高等半导体物理
课程内容(前置课程: 量子力学,固体物理)
第一章能带理论,半导体中得电子态
第二章半导体中得电输运
第三章半导体中得光学性质
第四章超晶格,量子阱
前言:半导体理论与器件发展史
1926 Bloch 定理
1931 Wilson 固体能带论(里程碑)
1948 Bardeen, Brattain and Shokley 发明晶体管,带来了现代电子技术得革命,同时也促进了半导体物理研究得蓬勃发展。从那以后得几十年间,无论在半导体物理研究方面,还就是半导体器件应用方面都有了飞速得发展。
1954半导体有效质量理论得提出,这就是半导体理论得一个重大发展,它定量地描述了半导体导带与价带边附近细致得能带结构,给出了研究浅能级、激子、磁能级等得理论方法,促进了当时得回旋共振、磁光吸收、自由载流子吸收、激子吸收等实验研究。
1958 集成电路问世
1959 赝势概念得提出,使得固体能带得计算大为简化。利用价电子态与原子核心态正交得性质,用一个赝势代替真实得原子势,得到了一个固体中价电子态满足得方程。用赝势方法得到了几乎所有半导体得比较精确得能带结构。1962 半导体激光器发明
1968 硅MOS器件发明及大规模集成电路实现产业化大生产
1970 * 超晶格概念提出,Esaki (江歧), Tsu (朱兆祥)
* 超高真空表面能谱分析技术相继出现,开始了对半导体表面、界面物理得研究
1971 第一个超晶格Al x Ga1x As/GaAs 制备,标志着半导体材料得发展开始进入人工设计得新时代。
1980 德国得V on Klitzing发现了整数量子Hall 效应——标准电阻
1982 崔崎等人在电子迁移率极高得Al x Ga1x As/GaAs异质结中发现了分数量子Hall 效应
1984 Miller等人观察到量子阱中激子吸收峰能量随电场强度变化发生红移得量子限制斯塔克效应,以及由激子吸收系数或折射率变化引起得激子光学非线性效应,为设计新一代光双稳器件提供了重要得依据。
1990 英国得Canham首次在室温下观测到多孔硅得可见光光致发光,使人们瞧到了全硅光电子集成技术得新曙光。近年来,各国科学家将选择生成超薄层外延技术与精细束加工技术密切结合起来,研制量子线与量子点及其光电器件,预期能发现一些新得物理现象与得到更好得器件性能。在器件长度小于电子平均自由程得所谓介观系统中,电子输运不再遵循通常得欧姆定律,电子运动完全由它得波动性质决定。人们发现电子输运得AharonovBohm振荡,电子波得相干振荡以及量子点得库仑阻塞现象等。以上这些新材料、新物理现象得发现产生新得器件设计思想,促进新一代半导体器件得发展。
半导体材料分类:
?元素半导体,
Si, Ge IV 族金刚石结构
Purity 10N9, Impurity concentration 1012/cm3 ,
Dislocation densities <103 /cm3 Size 20 inches (50 cm) in diameter
P V 族
S, Te, Se VI 族
?二元化合物,
1.IIIV族化合物: GaAS系列,闪锌矿结构, 电荷转移
GaAs, 1、47 eV InAs 0、36 eV GaP, 2、23 eV
GaSb, 0、68 eV GaN, 3、3 eV BN 4、6 eV AlN 3、8 eV
2.IIVI族化合物更强得电荷转移
ZnSe 2、67 CdS Z nS CdTe
HgTe 0、025 eV (远红外线探测器)
3.IIIVII族化合物CuCl >3 eV
4.IVIV族化合物红外线探测器PbS 0、37 eV, PbTe 0、29 eV
?氧化物, CuO, CuO2 , ZnO
高温超导体,La2CuO4 , M?ller, Bednorz
?有机半导体(CH2)n, 聚乙稀咔唑,P、P、P、P、V、K
无扩展态,分子能级间得输运,易修饰,电致发光LCD,响应时间短,无显示角问题,全色,能耗低,工艺简
单
?磁性半导体
?非晶态半导体
第一章能带理论,半导体中得电子态(主要参考:李名復《半导体物理学》)
§ 1 基本知识回顾
§ 2 正交平面波方法,赝势
§ 3 紧束缚近似或原子轨道线性组合近似
§ 4 微扰
§ 5 缺陷态,有效质量方程
§ 1 基本知识回顾
11正格子与倒格子Ge, Si, GaAs 得晶体结构,结晶学原胞:面心立方,物理学原胞:正四面体
Ge, Si , 金刚石结构GaAS系列,闪锌矿结构
倒格子,能量空间
布里渊区:
面心立方→体心立方
12 能带理论得基本假定
1)绝热近似(BornOppenheiner近似)
考虑到电子质量远小于原子核得质量,也即电子得速度远大于原子核得速度。因
此,在考虑电子得运动时,可认为原子核就是不动得,而电子在固定不动得原子核产生得势场中运动。这种把电子系统与原子核分开考虑得方法叫绝热近似。
2)平均场近似(单电子近似、HartreeΦok自洽场方法)
如果一个电子所受到得库仑力不仅与自己得位置有关,而且还与其她电子得位置有关,并且该电子本身也影响其她电子得运动,即所有电子得运动就是关联得。这意味着需要联合求解多个薛定谔过程,问题变得异常复杂。
为简化问题,当研究某一个电子运动时,近似地把其她电子对这个电子得作用当作背景,即用一个平均场(自洽场)来代替价电子之间得相互作用,使每个电子得电子间相互作用势仅与该电子得位置有关,而其她电子得位置无关。同理,可用一种平均场代替所有原子核对电子得作用。
这样,一个多电子体系得问题就被简化成单电子问题。
3)周期势场假定
V(r) = V e(r) + Ui(r), Ve(r)代表电子间相互作用势得平均场,就是一个常数。
Ui(r)代表所有原子核对电子得作用得平均场,具有与晶格相同得周期性。
因此:V(r) = V(r+Rn), Rn就是晶格平移矢量。
13 Bloch定理:两种等价得描述
Bloch定理描述之一:对于周期势场,即其中Rn取布喇菲格子得所有格矢,单电子薛定谔方程:
得本征函数就是按布喇菲格子周期性调幅得平面波,即
且 对Rn 取布喇菲格子得所有格矢成立。 Bloch 定理描述之二:对上述得薛定谔方程得每一本征解,存在一波矢k, 使得 对属于布喇菲格子得所有格矢Rn 成立。 14 波函数与狄拉克表示
狄拉克表示: | >, 刃矢,ket 。|ψ >表示波函数ψ描述得状态。
|x ? >表示x 坐标得本征态(本征值x ?),|p ? >表示动量得本征态(本征值p ?), |En >或 |n >表示能量得本征态
与| >相应,刁矢< |表示共轭空间得一个抽象矢量,如<ψ |就是|ψ >得共轭矢量。 平面波:
狄拉克符号 正交归一
Bloch 波: 晶体中单电子薛定谔方程 得解电子波函数满足Bloch 定理,其中
)()( )()( )(1)( r e R r r u R r u r u e V
r nk R k i n nk nk n nk nk r k i nk n
ψψψ?=+=+=
u nk (r)与晶格周期相同得周期函数。
量子数:好量子数,反映电子得平面波运动共有化部分。
n 晶格周期相关得量子数,不同能带电子在原子上得运动。 15 薛定谔方程一般解
晶体中电子波函数 ψk (r)可以一组正交完备得基函数 ?i (r)展开
ψk (r)= ∑i a i ?i (r) i = 1, 2, 3…… 简单举例: ψk (r) = a 1 ?1(r) + a 2 ?2(r) + a 3 ?3(r)
H ψk (r) = E ψk (r),
H a 1 ?1(r) + H a 2 ?2(r) + Ha 3 ?3(r) = E[a 1?1(r) +a 2?2(r)+ a 3?3(r)]
左乘?1*(r), 实空间积分:
? ?1*(r) H a 1 ?1(r) dr + ? ?1*(r)H a 2 ?2(r) dr + ??1*(r) H a 3?3(r) dr
= ? E[?1*(r)a 1?1(r)+ ?1*(r)a 2 ?2(r)+ ?1*(r)a 3 ?3(r)] dr = Ea 1 (1)
令? ?1*(r) H ?1(r) dr = 方程(1)可写成
a 1+a 2+a 3 = Ea 1 (2) a 1+a 2+a 3 = Ea 2 (3) a 1+a 2+a 3 = Ea 3 (4) 一组线性联立齐次方程
[E]a 1+a 2+a 3= 0 a 1+[E]a 2+a 3=0 a 1+a 2+[E]a 3=0
一般表示式: ∑ i,j [ - E δ i,j ] a j = 0 i, j =1, 2, 3… 通过a j 系数行列式等于零求出能量本征值E ,再求出系数a j 。
晶体中电子波函数 ψk (r)= ∑i a i ?i (r)
...
E - 3H 3 2H 3 13 ....... 3H 2 E -2H 2 12 ........ 3H 1 2H 1 11 .
=-H H E H
如何选择基函数、势场就是计算中得关键。
计算方法: 近自由电子近似:基函数 赝势:势场
紧束缚近似: 基函数 微扰 有效质量方程: 势场
16近自由电子近似(弱周期势近似)
近自由电子近似就是当晶格周期势场起伏很小电子得行为很接近自由电子时采用得近似处理。对相当多得价电子为s 电子、p 电子得金属,就是很好得近似。电子感受到得弱周期势,不仅源自于满壳层电子对原子核得屏蔽,而且其她价电子对原子核周期势得再次屏蔽也使周期势场更弱。在具体得计算上, 弱周期势可瞧作微扰,采用量子力学标准得微扰论方法来处理。下面以一维情况为例。
研究对象:一维晶体,N 个原胞,基矢为a,晶体长度为Na 单电子哈密顿量,为势场得平均值,可瞧作微扰。 具有周期性。
相应得零级本征函数与本征能量为: (可取为能量零点)。
正就是由于零级近似得解为自由电子,故称近自由电子近似。 按照一般微扰理论得结果,本征值与本征函数为: 其中:
计算矩阵元
∑?=?==-=-=?-=+----10)1()(0)(''''')(1)(1)()()(''N n a n na
x
k k i Na x k k i dx x V e Na dx x V e Na k x V k k V k k x V k k V x V k k V k
引入积分常数,令,有 于就是:
∑?∑?∑?-=--ξ---=ξ-----=++ξ--ξξ=ξξ=
+ξ+ξ=?1
N 0
n n
a )k k (i a 0)k k (i 1N 0n a 0
)k k (i na )k k (i 1N 0n a )1n (na
)na )(k k (i '
]e [N 1]d )(V e a 1[d )(V e e Na 1)na (d )na (V e Na 1k V k '''''
分两种情况: （1） 当时,
n a a n
i a k k i V d V e a d V e a k V k ===???---ξξξξξ
πξ)(1)(10
20)('
'
正就是周期场V(x)得第n 个傅立叶系数。
∑
-?==-?=-?=?=∑
-?='
'
'
'
'
)0()0(2
'
)2(2
)
0(2)0()1()
0()0()
0(')1(,
0)(])([,)(k k
k k
k k k k
k k
k k k
V k V dx x V dx V x V k V k k
V k x εεε
ψψεψεεψ
（2） 当时, 又因为,,与均为整数。 ,同时分母由于而不为零。 于就是,
近自由电子得本征波函数:
x )a 2n k (i n
222n ik x )
1(k )0(k k e
Na 1])a
2n k (k [m 2V e Na 1)x ()x ()x (π
+?π+-+=ψ+ψ=ψ∑ 这说明在近自由电子近似下,晶体电子波函数ψnk (r)可由自由电子平面波作为基函数展开 自由电子平面波:
即在具有周期性得晶体中,对得求与不必要在全空间,只需由平面波 及与 差一个倒格矢 得平面波
组合而成。
近自由电子得本征能量:
∑+-+=∑-?+=
++=n n
k
k k k k k k a
n k k m V m k
k
V k m k ])2([2222222
2
2
)0()0(2
'
2
2)
2()1()0(''πεεεεεε 当时,分母为零,,其原因为:根据一般微扰理论,
,即在原来零级波函数中,将掺入与它有微扰矩阵元得其它零级波函数。得权重因子,也就就是说,它们得能量差愈小,掺入得部分就愈大。对于很接近得k 状态,在周期场得微扰作用下,最主要得影响将就是掺入了与它能量很接近得状态。针对这种情况,适当得近似处理方法就是,可以忽略所有其它掺入得状态,将波函数写成 ,这就就是一般简并微扰方法。 *能隙出现 将 其中 代入波动方程,
)1(0
)()(0]2[]2[0)](2[0
0000
2
2202220
0222''''
=-?++-?+?=-?++-+-?++-?=+-?++-?k k k k k k k k V b V a V V dx d m b V V dx d m a b a V V dx d m ψεεψεεψεψεψψε (1)式左乘,并对x 积分,得:
)(0
00)(0)()(0
)()(00
0*000*00*000*000*000*0'''''=+-?=+++-?=??+-?+??+-??=?+-?+?+-?n k n k
k
k k k k k k k k k k k k k k k bV a bV a dx V b dx b dx V a dx a dx V b dx V a εεεεψψψεεψψψψεεψψεεψψεεψ
同理,(1)式左乘,并对x 积分,得:
a, b 有解得条件为:
n 2
2212n
0k 0k 2
12
n
0k 0k 212n 0k 0k 212n 0k 0k 0k 0k V m
2k }]V 4[){(21}]V 41[]V 4[){(21}]V 4)[(){(21'''''±=±ε+ε=ε-ε+±ε+ε=+ε-ε±ε+ε=ε?±
小结:
（1） 在近自由电子近似下,晶体电子波函数ψnk (r)可由自由电子平面波作为基函数展开。
（2） 在零级近似中,电子被瞧作自由电子,能量具有抛物线得形式。 （3） 若k 不在附近时,其能量依然保持抛物线形式。
（4） 若k 在附近时,与之有相互作用得作用得状态中存在一个态,两
者能量相等。有,使得原来能量高得更高,原来能量低得下降,能量发生突变。突变点在处,即布里渊区得边界上,能量突变为。
17 紧束缚近似
紧束缚近似就是1928年布洛赫提出得第一个能带计算方法。设想周期场随空间得起伏显著。电子在某一个原子附近时,将主要受到该原子得作用,其她原子得作用可瞧作微扰,即电子紧束缚在原子上得情形。也就
就是,束缚电子得波函数局域在某个原子周围,不同原子之间得波函数交叠很小。其物理图象及结果较适用于过渡族金属中得3d 电子及固体中得其它内层电子。紧束缚近似就是实际上就是用微扰方法求解束缚电子得波函数与能带。其零级得波函数就是孤立原子得单电子波函数,对应得能级就是1s, 2s, 2p ……。一级哈密顿量代表孤立原子组成晶体以后得等效周期晶格势修正。
孤立原子得定态薛定谔方程:
为位于格点原子得势场,为孤立原子中电子得能级。就是孤立原子得电子本征态。n =
1, 2, 3……对应1s, 2s, 2p …… 且有
以氢原子为例,氢原子得束缚态波函数可以表示成: 。
属于较低得几个能级得径向波函数就是: (基态),, ,; ,; , 。
而本征能量为:,为主量子数。
在晶体中(相当于许多孤立原子有规律地排列),其单电子得薛定谔方程为:
为晶格周期势场,为各原子势场之与,即
可看作微扰附近，在V R r V r U V R r V m
H r r R r V r U R r V m
m m m m ?--=?-+?-==--+-+?-?m
22
02
2R ),()(),(2?)
3()()()]()()(2[)2( εψψ 方程(1)就是方程(3)得零级近似,就是得零级近似。若晶体共有N 个原子,则共有N 个这样得方程,即共有N 个波函数具有相同得能量。因此,这N 个波函数就是简并得。按照简并微扰方法,令为系数。当时,具有Bloch 函数得形式,即: 。
晶体中电子得波函数用孤立原子得波函数线性展开得方法,又称为原子轨道线性组合法(Linear bination of Atomic Orbital,简称LCAO)。 将代入薛定谔方程
0)()]()()(2[0)()](2[,22
,2
2=---+--+?-
?=-+-?-?∑∑??m n m k n m R R ik m n k n R R ik R r R r V r U R r V m
e R r r U m
e
m
m m
m
φεφε
,其中时孤立原子中电子得能量。 同时令。
)4(0)()],([,=-?+-?∑?m n m k n i
n R R ik R r R r V e m
m φεε
(4)式左乘并积分,利用得正交归一性,得:
)(),()()()0,(0
*2
,=-??∑?+?+-?≠?dr R r R r V r e dr r r V m n m m R n m R ik n k n i n φφφεε
令,称为晶体场积分,>0且数值不大。这就是因为一般为负。 在= 0处,较大,但接近0。
令,称为交叠积分或重叠积分,仅当相距为得两格点上原子波函数有所交叠时才不为零。紧束缚近似下,只考虑最近邻得交叠,得:
*孤立原子能级与能带得形成
(1)当原子相互接近组成晶体时,由于原子间得相互作用,原来孤立原子得每一能级分裂成一能带。一个原子能级对应一个能带。原子得各个不同能级,在晶体中将产生一系列相应得能带。
(2)愈低得能带愈窄,愈高得能带愈宽。这就是由于能量较低得带对应于较内层得电子,它们得电子轨道很小,在不同原子间很少相互重叠,因此能带较窄。能量较高得较外层电子轨道,在不同得原子间将有较多得重叠,从而形成较宽得带。 (3)不同原子态之间有可能相互混合,即几个能级相近得原子态相互组合而形成能带,如s 带与p 带之间等。 对紧束缚方法得评论:
（1） 用紧束缚方法计算得局域电子态波函数就是各原子轨道得线性组合,因此直接反映了这些态得电子空间分布
情况,在物理上很直观。
（2） 在实际应用中,很少用紧束缚方法去计算半导体能带,而常用它计算由于平移对称性破坏而形成得局域电子态,
如表面电子态、深杂质、缺陷电子态以及半导体量子阱、量子线、量子点得电子态等。
（3） 紧束缚方法得主要缺点就是,可以求得很好得价带结构,但不能求得很好得导带结构。其根源就是在于“紧束
缚”近似上,而导带态更接近于自由电子近似,因此用紧束缚基函数很难得到正确得导带态。
（4） 紧束缚参数通常由拟合能带经验决定,即使对同一种材料,不同作者采用不同近似拟合出来得参数可以相差很
大。
§2正交化平面波,赝势方法 (1)一般平面波方法
一般平面波方法就是一种严格求解周期势场中单电子波函数得方法,物理图象也很清楚。但就是平面波法有一个致命得弱点,就就是收敛性差,要求解得本征值行列式阶数很高,原因就是固体中价电子得波函数在离子实区以外就是平滑函数,而在离子实区内有较大得振荡,以保证与内层电子波函数正交。要描述这种振荡波函数,需要大量得平面波。 对于薛定谔方程,其哈密顿量为,晶体电子波函数ψnk (r)可由自由电子平面波作为基函数展开。自由电子平面波: ,方程
将代入,上式可写成
02)( 22=?
??
?
??+'++????
??-'+∑+'G G k G G k a G k V G k E m G k
δ 这就是一个线性齐次方程组,要方程组有解,必须系数行列式为0,从而可求出。将求得代入方程,可以求出。 例:金刚石结构哈密顿矩阵得近似计算。计算点得E 值
点:
哈密顿矩阵元:
, 矩阵可分为两个小矩阵,矩阵与矩阵
在平面波表象中矩阵就是对角得。矩阵对角元完全由决定。
n =1, 2,… 代表不同得G 。 行列式得普遍方程:
0,)(,)(2det 22='+??
????-'G PW r V G PW E G m G G k δ
要计算上面得行列式,先得解决得计算。或,即,对应于倒易空间得任何一个格矢。为了简化问题,按得大小,我们得到,,……,。
例如,对于硅晶体材料,其布里渊区就是体心立方,选任何一个格点为原点。 1)最近邻,(111)方向,有8个最近邻。。 令为,为……为
因此2
22
22222
12122123111222G 211ma h )()a π(m m G m G H o ?=++==?-= 令,有 ,同理,当,
2)次近邻(6个):(100)方向
0222
222
924002222G 1414101099E )()a
π(m m H H H o o o =++=====
3)第三近邻(12个):斜对角得体心
0222
222
1528022222G 262661611515E )()a
π(m m H H H o o o =++=====
讨论到第三近邻, 共26个倒格矢,26个平面波,其矩阵, H 0对角矩阵,
势能矩阵元:,就是V(r) 傅立叶系数。
??
?
??????????????
?
?????????
??????
??
?
??阵矩矩阵个个个个个个
1212 0
00
1414 0
1268 12 6 8 3
210222022200020202001111111113
21G G G G G G
????????? 势能矩阵分别求出14?14,12?12矩阵,进一步对角化这矩阵元,最后势能与动能矩阵用H 算符得厄米性在方阵转置取复共轭得到整个矩阵。对角化可利用晶体得对称性来解决。
这里提出一个普遍问题:通常取多少个才足够解出接近实际得本征波函数与本征能量？ Heine 估算在Al 中取M = 1016个才足够。
这就是因为在两原子中间,由于原子核被电子有效地屏蔽,势能很浅,变化很平坦,很接近动量为得平面波。然而,组成晶体得原子除了外层价电子外,还有许多内壳层电子态。这些态称为核心态(core states),具有空间很局域得电子轨道,相邻原子得核心态重叠很小。由于核心态得波函数在空间就是很局域得,需要非常多得平面波才能正确地给出核心态得波函数。因此,M 要取很大值,才能既反映接近于得波(G 很小),又能反映大动量得波成分(G 很大)。这就造成一般平面波方法收敛得非常慢。
?????????????????
?
??
??
??????
????
??
?
?---------
E
E E
E E
E E
E E
E E
E E
E E
E E
E G G G 000000000
022202220002020200111111111022
2022200020202001
111
111113218880
00
..
4440
0..
333
12 6 8 ??????????????????个个个
实际上,直接用一般平面波展开方法计算晶体能带就是不可能得。
为了解决这个问题,有两种有效得方法:一种就是Herring 提出得正交平面波方法(Orthogonalized Plane Wave,OPW)。一般用几百个正交平面波就可以收敛。用正交平面波方法已经计算了很多晶体得能带。另一种就是缀加平面波方法(augmented plane wave, APW)。这两种方法得基本思想可归纳为:展开基函数不用单纯得K+G 得平面波,而就是在此之上加进一点反映核心态得波函数成分。这样,对于一个基函数,就同时反映了原子核附近以及两原子之间得波函数成分,收敛将大大加快。这两种方法都可归纳到用赝势得观点去分析。下面,我们仅介绍OPW 方法。 (2)正交平面波方法(Orthogonalized Plane Wave,OPW)
晶体电子得基态与较低态相当于诸孤立原子得内层电子态,展宽了得能带相当于在此之上得能量状态。从变分原理瞧,对于体系得高态,变分函数必须附加上以下条件:与所有比它低得本征函数正交。由于晶体中核心态之间得相互作用可以忽略,因此认为在晶体中得核心态与孤立原子中得核心态就是一样得。因为晶体中较高能量得电子态(包括导带与价带)必须与低能量得核心态正交,因此用一个与核心态正交得平面波来代替原来得波函数,这就就是正交平面波方法。这个与核心态正交得平面波定义为:
,(表征半导体材料中得电子波函数,核心态与自由电子平面波得结合。)其中∣k ?:自由电子平面波函数 ?k (r);∣C ?:内层电子波函数 ?c (r),即核心态得波函数。
(注:离子实区域内外就是两种性质不同得区域。在离子实区域外,电子感受到弱得势场作用,波函数就是光滑得,很象平面波;而在离子实区域内,由于强烈得局域势作用,波函数急剧振荡,因此最好用平面波与壳层能带波函数得线性组合来描述电子得波函数。) 因为与核心态正交, 有
正交化平面波, 可写成:
正交化平面波即就是平面波扣去其在内层电子态得投影,它与诸正交。其第一项反映了两原子之间得波函数,第二项反映紧靠原子核附近内层电子得波函数。
( 将中平行于内层电子波函数得分量去掉。┴分量就是正交得。其中就是投影算符。)
因此,系统得电子波函数可用正交平面波展开:
∑∑+-+∑=+=++h
h h
h
G c
h h G k G h G k G k PW c c G k PW a G k OPW a
r
],,[ ,)(ψ
*赝势概念得提出
正交化平面波作为基函数,将代入薛定谔方程
∑∑∑∑∑∑∑∑+=+-+∴+=??? ??+-+=??? ??+-+++++h
h h
h
h h h
h G h k G k G c
h c k G k c
h k c G c h h k G k G c h h G k G k PW E a G k PW c c E E H a G k c c E c E c H G k PW c c G k PW E a G k PW c c G k PW H a
, ,])([,,, ,, 移到左边并将 。称为赝势。
0]2)({[,,)(',220'=+-∑+?∑+=∑++?+++h h
h h h
h h h
G k h ps h G G k G h G h
k G k G h ps G k a G V G E m
G k G k PW E a G k PW V T a
δ
4 8 能量可由下式求得:。在求得之后,原则上也可得到,因此波函数可以得到。 小结:
1)上面分析说明,求晶体能带与波函数得问题,可转化为求一个赝系统得能量与波函数问题。该赝系统具有赝势式,其能量与真实系统相同,都为。其赝波函数得平面波展开系数等于真实系统得波展开系数。用赝势代替真实势,这样做表面上瞧好像仅仅就是一个数学变换,但实质上将使能带计算大为简化。(注:用较少得展开项就收敛。赝势下得赝波函数与真实势下得布洛赫波函数具有完全相同得能量本征值。固体能带论主要关心得就是导带或价带电子得能带结构,而不就是波函数本身。如果我们可以选择适当得赝势,则可以比较容易地求解出基本真实得能谱。另外, 利用赝势方法算出得赝波函数,除了紧靠原子核处与真实波函数不符之外,其她大部分区域,与真实波函数还就是符合得很好得。)
2)为什么引进赝势以后用较少得展开项就收敛？ 这就是因为能带波函数要求正交于内层电子波函数,这相当于一种排斥作用。这种排斥作用部分抵消了靠近原子核处得强吸引(称为抵消现象),而使等效得赝势在靠近原子核处变得更为平坦。与此对应, 赝波函数在原子核附近没有快振荡得大动量部分,因此也较为平坦,可用少数几项平面波展开即可。
(注:赝势中得第一项来源于真实势V,它就是负值;第二项来源于正交化手续,它就是一个正量。由于正交化手续要求波函数必须与内层电子波
函数正交,它在离子实区强烈振荡,动能很大,实际上起一种排斥势能得作用,它在很大程度上抵消了离子实区V 得吸引作用,从而使得矩阵元比平面波中矩阵元小得多,故收敛性比平面波好得多。)
(Philips 抵消原理:赝势在核心区域对价电子有排斥作用,将价电子排斥在核心区域之外,这个排斥势几乎抵消了在核心区内很强得离子吸引势,最后形成一个弱得吸引赝势,这称为Philips 抵消原理。)
3)赝势得引入具有任意性。我们得目得在于选取一个最好得赝势,它在靠近原子核处尽可能平坦而浅,在两原子之间趋近真实势。这样用较少得展开项就可以求得好得结果。普遍意义得赝势概念即:在原子内部用一个假想得势代替真正得原子势能,对求解原子间空间得薛定谔方程来讲,若不改变其本征值与本征函数,则这个势为赝势。正交化平面波所对应得赝势只就是赝势得一种。 又论“赝势”
就就是把离子实得内部势能用假想得势能取代真实得势能,但在求解波动方程时,不改变能量本征值与离子实之间区域得波函数。由赝势求出得波函数叫赝波函数,在离子实之间得区域真实得势与赝势给出同样得波函数。
元素得价电子决定着在材料得特性,在原子结合成固体得过程中,价电子得运动状态发生了很大变化,内层电子则不然。价电子参与了电荷转移与成键,因此希望解波函数得部分,只处理价电子就好,而将内层电子简
单地视为与孤立原子得内层电子相同。固体价电子波函数在离子实之间得区域变化平缓,与自由电子得平面波相近;离子实内部得区域,波函数变化剧烈,存在很多节点,这就是因为需要使价电子与内层电子波函数正交,径向函数乘积积分为零,因而离子实内部出现节点使一部分区域为正,一部分为负。“赝势”顾名思义,就是一种假得位势,但概括了离子实得吸引作用与波函数得正交要求,这二者相互抵消,赝势总就是使离子实内部得电子波函数尽可能得平坦。
最简单得模型可以就是取距原子中心r 处为划分点,大于r 得区域波函数完全一样保留,而r 以内则对波函数加以改造。主要就是要把振荡剧烈得波函数改造以变化缓慢得波函数,而且没有节点,少了剧烈振荡。这样选择参量r,就可以使模型与真实结果相符合。 *讨论能带计算得具体问题。
对于具体一个晶体,位于一个格点得原胞中包含几个原子,它们相对于原胞零点得坐标为。每个原子对应得局域赝势为,则晶体得赝势可写为。
计算矩阵元
?∑=?∑='-==?∑-=?∑∑--=?=''--'--'--'--'--'--'--r d e
r u e v d e e u v G V G r N
V
v r d e r u V N r
d e r r u V r d e V V G V G r G G i PS G G i v G G i G G i PS PS r G G i PS j r G G i j PS r G G i PS PS
)()(0)()(00)()()()(1 )(, )()(1 10ττ
ττξτττ
ττ
τξξτ
ξττ 定义:结构因子,形式因子
就是得傅立叶变换。对于选取得好得赝势,由于赝势很平坦,只有动量很小得傅立叶分量才不为零。只需选择合适得赝势,就可用较少得平面波展开来计算矩阵元。
例:金刚石结构,面心立方,一个原胞两个原子,取两原子连线得中点为坐标原点,如图所示。 a 为面心立方边长。
)()( )()()()(G G u e G G u e G G u e G V G PS
G G i PS G G i PS G G i PS '-+'-='-∑='-'-'--'--ττττττ
τ
对于硅,。 对称势:, 反对称势:
()()
τ
τττττττττττττ )( sin )( )( cos )()(2
1
)(21)(21)(21)(21)(21)
()()()()()()()()()()()(G G G G u i G G G G u G G u e e G G u e e G G u e G G u e G G u e G G u e G G u e G G u e G V G A
s A G G i G G i S G G i G G i A G G i A G G i S G G i S G G i PS
G G i PS G G i PS '-'--'-'-='--+'-+='--'-+'-+'-='-+'-=''-'--'-'--'-'--'-'---'-'--
结构因子
)()()( )(G G u G G iS G G u G G S G V G A A
S S PS '-'--'-'-='
金刚石结构,采用赝势后,空间变化缓慢, 只包含较少得G 。由于球对称关系,仅与倒格矢得绝对值有关。
550440
330
2211011}1,1,3{2:
8 )0,2,2(2:4)0,0,2(2:3)1,1,1(2:
0)0,0,0(2 : 2G G a
G G G a G G G a G G G a
G G a G a G
======
ππππππ
对于硅,有: 化合物半导体 ,则:
两种计算赝势形式因子得途径:
● 经验赝势Empirical Pesudopotential Method(EPM),
可通过经验赝势得计算与实验, 如光反射谱得极值点或光电子特征峰比较得到,要求实验数据输入,某个元素得u(G)一旦确定, 可以在别得化合物中用。
可转移性(transferability)问题:原子赝势都就是根据各种元素晶体得能带与光学性质确定得。对于Si,Ge 这些元素半导体当然直接可用。但对于化合物半导体,能否直接用组合化合物得两种元素得原子赝势来计算它得能带？经验发现,在零级近似下,这样做就是可行得,但为了与化合物能带结构符合得更好,还需对每一种化合物所取得得原子赝势做适当得修正。
● 自洽赝势Selfconsistent or abinitio PS method
假定在晶体中各个原子位置上由相应得裸离子赝势周期排列,叠加构成了正离子赝势背景。第一步选经验赝势作为初始势。
在处截断得赝势形状因子就足以用来计算能带得,即利用上述表格提供得信息就足够了。
作业:请证明对于金刚石结构得元素半导体材料与闪锌矿结构得化合物半导体材料,当时与当时,并进一步说明对于表2、21,为什么没有与？
§ 3 紧束缚近似或原子轨道线性组合近似(LCAO)
LCAO 方法就是讨论固体能带与波函数得最早方法之一。近年来该方法有了很大得发展,并广泛用于定量计算具体得晶体能带结构。该方法简单明了,与孤立原子状态得对应关系明确。它形象地阐明了孤立原子对应得能级,在原子相互靠近形成晶体时展宽成能带。下面给出该方法得要点。 § 31 简单格子
晶体电子波函数 为归一化常数。 因为 ,因此对应不同格点得交叠情况。
, H a 原子哈密顿量,为晶体势场与位于某格点得孤立原子势场得差,可视为微扰。
()()()(
)
()()()
∑-=∑-'+∑-?∑-=∑-'+?=?????j
j r k i k j
j r k i j
j r k i c j
j r k i k j
j r k i a k k k r r e E r r e
V r r e
E r r e E r r e
V H r E r H j
j
j
j
j
?????ψψ)(
起始势相互自洽
单电子势与起始势比较总的单电子势相关势交换解价电子对势的贡献计算电荷密度解方程起始势晶体结构模型为出发点，需要原子赝势势→→+=→+=↓=→=?=↓→=+→-
- )]([ 4 ,
,E V) (T ),( ,2*，V V V V V V V ，r f V V E r V inito ab ion sc ion xc
H sc xc Hatree ρπρψψρψψψ
左乘后积分得:
()()()()()()
()()()()()()
∑-=-'∑+∑-?∑-=∑-'+∑-??????j
j r k i k j r k i j
j
j r k i c j
j r k i k j j r k i j j r k i c r r r e E r r V r e
r r r e
E r r e E r r r e V r r r e E r j j
j
j
j j
???????????? 两边除以,得:
§ 32 复式格子,LCAO 得普遍形式
考虑两方面:(1)对于同一个格点原子得好几个状态,不同电子态m, 如 3S, 3P X ,3P Y ,3P Z 等。
(2)一个布喇菲原胞有几个原子。
我们用τ标明同一原胞但不同格点位,而第j 个原胞中第τ个格点位矢为、 表示格点在处τ位上得原子得m 状态得原子波函数。
,其中,j 对全体布喇菲点求与,m 对同一格点不同原子轨道求与,τ对原胞中不同格点求与。 j : 原胞,τ:原子坐标 m :电子态
(其中在对j 求与时得表示)
其中对应不同格点得交叠情况。当不同格点相互正交时,。 将代入薛定谔方程,左乘积分可得:
)()(1
)(,ττττττττττ??'
''''
'
'
'
'
-''--∑∑=j m j m m k km j j r k i j
j r k i m m r r H r r S S N e e k H
, ,
]
)()([1)('
'
')
(,τ?τ?ττττττ
ττ'----∑∑=
'''-+--'
'
''j m j m j j
r r k i m k km m m r r H r r e S S N k H j
j
考虑到格点得周期性[ ]内与j 无关,
)()()()()(21,τ?τ?ττττττττ'---∑='''+--'''''j m m j
r k i m k mk m m r r H r e S S k H j
同理,可得)()()()()(21,τ?τ?ττττττττ'---∑='''+--'''''j m m j
r k i m k mk m m r r r e S S k S j
由此可求得能量。
§33 例:金刚石结构(闪锌矿结构)
1） 四面体结构,一个原胞含两个原子,闪锌矿结构含两不同得原子,中心原子为A,近邻为B 。 仅计最近邻原
子。
2) 忽略自旋轨道相互作用,每个原子考虑S 、P 轨道,它们就是如Si:3S,3P x ,3P y ,3P z 。
结构如图所示: 最近邻原子 绕Z 轴旋转π(180度): 绕X 轴旋转π(180度): 绕Y 轴旋转π(180度):
[
]
)( )()()()(,,,=∑-'
''
'''''''k c r r E r H r m m k m k m k k m k m ττττττ
ψψψψ
绕?111?轴转2π/3或3π/4: 反演平移:
原子波函数:Si:3S,3P x ,3P y ,3P z 。普通原子轨道波函数
用直角坐标表示,P(l=1)轨道径向波函数
()()()
??????
?===++=????
??
?
??-=-=+=θ
?
θ?
θcos sin sin cos sin 1211210)(2
/12221r z r y r x z y x r m iy x m iy x m z
r r R n 其中
考虑对称性方便,上述函数得线性组合P 波函数,对称性与x, y, z 同。
对于硅,可以选择八个紧束缚得基函数:。 附:进一步得解释
对于内层电子,能带宽度较小,能级与能带之间有简单得一一对应;外层电子,能带较宽,能级与能带之间得对应变得比较复杂。这时可以认为主要由几个能级相近得原子态相互组合而形成能带,而略去了其她较多原子态得影响。例如:只计入同一主量子数中得s 态与p 态之间得相互作用,先把各原子态组成布洛赫与。对于硅,每个原胞有2个原子,3s 与3p 轨道相互杂化,所以至少需要8个布洛赫与:
)'(1
),'(1)'(1
),'(1)(1
),(1)(1
),(1
τ??τ??τ??τ??τ??τ??τ??τ??--=--=--=--=--=--=--=--=∑∑∑∑∑∑∑∑????????m pz m
Rm ik Bz m py m Rm ik By
m px m
Rm ik Bx m s m
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Rm ik AS R r e N R r e N R r e N R r e N R r e N R r e N R r e N R r e N
晶体中得电子波函数Bz
By Bx BS Az Ay Ax AS a a a a a a a a ????????ψ87654321+++++++=
八个紧束缚得基函数:。
对同一格点上不同原子轨道就是正交得。不同格点上原子轨道由于有交叠一般不正交,但可采取所谓得变换方法把它们重新组合成8个新得轨道,仍具有s 与p 对称性且相互正交。有:
取τ为坐标原点,
*积分分类
Hss
● PS , < B Y | H | A S >, < B Z | H | A S > Hxs ● SP , < B S | H | A Y >,< B S | H | A Z > Hxs ● 同态 , < B Y |H |A Y >, < B Z | H | A Z > Hxx ● PP , < B Y | H | A Z > ,< B Z | H | A X > Hxy ● PP ,< B Z | H | A Y >, < B X | H | A Z > Hxy (1)同格子自身原子,即只考虑同一原子上不同轨道间得积分:
考虑在原子范围内,晶体哈密顿量近似地与孤立原子得哈密顿量H 0相等, 用H 0代替H 在同一原子范围内就是可行得。
表明同一原子得两个紧束缚基函数间得H 矩阵元,只当属于同一轨道时才不为零。且矩阵元得本征值就就是对应轨道能量本征值。
(2)同一个原胞内不同原子之间得相互作用,仅考虑与最近邻得四个原子得相
互作用。
有多种不同得积分,可分成几类情况,A 为原点,B 为近邻, 如前面所述。 (a) m 相同,不同。
????∑?-+-+-+-=-=
=????=?''r d r H r r e r d r H r r e r d r H r r e r d r H r r e r
d r H r r e
k H A H B S j S
r k i S j S r k i S j S r k i S j S
r k i r S j S r k i m m S S j j j j j j
)()()()()()()()()()()( 4*3*2*1*4
,3,2,1*
,4321
??????????ττ
由于具有球对称性,四个积分相等。即
z
y x z y x SS S
S k k k i k k k k g k g H A H B 2
sin 2sin 2sin 2cos 2cos 2cos )()
(400ππππππ-==
其中
(b)m 不同,不同。
????∑?-+-+-+-=-=
????=?r d r H r r e r d r H r r e r d r H r r e r d r H r r e r
d r H r r e
A H
B S j r k i S j r k i S j r k i S j r k i r S j x r k i S x j j j j j j
)()()()()()()()()()(4*x
3*x 2*x 1*x
4
,3,2,1*4321
?????????? 令,
按(x,y,z)变换。
E
E E
E E
E E E B B B B
E
E E
E E
E E
E A A A A B
B B
B
A
A A
A
P P P S z
y
x
S P P P S z
y x S z
y x S z y x S --------
绕Z 轴旋转π(180度):
因为得对称性与一样,因此绕Z 轴旋转π之后, ,所以有:
绕X 轴旋转π(180度): 绕Y 轴旋转π(180度):
{}
)
k (g )r (H 4k 2cos k 2cos k 2sin i k 2sin k 2sin k 2cos )r (H 4e e e e )r (H r d )r (H )r r (e
A H
B 11xS z y x z y x 1xS r k i r k i r k i r k i 1xS 4
,3,2,1r S j *x
r k i S x 4
321j j
=???
?
??πππ-πππ-=-+-=?-?=
∑?=? 其中???
?
??--=z y x z y x k k k i k k k k g 2cos 2cos 2sin 2sin 2sin 2cos )(1ππππππ 。
同样得方法分析
绕?111?转2π/3,3π/4
所需参数:。这些参数通常用两个方法来确定。第一种方法先确定晶体势场V 与原子轨道函数,然后用计算机计算矩阵元。第二种方法就是将这些参数作为待定参数,在布里渊区某些特殊k 点处写出以待定参数为自变量得得函数形式。由实验中得到,通过解方程求出待定函数,再用计算机求出全部布里渊区得值。
对于
As Bs Ax Bx
Ay By Az Bz As E sa E k H ss
Bs H ss E sb E k Ax E pa E k H xx Bx H xx E pb E k Ay E pa E k H xx
By H xx E pb E k
Az E pa E k H xx Bz H xx E pb E k 在处,s 态与诸p 态可以分开考虑。
例:金刚石结构,求在Γ点本征值及本征函数。 (1)S 态
其中Es 为原子轨道s 态得能级。
A
B
就是H 与A, B 原子S 轨道(球对称)得重叠积分。
这就是因为就是球对称得,交叠部分符号一致,因此交叠部分为正,而势能部分就是负得,积分。 本征函数:
[]
0)( )()()()(,,,=∑-'
'
'
'''''''k c r r E r H r m m k m k m k k m k m ττττττ
????
以上求与只涉及到两项,
因此,有两个状态:
(反键态): 两个格点中波函数相互抵消,电子在该处出现得几率较少。能量
较高(所对应得能量比孤立原子态得能量高)。
(成键态): 在两个格点中波函数相互加强,电子云浓度较高,能量较低(所对
应得能量比孤立原子态得能量低)。
(2)P 态分析:与S 态分析相似,3个完全相似得2 2矩阵,说明能级就是三度简并 令
因为为A 原子P 轨道与B 原子P 轨道得重叠积分,波函数交叠部分为负(P 态波函数对于原点反对称,交叠部分符号相反),势函数<0,所以
小结: ? 紧
束缚近似能够清楚表
明LCAO
能
带与
原子能级对应关系 ? 计算价带结果较好
? 需要改进得地方: 包含更多得原子与原子轨道
]
晶体对称性与本征态分类:介绍有关群论知识(不作证明)
(可参考Peter Y 、Yu,《Fundamentals Manual Cardona of Semiconductors 》) ◆ 晶体对称性
● 晶体对称性,指晶体在某一操作下或几何变换下物体不变性。
● 把一种几何变换称一种对称操作。晶体得对称操作构成一个群,如所有操作中至少保持一点不变,这些对
称操作得集合称为点群。
● 晶体点群得对称操作可分成若干类,晶体电子波函数得对称性也分成这些类。
◆ 构成一个群得条件
● 每个群元得乘积AB(AA)需就是群中得一个元 ● 群中需有一个不变得群元E,AE=EA=A ● 满足结合律,A(BC)=(AB)C
● 群中每一个元A 有逆元A 1,满足AA 1=A 1A,
◆ 立方体对称性
a. 绕三立方轴转动 π/2,π,3π/2, 3 3=9个对称操作
b. 绕面对角线转π,6条面对角线,6个对称操作
c. 绕体对角线转动2π/3,4π/3,4条体对角线,2 4=8个对称操作
d. 不变操作 E 1个对称操作 共计:24 O 群
e. 中心反演,24 2=48个对称操作 48对称操作构成O h 群(熊夫列符号) ◆ 四面体对称性
* 绕三立方轴转动 π,3个对称操作
* 绕体对角线,转动 2π/3,4π/3,2 4 = 8个对称操作 * 不变操作E,1个对称操作
* 绕立方轴转动 π/2,3π/2,加中心反演,6个对称操作 * 绕垂直对角面(镜面)线转π,加中心反演,6个对称操作 T d 群 24个对称操作 ◆ 金刚石结构得对称操作
T d 群操作不能使A 、B 原子分别恢复,必须T d 群操作加反演及再平移
◆ 本征态分类
群表示:任何一个群就是群元得组合。群元往往就是抽象得。它们用相应得矩阵
来表示。这些矩阵在通常矩阵所遵循得运算法则下,本身构成群。称为群G 表示或群表象。
群对称操作R i ,作用函数f (x,y,z)形成{f i }
f i = R i {f } , 封闭性,R {f i } = ∑j f j a ji, , a ji, 变换矩阵
如矩阵不能通过相似变换约化成如右图准对角矩阵,表示就是不可约得。不可约表示(表象)既就是矩阵,就有基函数与维数问题。“不可约表示”就是指维数不能再减约得表示。 *不可约表示数 = 群类得个数 数学上可证,O h 群,10类不同表象。 T d 群,5类不同表象 不可约表示符号
Koster Γ1 Γ2 Γ3 Γ4 Γ5 BSW Γ1 Γ2 Γ12 Γ15 Γ25 Molecular A 1 A 2 E T2 T1
每个不可约表象Γ1,Γ15,Γ25。。。。有特定得对称性,就是以基函数表征得。 * 群得不可约表示得维数平方 = 群元得个数,
O
x
y
z
B E A
G
D
H
C F
r 1
r 2
r 4 r 3
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 2015半导体物理器件期末考试试题(全) 半导体物理器件原理（期末试题大纲）指导老师：陈建萍一、简答题（共 6 题，每题 4 分）。 代表试卷已出的题目1、耗尽区：半导体内部净正电荷与净负电荷区域，因为它不存在任何可动的电荷，为耗尽区（空间电荷区的另一种称呼）。 2、势垒电容：由于耗尽区内的正负电荷在空间上分离而具有的电容充放电效应，即反偏 Fpn 结的电容。 3、Pn 结击穿：在特定的反偏电压下，反偏电流迅速增大的现象。 4、欧姆接触：金属半导体接触电阻很低，且在结两边都能形成电流的接触。 5、饱和电压：栅结耗尽层在漏端刚好夹断时所加的漏源电压。 6、阈值电压：达到阈值反型点所需的栅压。 7、基区宽度调制效应：随 C-E 结电压或 C-B 结电压的变化，中性基区宽度的变化。 8、截止频率：共发射极电流增益的幅值为 1 时的频率。 9、厄利效应：基带宽度调制的另一种称呼（晶体管有效基区宽度随集电结偏置电压的变化而变化的一种现象） 10、隧道效应：粒子穿透薄层势垒的量子力学现象。 11、爱因斯坦关系：扩散系数和迁移率的关系： 12、扩散电容：正偏 pn 结内由于少子的存储效应而形成的电容。 1/ 11
13、空间电荷区：冶金结两侧由于 n 区内施主电离和 p 区内受主电离
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 而形成的带净正电荷与净负电荷的区域。 14、单边突变结：冶金结的一侧的掺杂浓度远大于另一侧的掺杂浓度的 pn 结。 15、界面态：氧化层--半导体界面处禁带宽度中允许的电子能态。 16、平带电压：平带条件发生时所加的栅压，此时在氧化层下面的半导体中没有空间电荷区。 17、阈值反型点：反型电荷密度等于掺杂浓度时的情形。 18、表面散射：当载流子在源极和源漏极漂移时，氧化层--半导体界面处载流子的电场吸引作用和库伦排斥作用。 19、雪崩击穿：由雪崩倍增效应引起的反向电流的急剧增大，称为雪崩击穿。 20、内建电场：n 区和 p 区的净正电荷和负电荷在冶金结附近感生出的电场叫内建电场，方向由正电荷区指向负电荷区，就是由 n 区指向 p 区。 21、齐纳击穿：在重掺杂 pn 结内，反偏条件下结两侧的导带与价带离得非常近，以至于电子可以由 p 区的价带直接隧穿到 n 区的导带的现象。 22、大注入效应：大注入下，晶体管内产生三种物理现象，既三个效应，分别称为：（1）基区电导调制效应；（2）有效基区扩展效应； (3)发射结电流集边效应。 它们都将造成晶体管电流放大系数的下降。 3/ 11
1.布喇格定律（相长干涉）：点阵周期性导致布喇格定律。 2.晶体性质的周期性：电子数密度n(r)是r的周期性函数，存在 3.2πp/a被称为晶体的倒易点阵中或傅立叶空间中的一个点，倒易点中垂线做直线可得布里渊区。 3.倒易点阵： 4.衍射条件：当散射波矢等于一个倒易点阵矢量G时，散射振幅 达到最大 波矢为k的电子波的布喇格衍射条件是： 一维情况（布里渊区边界满足布拉格）简化为： 当电子波矢为±π/a时，描述电子的波函数不 再是行波，而是驻波（反复布喇格反射的结果） 5.布里渊区： 6.布里渊区的体积应等于倒易点阵初基晶胞的体积。 7.简单立方点阵的倒易点阵，仍是一个简立方点阵，点阵常数为2π/a，第一布里渊区是个以原点为体心，边长为2π/a的立方体。 体心立方点阵的倒易点阵是个面心立方点阵，第一布里渊区是正菱形十二面体。面心立方点阵的倒易点阵是个体心立方点阵，第一布里渊区是截角八面体。 8.能隙（禁带）的起因：晶体中电子波的布喇格反射－周期性势场的作用。（边界处布拉格反射形成驻波，造成能量差）
9.第一布里渊区内允许的波矢总数=晶体中的初基晶胞数N －每个初基晶胞恰好给每个能带贡献一个独立的k值； －直接推广到三维情况考虑到同一能量下电子可以有两个相反的自旋取向，于是每个能带中存在2N个独立轨道。 －若每个初基晶胞中含有一个一价原子，那么能带可被电子填满一半； －若每个原子能贡献两个价电子，那么能带刚好填满；初基晶胞中若含有两个一价原子，能带也刚好填满。 绝缘体：至一个全满，其余全满或空（初基晶胞内的价电子数目为偶数,能带不 交叠）2N. 金属：半空半满 半导体或半金属：一个或两个能带是几乎空着或几乎充满以外，其余全满 （半金属能带交叠） 10.自由电子： 11.半导体的E-k关系： 导带底：E(k)>E(0)，电子有效质量为正值； 价带顶：E(k) 高等半导体物理 课程内容（前置课程：量子力学，固体物理） 第一章能带理论，半导体中的电子态 第二章半导体中的电输运 第三章半导体中的光学性质 第四章超晶格，量子阱 前言：半导体理论和器件发展史 1926 Bloch 定理 1931 Wilson 固体能带论（里程碑） 1948 Bardeen, Brattain and Shokley 发明晶体管，带来了现代电子技术的革命，同时也促进了半导体物理研究的蓬勃发展。从那以后的几十年间，无论在半导体物理研究方面，还是半导体器件应用方面都有了飞速的发展。 1954半导体有效质量理论的提出，这是半导体理论的一个重大发展，它定量地描述了半导体导带和价带边附近细致的能带结构，给出了研究浅能级、激子、磁能级等的理论方法，促进了当时的回旋共振、磁光吸收、自由载流子吸收、激子吸收等实验研究。 1958 集成电路问世 1959 赝势概念的提出，使得固体能带的计算大为简化。利用价电子态与原子核心态正交的性质，用一个赝势代替真实的原子势，得到了一个固体中价电子态满足的方程。用赝势方法得到了几乎所有半导体的比较精确的能带结构。 1962 半导体激光器发明 1968 硅MOS器件发明及大规模集成电路实现产业化大生产 1970 * 超晶格概念提出，Esaki (江歧), Tsu （朱兆祥） * 超高真空表面能谱分析技术相继出现，开始了对半导体表面、界面物理的研究 1971 第一个超晶格Al x Ga 1-x As/GaAs 制备，标志着半导体材料的发展开始进入人 工设计的新时代。 1980 德国的Von Klitzing发现了整数量子Hall 效应——标准电阻 1982 崔崎等人在电子迁移率极高的Al x Ga 1-x As/GaAs异质结中发现了分数量子 Hall 效应 1984 Miller等人观察到量子阱中激子吸收峰能量随电场强度变化发生红移的量子限制斯塔克效应，以及由激子吸收系数或折射率变化引起的激子光学非线性效应，为设计新一代光双稳器件提供了重要的依据。 1990 英国的Canham首次在室温下观测到多孔硅的可见光光致发光，使人们看到了全硅光电子集成技术的新曙光。 近年来，各国科学家将选择生成超薄层外延技术和精细束加工技术密切结合起来，研制量子线与量子点及其光电器件，预期能发现一些新的物理现象和得到更好的器件性能。在器件长度小于电子平均自由程的所谓介观系统中，电子输运不再遵循通常的欧姆定律，电子运动完全由它的波动性质决定。人们发现电子输运的Aharonov-Bohm振荡，电子波的相干振荡以及量子点的库仑阻塞现象等。以上这些新材料、新物理现象的发现产生新的器件设计思想，促进新一代半导体器件的发展。 半导体材料分类： ?元素半导体， Si, Ge IV 族金刚石结构 Purity 10N9, Impurity concentration 10-12/cm3 , 一、p-n结 1.PN结的杂质分布、空间电荷区，电场分布 （1）按照杂质浓度分布，PN 结分为突变结和线性缓变结 突变结--- P区与N区的杂质浓度都是均匀的，杂质浓度在冶金结面处（x = 0）发生突变。 单边突变结---一侧的浓度远大于另一侧，分别记为PN+ 单边突变结和P+N 单边突变结。后面的分析主要是建立在突变结（单边突变结）的基础上 突变结近似的杂质分布。 线性缓变结--- 冶金结面两侧的杂质浓度均随距离作线性变化，杂质浓度梯 a 为常数。在线性区 () N x ax =- () 常数 = - = dx N N d a a d 线性缓变结近似的杂质分布。 空间电荷区：PN结中，电子由N区转移至P区，空穴由P区转移至N区。电子和空穴的转移分别在N区和P区留下了未被补偿的施主离子和受主离子。它们是荷电的、固定不动的，称为空间电荷。空间电荷存在的区域称为空间电荷区。 （2）电场分布 2.平衡载流子和非平衡载流子 （1）平衡载流子--处于非平衡状态的半导体,其载流子浓度为n0和p0。 （2）非平衡载流子--处于非平衡状态的半导体，其载流子浓度也不再是n0和p0（此处0是下标），可以比他们多出一部分。比平衡状态多出来的这部分载流子称为非平衡载流子 3. Fermi 能级，准Fermi 能级，平衡PN结能带图，非平衡PN结能带图 (1)Fermi 能级:平衡PN结有统一的费米能级。 （2）当pn结加上外加电压V后，在扩散区和势垒区范围内，电子和空穴没有统一的费米能级，分别用准费米能级。 （3）平衡PN结能带图 （4）非平衡PN结能带图 半导体物理知识点总结 本章主要讨论半导体中电子的运动状态。主要介绍了半导体的几种常见晶体结构，半导体中能带的形成，半导体中电子的状态和能带特点，在讲解半导体中电子的运动时，引入了有效质量的概念。阐述本征半导体的导电机构，引入了空穴散射的概念。最后，介绍了Si、Ge和GaAs的能带结构。 在1.1节，半导体的几种常见晶体结构及结合性质。（重点掌握）在1.2节，为了深入理解能带的形成，介绍了电子的共有化运动。介绍半导体中电子的状态和能带特点，并对导体、半导体和绝缘体的能带进行比较，在此基础上引入本征激发的概念。（重点掌握）在1.3节，引入有效质量的概念。讨论半导体中电子的平均速度和加速度。（重点掌握）在1.4节，阐述本征半导体的导电机构，由此引入了空穴散射的概念，得到空穴的特点。（重点掌握）在1.5节，介绍回旋共振测试有效质量的原理和方法。（理解即可）在1.6节，介绍Si、Ge的能带结构。（掌握能带结构特征）在1.7节，介绍Ⅲ-Ⅴ族化合物的能带结构，主要了解GaAs的能带结构。（掌握能带结构特征）本章重难点： 重点： 1、半导体硅、锗的晶体结构（金刚石型结构）及其特点； 三五族化合物半导体的闪锌矿型结构及其特点。 2、熟悉晶体中电子、孤立原子的电子、自由电子的运动有何不同：孤立原子中的电子是在该原子的核和其它电子的势场中运动，自由电子是在恒定为零的势场中运动，而晶体中的电子是在严格周期性重复排列的原子间运动（共有化运动），单电子近似认为，晶体中的某一个电子是在周期性排列且固定不动的原子核的势场以及其它大量电子的平均势场中运动，这个势场也是周期性变化的，而且它的周期与晶格周期相同。 3、晶体中电子的共有化运动导致分立的能级发生劈裂，是形成半导体能带的原因，半导体能带的特点： ①存在轨道杂化，失去能级与能带的对应关系。杂化后能带重新分开为上能带和下能带，上能带称为导带，下能带称为价带②低温下，价带填满电子，导带全空，高温下价带中的一部分电子跃迁到导带，使晶体呈现弱导电性。 第三章习题和答案 1. 计算能量在E=E c 到2 *n 2 C L 2m 100E E 之间单位体积中的量子态数。 解： 2. 试证明实际硅、锗中导带底附近状态密度公式为式（3-6）。 3 22 23 3*28100E 21 23 3 *22100E 002 1 233*231000L 8100)(3 222)(22)(1Z V Z Z )(Z )(22)(23 22 C 22 C L E m h E E E m V dE E E m V dE E g V d dE E g d E E m V E g c n c C n l m h E C n l m E C n n c n c ）（） （单位体积内的量子态数） （) (21)(,)"(2)()(,)(,)()(2~.2'2 1 3'' ''''2'21'21'21' 2 2222 22C a a l t t z y x a c c z l a z y t a y x t a x z t y x C C e E E m h k V m m m m k g k k k k k m h E k E k m m k k m m k k m m k ml k m k k h E k E K IC E G si ? 系中的态密度在等能面仍为球形等能面 系中在则：令） （关系为 ）（半导体的、证明： 3 1 23 2212 32' 2123 2 31'2 '''')()2(4)()(111100)()(24)(4)()(~l t n c n c l t t z m m s m V E E h m E sg E g si V E E h m m m dE dz E g dk k k g Vk k g d k dE E E ?? ? ? ）方向有四个， 锗在（旋转椭球，个方向，有六个对称的导带底在对于即状态数。 空间所包含的空间的状态数等于在 电子科技大学二零一零至二零一一学年第一学期期末考试 1．对于大注入下的直接辐射复合，非平衡载流子的寿命与（D ） A. 平衡载流子浓度成正比 B. 非平衡载流子浓度成正比 C. 平衡载流子浓度成反比 D. 非平衡载流子浓度成反比 2．有3个硅样品，其掺杂情况分别是： 甲．含铝1×10-15cm-3乙.含硼和磷各1×10-17cm-3丙.含镓1×10-17cm-3 室温下，这些样品的电阻率由高到低的顺序是（C ） A.甲乙丙 B. 甲丙乙 C. 乙甲丙 D. 丙甲乙 3．题2中样品的电子迁移率由高到低的顺序是（ B ） 4．题2中费米能级由高到低的顺序是（ C ） 5. 欧姆接触是指（ D ）的金属一半导体接触 A. W ms = 0 B. W ms < 0 C. W ms > 0 D. 阻值较小且具有对称而线性的伏安特性 6．有效复合中心的能级必靠近( A ) A.禁带中部 B.导带 C.价带 D.费米能级 7．当一种n型半导体的少子寿命由直接辐射复合决定时，其小注入下的少子寿命正比于（C ） A.1/n0 B.1/△n C.1/p0 D.1/△p 8．半导体中载流子的扩散系数决定于其中的( A ) A.散射机构 B. 复合机构 C.杂质浓变梯度 D.表面复合速度 9．MOS 器件绝缘层中的可动电荷是（ C ） A. 电子 B. 空穴 C. 钠离子 D. 硅离子 10．以下4种半导体中最适合于制作高温器件的是（ D ） A. Si B. Ge C. GaAs D. GaN 二、解释并区别下列术语的物理意义（30 分，7+7+8+8，共4 题） 1. 有效质量、纵向有效质量与横向有效质量（7 分） 答：有效质量：由于半导体中载流子既受到外场力作用，又受到半导体内部周期性势场作用。有效概括了半导体内部周期性势场的作用，使外场力和载流子加速度直接联系起来。在直接由实验测得的有效质量后，可以很方便的解决电子的运动规律。(3分) 纵向有效质量、横向有效质量：由于k空间等能面是椭球面，有效质量各向异性，在回旋共振实验中，当磁感应强度相对晶轴有不同取向时，可以得到为数不等的吸收峰。我们引入纵向有效质量跟横向有效质量表示旋转椭球等能面纵向有效质量和横向有效质量。(4分) 2. 扩散长度、牵引长度与德拜长度（7 分） 答：扩散长度：指的是非平衡载流子在复合前所能扩散深入样品的平均距离。由扩散系数 基本概念题： 第一章半导体电子状态 1.1 半导体 通常是指导电能力介于导体和绝缘体之间的材料，其导带在绝对零度时全空，价带全满，禁带宽度较绝缘体的小许多。 1.2能带 晶体中，电子的能量是不连续的，在某些能量区间能级分布是准连续的，在某些区间没有能及分布。这些区间在能级图中表现为带状，称之为能带。 1.2能带论是半导体物理的理论基础，试简要说明能带论所采用的理论方法。 答： 能带论在以下两个重要近似基础上，给出晶体的势场分布，进而给出电子的薛定鄂方程。通过该方程和周期性边界条件最终给出E-k关系，从而系统地建立起该理论。 单电子近似： 将晶体中其它电子对某一电子的库仑作用按几率分布平均地加以考虑，这样就可把求解晶体中电子波函数的复杂的多体问题简化为单体问题。 绝热近似： 近似认为晶格系统与电子系统之间没有能量交换，而将实际存在的这种交换当作微扰来处理。 1.2克龙尼克—潘纳模型解释能带现象的理论方法 答案： 克龙尼克—潘纳模型是为分析晶体中电子运动状态和E-k关系而提出的一维晶体的势场分布模型，如下图所示 利用该势场模型就可给出一维晶体中电子所遵守的薛定谔方程的具体表达式，进而确定波函数并给出E-k关系。由此得到的能量分布在k空间上是周期函数，而且某些能量区间能级是准连续的（被称为允带），另一些区间没有电子能级（被称为禁带）。从而利用量子力学的方法解释了能带现象，因此该模型具有重要的物理意义。 1.2导带与价带 1.3有效质量 有效质量是在描述晶体中载流子运动时引进的物理量。它概括了周期性势场对载流子运动的影响，从而使外场力与加速度的关系具有牛顿定律的形式。其大小由晶体自身的E-k 第一章习题 1.设晶格常数为a 的一维晶格,导带极小值附近能量E c (k)与价带极大值附近 能量E V (k)分别为: E c =0 2 20122021202236)(,)(3m k h m k h k E m k k h m k h V -=-+ 0m 。试求： 为电子惯性质量，nm a a k 314.0,1==π (1)禁带宽度; （2） 导带底电子有效质量; （3）价带顶电子有效质量; (4)价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化 解:(1) eV m k E k E E E k m dk E d k m k dk dE Ec k k m m m dk E d k k m k k m k V C g V V V c 64.012)0()43(0,060064 30382324 30)(2320212102 2 20 202 02022210 1202==-==<-===-== >=+== =-+ηηηηηηηη因此：取极大值处，所以又因为得价带： 取极小值处，所以：在又因为：得：由导带： 04 3222* 83)2(1m dk E d m k k C nC ===η s N k k k p k p m dk E d m k k k k V nV /1095.704 3)()()4(6 )3(25104300222* 11-===?=-=-=?=-==ηηηηη所以：准动量的定义： 2、 晶格常数为0、25nm 的一维晶格,当外加102V/m,107 V/m 的电场时,试分别计 算电子自能带底运动到能带顶所需的时间。 解:根据:t k h qE f ??== 得qE k t -?=?η s a t s a t 13719282 1911027.810106.1) 0(1027.810106.1) 0(----?=??--= ??=??-- =?π πηη 补充题1 分别计算Si(100),(110),(111)面每平方厘米内的原子个数,即原子面密度(提示:先 画出各晶面内原子的位置与分布图) Si 在(100),(110)与(111)面上的原子分布如图1所示: (a)(100)晶面 (b)(110)晶面 半导体物理考点归纳 一· 1.金刚石 1) 结构特点： a. 由同类原子组成的复式晶格。其复式晶格是由两个面心立方的子晶格彼此沿其空间对角线位移1/4的长度形成 b. 属面心晶系，具立方对称性，共价键结合四面体。 c. 配位数为4，较低，较稳定。(配位数：最近邻原子数) d. 一个晶体学晶胞内有4+8*1/8+6*1/2=8个原子。 2) 代表性半导体：IV 族的C ，Si ，Ge 等元素半导体大多属于这种结构。 2.闪锌矿 1) 结构特点： a. 共价性占优势，立方对称性； b. 晶胞结构类似于金刚石结构，但为双原子复式晶格； c. 属共价键晶体，但有不同的离子性。 2) 代表性半导体：GaAs 等三五族元素化合物均属于此种结构。 3.电子共有化运动： 原子结合为晶体时，轨道交叠。外层轨道交叠程度较大，电子可从一个原子运动到另一原子中，因而电子可在整个晶体中运动，称为电子的共有化运动。 4.布洛赫波： 晶体中电子运动的基本方程为： ，K 为波矢，uk(x)为一个与晶格同周期的周期性函数， 5.布里渊区： 禁带出现在k=n/2a 处，即在布里渊区边界上； 允带出现在以下几个区： 第一布里渊区:－1/2a 一、填空题 1．纯净半导体Si 中掺错误！未找到引用源。族元素的杂质，当杂质电离时释放 电子 。这种杂质称 施主 杂质；相应的半导体称 N 型半导体。 2．当半导体中载流子浓度的分布不均匀时，载流子将做 扩散 运动；在半导体存在外加电压情况下，载流子将做 漂移 运动。 3．n o p o =n i 2标志着半导体处于 平衡 状态，当半导体掺入的杂质含量改变时，乘积n o p o 改变否？ 不变 ；当温度变化时，n o p o 改变否？ 改变 。 4．非平衡载流子通过 复合作用 而消失， 非平衡载流子的平均生存时间 叫做寿命τ，寿命τ与 复合中心 在 禁带 中的位置密切相关，对于强p 型和 强n 型材料，小注入时寿命τn 为 ，寿命τp 为 . 5． 迁移率 是反映载流子在电场作用下运动难易程度的物理量， 扩散系数 是反映有浓度梯度时载 q n n 0=μ ，称为 爱因斯坦 关系式。 6．半导体中的载流子主要受到两种散射，它们分别是电离杂质散射 和 晶格振动散射 。前者在 电离施主或电离受主形成的库伦势场 下起主要作用，后者在 温度高 下起主要作用。 7．半导体中浅能级杂质的主要作用是 影响半导体中载流子浓度和导电类型 ；深能级杂质所起的主要作用 对载流子进行复合作用 。 8、有3个硅样品，其掺杂情况分别是：甲 含铝1015cm -3 乙. 含硼和磷各1017 cm -3 丙 含镓1017 cm -3 室温下，这些样品的电阻率由高到低的顺序是 乙 甲 丙 。样品的电子迁移率由高到低的顺序是甲丙乙 。费米能级由高到低的顺序是 乙> 甲> 丙 。 9．对n 型半导体，如果以E F 和E C 的相对位置作为衡量简并化与非简并化的标准，那么 T k E E F C 02>- 为非简并条件； T k E E F C 020≤-< 为弱简并条件； 0≤-F C E E 为简并条件。 10．当P-N 结施加反向偏压增大到某一数值时，反向电流密度突然开始迅速增大的现象称为 PN 结击穿 ，其种类为： 雪崩击穿 、和 齐纳击穿（或隧道击穿） 。 11．指出下图各表示的是什么类型半导体？ 12. 以长声学波为主要散射机构时，电子迁移率μn 与温度的 -3/2 次方成正比 13 半导体中载流子的扩散系数决定于其中的 载流子的浓度梯度 。 14 电子在晶体中的共有化运动指的是 电子不再完全局限在某一个原子上，而是可以从晶胞中某一点自由地运动到其他晶胞内的对应点，因而电子可以在整个晶体中运动 。 二、选择题 1根据费米分布函数，电子占据（E F +kT ）能级的几率 B 。 A ．等于空穴占据（E F +kT ）能级的几率 B ．等于空穴占据（E F －kT ）能级的几率 C ．大于电子占据E F 的几率 D ．大于空穴占据 E F 的几率 2有效陷阱中心的位置靠近 D 。 A. 导带底 B.禁带中线 C ．价带顶 D ．费米能级 3对于只含一种杂质的非简并n 型半导体，费米能级E f 随温度上升而 D 。 A. 单调上升 B. 单调下降 C ．经过一极小值趋近E i D ．经过一极大值趋近E i 7若某半导体导带中发现电子的几率为零，则该半导体必定＿D ＿。 A ．不含施主杂质 B ．不含受主杂质 C ．不含任何杂质 D ．处于绝对零度 第一章、 半导体中的电子状态习题 1-1、 什么叫本征激发？温度越高，本征激发的载流子越多，为什么？试定性说 明之。 1-2、 试定性说明Ge 、Si 的禁带宽度具有负温度系数的原因。 1-3、试指出空穴的主要特征。 1-4、简述Ge 、Si 和GaAS 的能带结构的主要特征。 1-5、某一维晶体的电子能带为 [])sin(3.0)cos(1.01)(0ka ka E k E --= 其中E 0=3eV ，晶格常数a=5х10-11m 。求： （1） 能带宽度； （2） 能带底和能带顶的有效质量。 题解： 1-1、 解：在一定温度下，价带电子获得足够的能量（≥E g ）被激发到导带成 为导电电子的过程就是本征激发。其结果是在半导体中出现成对的电子-空穴对。如果温度升高，则禁带宽度变窄，跃迁所需的能量变小，将会有更多的电子被激发到导带中。 1-2、 解：电子的共有化运动导致孤立原子的能级形成能带，即允带和禁带。温 度升高，则电子的共有化运动加剧，导致允带进一步分裂、变宽；允带变宽，则导致允带与允带之间的禁带相对变窄。反之，温度降低，将导致禁带变宽。因此，Ge 、Si 的禁带宽度具有负温度系数。 1-3、 解：空穴是价带中未被电子占据的空量子态，被用来描述半满带中的大量 电子的集体运动状态，是准粒子。主要特征如下： A 、荷正电：+q ； B 、空穴浓度表示为p （电子浓度表示为n ）； C 、E P =-E n D 、m P *=-m n *。 1-4、 解： （1） Ge 、Si: a ）Eg (Si ：0K) = 1.21eV ；Eg (Ge ：0K) = 1.170eV ； b ）间接能隙结构 c ）禁带宽度E g 随温度增加而减小； （2） GaAs ： a ）E g （300K ）= 1.428eV ，Eg (0K) = 1.522eV ； b ）直接能隙结构； c ）Eg 负温度系数特性： dE g /dT = -3.95×10-4eV/K ； 1-5、 解： （1） 由题意得： [][] )sin(3)cos(1.0)cos(3)sin(1.002 22 0ka ka E a k d dE ka ka aE dk dE +=-= 第一章习题 1．设晶格常数为a 的一维晶格，导带极小值附近能量E c (k)和价带极大值附近 能量E V (k)分别为： E c =0 2 20122021202236)(,)(3m k h m k h k E m k k h m k h V - =-+ 0m 。试求： 为电子惯性质量，nm a a k 314.0,1== π （1）禁带宽度; （2） 导带底电子有效质量; （3）价带顶电子有效质量; （4）价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化 解：（1） eV m k E k E E E k m dk E d k m k dk dE Ec k k m m m dk E d k k m k k m k V C g V V V c 64.012)0()43 (0,060064 3 382324 3 0)(2320 2121022 20 202 02022210 1202== -==<-===-==>=+===-+ 因此：取极大值 处，所以又因为得价带： 取极小值处，所以：在又因为：得：由导带： 04 32 2 2*8 3)2(1 m dk E d m k k C nC === s N k k k p k p m dk E d m k k k k V nV /1095.704 3 )() ()4(6 )3(25104 3002 2 2*1 1 -===?=-=-=?=- == 所以：准动量的定义： 2. 晶格常数为0.25nm 的一维晶格，当外加102V/m ，107 V/m 的电场时，试分别 计算电子自能带底运动到能带顶所需的时间。 解：根据：t k h qE f ??== 得qE k t -?=? s a t s a t 137 19 282 1911027.810 10 6.1)0(102 7.810106.1) 0(----?=??-- =??=??-- = ?π π 补充题1 分别计算Si （100），（110），（111）面每平方厘米内的原子个数，即原子面密度 （提示：先画出各晶面内原子的位置和分布图） Si 在（100），（110）和（111）面上的原子分布如图1所示： （a ）(100)晶面 （b ）(110)晶面 高等半导体物理 课程内容(前置课程: 量子力学,固体物理) 第一章能带理论,半导体中得电子态 第二章半导体中得电输运 第三章半导体中得光学性质 第四章超晶格,量子阱 前言:半导体理论与器件发展史 1926 Bloch 定理 1931 Wilson 固体能带论(里程碑) 1948 Bardeen, Brattain and Shokley 发明晶体管,带来了现代电子技术得革命,同时也促进了半导体物理研究得蓬勃发展。从那以后得几十年间,无论在半导体物理研究方面,还就是半导体器件应用方面都有了飞速得发展。 1954半导体有效质量理论得提出,这就是半导体理论得一个重大发展,它定量地描述了半导体导带与价带边附近细致得能带结构,给出了研究浅能级、激子、磁能级等得理论方法,促进了当时得回旋共振、磁光吸收、自由载流子吸收、激子吸收等实验研究。 1958 集成电路问世 1959 赝势概念得提出,使得固体能带得计算大为简化。利用价电子态与原子核心态正交得性质,用一个赝势代替真实得原子势,得到了一个固体中价电子态满足得方程。用赝势方法得到了几乎所有半导体得比较精确得能带结构。1962 半导体激光器发明 1968 硅MOS器件发明及大规模集成电路实现产业化大生产 1970 * 超晶格概念提出,Esaki (江歧), Tsu (朱兆祥) * 超高真空表面能谱分析技术相继出现,开始了对半导体表面、界面物理得研究 1971 第一个超晶格Al x Ga1x As/GaAs 制备,标志着半导体材料得发展开始进入人工设计得新时代。 1980 德国得V on Klitzing发现了整数量子Hall 效应——标准电阻 1982 崔崎等人在电子迁移率极高得Al x Ga1x As/GaAs异质结中发现了分数量子Hall 效应 1984 Miller等人观察到量子阱中激子吸收峰能量随电场强度变化发生红移得量子限制斯塔克效应,以及由激子吸收系数或折射率变化引起得激子光学非线性效应,为设计新一代光双稳器件提供了重要得依据。 1990 英国得Canham首次在室温下观测到多孔硅得可见光光致发光,使人们瞧到了全硅光电子集成技术得新曙光。近年来,各国科学家将选择生成超薄层外延技术与精细束加工技术密切结合起来,研制量子线与量子点及其光电器件,预期能发现一些新得物理现象与得到更好得器件性能。在器件长度小于电子平均自由程得所谓介观系统中,电子输运不再遵循通常得欧姆定律,电子运动完全由它得波动性质决定。人们发现电子输运得AharonovBohm振荡,电子波得相干振荡以及量子点得库仑阻塞现象等。以上这些新材料、新物理现象得发现产生新得器件设计思想,促进新一代半导体器件得发展。 半导体材料分类: ?元素半导体, Si, Ge IV 族金刚石结构 Purity 10N9, Impurity concentration 1012/cm3 , Dislocation densities <103 /cm3 Size 20 inches (50 cm) in diameter P V 族 S, Te, Se VI 族 ?二元化合物, 1.IIIV族化合物: GaAS系列,闪锌矿结构, 电荷转移 GaAs, 1、47 eV InAs 0、36 eV GaP, 2、23 eV GaSb, 0、68 eV GaN, 3、3 eV BN 4、6 eV AlN 3、8 eV 半导体物理2010-2011学年(2011.1.5) 一、简答题（8*6’=48’） 1.请填写下表中的数据： 解理面 材料晶格结构布拉伐格子直接/间接 带隙 Si GaAs 2.什么是本征半导体？什么是杂质半导体？示意画出掺杂浓度为Nd的N型半导体样品电子浓度n和本征载流子浓度ni随T变化曲线。 3.“纯净的半导体中，掺入百万分之一的杂质，可以减小电阻率达1百万倍，”是估算说明之。 4.一块杂志补偿的半导体，受主杂质和施主杂质浓度相等。设杂质全部电离，判断当杂质浓度分别为 (a) Na=Nd=1014cm-3(b) Na=Nd=1018cm-3 时，哪种情况的电导率大？简述分析理由。 5.什么是载流子的平均自由时间τ？有两块Si半导体材料1和2，其中τ1>τ2，迁移率哪个大？ 如果同一块半导体中，有两种机理的平均自由时间τ1和τ2，其总迁移率如何确定？ 6.写出以n型样品为例少子空穴的连续性方程。 由连续性方程写出：不考虑电场的作用、无产生、稳态载流子扩散方程； 7.什么是PN结的势垒电容？定性说明掺杂浓度对势垒电容有何影响。 8.一个p-N异质结接触前能带图见图1。画出平衡状态下能带图。 电阻率为7Ω·cm的p型硅，T=300K。 ⑴试计算室温时多数载流子和少子浓度（可查图）。 ⑵计算该半导体的功函数。 ⑶不考虑界面态，在金属铝（功函数W Al=4.20eV）和金属铂（功函数W Pi=5.3eV）中选择制备肖特基二极管的金属，给出选择理由。 ⑷求金属一侧势垒高度的理论值qΦms和半导体一侧势垒高度qV D 。 三、(16’) 室温下，一个Si的N-P结，N区一侧掺杂浓度为1017cm-3，P区为1015cm-3 ⑴求该N-P结的接触电势差。 ⑵画出平衡PN结、正向偏置PN结、反向偏置PN结空间电荷区中及边界处的载流子分布示意图。 ⑶根据正向和反向少子分布情况，解释PN结正向导通，反向截止的饱和特性。 ⑷写出理想PN结电流-电压关系公式，在对数坐标下，定性画出理想和实际I-V特性示意图。 四、（15’） 一理想的MOS结构的高频测量的C-V曲线如图2. （1）判断该结构中，半导体的导电类型。 （2）说明图中1,2,3,4,5点的半导体一侧的状态，并示意画出每点半导体一侧的能带形状，以及金属和半导体一侧的电荷分布。 半导体物理 绪 论 一、什么是半导体 导体 半导体 绝缘体 电导率ρ <10- 9 3 10~10- 9 10> cm ?Ω 此外，半导体还有以下重要特性 1、 温度可以显著改变半导体导电能力 例如：纯硅（Si ） 若温度从 30C 变为C 20时，ρ增大一倍 2、 微量杂质含量可以显著改变半导体导电能力 例如：若有100万硅掺入1个杂质（P . Be ）此时纯度99.9999% ，室温（C 27 300K ）时，电阻率由214000Ω降至0.2Ω 3、 光照可以明显改变半导体的导电能力 例如：淀积在绝缘体基片上（衬底）上的硫化镉（CdS ）薄膜，无光照时电阻（暗电阻）约为几十欧姆，光照时电阻约为几十千欧姆。 另外，磁场、电场等外界因素也可显著改变半导体的导电能力。 综上： ● 半导体是一类性质可受光、热、磁、电，微量杂质等作用而改变其性质的材料。 二、课程内容 本课程主要解决外界光、热、磁、电，微量杂质等因素如何影响半导体性质的微观机制。 预备知识——化学键的性质及其相应的具体结构 晶体：常用半导体材料Si Ge GaAs 等都是晶体 固体 非晶体：非晶硅（太阳能电池主要材料） 晶体的基本性质：固定外形、固定熔点、更重要的是组成晶体的原子（离子）在较大范围里（6 10-m ）按一定方式规则排列——称为长程有序。 单晶：主要分子、原子、离子延一种规则摆列贯穿始终。 多晶：由子晶粒杂乱无章的排列而成。 非晶体：没有固定外形、固定熔点、内部结构不存在长程有序，仅在较小范围（几个原子距）存在结构有 序——短程有序。 §1 化学键和晶体结构 1、 原子的负电性 化学键的形成取决于原子对其核外电子的束缚力强弱。 电离能：失去一个价电子所需的能量。 亲和能：最外层得到一个价电子成为负离子释放的能量。(ⅡA 族和氧除外) 原子负电性=（亲和能+电离能）18.0? （Li 定义为1） ● 负电性反映了两个原子之间键合时最外层得失电子的难易程度。 ● 价电子向负电性大的原子转移 ⅠA 到ⅦA ，负电性增大，非金属性增强 半导体物理学第七版完 整答案修订版 IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】 第一章习题 1．设晶格常数为a 的一维晶格，导带极小值附近能量E c (k)和价带极大值附近能量E V (k) 分别为： E C （K ）=0 2 20122021202236)(,)(3m k h m k h k E m k k h m k h V - =-+ （1）禁带宽度; （2）导带底电子有效质量; （3）价带顶电子有效质量; （4）价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化 解：（1） 2. 晶格常数为0.25nm 的一维晶格，当外加102V/m ，107 V/m 的电场时，试分别计算电子 自能带底运动到能带顶所需的时间。 解：根据：t k h qE f ??== 得qE k t -?=? 补充题1 分别计算Si （100），（110），（111）面每平方厘米内的原子个数，即原子面密度（提 示：先画出各晶面内原子的位置和分布图） Si 在（100），（110）和（111）面上的原子分布如图1所示： （a ）(100)晶面 （b ）(110)晶面 （c ）(111)晶面 补充题2 一维晶体的电子能带可写为)2cos 81 cos 8 7()22ka ka ma k E +-= （， 式中a 为 晶格常数，试求 （1）布里渊区边界； （2）能带宽度； （3）电子在波矢k 状态时的速度； （4）能带底部电子的有效质量* n m ； （5）能带顶部空穴的有效质量*p m 解：（1）由 0)(=dk k dE 得 a n k π = （n=0，?1，?2…） 进一步分析a n k π ) 12(+= ，E （k ）有极大值， a n k π 2=时，E （k ）有极小值 习题参考答案 第一章 1） 求基函数为一般平面波、哈密顿量为自由电子系统的哈密顿量时，矩阵元1?1H 和2?1H 的值。 解：令r k i e V ?= 111，r k i e V ?=212，222??-=m H ，有： m k r d e e mV k r d e V m e V H r k i V r k i r k i V r k i 221)2(11?121202122201111 =?=?-=??-??-??021)2(12?121210222220=?=?-=??-??-??r d e e mV k r d e V m e V H r k i V r k i r k i V r k i 2） 证明)2(πNa l k =，)2(πNa l k ' ='，l '和l 均为整数。 证：由Bloch 定理可得： )()(r e R r n R ik n ψψ?=+ 考虑一维情况，由周期性边界条件，可得： π πψψψ221 )()()(Na l k l Na k e r e r Na r Na ik Na ik =?=??=?==+??? 同理可证)2(πNa l k ' = '。 3） 在近自由电子近似下，由 022122?11?1=--E H H H E H 推导出0)()(002 1=--εεεεk n n k V V 。 解：令r k i e V ?= 111，r k i e V ?=212， V r V V m V V r V m r V m H -++?-=-++?-=+?-=)(2)(2)(2?22 2222 V m V k V V V m V k r d e V e V r d e r V e V V m V k r d e V V r V V m e V H r k i V r k i r k i V r k i r k i V r k i +=-++=-++=-++?-=??-??-??-???2)2(1)(1)2(1])(2[11?121221200212220111111 令V mV k k += 22 1201 ε，即有01 1?1k H ε=。 同理有： 02 2?2k H ε=。 n r k i V r k i r k i V r k i V r d e r V e V r d e V r V m e V H =+=+?-=??-??-?? 2121)(101)](2[12?10 220 其中r d e r V e V V r k i V r k i n ??-? =21)(10 ，是周期场V(x)的第n 个傅立叶系数。 同理，n V H =1?2。 于是有： 0) ()(0021=--εεεεk n n k V V 。高等半导体物理讲义
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