复数专题
一、选择题
1 ．（2012年高考（天津理））
i
是虚数单位,复数7=
3i
z i
-+ （ ） A ．2i +
B ．2i -
C ．2i -+
D ．2i --
2 ．（2012年高考（新课标理））下面是关于复数2
1z i
=
-+的四 个命题:其中的真命 题为 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1- （ ）
A ．23,p p
B ．12,p p
C ．,p p 24
D ．,p p 34
3 ．（2012年高考（浙江理））已知i 是虚数单位,则
3+i
1i
-= （ ）
A ．1-2i
B ．2-i
C ．2+i
D ．1+2i
4 ．（2012年高考（四川理））复数2(1)2i i
-=
（ ）
A ．1
B ．1-
C ．
i
D ．i -
5 ．（2012年高考（上海理））若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根,则
（ ）
A ．3,2==c b .
B ．3,2=-=c b .
C ．1,2-=-=c b .
D ．1,2-==c b . 6 ．（2012年高考（陕西理））设,a b R ∈, 是虚数单位,则“0ab =”是“复数b
a i
+
为纯虚数”的
（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
7 ．（2012年高考（山东理））若复数z 满足(2)117z i i -=+(
i
为虚数单位),则z 为
（ ）
A ．35i +
B ．35i -
C ．35i -+
D ．35i --
8 ．（2012年高考（辽宁理））复数
22i
i
-=+ （ ）
A ．34i -
B ．34i +
C ．41i -
D ．3
1i +
9 ．（2012年高考（湖北理））方程26130x x ++=的一个根是
（ ）
A ．32i -+
B ．32i +
C ．23i -+
D ．23i +
10．（2012年高考（广东理））(复数)设
i
为虚数单位,则复数56i
i
-= （ ）
A ．65i +
B ．65i -
C ．65i -+
D ．65i --
11．（2012年高考（福建理））若复数z 满足1zi i =-,则z 等于
（ ）
A ．1i --
B ．1i -
C ．1i -+
D ．1i +
12．（2012年高考（大纲理））复数
131i
i
-+=+ （ ）
A ．2i +
B ．2i -
C ．12i +
D ．12i -
13．（2012年高考（北京 理））设,a b R ∈, “0a =”是 “复 数a bi +是纯虚数”的
（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充
分又不必要条 件
14．（2012年高考（安徽理））复数z 满足:()(2)5z i i --=;则z =
（ ）
A ．22i --
B ．22i -+
C ．i 2-2
D ．i 2+2
二、填空题
15．（2012年高考（重庆理））若()()12i i ++=a+bi ,其中,,a b R i ∈为虚数单位,则
a b +=__________________;
16．（2012年高考（上海理））计算:i i +-13=_______(i 为虚数 单位).
17．（2012年高考（上海春） ）若复数z 满足||z i i -≤
为虚数单位
)
,则z 在复平面
内所对应的图形的面积为____.
18．（2012年高考（上海春））若复数z 满足1(iz i i =+为虚数单位)
,则z =_______.
19．（2012年高考（江苏））设a b ∈R ，,117i
i 12i
a b -+=
-(i 为虚数单位 ),则a b +的值为____. 20．（2012年高考（湖南理））已知复数2(3)z i =+ (i 为虚数单位),则|z|=_____.
2012年高考 试题分类解析汇编：复数参考答案
一、选择题 1. 【答案】B
【命题意图】本试题主要考查了复数的概念以及复数的加、减、乘、除四则运算. 【解析】7=
3i z i -+=(7)(3)(3)(3)i i i i --+-=21731
10
i i ---=2i - 2. 【解析】选C 22(1)
11(1)(1)
i z i i i i --=
==---+-+--
1:p z =22:2p z i =,3:p z 的共轭复数为1i -+,4:p z 的虚部为1-
3. 【解析】
3+i 1i -=()()3+i 1+i 2
=2+4i
2=1+2i.【答案】D 4. [答案]B.
[解析]2(1)2i i -=12212-=-+i
i
i
[点评]突出考查知识点12-=i ,不需采用分母实数化等常规方法,分子直接展开就可以. 5. [解析] 实系数方程虚根成对,所以i 21-也是一根,所以-b =2,c =1+2=3,选B. 6. 解析:0ab =?00a b ==或,复数b
a i
+为纯虚数?0,0a b =?,故选B. 7. 【解析】i i
i i i i i i z 535
2515)2)(2()2)(711(2711+=+=+-++=-+=
.故选A. 8. 【答案】A
【解析】
2(2)(2)34342(2)(2)555
i i i i i i i i ----===-++-,故选A 【点评】本题主要考查复数代数形式的运算,属于容易题.复数的运算要做到细心准确. 9. 答案为A.
考点分析:本题考察复数的一元二次方程求根.
解析:根据复数求根公式:x 32i =
=-±,所以方程的一个根为32i -+
10.解析:D.
56i
65i i
-=--. 11. 【答案】A
【解析】11i
z i i
-=
=--Q ,故选A 【考点定位】本题主要考查复数的代数运算,主要掌握复数四则运算法则. 12.答案C
【命题意图】本试题主要考查了复数的四则运算法则.通过利用除法运算来求解. 【解析】因为
13(13)(1)24121(1)(1)2
i i i i
i i i i -+-+-+===+++- 13. 【答案】B
【解析】当0a =时,如果0b =,此时0a bi +=是实数,不是纯虚数,因此不是充分条件;而如果a bi +已经是纯虚数,由定义实部为零,虚部不为零可以得到0a =,因此是必要条件,故选B.
【考点定位】 本小题主要考查的是充分必要条件,但问题中汲到了复数问题, 复数部分本题所考查的是纯虚数的定义 .
14. 【解析】选D 55(2)
()(2)5222(2)(2)
i z i i z i z i i i i i +--=?-=
?=+=+--+ 【考点定位】考查复数运算. 二、填空题 15. 【答案】4
【解析】(1)(2)131,34i i i a bi a b a b ++=+=+?==?+=.
【考点定位】本题主要考查复数的乘法运算与复数相等的充要条件,此题属于基础题,只要认真计算即可得分.
16. [解析] i i i i i i i i 212413)1)(1()1)(3(13-=--=-+--=+-. 17. 【答案】8.
【考点】复数的运算和复数的概念.
【分析】由117i
i 12i
a b -+=-得()()()()117i 12i 117i 1115i 14
i ===53i 12i 12i 12i 14
a b -+-+++=
+--++,所以=5=3a b ，,=8a b + .
18. 【答案】10
【解析】2(3)z i =+=29686i i i ++=+,10z ==.
【点评】本题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的(,)a bi a b R +∈形式,利用
z =求得.
复数 基础知识 1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除 等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z=re i θ ，称为复数的指数形式。 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有： （1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2 121z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?； （6）||||||2121z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1，则z z 1= 。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1??z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2 1212,0r r z z z =≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2),.)(2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ). 6.开方：若=n w r(cos θ+isin θ)，则)2s i n 2(c o s n k i n k r w n π θπ θ+++=， k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n =1，则称w 为1的一个n 次单位根，简称单位根，记Z 1=n i n ππ2sin 2cos +，则全部单位根可表示为1,1Z ,1121,,-n Z Z .单位根的基本性质有（这里记k k Z Z 1=，
专题二 复数 【1】复数的基本概念 （1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部 实数：当b = 0时复数a + b i 为实数 虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数； 纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数 （2）两个复数相等的定义： 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且 （3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-； （4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习） （5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模； 【2】复数的基本运算 设111z a b i =+，222z a b i =+ （1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++； （2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-； （3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。 （4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-?????? 【3】复数的化简 c di z a bi +=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=?≠+，当c d a b =时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi +==+进一步建立方程求解
第1章：复数与复变函数 §1 复数 1．复数域 形如iy x z +=的数，称为复数，其中y x ,为实数。实数x 和实数y 分别称为复数iy x z +=的实部与虚部。记为 z x Re =， z y Im = 虚部为零的复数可看成实数，虚部不为零的复数称为虚数，实部为零虚部不为零的复数称为纯虚数。复数iy x z -= 和iy x z +=称为互为共轭复数，z 的共轭复数记为z 。 设 ，复数的四则运算定义为 加（减）法： 乘法： 除法： 相等： 当且仅当 复数的四则运算满足以下运算律 ①加法交换律 1221z z z z +=+ ②加法结合律 321321)()(z z z z z z ++=++ ③乘法交换律 1221z z z z ?=? ④乘法结合律 321321)()(z z z z z z ??=?? ⑤乘法对加法的分配律 3121321)(z z z z z z z ?+?=+? 全体复数在引入相等关系和运算法则以后，称为复数域. 在复数域中，复数没有大小. 正如所有实数构成的集合用R 表示，所有复数构成的集合用C 表示。
例 设i 3,i 5221+=-=z z ，求 2 1 z z ． 分析：直接利用运算法则也可以，但那样比较繁琐，可以利用共轭复数的运算结果。 解 为求 2 1 z z ，在分子分母同乘2z ，再利用1i 2-=，得 i 101710110i 171)i 3)(i 52(2222121-=-=--=??=z z z z z z z 2．复平面 一个复数iy x z +=本质上由一对有序实数唯一确定。于是能够确定平面上全部的点和全体复数间一一对应的关系。如果把x 和y 当作平面上的点的坐标，复数z 就跟平面上的点一一对应起来，这个平面叫做复数平面或z 平面，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴. 在复平面上，从原点到点 所引的矢量 与复数z 也构成一一对应 关系，且复数的相加、减与矢量相加、减的法则是一致的，即满足平行四边形法则，例如： 这样，构成了复数、点、矢量之间的一一对应关系. 3． 复数的模与辐角 向量 的长度称为复数 的模或绝对值，即：
最新高中数学《复数》经典考题分类解析 复数的代数运算年年必考，其题目活而不难，主要考查学生灵活运用知识的能力，复数的几何意义也是考查的一个重点。落实考查特点有利于抓住复习中的关键：（1）复数的概念，包括虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、复数的模、复数的相等、共轭复数的概念。（2）复数代数形式基本运算的技能与技巧，特别是 i ±1的计算，注意转化思想的训练，善于将复数向实数转化。 （3）复数的几何意义， 1、复数的概念以及运算 例1i 是虚数单位，238i 2i 3i 8i ++++=L ．（用i a b +的形式表示，a b ∈R ，） 解：原式＝i －2－3i ＋4＋5i －6－7i ＋8＝4－4i 点评：复数是高中数学的重要内容，是解决数学问题的重要工具，本题考查了复数的概念以及复数的引入原则，主要考查i 12-=的实际应用问题。 例2若a 为实数， =，则a 等于（ ） A ． B ． C ． D ．-解析：由已知得：等式左边＝i a a i ai 3 223223)21)(2(-++=-+ 由复数相等的充要条件知：???????-=-=+23 220322a a ，所以a ＝ 点评：本题考查了复数的基本运算以及复数相等的概念。 例3若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b =（ ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2- 解析：(1)(2)bi i ++＝i b b )12()2(++-，因为(1)(2)bi i ++是纯虚数，因此
???≠+=-0 1202b b 所以b ＝2。 点评：本题考查的复数的乘法运算问题，通过该运算考查了纯虚数的概念。 2、复数的几何意义 复数与复平面上的点，及复平面上从原点出发的向量建立了一一对应关系，这样使得 复数问题可以借助几何图形的性质解决，反之，一些解析几何问题、平面几何问题也可以借助于复数的运算加以解决。 例4若35ππ44θ??∈ ??? ，，则复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：复数的实部a ＝)4sin(2sin cos π θθθ+=+，虚部b ＝ )4sin(2cos sin πθθθ-=-，因为4 543πθπ<<，所以 ππθπππθπ<-<<+<42,234，所以0)4sin(<+πθ，0)4 sin(>-πθ，即a<0，b>0，所以复数对应的点在第二象限。 点评：本题以复数的三角形式作为命题背景，考查了复数的三角形式运算以及三角函数的恒等变化，以及复数的几何意义。复数与复平面内的点的对应关系经常出现在考题中，关键是把复数化简成bi a +的形式，并且准确的判断出a 、b 的符号是求解问题的关键。 3、复数的开放性的考查 例4．复数i z a b a b =+∈R ，，，且0b ≠，若24z bz -是实数，则有序实数对()a b ，可以是 ．（写出一个有序实数对即可） 解析：因为24z bz -＝i b ab ab b a )42()4(222-+--是实数，所以有 0422=-b ab ，因为0≠b ，所以b a 2=，所以答案可以填写（2，1）或（2，4）、（3，6）等等。
复数的运算测试题 一、选择题 1．0a =是复数()z a bi a b =+∈R ，为纯虚数的（ ） Ａ．充分条件但不是必要条件 Ｂ．必要条件但不是充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不是充分也不必要条件 答案：Ｂ 2．若12z i =+，23()z ai a =+∈R ，12z z +的和所对应的点在实轴上，则a 为（ ） Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．—1 答案：Ｄ 3．复数22(2)(2)z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（ ） Ａ．2a ≠或1a ≠ Ｂ．2a ≠且1a ≠ Ｃ．0a = Ｄ． 2 a =或 0a = 答案：Ｄ 4．设1z ，2z 为复数，则下列四个结论中正确的是（ ）
Ａ．若22120z z +>，则2212z z >- Ｂ． 12 z z -= Ｃ．22121200z z z z +=?== Ｄ．11z z -是纯虚数或零 答案：Ｄ 5．设22(253)(22)z t t t t i =+-++-+，t ∈R ，则下列命题中正确的是（ ） Ａ．z 的对应点Z 在第一象限 Ｂ．z 的对应点Z 在第四象限 Ｃ．z 不是纯虚数 Ｄ．z 是虚数 答案：Ｄ 6．若1i +是实系数方程20x bx c ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ） Ａ．1i - Ｂ．1i -+ Ｃ．1i -- Ｄ．i 答案：Ａ 7．已知复数1cos z i θ=-，2sin z i θ=+，则1 2z z ·的最大值为（ ）
Ａ．3 2 Ｄ．3 答案：Ａ 8．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m 等于（ ） Ａ． 2- Ｂ． Ｃ． Ｄ．4 答案：Ｂ 9．在复平面内12 ω=-对应的向量为OA ，复数2ω对应的向量为 OB ．那么向量AB 对应的复数是（ ） Ａ．1 Ｂ． 1- Ｄ． 答案：Ｄ 10．在下列命题中，正确命题的个数为（ ） ①两个复数不能比较大小； ②123z z z ∈C ，，，若221221()()0z z z z -+-=，则13z z =； ③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±； ④z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ； ⑤若a b ，是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数； ⑥z ∈R 的一个充要条件是z z =．
复数专题 一、选择题 1 ．（2012年高考（天津理）） i 是虚数单位,复数7= 3i z i -+ （ ） A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i -- 2 ．（2012年高考（新课标理））下面是关于复数2 1z i = -+的四 个命题:其中的真命 题为 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1- （ ） A ．23,p p B ．12,p p C ．,p p 24 D ．,p p 34 3 ．（2012年高考（浙江理））已知i 是虚数单位,则 3+i 1i -= （ ） A ．1-2i B ．2-i C ．2+i D ．1+2i 4 ．（2012年高考（四川理））复数2(1)2i i -= （ ） A ．1 B ．1- C ． i D ．i - 5 ．（2012年高考（上海理））若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根,则 （ ） A ．3,2==c b . B ．3,2=-=c b . C ．1,2-=-=c b . D ．1,2-==c b . 6 ．（2012年高考（陕西理））设,a b R ∈, 是虚数单位,则“0ab =”是“复数b a i + 为纯虚数”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7 ．（2012年高考（山东理））若复数z 满足(2)117z i i -=+( i 为虚数单位),则z 为 （ ） A ．35i + B ．35i - C ．35i -+ D ．35i -- 8 ．（2012年高考（辽宁理））复数 22i i -=+ （ ） A ．34i - B ．34i + C ．41i - D ．3 1i +
一、复数选择题 1．复数3 (23)i +（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．9i B ．46i - C ．9 D ．46- 2．已知i 为虚数单位，则复数23i i -+的虚部是（ ） A ． 35 B ．35i - C ．15 - D ．1 5 i - 3．已知复数21i z i =-，则复数z 在复平面内对应点所在象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4． )) 5 5 11-- +＝（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2 5．若复数1z i =-，则 1z z =-（ ） A B ．2 C ． D ．4 6．若 1m i i +-是纯虚数，则实数m 的值为（ ）． A ．1- B ．0 C ．1 D 7．若复数2i 1i a -+（a ∈R ）为纯虚数，则1i a -=（ ） A B C ．3 D ．5 8．已知复数z 满足2 2z z =，则复数z 在复平面内对应的点(),x y （ ） A ．恒在实轴上 B ．恒在虚轴上 C ．恒在直线y x =上 D ．恒在直线y x =-上 9．复数z 满足22z z i +=，则z 在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10．已知2021(2)i z i -=，则复平面内与z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 11．设复数z 满足41i z i =+，则z 的共轭复数z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 12．设a + ∈R ，复数()()() 2 4 2 121i i z ai ++=-，若1z =，则a =（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7
一、复数选择题 1．复数()1z i i =?+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．若复数1z i i ?=-+，则复数z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i 3．已知a 为正实数，复数1ai +（i 为虚数单位）的模为2，则a 的值为（ ） A B ．1 C ．2 D ．3 4．已知,a b ∈R ，若2 ()2a b a b i -+->（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（ ） A ．2a >或1a <- B ．1a >或2a <- C ．12a -<< D ．21a -<< 5．在复平面内复数Z=i （1﹣2i ）对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．若复数()()24z i i =--，则z =（ ） A ．76i -- B ．76-+i C ．76i - D ．76i + 7．已知复数5i 5i 2i z =+-，则z =（ ） A B ．C ．D ．8．已知复数5 12z i =+，则z =（ ） A ．1 B C D ．5 9．若复数z 满足421i z i +=+，则z =（ ） A ．13i + B ．13i - C ．3i + D ．3i - 10．满足313i z i ?=-的复数z 的共扼复数是（ ） A ．3i - B ．3i -- C ．3i + D ．3i -+ 11．复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z z +；②z z -；③z z ?④z z ，其结果一定是实数的是（ ） A ．①② B ．②④ C ．②③ D ．①③ 12．复数 2i i -的实部与虚部之和为（ ） A ．35 B ．15- C ．15 D ． 35 13．设21i z i +=-，则z 的虚部为（ ）
高中数学高考总复习复 数习题 Last revised by LE LE in 2021
高中数学高考总复习复数习题一、选择题 1．复数3＋2i 2－3i ＝( ) A．i B．－i C．12－13i D．12＋13i 2．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( ) A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i 3．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i表示的点在虚轴上，则实数m的值是( ) A．－1 B．4 C．－1和4 D．－1和6 4．(文)已知复数z＝ 1 1＋i ，则z－·i在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 (理)复数z在复平面上对应的点在单位圆上，则复数z2＋1 z ( ) A．是纯虚数 B．是虚数但不是纯虚数C．是实数
D．只能是零 5．复数(3i－1)i的共轭复数 ．．．．是( ) A．－3＋i B．－3－i C．3＋i D．3－i 6．已知x，y∈R，i是虚数单位，且(x－1)i－y＝2＋i，则(1＋i)x－y的值为( ) A．－4 B．4 C．－1 D．1 7．(文)复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (理)现定义：e iθ＝cosθ＋isinθ，其中i是虚数单位，e为自然对数的底，θ∈R，且实数指数幂的运算性质对e iθ都适用，若a＝C50cos5θ－C52cos3θsin2θ＋ C 54cosθsin4θ，b＝C 5 1cos4θsinθ－C 5 3cos2θsin3θ＋C 5 5sin5θ，那么复数a＋b i等于 ( ) A．cos5θ＋isin5θ B．cos5θ－isin5θ C．sin5θ＋icos5θ D．sin5θ－icos5θ 8．(文)已知复数a＝3＋2i，b＝4＋xi(其中i为虚数单位)，若复数a b ∈R，则实数x 的值为( ) A．－6 B．6
一、复数选择题 1．已知复数1z i =+，则2 1z +=（ ） A ．2 B C ．4 D ．5 2．在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4 B ．()4,3- C ．43,55??- ??? D ．43,55?? - ??? 3．若复数1z i i ?=-+，则复数z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i 4．已知a 为正实数，复数1ai +（i 为虚数单位）的模为2，则a 的值为（ ） A B ．1 C ．2 D ．3 5．已知i 为虚数单位，若复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则z a +=（ ） A B ．3 C ．5 D ．6．若复数1z i =-，则1z z =-（ ） A B ．2 C ． D ．4 7．已知复数5 12z i =+，则z =（ ） A ．1 B C D ．5 8．若 1m i i +-是纯虚数，则实数m 的值为（ ）． A ．1- B ．0 C ．1 D 9．在复平面内，复数z 对应的点是()1,1-，则1 z z =+（ ） A ．1i -+ B ．1i + C ．1i -- D ．1i - 10．已知()312++=+a i i bi (,a b ∈R ，i 为虚数单位)，则实数+a b 的值为（ ） A ．3 B ．5 C ．6 D ．8 11．已知复数z 满足()1+243i z i =+，则z 的虚部是（ ） A ．-1 B ．1 C ．i - D ．i 12．若i 为虚数单位，,a b ∈R ，且2a i b i i +=+，则复数a bi -的模等于（ ） A B C D
复 数 知识回顾: 一、复数的概念 1. 虚数单位i （1） 它的平方等于1-，即2 i 1=-； （2） 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律． （3） i 的乘方：4414243*i 1,i i,i 1,i i,N n n n n n +++===-=-∈，它们不超出i b 的形式． 2. 复数的定义 形如i(,)R a b a b +∈的数叫做复数，单个复数常常用字母z 表示．把复数z 表示成i a b +时，叫做复数的代数形式．,a b 分别叫做复数的实部与虚部，记作Re ,Im z z ． 注意复数的实部和虚部都是实数． 3. 复数相等 如果两个复数1i(,)R z a b a b =+∈和2i(,)R z c d c d =+∈的实部和虚部分别相等，即,a c b d ==，那么这两个复数相等，记作i i a b c d +=+．一般的，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小． 4. 共轭复数 当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，也称这两个复数互相共轭．复数z 的共轭复数用z ，也就是当i z a b =+时，i z a b =-． a a =，i i b b =-． 二、复数的分类
正整数 有理数,Q Z q p q p ??=∈???? 零（0a b ==） 实数R ：（0b =） 负整数 复数C 无理数 i (,) R z a b a b =+∈ 纯虚数（0a =） 虚数（0b ≠） 非纯虚数（0a ≠） i z a b =+是实数0b z z ?=?=． i z a b =+是纯虚数0,00,0a b z z z ?=≠?+=≠． 三、复平面及复数的坐标表示 1. 复平面 在直角坐标系里，点z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i z a b =+可用点(,)Z a b 来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴为实轴，y 轴出去原点的部分称为虚轴． 2. 复数的坐标表示 一个复数i z a b =+对应了一个有序实数对(,)a b ；反之一个有序实数对(,)a b 对应了一个复数i a b +．在复平面内，复数i z a b =+与复平面内的点(,)Z a b 是一一对应的． 我们常把复数i a b +看作点(,)Z a b ． 3. 复数的向量表示
1. 计算：i i 31-=________. 2. 下面四种说法中，正确的是 （ ） A. 实数b a =，则()()i b a b a ++-是纯虚数； B. 模相等的复数为共轭复数； C. 如果z 是纯虚数，则z z ≠； D. 任何数的偶次幂不小于零.￥ 3. i i -+11的值为 4. 若复数i m m m m m z )34(3 222+-+--+=是纯虚数，则实数=m ￥ 5. 下列命题中，正确的命题是 。 （1）对任意两个复数y x ,，若满足y x >，则y x ,必定都是实数 （2）复数),(R b a bi a z ∈+=的虚部是bi （3）当0=a 时，复数),(R b a bi a z ∈+=为纯虚数 （4）因为i 表示虚数单位，所以它不是一个虚数 ￥ 6. 已知)(2)1(32 2yi x i i y x -=+-+，其中y x ,都是实数，求复数=+yi x ￥ 7. 已知i z m z -==2,21，若21z z >，则实数m 的取值范围是 8. 已知复数z 满足4=z ，若0Im Re =+z z ，则=z 9. 21z z =是21z z =的 条件。￥ 10. 复数R m i m m z ∈-++=,)23()1(，求复数z 的模的最小值为 11. 若实数z 满足53=+-i z ，则=z 12. 已知i a a a z )21()6(21-+--=，i a a a z )22()3(22+-+-=，其中R a ∈，若21z z =，则=a 13. 若集合},|2||{},,11|{C z z i z z N C z z z M ∈=-=∈=+=，则=?N M ￥ 14. 已知1,=∈z C z ，求2-z 的取值范围￥ 15. 若i z +=2，则2z 的共轭复数为 16. 计算：=????200953i i i i ΛΛ￥
高中数学复数的知识点总结 高中数学复数的知识点总结 定义 数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行。比如判别式小于0的一元二次方程仍无解，因此将数集再次扩充，达到复数范围。形如z=a+bi的数称为复数(complexnumber)，其中规定i为虚数单位，且i^2=i*i=-1(a，b是任意实数)我们将复数z=a+bi中的实数a称为复数z的实部(realpart)记作Rez=a实数b称为复数z的虚部(imaginarypart)记作Imz=b.已知：当b=0时，z=a，这时复数成为实数当a=0且b≠0时，z=bi，我们就将其称为纯虚数。 运算法则 加法法则 复数的加法法则：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。 即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 乘法法则 复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i^2=1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。 即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.
除法法则 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算， 即(a+bi)/(c+di) =[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)] =[(ac+bd)+(bc-ad)i]/(c^2+d^2). 开方法则 若z^n=r(cosθ+isinθ)，则 z=n√r[cos(2kπ+θ)/n+isin(2kπ+θ)/n](k=0，1，2，3……n-1) 复数中的难点 (1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明. (2)复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练. (3)复数的辐角主值的求法. (4)利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示，同时复数的.模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会.
高中数学高考总复习复 数习题及详解 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】
高中数学高考总复习复数习题及详解一、选择题 1．(2010·全国Ⅰ理)复数3＋2i 2－3i ＝( ) A．i B．－i C．12－13i D．12＋13i [答案] A [解析] 3＋2i 2－3i ＝ (3＋2i)(2＋3i) (2－3i)(2＋3i) ＝ 6＋9i＋4i－6 13 ＝i. 2．(2010·北京文)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( ) A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i [答案] C [解析] 由题意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中点C(x，y)，则x＝6－2 2 ＝2，y＝ 5＋3 2 ＝ 4， ∴点C对应的复数为2＋4i，故选C. 3．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i表示的点在虚轴上，则实数m的值是( ) A．－1 B．4 C．－1和4 D．－1和6 [答案] C [解析] 由m2－3m－4＝0得m＝4或－1，故选C.
[点评] 复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应点在虚轴上和z为纯虚数应加以区别．虚轴上包括原点(参见教材104页的定义)，切勿错误的以为虚轴不包括原点． 4．(文)已知复数z＝ 1 1＋i ，则z－·i在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案] B [解析] z＝1－i 2 ，z－＝ 1 2 ＋ i 2 ，z－·i＝－ 1 2 ＋ 1 2 i.实数－ 1 2 ，虚部 1 2 ，对应点 ? ? ? ? ? － 1 2 ， 1 2 在 第二象限，故选B. (理)复数z在复平面上对应的点在单位圆上，则复数z2＋1 z ( ) A．是纯虚数 B．是虚数但不是纯虚数 C．是实数 D．只能是零 [答案] C [解析] 解法1：∵z的对应点P在单位圆上，∴可设P(cosθ，sinθ)，∴z＝cosθ＋i sinθ. 则z2＋1 z ＝ cos2θ＋i sin2θ＋1 cosθ＋i sinθ ＝ 2cos2θ＋2i sinθcosθ cosθ＋i sinθ ＝2cosθ为实数． 解法2：设z＝a＋bi(a、b∈R)， ∵z的对应点在单位圆上，∴a2＋b2＝1，∴(a－bi)(a＋bi)＝a2＋b2＝1， ∴z2＋1 z ＝z＋ 1 z ＝(a＋bi)＋(a－bi)＝2a∈R. 5．(2010·广州市)复数(3i－1)i的共轭复数 ．．．．是( )
高考数学专题讲解：复数 第一部分：n i 和 n i 1的题型 【题型一】：计算n i 。 第一种类型：当n 为偶数时： 2 22 2)(n n n i i i ==?，2 222)1()(1n n n i i i -==?-=。 第一种：当2n 为奇数：1)1(1)1(22-=-=?-=-n n n i 。 第二种：当2n 为偶数：1)1(1)1(22=-=?=-n n n i 。 第二种类型：当n 为奇数时： i i i i i i i n n n n ?=?=?=--? -2 12 2 121 ) (，i i i i i n n n ?-=?=?-=--2 12 12 2) 1() (1。 第一种：当21 -n 为奇数：i i i i n n n -=?-=?-=?-=---1)1(1) 1(2 12 1。 第二种：当21 -n 为偶数：i i i i n n n =?=?-=?=---1) 1(1) 1(2 12 1。 例题一：化简：2020i 。 本题解析：1)1()(101010102101022 202022020 =-====?? i i i i 。 例题二：化简：999i 。 本题解析：i i i i i i i i i i i i -=?-=?-=?=?=?=?=?? 1)1()(499499249922 9982998 999 。 【训练】：化简下列复数关系式。 （Ⅰ）1482i ；（Ⅱ）383i ；（Ⅲ）1405i ；（Ⅳ）88i 。 【训练参考答案】：（Ⅰ）1)1()(741741274122 1482 21482 -=-====?? i i i i ； （Ⅱ）i i i i i i i i i i i i -=?-=?-=?=?=?=?=?? 1)1()(191191219122 3822382 383 ；
复数是高中代数的重要内容，在高考试题中约占8％-10％，一般的出一道基础题和一道中档题，经常与三角、解析几何、方程、不等式等知识综合．本章主要内容是复数的概念，复数的代数、几何、三角表示方法以及复数的运算．方程、方程组，数形结合，分域讨论，等价转化的数学思想与方法在本章中有突出的体现．而复数是代数，三角，解析几何知识，相互转化的枢纽，这对拓宽学生思路，提高学生解综合习题能力是有益的．数、式的运算和解方程，方程组，不等式是学好本章必须具有的基本技能．简化运算的意识也应进一步加强．在本章学习结束时，应该明确对二次三项式的因式分解和解一元二次方程与二项方程可以画上圆满的句号了，对向量的运算、曲线的复数形式的方程、复数集中的数列等边缘性的知识还有待于进一步的研究． 1．知识网络图 2．复数中的难点 (1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明. (2)复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练. (3)复数的辐角主值的求法. (4)利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会. 3．复数中的重点 (1)理解好复数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点. (2)熟练掌握复数三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出复数的模和辐角.复
数有代数，向量和三角三种表示法.特别是代数形式和三角形式的互化，以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到，是一个重点内容. (3)复数的三种表示法的各种运算，在运算中重视共轭复数以及模的有关性质.复数的运算是复数中的主要内容，掌握复数各种形式的运算，特别是复数运算的几何意义更是重点内容. （4）复数集中一元二次方程和二项方程的解法. （注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注！）
高中数学《复数》练习题 一．基本知识：复数的基本概念 （1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部 实数：当b = 0时复数a + b i 为实数 虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数； 纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数 （2）两个复数相等的定义： 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且 （3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-； （4）复平面： z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习） （5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模； 二．复数的基本运算：设111z a b i =+，222z a b i =+ （1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++； （2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-； （3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。 （4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-?????? 三．复数的化简 c di z a bi +=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22 ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+ 四．例题分析 【例1】已知()14z a b i =++-，求 （1）当,a b 为何值时z 为实数（2）当,a b 为何值时z 为纯虚数 （3）当,a b 为何值时z 为虚数（4）当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。 【变式1】若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为 A ．1- B ．0 C 1 D ．1-或1 【例2】已知134z i =+；()()234z a b i =-+-，求当,a b 为何值时12=z z 【例3】已知1z i =-，求z ，z z ?； 【变式1】复数z 满足21i z i -=-，则求z 的共轭z
【1】复数的基本概念 （1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部 实数：当b = 0时复数a + b i 为实数 虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数； 纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数 （2）两个复数相等的定义： 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且 （3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-； （4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习） （5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模； 【2】复数的基本运算 设111z a b i =+，222z a b i =+ （1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++； （2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-； （3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。 （4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-?????? 【3】复数的化简 c di z a bi +=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22 ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=?≠+，当c d a b =时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi +==+进一步建立方程求解 【例4】 若复数 ()312a i z a R i +=∈-（i 为虚数单位），
复数 一、复数的概念 1. 虚数单位i （1） 它的平方等于1-，即 2i 1=-； （2） 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律． （3） i 的乘方： 4414243*i 1,i i,i 1,i i,N n n n n n +++===-=-∈，它们不超出i b 的形式． 2. 复数的定义 （1）形如i(,)R a b a b +∈的数叫做复数， ,a b 分别叫做复数的实部与虚部 （2） 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R)是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0. 3. 复数相等 i i a b c d +=+，即,a c b d ==，那么这两个复数相等 4. 共轭复数 i z a b =+时，i z a b =-． 性质：z z =； 2121z z z z ±=±；1121z z z z ?=?； ); 0()(22 12 1≠= z z z z z 二、复平面及复数的坐标表示 1. 复平面 在直角坐标系里，点z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i z a b =+可用点(,)Z a b 来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴为实轴，y 轴出去原点的部分称为虚轴． 2. 复数的坐标表示 点(,)Z a b 3. 复数的向量表示 向量OZ uuu r ．
4. 复数的模 在复平面内，复数i z a b =+对应点(,)Z a b ，点Z 到原点的距离OZ u u u r 叫做复数z 的模，记作z ．由 定义知，z = 三、复数的运算 1. 加法 (i)(i)()()i a b c d a c b d +++=+++． 几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =u u u u r ，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =u u u u r ，则12z z +对应的向量为12(,) OZ OZ a c b d +=++u u u u r u u u u r ．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释． 2. 减法 (i)(i)()()i a b c d a c b d +-+=-+-． 几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =u u u u r ，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =u u u u r ，则12z z -对应的向量为1221(,) OZ OZ Z Z a c b d -==--u u u u r u u u u r u u u u r ． 12()()i z z a c b d -=-+-=1 Z 、2Z 两点之间的距离，也等于向量12Z Z u u u u r 的模． 3. 乘法 ()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±. 4. 乘方 m n m n z z z +?= ()m n mn z z = 1212()n n n z z z z ?=? 5. 除法 ()()()()()()()()22 a bi c di ac bd bc ad i a bi a bi c di c di c di c di c d +-++-++÷+===++-+. 6. 复数运算的常用结论 （1） 222(i)2i a b a b ab +=-+， 22(i)(i)a b a b a b +-=+ （2） 2(1i)2i +=， 2(1i)2i -=- （3） 1i i 1i +=-， 1i i 1i -=-+