第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点
教学课题：第一节解析函数的洛朗展式
教学目的：1、了解双边幕级数在其收敛圆环内的性质；
2、充分掌握洛朗级数与泰?勒级数的关系；
3、了解解析函数在孤立奇点和非孤立奇点的洛朗级数
教学重点：掌握洛朗级数的展开方法
教学难点：掌握洛朗级数的展开方法
教学方法：启发式、讨论式
教学手段：多媒体与板书相结合
教材分析：洛朗级数是推广了的幕级数，它既可以是函数在孤立奇点去心邻域内的级数展开，也可以作为工具研究解析函数在孤立奇点去心邻域内的性质。
教学过程：
1、双边基级数
在本节中，我们讲述解析函数的另一种重要的级数展式，即在圆环内解析函数的一种级数展式。首先考虑级数
00 + （Z - Z（）+ 0_2（Z - Z（）尸 +
??? + 0_〃（Z-Z（））-" +???
其屮堤复常数。此级数可以看成变量丄的幕级数；设这幕级
z_z°
数的收敛半径是心如果ovRv+oe,那么不难看出，此级数在|z-z01>丄内绝
R
对收敛并且内闭一致收敛，在|Z-Z O |<1内发散。同样，如果/? = +oo,那么此级
R
数在|z-z（） |> 0内绝对收敛并且内闭一致收敛；如果/?二0,那么此级数在每一点发散。在上列情形下，此级数在z = z。没有意义。于是根据定理2.3,按照不同情形，此级数分别在
| z-z0 |>^ = 7?,（0< /?<4-OO）及I z-Zo |>0 内收敛于一个解析函数。
R
2、解析函数的洛朗展式:更一般地，考虑级数
工0“（Z-Zo）",
这里勺,爲3=0±口2…是复常数。当级数
乞伏（z - z°y及乞仇d -
川=0 /?=-!
+8
都收敛吋，我们说原级数￡A（Z-Z0）W收敛，并且它的和等于上式屮两个级数的”=-oo
和函数相加。设上式中第一个级数在|z-z0\ 第二个级数在I z-z（）|>尺内绝对收敛并且内闭一致收敛。于是两级数的和函数分 别|z-z0|K在内解析。又设&V&,那么这两个级数都在圆环 D:R l 7l=—oo 这个圆环内绝对收敛并且内闭一致收敛；显然它的和函数是一个解析函数。我们称级数￡%（z-Z。）"为洛朗级数。因此，洛朗级数的和函数是圆环D内的解析川二一oo 函数，我们也有 定理5?1 （洛朗级数）设函数/（z）在圆环：D:R} <\ z - z0\< R2（0 < R} < R2 <+oo） 内解析，那么在￡>内 /(z)=工匕(z-z。)", /|=-00 其中, %哙嫁go,±1,±2,…) y是圆I z-z01= p.p是一个满足& 证明：设Z是圆环D内任一点，在D内作圆环D'：/?'] v|z-Zo |<尺2‘‘使得zeD\这里咕心帆小。用耳及G分别表示圆|z — Zol=/?[及|z —Zol=/?2‘。 由于/（G在闭圆环D上解析，根据柯西定理，有 其中积分分别是沿及「2关于它们所围成圆盘的正向取的。 当^G T2时，级数 1 1 1 1 ------- =----------------------- =---------- ? ------------- g-z（）-（z-Zo）$-Z（）[ Z-z° 二〒（Z_Z。）" ￡c z。）曲 一致收敛；而当^er；时，级数 __ 二1 二节（—））” § _ z （z- z0）（l- "=o （z _ z°）刊 z_z° 一致收敛。把这两个式子代入前面的式子，然后逐项积分，我们就看到/U）有展式 /(z)= ￡%(z — z。)", M=-00 其屮, /(G 市茗,(〃=0,1,2,??.)乙12沁《譽曲十???） 由柯西定理，上面两式中的积分可以换成沿圆的积分，于是定理的结论成立。注解1、由于函数./（Z）的解析区域不是单连通区域，所以公式好旦肖^'（"“出垃…）不能写成：°” +00 _8 注解2、我们称工乞（z-z°）“为比）的解析部分，而称工％（z-z。）"为其主要部/?=0 n=-l 分。 注解3、我们称￡%（z-z（y,为沧）的洛朗展式。 ”=一8 +8 定理5?2设洛朗级数工禹（z-z。）”在圆环 "=-8 D: R[ <1 z-z01< R2（0 < R}< R2< +OO） 中内闭一?致收敛于和函数g（z）,那么此展式就是在D内的洛朗展式: 纟⑵二2伏(z-zj. ”=-oo 证明：现在把系数用g ⑵计算出來。在D 内任取一圆Z :|z-z 0|=p(/?I 占曲=il (Z_ Zo)/"1 dZ = A 伙=0,±l,±2,…) 这里因为上式屮求和记号左 后各项只有在n=k 时不为零，因此定理的结论成 注解：此定理表明，洛朗级数的系数可以用它的和函数来计算，同时，这也表明, g ⑵在D 内不可能有其他形式的洛朗展式，因此我们有下面的解析函数洛朗展式 的唯一性定理： 推论5?1在定理5.1的假设下，/(z)在D 的洛朗展式式唯一的。 例1、求函数——!—— 分别在圆环l<|z|<2及2v|z|v+oo 内的洛朗级数展式。 (z-l)(z-2) 解：如果l<|z|<2,那么|-|< 1,|丄|vl,利用当|Q|vl 时的幕级数展式 2 z ----- =1 + Q + (X^ +... + CX H +... \-a 我们得 7 I 如果2<|Z|< +oo,那么|-|< 同样，我们有 z z 1 1 + ---------- = ----------- 一 ----- 9 ------------ 一乙-一乙乙 (z-l)(z-2) z — 2 z-l z(l--) z(l--) “=1 Z “=1 Z Z Z 例2、 漳及沁在0 V z |v +oo 内的洛朗级数展式是: Z Z 工］吕2"一_1 H=1 (z-l)(z-2) z-2 z-l J, i 3 / i \ 2 刃一1 sinz 1 z z (—1) z z2z 3! 5! (2n + l)! sinz t z2z4(-l),?z2/, Z 3! 5! (2H +1)! 1 例3、e2在Ov|z|v+oo内的洛朗级数展式是： ! , 1 11 1 1 — 1H - 1 --- + … ---------- …o Z2! Z271! z" 例4、求函数 ------------ 在圆环l<|z|<3内的洛朗级数展式。 (Z2-1)(2-3) 解：由于l<|z|<3,那么|-|<1,|-|< 1,利用当|Q|V1时的幕级数展式z 3 ----- =1 + Q + (X^ +... + CX n +... \-a 我们得 1 _ 1 __ z + 3 —丄 __________ z ______ 3_ (Z2-1)(Z-3) ~ 8 7^3 ~ z2-l ~8 7^3~Z2-1~Z2-1 z2-l 所以，有 -foo Q Z” 2“+12〃—1 畀=0 °??=0 z 2n-2 ). 第一章 复数与复变函数 教学课题：第二节 复平面上的点集 教学目的：1、理解关于平面点集的几个基本概念； 2、理解区域与约当曲线这两个重要概念； 3、了解约当定理和区域的连通性。 教学重点：平面点集的几个基本概念 教学难点：区域与约当曲线 教学方法：启发式教学 教学手段：多媒体与板书相结合 教材分析：理解关于平面点集的几个基本概念、掌握区域与约当曲线这两个重要概念、了解约当定理和区域的单连通和多连通，对于学好该门课程具有重要的作用。 教学过程： 1、平面点集的几个基本概念： 定义1.1 设),0(, +∞∈∈r C a ，a 的r -邻域),(r a U 定义为 },,|| |{C z r a z z ∈<- 称集 },,|| |{C z r a z z ∈≤- 为以a 为中心，r 为半径的闭圆盘，记为),(r a U 。 定义1.2设C a C E ∈?,， 若E r a U r ?>?),(,0中有无穷个点，则称a 为E 的极限点； 若0>?r ，使得E r a U ?),(，则称a 为E 的内点； 若E r a U r ?>?),(,0中既有属于E 的点，又有不属于E 的点，则称a 为E 的边界点； 集E 的全部边界点所组成的集合称为E 的边界，记为E ?； E E ??称为E 的闭包，记为E ； 若0>?r ，使得}{),(a E r a U =?，则称a 为E 的孤立点（是边界点但不是聚 点）； 定义1.3 开集：所有点为内点的集合； 闭集E ：或者没有聚点，或者所有聚点都属于E ；则任何集合E 的闭包E 一定是闭集； 定义1.4如果0>?r ，使得),0(r U E ?，则称E 是有界集，否则称E 是无界集； 复平面上的有界闭集称为紧集。 例1、圆盘),(r a U 是有界开集；闭圆盘),(r a U 是有界闭集； 例2、集合}|||{r a z z =-是以a 为心，半径为r 的圆周，它是圆盘),(r a U 和闭圆盘),(r a U 的边界。 例3、复平面、实轴、虚轴是无界集，复平面是无界开集。 例4、集合}||0|{r a z z E <-<=是去掉圆心的圆盘。圆心E a ?∈，它是E ?的孤立点，是集合E 的聚点。 无穷远点的邻域：0>?r ，集合},|||{∞∈>C z r z z 称为无穷远点的一个邻域。类似地有，聚点、内点、边界点与孤立点，开集、闭集等概念。 ∞C 我们也称为C 的一点紧化。 2、区域、约当（Jordan ）曲线： 定义1.5复平面C 上的集合D ，如果满足： （1）、D 是开集； （2）、D 中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的点完全属于D 。 则称D 是一个区域。 结合前面的定义，有有界区域、无界区域。 性质（2）我们称为连通性，即区域是连通的开集。 区域D 内及其边界上全部点所组成的集称为闭区域。 扩充复平面∞C 上不含无穷远点的区域的定义同上；含无穷远点的区域是C 《复变函数》教学大纲 说明 1．本大纲适用数学与应用数学本科教学 2．学科性质： 复变函数论是成人高等师范数学专业基础课程之一，它在微分方程、概率论、力学等学科中都有应用，复变函数论方法是工程、科技的常用方法之一。复变函数论主要研究解析函数。解析函数定义的几种等价形式，表现了解析函数这一概念在不同方面的特性。复变函数论的基本理论以柯西定理为主要定理，柯西公式为重要公式，留数基本定理是柯西定理的推广。保形映照是复变函数几何理论的基本概念。；留数理论和保形映照也为实际应用提供了特有的复变函数论方法。 3．教学目的： 复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。 4．教学基本要求： 通过本课程的学习，要求学生达到： 1．握基本概念和基本理论； 2．熟练的引进基本计算（复数、判断可导性及解析性、复积分、函数 的展式、孤立奇点的判断、留数的计算及应用、求线性映照及简单映 照等）； 2．固和加深理解微积分学的有关知识。 5．教学时数分配： 本课程共讲授72学时（包括习题课），学时分配如下表： 教学时数分配表 以上是二年制脱产数学本科的教学时数。函授面授学时不低于脱产的40%，可安排28~30学时。 教学内容 第一章复数与复变函数 复变函数的自变量和因变量都是复数，因此，复数和平面点集是研究复变函数的基础。复变函数及其极限理论与微积分学的相应内容类似，但因复变函数是研究平面上的问题，因此有其新的含义与特点。 （一）教学内容 第一章复数与复变函数 教学课题：第二节复平面上的点集 教学目的：1、理解关于平而点集的儿个基本概念； 2、理解区域勾约当曲线这W个重要概念； 3、了解约当定理和区域的连通性。 教学重点：平血点集的几个基木概念 教学难点：区域与约当曲线 教学方法：启发忒教学 教学手段：多媒体与板15相结合教材分析：理解关于〒面点集的儿个基本概念、掌握区域与约当llh线这两个重要概念、了解约当定理和区域的单连通和多连通，对于学好该门课程具有重要的作用。 教学过程： 1、平面点集的几个基本概念： 定义1.1 设6/ e C,r G (0,+oo), tz 的r-邻域［/(fz，r)定义为 {z\\z-a\< r,zeC}, 称集 {z\\z-a\ 若3/、〉0,使得= 则称6/为￡的孤立点(是边界点但不是聚 点）; 定义1.3开集：所冇点为内点的集合； 闭集或者没冇聚点，或者所冇聚点都展于￡;则任何集合￡的闭包互一定是闭集； 定义1.4如果3r〉0，使得￡c=t/（O，r），则称￡是有界集，否则称￡是无界 集； 复平面上的宥界闭集称为紧集。 例1、岡盘［/（^，r）是有界开集；闭闢盘fGz，r）是宥界闭集； 例2、集合｛z||z- 第三章 教学课题：第三节 柯西积分公式及其推论 教学目的：1、充分掌握柯西积分公式以及其解析函数的平均值定理； 2、了解柯西高阶导数分公式； 3、切实掌握解析函数的无穷可微性； 4、理解柯西不等式、刘威尔定理及解析函数的一些等价刻画。 教学重点：柯西积分公式； 教学难点：柯西不等式、刘威尔定理及解析函数的一些等价刻画 教学方法：启发式 教学手段：多媒体与板书相结合 教材分析：柯西积分公式是解析函数的积分表达式，可以帮助我们详细地去研究解析函数的局部性质。柯西不等式是对解析函数各阶导数模的估计式。 教学过程： 1、柯西积分公式： 定理3.11设f (z )在以圆)0(|:|000+∞<<=-ρρz z C 为边界的闭圆盘上连续，C 的内部D 上解析，则有 其中，沿曲线C 的积分是按反时针方向取的，这就是柯西积分公式。它是解析函数的积分表达式，因而是今后我们研究解析函数的重要工具。 证明：设D z ∈，显然函数在z f -ζζ)(满足z D ≠∈ζζ,的点ζ处解析。 以到z 为心，作一个包含在D 内的圆盘，设其半径为ρ，边界为圆ρC 。在D 上，挖去以ρC 为边界的圆盘，余下的点集是一个闭区域ρD 。在ρD 上，ζ的函数)(ζf 以及z f -ζζ)(解析，所以有 其中，沿曲线C 的积分是按关于D 的正向取的，沿ρC 的积分是按反时针方向取的。因此，结论成立。 说明：f(z)沿C 的积分为零。考虑积分 则有：（1）被积函数在C 上连续，积分I 必然存在； （2）在上述闭圆盘上0 )(z z z f -不解析，I 的值不一定为0，例如i I z f π21)(=≡时，； 现在考虑f (z )为一般解析函数的情况。作以为 0z 心，以)0(0ρρρ<<为半径的圆ρC ，由柯西定理，得 因此，I 的值只f (z )与在点 0z 附近的值有关。令θρi e z z =-0， 则有 由于I 的值只f (z )与在点 0z 附近的值有关，与ρ无关，由f (z )在点0z 的连续性，应该有)(20z if I π=，即 事实上，当ρ趋近于0时，有 由于由f (z )在点0z 的连续性，所以)(0,00ρδδε≤>?>?，使得当ρδρC z ∈<<,0时，ε<-|)()(|0z f z f ，因此 即当ρ趋近于0时，上式右边的有第二个积分趋近于0；而i dz z z C πρ210 =-?，因此，结论成立。 注解1、对于某些有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一点所取的值可以用它在边界上的值表示出来。 注解2、柯西公式是解析函数的最基本的性质之一，对于复变函数理论本身及其应用都是非常重要的。 注解3、柯西公式有非常明确的物理背景和物理意义。 2、解析函数的无穷可微性 定理3.12 设D 是以有限条简单闭曲线C 为边界的有界区域。设f (z )在D 及C 所组成的闭区域D 上解析，那么f (z )在D 内有任意阶导数 ,...)3,2,1( )()(2!)(1 )(=-=?+n d z f i n z f C n n ζζζπ, 证明：先证明结论关于n =1时成立。设D h z ∈+是D 内另一点。 只需证明，当h 趋近于0时，下式也趋近于0 现在估计上式右边的积分。设以z 为心，以2d 为半径的圆盘完全在D 内，并且 《复变与积分变换教案》 第二次课 1教学目标：使学生熟练二维平面图形的复形式，熟练掌握复变函数的分量处理法，重温二元微积分，并赋以复的外衣而导出复变量，复数列，复变函数增量和复积分等知识。 2讲课段落： 平面曲线(定向)和区域；复变函数的分量处理法；二维平面图形的复形式；复变量，复数列，复变函数的极限和连续性; 复变函数的增量； 复积分定义和计算，复积分的性质。 3知识要点: 无重点的按段光滑闭曲线简称为简单闭曲线。数学上可证明任 条在平面上有确定的始端和终端的简单曲线是可求长的，特别是 任一条简单闭曲线总是有有限长度的。 对给定点P (x o,y o)和正数0，称 u (P) (X, y)J(x X o)2 (y y。)2 为P的一个邻域。 平面上的区域D为可用折线连通的开集. 本课程中经常出现的多连域D为有限条简单闭曲线C0,C i,C2, ,C m按以下 方式围成的区域：设D O,D1,D2, , D m分别为C o,C1,C2, ,C m的内部区域, m 1 j k m, (3) C j C k 满足(1) D j D o, (2) D j D k j 1 m 称此多连域D为复围线：C o'GG'L ,C m围成的区域,即D D O D j。 j 1 w f (z) u u(x,y) V v(x,y) max max a n max U x x o , y y o X o , b n f Z o X o , y o iv x Z o X X o y o y o Z n Z o a n X o b n y o x o ,y o U y x o ,y o iV y X o ,y o E u iE v f 1 z u x x o ,y o iv x X o ，y o U y X o ，y o iV y X o ，y o C: F(x,y) 0, 经变换 若平面曲线参数方程为 则其复数表示为 z z(t): x(t) iy(t), 所以一个复变函数相当于两个二元函数，即 也称为D 的边界。而数学上称D 0 m D j 即D 连同C o ,G,C 2, ,C m 一起的 j 1 集合为多连域D 的闭包，也记为D 。 而复围线 ：C o ,C 1,C 2, ,C m 的正向 定义为，在C o 上取逆时针方向，而在 C 1,C 2, , C m 上都取顺时针方向。 得到C 的复数表示 z z 2i X y (t) (t). 《复变函数》教案 目录 第一次课………………复数 第二次课………………复平面上的点集 第三次课………………复变函数复球面与无穷远点 第四次课………………解析函数的概念与柯西-黎曼方程 第五次课………………初等解析函数 第六次课………………初等多值函数 第七次课………………复积分的概念及其简单性质 第八次课………………柯西积分定理 第九次课………………柯西积分公式及其推论 第十次课………………解析函数与调和函数的关系 第十一次课……………复级数的基本性质 第十二次课……………幂级数 第十三次课……………解析函数的泰勒展式 第十四次课……………解析函数零点的孤立性及惟一性定理 第十五次课……………解析函数的洛朗展开式 第十六次课……………解析函数的孤立奇点 第十七次课……………孤立奇点在无穷远点的性质整函数与亚 纯函数的概念 第十八次课……………留数 第十九次课……………用留数计算实积分 第二十次课……………辐角原理及其应用 第二十一次课…………解析变换的特性 第二十二次课…………分式线性变换 第二十三次课…………某些初等函数所构成的共形映射关于共 形映射的黎曼存在定理和边界对应定理 第二十四次课…………总复习 第一次课：复数 一．教学目的： 1．掌握复数的四则运算及共轭运算； 2．熟练掌握复数的各种表示法； 3．熟练掌握乘积与商的模与辐角定理，方根运算公式。 二．教学重点：复数的三角表示和复数的乘方与开方。 三．教学难点：用复数形式方程（或不等式）表示平面图形来解决有关几何问题的方法。四．教学方法：启发式、讨论式 五．教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等。 六．教学过程： [引言]：（约10分钟）简述复分析的发展历史、复变函数的主要内容及其应用背景以及学习该课程应该注意的方法，引入本课主题。 ●复数的基本概念（约5分钟） 1．虚数单位。 2．实部与虚部。 3．共轭复数。 ●复数的四则运算（约20分钟） 1．复数的加、减、乘和除法运算。 2．复数运算的性质。 举例并让学生穿插进行练习。 ●复数的几何表示（约20分钟） 1．复平面。 2．复数的模与幅角。 3．复数模的三角不等式。 利用几何图形直观地解释。 ●复数的三角表示（约25分钟） 1．复数的三角表示 2．用复数的三角表示作乘除法。 3．复数的乘方与开方 举例并让学生穿插进行练习。 七．课程小结（约5分钟）八．布置作业和预习内容（约5分钟） 第二次课：复平面上的点集 一. 教学目的： １．了解复球面、无穷远点及扩充复平面的概念； ２．理解区域、简单曲线、单连同区域与多连同区域的概念。 二. 教学重点：正确理解区域、单连通域与多连通域、简单曲线等概念 三. 教学难点：求复平面上曲线的复方程。 四．教学方法：启发式、讨论式 五．教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等 六．教学过程： [引言]：（约5分钟） 第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点 教学课题：第一节解析函数的洛朗展式 教学目的：1、了解双边幕级数在其收敛圆环内的性质； 2、充分掌握洛朗级数与泰?勒级数的关系； 3、了解解析函数在孤立奇点和非孤立奇点的洛朗级数 教学重点：掌握洛朗级数的展开方法 教学难点：掌握洛朗级数的展开方法 教学方法：启发式、讨论式 教学手段：多媒体与板书相结合 教材分析：洛朗级数是推广了的幕级数，它既可以是函数在孤立奇点去心邻域内的级数展开，也可以作为工具研究解析函数在孤立奇点去心邻域内的性质。 教学过程： 1、双边基级数 在本节中，我们讲述解析函数的另一种重要的级数展式，即在圆环内解析函数的一种级数展式。首先考虑级数 00 + （Z - Z（）+ 0_2（Z - Z（）尸 + ??? + 0_〃（Z-Z（））-" +??? 其屮堤复常数。此级数可以看成变量丄的幕级数；设这幕级 z_z° 数的收敛半径是心如果ovRv+oe,那么不难看出，此级数在|z-z01>丄内绝 R 对收敛并且内闭一致收敛，在|Z-Z O |<1内发散。同样，如果/? = +oo,那么此级 R 数在|z-z（） |> 0内绝对收敛并且内闭一致收敛；如果/?二0,那么此级数在每一点发散。在上列情形下，此级数在z = z。没有意义。于是根据定理2.3,按照不同情形，此级数分别在 | z-z0 |>^ = 7?,（0< /?<4-OO）及I z-Zo |>0 内收敛于一个解析函数。 R 2、解析函数的洛朗展式:更一般地，考虑级数 工0“（Z-Zo）", 这里勺,爲3=0±口2…是复常数。当级数 乞伏（z - z°y及乞仇d - 川=0 /?=-! +8 都收敛吋，我们说原级数￡A（Z-Z0）W收敛，并且它的和等于上式屮两个级数的”=-oo 和函数相加。设上式中第一个级数在|z-z0\ 第七章 共形映射 教学课题：第三节 黎曼存在定理 教学目的：1、充分理解黎曼存在定理极其重要意义； 2、充分了解边界对应定理； 3、了解线性变换的不动点； 4、掌握线性变换的保形性、保圆性、保交比性、保对称点性。 教学重点：线性变换的保形性、保圆性、保交比性、保对称点性 教学难点：线性变换的保交比性、保对称点性 教学方法：启发式、讨论式 教学手段：多媒体与板书相结合 教材分析：由于线性变换的保形性、保圆性、保交比性和保对称点性，它在处理边界为圆弧或直线的区域的变换中，起着重要的作用。 教学过程： 8、实例： 在解决某些实际问题以及数学理论问题时，我们往往要把有关解析函数的定义域保形映射成较简单的区域，以便进行研究及计算，我们下面给出几个实例。 例1、求作一个单叶函数，把半圆盘|z|<1，Im z >0保形映射成上半平面。 解：因为圆及实轴在-1及+1直交，所以作分式线性函数 1 1 '-+= z z w ， 把-1及+1分别映射成w'平面上的0及∞两点，于是把|z|=1及Im z =0映射成w'平面上在原点互相直交上面的两条直线。 由于分式线性函数中的系数是实数，所以z 平面上的实轴映射成w'平面上的实轴；又由于z =0映射成w'=-1，半圆的直径AC 映射成w'平面上的负半实轴。 平面-z O ) 1(-B )(i D -) 0(A C 平面-'w C )1(-D ) 1(B )0(A C 平面 -w 显然圆|z|=1映射成w'平面上的虚轴；又由于z =i 映射成i i i w -=-+=1 1 '， 半圆ADC 映射成w'平面上的下半虚轴。 根据在保形映射下区域及其边界之间的对应关系，已给半圆盘映射到w'平面上的的区域，应当在周界ABC 的左方，因此它是第三象限2 'arg π π< 《复变函数》教案 目录 第一次课………………复数 第二次课………………复平面上的点集 第三次课………………复变函数复球面与无穷远点 第四次课………………解析函数的概念与柯西-黎曼方程 第五次课………………初等解析函数 第六次课………………初等多值函数 第七次课………………复积分的概念及其简单性质 第八次课………………柯西积分定理 第九次课………………柯西积分公式及其推论 第十次课………………解析函数与调和函数的关系 第十一次课……………复级数的基本性质 第十二次课……………幂级数 第十三次课……………解析函数的泰勒展式 第十四次课……………解析函数零点的孤立性及惟一性定理 第十五次课……………解析函数的洛朗展开式 第十六次课……………解析函数的孤立奇点 第十七次课……………孤立奇点在无穷远点的性质整函数与亚 纯函数的概念 第十八次课……………留数 第十九次课……………用留数计算实积分 第二十次课……………辐角原理及其应用 第二十一次课…………解析变换的特性 第二十二次课…………分式线性变换 第二十三次课…………某些初等函数所构成的共形映射关于共 形映射的黎曼存在定理和边界对应定理第二十四次课…………总复习 第一次课：复数 一．教学目的： 1．掌握复数的四则运算及共轭运算； 2．熟练掌握复数的各种表示法； 3．熟练掌握乘积与商的模与辐角定理，方根运算公式。 二．教学重点：复数的三角表示和复数的乘方与开方。 三．教学难点：用复数形式方程（或不等式）表示平面图形来解决有关几何问题的方法。 四．教学方法：启发式、讨论式 五．教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等。 六．教学过程： [引言]：（约10分钟） 简述复分析的发展历史、复变函数的主要内容及其应用背景以及学习该课程应该注意的方法，引入本课主题。 ●复数的基本概念 （约5分钟） 1．虚数单位。 2．实部与虚部。 3．共轭复数。 ●复数的四则运算（约20分钟） 1．复数的加、减、乘和除法运算。 2．复数运算的性质。 举例并让学生穿插进行练习。 ●复数的几何表示（约20分钟）1．复平面。 2．复数的模与幅角。 3．复数模的三角不等式。 利用几何图形直观地解释。 ●复数的三角表示（约25分钟）1．复数的三角表示 2．用复数的三角表示作乘除法。 3．复数的乘方与开方 举例并让学生穿插进行练习。 七．课程小结（约5分钟） 八．布置作业和预习内容（约5分钟） 第二次课：复平面上的点集 一. 教学目的： １．了解复球面、无穷远点及扩充复平面的概念； ２．理解区域、简单曲线、单连同区域与多连同区域的概念。 第四章 教学课题：第二节 幂级数 教学目的：1、理解幂级数的收敛性； 2、充分理解幂级数的收敛半径、收敛域的意义； 3、切实掌握幂级数和函数的解析性。 ￥ 教学重点：幂级数和函数的解析性； 教学难点：幂级数和函数的解析性。 教学方法：启发式、探究式 教学手段：多媒体与板书相结合 教材分析：幂级数是一种简单解析函数项级数，把解析函数表示为简单的幂级数，不仅有理论上的意义，更有实际的意义。 | 教学过程： 1、幂级数的敛散性：本节研究一类特别的解析函数项级数，即幂级数 ... )(...)()()(02020100 0+-++ -+-+=-∑+∞ =n n n n n z z z z z z z z ααααα 其中z 是复变数，系数n α是任何复常数。 注解1、这类级数在复变函数论中有特殊重要的意义； ： 注解2、一般幂级数在一定的区域内收敛于一个解析函数； 注解3、在一点解析的函数在这点的一个邻域内可以用幂级数表示出来，因此一个函数在某个点解析的必要与充分条件是，它在这个点的某个邻域内可以展开成一个幂级数。 首先研究幂级数的收敛性，我们有阿贝尔第一定理： 定理 如果幂级数∑+∞ =-00)(n n n z z α在)(01z z ≠收敛，那么对满足||||010z z z z -<-的任 何 z ，它都不仅绝对收敛，而且内闭一致收敛。 证明：由于幂级数∑=-0 0)(n n n z z α在)(01z z ≠收敛，所以有 % 0)(lim 01=-+∞ →n n n z z α， 因此存在着有限常数M ，使得,...)1,0(|)(|01=≤-n M z z n n α。把级数改写成 n n n n z z z z z z ∑∞ +=??? ? ??---001001)(α 则有 , | )(||)(|0 10 10010n n n n n n n Mk z z z z M z z z z z z z z =--≤---=-αα ， 其中已令,0 10k z z z z =--由于级数,0 ∑+∞ =k n Mk 收敛，所以此幂级数在满足||||010z z z z -<-的 任何点 z 不仅收敛，而且绝对收敛。 注解：与幂级数∑+∞ =-00)(n n n z z α相对应，作实系数幂级数 ...||...||||||||22100 +++++=∑+∞ =n n n n n x x x x ααααα 其中x 为实变数。则有 。 推论如果幂级数∑+∞ =-0 0)(n n n z z α在)(01z z ≠发散，那么对满足||||010z z z z ->-的任 何 z ，它都发散 定理 设的收敛半径∑+∞ =0||n n n x α是R ，那么按照不同情况，我们分别有： (1)、如果+∞< 复变函数教案 2012—2013学年度第二学期 任课教师郭城 课程名称复变函数 采用教材高教三版（钟玉泉编） 周课时数 4 数统学院数学教育专业 2010 年级1班 引言 数学从产生、有发展到现在，已成为分支众多的学科了，复变函数是其中一个非常重要的分支。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论，简称函数论。 我们知道，在解实系数一元二次方程ax2+bx+x=O(a≠o1时，如果判别式b2-4 ac 第七章 保形变换 教学课题：第一节 解析变换的特性 教学目的：1、理解并掌握解析变换的保域性 2、充分理解解析变换的保角性——导数的几何意义； 3、充分掌握单叶解析函数的有关重要性质； 4、充分理解单叶解析变换的保形性。 教学重点：单叶解析函数的有关重要性质 教学难点：单叶解析变换的保形性 教学方法：启发式、讨论式 教学手段：多媒体与板书相结合 教材分析：前几章主要是用分析的方法来讨论解析函数的性质和应用，本节主要是用线性函数和初等函数构成的变换的性质讨论保域性、保角性和保形性。 教学过程： 1、解析变换的保域性： 解析函数所确定的映射是保形映射。它是复变函数论中最重要的概念之一，与物理中的概念有密切的联系，而且对物理学中许多领域有重要的应用。 如应用共形映射成功地解决了流体力学与空气动力学、弹性力学、磁场、电场与热场理论以及其他方面的许多实际问题。不但如此，20世纪中亚音速及超音速飞机的研制促成了从保形映射理论到拟保形映射理论的发展。 我们主要研究单叶解析函数的映射性质。设函数w=f (z )在区域内解析，并且在任意不同点，函数所取的值不同。那么我们就称它为区域的单叶解析函数，简称即为单叶函数。 注解1、单叶函数是确定一个单射的解析函数。 例1、函数α+=z w 及z w α=是z 平面上的单叶解析函数它们把z 平面映射成w 平面，其中α是复常数，并且对于第二个映射0≠α。 例2、z e w =在每个带形 ,2Im π+< 注解2、上面的例子把z 平面上的区域映射成w 平面上的区域。 引理7.1 设函数f (z )在0z z =解析，并且)(00z f w =。设...)3,2,1(0)(,0)(...)('')('0)(0)1(00=≠====-p z f z f z f z f p p ，那么0)(w z f -在0z 有p 阶零点，并且对充分小的正数ρ，存在着一个正数μ，使得当μ<-<||00w w 时，w z f -)(在ρ<-<||00z z 内有p 个一阶零点。 证明：0)(w z f -在0z 有p 阶零点是显然的。由于f (z )不恒等于零，可以作出以0z 为心的开圆盘ρ<-|:|0z z D ，其边界为C ，使得f (z )在C D D ?=上解析，并且使得0)(w z f -及f’(z )除去0z z =外在D 上无其他零点。那么 ,0|)(|min 0>=-∈μw z f C z 取w ，使μ<-<||00w w 。现在应用儒歇定理，比较f (z )-w 及0)(w z f -在内D 的零点的个数。由于 ),())(()(00w w w z f w z f -+-=- 而当C z ∈时 ,0|||)(|00>->≥-w w w z f μ 可见f (z )-w 及0)(w z f -在D 内的零点个数同为p （每个n 阶零点作n 个零点）。 最后只须证明f (z )-w 在D 内的每个零点1z 都是一阶的。这是因为0w w ≠，所以0z z ≠，而0]')([0≠-≠z z w z f 。 定理7.1、设函数f (z )在区域D 内单叶解析，那么在D 内任一点，.0)('≠z f 证明：反证之。假定,0)(',00=∈z f D z ，那么由引理1.1，可得出与单叶相矛盾得结论。 注解1、如果一个函数在区域D 内单叶解析，那么它的导数在D 内任意一点不等于零； 注解2、反之，这个定理的逆定理不成立，例如z e w =的导数在z 平面上任意一点不为零，而这个函数在整个z 平面上不是单叶的。 第一章 复数与复变函数 第一节 复数 教学课题：第一节 复数 教学目的：1、复习、了解中学所学复数的知识； 2、理解所补充的新理论； 3、熟练掌握复数的运算并能灵活运用。 教学重点：复数的辐角 教学难点：辐角的计算 教学方法：启发式教学 教学手段：讲授 教材分析：复变函数这门学科的一切讨论都是在复数范围内进行的，它是学好本们课程的基础。因此，复习、了解中学所学复数的知识，理解所补充的新理论，熟练掌握复数的运算并能灵活运用显得尤为重要。 教学过程： 1、复数域： 每个复数z 具有x iy +的形状，其中x 和R y ∈，1-=i 是虚数单位；x 和y 分别称为z 的实部和虚部，分别记作z x Re =，z y Im =。 复数111iy x z +=和222iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等。 如果0Im =z ，则z 可以看成一个实数；如果0Im ≠z ，那么z 称为一个虚数；如果0Im ≠z ，而0Re =z ，则称z 为一个纯虚数。因此，全体实数是全体复数的一部分． 复数的四则运算定义为： ) ()()()(21212211b b i a a ib a ib a ±+±=+±+)()())((122121212211b a b a i b b a a ib a ib a ++-=++ 22 222112222221212211))()(b a b a b a i b a b b a a ib a ib a +-+++=++ 复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C 。必须特别提出的是，在复数域中，复数是不能比较大小的． 2、复平面： C 也可以看成平面2R ，我们称为复平面。 作映射：),(:2y x iy x z R C +=→，则在复数集与平面2R 之建立了一个1-1对应。从上述复数的定义中可以看出，一个复数z x iy =+实际上是由一对有序实数(,) x y 唯一确定． 横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z-平面，w-平面等。 引进复平面后，我们在“数”与“点”之间建立了一一对应关系， 为了方便起见，今后我们就不再区分“数”和“点”及“数集”和“点集。 3、复数的模和辐角 复数可以等同于平面中的向量，iy x z +=。向量的长度称为复数的模，定义为：22||y x z +=； 向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：i x y z π2arctan Arg +=（Z k ∈）。 tan ,y Argz x θθ==我们知道人亦非零复数有无限多个辐角，今以arg z 表示其中的一个特定值，并称合条件 arg z ππ-<≤的一个为主值，或称之为z 的主辐角。于是，arg 2,(0,1,2,)Argz z k k θπ==+=±±。注意，当z=0时辐角无异议。当z 0arg ,tan arctan y y z z Arc x x ≠时表示的主辐角它与反正切的主值有如下关系（arg z ππ-<≤，arctan 22 y x π π-<<） (0)arctan ,0,0;,0,0;2arctan ,0,0;arctan ,0,0;0,0;arg z y x y x x y y x y x y x y x x y z ππππ≠?>>???=>???=+<≥???-< 复变函数论课程教学实施方案 章节、名称：第一章，第1、2、3节，I Complex number field, 1.1 Sums and products, 1.2 Operation, 1.3 Modulus and arguments 课时安排：2 教学方式：理论讲授 教学目的和要求： 重温熟悉复数的概念，熟练掌握复数的四则运算及共轭运算，了解复平面，理解复数的几何表示及其应用。 教学内容及重点、难点： 介绍课程理论框架： Chapter I Complex number field Chapter II Analytic Functions Chapter III Elementary Functions Chapter IV Integrals Chapter V Series Chapter VI Residues Chapter VII Applications of Residues 第一章 Complex number field 介绍复数的背景知识，复数的代数表示、代数运算、几何表示。1．Complex numbers 2. operations; Grip the operations, representations and the triangle inequality of complex numbers; 3．Complex plane, moduli and arguments of complex numbers; 授课实施方案： 启发式教学法，以讲授为主，讲练结合。注重知识背景的阐述，适当增加课外知识、实例分析。 讨论、思考题、作业： 思考：（1）复数为什么不能比较大小？ （2）复数可以用向量表示，则可以认为与向量运算相同？ 作业：P7 Exercises 1(a) 参考资料： 1.Cao Huai-Xin, Zhang Jiang-Hua, Chen Zheng-Li, Ren Fang, An Introduction to Complex Analysis,Xi'an:Shaanxi Normal University Press, 2006. 2.Conway J. B., Functions of one Comp1ex Variable ,Springer-Verlag, New York Inc., 1978 3. Yu Jia-Rong, Theory of complex variable functions, Beijing: Advanced Education Press, 2000. 复变函数教案5.1 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点 教学课题：第一节 解析函数的洛朗展式 教学目的：1、了解双边幂级数在其收敛圆环内的性质； 2、充分掌握洛朗级数与泰勒级数的关系； 3、了解解析函数在孤立奇点和非孤立奇点的洛朗级数 教学重点：掌握洛朗级数的展开方法 教学难点：掌握洛朗级数的展开方法 教学方法：启发式、讨论式 教学手段：多媒体与板书相结合 教材分析：洛朗级数是推广了的幂级数，它既可以是函数在孤立奇点去心邻域内的级数展开，也可以作为工具研究解析函数在孤立奇点去心邻域内的性质。 教学过程： 1、双边幂级数 在本节中，我们讲述解析函数的另一种重要的级数展式，即在圆环内解析函数的一种级数展式。首先考虑级数 ... )(...)()(0202010+-++ -+-+------n n n z z z z z z ββββ 其中,...,...,,,100n z --βββ是复常数。此级数可以看成变量 1 z z -的幂级数；设这幂级数的收敛半径是R 。如果+∞< 0||)0(1 ||010>-+∞<<=> -z z R R R z z 及内收敛于一个解析函数。 2、解析函数的洛朗展式:更一般地，考虑级数 ,)(0∑+∞ -∞ =-n n n z z β 这里,...)2,1,0(,0±±=n z n β是复常数。当级数 ,)()(1 00 0∑∑-∞ -=+∞ =--n n n n n n z z z z ββ 及 都收敛时，我们说原级数 ∑+∞ -∞ =-n n n z z )(0β 收敛，并且它的和等于上式中两个级数 的和函数相加。设上式中第一个级数在20||R z z <-内绝对收敛并且内闭一致收敛，第二个级数在10||R z z >-内绝对收敛并且内闭一致收敛。于是两级数的和函数分别20||R z z <-及10||R z z >-在内解析。又设21R R <，那么这两个级数都在圆环201||:R z z R D <-<内绝对收敛并且内闭一致收敛，于是我们说级数 ∑+∞ -∞ =-n n n z z )(0β 在这个圆环内绝对收敛并且内闭一致收敛；显然它的和函数是一 个解析函数。我们称级数 ∑+∞ -∞ =-n n n z z )(0 β为洛朗级数。因此，洛朗级数的和函数是圆环D 内的解析函数，我们也有 定理5.1 （洛朗级数）设函数f (z )在圆环：)0(||:21201+∞≤<≤<- 2020届《复变函数与积分变换》练习题 计算题 1．若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ，试求 2+z 的取值范围． 2．设0≥a ，在复数集C 中解方程 a z z =+22. 3．设023=+-z e zw w ，求2 2,dz w d dz dw . 4．已知2 2y x v u -=-，试确定解析函数iv u z f +=)(. 5．若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ，试求2 +z 的取值范围． 6.对于映射)1(21z z += ω，求出圆周4=z 的象. 7．设023=+-z e zw w ，求2 2,dz w d dz dw . 8．已知2 2y x v u -=-，试确定解析函数iv u z f +=)(. 9. 已知iz yi z x z f -+=)()(，求)2(i f -'。 10. 计算积分dz z z z I ? Γ+-=21 的值，其中Γ为正向圆周：4z =。 11. 计算积分dz z C ?)2Im(，其中C 为从原点到1+i 的直线段。 12. 求 i i ）（+1。 13.已知函数 ωω j e t f j += --1))1((F ，求1))(=ωt tf (F 。 14. 已知s s t f cos 1)]([-= L ，求] )([lim 0 dt t f t s ? → L 。 15.已知v u ,均是以y x ,为自变量的实二元函数，且x v u 2=+，试确定解析函数 iv u z f +=)(，且0)0(=f . 16.已知指数函数))(1R k e t f kt ∈=（的Laplace 变换 k s dt e e s F st kt -= = ? +∞-1 )(0 1，复变函数教案1.2
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