小议初中数学拓展课程的原则及可行途径
一、背景介绍
今年3月，省教育厅出台《关于深化义务教育课程改革的指导意见》。《意见》在国家课程、地方课程、校本课程的三级课程分类的基础上，首次从教育功能的层面将义务教育课程划分成基础性课程和拓展性课程两类。拓展性课程的提出和建设，将在落实义务教育基础性、全面性和公平性的基础上，强化学生的个性化发展。此举是深化现阶段义务教育课程改革的重要举措，既是落实立德树人根本任务、全面提高国民素质的迫切要求，也是总结和推广本世纪初开始的义务教育课程改革先进经验的现实需要，更是对我省深化高中课程改革，尤其是去年9月开始实施的高考招生制度改革的一种呼应。
二、基本问题
作为深化义务教务课程改革的试点学校，我校数学教研组在校领导的带领和支持下，积极响应号召，于本学期开始尝试展开初中数学拓展课程教学的探索。
（一）何为拓展课程
在初步探索阶段，首先明确什么是拓展课程。按照《意见》的表述，基础性课程指国家和地方课程标准规定的统一学习内容，拓展性课程则指学校自主开发开设、供学生自主选择的学习《意见》还将拓展性课程分为知识拓展、体艺特长、实践内容。．
活动等三大类。其中，知识拓展类课程是基础性课程的延伸、应用和整合，这类课程应基于地方文化和学科核心素养，旨在拓展学生的知识面，激发学生的学习兴趣。据此，笔者认为初中数学拓展课程可作如下定义：即以学校为教研主阵地，以初中数学课程知识为载体，从数学学习的意义空间、文化内涵、生活底蕴中去延伸和开拓，以发展学生的数学思维、培养学生的数学素养为核心的数学知识拓展型课程。
（二）拓展课程与课堂教学拓展
弄清楚拓展课程和课堂教学拓展的差异，有助于更好地理解拓展课程的地位，更为深入地贯彻实施深化教育改革要求。数学拓展课程作为基础性课程的补充，应当是拥有包含指导思想、教学原则、课程实施、课程评价、条件保障在内，既联系数学基础课程，又具有相对独立性的课程体系。而数学课堂教学拓展是基于某一堂数学课而言，是指在课堂教学过程中依据该堂课的教学内容、教学目标，在一定范围和深度上同外部相关的内容密切联系起来的教学活动，属于基础性课程的范畴。数学拓展课程的开发和实施，将有效缓解现行初中数学基础课程统一学习内容过多、过分强调学习基础性、对学生兴趣培养和个性发展不够重视的问题。
三、拓展原则
省教育厅办公室发布的关于建设拓展课程的意见中指出，拓展课程应满足多样性、层次性、综合性和实践性四个基本原则。．
数学拓展课程的建设首先需要满足上述四条拓展课程的共性，同时，笔者认为，因数学学科的个性，还需要具体分析具体制定数学拓展课程的相关原则。本学期以来，笔者所在学校的数学教研组积极尝试数学拓展课程的开发和实践。笔者根据自身参与数学拓展课程观摩与交流的经历，结合自身教学经验，对数学拓展课堂建设提出以下三个原则。
（一）横向拓展，构建知识网络
数学知识不是孤立的存在。表现有二：某个知识往往前有铺垫后有延伸，前后知识逐步递进、有序展开；不同知识间也存在联系，例如数形结合。数学知识相互关联，横向交织，形成网络。因而在设计数学拓展课程时，可利用现阶段的数学基础性课程尚未涉及，且符合中学生的认知发展特点的内容进行横向拓展。可以找到基础性课程的延伸内容或者跨界联系的知识点所在，帮助学生构建知识网络。例如，我们在进行完全平方公式的证明时，在完成了基础性知识的教学任务后，可以利用数学拓展课堂适当地引导学生了解数形结合思想，并结合一些简单的练习进行强化，帮助学生进行知识的横向迁移。横向且正向学习迁移可以为以后的数学学习起到良好的铺垫作用。
（二）纵向拓展，深化知识理解
所谓纵向，从内容的难度和学习层次的深度上说。就难度而言，最近发展区理论认为，教学应当适时为学生提供有难度的内容，促使学生“跳一跳，摘桃子”。数学拓展课程应当基于数学．
基础性课程，并根据班级学生的学情制定稍难的学习任务，形成数学学习的纵向拓展，帮助学生深化理解基础性课程中的知识。就深度而言，新课标认为学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。因而拓展性课程的一个重要任务和使命，就是通过设置动手实践、自主探索与合作交流等活动，引导学生追问为什么、探究还有什么以及还能怎么样，让学生体验发现学习的乐趣，挖掘出知识背后的“所以然”。这在一定程度上可以弥补基础性课程对数学思维训练不足的缺陷，也能够通过恰当的探究解决数学能力较好学生“吃不饱”的问题。
（三）课外拓展，课堂联系生活
新课标指出，数学教育作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，不仅要发挥数学在培养人的逻辑推理和创新思维方面的作用，更要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能。因而数学拓展课程应当充分考虑到数学在生活中的应用性和实
践性，并以之为方向朝课外和生活拓展，也朝学生未来的数学学习拓展。目前初中数学教学仍以班级授课制为主，笔者认为，在传统的以班级为单位的组织形式下展开拓展课程，可以引进生活中的一些值得思考的、学生们正在经历或将会经历的数学问题，例如银行存款利率中的数学问题、手机套餐方案选择问题。跳出班级授课制的制约，带领学生走进学校、走进社区、走进企我们可以组织学发现实际生活中的数学问题则更值得尝试。业，
生展开以小组为单位的专题调研、社会实践活动，让学生在给定目标下，设计解决问题的方案，进一步体验分析问题和解决问题的过程，发展应用意识和能力。课题组通过梳理相关文献和教学实践研究证明初中数学方法和思想的运用对于数学思维
水平稍低的初中学生的数学基础成绩提高无明显效果，但对中等以上特别是将升入高一级学校继续深造的学生有明显效果。课题组首先在一所开设拓展课程的中学建立数学思想方法应用探究班。而后使用自编教材《初中数学方法80讲――六、七年级使用》和《初中数学方法120讲――八、九年级使用》对探究班的学生进行每周一节数学思想方法课的拓展训练，并以该班为案例总结经验而后推广至50多所学校。研究结果表明，使用《120讲》的学校学生的数学中考成绩及高分段比例有了明显的提高。这让笔者有了一定的思考，并得到一定的启示：
（1）数学思想方法类的拓展课程更适合采用分层教学的方式。之所以选择数学思维能力较好的学生参加探究班级是基于相关
研究的结果。数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，基础知识和基本技能较为薄弱的学生可能难以在较高层次上得到锻炼，反而可能因此打乱原有的知识结构，失去数学学习的信心。因而，将数学思想和方法集中在数学拓展课程进行讲授可以尝试用“分层教学”的方式，这也是《关于深化义务教育课程改革的指但是实施分层教学应当遵循“学生自愿、所鼓励尝试的。导意见》
教师走教、动态分层”的原则，切忌简单地以学科成绩分“快慢班”。
（2）学校应当积极筹备数学思想和方法教学的资源，包括师
资团队建设、教学材料的准备。目前还没有一本教辅或教师参考用书对初中数学主要思想和方法进行专门梳理和总结并成册，因而这给学校教师发挥自身教科研能力、自主开发校本教材提供了很大的空间。上述例子中的两本《120讲》即为学校教师自主编写的校本教材。有条件的学校还可以联合区内学校教师，利用集体智慧编写适合全区学生使用的相关教材。这或许需要一个过程，需要多方支持，但是相信一旦编写出相关教材将会受益无穷。
“作为知识的数学出校门不到两年就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地的发生作用，使人终身受益。”将数学思想和方法融入
数学拓展课程不论对学生个人还是对学校的数学教学，都会大有裨益。
（三）开发数学应用与探究型拓展课程
数学应用与探究型课程的范围很广。既包括课堂内为了分析某个数学问题、弄清某个数学现象而展开的合作交流与探究，也包括课堂外以数学为载体展开的资料搜集和调研。数学应用与探究型拓展课程着眼于培养学生的方案设计选择能力、信息搜集和处理的能力、问题分析和解决的能力、与人交流与合作的能力。笔新课程理念强调教学以学生现实生活和已有经验为学习背景，
者认为，数学应用和探究型拓展课程也应当联系学生已有的知识经验，从学生的学习和生活中找素材形成可供探究的内容，提高学生动手、实践、思考、探索、阅读自学和合作的能力。笔者从空间范围的角度将这类数学拓展课程分为两种：课堂内的拓展和走出课堂的拓展。
1.课堂内的拓展
在笔者所在的学校，不少数学教师已经开始尝试拓展课程的教学。有的教师以《银行存款中的利率问题》为一堂数学拓展课的主题，将生活中的利率问题引进课堂，通过引导学生自主设计存款方案、比较优化不同方案的活动，体会数学知识在实际生活中的应用的广泛性和科学性，收到了良好的效果。教师首先向学生展示一张杭州银行的存单，通过观察存单的活动引导学生了解存单上有哪些信息，接着结合学生的表述借机完整介绍存款方式、本金、利息和利率等概念。在学生对以上基本概念有一定的了解后，引导学生得出以下公式：
①利息=本金*利率*存期。
②本息和=本金+利息。
接着教师创设情境，引导学生自主存款，通过填写空白存单的活动，引导学生应用利息计算方式。教师假设一年后取出存款，再次引导学生在“存两年定期”和“存一年再转存一年”这两种方式中通过计算选择存款收益更多的方式，对存款的方案进行将知识最后教师引导学生放眼储蓄存款以外的理财方式，优化。．