2014年中考数学压轴题精编—浙江篇
1．（浙江省杭州市）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y ＝
4
1x
2
＋1，点C 的坐标为（－4，0），平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q （x ，y ）在抛物线上，点P （t ，0）在x 轴上．
（1）写出点M 的坐标；
（2）当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时． ①求t 关于x 的函数解析式和自变量x
②当梯形CMQP 的两底的长度之比为1 :
2时，求t
1．解：
（1）∵OABC 是平行四边形，∴AB
∥OC ，且AB ＝OC ＝4
∵A ，B 在抛物线上，y 轴是抛物线的对称轴，∴A ，B 的横坐标分别是2和－2
代入y ＝
4
1x
2
＋1，得A （2，2），B （－2，2） ∴M （0，2） ················································· 2分 （2）①过点Q 作QH ⊥x 轴于H ，连接CM 则QH ＝y ，PH ＝x －t
由△PHQ ∽△COM ，得：
2y ＝
4t
x ，即t ＝x －2y ∵Q （x ，y ）在抛物线y ＝4
1x
2
＋1上
∴t ＝－2
1x
2
＋x －2 ··········································· 4分
当点P 与点C 重合时，梯形不存在，此时，t ＝－4，解得x ＝1±5 当Q 与B 或A 重合时，四边形为平行四边形，此时，x ＝±2
∴x 的取值范围是x ≠1±5且x ≠±2的所有实数 ········································ 6分 ②分两种情况讨论：
ⅰ）当CM ＞PQ 时，则点P 在线段OC 上
∵CM ∥PQ ，CM ＝2PQ ，∴点M 纵坐标为点Q 纵坐标的2倍 即2＝2(4
1x
2
＋1)，解得x ＝0 ∴t ＝－
2
1×02
＋0－2＝－2 ········································································· 8分 ⅱ）当CM ＜PQ 时，则点P 在OC 的延长线上 ∵CM ∥PQ ，CM ＝2
1
PQ ，∴点Q 纵坐标为点M 纵坐标的2倍 即
4
1x
2
＋1＝2×2，解得：x ＝±32 ························································· 10分 当x ＝－32时，得t ＝－
2
1×(－32)2
－32－2＝－8－32
当x ＝32时，得t ＝－
2
1
×(32)2＋32－2＝32－8 ································ 12分 2．（浙江省台州市）如图1，Rt △ABC ≌Rt △EDF ，∠ACB ＝∠F ＝90°，∠A ＝∠E ＝30°．△EDF 绕着边AB 的中点D 旋转，DE ，DF 分别交线段．．AC 于点M ，K ． （1）观察：①如图2、图3，当∠CDF ＝0°或60°时，AM ＋CK _______MK （填“＞”，“＜”或“＝”）．
②如图4，当∠CDF ＝30°时，AM ＋CK _______MK （只填“＞”或“＜”）．
（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF ＜60°时，AM ＋CK _______MK ，证明你所得到的结论． （3）如果MK 2
＋CK 2
＝AM 2
，请直接写出∠CDF 的度数和AM MK
的值． 2．解：
（1）①＝ ②＞ ················································································· 4分 （2）＞ ································································································ 6分 证明：作点C 关于FD 的对称点G ，连接GK 、GM 、GD 则GD ＝CD ，GK ＝CK ，∠GDK ＝∠CDK ∵D 是AB 的中点，∴AD ＝CD ＝GD ∵∠A ＝30°，∴∠CDA ＝120°
∵∠EDF ＝60°，∴∠GDM ＋∠GDK ＝60° ∠ADM ＋∠CDK ＝60°
∴∠ADM ＝∠GDM ． ·············································································· 9分 又∵DM ＝DM ，∴△ADM ≌△GDM ，∴GM ＝AM
∵GM ＋GK ＞MK ，∴AM ＋CK ＞MK ． ······················································· 10分 （3）∠CDF ＝15°，
AM
MK
＝23． ···························································· 12分
3．（浙江省台州市）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝8．点P ，Q 都是斜边AB 上的动点，点P 从B 向A 运动（不与点B 重合），点Q 从A 向B 运动，BP ＝AQ ．点D ，E 分别是点A ，B 以Q ，P 为对
D
B C
A
F E
M K 图1
D
B
C A
(F ,K )
E
M 图2
D
B
C F
E
K
图3
)
D
B
C
A
F E
M K
图4
D
B
C A
F
E
M
K
G
称中心的对称点，HQ ⊥AB 于Q ，交AC 于点H ．当点E 到达顶点A 时，P ，Q 同时停止运动．设BP 的长为x ，△HDE 的面积为y ． （1）求证：△DHQ ∽△ABC ；
（2）求y 关于x 的函数解析式并求y 的最大值； （3）当x 为何值时，△HDE 为等腰三角形？ 3．解：
（1）∵A 、D 关于点Q 成中心对称，HQ ⊥AB ， ∴∠HQD ＝∠C ＝90°，HD ＝HA
∴∠HDQ ＝∠A ． ··················································································· 3分 ∴△DHQ ∽△ABC ． ··············································································· 4分 （2）①如图1，当0＜x
≤2.5时
ED ＝10－4x ，QH ＝AQ ·tan ∠A ＝4
3
x 此时y ＝21(10－4x )·43x ＝－23x
2＋4
15x ······················································ 6分
当x
＝
45时，y 最大＝32
75
················································ 7分 ②如图2，当2.5＜x
≤5时
ED ＝4x －10，QH ＝AQ ·tan ∠A ＝4
3
x
此时y ＝21(4x －10)·43x ＝23x
2－4
15
x ······························ 9分
当x ＝5时，y 最大＝
4
75
∴y 与x 之间的函数解析式为y ＝?????-+-x x x x 415
2
3415
2322
y 的最大值是4
75
． ····················································· 10分
（3）①如图1，当0＜x
≤2.5时
若DE ＝DH ，∵DH ＝AH ＝A QA ∠cos ＝4
5
x ，DE ＝10－4x
∴10－4x ＝45x ，∴x ＝21
40
显然ED ＝EH ，HD ＝HE 不可能； ···························································· 11分 ②如图2，当2.5＜x
≤5时
若DE ＝DH ，则4x －10＝45x ，∴x ＝11
40
； ·················································· 12分 若HD ＝HE ，此时点D ，E 分别与点B ，A 重合，x ＝5； ······························· 13分 若ED ＝EH ，则△EDH ∽△HDA
（0＜x
≤2.5）
（2.5＜x
≤5）
（图1）
（图2）
∴DH ED ＝AD DH ，即x x 4
5104-＝x x
245，∴x ＝103320 ············································ 14分 ∴当x 的值为
2140，1140，5，103
320时，△HDE 是等腰三角形．
4．（浙江省温州市）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，过点B 作射线BB l ∥AC ．动点D 从点A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E 从点C 出发沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D 作DH ⊥AB 于H ，过点E 作EF 上AC 交射线BB 1于F ，G 是EF 中点，连结DG ．设点D 运动的时间为t 秒．
（1）当t 为何值时，AD ＝AB ，并求出此时DE 的长度； （2）当△DEG 与△ACB 相似时，求t 的值；
（3）以DH 所在直线为对称轴，线段AC 经轴对称变换后
的图形为A ′C ′．
①当t ＞
5
3
时，连结C ′C ，设四边形ACC ′A ′
的面积为S ， 求S 关于t 的函数关系式；
②当线段A ′C ′
与射线BB 1有公共点时，求t 的取值范围 （写出答案即可）． 4．解：
（1）∵∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4
∴AB ＝2243
＋＝5 ················································································ 1分
∵AD ＝5t ，CE ＝3t ，∴当AD ＝AB 时，5t ＝5
∴t ＝1 ·································································································· 2分 ∴AE ＝AC ＋CE ＝3＋3t ＝6 ········································································ 3分 ∴DE ＝6－5＝1 ······················································································ 4分 （2）∵EF ＝BC ＝4，G 是EF 中点，∴GE ＝2 当AD ＜AE （即t ＜
2
3
）时，DE ＝AE －AD ＝3＋3t －5t ＝3－2t 若△DEG 与△ACB 相似，则EG DE ＝BC AC 或EG DE ＝
AC
BC
∴
223t -＝43或223t -＝3
4
∴t ＝
43或t ＝6
1 ······················································································ 6分 当AD ＞AE （即t ＞
2
3
）时，DE ＝AD －AE ＝5t －(3＋3t )＝2t －3 若△DEG 与△ACB 相似，则EG DE ＝BC AC 或EG DE ＝
AC
BC
∴
232-t ＝43或232-t ＝3
4
D B H
A
E
G
F C
B 1
∴t ＝
49或t ＝6
17 ···················································································· 8分 综上所述，当t ＝43或61或49或6
17
时，△DEG 与△ACB 相似 （3）①由轴对称变换得AA ′⊥DH ，CC ′⊥DH ∴AA ′∥CC ′
易知OC ≠AH ，故AA ′≠CC ′
∴四边形ACC ′A ′
是梯形 ······································· 9分
∵∠A ＝∠A ，∠AHD ＝∠ACB ＝90° ∴△AHD ∽△ACB ，AC AH ＝BC DH ＝
AB
AD
∴AH ＝3t ，DH ＝4t ∵sin ∠ADH ＝sin ∠CDO ，∴AD AH ＝
CD
CO
即
53＝
35 t CO ，∴CO ＝3t －5
9
∴AA ′＝2AH ＝6t ，CC ′＝2CO ＝6t －518····················· 10分
∵OD ＝CD ·cos ∠CDO ＝(5t －3)×54＝4t －512
∴OH ＝DH －OD ＝5
12
············································································ 11分 ∴S ＝21(
AA ′＋CC ′ )·OH ＝21(6t ＋6t －518)×512＝572t －25
108 ························· 12分 ②
65≤t
≤30
43 ···················································· 14分 略解：当点A ′
落在射线BB 1上时（如图甲），AA ′＝AB ＝5
∴6t ＝5，∴t ＝6
5
当点C ′
落在射线BB 1上时（如图乙），易得CC ′∥AB
故四边形ACC ′B 是平行四边形 ∴6t －518＝5，∴t ＝30
43
故
65≤t
≤30
43
5．（浙江省湖州市）如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，P 是线段AD 边上的任意一点（不含端
点A ，D ），连结PC ，过点P 作PE ⊥PC 交AB 于E ．
（1）在线段AD 上是否存在不同于P 的点Q ，使得QC ⊥QE ？若存在，求线段AP 与AQ 之间的数量关系；
若不存在，请说明理由；
（2）当点P 在AD 上运动时，对应的点E 也随之在AB 上运动，求BE 的取值范围．
A P D
E
D B H
A
E
G F C
B 1
C ′ O A ′
D B H
A E
G F
C
B 1
（图乙）
C ′ O
D B H A
E
G
F C B 1
(A ′) （图甲）
5．解：
（1）假设存在这样的点Q
∵PE ⊥PC ，∴∠APE ＋∠DPC ＝90° ∵∠D ＝90°，∴∠DPC ＋∠DCP ＝90° ∴∠APE ＝∠DCP ，又∵∠A ＝∠D ＝90° ∴△APE ∽△DCP ，∴DC AP ＝
DP
AE
，∴AP ·DP ＝AE ·DC 同理可得
AQ ·DQ ＝AE ·DC
∴AQ ·DQ ＝AP ·DP ，即AQ ·(3－AQ )＝AP ·(3－AP )
∴AP 2
－AQ 2
＝3AP －3AQ ，∴(AP ＋AQ )(AP －AQ )＝3(AP －AQ )
∵AP ≠AQ ，∴AP ＋AQ ＝3 ··························································· 2分 ∵AP ≠AQ ，∴AP ≠
2
3
，即P 不能是AD 的中点 ∴当P 是AD 的中点时，满足条件的Q 点不存在
所以，当P 不是AD 的中点时，总存在这样的点Q 满足条件
此时AP ＋AQ ＝3 ········································································ 3分 （2）设AP ＝x ，AE ＝y ，由AP ·DP ＝AE ·DC 可得x (3－x )＝2y
∴y ＝
21x (3－x )＝－21x
2＋23x ＝－21(x －23)2＋8
9
∴当x ＝
23（在0＜x ＜3范围内）时，y 最大值＝8
9
∴BE 的取值范围为
8
7
≤BE ＜2 ······················································ 5分 6．（浙江省湖州市）如图，已知直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝AB ＝2，OC ＝3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于E 和F ．
（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；
（2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；
（3）连结EF ，设△BEF 与△BFC 的面积之差为S ，问：当CF 为何值时S 最小，并求出这个最小值．
B
C
A P
D
E
Q
6．解：
（1）由题意得A （0，2），B （2，2），C （3，0） 设所求抛物线的解析式为y ＝ax
2
＋bx ＋c
则????
?c ＝2
4a ＋2b ＋c ＝29a ＋3b ＋c ＝0
解得???
a ＝－
32b ＝
34c ＝2
·························································· 3分 ∴抛物线的解析式为y ＝－
32x
2＋3
4
x ＋2 (4)
（2）设抛物线的顶点为G ，则G （1，38
），过点G 作GH ⊥AB 于则AH ＝BH ＝1，GH ＝3
8－2＝32
∵EA ⊥AB ，GH ⊥AB ，∴EA ∥GH ∴GH 是△BEA 的中位线，∴EA ＝2GH ＝
3
4 ····························过点B 作BM ⊥OC 于M ，则BM ＝OA ＝AB
∵∠EBF ＝∠ABM ＝90°，∴∠EBA ＝∠FBM ＝90°－∠ABF ∴Rt △EBA ≌Rt △FBM ，∴FM ＝EA ＝
3
4
∵CM ＝OC －OM ＝3－2＝1，∴CF ＝FM ＋CM ＝3
7 ········································ 8分 （3）设CF ＝a ，则FM ＝a －1或1－a ∴BF 2＝FM 2＋BM 2＝(a －1)2＋2
2＝a
2
－2a ＋5
∵△EBA ≌△FBM ，∴BE ＝BF 则S △BEF
＝
21BE ·BF ＝21BF 2＝2
1(a
2
－2a ＋5) ·············································· 9分 又∵S △BFC
＝21FC ·BM ＝2
1
×a ×2＝a ························································· 10分 ∴S ＝
21(a
2－2a ＋5)－a ＝21a
2－2a ＋2
5 即S
＝
21(a －2)2＋2
1 ·············································································· 11分 ∴当a ＝2（在0＜a ＜3范围内）时，
S 最小值
＝
2
1 ··························································································· 12分
7．（浙江省衢州市、丽水市、舟山市）△ABC 中，∠A ＝∠B ＝30°，AB ＝32．把△ABC 放在平面直角坐标系中，使AB 的中点位于坐标原点O （如图），△ABC 可以绕点O 作任意角度的旋转．
（1）当点B 在第一象限，纵坐标是
2
6
时，求点B 的横坐标； （2）如果抛物线y ＝ax
2
＋bx ＋c （a ≠0）的对称轴经过点C ，请你探究：
①当a ＝
45，b ＝－2
1
，c ＝－553时，A ，B 两点是否都在这条抛物线上？并说明理由； ②设b ＝－2am ，是否存在这样的m 的值，使A ，B 两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．
7．解：
（1）∵点O 是AB 的中点，∴OB ＝
2
1
AB ＝3 ··········································· 1分 设点B 的横坐标是x （x ＞0），则x
2
＋(
2
6)2＝(3)2 ································· 2分 解得x 1＝
26，x 2＝－2
6
（舍去） ∴点B
··········································· 4分 （2）①当a ＝45，b ＝－2
1
，c ＝－553时， 得y ＝45x
2－2
1x －553 即y ＝
45( x －55)2－20
513 ···································· 5分 以下分两种情况讨论
情况1：设点C 在第一象限（如图甲），则点C 的横坐标为55
OC ＝OB ·tan30°＝3×3
3
＝1 ································ 6分
由此，可求得点C 的坐标为（
55，5
52） ················ 7分 点A 的坐标为（－5152，5
15
）
∵A ，B 两点关于原点对称，∴点B 的坐标为（5152，－5
15
) 将x ＝－5152代入y ＝45x
2－2
1x －553，得y ＝515
，即等于点A 的纵坐标； 将x ＝
5152代入y ＝45x
2－2
1x －553，得y ＝－515，即等于点B 的纵坐标． ∴在这种情况下，A ，B 两点都在抛物线上． ······················································· 9分
（甲）
（乙）
情况2：设点C 在第四象限（如图乙），则点C 的坐标为（55，－5
5
2） 点A 的坐标为（5152，515），点B 的坐标为（－5152，－5
15
） ∵当x ＝
5152时，y ＝－515；当x ＝－5152时，y ＝5
15 ∴A ，B 两点都不在这条抛物线上． ·································································· 10分
（情况2另解：经判断，如果A ，B 两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A ，B 两点不可能都在这条抛物线上）
②存在．m 的值是1或－1． ············································································ 12分 （y ＝a (x －m )2
－am
2
＋c ，因为这条抛物线的对称轴经过点C ，所以－1≤m ≤1．
当m ＝±1时，点C 在x 轴上，此时A ，B 两点都在y 轴上．因此当m ＝±1时，A ，B 两点不可能同时在这条抛物线上）
8．（浙江省宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，□ABCD 的顶点A 的坐标为（－2，0），点D 的坐标为（0，32），点B 在x 轴的正半轴上，点E 为线段AD 的中点，过点E 的直线l 与x 轴交于点F ，与射线DC 交于点G ． （1）求∠DCB 的度数；
（2）当点F 的坐标为（－4，0）时，求点G 的坐标；
（3）连结OE ，以OE 所在直线为对称轴，△OEF 经轴对称变换后得到△OEF ′
，记直线EF ′
与射线DC 的
交点为H ．
①如图2，当点G 在点H 的左侧时，求证：△DEG ∽△DHE ； ②若△EHG 的面积为33，请直接写出点F 的坐标．
8．解：
（1）在Rt △AOD 中，∵tan ∠DAO ＝
AO
DO
＝232＝3
∴∠DAB ＝60° ··········································································· 2分
∵四边形ABCD 是平行四边形
∴∠DCB ＝∠DAB ＝60° ······························································· 3分 （2）∵四边形ABCD 是平行四边形
∴CD ∥AB ，∴∠DGE ＝∠AFE 又∵∠DEG ＝∠AEF ，DE ＝AE
（图2）
（图1）
（备用图）
∴△DEG ≌△AEF ， ····································································· 4分 ∴DG ＝AF ，∴AF ＝OF －OA ＝4－2＝2
∴点G 的坐标为（2，32） ························································· 6分 （3）①∵CD ∥AB ，∴∠DGE ＝∠OFE
∵△OEF 经轴对称变换后得到△OEF ′
∴∠OFE ＝∠OF ′E ，∴∠DGE ＝∠OF ′E ············································ 7分 在Rt △AOD 中，∵E 是AD 的中点，∴OE ＝2
1
AD ＝AE 又∵∠EAO ＝60°，∴∠EOA ＝∠AEO ＝60° 而∠EOF ′＝∠EOA ＝60°，∴∠EOF ′＝∠AEO
∴AD ∥OF ′ ·
················································································ 8分 ∴∠OF ′E ＝∠DEH ，∴∠DEH ＝∠DGE 又∵∠HDE ＝∠EDG
∴△DEG ∽△DHE ······································································· 9分 ②点F 的坐标为F 1（－13＋1，0），F 2（－13－5，0）··················· 12分 解答如下（原题不作要求，仅供参考）：
过点E 作EM ⊥直线CD 于M ，∵CD ∥AB ，∴∠EDM ＝∠DAB ＝60° ∴EM ＝DE ·sin60°＝2×
2
3
＝3 ∵S △EHG
＝21GH ·EM ＝2
1
GH ·3＝33
∴GH ＝6
∵△DEG ∽△DHE ，∴DG DE ＝
DE
DH
∴DE 2
＝DG ·DH
当点H 在点G 的右侧时，设DG ＝x ，则DH ＝x ＋6
∴4＝x (x ＋6)，解得x 1＝－3＋13，x 2＝－3－13（舍去） ∵△DEG ≌△AEF ，∴OF ＝AO ＋AF ＝－3＋13＋2＝13－1 ∴F 1（－13＋1，0）
当点H 在点G 的左侧时，设DG ＝x ，则DH ＝x －6 ∴4＝x (x －6)，解得x 1＝3＋13，x 2＝3－13（舍去） ∵△DEG ≌△AEF ，∴AF ＝DG ＝3＋13 ∴OF ＝AO ＋AF ＝3＋13＋2＝13＋5 ∴F 2（－13－5，0）
综上所述，点F 的坐标有两个，分别是F 1（－13＋1，0），F 2（－13－5，0）
9．（浙江省金华市）已知点P 的坐标为（m ，0），在x 轴上存在点Q （不与P 点重合），以PQ 为边作正方
形PQMN ，使点M 落在反比例函数y ＝－
x
2
的图像上．小明对上述问题进行了探究，发现不论m 取何值，符合上述条件的正方形只有．．两个，且一个正方形的顶点M 在第四象限，另一个正方形的顶点M 1在第二象限． （1形PQMN M 1的坐标是____________
（2）请你通过改变P ，若点P 的坐标为（m ，0）时，则b ＝（3）依据（2 9．解：
（1）如图；M 1的坐标为（－1，2） ·······（2）k ＝－1，b ＝m ·····························（3）由（2）知，直线M 1M 的解析式为y 则M （x ，y ）满足x (－x ＋6)＝－2 解得x 1＝3＋11，x 2＝3－11 ∴y 1＝3－11，y 2＝3＋11 ∴M 1，M 的坐标分别为：
（3－11，3＋11），（3＋11，3 ··································
10．（浙江省金华市）如图，把含有30°角的三角板ABO 置入平面直角坐标系中，A ，B 两点的坐标分别为（3，0）和（0，33）．动点P 从A 点开始沿折线AO －OB －BA 运动，点P 在AO ，OB ，BA 上运动的速 度分别为1，3，2（长度单位/秒）．一直尺的上边缘l 从x 轴的位置开始以
3
3
（长度单位/秒）的速度向上平行移动（即移动过程中保持l ∥x 轴），且分别与OB ，AB 交于E ，F 两点．设动点P 与动直线l 同时出发，运动时间为t 秒，当点P 沿折线AO －OB －BA 运动一周时，直线l 和动点P 同时停止运动．
请解答下列问题：
（1）过A ，B 两点的直线解析式是___________________；
（2）当t ＝4时，点P 的坐标为____________；当t ＝________，点P 与点E 重合； （3）①作点P 关于直线EF 的对称点P ′，在运动过程中，若形成的四边形PEP ′F 为菱形，则t 的值是多少？ ②当t ＝2时，是否存在着点Q ，使得△FEQ ∽△BEP ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
10．解：
（1）y ＝－3x ＋33； ······································································· 4分 （2）（0，3），t ＝
2
9
； ······················································· 8分（各2分） （3）①当点P 在线段AO 上时，过F 作FG ⊥x 轴，G 为垂足（如图1）
∵OE ＝FG ，EP ＝FP ，∠EOP ＝∠FGP ＝90°
∴△EOP ≌△FGP ，∴OP ＝PG
又∵OE ＝FG ＝
33t ，∠A ＝60°，∴AG ＝ 60
tan FG ＝31
t 而AP ＝t ，∴OP ＝3－t ，PG ＝AP －AG ＝
3
2
t 由3－t ＝32t 得 t ＝5
9
········································· 9分
当点P 在线段OB 上时，形成的是三角形，不存在菱形；
当点P 在线段BA 上时，过P 作PH ⊥EF ，PM ⊥OB ，H 、M 分别为垂足（如图2）
∵OE ＝33t ，∴BE ＝33－33t ，∴EF ＝
60tan BE ＝3－31
t ∴MP ＝EH ＝
21EF ＝6
9t
-，又BP ＝2(t －6) 在Rt △BMP 中，BP ·cos60°＝MP 即2(t －6)·
21＝69t -，解得t ＝7
45
······················· 10分 ②存在．理由如下：
∵t ＝2，∴OE ＝3
3
2，AP ＝2，OP ＝1
将△BEP 绕点E 顺时针方向旋转90°，得到△B ′EC （如图3）
（图1）
（图2）
∵OB ⊥EF ，∴点B ′ 在直线EF 上， C 点坐标为（
332，33
2－1） 过F 作FQ ∥B ′C ，交EC 于点Q ，则△FEQ ∽△B ′EC 由
FE BE ＝FE E B ＝QE CE ＝3，可得Q 点坐标为（－32
，33
··································
·················· 11分
根据对称性可得，Q 点关于直线EF 的对称点Q ′（－3
2
，3）也符合条件．
··············································································· 12分
11．（浙江省绍兴市）如图，设抛物线C 1：y ＝a (x ＋1)2－5，C 2：y ＝－a (x －1)2
＋5，C 1与C 2的交点为A ，B ，点A 的坐标是（2，4），点B 的横坐标是－2． （1）求a 的值及点B 的坐标；
（2）点D 在线段AB 上，过D 作x 轴的垂线，垂足为点H ，在DH 的右侧作正三角形DHG ．记过C 2顶点M 的直线为l ，且l 与x 轴交于点N ．
①若l 过△DHG 的顶点G ，点D 的坐标为（1，2），求点N 的横坐标； ②若l 与△DHG 的边DG 相交，求点N 的横坐标的取值范围．
11．解：
（1）∵点A （2，4）在抛物线C 1上，
∴把点A 坐标代入y ＝a (x ＋1)2
－5得a ＝1
∴抛物线C 1的解析式为y ＝x
2
＋2x －4 ··············································· 1分
设B （－2，b ），则b ＝－4
∴B （－2，－4） ·········································································· 2分
（2）①如图1
∵M （1，5），D （1，2），且DH ⊥x 轴 ∴点M 在DH 上，MH ＝5 过点G 作GE ⊥DH ，垂足为E
（图3）
由△DHG 是正三角形得EG ＝3，EH ＝1 ∴ME ＝4
设N （x ，0），则NH ＝x －1
由△MEG ∽△MHN ，得MH
ME
＝
HN EG ∴54＝13-x ，∴x ＝34
5
＋1
∴点N 的横坐标为345
＋1
···························································· 7分
②当点D 移到与点A 重合时，如图2
直线l 与DG 交于点G ，此时点N 的横坐标最大． ······························ 8分 过点G ，M 作x 轴的垂线，垂足分别为点Q ，F ，设N （x ，0） ∵ A （2，4），∴G （2＋32，2）
∴NQ ＝x －2－32，NF ＝x －1，GQ ＝2，MF ＝5
∵△NGQ ∽△NMF ，∴NF NQ
＝
MF GQ ∴
1322---x x ＝5
2
，∴x ＝
38310+ ··············································· 10分 当点D 移到与点B 重合时，如图3
直线l 与DG 交于点D ，即点B ，此时点N 的横坐标最小． ················· 11分 ∵B （－2，－4），∴H （－2，0），D （－2，－4），设N （x ，0）
∵△BHN ∽△MFN ，∴FN NH ＝
MF
BH
∴x x -+12＝54，∴x ＝－32 ······························································ 12分 又∵当点D 与原点O 重合时，△DHG 不存在
2
38310+且
12．（浙江省嘉兴市）如图，已知抛物线y ＝－
2
1x
2
＋x ＋4交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． 图2
图3