一、函数与几何综合的压轴题
1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上；
(2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程.
(3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交
于E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式.
[解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考）
方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴
,EO DO EO BO AB DB CD DB ''''
==
又∵DO ′+BO ′=DB ∴
1EO EO AB DC
''
+= ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵
DO EO DB AB ''=，∴2
316
EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上
方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 图①
图②
联立①②得0
2x y =??=-?
∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上
（2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3）
E （0，-2）三点，得方程组426
32a b c a b c c -+=-??
++=-??=-?
解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2
（3）（本小题给出三种方法，供参考）
由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。
同（1）可得：1E F E F
AB DC
''+= 得：E ′F =2
方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?=
，∴1
3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112
2223
DC DB DC DF DC DB ?-?=?
=1
3
DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式
方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11
32322
BD E F k k '=
?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式.
证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2
同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()221
3992
AE C ABCD S S AB CD BD k '?=
=?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式.
2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交于A 、D 两点.
（1）求点A 的坐标；
（2）设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点B.探究：直线AB 是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明；
（3）连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2，若
4
21h
S S =，抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 经过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式.
[解]（1）解：由已知AM ＝2，OM ＝1，
在Rt △AOM 中，AO ＝
122=-OM AM ，
∴点A 的坐标为A （0，1）
（2）证：∵直线y ＝x ＋b 过点A （0，1）∴1＝0＋b 即b ＝1 ∴y ＝x ＋1 令y ＝0则x ＝－1 ∴B （—1，0）， AB ＝2112
2
2
2
=
+=+AO BO
在△ABM 中，AB ＝2，AM ＝2，BM ＝2
222224)2()2(BM AM AB ==+=+
∴△ABM 是直角三角形，∠BAM ＝90° ∴直线AB 是⊙M 的切线
（3）解法一：由⑵得∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝22， ∴BC ＝
10)22()2(2222=+=+AC AB
∵∠BAC ＝90° ∴△ABC 的外接圆的直径为BC ，
∴π
ππ2
5)210()2(221=?=?=BC S
而πππ2)222()2(2
22=?=?=AC S
421h S S =Θ，
5,4225
=∴=h h 即 ππ 设经过点B （—1，0）、M （1，0
y ＝a （＋1）（x －1），（a≠0）即y ＝ax 2－a ，∴－a ＝±5，∴a ＝±5 ∴抛物线的解析式为y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5 解法二：（接上） 求得∴h ＝5
由已知所求抛物线经过点B （—1，0）、M （1、0），则抛物
线的对称轴是y 轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，±5）
∴抛物线的解析式为y ＝a （x －0）2±5
又B （－1,0）、M （1,0）在抛物线上，∴a±5＝0， a ＝±5
∴抛物线的解析式为 y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5 解法三：（接上）求得∴h ＝5
因为抛物线的方程为y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）
由已知得???
??-===?????==?????????
±=-=+-=++5
055c 0b 5544002c b a a a
b a
c c b a c b a 或 ＝－ 解得
∴抛物线的解析式为 y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5.
3.(2004湖北荆门)如图，在直角坐标系中，以点P （1，－1）为圆心，2为半径作圆，交x 轴于A 、B 两点，抛物线)0(2
>++=a c bx ax y 过点A 、B ，且顶点C 在⊙P 上. (1)求⊙P 上劣弧⌒
AB 的长； (2)求抛物线的解析式；
(3)在抛物线上是否存在一点D ，使线段OC 与PD
若不存在，请说明理由.
[解] （1）如图，连结PB ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为
在Rt △PMB 中，PB=2,PM=1, ∴∠MPB
＝60°，∴∠APB ＝120° ⌒
AB 的长＝
3
42180120π
π=
???? （2）在Rt △PMB 中，PB=2,PM=1,则MB ＝MA ＝3. 又OM=1，∴A （1－3，0），B （1＋3，0）， 由抛物线及圆的对称性得知点C 在直线PM 上， 则C(1，－3).
点A 、B 、C 在抛物线上，则
???
????++=-+-+-=++++=c b a c b a c b a 3)31()31(0)31()31(02
2 解之得?????-=-==2
21c b a ∴抛物线解析式为222--=x x y
（3）假设存在点D ，使OC 与PD 互相平分，则四边形OPCD 为平行四边形，且PC ∥OD.
又PC ∥y 轴，∴点D 在y 轴上，∴OD ＝2，即D （0，－2）.
又点D （0，－2）在抛物线222
--=x x y 上，故存在点D （0，－2）， 使线段OC 与PD 互相平分.
4.（2004湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内，Rt △ABC 的直角顶点C （0
在y 轴的正半轴上，A 、B 是x 轴上是两点，且OA ∶OB ＝3∶1，以OA 、OB 为直径
的圆分别交AC 于点E ，交BC 于点F .直线EF 交OC 于点Q . （1）求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；
（2）请猜想：直线EF 与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想.
（3）在△AOC 中，设点M 是AC 边上的一个动点，过M 作MN ∥AB 交OC 于点N .试问：在x 轴上是否存在点P ，使得△PMN 是一个以MN 为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出P
[解] (1)在Rt △ABC 中，OC ⊥AB ，
∴△AOC ≌△COB .
∴OC 2＝OA ·
OB . ∵OA ∶
OB ＝3∶1,C ∴23.OB OB =g
∴OB ＝1.∴OA ＝3. ∴A (-3,0),B (1,0).
设抛物线的解析式为2
.y ax bx c =++
则930,0,a b c a b c c ?-+=?++=??
=?
解之，得a b c ?=?
?
?
=???=??
∴经过A 、B 、C
三点的抛物线的解析式为2y x =- (2)EF 与⊙O 1、⊙O 2都相切.
证明：连结O 1E 、OE 、OF .
∵∠ECF ＝∠AEO ＝∠BFO ＝90°
, ∴四边形EOFC 为矩形. ∴QE ＝QO . ∴∠1＝∠2.
∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°， ∴EF 与⊙O 1相切. 同理：EF 理⊙O 2相切.
(3)作MP ⊥OA 于P ，设MN ＝a ,由题意可得MP ＝MN ＝a . ∵MN ∥OA ,
∴△CMN ∽△CAO .
∴
.MN CN
AO CO =
∴3a =
解之，得a =
此时，四边形OPMN 是正方形.
∴3
.2
MN OP ==
∴3
(,0).2
P -
考虑到四边形PMNO 此时为正方形，
∴点P 在原点时仍可满足△PNN 是以MN 为一直角边的等腰直角三角形.
故x 轴上存在点P 使得△PMN 是一个以MN
为一直角边的等腰直角三角形且
3
(,0)2
P -
或(0,0).P 5.（2004湖北宜昌）如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E(415，8
23)，P 是以AC 为
对角线的矩形ABCD 内部(不在各边上)的—个动点，点D 在y 轴，抛物线y ＝ax 2+b x +1以P 为顶点．
(1)说明点A 、C 、E 在一条条直线上；
(2)能否判断抛物线y ＝ax 2+b x +1的开口方向?请说明理由；
(3)设抛物线y ＝ax 2+b x +1与x 轴有交点F 、G(F 在G 的左侧)，△GAO 与△FAO 的面积差为3，且这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点．这时能确定a 、b 的值吗?若能，请求出a 、b 的值；若不能，请确定a 、b 的取值范围． (本题图形仅供分析参考用)
[解] （1）由题意，A(0，1)、C(4，3)确定的解析式为：y=2
1x 将点E 的坐标E(415，823)代入y=21x +1中，左边=8
23，
右边=
21×415+1=8
23
， ∵左边=右边，∴点E 在直线y=2
1
x +1上，即点A 、C 、E 在一条直线上.
（2）解法一：由于动点P 在矩形ABCD 内部，∴点P 的纵坐标大于点A 的纵坐标，而点A 与点P 都在抛物线上，且P 为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下
解法二：∵抛物线
y=ax 2+b x +c
的顶点P 的纵坐标为a
b a 442
—，且P 在矩形ABCD 内
部，∴1＜a b a 442—＜3，由1＜1—a b 42得—a
b 42
＞0，∴a ＜0，∴抛物线的开口向下.
（3）连接GA 、FA ，∵S △GAO —S △FAO =3 ∴
21GO ·AO —2
1
FO ·AO=3 ∵OA=1，∴GO —FO=6. 设F （x 1,0）、G （x 2,0），则x 1、x 2为方程ax 2+b x +c=0的两个根，且x 1＜x 2，又∵a ＜0，∴x 1·x 2=
a
1
＜0，∴x 1＜0＜x 2， ∴GO= x 2，FO= —x 1，∴x 2—（—x 1）=6， 即x 2+x 1=6，∵x 2+x 1= —a b ∴—a
b
=6， ∴b= —6a ,
∴抛物线解析式为：y=ax 2—6ax +1, 其顶点P 的坐标为
由方程组 y=ax 2—6ax +1 y=
2
1
x +1 得：ax 2—（6a +
2
1
）x =0 （3，1—9a ）, ∵顶点P 在矩形ABCD 内部， ∴1＜1—9a ＜3, ∴—9
2
＜a ＜0.
∴x =0或x =
a a 21
6
=6+a
21. 当x =0时，即抛物线与线段AE 交于点A ，而这条抛物线与线段AE 有两个不同的交 点，则有：0＜6+
a 21≤415，解得：—9
2
≤a ＜—121 综合得：—
92＜a ＜—121 ∵b= —6a ，∴21＜b ＜3
4
6.（2004湖南长沙）已知两点O(0，0)、B(0，2)，⊙A 过点B 且与x 轴分别相交于点O 、C ，⊙A 被y 轴分成段两圆弧，其弧长之比为3∶1，直线l 与⊙A 切于点O ，抛物线的顶点在直线l 上运动. （1）求⊙A 的半径；
（2）若抛物线经过O 、C 两点，求抛物线的解析式；
（3）过l 上一点P 的直线与⊙A 交于C 、E 两点，且PC ＝CE ，求点E 的坐标； （4）若抛物线与x 轴分别相交于C 、F 两点，其顶点P 的横坐标为m ，求△PEC 的面积关于m 的函数解析式.
[解] (1)由弧长之比为3∶1，可得∠BAO ＝90o
再由AB ＝AO ＝r ，且OB ＝2，得r ＝ 2 (2)⊙A 的切线l 过原点，可设l 为y ＝kx
任取l 上一点(b ，kb )，由l 与y 轴夹角为45o可得： b ＝－kb 或b ＝kb ，得k ＝－1或k ＝1， ∴直线l
的解析式为y ＝－x 或y ＝x
又由r ，易得C(2，0)或C(－2，0)
由此可设抛物线解析式为y ＝ax (x －2)或y ＝ax (x ＋2) 再把顶点坐标代入l 的解析式中得a ＝1 ∴抛物线为y ＝x 2－2x 或y ＝x 2＋2x
……6分
(3)当l 的解析式为y ＝－x 时，由P 在l 上，可设P(m ，－m)(m ＞0) 过P 作PP′⊥x 轴于P′，∴OP′＝|m|，PP′＝|－m|，∴OP ＝2m 2，
又由切割线定理可得：OP 2＝PC·PE,且PC ＝CE ，得PC ＝PE ＝m ＝PP′7分
∴C 与P′为同一点，即PE ⊥x 轴于C ，∴m ＝－2，E(－2，2)…8分 同理，当l 的解析式为y ＝x 时，m ＝－2，E(－2，2)
(4)若C(2，0)，此时l 为y ＝－x ，∵P 与点O 、点C 不重合，∴m≠0且m≠2， 当m ＜0时，FC ＝2(2－m)，高为|y p |即为－m ， ∴S ＝
22(2)()
22
m m m m --=-
同理当0＜m ＜2时，S ＝－m 2＋2m ；当m ＞2时，S ＝m 2－2m ；
∴S ＝22
2(02)2(02)m m m m m m m ?-<>?-+<
2(20)
2(20)
m m m m m m m ?+<->?---<
7.（2006江苏连云港）如图，直线4+=kx y 与函数)0,0(>>=m x x
m
y 的图像交于A 、B 两点，且与x 、y 轴分别交于C 、D 两点．
（1）若COD ?的面积是AOB ?的面积的2倍，求k 与m 之间的函数关系式； （2）在（1）的条件下，是否存在k 和m ，使得以AB 为直径的圆经过点)0,2(P ．若存在，求出k 和m 的值；若不存在，请说明理由．
[解]（1）设),(11y x A ，),(22y x B (其中2121,y y x x ><)，
由AOB COD S S ??=2，得)(2BOD AOD COD S S S ???-= ∴
2
1·OC ·2=OD (21·OD ·-1y 21
·OD ·2y )，
(21y OC =又4=OC ，∴8)
(221=-y y ，即84)(21
221=-+y y y y ， 由x
m
y =可得y m x =，代入4+=kx y 可得042=--km y y ①
∴421=+y y ，km y y -=?21，
∴8416=+km ，即m
k 2
-
=． 又方程①的判别式08416>=+=?km ，
∴所求的函数关系式为m
k 2
-
=)0(>m ． （2）假设存在k ,m ，使得以AB 为直径的圆经过点)0,2(P
则BP AP ⊥，过A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M ∵MAP ∠与BPN ∠都与APM ∠互余，∴MAP ∠ BPN ∠=． ∴Rt MAP ?∽Rt NPB ?，∴
NB
MP
PN AM =
． ∴212122y x x y -=-，∴0)2)(2(2121=+--y y x x ， ∴0)2)(2(212
1=+--y y y m y m ， 即0)(4)(222121212=+++-y y y y y y m m ②
由（1）知421=+y y ，221=?y y ，代入②得01282=+-m m ，
∴2=m 或6，又m k 2-=，∴???-==12k m 或??
???-==316k m ， ∴存在k ,m ，使得以AB 为直径的圆经过点)0,2(P ，且???-==12k m 或??
??
?-==316k m ． 8.（2004江苏镇江）已知抛物线2
(5)5(0)y mx m x m =--->与x 轴交于两点
1(,0)A x 、2(,0)B x 12()x x <，与y 轴交于点C ，且AB =6.
（1）求抛物线和直线BC 的解析式.
（2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC . （3）若P e 过A 、B 、C 三点，求P e 的半径.
（4）抛物线上是否存在点M ，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，使MBN ?被直线BC
分成面积比为13:的两部分？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
[解]（1）由题意得：12122155
,, 6.m x x x x x x m m
--+=
?=-= 2
2
1212520
()436,36,m x x x x m m -??+-=+
= ???
解得1251,.7
m m ==-
经检验m =1，∴抛物线的解析式为：2
4y x =+或：由2
(5)50mx m x ---=得，1x =或
5x m
-=
0,m Q >
5
16, 1.m m
-∴-
=∴= ∴抛物线的解析式为24 5.y x x =+-
由2
450x x +-=得125, 1.x x =-=
∴A （－5，0），B （1，0），C （0，－5）. 设直线BC 的解析式为,y kx b =+ 则5,5,
0. 5.
b b k b k =-=-??∴?
?
+==?? ∴直线BC 的解析式为5 5.y x =- (2)图象略.
（3）法一：在Rt AOC D 中，5,45.OA OC OAC ==∴∠=?Q
90BPC ∴∠=?.
又BC == ∴P e
的半径PB == 法二：
由题意，圆心P 在AB 的中垂线上，即在抛物线2
45y x x =+-的对称轴直线2
x =-上，设P （－2，－h ）（h ＞0），
连结PB 、PC ，则2
2
2
2
2
2(12),(5)2PB h PC h =++=-+，
由22
PB PC =，即2
2
2
2
(12)(5)2h h ++=-+，解得h =2.
(2,2),P P ∴--∴e 的半径PB ==.
法三：
延长CP 交P e 于点F .
CF Q 为P e 的直径，90.CAF COB ∴∠=∠=? 又,.ABC AFC ACF OCB ∠=∠∴D ~D ,.CF AC AC BC
CF BC OC OC
?∴
=∴=
又AC ==5,CO BC ===∞
5
CF ∴=
=
P ∴e
（4）设MN 交直线BC 于点E ，点M 的坐标为2
(,45),t t t +-则点E 的坐标为
(,55).t t -
若13,MEB ENB S S =D D ::则13.ME EN =::
24
34,45(55).3EN MN t t t ∴=∴+-=-::
解得11t =（不合题意舍去），25,3t =540,.39M ??
∴ ???
若31,MEB ENB S S =D D ::则31.ME EN =::
214,454(55).EN MN t t t ∴=∴+-=-::
解得31t =（不合题意舍去），415,t =()15,280.M ∴
∴存在点M ，点M 的坐标为540,39??
???
或（15，280）.
9. 如图，⊙M 与x 轴交于A 、B 两点，其坐标分别为)03(，-A 、)01(，B ，直径CD ⊥x 轴于N ，直线CE 切⊙M 于点C ，直线FG 切⊙M 于点F ，交CE 于G ，已知点G 的横坐标为3.
(1) 若抛物线m x x y +--=22经过A 、B 、D 三点，求m 的值及点D 的坐标. (2) 求直线DF 的解析式.
(3) 是否存在过点G 的直线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由.
[解] (1) ∵抛物线过A 、B 两点，
∴1
1)3(-=?-m
，m =3.
∴抛物线为322
+--=x x y .
又抛物线过点D ，由圆的对称性知点D 为抛物线的顶点. ∴D 点坐标为)41(，-.
(2) 由题意知：AB =4.
∵CD ⊥x 轴，∴NA =NB =2. ∴ON =1. 由相交弦定理得：NA ·NB =ND ·NC ， ∴NC ×4=2×2. ∴NC =1. ∴C 点坐标为)11(--，.
设直线DF 交CE 于P ，连结CF ，则∠CFP =90°. ∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°. ∵GC 、GF 是切线， ∴GC =GF . ∴∠3=∠4. ∴∠1=∠2. ∴GF =GP . ∴GC =GP . 可得CP =8.
∴P 点坐标为)17(-，
设直线DF 的解析式为b kx y +=
则???-=+=+-174b k b k 解得???????=
-=8
278
5
b k
∴直线DF 的解析式为：8
27
85+-=x y
(3) 假设存在过点G 的直线为11b x k y +=，
（第9题图）
则1311-=+b k ，∴1311--=k b .
由方程组?
??+--=--=32132
11x x y k x k y 得034)2(112
=--++k x k x 由题意得421=--k ，∴61-=k . 当61-=k 时，040<-=?， ∴方程无实数根，方程组无实数解. ∴满足条件的直线不存在.
10.（2004山西）已知二次函数2
12
y x bx c =
++的图象经过点A （－3，6），并与x 轴交于点B （－1，0）和点C ，顶点为P.
（1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象； （2）设D 为线段OC 上的一点，满足∠DPC ＝∠BAC ，求点D 的坐标； （3）在x 轴上是否存在一点M ，使以M 为圆心的圆与AC 、PC 所在的直线及y 轴都相切？如果存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
[解] （1）解：∵二次函数21
2
y x bx c =++的图象过点A （－3，6），B （－1，0）
得9
362102
b c b c ?-+=????-+=?? 解得132b c =-???=-??
∴这个二次函数的解析式为：21322
y x x =
-- 由解析式可求P （1，－2），C （3，0） 画出二次函数的图像
（2）解法一：易证：∠ACB ＝∠PCD ＝45°
又已知：∠DPC ＝∠BAC ∴△DPC ∽△BAC ∴
DC PC
BC AC
=
易求4AC PC BC === ∴43DC = ∴45333OD =-= ∴5,03D ??
???
解法二：过A 作AE ⊥x 轴，垂足为E.
设抛物线的对称轴交x 轴于F. 亦可证△AEB ∽△PFD 、 ∴
PE EB PF FD
=. 易求：AE ＝6，EB ＝2，PF ＝2