实现质量管理理念的转变，从而提高质量。 二、为保障产品质量安全，质量问题的处理应具备由“堵”向“疏”的转变。由质量问题责任追究和结果考核，向原因分析、持续推行质量改进的转变。质量问题的发生必然有其产生的原因，如果一味追究责任和进行经济处罚，会导致隐瞒小问题，最终集结成大质量事故，为此倡导提出问题，商讨改进和预防措施，避免同样的问题重复发生。采用不定期召开质量分析会的方式。通过分析，对产生的或可能产生的质量问题进行原因分析，找出问题产生的根源，研究并制定出质量问题的解决方法和预防措施。以此来解决一些反复出现的，重复性质量事故。 古人云：“先其未然谓之防，发而止之谓之救，行而责之谓之戒。防为上，救次之，戒为下。”以此反思我们的工作，就是提醒我们牢 一拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理，又被称为有限增量定理，是微积分中的一个基本定理。拉格朗日中值公式的形式其实就是泰勒公式的一阶展开式的形式。在现实应用当中，拉格朗日中值定有着很重要的作用。拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理当中使用最为普遍的定理。 拉格朗日中值定理的形成和发展过程都显示出了数学当中的一个定理的发展是一个推翻旧，出现创新的一个进程。发现一些新的简单的定理去替代旧的复杂的定理，就是由初级走向高级。 用现代的语言来描述，在一个自变量x从x变为x+1的过程中，如果函数f(x)本身就是一个极限值，那么函数f(x+1)的值也应该是一个极限值，其值就应该和f(x)的值近似相等，即 这就是非常著名的费马定律，当一个函数在x=a处可以取得极值，并且函数是可导函数，则。著名学者费马再给出上述定理时，此时的微积分研究理论正处于初始阶段，并没有很成熟的概念，没有对函数是否连续或者可导作出限制，因此在现代微积分理论成熟阶段这种说法就显得有些漏洞。 在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗日中值定理。最初的拉格朗日中值定理和现在成熟的拉格朗日中值定理是不一样的，最初的定理是函数f(x)在闭区间[a,b]任取两点，并且函数在此闭区间是连续的，的 最大值为A，最小值为B，则的值必须是A和B之间的一个值。这是拉格朗日定理最初的证明。 下述就是拉格朗日中值定理所要求满足的条件。 如果存在一个函数满足下面两个条件，（1）函数f 在闭区间[a，b]上连续；（2）函数f 在开区间（a，b）可导；那么这个函数在此开区间至少存在着一点，使得. 拉格朗日中值定理是导数的一个延伸概念，在导数运算中是的很基本概念。 例1：函数 分类号 编号 本科生毕业论文（设计） 题目拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用 作者姓名常正军 专业数学与应用数学 学号 2 9 1 0 1 0 1 0 2 研究类型数学应用方向 指导教师李明图 提交日期 2 0 1 3 - 3 - 1 5 论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交毕业论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 论文作者签名：年月日 摘要拉格朗日中值定理是微积分学三大基本定理中的主要定理，它在微积分中占据极其重要的地位，有着广泛地应用。关于它的证明，绝大多数教科书采用作辅助函数的方法，然后利用罗尔中值定理的结论证明拉格朗日中值定理来证明。罗尔中值定理是其的特殊形式，而柯西中值定理是其的推广形式，鉴于微分中值定理的广泛地应用，笔者将从以下几个不同的角度探讨拉格朗日中值定理中辅助函数的构造，以及几个方面的应用加以举例。 关键词：拉格朗日中值定理辅助函数的构造证明及应用 Abstract Lagrange mean value theorem is the main theorem of calculus three basic theorem, It occupies an important status and role in the calculus, has wide application. Proof of it, the vast majority of textbooks by using the method of auxiliary function, and then use the conclusion of Rolle's theorem to prove the Lagrange mean value theorem. Rolle mean value theorem is a special form of it, and Cauchy's theorem is extended form of it, given the widely application of the differential mean value theorem. This paper will discuss the construction of auxiliary function of the Lagrange mean value theorem from several following different angles, and several applications for example. Keyword: Lagrange mean value theorem The construction of auxiliary function Proof and Application 海恩法则与墨菲定律 WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8- 海恩法则与墨菲定律 在安全工作领域，有个着名的“海恩法则”，它是由德国飞行员帕布斯·海恩对多起航空事故深入分析研究后得出的。海恩认为，任何严重事故都是有征兆的，一起特别重大事故背后有30起事故，每个事故背后，还有300次左右的事故苗头，以及上千个事故隐患，要消除一次严重事故，就必须敏锐而及时地发现这些事故征兆和隐患并果断采取措施加以控制或消除。 海恩法则告诉我们，事故案件的发生看似偶然，其实是各种因素积累到一定程度的必然结果。任何重大事故都是有端倪可查的，其发生都是经过萌芽、发展到发生这样一个过程。如果每次事故的隐患或苗头都能受到重视，那么每一次事故都可以避免。 “墨菲定律”，源自一个名叫“墨菲”的美国上尉，他认为“只要存在发生事故的原因，事故就一定会发生”，而且“不管其可能性多么小，但总会发生，并造成最大可能的损失”。墨菲定律的另一种描述是，“人们做某件事情，如果存在一种错误的做法，迟早会有人按照这种错误的做法去做。”这就告诉我们，对任何事故隐患都不能有丝毫大意，不能抱有侥幸心理，或对事故苗头和隐患遮遮掩掩，而要想一切办法，采取一切措施加以消除，把事故案件消灭在萌芽状态。 现实中，人们往往等到出了问题之后才忙于做处理事故、案件的“事后”工作，召开各种会议进行反思，总结教训，最后得出“惨痛结论”。亡羊补牢，加强防范，这无疑是必要的。但安全工作最好的办法还是将着力点和重心前 移，在找事故的源头上下功夫，见微知着，明察秋毫，及时发现事故征兆，立即消除事故隐患。 中值定理的应用方法与技巧 中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分。微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述。积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。积分第一中值定理为大家熟知，即若)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f b a -=?ξ。积分第二中值定理为前者的推广，即若)(),(x g x f 在[a,b]上连续，且)(x g 在[a,b]上不变号，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得??=b a b a dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。 一、 微分中值定理的应用方法与技巧 三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明，也可应用于恒等式及不等式证明。由于三大中值定理的条件和结论各不相同，又存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数，套用相应的中值定理进行证明。这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。 例一．设)(x ?在[0,1]上连续可导，且1)1(,0)0(==??。证明：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得b a b a +='+') ()(η?ξ?成立。 证法1：任意给定正整数a ，令)()(,)(21x x f ax x f ?==，则在[0,1]上对)(),(21x f x f 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a a =--=')0()1(0)(??ξ?。 任意给定正整数b ，再令)()(,)(21x x g bx x g ?==，则在[0,1]上对)(),(21x g x g 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈η，使得b b b =--=') 0()1(0)(??η?。 两式相加得：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得 b a b a +='+') ()(η?ξ? 成立。 证法2：任意给定正整数b a ,，令)()(,)(21x x f ax x f ?==，则在[0,1]上对 第三章中值定理及导数的应用 一．验证罗尔中值定理、拉格朗日中值定理的条件及结论是否成立 要牢记三个中值定理成立的条件及其结论。 例1．验证：在上满足拉氏定理的条件，并求出定理 结论中的点. 解：（一）1.由，知在处连续，从而在上连续； 2.按左、右导数的定义不难求出从而在 内 可导，且 因此，在上满足拉氏定理的条件. （二）由拉氏定理的结论：，使 .不难算得：或. 注意：中值定理中结论只保证中间值的存在性，至于是否唯一，不唯一时有几个，如何求？定理本身并未指出. 二．利用拉格朗日中值定理证明不等式（尤其是双向不等式） 利用拉格朗日中值定理证明不等式的一般方法是；先根据所要证明的不等式的特点作一辅助函数，并恰当选择相应的闭区间；然后利用拉格朗日中值定理，得到一个含中值的等式，最后适当放大或缩小不等式即可. 例2.证明：对. 证明：设，则.在上由拉氏定理知， 即：.() 例3.证明：对. 例4．证明：对. 大家自己证明，这两个结论要记住. 三．利用中值定理证明等式成立（或方程有无根） 例5．设在上连续，在内可导，且证明：使 证明：（分析寻找合适的辅助函数应用罗尔中值定理，采用倒推的方法分析。 命题只须证，使 ，或者. 故令。显然，且在上连续，在内可导，从而由罗尔定理知，，使 例6．设，证明方程有三个实根，并且它们分别位于区间（见书第105页） 例7．证明方程只有一个正根.(反证). 拉氏定理有两个重要的的推论，也要会记会用. 推论1：若对任意，则 例8.证明：. 证明：设， 则，， 所以，由推论1， 推论2:若对于，则. 四．洛必达法则 我们在第一章曾注意到，考试时考察得最多的求极限问题要么是型，要么是。对付这种问题，我们根据具体情形曾给出了因式分解约零因子、根式有理化约零因子、等价无穷小替换、凑重要极限等方法。现在有一个著名的法则——洛必达法则，可用一招统一解决大部分的或的极限问题。 现在先回顾一下洛必大达法则的条件及结论： 第一种：型的洛必达法则 设函数满足： （1）； （2）在的某个去心邻域内，都存在 ； （3）存在（或为）. 则，存在（或为）. 第二种．型的洛必达法则 设函数满足： （1）； （2）在的某个去心邻域内，都存在， ； （3）存在（或为）. 麻醉安全之墨菲定律和海恩法则 发表者：王亚平(访问人次：441) 现代麻醉学的诞生给外科手术病人带来了巨大的福音，是现代医学发展的重要里程碑，从一百岁的老者到才出世的婴儿，从简单的阑尾炎手术到复杂的心脏手术，麻醉使一切复杂、精细的外科手术成为可能，同时，在倡导无痛医疗、人文关怀的今天，麻醉医师活跃在医院的各个领域（手术室、危急重症抢救与复苏、疼痛诊疗、无痛胃肠镜、无痛人流、无痛电休克治疗、无痛分娩、术后镇痛、各种微创介入治疗等）。麻醉科已成为医院最重要的学科之一，并逐步成为医院中保障医疗安全的关键学科；推动“舒适化医疗”的主导学科；提高医院工作效率的枢纽学科；协调各科关系的中心学科；为社会所熟知并认可的重点学科（全国麻醉学会主委于布为语）。然而，麻醉自从诞生的那一天起，麻醉安全就一直是广大麻醉医生、相关学科医疗工作者、医院管理者、乃至患者等关心、关注的重要话题。 在安全生产领域（如航空、电力、建筑、交通运输等行业），有两条重要的安全法则，警示人们：安全事故时刻有可能发生，也一直在发生；一切事故的发生都是量的积累，在事故发生前，都会有隐患、有未遂先兆事故、有轻微事故，最后才会出现严重的事故。这就是墨菲 定律和海恩法则。 上世纪中叶，美国空军的一名工程师、火箭专家爱德华·墨菲（Edward A. Murphy）进行了一次火箭实验，这个实验的目的是为了测定人类对加速度的承受极限。其中有一个实验项目是将16个火箭加速度计悬空装置在受试者上方，当时有两种方法可以将加速度计固定在支架上，而不可思议的是，竟然有人有条不紊地将16个加速度计全部装在错误的位置。于是墨菲作出了一个著名的论断：如果有两种或两种以上的选择，而其中一种将导致灾难，则必定有人会作出这种可以导致灾难的选择。（If there are two or more ways to do something, and one of those ways can result in a catastrophe, then someone will do it）这一论述后来被逐步成为一条安全规则：只要存在发生事故的原因，事故就一定会发生。而且不管其可能性多么小，但总会发生，并造成最大可能的损失。墨菲进一步用数理统计的理论解释：在数理统计中，有一条重要的统计规律：假设某意外事件在一次实验活动中发生的概率为p>0，则在n次实验活动中至少有一次发生的概率为（坏事件发生的概率）：pn=1-(1-pn)，无论概率p多么小即小概率事件，当n越来越大时，pn越来越接近1。应用于安全管理，即做任何一件事情，如果客观上存在着一种错误的做法，或者存在着发生某种事故的可能性，不管发生的可能性有多小，当重复去做这件事时，一定会有某人按照错误的做法去做，事故总会在某一时刻发生。也就是说，只要发生事故的可能性存在，不管可能性多么小，这个事故迟早会发生。人们把这个结论称为“墨菲定律”。这一定律被誉为二十世纪西方文化的三大发现 之一。 “墨菲定律”给人们一个重要的警示：应时刻警惕错误的发生，尤其是一些不可思议的错误的发生。在临床麻醉等医疗活动中，一些极少的失误，将可能会导致极其严重的后果，关乎患 者的生命安危。 1993年12月22日，对山东潍坊医学院附属医院来说是个非同寻常的日子，该院历史上第一例心脏外科手术经过周密的部署即将举行。为了这第一次能取得成功，该院数月来厉兵秣马，从院长、手术医生、麻醉医生到护士，各方人员严阵以待。术前，主刀医生一次又一次 谈谈拉格朗日中值定理的证明 引言 众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学 应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数. 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述. 1罗尔() Rolle中值定理 如果函数()x f满足条件：()1在闭区间[]b a,上连续；()2在开区间()b a,内可导；（3）()()b f a f=,则在()b a,内至少存在一点ζ ,使得()0 '= ζ f 罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线()x f y=在点B A, 处的纵坐标相等，那么，在弧 ? AB 上至少有一点()(),C f ζζ ，曲线在C 点的切线平行于x 轴，如图1， 注意 定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于()b a ,的ζ， 使得()0'=ζf . 这就是说定理的 条件是充分的，但非必要的. 2拉格朗日()lagrange 中值定理 若函数()x f 满足如下条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间 ()b a ,内可导；则在()b a ,内至少存在一点ζ，使()()()a b a f b f f --=ζ' 拉格朗日中值定理的几何意义：函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧 ? AB 上至少有一点C ，曲线在C 点的切线平行于弦 AB . 如图2， 从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若()x f 在闭区间[]b a ,两端点的函数值相等，即()()b f a f =，则拉格朗日中值定理就是罗尔中 墨菲定律和海恩法则 美国空军的一名工程师、火箭专家爱德华·墨菲（Edward A. Murphy）进 行了一次火箭实验，这个实验的目的是为了测定人类对加速度的承受极限。其中有一个实验项目是将16个火箭加速度计悬空装置在受试者上方，当时有两种方法可以将加速度计固定在支架上，而不可思议的是，竟然有人有条不紊地将16 个加速度计全部装在错误的位置。于是墨菲作出了一个著名的论断：如果有两种或两种以上的选择，而其中一种将导致灾难，则必定有人会作出这种可以导致灾 难的选择。（If there are two or more ways to do something, and one of those ways can result in a catastrophe, then someone will do it）这一论述 后来被逐步成为一条安全规则：只要存在发生事故的原因，事故就一定会发生。而且不管其可能性多么小，但总会发生，并造成最大可能的损失。墨菲进一步用数理统计的理论解释：在数理统计中，有一条重要的统计规律：假设某意外事件 在一次实验活动中发生的概率为p>0，则在n次实验活动中至少有一次发生的概率为（坏事件发生的概率）：pn=1-(1-pn)，无论概率p多么小即小概率事件，当n越来越大时，pn越来越接近1。应用于安全管理，即做任何一件事情，如 果客观上存在着一种错误的做法，或者存在着发生某种事故的可能性，不管发生的可能性有多小，当重复去做这件事时，一定会有某人按照错误的做法去做，事故总会在某一时刻发生。也就是说，只要发生事故的可能性存在，不管可能性多么小，这个事故迟早会发生。人们把这个结论称为“墨菲定律”。这一定律被誉为二十世纪西方文化的三大发现之一。 在安全生产领域，还有另一条重要的法则，即海恩法则，德国人海恩是一名飞行员，也是飞机涡轮机的发明者，他在总结数起航空事故后，指出：每一起严 重事故的背后，必然有29次轻微事故和300起未遂先兆以及1000起事故隐患。 海恩法则强调两点：一是事故的发生是量的积累的结果；二是再好的技术，再完美的规章，在实际操作层面，也无法取代人自身的素质和责任心，任何安全事故都是可以预防的。按照海恩法则分析，当一件重大事故发生后，我们在处理事故本身的同时，还要及时对同类问题的“事故征兆”和“事故苗头”进行排查处理，以此防止类似问题的重复发生，及时解决再次发生重大事故的隐患，把问题解决在萌芽状态。 拉格朗日中值定理的 应用 总结拉格朗日中值定理的应用 以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，尤其是拉格朗日中值定理。他建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数研究函数的性态。中值定理的主要作用在于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数单调性、取极值、凹凸性、拐点等项重要函数性态提供重要理论依据，从而把握函数图像的各种几何特征。总之，微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。而拉格朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下的一个定理，我们需要对其能够熟练的应用，这对高等数学的学习有着极大的意义！ 拉格朗日中值定理的应用主要有以下几个方面：利用拉格朗日中值定理证明（不）等式、利用拉格朗日中值定理求极限、研究函数在区间上的性质、估值问题、证明级数收敛。首先我想介绍几种关于如何构造辅助函数的方法。 凑导数法。：这种方法主要是把要证明的结论变形为罗尔定理的结论形式， 凑出适当的函数做为辅助函数，即将要证的结论中的换成X，变形后观察法凑成F’(X)，由此求出辅助函数F(x)．如例1. 常数值法：在构造函数时；若表达式关于端点处的函数值具有对称性，通 常用常数k值法来求构造辅助函数，这种方法一般选取所证等式中含的部分 作为k，即使常数部分分离出来并令其为k，恒等变形使等式一端为a与f(a)构成的代数式，另一端为b与．f(b)构成的代数式，将所证式中的端点值(a或b)改为变量x移项即为辅助函数f(x),再用中值定理或待定系数法等方法确定k，一般来说，当问题涉及高阶导数时，往往考虑多次运用中值定理，更多时要考虑用泰勒公式．如例3. 倒推法：：这种方法证明方法是欲证的结论出发，借助于逻辑关系导出已知的条件和结论．如例4。 海恩法则及墨菲定律 Modified by JACK on the afternoon of December 26, 2020 海恩法则与墨菲定律 ? 在安全工作领域，有个着名的“海恩法则”，它是由德国飞行员帕布斯〃海恩对多起航空事故深入分析研究后得出的。 海恩认为，任何严重事故都是有征兆的，一起特别重大事故背后有30起事故，每个事故背后，还有300次左右的事故苗头，以及上千个事故隐患，要消除一次严重事故，就必须敏锐而及时地发现这些事故征兆和隐患并果断采取措施加以控制或消除。 海恩法则告诉我们，事故案件的发生看似偶然，其实是各种因素积累到一定程度的必然结果。任何重大事故都是有端倪可查的，其发生都是经过萌芽、发展到发生这样一个过程。如果每次事故的隐患或苗头都能受到重视，那么每一次事故都可以避免。 “墨菲定律”，源自一个名叫“墨菲”的美国上尉，他认为“只要存在发生事故的原因，事故就一定会发生”，而且“不管其可能性多么小，但总会发生，并造成最大可能的损失”。墨菲定律的另一种描述是，“人们做某件事情，如果存在一种错误的做法，迟早会有人按照这种错误的做法去做。”这就告诉我们，对任事故隐患都不能有丝毫大意，不能抱有侥幸心理，或对事故苗头和隐患遮遮掩掩，而要想一切办法，采取一切措施加以消除，把事故案件消灭在萌芽状态。现实中，人们往往等到出了问题之后才忙于做处理事 故、案件的“事后”工作，召开各种会议进行反思，总结教训，最后得出“惨痛结论”。亡羊补牢，加强防范，这无疑是必要的。但安全工作最好的办法还是将着力点和重心前移，在找事故的源头上下功夫，见微知着，明察秋毫，及时发现事故征兆，立即消除事故隐患。 微分中值定理的进一步探讨 □ 孙 莹 摘要： 微分中指定理中的 C auchy 中值定理与Lagrange 中值定理是数学分析学习内容的重中之重，其具有较强的理论性,其揭示函数与其导数之间的关系,在知识结构和思想体系中建立起应用导数进一步研究函数性质的桥梁。我们在处理数学证明题中会经常用到这两个定理，但是课本中给出的证明方法单一而且独特，较难掌握，为弥补此不足之处，本课题将帮助大家多角度地了解微分中值定理的证明方法，以便更深刻地理解Cauchy 中值定理与Lagrange 中值定理，学会用多种方法处理同一问题的思想。 关键词： C auchy 中值定理；Lagrange 中值定理；常数k 法；行列式法；坐标旋转法 文章一开始先给出Roller 中值定理，因为Cauchy 中值定理和Lagrange 中值定理的多种证明过程都会用到Roller 中值定理的结论。然后给出北师大版的数学分析上册书中的Cauchy 中值定理和Lagrange 中值定理及其证明过程，目的在于让读者发现其与其它证明方法的联系。 定理1 （Roller 中值定理） 若()f x 满足如下条件： ()i 在[,]a b 上都连续； ()ii 在(,)a b 上都可导； ()iii )()(b f a f =， 则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得0)('=ξf 。 定理2 （Cauchy 中值定理）[1] ()f x ，()g x 满足以下几个条件： ()i 在[,]a b 上都连续； ()ii 在(,)a b 上都可导 ()iii )('x f 和)(' x g 不同时为零 )(iv )()(b g a g ≠ 则存在ξ(,),a b ∈使得 ''()()()()()() f f b f a g g b f a ξξ-=-。 海恩法则的定义 海恩法则：任何安全事故都是可以预防的。 海恩法则是德国飞机涡轮机的发明者德国人帕布斯·海恩提出一个在航空界关于飞行安全的法则。海恩法则指出: 每一起严重事故的背后，必然有29次轻微事故和300起未遂先兆以及1000起事故隐患。 虽然这一分析会随着飞行器的安全系数增加和飞行器的总量变化而发生变化，但它确实说明了飞行安全与事故隐患之间的必然联系。当然，这种联系不仅仅表现在飞行领域，在其他领域也同样发生着潜在的作用。 按照海恩法则分析，当一件重大事故发生后，我们在处理事故本身的同时，还要及时对同类问题的“事故征兆”和“事故苗头”进行排查处理，以此防止类似问题的重复发生，及时解决再次发生重大事故的隐患，把问题解决在萌芽状态。 编辑本段海恩法则的精髓 海恩法则强调两点：一是事故的发生是量的积累的结果；二是再好的技术，再完美的规章，在实际操作层面，也无法取代人自身的素质和责任心。 编辑本段海恩法则的应用 在安全管理中的应用 “海恩法则”多被用于企业的生产管理，特别是安全管理中。许多企业在对安全事故的认识和态度上普遍存在一个“误区”：只重视对事故本身进行总结，甚至会按照总结得出的结论“有针对性”地开展安全大检查，却往往忽视了对事故征兆和事故苗头进行排查；而那些未被发现的征兆与苗头，就成为下一次火灾事故的隐患，长此以往，安全事故的发生就呈现出“连锁反应”。一些企业发生安全事故，甚至重特大安全事故接连发生，问题就出在对事故征兆和事故苗头的忽视上。“海恩法则”对企业来说是一种警示，它说明任何一起事故都是有原因的，并且是有征兆的；它同时说明安全生产是可以控制的，安全事故是可以避免的；它也给了企业管理者生产安全管理的一种方法，即发现并控制征兆。 具体来说，利用“海恩法则”进行生产的安全管理主要步骤如下： 1.首先任何生产过程都要进行程序化，这样使整个生产过程都可以进行考量，这是发现事故征兆的前提； 2.对每一个程序都要划分相应的责任，可以找到相应的负责人，要让他们认识到安全生产的重要性，以及安全事故带来的巨大危害性； 海恩法则与安全管理 "海恩法则"是德国人帕布斯·海恩提出的，海恩指出：每一起严重事故的 背后，必然有29次轻微事故和300起未遂先兆以及1000起事故隐患。法则强 调两点：一是事故的发生是量的积累的结果；二是再好的技术，再完美的规章，在实际操作层面，也无法取代人自身的素质和责任心。 "海恩法则"告诉我们，事故的发生看似偶然，其实是各种因素积累到一定 程度的必然结果。任何重大事故都是有端倪可查的，其发生都是经过萌芽、发展、到发生这样一个过程。如果每次事故的隐患或苗头都能受到重视，那么每 一次事故都可以避免。可见，平时只有精心，关键时才能放心；平时只有周全，关键时才能安全。能不能做到精心、周全，一丝不苟，说到底是事业心、责任 感问题。所以，在日常安全管理工作中，我们应当消除安全管理中"运气"的消 极思想，坚定"事故可以预防"的信心，以高度的责任感和积极主动的态度，把 安全稳定工作抓到位。只要存在发生事故的原因，事故就一定会发生。而且不 管其可能性多么小，但总会发生，并造成最大可能的损失。这就告诉我们，对 任何事故隐患都不能有丝毫大意，不能抱有侥幸心理，或对事故苗头和隐患遮 遮掩掩，而要想一切办法，采取一切措施加以消除，把事故消灭在萌芽状态。 在事故发生后，及时召开会议进行反思，总结教训，这种"亡羊补牢"的办法，无疑是必要的。但安全工作最好的办法还是将着力点和重心前移，在找事 故的源头上下功夫，见微知著，明察秋毫，及时发现事故征兆，立即消除事故 隐患。公司最近组织开展全员安全隐患排查工作，我们要有这种认识：每排查 一处隐患就可能防止了一起重大事故。安全隐患排查就要注重群策群力，光指 望管理人员在办公室去想是发现不了隐患的。让全体职工共同想办法、出点子，让每个人意识到"防事故人人有责，人人关心防事故"，如此，防事故的意识增 强了，责任到位了，防范得力了，必能防患于未然。 在安全生产中，要把危机管理放在第一位，变被动付学费为超前预防抓细节，把对结果的控制转向对过程的控制。因为事故并不是凭空产生的，同"温水煮青蛙"一样，都有一个渐进的过程。在这个过程中，若每一位职工都能时刻提高警惕，超前思考，预见事故的可能性，把隐患消灭在结果发生之前，就能最 届学士学位毕业论文 关于拉格朗日中值定理的几种特殊证法 学号： 姓名： 班级： 指导教师： 专业： 系别： 完成时间：年月 学生诚信承诺书 本人郑重声明：所呈交的论文《关于拉格朗日中值定理的几种特殊证法》是我个人在导师王建珍指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得长治学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：日期： 论文使用授权说明 本人完全了解长治学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 签名：日期： 指导教师声明书 本人声明：该学位论文是本人指导学生完成的研究成果，已经审阅过论文的全部内容，并能够保证题目、关键词、摘要部分中英文内容的一致性和准确性。 指导教师签名：时间： 摘要 拉格朗日中值定理在高等代数和数学分析的一些理论推导中起着重要作用,本论文为了更准确的理解拉格朗日中值定理,介绍了其几种特殊的证明方法.首先本文从分析和几何的角度构造辅助函数对拉格朗日中值定理进行了证明,其中在分析法构造辅助函数中应用了推理法、原函数法、行列式法及弦倾角法,在几何法构造辅助函数中应用了作差构造法、面积构造法和旋转坐标轴法;其次,应用了区间套定理证明法和巴拿赫不动点定理证明法对拉格朗日中值定理进行了证明;最后,本文为能将拉格朗日中值定理表述更为深刻,还将其应用到求极限,证明函数性态等具体问题中. 关键词：拉格朗日中值定理;区间套定理;巴拿赫不动点定理《海恩法则》心得
拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理证明中辅助函数构造及应用
海恩法则与墨菲定律修订稿
(完整版)中值定理的应用方法与技巧
中值定理、洛必达、函数单调性、极值、最值,凹凸性的应用
麻醉安全之墨菲定律和海恩法则
谈谈拉格朗日中值定理的证明(考研中的证明题)
墨菲定律和海恩法则
拉格朗日中值定理的应用
海恩法则及墨菲定律
柯西与拉格朗日中值定理的多种证明方法
海恩法则的定义
海恩法则与安全管理
(整理)拉格朗日中值定理的几种特殊证法
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