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浅析数学分析中的若干矛盾
作者：董治强， Dong Zhi-qiang
作者单位：哈尔滨师范大学文理学院数学系 黑龙江哈尔滨150301
刊名：
佳木斯教育学院学报
英文刊名：Journal of Juamjusi Education Institute
年，卷(期)：2012(1)
参考文献(4条)
1.宋天鉴;张玲数学分析中的若干矛盾 1996(05)
2.宋天鉴;张玲再谈数学分析中的若干矛盾
3.张玲;宋天鉴数学分析中的若干矛盾 1998(5-6)
4.姬春秋;潘伟;王振东微积分中的辩证思想 2008
本文链接：https://www.doczj.com/doc/3711597641.html,/Periodical_jmsjyxyxb201201063.aspx
数学分析中的英文单词和短语 第一章实数集与函数
第二章 数列极限 Chapter 2 Limits of Sequences 第三章 函数极限 Chapter 3 Limits of Functions 第四章 函数的连续性 Chapter 4 Continuity of Functions
第六章 微分中值定理 及其应用 Chapter 6 Mean Value Theorems of Differentials and their Applications
第七章 实数的完备性 Chapter 7 Completeness of Real Numbers 第八章 不定积分 Chapter 8 Indefinite Integrals 第九章 定积分 Chapter 9 Definite Integrals
第十章定积分的应用Chapter 10 Applications of Definite Integrals 第十一章反常积分Chapter 11 Improper Integrals 第十二章数项级数Chapter 12 Series of Number Terms 第十三章函数列与函数项级数 Chapter 13 Sequences of Functions and
Series of Functions 第十四章 幂级数 Chapter 14 Power Series 第十五章 傅里叶级数 Chapter 15 Fourier Series 第十六章 多元函数的极限与连续 Chapter 16 Limits and Continuity of Functions of Several Variavles
渤海大学数理学院 毕业论文 论文题目：简述数学分析中的基本内容和方法 系别：数学系 专业年级：数学与应用数学专业07级 姓名：王迪 学号：07020176 指导教师：王长忠 日期：2011年5月20日
目录 一、数学分析中的研究对象 (3) 二、数学分析的基本内容 (3) 三、数学分析中的基本概念和相互关系 (3) 1.极限概念 (4) 2.连续和一致连续的概念 (5) 3.收敛和一致收敛概念 (6) 4.导数概念 (6) 5.微分概念 (7) 6.原函数和不定积分 (7) 7.定积分 (8) 8.一元函数中极限、连续、导数、微分之间的关系 (8) 9.多元函数中，极限、连续、偏导数、方向导数和全微分之间的关系 (9) 10.连续与一致连续的关系 (9) 11.收敛和一致收敛的关系 (9) 12.连续、不定积分和定积分的关系 (10) 13.微分和积分的关系 (10) 四、数学分析的主要计算 (11) 1.极限的求法 (12) 2.微分学中的计算 (13) 3.积分学中的计算 (14) 4.无穷级数中的计算 (14) 五、数学分析的主要理论 (15) 1.实数的连续性和极限的存在性 (16) 2.连续函数的基本性质 (17) 3.微分学的基本定理和泰勒公式 (18) 4.积分中的理论 (19) 5.无穷级数和广义积分的敛散性 (20) 6.函数级数和广义参变量积分的一致收敛性 (21) 六、数学分析的基本方法 (21) 七、数学分析教学内容的初步实践与思考 (22)
简述数学分析中的基本内容和方法 王迪 （渤海大学数学系辽宁锦州121000中国） 摘要：数学分析的基础是实数理论。实数系最重要的特征是连续性，有了实数的连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分。正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起严密的数学分析理论体系。应全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。 关键词：极限，微分，积分，近似。 Contents and methods of mathematical analysis Wang di (Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract:Mathematical analysis is based on the theory of real numbers. The real number system is the continuity of the most important feature, with the continuity of real numbers to discuss the limit, continuity, differentiation and integration. It is in discussing the function of the various limits of the legitimacy of the process of operation, it gradually established system of rigorous mathematical theory. Mathematical analysis should be fully grasp the basic theory of knowledge; develop logical thinking and rigorous reasoning ability; people with good computing power and skills; improve the mathematical model, and apply the tools of calculus to solve practical problems. Key word: Limits, differentiation, integration, and similar.
一、单项选择题 1.关于古埃及数学的知识，主要来源于( )。 A.埃及纸草书和苏格兰纸草书 B.兰德纸草书和莫斯科纸草书 C.莫斯科纸草书和希腊纸草书 D. 兰德纸草书和尼罗河纸草书 2.以“万物皆数”为信条的古希腊数学学派是( )。 A.爱奥尼亚学派 B.伊利亚学派 C.诡辩学派 D.毕达哥拉斯学派 3.最早记载勾股定理的我国古代名著是( )。 A.《九章算术》 B.《孙子算经》 C.《周髀算经》 D.《缀术》 4.首先使用符号“0”来表示零的国家或民族是( )。 A.中国 B.印度 C.阿拉伯 D.古希腊 5.欧洲中世纪漫长的黑暗时期过后，第一位有影响的数学家是( )。 A.斐波那契 B.卡尔丹 C.塔塔利亚 D.费罗 6.对微积分的诞生具有重要意义的“行星运行三大定律”，其发现者是( )。 A.伽利略 B.哥白尼 C.开普勒 D.牛顿 7.对古代埃及数学成就的了解主要来源于( ) A.纸草书 B.羊皮书 C.泥版 D.金字塔内的石刻 8.公元前4世纪，数学家梅内赫莫斯在研究下面的哪个问题时发现了圆锥曲线？( ) A.不可公度数 B.化圆为方 C.倍立方体 D.三等分角 9.《九章算术》中的“阳马”是指一种特殊的( ) A.棱柱 B.棱锥 C.棱台 D.楔形体 10.印度古代数学著作《计算方法纲要》的作者是( ) A.阿耶波多 B.婆罗摩笈多 C.马哈维拉 D.婆什迦罗 11.射影几何产生于文艺复兴时期的( ) A.音乐演奏 B.服装设计 C.雕刻艺术 D.绘画艺术 12.微分符号“d”、积分符号“”的首先使用者是( ) A.牛顿 B.莱布尼茨 C.开普勒 D.卡瓦列里 13.作为“非欧几何”理论建立者之一的年轻数学家波尔约是( )
《数学分析》中关于极限概念教学的一点探讨 作者：张彩霞 来源：《科技创新导报》2011年第12期 摘要:在初学数学分析时,共有二十八种极限概念,这些极限概念是数学分析的基础,学生对各种极限概念的理解程度直接影响到对这门课程学习的成败。教师在教学过程中要引导学生将各种极限概念的定性描述准确地转化为定量描述,并能深刻理解,逐渐灵活运用。 关键词:数学分析极限概念教学 中图分类号:G6 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)04(c)-0147-02 《数学分析》课程是大学数学系一门重要的基础课,对这门课程学习的好坏,直接影响到学生思维能力的形成及对后续课程的接受能力。学生从高中刚入大学,学习内容从原来的具体到抽象、从离散到连续、从有限到无限,使学生感到《数学分析》很难,特别是刚开始接触各种极限概念的定量描述,理解起来很吃力.而数学分析这门课程就其自身而言,有着理论上的严密性和前后的连贯性,极限概念是数学分析的基石,学生对各种极限概念的理解程度直接影响到对这门课程学习的成败。本人在教学过程中,深刻体会到关于极限概念教学的重要性。 在初学数学分析时,就有二十八种极限概念(包括正常极限和非正常极限),教师在教学过程中的任务是引导学生将这二十八种极限概念从定性描述准确地转化为定量描述。并使学生对各种极限概念的定量描述能深刻理解,逐渐灵活运用。 1 正常极限概念 1.1 数列极限概念 数列极限的概念是最开始要学习的极限概念,如果学生对这个概念能准确理解的话,对于理解接下来要学习的函数极限概念就容易多了,所以对数列极限概念的教学至关重要。 首先观察数列:: 特征:当无限增大时,无限接近于 此时称该数列收敛于0,或称0为该数列的极限。 “无限增大”和“无限接近”是对数列变化性态的一种形象描述,是定性的说明,而不是定量的描述,这在数学上无法进行严谨地论证。所以我们要定量地描述该数列的特征。
反例在中学数学中的应用 摘要：摘要：反例在中学数学教学中的运用十分的广泛。本文阐述了反例在中学数学教学中的主要的功能，研究并分析了反例教学在教学过程中应该需要引起注意的事项以及反例的应用方面的具体内容。 关键词： 一前言 数学中的反例一般是指为了推翻一个数学命题，必须建立在已经被证明是正确的理论和逻辑的基础之上。对于数学命题的真假的判断是中学数学的教学中的重要内容。对于一些数学的命题的真假的判断，需要经过严格的数学证明。数学的证明题在数学的教学中运用十分的广泛。数学的证明就是根据以前的已经被证明是正确的定义、公式、公理等，经历过严格的数学的推理过程，从而得出假设的命题的正确与否。但是，在中学数学的教学应用中，有许多的证明必须通过反例来证明。比如在数学中为了证明数学命题“若A则B”这样的一个命题是假命题，需要找出一个对象符合条件A但是却不具有性质B，这样的一种数学的解题方法就是一种反例的运用。中学数学的教育教学需要不断的培养和提高学生使用反例以及构建反例的技能。但是，现如今，许多的学生在反例的构建和应用上水平仍然很差，本文重点分析反例在中学数学中的功能以及其的具体运用。 二反例在中学数学教学中的作用功能 （一）通过反例能促进学生对于数学的概念的认识 在数学的理论和方法中，概念是基础性的内容。因此，中学数学教师在数学的概念的教学中应该善加运用正面的例子来促进学生对于数学概念的本质属性的认知，另外还必须十分的巧妙灵活的使用反例在强化学生对于概念的认识。比如，在对中学的函数进行概念的讲授的时候，学生中有的会以偏概全的认为。为了处理这样一种片面的认识，教师在教学的过程中可以通过反例来纠正这个错误：非负数x 与它的平方根y是函数关系？这个一个反例的举出可以引起学生的讨论。通过讨论可以认识到虽然y与非负数x具有关联性，但是在x自变量发生了变化的时候，y并不是只有唯一的值与x相对，因此，并不符合函数的相关的定义。这就是反例在函数中的具体的运用。 （二）通过反例可以否定一个错误的命题 正如前言中所述，反例是对一个错误的数学命题的否定的最佳的途径。通过反例，进行严格的数学的证明和分析，可以有效的推翻一个错误的数学命题。最直接的办法就是找到这个命题的一个实例证明其在特殊的条件下是不成立的。 （三）反例可以有效的纠正错误 在中学数学的教学实践中可以发现，许多学生对于数学的解题的方法和知识掌握还不够成熟，对于数学的方法和解题的技巧还不够全面，容易导致学生在解题的过程中出现许多的细节上的错误。因此，在证明自己的解题是否正确的时候，通过一般的途径很难正确的检查出来。因此，这个时候，反例的运用会大大的提高学生的解题的效率和准确性。 （四）反例可以加强命题的条件的掌握 学生在对于数学公式、定理、公理等的学习和掌握中，可以强化对于命题的条件，在教学的过程中发现，许多的学生很容易忽视数学的命题的前提条件。因此，在实际的教学过程中，应该巧妙的运用反例，从而达到对于命题的条件的强化。比如下面这个例子。命题的前提条件是，b+a=a+b=a+b=k，求k的值。对于这样一个问题。一般学生的思路会在等比数列这个定理之上。但是，许多的学生对于等比数列并不能够熟练的掌握，对于等比数列的前提条件容易忽视。因此，许多学生解出的答案是：k=（b+）（a+b）（a+）a+b+=2。但是，如果运用反例来证明这道数学题的结果，就会很容易发现，当a=2，b==-1时，k=-1。通过反例
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试论数学分析中极限的化归转化思想方法 作者：杨丽星 作者单位：丽江师范高等专科学校数理系 刊名： 科技信息 英文刊名：SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION 年，卷(期)：2010，""(12) 被引用次数：0次 参考文献(18条) 1.华东师大教学系.《数学分析》.高等教育出版社,1991 2.复旦大学数学系.《数学分析》.高等教育出版社,1983 3.解思泽,赵树智.《数学思想方法纵横论》.科学出版社,1987 4.明清河.《教学分析的思想与方法》.山东大学出版社,2004 5.徐利治.《数学方法论选讲》.华中工学院,1988 6.张雄,李得虎.《数学方法论与解题研究》.高等教育出版社,2003 7.米山国藏.《教学的精神、思想和方法》.四川教育出版社,1986 8.史九一,朱梧槚.《化归与归论化联想》.江苏教育出版社,1989 9.解思泽,徐本顺.《数学思想方法》.山东教育出版社,1995 10.M.克莱因.《古今数学思想》.上海科技社,1981 11.王仲春,李元中.《数学思维与数学方法论》.高等教育出版社,1989 12.喻平.《数学问题化归理论与方法》.广西师大出版社,1999 13.钱吉林等.《数学分析题解精粹》.崇文书局,2003 14.杨永平.运用化归思想,探索解题途径,数学通报,1994(08) 15.凌瑞壁.浅谈数学分析中的化归思想.广西教育学报,1995(02) 16.陈向阳.浅谈数学分析中的化归思想和化归法.桂林教育学院学报,1996(03) 17.黄焕萍.倒析数学分析中的化归思想方法.广西师院学报,1997(01) 18.林远华.化归思想在数学分析解题中的应用.河池师专学报,2002(02) 本文链接：https://www.doczj.com/doc/3711597641.html,/Periodical_kjxx201012407.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：7949722f-5a15-4b0c-928e-9dcf008e8a3f 下载时间：2010年8月11日
数学分析中求极限的方法总结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下： 定理１.１: (1 (2（３)若B ≠ （(5）[] 0lim ()lim () n n n x x x x f x f x →→??==A ???? （n 为自然数) i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商. 例1。 求225 lim 3 x x x →+-的极限 解:由定理中的第三式可以知道 ()()22222 lim 55lim 3lim 3x x x x x x x →→→++=-- 22 2 2 2 lim lim5 lim lim3x x x x x x →→→→+= + 2259 23+ ==-- 例２． 求3 x →
33 22 x x →→ = 3 x→ = 1 4 = 式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可例３。已知() 111 1223 1 n x n n =+++ ??-?, 解：观察 11 =1 122 - ? 111 = 2323 - ? 因此得到() 111 12231 n x n n =+++ ??-? 1111111 1 22 11 n n n =-+-+-+- -- 所以 1 lim lim11 n n n x n →∞→∞ ?? =-= ? ?? 2 利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x) 如果 ()( ) 00 lim lim x x f x x f x y x x ?→?→ +?- ? = ?? 存在， 则此极限值就称函数f(x) () 'f x。 即
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/3711597641.html, 初中数学教学中反例的运用 作者：黄绪富 来源：《新教育时代·学生版》2019年第23期 摘要：随着初中数学教学改革工作的持续推进，越来越多的教师开始意识到现有教学模式所带来的弊端，单一枯燥的教学方法使得学生缺乏自由思考空间，难以有效激发学生的数学学习热情。本文以反例的运用作为研究的切入点，从反例在数学教学中的应用内涵出发，论述了反例运用对于提升数学教学效果的重要性，在此基础上阐述了反例在数学教学中的应用策略，希望能够提升反例在数学教学中的应用效果的同时，从而取得理想教学效果，为全面培育学生的数学核心素养奠定基础。 关键词：初中数学数学教学反例的运用 一、反例在数学教学中的应用内涵 所谓的反例运用指的是在数学的学习过程中结合数学理论从而确切指出不成立的命题，引导学生能够站在新的角度来审视数学知识点。与传统的数学学习方式相比，反例的运用不仅是对原有命题学习的一种挑战，而且通过展现数学知识点中的逻辑矛盾让学生找出学习的切入点，更好的理解数学知识。在一定关系环境下，数学知识是不具有互相矛盾这样的属性，但是通过反例的运用能够让学生准确的判断数学知识点中的错误的结论，加深学生对数学知识点的理解。传统的数学教学模式使得学生只懂得在给定的命题条件以及适用范围的基础上进行解题，导致学生往往容易忽略给定的命题条件以及适用范围对于数学知识点构建的重点性。借助于反例能够帮助学生实现数学知识点的二次归纳总结，引导学生站在新的角度看待数学知识点，从而加强学生的记忆与理解。[1] 二、反例运用对于提升数学教学效果的重要性 一方面，作为逻辑性较强的一门学科之一，学生在学习数学时不仅需要掌握恰当的学习方法，还需要具备相应的学习耐心。数学的学习需要学生始终秉持着严谨的态度，一旦没有严谨的态度，那么将会因为对数学条件以及内容的理解错误从而导致“失之毫厘，谬以千里”问题的产生，使得解题错误率大幅度的上升。另一方面，反例的运用能够实现学生在数学学习领域中发散思维的有效培育，切实做到举一反三。与此同时，反例的运用还能够实现命题条件以及适用范围等数学知识的转换，引导学生能够顺利地掌握相应的变式训练，进而增强学生对于数学知识的理解。初中阶段的数学学习属于基础数学之一，教学的目的在于帮助学生构建系统化的数学解题思路，为其接下来数学知识的终身学习奠定良好的基础。然而，大部分的学生在接触一个知识点或概念时，由于尚未构建系统化的数学思维，容易出现理解上的偏差。通过運用反例的形式，能够加深学生对做错题目的印象，增强学生数学逻辑推理能力的同时，帮助学生更好地掌握数学知识点。[2]
《数学史》教学大纲 课程编号：学分：总学时：54 适用专业：数学与应用数学开课学期： 先修专业：无后续课程：无 一、课程的性质、目的和要求 （一）课程的性质：选修课程。 （二）课程教学目的：能够以数学的、历史的眼光分析数学发展的内在原因，运用辩证唯物主义的哲学方法剖析数学发展史。 （三）课程基本要求：全面了解数学历史的发展过程，了解各个时期主要数学家的生平事迹和对数学发展的贡献，掌握重要的数学事件，理解主要的数学理论的形成过程以及历史文化背景。 二、本课程主要教学内容及时间安排 第一章：综述（８学时） 1、教学基本要求：分三阶段综合叙述数学历史发展过程，掌握各阶段的框架和脉络，理解中外各主要数学中心发展、转移、变化的过程。 2、教学重点：在教学上要求把握一个整体、三个阶段的特点（古典数学、近代数学和现代数学）。 3、教学难点： 4、本章知识点：⒈数学历史发展过程（5学时），作业量：1。 ⒉主要数学中心发展、转移、变化的过程（3学时），作业量：1。 第二章：东、西方初等数学的代表作（4学时） 1、教学基本要求：通过全面了解东、西方初等数学的代表作，即中国的《九章算术》和古希腊的《几何原本》的内容、背景和特点，把握两者的深刻的思想内涵和学术文化特征。 2、教学重点：把握《九章算术》和《几何原本》深刻的思想内涵和学术文化特征。 3、教学难点： 4、本章知识点：⒈数学历史发展过程（2学时），作业量：1。 ⒉主要数学中心发展、转移、变化的过程（2学时），作业量：1。 第三章：作图工具与计算工具（2学时） 1、教学基本要求：通过中、西方古代作图工具、计算工具的形成、发展过程的介绍，重点把握古希腊作图手段——尺规作图法，以及中国古代著名的计算工具——算筹的具体情况和历史背景。 2、教学重点：把握古希腊作图手段——尺规作图法，以及中国古代著名的计算工具——算筹的具体情况和历史背景。 3、教学难点：尺规作图法。 4、本章知识点：⒈尺规作图法及算筹的具体情况和历史背景。（2学时），作业量：1。 第四章：初等几何（2学时） 1、教学基本要求：沿着数的起源、发展的历史轨迹，重点了解记数的方法、数的运算以及数系扩充的历史发展过程，突出中国十进位制的历史地位和功绩，理解在数的扩充过程中，人类所表现出的困惑、好奇和对未知世界执着探索的精神状态。 2、教学重点：数系扩充的历史发展过程。 3、教学难点： 4、本章知识点：⒈数系扩充的历史发展过程。（2学时），作业量：1。 第五章：算术（2学时） 1、教学基本要求：了解自然数是基数与序数的统一，把握正负数的定义及分数的运算法则，
数学分析中极限的求法 摘要:本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法, 1：利用两个准则 求极限, 2:利用极限的四则运算性质求极限, 3:利用两个重要极限公式求极限, 4：利用单侧极限求极限，5：利用函数的连续性求极限, 6：利用无穷小量的性质求极限, 7：利用等价无穷小量代换求极限, 8：利用导数的定义求极限, 9：利用中值定理求极限, 10：利用洛必达法则求极限, 11：利用定积分求和式的极限,12：利用级数收敛的必要条件求极限, 13：利用泰勒展开式求极限, 14：利用换元法求极限。 关键词: 夹逼准则, 单调有界准则, 无穷小量的性质, 洛必达法则, 中 值定理, 定积分, 泰勒展开式, 级数收敛的必要条件. 极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数y ＝f(x)在0x x =处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以下两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。 1：利用两个准则求极限。 (1)夹逼准则：若一正整数 N,当n>N 时，有n x ≤n y ≤n z 且lim lim ,n n x x x z a →∞→∞==则 有 lim n x y a →∞ = . 利用夹逼准则求极限关键在于从n x 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{ } n y 和 { } n z ，使得n n n y x z ≤≤。 例[1] 222111 ....... 1 2 n x n n n n = + ++++ 求n x 的极限 解：因为n x 单调递减，所以存在最大项和最小项
编译原理中处理语法错误问题的研究 摘要：本文分析了编译系统以及其错误处理能力对于程序设计语言的重要性，对其中处理语法错误问题进行了深入研究，并从语法错误的诊察与报告，到利用递归下降分析法对错误进行恢复和纠正处理，直至最后的限制重复报告错误信息及其中涉及的关键技术进行了介绍，从而帮助学习者和开发者牢固掌握相关的理论和技术。 关键词：编译系统；语法错误处理；递归下降分析法 1 前言 在计算机应用领域，目前多数用户都是通过高级语言实现所需要的计算。而对于任何高级语言来说，其编译系统内容丰富，具有严密的逻辑性，对提高学习者和开发者的计算机软件素质具有很大作用，使其不但能认识计算机信息处理的实质，还可以综合运用所学的软件设计技术来分析解决问题[1]。因此，编译系统是计算机系统软件最重要的组成部分之一，也是用户最直接关心的工具之一，它不但要接受程序语言的所有标准定义，以便源代码实现跨平台的可移植性，还必须生成高效、正确的目标代码。因此编译系统本身是一个大而复杂的程序，值得我们深入分析研究。 我们知道，在编译原理的学习和编译系统的构建过程中，语法分析是其中最为重要的一个组成部分。而在实际的编译系统中，语法分析器的错误处理能力与其构造原理和技术一样重要，这通常是编译原理教学环节中容易忽视的地方，不利于学习者进行实际的编译系统的开发工作。因此，本文对C++编译系统中递归下降的语法分析过程进行了研究，找到了发现并纠正语法错误问题的有效方法。 2 语法错误 编程人员在编写程序时，很难一次就将程序写的完美无误，尤其是一些比较复杂的程序，往往会存在程序错误。程序错误的种类有很多，比如违反语言的语法和语义规定的错误，源程序超出了计算机系统的某种限制而引发的错误，等等。其中语法错误是指源程序中含有不符合语法规则的成分时所产生的错误，一般是有关语言结构上的错误，如单词拼写错、表达式中缺少操作数、begin和end不匹配等。
本科生毕业设计（论文）数学教学中的反例教学研究 二级学院：数学与计算科学学院 专业：数学与应用数学 年级：2009级 学号：2009224721 作者姓名：陈颖 指导教师：梁英讲师 完成日期：2013年5月1日
目录 1 研究背景 (1) 1.1学生的数学学习现状 (1) 1.2文献评述，研究现状 (2) 1.3本文的工作 (2) 2 关于数学反例 (2) 3开展反例教学的三种典型情况 (3) 3.1数学概念中的反例教学 (3) 3.1.1数学概念的易错易混淆性 (3) 3.1.2数学概念中的典型反例教学 (4) 3.1.3关于数学概念反例教学的作用 (6) 3.2数学性质、定理中的反例教学 (6) 3.2.1数学的性质、定理教学 (6) 3.2.2数学性质、定理的典型反例教学 (7) 3.2.3反例有助突出定理、性质的关键词 (9) 3.3数学解题过程中的反例教学 (10) 3.3.1数学题的求解与反例的构造 (10) 3.3.2构造反例解题的应用举例 (10) 3.3.3反例在解决问题中的意义 (15) 4 小结 (15) 4.1数学中反例教学的功能 (15) 4.2反例教学的注意事项................................................................................................ 16
数学教学中的反例教学研究 作者陈颖指导教师梁英讲师 （湛江师范学院数学与计算科学学院，湛江 524048） 摘要：本文从概念教学、定理教学及解题教学三个方面，论述了反例教学的方法和作用。 关键词：反例；数学教学；概念教学；定理教学；解题教学 Study on the Counter Examples in Mathematical Teaching Chen Ying Mathematics and Computational Science School, Zhanjiang Normal College, Zhanjiang, 524048 China Abstract: Methods and effect of counter examples teaching are discussed from concept teaching, theorem teaching and problem-solving teaching. Key Words: counter example;mathematical teaching; concept teaching;theorem teaching;problem- solving teaching 1 研究背景 我们知道，《全日制数学义务教育课程标准（实验版）》中强调：“能够通过观察、实验、归纳、类比获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例”；“通过具体例子理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的”，这表明反例的教学应始终贯穿于教师的教和学生的学的整体过程中． 1.1学生的数学学习现状 学生往往不够重视概念、定理中的条件和关键词，加上部分学生一直习惯被动学习，又或者学不得法，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背，赶做作业，乱套题型．同时学生的认知水平和要求掌握的知识能力之间存在矛盾，倾向“题海战术”和“大运动量”重复训练，结果是事倍功半，收效甚微．从心理学角度来看，无论处于哪个年龄阶段的学生的自我认知都不够完全清晰、准确，应试教育的氛围容易导致学生的功利性过强，性格浮躁和对学习的目
浅谈数学分析中的数学思想 李静 赤峰学院 10级 数学与统计学院 数学与应用数学2班 10041100332 摘要: 在学习数学分析中，首先接触到的就是关于数学名词的概念问题，那么毫无疑问，深入了解概念是学习掌握数学分析的第一要务；在掌握了概念之后，接下来就是运算能力以及对数学符号的熟识程度；然后就是在学习过程中及做题中学习实践的做题技巧，这就逐渐形成了数学思想方法。 数学知识中蕴含的思想方法是极其丰富的,尤其是隐藏于数学知识背后的数学思想的价值不可忽视.本文对数学分析内容中的函数思想、极限思想、连续思想、数形结合思想、化归思想进行初步的分析. 关键词: 数学分析; 数学思想; 分析 一、函数思想 函数概念和函数思想的提出和运用,使得变量数学诞生了,常量数学发展到变量数学,函数思想起了决定性作用.函数是数学分析的研究对象.函数思想就是运用函数的观点,把常量视作变量、化静为动、化离散为连续,将待解决的问题转化为函数问题,运用函数的性质加以解决的一种思想方法.在数学分析中,我们通常用来解决不等式的证明、方程根的存在性与个数、级数问题、数列极限等. 例1 证明 当0x >时,()2 ln 12 x x x -<+. 分析 这是一个不等式证明问题,直接证明有一定难度,但是将此问题转化为函数问题的单调性,即可解决问题. 证明 构造辅助函数()f x =()2ln 12x x x +-+,则()f x '=111x x -++,可证当0x > 时,()0f x '>,因此单调递增.又因为()00f =,所以当0x >时, ()()00f x f >=,即原不等式成立. 例2 判断() ()1ln 111 n n n n ∞=+-+∑的敛散性. 分析 这是一个级数问题,该级数为交错级数.从函数的观点出发,化离散为连续,转化为函数问题,运用函数的性质,从而解决问题. 解 该级数为交错级数,由莱布尼兹判别法知,要判断其敛散性,只需判断通项的绝对值
浅谈学习数学史对数学教育的意义 冷泠 （长江师范学院数计院，重庆涪陵 408100） 摘要：一般来说，在学理的学生眼中的历史是枯燥乏味、死板无趣的。而数学呢，在填鸭式的教学、题海战术的攻击下，部分学生在努力学习的同时，却逐渐对数学感到了厌烦与冷漠。那么，当“乏味”的历史遇上“枯燥”的数学时，会有什么样的火花呢？ 关键词：《普通高中数学课程标准（实验）》；数学史；教育 《普通高中数学课程标准（实验）》中明确指出：通过数学史的学习能使学生“体会数学对人类文明发展的作用，提高学习数学的兴趣，加深对数学的理解，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神。”因此，为了让我们全面了解数学科学，为了我们能够更深刻的了解数学教育的目的，更是为了让我们进一步认识数学史在数学教育中的地位和价值，充分发挥数学史知识在进行素质教育方面的重要作用。那么，以下我就对数学史的教育功能作一探讨： 1、学习数学史使人明智。 一般来说，在学理的学生眼中的历史是枯燥乏味、死板无趣的。而数学呢，在填鸭式的教学、题海战术的攻击下，部分学生在努力学习的同时，却逐渐对数学感到了厌烦与冷漠。那么，当“乏味”的历史遇上“枯燥”的数学时，会有什么样的火花呢？一味的急功近利，为了考试而学习。这些都极大的影响了学生们学习的效果。因此，要从思想上改变同学们对数学的看法，就显得额外的重要。我们在数学的教学中学习中就更不能忽略数学的美，不能忽略数学史的历史意义。 列宁曾说：“一种科学的历史是那门科学最宝贵的一部分，科学只能给我们知识，而历史却能给我们以智慧。”数学史不仅可以给我们带来的精深的数学知识，还可以让我们感受到知识的创造过程。然而通过对这种创造过程的了解，又可以使学生们体会到更细微的、更谨慎的数学思维过程，这不仅仅是教科书中那些天衣无缝、失去了生气与天然的被标本化了的数学。从这个意义上说，数学史可以引导我们创造一种探索与研究的课堂气氛，这不仅可以激发学生对数学的兴趣，还能够培养他们的探索精神。并且历史上还有很多著名问题的提出与解决方法，都是十分有助于他们理解和掌握所学的知识内容的。虽然说填鸭式的教学、
数学分析中求极限的方 法总结 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
数学分析中求极限的方法总 结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下： 定理：如果0 x x lim f x =,lim g x =x x →→A B （）（） （1）[]0 lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±=A ±B （2）[]0 x x lim f x g x =lim f x)lim ()x x x x g x →→→??=A?B （）（）（ （3）若B ≠0 （4）0 x lim c ()lim ()x x x f x c f x c →→?=?=A （5） [] 0lim ()lim ()n n n x x x x f x f x →→??==A ????（n 为自然数） 上述性质对于,,x x x →∞→+∞→-∞也同样成立i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。 例1. 求225 lim 3x x x →+-的极限 解：由定理中的第三式可以知道 例2. 求3 2 lim 3x x →-的极限 式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可 例3. 已知 ()1111223 1n x n n = +++ ??-?，求lim n n x →∞ 解： 观察 11 =112 2- ? 111=2323-?
因此得到 ()1111223 1n x n n = +++ ??-? 所以 1lim lim 11n n n x n →∞→∞ ?? =-= ??? 2 利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x)在0x 附近有定义，χ??，则 如果 存在， 则此极限值就称函数f(x)在点0x 的导数记为 () 0'f x 。 即 在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)在定点0 x 的导数。 例4. 3 利用两个重要极限公式求极限 两个极限公式： （1 （2）1lim 1x x e x →∞ ?? += ??? 但我们经常使用的是它们的变形： （1，
重要报刊中出现的语法错误 一、主语残缺 1、当他第三次试跳时越过这个高度，动作干脆，腾跃时重心离横竿较高。（《解放日报》2011年3月17日第3版） 第一个分句的主语应该是“他”，但由于被置于介词结构“当……时”中，便造成了主语残缺。 2、《三只狼》写一个农人在路上遇见了三只狼，开始想给狼扔几块肉，甩掉它们。但后来知道狼贪得无厌，终于下决心想办法把狼打死了。（《文汇报》2008年6月2日第4版） “开始想给狼扔几块肉，甩掉它们。”，一句缺主语“他”。 二、宾语残缺 1、《三只狼》写一个农人在路上遇见了三只狼，开始想给狼扔几块肉，甩掉它们。但后来知道狼贪得无厌，终于下决心想办法把狼打死了。（《文汇报》2008年6月2日第4版） “《三只狼》写一个农人在路上遇见了三只狼”缺少宾语“的故事”。 2、菊花牌38支〔TK〕精梳本色棉毛衫具有手感柔软，弹性好，布面清晰，缝制考究，坚牢耐穿。（《解放日报》2000年2月10日第2版） 全句缺少宾语“等特点”。 三、搭配不当 1、山东聊城杨以增海源阁，为近代著名藏书家。（《人民日报》2011年8月30日第8版） 主语为“……海源阁”，宾语中心语是“藏书家”，主宾不搭配。 2、标题“四川、福建、北京、天津女排四强出线在望天津队夺魁希望最浓”。（《新民日报》2011年9月26日第4版） “希望”和“浓”不搭配。 四、词序不当 1、一家农民开办的大旅店在杭州市郊开业（标题）。（《光明日报》1981年3月5日第1版） 结合正文可知大旅店是公社办的，标题应改为“一家农民开办的大旅店在杭州市郊开业”。 2、蔡文治为什么说这气话呢？原来南京解放前的前半个月，也就是和谈刚刚破裂，黄绍肱从北京飞到香港去后，顾祝同主持召开了一次作战会议。（《解放日报》1984年第12期52页） “南京解放的前半个月”一般会理解为在南京解放以后的半个月，可后面明明讲到“和谈刚刚破裂”，可知说的是南京解放以前。应该把“的”与“前”的位置换一下。 五、重复累赘 1、但是，首要的也是最重要的原因就是职务犯罪主体身份的特殊性。（《人民日报》2011年7月28日第1版《贪官不入监缘何增多》） 其中“首要”、“最重要”含义重复。 2、他经历惊涛骇浪，不仅亲眼目睹了沿途岛屿的奇风异俗，也发现了船上一连串的惊天阴谋。（《光明日报》2010年7月26日第2版《瑞典王后从哥德堡
第三章函数极限(下载后可解决看不到公式的问题) 4 两个重要的极限 一、证明：=1. 证：∵sinx ∴=e. 注：e的另一种形式：=e. 证：令a=，则当a→0时，→∞，∴==e. 例3：求. 解：==e2. 例4：求. 解：==. 例5：求. 解：<→e(n→∞)，又当n>1时有 =≥→e(n→∞，即→0). 由迫敛性定理得：=e. 习题 1、求下列极限： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10). 解：(1)==2； (2)==··=0； (3)== -1； (4)=·=1； (5)=== ====； (6)令arctan x=y，则x=tany，且x→0时，y→0， ∴===1； (7)==1； (8)==·2sin a =··2sin a= sin2a； (9)==8=8； (10)=== 2、求下列极限： 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。) 1.关于古埃及数学的知识，主要来源于( )。 A.埃及纸草书和苏格兰纸草书√ B.莱茵德纸草书和莫斯科纸草书 C.莫斯科纸草书和希腊纸草书 D.莱茵德纸草书和尼罗河纸草书 2.以“万物皆数”为信条的古希腊数学学派是( )。 A.爱奥尼亚学派 B.伊利亚学派 C.诡辩学派√ D.毕达哥拉斯学派 3.最早记载勾股定理的我国古代名著是( )。 A.《九章算术》 B.《孙子算经》 √C.《周髀算经》 D.《缀术》 4.首先使用符号“0”来表示零的国家或民族是( )。 A.中国√ B.印度 C.阿拉伯 D.古希腊 5.欧洲中世纪漫长的黑暗时期过后，第一位有影响的数学家是( )。 √A.斐波那契 B.卡尔丹 C.塔塔利亚 D.费罗 6.对微积分的诞生具有重要意义的“行星运行三大定律”，其发现者是( )。 A.伽利略 B.哥白尼 √C.开普勒 D.牛顿 7.对古代埃及数学成就的了解主要来源于() √A.纸草书 B.羊皮书 C.泥版 D.金字塔内的石刻 8.公元前4世纪，数学家梅内赫莫斯在研究下面的哪个问题时发现了圆锥曲线？() A.不可公度数 B.化圆为方√ C.倍立方体 D.三等分角 9.《九章算术》中的“阳马”是指一种特殊的() A.棱柱√ B.棱锥 C.棱台 D.楔形体 10.印度古代数学著作《计算方法纲要》的作者是() A.阿耶波多 B.婆罗摩笈多√ C.马哈维拉 D.婆什迦罗 11.射影几何产生于文艺复兴时期的() A.音乐演奏 B.服装设计 C.雕刻艺术√ D.绘画艺术 12.微分符号“d”、积分符号“∫”的首先使用者是() A.牛顿√ B.莱布尼茨 C.开普勒 D.卡瓦列里 13.求和符号Σ的引进者是() A.牛顿 B.莱布尼茨√ C.柯西 D.欧拉 第1页/共11页 数学分析中的典型问题与方法 《勘误表》 (1) 原书 第4页的例1.1.5有错, 2011年6月21日, 作者将此题更改写为: 例1.1.5 试证: 设 y = f(x) 是R 上的有界实函数. 且有 2 f (x) 2h)f (x h)f (x ++= + (?x R ∈). (1) (其中h 为某一正数). 则h 必是函数f 的周期. 证 根据式 (1), 有 f (x + 2h ) – f (x + h ) = f (x + h ) – f (x ) (?x R ∈). 令 F (x) = f (x + h ) – f (x ) . 上式即为 F (x + h ) = F (x ) (?x R ∈). 于是 f (x + n h ) = [ f (x + n h ) – f (x + (n - 1)h )] + [ f (x + (n – 1)h ) – f (x + (n - 2)h ) +…+ [f (x + h ) - f (x )] + f (x ) =∑=+1 -n k ))(F 0kh x + f (x ) = n F (x ) + f (x ). 若 F (x )≠0 , 当n +∞→时, nF (x ) 趋向无穷大, 与函数f 有界矛盾. 所以F (x )= 0. 即 f (x + h ) = f (x ). (?x R ∈). 故h 是函数f 的周期. 注意1. 对于任意给定的实数h , 若h 是函数f 的周期, 则条件 (1) 显然成立. 因此本例说明: 存在实数h 满足条件 (1), 是有界函数f 为周期函数的充分必要条件. 2. “有界”条件不可忽略, 例如f (x ) = x , 不是周期函数, 但是式 (1) 总成立. 特别要道歉的是， 更正中又出现了重大遗漏 将2 f (x)2h)f (x h)f (x ++= +写成了 2f (x ) 2h )f (x f (x ) ++=， 虽然从证明里可以看出， 但是题目写错， 是有罪的。 原文 2f(x) 2h)f(x f(x)++= (?x R ∈). (1) 应改正为 2 f(x) 2h)f(x h)f(x ++= + (?x R ∈). (1) (2) 第29页 第8行 前面去掉 “方法” 二字, 后面 加入 “(|q|<1)” 原文是: 1.2.2. 用:N -方法证明ε 1) 1;n lim n n =∞ → 2)0q n lim n 3n =∞ →; 3)0q n lim n 3n =∞ →. 改写为: 1.2.2. 用:N -证明ε 1) 1;n lim n n =∞ → 2)0q n lim n 3n =∞ → (|q|<1); 3)0q n lim n 3n =∞ →.数学史试题A1222222剖析
数学分析中的典型问题与方法
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