全等三角形的判定证明专题
一、全等三角形的性质
①全等三角形的对应边相等.
②全等三角形的对应角相等。
二、全等三角形的判定定理
①角边角公理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA)。
②边角边公理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。
③边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等（SSS)。
④角角边定理：有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS）。
三、一般思考方法
1、已知两边对应相等—1。第三边；2。夹角；3。直角
2、一角及邻边对应相等—1。角的另一边;2.边的另一角；3。边的对角
3、一角及对边对应相等—1.另一角
4、两角相等-1。夹边；2。一已知角的对边
第一部分简单证明
例题分析
例1：已知：如图AC=BD,∠CAB=∠DBA.求证：∠CAD=∠DBC。
例2：已知：AB=CD,AB∥DC,求证：△ABC≌△CDB
例3：已知：在△ABC中,AD为BC边上的中线,CE⊥AD，BF⊥AD.求证：CE=BF
例4．已知：如图AB=AC，AD=AE，BE和CD相交于G。
求证：AG平分∠BAC.
例5：已知：△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，连结DE、EF,∠ADE=∠EFC,∠AED=∠ACB，DE=FC.求证：△ADE≌△EFC
例6:已知：△ABC是等边三角形，∠GAB=∠HBC=∠DCA，∠GBA=∠HCB=∠DAC。
求证:△ABG≌△BCH≌△CAD。
自我检测
1、已知：△ABC中，AB=AC，D、E分别为AB、AC的中点。求证：∠ABE=∠ACD.
2、已知:AB=DC,AC=BD ，AC 交BD 于E.求证：AE=DE.
3、已知：如图，AB=CD ，BE=DF ，AF=EC.求证：BF=DE
4、如图，在△ABE 中，AB ＝AE ，AD ＝AC ，∠BAD ＝∠EAC ， BC 、DE 交于点O. 求证：(1) △ABC ≌△AED ； （2) OB ＝OE 。
5、如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线,BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直
线CE 交BA 的延长线于F ． 求证：BD =2CE ．
O
C E
B
D
A
F
E D
C
B A
第二部分 辅助线证全等三角形
三角形辅助线做法
图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线,常向两端把线连. 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线.
常见辅助线的作法有以下几种：
1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等
变换中的“旋转”．
3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的
“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．
4) 过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折
叠”
5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与
特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．
有三角形中线时,常延长加倍中线,构造全等三角形。 1、如图，AD 为 △ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD 。
截长补短法作辅助线
1、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠,且AD=BD,求证：CD ⊥AC
A
B
C
D
E C
D
B
A
C
B
A
C
B
A
2、如图,AC ∥BD,EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA ，CD 过
点E,求证；AB ＝AC+BD
3、如图，已知在ABC 内，0
60BAC ∠=,040C ∠=，P ，Q 分别在BC,CA 上,并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP
4、如图，在四边形ABCD 中,BC ＞BA ，AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠，
求证： 0180=∠+∠C A
5、如图在△ABC 中，AB ＞AC,∠1＝∠2,P 为AD 上任意一点，求证；AB —AC ＞PB-PC
延长已知边构造三角形：
1、如图，已知AC ＝BD ，AD ⊥AC 于A ，BC ⊥BD 于B,
求证：AD ＝BC
连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解决。 1、如图,AB ∥CD ，AD ∥BC 。求证：AB=CD 。
连接已知点，构造全等三角形.
1、已知,如图，AC 、BD 相交于O 点，且AB ＝DC ，AC ＝BD ，求证：∠A ＝∠D 。
取线段中点构造全等三有形。
1、如图,AB ＝DC ，∠A ＝∠D 求证:∠ABC ＝∠DCB.
A B
C
D E O A
B C
D 1
2
3
4
D
B A
O D
C
B A M
N
F
E
D C
B
A
C
B
A
借助角平分线造全等
1、如图，已知在△ABC 中,∠B=60°,△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点
O ，求证：OE=OD
2、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于F. （1）说明BE=CF 的理由；（2）如果AB=a ，AC=b ,求AE 、BE 的长.
旋转
1、正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点,BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数.
2、D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中点，DM ⊥DN ，DM,DN 分别交BC,CA 于点E ，F.
（1） 当MDN ∠绕点D 转动时，求证DE=DF 。 （2） 若AB=2,求四边形DECF 的面积.
E
D
G
F
C B
A
E
D C
B A
3、已知：2，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧.
(1)如图,当∠APB=45°时，求AB 及PD 的长;
（2)当∠APB 变化,且其它条件不变时,求PD 的最大值，及相应∠APB 的大小.
平移变换
1、AD 为△ABC 的角平分线，直线MN ⊥AD 于A 。E 为MN 上一点，△ABC 周长记为A P ，△EBC 周长记为B P 。求证B P ＞A P .
2、如图，在△ABC 的边上取两点D 、E,且BD=CE ，求证:AB+AC 〉AD+AE 。
C E O D B A 21C E D B A 全等三角形专题讲解 专题一、全等三角形判别方法的应用 专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下4种： 1．三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS ”） 2．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS ”） 3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA ”） 4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“AAS ”） 而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4种判别方法外，还可以应用“斜边、直角边”，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL ”）．也就是说“斜边、直角边”是判别两个直角三角形全等的特有的方法，它仅适用于判别两个直角三角形全等． 三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？ （1）条件充足时直接应用 在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等． 例1 已知：如图1，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O ，且AO 平分∠BAC ．那么图中全等的三角形有___对． 分析：由CE ⊥AB ，BD ⊥AC ，得∠AEO=∠ADO=90o．由AO 平分∠BAC ，得∠EAO=∠DAO ．又AO 为公共边，所以△AEO ≌△ADO ．所以EO=DO ，AE=AD ．又∠BEO=∠CDO=90o， ∠BOE=∠COD ，所以△BOE ≌△COD ．由 AE=AD ，∠AEO=∠ADO=90o，∠BAC 为公 共角，所以△EAC ≌DAO ．所以AB=AC ．又 ∠EAO=∠DAO ， AO 为公共边，所以△ABO ≌△ACO ． 所以图中全等的三角形一共有4对． （2）条件不足，会增加条件用判别方法 此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案． 例2 如图2，已知AB=AD ，∠1=∠2，要使△ABC ≌△ADE ，还需添加的条件是（只需填一个）_____． 分析：要使△ABC ≌△ADE ，注意到∠1=∠2， 所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC ，即∠BAC=∠EAC ． 要使△ABC ≌△ADE ，根据SAS 可知只需AC=AE 即可；根据ASA 可知只需∠B=∠D ；根据AAS 可知只需∠C=∠E ． 故可添加的条件是AC=AE 或∠B=∠D 或∠C=∠E ．
全等三角形的判定证明专题 一、全等三角形的性质 ①全等三角形的对应边相等. ②全等三角形的对应角相等。 二、全等三角形的判定定理 ①角边角公理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA)。 ②边角边公理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。 ③边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等（SSS)。 ④角角边定理：有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS）。 三、一般思考方法 1、已知两边对应相等—1。第三边；2。夹角；3。直角 2、一角及邻边对应相等—1。角的另一边;2.边的另一角；3。边的对角 3、一角及对边对应相等—1.另一角 4、两角相等-1。夹边；2。一已知角的对边 第一部分简单证明 例题分析 例1：已知：如图AC=BD,∠CAB=∠DBA.求证：∠CAD=∠DBC。 例2：已知：AB=CD,AB∥DC,求证：△ABC≌△CDB 例3：已知：在△ABC中,AD为BC边上的中线,CE⊥AD，BF⊥AD.求证：CE=BF
例4．已知：如图AB=AC，AD=AE，BE和CD相交于G。 求证：AG平分∠BAC. 例5：已知：△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，连结DE、EF,∠ADE=∠EFC,∠AED=∠ACB，DE=FC.求证：△ADE≌△EFC 例6:已知：△ABC是等边三角形，∠GAB=∠HBC=∠DCA，∠GBA=∠HCB=∠DAC。 求证:△ABG≌△BCH≌△CAD。 自我检测 1、已知：△ABC中，AB=AC，D、E分别为AB、AC的中点。求证：∠ABE=∠ACD.
2、已知:AB=DC,AC=BD ，AC 交BD 于E.求证：AE=DE. 3、已知：如图，AB=CD ，BE=DF ，AF=EC.求证：BF=DE 4、如图，在△ABE 中，AB ＝AE ，AD ＝AC ，∠BAD ＝∠EAC ， BC 、DE 交于点O. 求证：(1) △ABC ≌△AED ； （2) OB ＝OE 。 5、如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线,BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直 线CE 交BA 的延长线于F ． 求证：BD =2CE ． O C E B D A F E D C B A
全等三角形判定 一、选择题： 1.如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全 一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 2.方格纸中,每个小格顶点叫做一个格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.如图,在4×4 的方格纸中,有两个格点三角形△ABC、△DEF,下列说法中成立的是（） A．∠BCA=∠EDF B．∠BCA=∠EFD C.∠BAC=∠EFD D．这两个三角形中，没有相等的角 3.如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（） A．△ABD和△C DB的面积相等B．△ABD和△CDB 的周长相等 C.∠A+∠ABD＝∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD＝BC 4.下列判断中错误 ．．的是（） A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D．有一边对应相等的两个等边三角形全等 5.使两个直角三角形全等的条件是（） A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等 C．一条边对应相等 D．两条边对应相等 6.如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则 ∠ACB等于（）
A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF 7.在△ABC和△A/B/C/中,已知∠A=∠A/,AB=A/B/,在下面判断中错误的是( ) A．若添加条件AC=A/C/,则△ABC≌△△A/B/C/ B.若添加条件BC=B/C/,则△ABC≌△△A/B/C/ C.若添加条件∠B=∠B/,则△ABC≌△△A/B/C/ D.若添加条件∠C=∠C/,则△ABC≌△△A/B/C/ 8.如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（） A．AC∥DF B．∠A=∠D C．AC=DF D．∠ACB=∠F 9.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（） A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm 10.在如图所示的5×5方格中,每个小方格都是边长为1的正方形,△ABC是格点三角形（即顶点恰好 是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4
三角形全等的判定专题训练题 1、如图（1）：AD ⊥BC ，垂足为D ，BD=CD 。求证：△ABD ≌△ACD 。 2、如图（2）：AC ∥EF ，AC=EF ，AE=BD 。 求证：△ABC ≌△EDF 。 3、 如图（3）：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。 4、 如图（4）：AB=AC ，AD=AE ，AB ⊥AC ，AD ⊥AE 。 求证：（1）∠B=∠C ，（2）BD=CE. （图1）D C B A F E （图2）D C B A F E （图3）D C B A E （图4） D C B A
5、如图（5）：AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB=CD ，BC=DE 。 求证：AC ⊥CE 。 6、如图（6）：CG=CF ，BC=DC ，AB=ED ，点A 、B 、C 、D 、E 在同一直线上。 求证：（1）AF=EG ，（2）BF ∥DG 。 7、如图（7）：AC ⊥BC ，BM 平分∠ABC 且交AC 于点M ，N 是AB 的中点且BN=BC 。 求证：（1）MN 平分∠AMB ，（2）∠A=∠CBM 。 8、如图（8）：A 、B 、C 、D 四点在同一直线上，AC=DB ，BE ∥CF ，AE ∥DF 。 求证：△ABE ≌△DCF 。 G F E （图6）D C B A N M （图7） C B A F E （图8）D C B A E （图5）D C B A
9、如图（9）AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。 求证：AM 是△ABC 的中线。 10、如图（10）∠BAC=∠DAE ，∠ABD=∠ACE ，BD=CE 。 求证：AB=AC 。 11、如图（11）在△ABC 和△DBC 中，∠1=∠2，∠3=∠4，P 是BC 上任一点。 求证：PA=PD 。 12、如图（12）AB ∥CD ，OA=OD ，点F 、D 、O 、A 、E 在同一直线上，AE=DF 。 求证：EB ∥CF 。 M F E （图9）C B A E （图10） D C B A P 4 321（图11） D C B A O F E （图12） D C B A
全等三角形的的性质与判定难题50道 1．边长为a 的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），?，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为( ) A ．511()32 a ? B ．511()23 a ? C ．611()32 a ? D ．611()23 a ? 2．如图，在等边ABC ?中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且//DE AB ，过点 E 作E F DE ⊥，交BC 的延长线于点F ， （1）求F ∠的度数； （2）若3CD =，求DF 的长． 3．数学课上，李老师出示了如下的题目： “在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED EC =，如图，试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由”． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论 当点E 为AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论：AE DB （填“>” ，“ <”或“=” )． （2）特例启发，解答题目 解：题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE DB （填“>”，“ <”或“=” )．理由
如下：如图2，过点E 作//EF BC ，交AC 于点F ．（请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED EC =．若ABC ?的边长 为 1 ， 2AE =，求CD 的长（请你直接写出结 果）． 4．如图，过等边ABC ?的边AB 上一点P ，作P E A C ⊥于E ，Q 为BC 延长线上一点，且PA CQ =，连PQ 交AC 边于D ． （1）求证：PD DQ =； （2）若ABC ?的边长为1，求DE 的长． 5．如图所示，已知等边ABC ?的边长为a ，P 是ABC ?内一点，//PD AB ，//PE BC ， //PF AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AC 、AB 上，猜想：PD PE PF ++= ，并 证明你的猜想． 6．如图，已知ABC ?和CDE ?均为等边三角形，且点B 、C 、D 在同一条直线上，连接AD 、 BE ，交CE 和AC 分别于G 、H 点，连接GH ． （1）请说出AD BE =的理由； （2）试说出BCH ACG ???的理由；
全等三角形的判定题型 类型一、全等三角形的判定1——“边边边” 例题、已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠DBC. 类型二、全等三角形的判定2——“边角边” 例题、已知，如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，并且 AE ＝12 （AB ＋AD ），求证：∠B ＋∠D ＝180°. 类型三、全等三角形的判定3——“角边角” 例题、已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ． 求证：HN ＝PM. 类型四、全等三角形的判定4——“角角边” 例题、已知Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF ＝90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB 于E 、F ．当∠EDF 绕D 点旋转到DE ⊥AC 于E 时（如图1），易证12 DEF CEF ABC S S S +=△△△；当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明. 类型五、直角三角形全等的判定——“HL ” 下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形. （1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（ ） （2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ） （3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）
（1）√；（2）×；在△ABC 和△DBC 中，AB ＝DB ，AE 和DF 是其中一边上的高，AE ＝DF （3）×. 在△ABC 和△ABD 中，AB ＝AB ，AD ＝AC ，AH 为第三边上的高，如下图： 1、已知：如图，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，AD ＝BC ，DE ＝BF. 求证：AB ∥DC. 2、如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线， 过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D. （1）求证：AE ＝CD ； （2）若AC ＝12cm ，求BD 的长. 启发：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件 三角形角平分线的性质 三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等. 三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于 一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形 三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为 1P ，旁心为234,,P P P ，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.
全等三角形的判定专题 1．如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC．求证：BC∥EF． 2．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF． （1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数． 3．已知：如图，点A，F，E，C在同一直线上，AB∥DC，AB＝CD，∠B＝∠D．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG＝5，求AB的长． 4．如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O．求证：OB＝OC．5．如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠D，求证：CB＝CD． 6．如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠C＝∠E．7．如图，已知CA＝CD，∠1＝∠2（1）请你添加一个条件使△ABC≌△DEC ，你添加的条件是；（2）添加条件后请证明△ABC≌△DEC． 8．如图，AB与CD相交于点E，AE＝CE，DE＝BE．求证：∠A＝∠C．
9．如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE＝AM，过点E 作EF⊥AM，垂足为F，求证：AB＝EF． 10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM＝AC，过点M作ME ∥BC交AB于点E．求证：△ABC≌△MED． 11．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E． （1）求证：△ACD≌△CBE；（2）已知AD＝4，DE＝1，求EF的长．12．如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AD、AB上一点，若AE＝DC＝2ED，且EF⊥EC．（1）求证：点F为AB的中点； （2）延长EF与CB的延长线相交于点H，连结AH，已知ED＝2，求AH的值． 13．如图，△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，BE＝CF，点D在AF的延长线上，AD＝AC．（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）若∠BAE＝30°，则∠ADC＝°． 14．如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交于点G，H，若AB＝CD，求证：AG＝DH．
三角形全等的判定专题训练题（1）1、如图（1）：AD⊥BC，垂足为D，BD=CD。 求证：△ABD≌△ACD。 2、如图（2）：AC∥EF，AC=EF，AE=BD。 求证：△ABC≌△EDF。 3、如图（3）：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。 求证：△AED≌△BFC。 4、如图（4）：AB=AC，AD=AE，AB⊥AC，AD⊥AE。 求证：（1）∠B=∠C，（2）BD=CE 5、如图（5）：AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD， BC=DE。 求证：AC⊥CE。 6、如图（6）：CG=CF，BC=DC，AB=ED，点A、B、C、D、E 在同一直线上。 求证：（1）AF=EG，（2）BF∥DG。 7、如图（7）：AC⊥BC，BM平分∠ABC且交AC于点M、N是 AB的中点且BN=BC。 求证：（1）MN平分∠AMB，（2）∠A=∠CBM。 8、如图（8）：A、B、C、D四点在同一直线上，AC=DB，BE∥ CF，AE∥DF。 求证：△ABE≌△DCF。 9、如图（9）AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。 求证：AM是△ABC的中线。 10、如图（10）∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，BD=CE。求证： AB=AC。 11、如图（11）在△ABC和△DBC中，∠1=∠2，∠3=∠4，P是BC 上任一点。求证：PA=PD。 12、如图（12）AB∥CD，OA=OD，点F、D、O、A、E在同一 直线上，AE=DF。求证：EB∥CF。 13、如图（13）△ABC≌△EDC。求证：BE=AD。 （图1）D C B A F E（图2）D C B A F E （图3） D C B A E （图4） D C B A G F E （图6） D C B A N M （图7） C B A F E （图8）D C B A A E （图10） D C B A P 4 3 2 1 （图11） D B A F E E A E A
中考数学专题复习：三角形全等的判定 一、单选题 1．如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（） A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD 2．如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB＝∠DBC，添加一个条件，不能证明△ABC 和△DCB全等的是（） A．∠ABC＝∠DCB B．AB＝DC C．AC＝DB D．∠A＝∠D 二、填空题 3．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D．请添加一个条件__________，使△ABF≌△DCE． 4．如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是________．（只需写出一个条件即可） 5．如图，四边形ABCD中，∠BAC＝∠DAC，请补充一个条件____________，
使△ABC≌△ADC． 三、解答题 6．如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD． 求证：△AOB≌△COD． 7．如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB＝DE，AC∥DF，BC∥EF．求证：△ABC≌△DEF． 8．如图，AB∥DE，B，C，D三点在同一条直线上，∠A＝90°，EC⊥BD，且AB＝CD．求证：AC＝CE．
9．如图，点D、E分别是AB、AC的中点，BE、CD相交于点O，∠B＝∠C，BD＝CE． 求证：（1）OD＝OE； （2）△ABE≌△ACD． 10．如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF，证明：AE ＝DF． 11．如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF．求证：BC＝EF．
三角形全等判定专题训练题 1.给定三角形ABC，AD垂直于BC，垂足为D，且 BD=CD。证明△ABD≌△ACD。 2.给定平行四边形ABCD，AC=EF，AC平行于EF，且F 在AD上。证明△ABC≌△EDF。 3.给定三角形ABC和DEF，DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。证明△AED≌△BFC，其中AE=BD。 4.给定等腰直角三角形ABC，AB=AC，AD=AE，AB垂 直于AC，AD垂直于AE。证明∠B=∠C且BD=CE。 6.给定四边形ABCDE，CG=CF，BC=DC，AB=ED，且 A、B、C、D、E在同一直线上。证明AF=EG且BF平行于DG。
7.给定三角形ABC，AC垂直于BC，___平分∠ABC，且 交AC于点M，N是AB的中点，且BN=BC。证明___平分 ∠AMB且∠A=∠___。 8.给定四边形ABCD，AC=DB，BE平行于CF，AE平行 于DF。证明△ABE≌△DCF。 9.给定三角形ABC，AE和BC相交于点M，F在AM上，BE平行于CF，且BE=CF。证明AM是△ABC的中线。 10.给定四边形ABCD，且∠BAC=∠DAE， ∠ABD=∠ACE，BD=CE。证明AB=AC。 11.给定三角形ABC和△DBC，且∠1=∠2，∠3=∠4，P 是BC上的任意一点。证明PA=PD。 12.给定四边形ABCD，AB平行于CD，OA=OD，且F、 D、O、A、E在同一直线上，AE=DF。证明EB平行于CF。
13.给定三角形ABC和△EDC，且△ABC≌△EDC。证明BE=AD。 14.给定等腰直角三角形ABC，AC=BC，AE是BC的中线，CF⊥AE于F，BD⊥CB交CF的延长线于点D。证明 AB=BD。 15、证明：由图可知，∠BAC=90°，且AB=2AC，因此由勾股定理可得BC=√5AC，而DE=AC，BF=2AC，EF=BC-AC=√5AC-AC=(√5-1)AC，因此AE=AC+EF=2AC+(√5- 1)AC=(1+√5)AC，所以△ABC≌△AED。 16、证明：（1）由题意可知AD=BC，且AD∥BC，因此△ABD≌△CBD，所以BD=CD，又因为AE=CF，所以由三角形相似可知DE/AB=BF/BC，即DE=BF，因此DE=BF。 2）由AD∥BC可知∠___∠BCD，又因为AD=BC，所以△ADC≌△BCD，因此∠DAB=∠DCB，即AB∥CD。
全等三角形的判定 一、知识点复习 ①“边角边”定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（SAS） 图形分析： 在△ABC和△DEF中 书写格式： A B B D E E BC EF ∴△ABC≌△DEF（SAS） ②“角边角”定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（ASA) 图形分析： 在△ABC和△DEF中 书写格式： B BC E EF C F ∴△ABC≌△DEF(ASA) ③“角角边”定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS） 图形分析： 在△ABC和△DEF中 书写格式： B E C F BC EF ∴△ABC≌△DEF(AAS)
④“边边边”定理：三边对应相等的两个三角形全等。（SSS） 图形分析： 在△ABC和△DEF中 书写格式： AB DE AC DF BC EF ∴△ABC≌△DEF(AAS) ⑤“斜边、直角边”定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（HL） 图形分析： 在△ABC和△DEF中 书写格式： AB DE AC DF ∴△ABC≌△DEF（HL） 一个三角形共有三条边与三个角，你是否想到这样一问题了：除了上述四种识别法，还有其他的三角形全“SSA”、“AAA”能成为判定两个三角形全等的条件吗？ 如说 等识别法吗？比 两个三角形中对两个三角形是否全等反例 应相等的元素 SSA AAA
二、常考典型例题分析 第一部分：基础巩固 1. 下列条件，不能使两个三角形全等的是（） A．两边一角对应相等 B ．两角一边对应相等 C ．直角边和一个锐角对应相等 D ．三边对应相等 2. 如图，点D，E分别在线段A B，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能 判定△ABE≌△ACD（） A. ∠B=∠C B ．AD=AE C ．BD=CE D ．BE=CD 3. 下列各图中a、b、c 为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（） A．甲和乙 B ．乙和丙 C ．甲和丙 D ．只有丙 4. 如图，E，B，F，C四点在一条直线上，EB=CF，∠A=∠D，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是（） A ．AB=DE B ．DF∥A C C ．∠E=∠ABC D ．AB∥DE 5. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（） A ．∠A=∠D B ．AB=D C C ．∠ACB=∠DBC D ．AC=BD 6. 如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取O M=O，N移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线OC，作法用得的三角形全等的判定方法是（） A．SAS B ．SSS C ．ASA D ．HL
专题12.2 三角形全等的判定 全等三角形的判定定理 （1）边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等. （2）边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. （3）角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. （4）角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. （5）斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. （只适用两个直角三角形） 【例题1】如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（） A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD 【答案】D． 【解析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可． ∵AB=AC，∠A为公共角， A．如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD； B．如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD； C．如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD； D．如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件． 【点拨】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可． 【例题2】如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．
【答案】见解析。 【解析】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC， 在△ADF和△BCE中，， ∴△ADF≌△BCE（SAS）， ∴AF＝CE． 【点拨】由SAS证明△ADF≌△BCE，即可得出AF＝CE． 【例题3】如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE． 【答案】见解析。 【解析】证明：∵BE⊥CE ∴∠BEF=∠BEC=90°在△BEF和△BEC中，∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC ， ∴△BEF≌△BEC(ASA) ，∴EF=EC ，∴CF=2CE ∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90° 又∵∠ADB=∠CDE ，∴∠ABD=∠ACF ，在△ABD和△ACF中， ∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°，∴△ABD≌△ACF(ASA) ，∴BD=CF ，∴BD=2CE 【点拨】证明EF=EC后，再证明△ABD≌△ACF是关键。 一、选择题
中考专题复习全等三角形 知识点总结 一、全等图形、全等三角形： 1.全等图形：能够完全的两个图形就是全等图形。 2.全等图形的性质：全等多边形的、分别相等。 3.全等三角形：三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应角分别相等。同样，如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等。 说明：全等三角形对应边上的高，中线相等，对应角的平分线相等；全等三角形的周长，面积也都相等。 这里要注意：（1）周长相等的两个三角形，不一定全等；（2）面积相等的两个三角形，也不一定全等。 二、全等三角形的判定： 1.一般三角形全等的判定 （1）三边对应相等的两个三角形全等（“边边边”或“”）。 （2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(“边角边”或“”)。（3）两个角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等(“角边角”或“”)。（4）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(“角角边”或“”)。 2.直角三角形全等的判定 利用一般三角形全等的判定都能证明直角三角形全等． 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(“斜边、直角边”或“”)．注意：两边一对角(SSA)和三角(AAA)对应相等的两个三角形不一定全等。 3.性质 1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。 2、全等三角形的对应边上的高对应相等。 3、全等三角形的对应角平分线相等。 4、全等三角形的对应中线相等。 5、全等三角形面积相等。 6、全等三角形周长相等。 (以上可以简称:全等三角形的对应元素相等) 三、角平分线的性质及判定： 性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等。 判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。 四、证明两三角形全等或利用它证明线段或角相等的基本方法步骤： 1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、 高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）； 2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么； 3.正确地书写证明格式（顺序和对应 关系从已知推导出要证明的问题）。
全等三角形性质与判定练习50道 一．选择题（共24小题） 1．下列判断正确的个数是( ) （1）能够完全重合的两个图形全等； （2）两边和一角对应相等的两个三角形全等； （3）两角和一边对应相等的两个三角形全等； （4）全等三角形对应边相等． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．如图，ABC CDA ∆≅∆，并且AB CD =，那么下列结论错误的是( ) A ．12∠=∠ B ．A C CA = C ． D B ∠=∠ D ．AC BC = 3．已知：如图，AB AD =，12∠=∠，以下条件中，不能推出ABC ADE ∆≅∆的是( ) A ．AE AC = B ．B D ∠=∠ C ．BC DE = D ．C E ∠=∠ 4．如图，已知点A 、D 、C 、F 在同一条直线上，AB DE =，BC EF =，要使ABC DEF ∆≅∆， 还需要添加一个条件是( ) A ． B E ∠=∠ B ．//B C EF C ．BCA F ∠=∠ D ．A EDF ∠=∠ 5．如图，已知12∠=∠，那么添加以下哪一个条件仍不能判断ABC ADC ∆≅∆的是( )
A ．BC DC = B ．BA C DAC ∠=∠ C ．B D ∠=∠ D ．AB AD = 6．如图，E 、B 、F 、C 四点在同一条直线上，EB CF =，DEF ABC ∠=∠，添加以下哪 一个条件不能判断ABC DEF ∆≅∆的是( ) A ．A D ∠=∠ B ．//DF A C C ．AC DF = D ．AB D E = 7．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB 可将其固定，这里所运用的几何原理是( ) A ．三角形的稳定性 B ．两点之间线段最短 C ．两点确定一条直线 D ．垂线段最短 8．如图，已知ABC DCB ∠=∠，下列所给条件不能证明ABC DCB ∆≅∆的是( ) A ．A D ∠=∠ B ．AB D C = C ．ACB DBC ∠=∠ D ．AC BD = 9．下列几种说法：①全等三角形的对应边相等；②面积相等的两个三角形全等；③周长相 等的两个三角形全等；④全等的两个三角形一定重合．其中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 10．如图，AD 是ABC ∆的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE DF =，连 接BF ，CE 、下列说法：①CE BF =；②ABD ∆和ACD ∆面积相等；③//BF CE ；④BDF CDE ∆≅∆．其中正确的有( )
全等三角形判定-专题复习50题(含答案)
全等三角形判定 一、选择题： 1.如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部 分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全 一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依 据是（） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 2.方格纸中,每个小格顶点叫做一个格点，以格点连 线为边的三角形叫做格点三角形.如图,在4×4 的方格纸中,有两个格点三角形△ABC、△DEF, 下列说法中成立的是（） A．∠BCA=∠EDF B．∠BCA=∠EFD C.∠BAC=∠EFD D．这两个三角形 中，没有相等的角 3.如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正 确的是（） A．△ABD和△CDB的面积相等 B．△ABD和△
A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF 4.在△ABC和△A/B/C/中,已知∠A=∠A/,AB=A/B/,在下 面判断中错误的是( ) A．若添加条件AC=A/C/,则△ABC≌△△A/B/C/ B.若添加条件BC=B/C/,则△ABC≌△△A/B/C/ C.若添加条件∠B=∠B/,则△ABC≌△△A/B/C/ D.若添加条件∠C=∠C/,则△ABC≌△△A/B/C/ 5.如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、∠B=∠DEF，添 加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF （） A．AC∥DF B．∠A=∠D C．AC=DF D．∠ACB=∠F 6.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高 AD和BE的交点，则BF的长是（）
A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm 7.在如图所示的5×5方格中,每个小方格都是边长 为1的正方形,△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 8.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且 EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长 为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为 （） A． a2B． a2C． a2D． a2