高等半导体物理
课程内容（前置课程：量子力学，固体物理）
第一章能带理论，半导体中的电子态
第二章半导体中的电输运
第三章半导体中的光学性质
第四章超晶格，量子阱
前言：半导体理论和器件发展史
1926 Bloch 定理
1931 Wilson 固体能带论（里程碑）
1948 Bardeen, Brattain and Shokley 发明晶体管，带来了现代电子技术的革命，同时也促进了半导体物理研究的蓬勃发展。从那以后的几十年间，无论在半导体物理研究方面，还是半导体器件应用方面都有了飞速的发展。
1954半导体有效质量理论的提出，这是半导体理论的一个重大发展，它定量地描述了半导体导带和价带边附近细致的能带结构，给出了研究浅能级、激子、磁能级等的理论方法，促进了当时的回旋共振、磁光吸收、自由载流子吸收、激子吸收等实验研究。
1958 集成电路问世
1959 赝势概念的提出，使得固体能带的计算大为简化。利用价电子态与原子核心态正交的性质，用一个赝势代替真实的原子势，得到了一个固体中价电子态满足的方程。用赝势方法得到了几乎所有半导体的比较精确的能带结构。
1962 半导体激光器发明
1968 硅MOS器件发明及大规模集成电路实现产业化大生产
1970 * 超晶格概念提出，Esaki (江歧), Tsu （朱兆祥）
* 超高真空表面能谱分析技术相继出现，开始了对半导体表面、界面物理的研究
1971 第一个超晶格Al
x Ga
1-x
As/GaAs 制备，标志着半导体材料的发展开始进入人
工设计的新时代。
1980 德国的Von Klitzing发现了整数量子Hall 效应——标准电阻
1982 崔崎等人在电子迁移率极高的Al
x Ga
1-x
As/GaAs异质结中发现了分数量子
Hall 效应
1984 Miller等人观察到量子阱中激子吸收峰能量随电场强度变化发生红移的量子限制斯塔克效应，以及由激子吸收系数或折射率变化引起的激子光学非线性效应，为设计新一代光双稳器件提供了重要的依据。
1990 英国的Canham首次在室温下观测到多孔硅的可见光光致发光，使人们看到了全硅光电子集成技术的新曙光。
近年来，各国科学家将选择生成超薄层外延技术和精细束加工技术密切结合起来，研制量子线与量子点及其光电器件，预期能发现一些新的物理现象和得到更好的器件性能。在器件长度小于电子平均自由程的所谓介观系统中，电子输运不再遵循通常的欧姆定律，电子运动完全由它的波动性质决定。人们发现电子输运的Aharonov-Bohm振荡，电子波的相干振荡以及量子点的库仑阻塞现象等。以上这些新材料、新物理现象的发现产生新的器件设计思想，促进新一代半导体器件的发展。
半导体材料分类：
?元素半导体，
Si, Ge IV 族金刚石结构
Purity 10N9, Impurity concentration 10-12/cm3 ,
Dislocation densities <103/cm3 Size 20 inches
(50 cm) in diameter
P V 族
S, Te, Se VI 族
?二元化合物，
1.III-V族化合物： GaAS系列，闪锌矿结构, 电荷转移
GaAs, 1.47 eV InAs 0.36 eV GaP, 2.23 eV
GaSb, 0.68 eV GaN, 3.3 eV BN 4.6 eV
AlN 3.8 eV
2.II-VI族化合物更强的电荷转移
ZnSe 2.67 CdS Z nS CdTe
HgTe 0.025 eV （远红外线探测器）
3.III-VII族化合物 CuCl >3 eV
4.IV-IV族化合物红外线探测器 PbS 0.37 eV, PbTe 0.29
eV
?氧化物， CuO, CuO2 , ZnO
高温超导体，La
2CuO
4
, Mller, Bednorz
?有机半导体 (CH2)n
无扩展态，分子能级间的输运，易修饰，电致发光LCD，响应时间
短，无显示角问题，全色，能耗低，工艺简单
?磁性半导体
?非晶态半导体
第一章能带理论，半导体中的电子态（主要参考：李名复《半导体物理学》）§ 1 基本知识回顾
§ 2 正交平面波方法，赝势
§ 3 紧束缚近似或原子轨道线性组合近似
§ 4 p k
?微扰
§ 5 缺陷态，有效质量方程 § 1 基本知识回顾
1-1正格子与倒格子 Ge, Si, GaAs 的晶体结构，结晶学原胞：面心立方，物理学原胞：正四面体
Ge, Si , 金刚石结构 GaAS 系列，闪锌矿结构
倒格子，能量空间 布里渊区：
面心立方 → 体心立方 1-2 能带理论的基本假定
1）绝热近似 （Born-Oppenheiner 近似）
考虑到电子质量远小于原子核的质量，也即电子的速度远大于原子核的速度。因此，在考虑电子的运动时，可认为原子核是不动的，而电子在固定不动的原子核产生的势场中运动。这种把电子系统和原子核分开考虑的方法叫绝热近似。 2）平均场近似（单电子近似、Hartree-Φok 自洽场方法）
如果一个电子所受到的库仑力不仅与自己的位置有关，而且还和其他电子的位置有关，并且该电子本身也影响其他电子的运动，即所有电子的运动是关联的。这意味着需要联合求解多个薛定谔过程，问题变得异常复杂。
为简化问题，当研究某一个电子运动时，近似地把其他电子对这个电子的作用当作背景，即用一个平均场（自洽场）来代替价电子之间的相互作用，使每个电子的电子间相互作用势仅与该电子的位置有关，而其他电子的位置无关。同理，可用一种平均场代替所有原子核对电子的作用。
这样，一个多电子体系的问题就被简化成单电子问题。 3）周期势场假定
V(r) = Ve(r) + Ui(r), Ve(r)代表电子间相互作用势的平均场，是一个常数。 Ui(r)代表所有原子核对电子的作用的平均场，具有与晶格相同的周期性。 因此：V(r) = V(r+Rn), Rn 是晶格平移矢量。 1-3 Bloch 定理：两种等价的描述
ij
j i i b a a a a a a b a a a a a b a a a a a b i a πδπππ2)
()(2 ,)()(2 ,)()(2
3 ,2 ,1,321213321132321321=???=??=??==
k k k k '
='
δBloch 定理描述之一：对于周期势场，即 其中Rn 取布喇菲格子的所有格矢，单电子薛定谔方程：
的本征函数是按布喇菲格子周期性调幅的平面波，即
且 对Rn 取布喇菲格子的所有格矢成立。
Bloch 定理描述之二：对上述的薛定谔方程的每一本征解，存在一波矢k ， 使得 对属于布喇菲格子的所有格矢Rn 成立。 1-4 波函数与狄拉克表示
狄拉克表示： | >， 刃矢，ket 。| >表示波函数描述的状态。
|x >表示x 坐标的本征态（本征值x ），|p >表示动量的本征态（本征值p ）， |En >或 |n >表示能量的本征态
与| >相应，刁矢< |表示共轭空间的一个抽象矢量，如< |是| >的共轭矢量。 平面波： 狄
拉
克符号 正交归一
Bloch 波： 晶体中单电子薛定谔方程 )()()(2,,22r E r r V m k n k n
ψψ=??
????+?-的解电子波
函数满足Bloch 定理，其中
k k n n k n k n ''=''δδ,, u nk (r)与晶格周期相同的周期函数。 量子数：k
好量子数，反映电子的平面波运动共有化部分。
n 晶格周期相关的量子数，不同能带电子在原子上的运动。 1-5 薛定谔方程一般解
晶体中电子波函数 k (r)可以一组正交完备的基函数 i (r)展开
k (r)= i a i i (r) i = 1, 2, 3……
k
r k
=)(?k PW r
,
)()(r V Rn r V =+)()()](2[)(?22
r r r V m
r H εψψψ=+?-= )
()(r e R r n
R
ik n ψψ?=+
简单举例： k (r) = a 1 1(r) + a 2 2(r) + a 3 3(r)
H k (r) = E k (r),
H a 1 1(r) + H a 2 2(r) + Ha 3 3(r) = E[a 11(r) +a 22(r)+ a 33(r)]
左乘1*
(r), 实空间积分：
1*(r) H a 1 1(r) dr + 1*(r)H a 2 2(r) dr + 1*(r) H a 33(r) dr
= E[1*(r)a 11(r)+ 1*(r)a 2 2(r)+ 1*(r)a 3 3(r)] dr = Ea 1 (1)
令 1*
(r) H 1(r) dr = <1(r)H 1(r)> 方程(1)可写成
<1(r)H 1(r)>a 1+<1(r)H 2(r)>a 2+<1(r)H 3(r)>a 3 = Ea 1 (2) <2(r)H 1(r)>a 1+<2(r)H 2(r)>a 2+<2(r)H 3(r)>a 3 = Ea 2 (3) <3(r)H 1(r)>a 1+<3(r)H 2(r)>a 2+<3(r)H 3(r)>a 3 = Ea 3 (4)
一组线性联立齐次方程
[<1(r)H 1(r)>-E]a 1+<1(r)H 2(r)>a 2+<1(r)H 3(r)>a 3= 0 <2(r)H 1(r)>a 1+[<2(r)H 2(r)>-E]a 2+<2(r)H 3(r)>a 3=0 <3(r)H 1(r)>a 1+<3(r)H 2(r)>a 2+[<3(r)H 3(r)>-E]a 3=0
一般表示式： i,j [
计算方法： 近自由电子近似：基函数 赝势：势场 紧束缚近似： 基函数 微扰 有效质量方程： 势场
p
k
1-6近自由电子近似（弱周期势近似）
近自由电子近似是当晶格周期势场起伏很小电子的行为很接近自由电子时采用的近似处理。对相当多的价电子为s 电子、p 电子的金属，是很好的近似。电子感受到的弱周期势，不仅源自于满壳层电子对原子核的屏蔽，而且其他价电子对原子核周期势的再次屏蔽也使周期势场更弱。在具体的计算上， 弱周期势可看作微扰，采用量子力学标准的微扰论方法来处理。下面以一维情况为例。 研究对象：一维晶体，N 个原胞，基矢为a ，晶体长度为Na
单电子哈密顿量])([?)(??V x V V T x V T H
-++=+=，V 为势场的平均值，])([V x V -可看作微扰)(x V ?。
)()(?,2?'220na x V x V H
V m
H +?=?=+?-= 具有周期性。 相应的零级本征函数和本征能量为：
V m k e Na
x k ikx k
+==
2,1)(22)
0()0( εψ
（可取V 为能量零点）。
正是由于零级近似的解为自由电子，故称近自由电子近似。 按照一般微扰理论的结果，本征值和本征函数为： 其中：
计算矩阵元k V k ?'
引入积分常数ξ，令)0(,a na x <≤+=ξξ，有)()()(ξξV na V x V =+= 于是： 分两种情况：
（1） 当a
n k k π
2'
=-时，
1][11
)('
=∑-=--N n n a k k i e N
n V 正是周期场V(x)的第n 个傅立叶系数。
（2） 当a n k k π2'≠-时，
a
k k i Na k k i N n n
a k k i e e N e N
)()(1
)(''
'
111][1
-----=----=∑ 又因为)2(''
πNa l k =，)2(πNa l
k =，'l 和l 均为整数。 011)(2)('
'
=-=-----l l i Na k k i e e π，同时分母由于a
n
k k π
2'≠-而不为零。 于是，0'=?k V k 近自由电子的本征波函数：
这说明在近自由电子近似下，晶体电子波函数nk (r)可由自由电子平面波作为基函数展开
自由电子平面波：r k
i k
e V
k
?= 1 ? 即在具有周期性的晶体中，对k 的求和不必要在全k 空间，只需由平面波 及与 差一个倒格矢 的平面波 组合而成。
近自由电子的本征能量： 当a
n
k π
-=时，分母为零，∞→)
2()1(),(k k
x εψ，其原因为：根据一般微扰理论， )0()0()
0(')
0()1()0('
'
'
)()()()(k k k k
k k k k k
V k x x x x ψε
ε
ψψψψ∑
-?+=+=，即在原来零级波函数中，将掺
入与它有微扰矩阵元的其它零级波函数)()0('
x k ψ。)()
0('
x k ψ的权重因子)
0()
0('
1
k k
εε-∝
，也就是说，它们的能量差愈小，掺入的部分就愈大。对于很接近a
n
π-的k 状态，
在周期场的微扰作用下，最主要的影响将是掺入了和它能量很接近的'k 状态（a
n k π→
'）。针对这种情况，适当的近似处理方法是，可以忽略所有其它掺入的状态，将波函数写成
)()()()
0()0('
x b x a x k k k ψψψ+=，这就是一般简并微扰方法。
k k
h
G
h G k +
*能隙出现
将)()()()
0()0('
x b x a x k k k ψψψ+= 其中a
n k a n k π
π→
-
→', 代入波动方程0)(])(2[2
2
2=-+-
x x V dx d m ψε ， （1）式左乘*0k ψ，并对x 积分，得：
同理，（1）式左乘*0'
k ψ，并对x 积分，得：0)(0
'
=-+εεk n b aV
a, b 有解的条件为： 小结：
（1） 在近自由电子近似下，晶体电子波函数
nk
(r)可由自由电子平面波作为基函
数展开。
（2） 在零级近似中，电子被看作自由电子，能量具有抛物线的形式。 （3） 若k 不在a
n π
附近时，其能量依然保持抛物线形式。 （4） 若k 在
a
n π
附近时，与之有相互作用的作用的状态中存在一个a
n π
-态，两者能量相等。有
n V m
k ±=±22
2 ε，使得原来能量高的更高，原来能
量低的下降，能量发生突变。突变点在a
n k π
±
=处，即布里渊区的边界上，能量突变为n V 2=?ε。 1-7 紧束缚近似
紧束缚近似是1928年布洛赫提出的第一个能带计算方法。设想周期场随空间的起伏显着。电子在某一个原子附近时，将主要受到该原子的作用，其他原子的作用可看作微扰，即电子紧束缚在原子上的情形。也就是，束缚电子的波函数局域在某个原子周围，不同原子之间的波函数交叠很小。其物理图象及结果较适用于过
渡族金属中的3d 电子及固体中的其它内层电子。紧束缚近似是实际上是用微扰方法求解束缚电子的波函数和能带。其零级的波函数是孤立原子的单电子波函数，对应的能级是1s, 2s, 2p ……。一级哈密顿量代表孤立原子组成晶体以后的等效周期晶格势修正。
孤立原子的定态薛定谔方程：
)(m R r V -为位于m R 格点原子的势场，n ε为孤立原子中电子的能级。)(m n R r -φ是
孤立原子的电子本征态。n = 1, 2, 3……对应1s, 2s, 2p …… 且有?=--nm m i n *i δ)dr R (r )φR (r φ
以氢原子为例，氢原子的束缚态波函数可以表示成：
),(Y )r (R ),,r (lm nl nlm ?θ?θφ=。
属于较低的几个能级的径向波函数是： 1=n （基态）
，r/a /e a
(r)R -=2
3102，
2=n ，a r//)e a r -(a
(r)R 22
3202122-=
；a
r//e a r a (r)R 22321622-= 3=n ，a
r//e a r a r a
r R 322330])(272321[332)(-+-=
； a r//e a
r
a r a r R 32
331)61(6728
)(--=， a r//e a r a
r R 322
332)(30184
)(-=
。 而本征能量为：2
24n n 1
2e μ-
=E ，,...3,2,1=n n 为主量子数。
在晶体中（相当于许多孤立原子有规律地排列），其单电子的薛定谔方程为：
)(r U 为晶格周期势场，为各原子势场之和，即∑-==N
m m R r V r U 1)()(
方程（1）是方程（3）的零级近似，n m n R r εφ),(-是εψ),(r 的零级近似。若晶体共
有N 个原子，则共有N 个这样的方程，即共有N 个波函数),.....2,1)((N m R r m n =-φ具有相同的能量n ε。因此，这N 个波函数是简并的。按照简并微扰方法，令m m n R m n a R r a r m
),()(-=∑φψ为系数。当m
R ik m e N
a ?=
1时，)(r n ψ具有Bloch 函数的形式，即：
)(1)(m n R R
ik n R r e N r m
m -∑=
?φψ。 晶体中电子的波函数用孤立原子的波函数线性展开的方法，又称为原子轨道线性组合法(Linear Combination of Atomic Orbital,简称LCAO)。
将)(1
)(,m n R R ik k n R r e
N
r m
m
-=
∑?φψ代入薛定谔方程0)(])(2[,,2
2=-+?-r r U m
k n k n ψε
)()()](2[22m n i n m n m R r R r R r V m
-=--+?-φεφ 因为，其中i
n ε时孤立原子中电子的能
量。
同时令)()(),(m m R r V r U R r V --=?。
（4）式左乘)(*
r n
φ并积分，利用)(r n φ的正交归一性，得： 令??-=dr r r V J n 2
)()0,()0(φ，)0(J 称为晶体场积分，)0(J >0且数值不大。这是因为)0,(r V ?一般为负。 在m R = 0处，2
)(r n φ较大，但)0,(r V ?接近0。
令dr R r R r V r R J m n m n
m )(),()()(*
-??-=φφ，)(m R J 称为交叠积分或重叠积分，仅当相距为m R 的两格点上原子波函数有所交叠时才不为零。紧束缚近似下，只考虑最近邻的交叠，得：
*孤立原子能级与能带的形成
（1）当原子相互接近组成晶体时，由于原子间的相互作用，原来孤立原子的每一
能级分裂成一能带。一个原子能级i
n ε对应一个能带。原子的各个不同能级，在晶
体中将产生一系列相应的能带。
（2）愈低的能带愈窄，愈高的能带愈宽。这是由于能量较低的带对应于较内层的电子，它们的电子轨道很小，在不同原子间很少相互重叠，因此能带较窄。能量较高的较外层电子轨道，在不同的原子间将有较多的重叠，从而形成较宽的带。（3）不同原子态之间有可能相互混合，即几个能级相近的原子态相互组合而形成能带，如s带和p带之间等。
对紧束缚方法的评论：
（1）用紧束缚方法计算的局域电子态波函数是各原子轨道的线性组合，因此直接反映了这些态的电子空间分布情况，在物理上很直观。
（2）在实际应用中，很少用紧束缚方法去计算半导体能带，而常用它计算由于平移对称性破坏而形成的局域电子态，如表面电子态、深杂质、缺陷电子态以及半导体量子阱、量子线、量子点的电子态等。
（3）紧束缚方法的主要缺点是，可以求得很好的价带结构，但不能求得很好的导带结构。其根源是在于“紧束缚”近似上，而导带态更接近于自由电子近似，因此用紧束缚基函数很难得到正确的导带态。
（4）紧束缚参数通常由拟合能带经验决定，即使对同一种材料，不同作者采用不同近似拟合出来的参数可以相差很大。
§2正交化平面波，赝势方法
（1）一般平面波方法
一般平面波方法是一种严格求解周期势场中单电子波函数的方法，物理图象也很清楚。但是平面波法有一个致命的弱点，就是收敛性差，要求解的本征值行列式阶数很高，原因是固体中价电子的波函数在离子实区以外是平滑函数，而在离子
实区内有较大的振荡，以保证与内层电子波函数正交。要描述这种振荡波函数，需要大量的平面波。
对于薛定谔方程，其哈密顿量为)(2???22
r V m V T H +?-=+=，晶体电子波函数nk (r)可由自由电子平面波作为基函数展开。自由电子平面波：r k
i k e V
k
?= 1 ? ∑+=∑=∑=+++'
''h
h h h h G h G k G G k G k k k k nk G k a r a r a r )()()(??ψ，方程
将)(2???2
20r V m
V T H +?-=
+=代入，上式可写成 这是一个线性齐次方程组，要方程组有解，必须系数行列式为0，从而可求出k E 。
将求得k E 代入方程，可以求出G
k a +。 例：金刚石结构哈密顿矩阵的近似计算。计算Γ点的E 值
Γ点： ),,(k 000=
哈密顿矩阵元：
)(????00r V H V T H +=+=, 矩阵可分为两个小矩阵，0
?H 矩阵和)(r V 矩阵 在平面波表象中0H 矩阵是对角的。矩阵对角元完全由h G
决定。
n =1, 2,… 代表不同的G 。
行列式的普遍方程：0,)(,)(2det 22
='+??
????-'
G PW r V G PW E G m
G G k δ 要计算上面的行列式，先得解决n H o m 的计算。n 或n G ，即r
G i n e ?，n G 对应于
倒易空间的任何一个格矢。为了简化问题，按n G 的大小，我们得到1G ，2G
，……，
n G
。
例如，对于硅晶体材料，其布里渊区是体心立方，选任何一个格点为原点。 1）最近邻，（111）方向，有8个最近邻。
)1,1,1(2±±±a
π
。 h
h h
h G H G G k H G k ''?++
令1G 为 )1,1,1(2a π
，2G 为 )1,1,1(2-a π……8G 为 )1,1,1(2---a
π
因此2
22
22222
12122123111222G 211ma h )()a π(m m G m G H o ?
=++==?-= 令2
2
02 ma h E =，有03882211E H H H o o o ====
021=o H ，同理，当n m ≠，0n m =o H
2）次近邻（6个）：（100）方向 3）第三近邻（12个）：斜对角的体心
讨论到第三近邻， 共26个倒格矢，26个平面波，其0H 矩阵, H 0对角矩阵, 势能矩阵元：j i G r V G r V H
)( )(1=，h h G r V G
)('是V(r) 傅立叶系数。 势能矩阵分别求出1414，1212矩阵，进一步对角化这矩阵元，最后势能与动能矩阵用H 算符的厄米性在方阵转置取复共轭得到整个矩阵。对角化可利用晶体的对称性来解决。
这里提出一个普遍问题：通常取多少个G
才足够解出接近实际的本征波函数和本
征能量？
Heine 估算在Al 中取M = 1016
个G 才足够。
这是因为在两原子中间，由于原子核被电子有效地屏蔽，势能很浅，变化很平坦，
k ψ很接近动量为k 的平面波。然而，组成晶体的原子除了外层价电子外，还有许多内壳层电子态。这些态称为核心态(core states)，具有空间很局域的电子轨道，相邻原子的核心态重叠很小。由于核心态的波函数在空间是很局域的，需要非常多的平面波才能正确地给出核心态的波函数。因此，M 要取很大值，才能既反映接近于k 的波（G 很小），又能反映大动量的波成分（G 很大）。这就造成一般平面波方法收敛得非常慢。
实际上，直接用一般平面波展开方法计算晶体能带是不可能的。
为了解决这个问题，有两种有效的方法：一种是Herring 提出的正交平面波方法（Orthogonalized Plane Wave ，OPW)。一般用几百个正交平面波就可以收敛。用正交平面波方法已经计算了很多晶体的能带。另一种是缀加平面波方法(augmented plane wave, APW)。这两种方法的基本思想可归纳为：展开基函数不用单纯的K+G 的平面波，而是在此之上加进一点反映核心态的波函数成分。这样，对于一个基函数，就同时反映了原子核附近以及两原子之间的波函数成分，收敛将大大加快。这两种方法都可归纳到用赝势的观点去分析。下面，我们仅介绍OPW 方法。
（2）正交平面波方法（Orthogonalized Plane Wave ，OPW)
晶体电子的基态和较低态相当于诸孤立原子的内层电子态，展宽了的能带相当于在此之上的能量状态。从变分原理看，对于体系的高态，变分函数必须附加上以下条件：与所有比它低的本征函数正交。由于晶体中核心态之间的相互作用可以忽略，因此认为在晶体中的核心态与孤立原子中的核心态是一样的。因为晶体中较高能量的电子态（包括导带和价带）必须与低能量的核心态正交，因此用一个与核心态正交的平面波来代替原来的波函数，这就是正交平面波方法。这个与核心态正交的平面波定义为：
k
c
c c
c c k k C a k r a r r ????=∑-=∑-=)()()(，（表征半导体材料中的电子波函数，核心态与自由电子平面波的结合。）其中k ：自由电子平面波函数 k (r)；C ：内层电子波函数 c (r)，即核心态的波函数。
（注：离子实区域内外是两种性质不同的区域。在离子实区域外，电子感受到弱的势场作用，波函数是光滑的，很象平面波；而在离子实区域内，由于强烈的局
域势作用，波函数急剧振荡，因此最好用平面波k 与壳层能带波函数C 的线性组合来描述电子的波函数。）
因为与核心态正交, 有0)()r (=r k c
??
正交化平面波∑∑-=-=c
c
k k c k c k c k r c )(
?，
可写成：
∑+-+=+c
K G PW c K G PW K G OPW ,c ,, 正交化平面波即是平面波扣去其在内层电子态的投影，它与诸c 正交。其第一项反映了两原子之间的波函数，第二项反映紧靠原子核附近内层电子的波函数。
（ 将k
中平行于内层电子波函数的分量去掉。┴分量是正交的。其中c c 是投
影算符。）
因此，系统的电子波函数可用正交平面波展开： *赝势概念的提出
正交化平面波作为基函数，将∑∑+-+=+h
h
G c
h h G k G k PW c c G k PW a r
],,[ )(ψ代入
薛定谔方程
∑-+=+=c
c k ps c c E E r V V r V T H )()(),(0令。ps V 称为赝势。
能量k E 可由下式求得：0}]2)({[det ',2
2'=+-∑+h ps h G G k G h G V G E m
G k h
h h
δ。在求得k E 之后，原则上h G k a +也可得到，因此波函数∑+=+h
h G h G k G k OPW a r
,)(ψ可以得到。
小结：
1）上面分析说明，求晶体能带k E 和波函数k ψ的问题，可转化为求一个赝系统的能量和波函数问题。该赝系统具有赝势式，其能量与真实系统相同，都为k E 。
其赝波函数的平面波展开系数等于真实系统的OPW 波展开系数h
G
k
a +。用赝势代替真实势，这样做表面上看好像仅仅是一个数学变换，但实质上将使能带计算大
为简化。（注：用较少的展开项就收敛。赝势下的赝波函数与真实势下的布洛赫波函数具有完全相同的能量本征值。固体能带论主要关心的是导带或价带电子的能带结构，而不是波函数本身。如果我们可以选择适当的赝势，则可以比较容易地求解出基本真实的能谱。另外， 利用赝势方法算出的赝波函数，除了紧靠原子核处与真实波函数不符之外，其他大部分区域，与真实波函数还是符合得很好的。）
2）为什么引进赝势以后用较少的展开项就收敛？ 这是因为能带波函数要求正交于内层电子波函数，这相当于一种排斥作用。这种排斥作用部分抵消了靠近原子核处的强吸引（称为抵消现象），而使等效的赝势在靠近原子核处变得更为平坦。与此对应， 赝波函数在原子核附近没有快振荡的大动量部分，因此也较为平坦，可用少数几项平面波展开即可。
（注：赝势中的第一项来源于真实势V ，它是负值；第二项来源于正交化手续，它是一个正量。由于正交化手续要求波函数必须与内层电子波函数正交，它在离子实区强烈振荡，动能很大，实际上起一种排斥势能的作用，它在很大程度上抵消了离子实区V 的吸引作用，从而使得矩阵元G k V G k ps ++'比平面波中矩阵元
G k V G k ++'小得多，故收敛性比平面波好得多。
） （Philips 抵消原理：赝势在核心区域对价电子有排斥作用，将价电子排斥在核心区域之外，这个排斥势几乎抵消了在核心区内很强的离子吸引势，最后形成一个弱的吸引赝势，这称为Philips 抵消原理。）
3）赝势的引入具有任意性。我们的目的在于选取一个最好的赝势，它在靠近)
(r U
原子核处尽可能平坦而浅，在两原子之间趋近真实势。这样用较少的展开项就可以求得好的结果。普遍意义的赝势概念即：在原子内部用一个假想的势代替真正的原子势能，对求解原子间空间的薛定谔方程来讲，若不改变其本征值与本征函数，则这个势为赝势。正交化平面波所对应的赝势只是赝势的一种。 又论“赝势”
就是把离子实的内部势能用假想的势能取代真实的势能，但在求解波动方程时，不改变能量本
征值和离子实之间区域的波函数。由赝势求出的波函数叫赝波函数，在离子实之间的区域真实的势和赝势给出同样的波函数。
元素的价电子决定着在材料的特性，在原子结合成固体的过程中，价电子的运动状态发生了很大变化，内层电子则不然。价电子参与了电荷转移与成键，因此希望解波函数的部分，只处理价电子就好，而将内层电子简单地视为与孤立原子的内层电子相同。固体价电子波函数在离子实之间的区域变化平缓，与自由电子的平面波相近；离子实内部的区域，波函数变化剧烈，存在很多节点，这是因为需要使价电子与内层电子波函数正交，径向函数乘积积分为零，因而
离子实内部出现节点使一部分区域为正，一部分为负。“赝势”顾名思义，是一种假的位势，但概括了离子实的吸引作用和波函数的正交要求，这二者相互抵消，赝势总是使离子实内部的电子波函数尽可能的平坦。
最简单的模型可以是取距原子中心r 处为划分点，大于r 的区域波函数完全一样保留，而r 以内则对波函数加以改造。主要是要把振荡剧烈的波函数改造以变化缓慢的波函数，而且没有节点，少了剧烈振荡。这样选择参量r ，就可以使模型与真实结果相符合。 *讨论能带计算的具体问题。
对于具体一个晶体，位于一个格点j r
的原胞中包含几个原子，它们相对于原胞零点j r
的坐标为τ。每个原子对应的局域赝势为PS u τ，则晶体的赝势可写为
∑∑--=j j PS PS r r u V τ
ττ)(
。
计算矩阵元
定义：结构因子∑='-'--τ
τ )(01)(G G i e v G G S ，形式因子?='-'--r d e r u G G u r G G i PS PS )()()(ττ
)G (u PS τ
是)(r u PS
τ的傅立叶变换。对于选取得好的赝势，由于赝势很平坦，只有动量
很小的傅立叶分量才不为零。只需选择合适的赝势，就可用较少的平面波展开来计算矩阵元。
例：金刚石结构，面心立方，一个原胞两个原子，取两原子连线的中点为坐标原
形式因子
结构因子)
( )(G G u G G S G V G PS
PS '-'-='
),,( ),,( 8
1818128
1
81811a a -=-=ττττ
点，如图所示。 a 为面心立方边长。
对于硅，PS
PS u u ττ-=。
对称势：PS PS
PS S
u G u G u G u τττ2)()()(=+=- ，
反对称势：0)()()(=-=-G u G u G u PS
PS A
ττ
结构因子ττG G S G G S A S sin )(cos )(==
金刚石结构，采用赝势后，PS V 空间变化缓慢，
G V G PS
'
只包含较少的G 。由于球
对称关系，仅与倒格矢的绝对值G
有关。
对于硅，有：
化合物半导体 0,0≠≠S A u u ，则： 两种计算赝势形式因子的途径：
经验赝势Empirical Pesudo-potential Method(EPM),
可通过经验赝势的计算与实验, 如光反射谱的极值点或光电子特征峰比较得到，
要求实验数据输入，某个元素的u(G)一旦确定, 可以在别的化合物中用。
00
0*****0****0*11
8
43
A
S A S u u S S a
a
a
a
G
**
*******0****0*118
4
3
A
S A S u u S S a
a
a
a
G
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 2015半导体物理器件期末考试试题(全) 半导体物理器件原理（期末试题大纲）指导老师：陈建萍一、简答题（共 6 题，每题 4 分）。 代表试卷已出的题目1、耗尽区：半导体内部净正电荷与净负电荷区域，因为它不存在任何可动的电荷，为耗尽区（空间电荷区的另一种称呼）。 2、势垒电容：由于耗尽区内的正负电荷在空间上分离而具有的电容充放电效应，即反偏 Fpn 结的电容。 3、Pn 结击穿：在特定的反偏电压下，反偏电流迅速增大的现象。 4、欧姆接触：金属半导体接触电阻很低，且在结两边都能形成电流的接触。 5、饱和电压：栅结耗尽层在漏端刚好夹断时所加的漏源电压。 6、阈值电压：达到阈值反型点所需的栅压。 7、基区宽度调制效应：随 C-E 结电压或 C-B 结电压的变化，中性基区宽度的变化。 8、截止频率：共发射极电流增益的幅值为 1 时的频率。 9、厄利效应：基带宽度调制的另一种称呼（晶体管有效基区宽度随集电结偏置电压的变化而变化的一种现象） 10、隧道效应：粒子穿透薄层势垒的量子力学现象。 11、爱因斯坦关系：扩散系数和迁移率的关系： 12、扩散电容：正偏 pn 结内由于少子的存储效应而形成的电容。 1/ 11
13、空间电荷区：冶金结两侧由于 n 区内施主电离和 p 区内受主电离
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 而形成的带净正电荷与净负电荷的区域。 14、单边突变结：冶金结的一侧的掺杂浓度远大于另一侧的掺杂浓度的 pn 结。 15、界面态：氧化层--半导体界面处禁带宽度中允许的电子能态。 16、平带电压：平带条件发生时所加的栅压，此时在氧化层下面的半导体中没有空间电荷区。 17、阈值反型点：反型电荷密度等于掺杂浓度时的情形。 18、表面散射：当载流子在源极和源漏极漂移时，氧化层--半导体界面处载流子的电场吸引作用和库伦排斥作用。 19、雪崩击穿：由雪崩倍增效应引起的反向电流的急剧增大，称为雪崩击穿。 20、内建电场：n 区和 p 区的净正电荷和负电荷在冶金结附近感生出的电场叫内建电场，方向由正电荷区指向负电荷区，就是由 n 区指向 p 区。 21、齐纳击穿：在重掺杂 pn 结内，反偏条件下结两侧的导带与价带离得非常近，以至于电子可以由 p 区的价带直接隧穿到 n 区的导带的现象。 22、大注入效应：大注入下，晶体管内产生三种物理现象，既三个效应，分别称为：（1）基区电导调制效应；（2）有效基区扩展效应； (3)发射结电流集边效应。 它们都将造成晶体管电流放大系数的下降。 3/ 11
1.布喇格定律（相长干涉）：点阵周期性导致布喇格定律。 2.晶体性质的周期性：电子数密度n(r)是r的周期性函数，存在 3.2πp/a被称为晶体的倒易点阵中或傅立叶空间中的一个点，倒易点中垂线做直线可得布里渊区。 3.倒易点阵： 4.衍射条件：当散射波矢等于一个倒易点阵矢量G时，散射振幅 达到最大 波矢为k的电子波的布喇格衍射条件是： 一维情况（布里渊区边界满足布拉格）简化为： 当电子波矢为±π/a时，描述电子的波函数不 再是行波，而是驻波（反复布喇格反射的结果） 5.布里渊区： 6.布里渊区的体积应等于倒易点阵初基晶胞的体积。 7.简单立方点阵的倒易点阵，仍是一个简立方点阵，点阵常数为2π/a，第一布里渊区是个以原点为体心，边长为2π/a的立方体。 体心立方点阵的倒易点阵是个面心立方点阵，第一布里渊区是正菱形十二面体。面心立方点阵的倒易点阵是个体心立方点阵，第一布里渊区是截角八面体。 8.能隙（禁带）的起因：晶体中电子波的布喇格反射－周期性势场的作用。（边界处布拉格反射形成驻波，造成能量差）
9.第一布里渊区内允许的波矢总数=晶体中的初基晶胞数N －每个初基晶胞恰好给每个能带贡献一个独立的k值； －直接推广到三维情况考虑到同一能量下电子可以有两个相反的自旋取向，于是每个能带中存在2N个独立轨道。 －若每个初基晶胞中含有一个一价原子，那么能带可被电子填满一半； －若每个原子能贡献两个价电子，那么能带刚好填满；初基晶胞中若含有两个一价原子，能带也刚好填满。 绝缘体：至一个全满，其余全满或空（初基晶胞内的价电子数目为偶数,能带不 交叠）2N. 金属：半空半满 半导体或半金属：一个或两个能带是几乎空着或几乎充满以外，其余全满 （半金属能带交叠） 10.自由电子： 11.半导体的E-k关系： 导带底：E(k)>E(0)，电子有效质量为正值； 价带顶：E(k) 高等半导体物理 课程内容（前置课程：量子力学，固体物理） 第一章能带理论，半导体中的电子态 第二章半导体中的电输运 第三章半导体中的光学性质 第四章超晶格，量子阱 前言：半导体理论和器件发展史 1926 Bloch 定理 1931 Wilson 固体能带论（里程碑） 1948 Bardeen, Brattain and Shokley 发明晶体管，带来了现代电子技术的革命，同时也促进了半导体物理研究的蓬勃发展。从那以后的几十年间，无论在半导体物理研究方面，还是半导体器件应用方面都有了飞速的发展。 1954半导体有效质量理论的提出，这是半导体理论的一个重大发展，它定量地描述了半导体导带和价带边附近细致的能带结构，给出了研究浅能级、激子、磁能级等的理论方法，促进了当时的回旋共振、磁光吸收、自由载流子吸收、激子吸收等实验研究。 1958 集成电路问世 1959 赝势概念的提出，使得固体能带的计算大为简化。利用价电子态与原子核心态正交的性质，用一个赝势代替真实的原子势，得到了一个固体中价电子态满足的方程。用赝势方法得到了几乎所有半导体的比较精确的能带结构。 1962 半导体激光器发明 1968 硅MOS器件发明及大规模集成电路实现产业化大生产 1970 * 超晶格概念提出，Esaki (江歧), Tsu （朱兆祥） * 超高真空表面能谱分析技术相继出现，开始了对半导体表面、界面物理的研究 1971 第一个超晶格Al x Ga 1-x As/GaAs 制备，标志着半导体材料的发展开始进入人 工设计的新时代。 1980 德国的Von Klitzing发现了整数量子Hall 效应——标准电阻 1982 崔崎等人在电子迁移率极高的Al x Ga 1-x As/GaAs异质结中发现了分数量子 Hall 效应 1984 Miller等人观察到量子阱中激子吸收峰能量随电场强度变化发生红移的量子限制斯塔克效应，以及由激子吸收系数或折射率变化引起的激子光学非线性效应，为设计新一代光双稳器件提供了重要的依据。 1990 英国的Canham首次在室温下观测到多孔硅的可见光光致发光，使人们看到了全硅光电子集成技术的新曙光。 近年来，各国科学家将选择生成超薄层外延技术和精细束加工技术密切结合起来，研制量子线与量子点及其光电器件，预期能发现一些新的物理现象和得到更好的器件性能。在器件长度小于电子平均自由程的所谓介观系统中，电子输运不再遵循通常的欧姆定律，电子运动完全由它的波动性质决定。人们发现电子输运的Aharonov-Bohm振荡，电子波的相干振荡以及量子点的库仑阻塞现象等。以上这些新材料、新物理现象的发现产生新的器件设计思想，促进新一代半导体器件的发展。 半导体材料分类： ?元素半导体， Si, Ge IV 族金刚石结构 Purity 10N9, Impurity concentration 10-12/cm3 , 一、p-n结 1.PN结的杂质分布、空间电荷区，电场分布 （1）按照杂质浓度分布，PN 结分为突变结和线性缓变结 突变结--- P区与N区的杂质浓度都是均匀的，杂质浓度在冶金结面处（x = 0）发生突变。 单边突变结---一侧的浓度远大于另一侧，分别记为PN+ 单边突变结和P+N 单边突变结。后面的分析主要是建立在突变结（单边突变结）的基础上 突变结近似的杂质分布。 线性缓变结--- 冶金结面两侧的杂质浓度均随距离作线性变化，杂质浓度梯 a 为常数。在线性区 () N x ax =- () 常数 = - = dx N N d a a d 线性缓变结近似的杂质分布。 空间电荷区：PN结中，电子由N区转移至P区，空穴由P区转移至N区。电子和空穴的转移分别在N区和P区留下了未被补偿的施主离子和受主离子。它们是荷电的、固定不动的，称为空间电荷。空间电荷存在的区域称为空间电荷区。 （2）电场分布 2.平衡载流子和非平衡载流子 （1）平衡载流子--处于非平衡状态的半导体,其载流子浓度为n0和p0。 （2）非平衡载流子--处于非平衡状态的半导体，其载流子浓度也不再是n0和p0（此处0是下标），可以比他们多出一部分。比平衡状态多出来的这部分载流子称为非平衡载流子 3. Fermi 能级，准Fermi 能级，平衡PN结能带图，非平衡PN结能带图 (1)Fermi 能级:平衡PN结有统一的费米能级。 （2）当pn结加上外加电压V后，在扩散区和势垒区范围内，电子和空穴没有统一的费米能级，分别用准费米能级。 （3）平衡PN结能带图 （4）非平衡PN结能带图 半导体物理知识点总结 本章主要讨论半导体中电子的运动状态。主要介绍了半导体的几种常见晶体结构，半导体中能带的形成，半导体中电子的状态和能带特点，在讲解半导体中电子的运动时，引入了有效质量的概念。阐述本征半导体的导电机构，引入了空穴散射的概念。最后，介绍了Si、Ge和GaAs的能带结构。 在1.1节，半导体的几种常见晶体结构及结合性质。（重点掌握）在1.2节，为了深入理解能带的形成，介绍了电子的共有化运动。介绍半导体中电子的状态和能带特点，并对导体、半导体和绝缘体的能带进行比较，在此基础上引入本征激发的概念。（重点掌握）在1.3节，引入有效质量的概念。讨论半导体中电子的平均速度和加速度。（重点掌握）在1.4节，阐述本征半导体的导电机构，由此引入了空穴散射的概念，得到空穴的特点。（重点掌握）在1.5节，介绍回旋共振测试有效质量的原理和方法。（理解即可）在1.6节，介绍Si、Ge的能带结构。（掌握能带结构特征）在1.7节，介绍Ⅲ-Ⅴ族化合物的能带结构，主要了解GaAs的能带结构。（掌握能带结构特征）本章重难点： 重点： 1、半导体硅、锗的晶体结构（金刚石型结构）及其特点； 三五族化合物半导体的闪锌矿型结构及其特点。 2、熟悉晶体中电子、孤立原子的电子、自由电子的运动有何不同：孤立原子中的电子是在该原子的核和其它电子的势场中运动，自由电子是在恒定为零的势场中运动，而晶体中的电子是在严格周期性重复排列的原子间运动（共有化运动），单电子近似认为，晶体中的某一个电子是在周期性排列且固定不动的原子核的势场以及其它大量电子的平均势场中运动，这个势场也是周期性变化的，而且它的周期与晶格周期相同。 3、晶体中电子的共有化运动导致分立的能级发生劈裂，是形成半导体能带的原因，半导体能带的特点： ①存在轨道杂化，失去能级与能带的对应关系。杂化后能带重新分开为上能带和下能带，上能带称为导带，下能带称为价带②低温下，价带填满电子，导带全空，高温下价带中的一部分电子跃迁到导带，使晶体呈现弱导电性。 第三章习题和答案 1. 计算能量在E=E c 到2 *n 2 C L 2m 100E E 之间单位体积中的量子态数。 解： 2. 试证明实际硅、锗中导带底附近状态密度公式为式（3-6）。 3 22 23 3*28100E 21 23 3 *22100E 002 1 233*231000L 8100)(3 222)(22)(1Z V Z Z )(Z )(22)(23 22 C 22 C L E m h E E E m V dE E E m V dE E g V d dE E g d E E m V E g c n c C n l m h E C n l m E C n n c n c ）（） （单位体积内的量子态数） （) (21)(,)"(2)()(,)(,)()(2~.2'2 1 3'' ''''2'21'21'21' 2 2222 22C a a l t t z y x a c c z l a z y t a y x t a x z t y x C C e E E m h k V m m m m k g k k k k k m h E k E k m m k k m m k k m m k ml k m k k h E k E K IC E G si ? 系中的态密度在等能面仍为球形等能面 系中在则：令） （关系为 ）（半导体的、证明： 3 1 23 2212 32' 2123 2 31'2 '''')()2(4)()(111100)()(24)(4)()(~l t n c n c l t t z m m s m V E E h m E sg E g si V E E h m m m dE dz E g dk k k g Vk k g d k dE E E ?? ? ? ）方向有四个， 锗在（旋转椭球，个方向，有六个对称的导带底在对于即状态数。 空间所包含的空间的状态数等于在 电子科技大学二零一零至二零一一学年第一学期期末考试 1．对于大注入下的直接辐射复合，非平衡载流子的寿命与（D ） A. 平衡载流子浓度成正比 B. 非平衡载流子浓度成正比 C. 平衡载流子浓度成反比 D. 非平衡载流子浓度成反比 2．有3个硅样品，其掺杂情况分别是： 甲．含铝1×10-15cm-3乙.含硼和磷各1×10-17cm-3丙.含镓1×10-17cm-3 室温下，这些样品的电阻率由高到低的顺序是（C ） A.甲乙丙 B. 甲丙乙 C. 乙甲丙 D. 丙甲乙 3．题2中样品的电子迁移率由高到低的顺序是（ B ） 4．题2中费米能级由高到低的顺序是（ C ） 5. 欧姆接触是指（ D ）的金属一半导体接触 A. W ms = 0 B. W ms < 0 C. W ms > 0 D. 阻值较小且具有对称而线性的伏安特性 6．有效复合中心的能级必靠近( A ) A.禁带中部 B.导带 C.价带 D.费米能级 7．当一种n型半导体的少子寿命由直接辐射复合决定时，其小注入下的少子寿命正比于（C ） A.1/n0 B.1/△n C.1/p0 D.1/△p 8．半导体中载流子的扩散系数决定于其中的( A ) A.散射机构 B. 复合机构 C.杂质浓变梯度 D.表面复合速度 9．MOS 器件绝缘层中的可动电荷是（ C ） A. 电子 B. 空穴 C. 钠离子 D. 硅离子 10．以下4种半导体中最适合于制作高温器件的是（ D ） A. Si B. Ge C. GaAs D. GaN 二、解释并区别下列术语的物理意义（30 分，7+7+8+8，共4 题） 1. 有效质量、纵向有效质量与横向有效质量（7 分） 答：有效质量：由于半导体中载流子既受到外场力作用，又受到半导体内部周期性势场作用。有效概括了半导体内部周期性势场的作用，使外场力和载流子加速度直接联系起来。在直接由实验测得的有效质量后，可以很方便的解决电子的运动规律。(3分) 纵向有效质量、横向有效质量：由于k空间等能面是椭球面，有效质量各向异性，在回旋共振实验中，当磁感应强度相对晶轴有不同取向时，可以得到为数不等的吸收峰。我们引入纵向有效质量跟横向有效质量表示旋转椭球等能面纵向有效质量和横向有效质量。(4分) 2. 扩散长度、牵引长度与德拜长度（7 分） 答：扩散长度：指的是非平衡载流子在复合前所能扩散深入样品的平均距离。由扩散系数 基本概念题： 第一章半导体电子状态 1.1 半导体 通常是指导电能力介于导体和绝缘体之间的材料，其导带在绝对零度时全空，价带全满，禁带宽度较绝缘体的小许多。 1.2能带 晶体中，电子的能量是不连续的，在某些能量区间能级分布是准连续的，在某些区间没有能及分布。这些区间在能级图中表现为带状，称之为能带。 1.2能带论是半导体物理的理论基础，试简要说明能带论所采用的理论方法。 答： 能带论在以下两个重要近似基础上，给出晶体的势场分布，进而给出电子的薛定鄂方程。通过该方程和周期性边界条件最终给出E-k关系，从而系统地建立起该理论。 单电子近似： 将晶体中其它电子对某一电子的库仑作用按几率分布平均地加以考虑，这样就可把求解晶体中电子波函数的复杂的多体问题简化为单体问题。 绝热近似： 近似认为晶格系统与电子系统之间没有能量交换，而将实际存在的这种交换当作微扰来处理。 1.2克龙尼克—潘纳模型解释能带现象的理论方法 答案： 克龙尼克—潘纳模型是为分析晶体中电子运动状态和E-k关系而提出的一维晶体的势场分布模型，如下图所示 利用该势场模型就可给出一维晶体中电子所遵守的薛定谔方程的具体表达式，进而确定波函数并给出E-k关系。由此得到的能量分布在k空间上是周期函数，而且某些能量区间能级是准连续的（被称为允带），另一些区间没有电子能级（被称为禁带）。从而利用量子力学的方法解释了能带现象，因此该模型具有重要的物理意义。 1.2导带与价带 1.3有效质量 有效质量是在描述晶体中载流子运动时引进的物理量。它概括了周期性势场对载流子运动的影响，从而使外场力与加速度的关系具有牛顿定律的形式。其大小由晶体自身的E-k 第一章习题 1.设晶格常数为a 的一维晶格,导带极小值附近能量E c (k)与价带极大值附近 能量E V (k)分别为: E c =0 2 20122021202236)(,)(3m k h m k h k E m k k h m k h V -=-+ 0m 。试求： 为电子惯性质量，nm a a k 314.0,1==π (1)禁带宽度; （2） 导带底电子有效质量; （3）价带顶电子有效质量; (4)价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化 解:(1) eV m k E k E E E k m dk E d k m k dk dE Ec k k m m m dk E d k k m k k m k V C g V V V c 64.012)0()43(0,060064 30382324 30)(2320212102 2 20 202 02022210 1202==-==<-===-== >=+== =-+ηηηηηηηη因此：取极大值处，所以又因为得价带： 取极小值处，所以：在又因为：得：由导带： 04 3222* 83)2(1m dk E d m k k C nC ===η s N k k k p k p m dk E d m k k k k V nV /1095.704 3)()()4(6 )3(25104300222* 11-===?=-=-=?=-==ηηηηη所以：准动量的定义： 2、 晶格常数为0、25nm 的一维晶格,当外加102V/m,107 V/m 的电场时,试分别计 算电子自能带底运动到能带顶所需的时间。 解:根据:t k h qE f ??== 得qE k t -?=?η s a t s a t 13719282 1911027.810106.1) 0(1027.810106.1) 0(----?=??--= ??=??-- =?π πηη 补充题1 分别计算Si(100),(110),(111)面每平方厘米内的原子个数,即原子面密度(提示:先 画出各晶面内原子的位置与分布图) Si 在(100),(110)与(111)面上的原子分布如图1所示: (a)(100)晶面 (b)(110)晶面 半导体物理考点归纳 一· 1.金刚石 1) 结构特点： a. 由同类原子组成的复式晶格。其复式晶格是由两个面心立方的子晶格彼此沿其空间对角线位移1/4的长度形成 b. 属面心晶系，具立方对称性，共价键结合四面体。 c. 配位数为4，较低，较稳定。(配位数：最近邻原子数) d. 一个晶体学晶胞内有4+8*1/8+6*1/2=8个原子。 2) 代表性半导体：IV 族的C ，Si ，Ge 等元素半导体大多属于这种结构。 2.闪锌矿 1) 结构特点： a. 共价性占优势，立方对称性； b. 晶胞结构类似于金刚石结构，但为双原子复式晶格； c. 属共价键晶体，但有不同的离子性。 2) 代表性半导体：GaAs 等三五族元素化合物均属于此种结构。 3.电子共有化运动： 原子结合为晶体时，轨道交叠。外层轨道交叠程度较大，电子可从一个原子运动到另一原子中，因而电子可在整个晶体中运动，称为电子的共有化运动。 4.布洛赫波： 晶体中电子运动的基本方程为： ，K 为波矢，uk(x)为一个与晶格同周期的周期性函数， 5.布里渊区： 禁带出现在k=n/2a 处，即在布里渊区边界上； 允带出现在以下几个区： 第一布里渊区:－1/2a 一、填空题 1．纯净半导体Si 中掺错误！未找到引用源。族元素的杂质，当杂质电离时释放 电子 。这种杂质称 施主 杂质；相应的半导体称 N 型半导体。 2．当半导体中载流子浓度的分布不均匀时，载流子将做 扩散 运动；在半导体存在外加电压情况下，载流子将做 漂移 运动。 3．n o p o =n i 2标志着半导体处于 平衡 状态，当半导体掺入的杂质含量改变时，乘积n o p o 改变否？ 不变 ；当温度变化时，n o p o 改变否？ 改变 。 4．非平衡载流子通过 复合作用 而消失， 非平衡载流子的平均生存时间 叫做寿命τ，寿命τ与 复合中心 在 禁带 中的位置密切相关，对于强p 型和 强n 型材料，小注入时寿命τn 为 ，寿命τp 为 . 5． 迁移率 是反映载流子在电场作用下运动难易程度的物理量， 扩散系数 是反映有浓度梯度时载 q n n 0=μ ，称为 爱因斯坦 关系式。 6．半导体中的载流子主要受到两种散射，它们分别是电离杂质散射 和 晶格振动散射 。前者在 电离施主或电离受主形成的库伦势场 下起主要作用，后者在 温度高 下起主要作用。 7．半导体中浅能级杂质的主要作用是 影响半导体中载流子浓度和导电类型 ；深能级杂质所起的主要作用 对载流子进行复合作用 。 8、有3个硅样品，其掺杂情况分别是：甲 含铝1015cm -3 乙. 含硼和磷各1017 cm -3 丙 含镓1017 cm -3 室温下，这些样品的电阻率由高到低的顺序是 乙 甲 丙 。样品的电子迁移率由高到低的顺序是甲丙乙 。费米能级由高到低的顺序是 乙> 甲> 丙 。 9．对n 型半导体，如果以E F 和E C 的相对位置作为衡量简并化与非简并化的标准，那么 T k E E F C 02>- 为非简并条件； T k E E F C 020≤-< 为弱简并条件； 0≤-F C E E 为简并条件。 10．当P-N 结施加反向偏压增大到某一数值时，反向电流密度突然开始迅速增大的现象称为 PN 结击穿 ，其种类为： 雪崩击穿 、和 齐纳击穿（或隧道击穿） 。 11．指出下图各表示的是什么类型半导体？ 12. 以长声学波为主要散射机构时，电子迁移率μn 与温度的 -3/2 次方成正比 13 半导体中载流子的扩散系数决定于其中的 载流子的浓度梯度 。 14 电子在晶体中的共有化运动指的是 电子不再完全局限在某一个原子上，而是可以从晶胞中某一点自由地运动到其他晶胞内的对应点，因而电子可以在整个晶体中运动 。 二、选择题 1根据费米分布函数，电子占据（E F +kT ）能级的几率 B 。 A ．等于空穴占据（E F +kT ）能级的几率 B ．等于空穴占据（E F －kT ）能级的几率 C ．大于电子占据E F 的几率 D ．大于空穴占据 E F 的几率 2有效陷阱中心的位置靠近 D 。 A. 导带底 B.禁带中线 C ．价带顶 D ．费米能级 3对于只含一种杂质的非简并n 型半导体，费米能级E f 随温度上升而 D 。 A. 单调上升 B. 单调下降 C ．经过一极小值趋近E i D ．经过一极大值趋近E i 7若某半导体导带中发现电子的几率为零，则该半导体必定＿D ＿。 A ．不含施主杂质 B ．不含受主杂质 C ．不含任何杂质 D ．处于绝对零度 第一章、 半导体中的电子状态习题 1-1、 什么叫本征激发？温度越高，本征激发的载流子越多，为什么？试定性说 明之。 1-2、 试定性说明Ge 、Si 的禁带宽度具有负温度系数的原因。 1-3、试指出空穴的主要特征。 1-4、简述Ge 、Si 和GaAS 的能带结构的主要特征。 1-5、某一维晶体的电子能带为 [])sin(3.0)cos(1.01)(0ka ka E k E --= 其中E 0=3eV ，晶格常数a=5х10-11m 。求： （1） 能带宽度； （2） 能带底和能带顶的有效质量。 题解： 1-1、 解：在一定温度下，价带电子获得足够的能量（≥E g ）被激发到导带成 为导电电子的过程就是本征激发。其结果是在半导体中出现成对的电子-空穴对。如果温度升高，则禁带宽度变窄，跃迁所需的能量变小，将会有更多的电子被激发到导带中。 1-2、 解：电子的共有化运动导致孤立原子的能级形成能带，即允带和禁带。温 度升高，则电子的共有化运动加剧，导致允带进一步分裂、变宽；允带变宽，则导致允带与允带之间的禁带相对变窄。反之，温度降低，将导致禁带变宽。因此，Ge 、Si 的禁带宽度具有负温度系数。 1-3、 解：空穴是价带中未被电子占据的空量子态，被用来描述半满带中的大量 电子的集体运动状态，是准粒子。主要特征如下： A 、荷正电：+q ； B 、空穴浓度表示为p （电子浓度表示为n ）； C 、E P =-E n D 、m P *=-m n *。 1-4、 解： （1） Ge 、Si: a ）Eg (Si ：0K) = 1.21eV ；Eg (Ge ：0K) = 1.170eV ； b ）间接能隙结构 c ）禁带宽度E g 随温度增加而减小； （2） GaAs ： a ）E g （300K ）= 1.428eV ，Eg (0K) = 1.522eV ； b ）直接能隙结构； c ）Eg 负温度系数特性： dE g /dT = -3.95×10-4eV/K ； 1-5、 解： （1） 由题意得： [][] )sin(3)cos(1.0)cos(3)sin(1.002 22 0ka ka E a k d dE ka ka aE dk dE +=-= 第一章习题 1．设晶格常数为a 的一维晶格，导带极小值附近能量E c (k)和价带极大值附近 能量E V (k)分别为： E c =0 2 20122021202236)(,)(3m k h m k h k E m k k h m k h V - =-+ 0m 。试求： 为电子惯性质量，nm a a k 314.0,1== π （1）禁带宽度; （2） 导带底电子有效质量; （3）价带顶电子有效质量; （4）价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化 解：（1） eV m k E k E E E k m dk E d k m k dk dE Ec k k m m m dk E d k k m k k m k V C g V V V c 64.012)0()43 (0,060064 3 382324 3 0)(2320 2121022 20 202 02022210 1202== -==<-===-==>=+===-+ 因此：取极大值 处，所以又因为得价带： 取极小值处，所以：在又因为：得：由导带： 04 32 2 2*8 3)2(1 m dk E d m k k C nC === s N k k k p k p m dk E d m k k k k V nV /1095.704 3 )() ()4(6 )3(25104 3002 2 2*1 1 -===?=-=-=?=- == 所以：准动量的定义： 2. 晶格常数为0.25nm 的一维晶格，当外加102V/m ，107 V/m 的电场时，试分别 计算电子自能带底运动到能带顶所需的时间。 解：根据：t k h qE f ??== 得qE k t -?=? s a t s a t 137 19 282 1911027.810 10 6.1)0(102 7.810106.1) 0(----?=??-- =??=??-- = ?π π 补充题1 分别计算Si （100），（110），（111）面每平方厘米内的原子个数，即原子面密度 （提示：先画出各晶面内原子的位置和分布图） Si 在（100），（110）和（111）面上的原子分布如图1所示： （a ）(100)晶面 （b ）(110)晶面 高等半导体物理 课程内容(前置课程: 量子力学,固体物理) 第一章能带理论,半导体中得电子态 第二章半导体中得电输运 第三章半导体中得光学性质 第四章超晶格,量子阱 前言:半导体理论与器件发展史 1926 Bloch 定理 1931 Wilson 固体能带论(里程碑) 1948 Bardeen, Brattain and Shokley 发明晶体管,带来了现代电子技术得革命,同时也促进了半导体物理研究得蓬勃发展。从那以后得几十年间,无论在半导体物理研究方面,还就是半导体器件应用方面都有了飞速得发展。 1954半导体有效质量理论得提出,这就是半导体理论得一个重大发展,它定量地描述了半导体导带与价带边附近细致得能带结构,给出了研究浅能级、激子、磁能级等得理论方法,促进了当时得回旋共振、磁光吸收、自由载流子吸收、激子吸收等实验研究。 1958 集成电路问世 1959 赝势概念得提出,使得固体能带得计算大为简化。利用价电子态与原子核心态正交得性质,用一个赝势代替真实得原子势,得到了一个固体中价电子态满足得方程。用赝势方法得到了几乎所有半导体得比较精确得能带结构。1962 半导体激光器发明 1968 硅MOS器件发明及大规模集成电路实现产业化大生产 1970 * 超晶格概念提出,Esaki (江歧), Tsu (朱兆祥) * 超高真空表面能谱分析技术相继出现,开始了对半导体表面、界面物理得研究 1971 第一个超晶格Al x Ga1x As/GaAs 制备,标志着半导体材料得发展开始进入人工设计得新时代。 1980 德国得V on Klitzing发现了整数量子Hall 效应——标准电阻 1982 崔崎等人在电子迁移率极高得Al x Ga1x As/GaAs异质结中发现了分数量子Hall 效应 1984 Miller等人观察到量子阱中激子吸收峰能量随电场强度变化发生红移得量子限制斯塔克效应,以及由激子吸收系数或折射率变化引起得激子光学非线性效应,为设计新一代光双稳器件提供了重要得依据。 1990 英国得Canham首次在室温下观测到多孔硅得可见光光致发光,使人们瞧到了全硅光电子集成技术得新曙光。近年来,各国科学家将选择生成超薄层外延技术与精细束加工技术密切结合起来,研制量子线与量子点及其光电器件,预期能发现一些新得物理现象与得到更好得器件性能。在器件长度小于电子平均自由程得所谓介观系统中,电子输运不再遵循通常得欧姆定律,电子运动完全由它得波动性质决定。人们发现电子输运得AharonovBohm振荡,电子波得相干振荡以及量子点得库仑阻塞现象等。以上这些新材料、新物理现象得发现产生新得器件设计思想,促进新一代半导体器件得发展。 半导体材料分类: ?元素半导体, Si, Ge IV 族金刚石结构 Purity 10N9, Impurity concentration 1012/cm3 , Dislocation densities <103 /cm3 Size 20 inches (50 cm) in diameter P V 族 S, Te, Se VI 族 ?二元化合物, 1.IIIV族化合物: GaAS系列,闪锌矿结构, 电荷转移 GaAs, 1、47 eV InAs 0、36 eV GaP, 2、23 eV GaSb, 0、68 eV GaN, 3、3 eV BN 4、6 eV AlN 3、8 eV 半导体物理2010-2011学年(2011.1.5) 一、简答题（8*6’=48’） 1.请填写下表中的数据： 解理面 材料晶格结构布拉伐格子直接/间接 带隙 Si GaAs 2.什么是本征半导体？什么是杂质半导体？示意画出掺杂浓度为Nd的N型半导体样品电子浓度n和本征载流子浓度ni随T变化曲线。 3.“纯净的半导体中，掺入百万分之一的杂质，可以减小电阻率达1百万倍，”是估算说明之。 4.一块杂志补偿的半导体，受主杂质和施主杂质浓度相等。设杂质全部电离，判断当杂质浓度分别为 (a) Na=Nd=1014cm-3(b) Na=Nd=1018cm-3 时，哪种情况的电导率大？简述分析理由。 5.什么是载流子的平均自由时间τ？有两块Si半导体材料1和2，其中τ1>τ2，迁移率哪个大？ 如果同一块半导体中，有两种机理的平均自由时间τ1和τ2，其总迁移率如何确定？ 6.写出以n型样品为例少子空穴的连续性方程。 由连续性方程写出：不考虑电场的作用、无产生、稳态载流子扩散方程； 7.什么是PN结的势垒电容？定性说明掺杂浓度对势垒电容有何影响。 8.一个p-N异质结接触前能带图见图1。画出平衡状态下能带图。 电阻率为7Ω·cm的p型硅，T=300K。 ⑴试计算室温时多数载流子和少子浓度（可查图）。 ⑵计算该半导体的功函数。 ⑶不考虑界面态，在金属铝（功函数W Al=4.20eV）和金属铂（功函数W Pi=5.3eV）中选择制备肖特基二极管的金属，给出选择理由。 ⑷求金属一侧势垒高度的理论值qΦms和半导体一侧势垒高度qV D 。 三、(16’) 室温下，一个Si的N-P结，N区一侧掺杂浓度为1017cm-3，P区为1015cm-3 ⑴求该N-P结的接触电势差。 ⑵画出平衡PN结、正向偏置PN结、反向偏置PN结空间电荷区中及边界处的载流子分布示意图。 ⑶根据正向和反向少子分布情况，解释PN结正向导通，反向截止的饱和特性。 ⑷写出理想PN结电流-电压关系公式，在对数坐标下，定性画出理想和实际I-V特性示意图。 四、（15’） 一理想的MOS结构的高频测量的C-V曲线如图2. （1）判断该结构中，半导体的导电类型。 （2）说明图中1,2,3,4,5点的半导体一侧的状态，并示意画出每点半导体一侧的能带形状，以及金属和半导体一侧的电荷分布。 半导体物理 绪 论 一、什么是半导体 导体 半导体 绝缘体 电导率ρ <10- 9 3 10~10- 9 10> cm ?Ω 此外，半导体还有以下重要特性 1、 温度可以显著改变半导体导电能力 例如：纯硅（Si ） 若温度从 30C 变为C 20时，ρ增大一倍 2、 微量杂质含量可以显著改变半导体导电能力 例如：若有100万硅掺入1个杂质（P . Be ）此时纯度99.9999% ，室温（C 27 300K ）时，电阻率由214000Ω降至0.2Ω 3、 光照可以明显改变半导体的导电能力 例如：淀积在绝缘体基片上（衬底）上的硫化镉（CdS ）薄膜，无光照时电阻（暗电阻）约为几十欧姆，光照时电阻约为几十千欧姆。 另外，磁场、电场等外界因素也可显著改变半导体的导电能力。 综上： ● 半导体是一类性质可受光、热、磁、电，微量杂质等作用而改变其性质的材料。 二、课程内容 本课程主要解决外界光、热、磁、电，微量杂质等因素如何影响半导体性质的微观机制。 预备知识——化学键的性质及其相应的具体结构 晶体：常用半导体材料Si Ge GaAs 等都是晶体 固体 非晶体：非晶硅（太阳能电池主要材料） 晶体的基本性质：固定外形、固定熔点、更重要的是组成晶体的原子（离子）在较大范围里（6 10-m ）按一定方式规则排列——称为长程有序。 单晶：主要分子、原子、离子延一种规则摆列贯穿始终。 多晶：由子晶粒杂乱无章的排列而成。 非晶体：没有固定外形、固定熔点、内部结构不存在长程有序，仅在较小范围（几个原子距）存在结构有 序——短程有序。 §1 化学键和晶体结构 1、 原子的负电性 化学键的形成取决于原子对其核外电子的束缚力强弱。 电离能：失去一个价电子所需的能量。 亲和能：最外层得到一个价电子成为负离子释放的能量。(ⅡA 族和氧除外) 原子负电性=（亲和能+电离能）18.0? （Li 定义为1） ● 负电性反映了两个原子之间键合时最外层得失电子的难易程度。 ● 价电子向负电性大的原子转移 ⅠA 到ⅦA ，负电性增大，非金属性增强 半导体物理学第七版完 整答案修订版 IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】 第一章习题 1．设晶格常数为a 的一维晶格，导带极小值附近能量E c (k)和价带极大值附近能量E V (k) 分别为： E C （K ）=0 2 20122021202236)(,)(3m k h m k h k E m k k h m k h V - =-+ （1）禁带宽度; （2）导带底电子有效质量; （3）价带顶电子有效质量; （4）价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化 解：（1） 2. 晶格常数为0.25nm 的一维晶格，当外加102V/m ，107 V/m 的电场时，试分别计算电子 自能带底运动到能带顶所需的时间。 解：根据：t k h qE f ??== 得qE k t -?=? 补充题1 分别计算Si （100），（110），（111）面每平方厘米内的原子个数，即原子面密度（提 示：先画出各晶面内原子的位置和分布图） Si 在（100），（110）和（111）面上的原子分布如图1所示： （a ）(100)晶面 （b ）(110)晶面 （c ）(111)晶面 补充题2 一维晶体的电子能带可写为)2cos 81 cos 8 7()22ka ka ma k E +-= （， 式中a 为 晶格常数，试求 （1）布里渊区边界； （2）能带宽度； （3）电子在波矢k 状态时的速度； （4）能带底部电子的有效质量* n m ； （5）能带顶部空穴的有效质量*p m 解：（1）由 0)(=dk k dE 得 a n k π = （n=0，?1，?2…） 进一步分析a n k π ) 12(+= ，E （k ）有极大值， a n k π 2=时，E （k ）有极小值 习题参考答案 第一章 1） 求基函数为一般平面波、哈密顿量为自由电子系统的哈密顿量时，矩阵元1?1H 和2?1H 的值。 解：令r k i e V ?= 111，r k i e V ?=212，222??-=m H ，有： m k r d e e mV k r d e V m e V H r k i V r k i r k i V r k i 221)2(11?121202122201111 =?=?-=??-??-??021)2(12?121210222220=?=?-=??-??-??r d e e mV k r d e V m e V H r k i V r k i r k i V r k i 2） 证明)2(πNa l k =，)2(πNa l k ' ='，l '和l 均为整数。 证：由Bloch 定理可得： )()(r e R r n R ik n ψψ?=+ 考虑一维情况，由周期性边界条件，可得： π πψψψ221 )()()(Na l k l Na k e r e r Na r Na ik Na ik =?=??=?==+??? 同理可证)2(πNa l k ' = '。 3） 在近自由电子近似下，由 022122?11?1=--E H H H E H 推导出0)()(002 1=--εεεεk n n k V V 。 解：令r k i e V ?= 111，r k i e V ?=212， V r V V m V V r V m r V m H -++?-=-++?-=+?-=)(2)(2)(2?22 2222 V m V k V V V m V k r d e V e V r d e r V e V V m V k r d e V V r V V m e V H r k i V r k i r k i V r k i r k i V r k i +=-++=-++=-++?-=??-??-??-???2)2(1)(1)2(1])(2[11?121221200212220111111 令V mV k k += 22 1201 ε，即有01 1?1k H ε=。 同理有： 02 2?2k H ε=。 n r k i V r k i r k i V r k i V r d e r V e V r d e V r V m e V H =+=+?-=??-??-?? 2121)(101)](2[12?10 220 其中r d e r V e V V r k i V r k i n ??-? =21)(10 ，是周期场V(x)的第n 个傅立叶系数。 同理，n V H =1?2。 于是有： 0) ()(0021=--εεεεk n n k V V 。高等半导体物理讲义
华工半导体物理期末总结
半导体物理知识点总结
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