第五章二次型
5.1. 二次型及其矩阵表示
5.1.1. 二次型的定义、二次型的矩阵(是对称矩阵)及矩阵表示.
注: 二次型的矩阵表示、内积的矩阵表示、双线性函数的矩阵表示的对比.
5.1.2. 二次型的非退化线性替换的定义；经非退还线性替换后，新老两个二次型的矩阵的关系（会推导）.
5.1.3. 矩阵合同的定义.
注: 为什么要引入该定义?
5.2. 标准形
5.2.1. 二次型的标准形的定义及存在性(不唯一),任一对称矩阵都与对角矩阵合同.
5.2.2.配方法化二次型为标准形,合同变换法化对称矩阵为对角阵.
5.3. 唯一性
5.3.1.复二次型的规范形.
5.3.2.实二次型的规范形,惯性定理说明实二次型的规范形的存在性和唯一性,实二次型的正惯性指数, 负惯性指数以及符号差的定义. 实二次型的规范形的一些应用(书上哪些习题可以用此来解答?).
5.3.3.复对称矩阵和实对称矩阵分别与怎样的最简单的对角阵合同?
5.4. 正定二次型
5.4.1.实二次型和实对称矩阵的分类:正定,半正定,负定,半负定,不定.
5.4.2.正定矩阵的一些等价条件:
(1) 正定矩阵的定义;
(2) 合同于单位矩阵;
(3) 所有顺序主子式大于0;
(4) 所有特征值大于0.
正定矩阵的一些必要但不充分条件: (1)|A|>0;(2)所有对角线上的元素都大于0；(3)所有主子式都大于0.
注：这些等价、必要条件的推导.还要会用实对称矩阵正交相似于对角阵这一结果来判定实对称矩阵的正定性.
5.4.3.列举出一些半正定矩阵的等价条件和必要条件.
第六章线性空间
6.1. 集合映射
单射、满射、双射的定义及证明；可逆映射的定义及等价条件（即双射）.
6.2. 线性空间的定义与简单性质
线性空间的定义,即非空集合,加法运算和数乘运算(封闭),8条运算规则.
6.3. 维数、基与坐标
6.3.1. 维数、基与坐标的定义(会求给定空间的维数、基以及给定向量在给定基下的坐标).
6.3.2. 一些常见空间的基和维数,例如n P ,[]n P x ,s n P ?,n n P ?中全体对称
(反对称/上三角形)矩阵形成的线性空间,L(V)等.
6.4. 基变换与坐标变换
不同基之间的过渡矩阵,一个向量在不同基下的坐标之间的关系(会推导).
注: (1)要联系线性变换在某组基下的矩阵、一个向量在线性变换作用下的像的坐标;(2) P271的习题2.
6.5. 线性子空间
6.5.1. 线性子空间的定义及判定（如何判定？）.
6.5.2.生成子空间的定义、维数、基（如何求？）.
6.5.3.扩基定理.与第九章的扩充为正交基进行对比.书上哪些定理的证明和习题的证明用到扩基定理？
6.6. 子空间的交与和
6.6.1.交空间、和空间的定义以及这两子空间的元素的特征.
6.6.2.会求两个生成子空间的交空间、和空间.
6.6.3.维数公式（会证明）及其应用.
6.7. 子空间的直和
6.7.1.子空间的直和的定义（为什么要引入该定义？）.
6.7.2.两个子空间的和是直和的判别条件（列举出4个，并知道哪些是常用的）.
6.7.3.如何证明12V V V =⊕？
6.7.4.多个子空间是直和的判别条件（列举出3个，并会证明）.
6.7.5. 余子空间的定义和构造.（余子空间是否唯一？与正交补进行比较）
6.8. 线性空间的同构
线性空间同构的定义，并会用该定义证明两线性空间同构，会构造V 与n
P 之间的同构映射,知道两线性空间同构的等价条件为它们的维数相等..
第七章 线性变换
7.1. 线性变换的定义
线性变换的定义（熟记），列举出一些线性变换的简单性质并会证明.
7.2. 线性变换的运算
线性变换的加法、减法、数乘、乘法、逆、方幂的定义及运算规律；线性变换的多项式.
注：与矩阵的相应运算进行比较.
7.3. 线性变换的矩阵
7.3.1. 任意n个向量可唯一确定一个线性变换(如何确定？见P283 定理1). 7.3.2. 线性变换在某组基下的矩阵的定义，线性变换与矩阵的对应关系：线性变换的和、差、数乘、乘积、逆对应矩阵的和、差、数乘、乘积、逆，单位变换、零变换分别对应单位矩阵和零矩阵（会用数学式子表示这种对应，会推导）.
7.3.3.向量ξ的坐标与Aξ的坐标之间的关系,同一个线性变换在不同基下的矩
阵之间的关系（会推导）.
7.3.4.两个矩阵相似的定义（为什么引入该定义？），如何判别两个矩阵相似？
7.4. 特征值与特征向量
7.4.1.线性变换和矩阵的特征值和特征向量的定义（为什么要引入该定义？）.如何求线性变换和矩阵的特征值和特征向量？线性变换和矩阵的特征值和特征向量之间的关系如何？（掌握求特征值和特征向量的步骤）
7.4.2. 线性变换和矩阵的特征多项式的定义.相似矩阵有哪些相似不变量，例如：行列式、特征多项式、特征值、最小多项式、不变因子、行列式因子、初等因子等.
7.4.3.哈密顿-凯莱定理及其应用(例如：P309定理12，P326习题3),矩阵的迹的定义，列举出一些矩阵迹的性质（例如：.迹是所有特征值的和；tr(AB)=tr(BA)；
2
tr A tr AA
≤）.
()(')
7.5. 对角矩阵
7.5.1.矩阵特征值特征向量的一些性质（不同特征值的特征向量线性无关；实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交；属于不同特征值的特征向量的和不是特征向量）
7.5.2.列举出矩阵可对角化的一些充要条件和一些充分条件.
充要条件：
（1）有n个线性无关的特征向量；
（2）所有特征值的重数与其几何重数相等（特征值λ的几何重数指的是
λ-=的基础解系所含解向量的个数）；
E A X
()0
（3）最小多项式没有重根；
（4）初等因子都是1次因式.
7.5.3.若矩阵可对角化，如何对角化？
7.6. 线性变换的值域与核
7.6.1.线性变换的值域和核的定义. 值域和核是子空间，它们中的元素有什么特征？
7.6.2.值域如何用生成子空间来表示？值域的维数（线性变换的秩）与线性变换的矩阵的秩的关系如何？，值域的维数与核的维数（线性变换的零度）的和为多少？并会证明这两种关系.
7.7. 不变子空间
7.7.1.不变子空间的定义.线性变换在不变子空间上的限制成为该子空间上的一个线性变换，该限制与原变换之间的区别是什么？举出一些特殊的不变子空间.
7.7.2.会用定义证明一个子空间是一个线性变换的不变子空间.
7.7.3.不变子空间在矩阵A 相似于一个准对角矩阵方面的应用.
7.8. 若尔当标准形介绍
若尔当块、若尔当矩阵的定义，任何方阵都唯一存在若尔当标准形，即相似于一个若尔当矩阵.
7.9. 最小多项式
最小多项式的定义，性质，求法，与不变因子的关系，应用.
第八章 λ-矩阵
8.1.矩阵A 的特征矩阵及其初等变换，数字矩阵相似的条件,A 的不变因子、行列式因子、初等因子、最小多项式的求法及其关系，以及若尔当标准形的求法.
8.2.A 的有理标准形的求法.
8.3.利用若尔当块、若尔当矩阵的性质以及A 相似于一个若尔当矩阵证明某些命题.
第九章 欧几里得空间
9.1. 定义及基本性质
9.1.1. 内积的定义及其简单性质，欧式空间的定义,向量的正交的定义，会求向量的内积、长度、夹角.
9.1.2.柯西-布涅科夫斯基不等式、三角不等式,勾股定理（会推导）.
9.1.3.内积的矩阵表示（会推导）
9.1.4.基在某内积下的度量矩阵的定义及其性质（正定）,不同基在同一内积下的度量矩阵之间的关系（合同）（会推导）.
9.2. 标准正交基
9.2.1.标准正交基的定义，如何判定一组基是标准正交基？标准正交基的度量矩阵，内积在标准正交基下的矩阵表示.
9.2.2.正交向量组扩充为正交基（或单位正交向量组扩充为标准正交基）的应用（书上有哪些结论的证明和习题的证明用到了该性质？）
9.2.3.掌握施密特正交化过程及相应的向量表示，即：
1212(,,,)(,,,)n n T ηηηεεε=
其中12,,,n εεε 是任一组基，12,,,n ηηη 是由12,,,n εεε 经施密特正交化后得到的标准正交基，矩阵T 是一个对角线上元素都大于0的上三角形矩阵。正交矩阵的分解（见P394 习题14）.
9.2.4.两组标准正交基之间的过渡矩阵的性质（即AA ’=E ）（会推导）.
9.2.5.正交矩阵的定义，正交矩阵的性质（例如：两个正交矩阵的乘积还是正交
阵，正交矩阵的逆、转置和伴随矩阵也还是正交矩阵，正交矩阵的行列式为正负1，正交矩阵的特征值为正负1）.
9.3. 同构
欧式空间的同构的定义及等价条件（与线性空间同构比较）.
9.4. 正交变换
9.4.1.正交变换的定义，正交变换的判定条件，正交变换与正交矩阵之间的对应关系.
9.4.2.正交变换的分类，两类正交变换都有些什么性质(例如奇数维欧几里得空间的第一类正交变换，必以1为特征值，偶数维欧几里得空间的第二类正交变换，必以1-为特征值)？镜面反射的定义.
9.5. 子空间
9.5.1.向量与子空间的正交，子空间与子空间的正交.
9.5.2.正交补的定义、表示(正交补中元素的特征)及性质.
9.6. 实对称矩阵的标准形
9.6.1.实（反）对称矩阵的性质（例如：实对称矩阵的特征值都是实数；
实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量必正交；实对称矩阵必可正交对角化；实反对称矩阵的特征值都是零或纯虚数）.
9.6.2. （反）对称变换的定义，（反）对称变换与（反）对称矩阵之间的对应关系.对称变换的性质.
9.6.3.实对称矩阵的正交相似对角矩阵的求解过程以及运用
11'(')A T T T T T AT T AT --=Λ=Λ==Λ或
证明某些问题，其中T 是正交矩阵，Λ是对角矩阵，其对角线上元素为A 的特征值.
9.6.4.实二次型经正交线性替换化为标准形.
9.7. 向量到子空间的距离、最小二乘法
9.7.1.向量到子空间各向量的距离以垂线为最短.
9.7.2.最小二乘解的求法.
9.8. 酉空间介绍
酉空间里的相关概念和结论与欧式空间中相应的概念和结论的对比：
内积，酉矩阵（正交矩阵），酉变换（正交变换），埃尔米特矩阵（实对称矩阵），对角化.
第10章 双线性函数与辛空间
10.1.线性函数的定义，定理1.
10.2.对偶空间，对偶基及对偶基之间的过渡矩阵，V 与V**的同构映射.
10.3.双线性函数的定义（内积的推广），双线性函数的度量矩阵，双线性函数
的矩阵表示，不同基在同一个双线性函数下的度量矩阵之间的关系（合同）.
高等数学II 试题 一、填空题（每小题3分，共计15分） 1．设(,)z f x y =由方程xz xy yz e -+=确定，则 z x ?= ? 。 2．函数 23 2u xy z xyz =-+在点0(0,1,2)P --沿方向l = 的方向导数最大。 3．L 为圆周2 2 4x y +=，计算对弧长的曲线积分?+L ds y x 22= 。 4．已知曲线23 ,,x t y t z t ===上点P 处的切线平行于平面22x y z ++=，则点P 的坐标为 或 。 5．设()f x 是周期为2的周期函数，它在区间(1, 1]-的定义为 210()01x f x x x -<≤?=? <≤?，则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于 。 二、解答下列各题（每小题7分，共35分） 1．设) ,(y x f 连续，交换二次积分 1 201(,)x I dx f x y dy -=??的积分顺序。 2．计算二重积分D ，其中D 是由y 轴及圆周22 (1)1x y +-=所 围成的在第一象限内的区域。 3．设Ω是由球面z =z =围成的区域，试将三重 积分 222()I f x y z dxdydz Ω =++???化为球坐标系下的三次积分。 4．设曲线积分[()]()x L f x e ydx f x dy --?与路径无关，其中()f x 具有一阶连 续导数，且(0)1f =，求()f x 。 5．求微分方程2x y y y e -'''-+=的通解。 三、(10分)计算曲面积分 2 y dzdx zdxdy ∑ +??，其中∑是球面 2224(0)x y z z ++=≥的上侧。 四、(10分)计算三重积分()x y z dxdydz Ω ++???，其中Ω由2 2z x y =+与1 z =围成的区域。 五、(10分)求22 1z x y =++在1y x =-下的极值。 六、(10分)求有抛物面22 1z x y =--与平面0z =所围立体的表面积。
高等数学公式大全 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高数下册知识点-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高等数学下册知识点 第八章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算 1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面； 2、 线性运算：加减法、数乘； 3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式； 4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ，),,(z y x b b b b = ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=± , ),,(z y x a a a a λλλλ= ； 5、 向量的模、方向角、投影： 1） 向量的模：222z y x r ++= ； 2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-= 3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,, 4） 方向余弦：r z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα 5） 投影：?cos Pr a a j u =，其中?为向量a 与u 的夹角。 （二） 数量积，向量积 1、 数量积：θcos b a b a =? 1）2 a a a =? 2）?⊥b a 0=?b a z z y y x x b a b a b a b a ++=? 2、 向量积：b a c ?= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则 1）0 =?a a
2）b a //?0 =?b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =? 运算律：反交换律 b a a b ?-=? （三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S 2、 旋转曲面：（旋转后方程如何写） yoz 面上曲线0),(:=z y f C ， 绕y 轴旋转一周： 0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f 3、 柱面：（特点） 0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为?????==0 0),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面（会画简图） 1） 椭圆锥面：22222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 2222=++c z b y a x 旋转椭球面：122 2222=++c z a y a x 3） *单叶双曲面：122 2222=-+c z b y a x
大一经典高数复习资料经典最新(经典全面复习)
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高等数学(本科少学时类型) 第一章 函数与极限 第一节 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）(★★★) ○邻域（去心邻域)(★) (){} ,|U a x x a δδ=-< (){},|0U a x x a δδ=<-< 第二节 数列的极限 ○数列极限的证明（★) 【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞ = 【证明示例】N -ε语言 1．由n x a ε-<化简得()εg n >, ∴()N g ε=???? 2.即对0>?ε,()N g ε?=????,当N n >时,始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞ →lim 第三节 函数的极限 ○0x x →时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0 lim 【证明示例】δε-语言 １．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<， ∴()εδg = 2．即对0>?ε,()εδg =?,当00x x δ<-<时,始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0 lim ○∞→x 时函数极限的证明（★) 【题型示例】已知函数()x f ,证明()A x f x =∞ →lim 【证明示例】X -ε语言 1.由()f x A ε-<化简得()x g ε>, ∴()εg X = ２.即对0>?ε，()εg X =?，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞ →lim 第四节 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质(★） 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★) (定理三）假设()x f 为有界函数,()x g 为无穷小, 则()()lim 0f x g x ?=???? （定理四)在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大,则()1f x -为无穷小;反之，若()x f 为无穷小,且()0f x ≠，则()x f 1 -为无穷大 【题型示例】计算：()()0 lim x x f x g x →?????（或∞→x ） １.∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U 内是有界的； (∵()f x ≤M ,∴函数()f x 在D x ∈上有界；） ２．()0lim 0 =→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小; （()0lim =∞→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；) 3．由定理可知()()0 lim 0x x f x g x →?=???? （()()lim 0x f x g x →∞ ?=????） 第五节 极限运算法则 ○极限的四则运算法则（★★） (定理一）加减法则 (定理二）乘除法则 关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算 设:()()?????+?++=+?++=--n n n m m m b x b x b x q a x a x a x p 1 101 10 则有()()???????∞=∞→0 lim 0 b a x q x p x m n m n m n >=< ()()() ()000lim 0 0x x f x g x f x g x →?? ??=∞????? ()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠== (特别地，当()()00 lim 0 x x f x g x →=（不定型）时，通常分子 分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解) 【题型示例】求值2 3 3 lim 9 x x x →--
第八章 向量与解析几何 向量代数 定义 定义与运算的几何表达 在直角坐标系下的表示 向量 有大小、有方向. 记作a 或AB a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++= ,,x x y y z z a prj a a prj a a prj a === 模 向量a 的模记作a a 222x y z a a a =++ 和差 c a b =+ c a b =－ =±c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b 单位向量 0a ≠，则与a 同向的单位向量为a a e a = a e 2 2 2 (,,)= ++x y z x y z a a a a a a 方向余弦 设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，cos cos y x z a a a a a a αβγ== = ，cos ，cos cos a e αβγ=(，cos ，cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos 点乘（数量积） θcos b a b a =?， θ为向量a 与b 的夹 角 z z y y x x b a b a b a ++=?b a 叉乘（向量积） b a c ?= θsin b a c = θ为向量a 与b 的夹角 向量c 与a ，b 都垂直且右手系 z y x z y x b b b a a a k j i b a =? 定理与公式 垂直 0a b a b ⊥??= 0x x y y z z a b a b a b a b ⊥?++= 平行 //0a b a b ??= //y z x x y z a a a a b b b b ?== 交角余弦 两向量夹角余弦b a b a ?=θcos 2 2 2 2 2 2 cos x x y y z z x y z x y z a b a b a b a a a b b b θ++= ++?++ 投影 向量a 在非零向量b 上的投影 cos()b a b prj a a a b b ∧ ?== 2 2 2 x x y y z z b x y z a b a b a b prj a b b b ++= ++ 平面 直线 法向量{,,}n A B C = 点),,(0000z y x M 方向向量{,,}T m n p = 点),,(0000z y x M 方程名称 方程形式及特征 方程名称 方程形式及特征 一般式 0=+++D Cz By Ax 一般式 ?? ?=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A
第八、九章向量代数与空间解析几何总结
或 n (f x(X o,y。)，f y(x°,y°), 1) 法“线“方程： x x g y y g z z g f x(X°,y°) f y (x g, y g) 1 第十章总结 重积分 积分类型计算方法典型例题 重积分利用直角坐标系 b 2(X) X —型f (x, y)dxdy dx 1 (x) D a Y—型f(x, y)dxdy d 2( y) dy 1( y) D c f(x,y)dy f(x,y)dx P141—例1、例3 I f x,yd D 平面薄片的质 量 质量=面密度面 积使用原则 (1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧，直线段)； (2) 被积函数用极坐标变量表示较简单(含(x2y2),为实数) P147—例5 f( cos , sin ) d d f ( cos , sin ) d (1) (2)利用极坐标系 4 D 2()
0 2 0 (3)利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性 当D 关于y 轴对称时，(关于x 轴对称时，有类似结论) f (x, y)对于x 是奇函数, 即口 x,y) f (x,y) I 2 f(x,y)dxdy f(x, y)对于 x 是偶函数， D 1 即f( x, y) f(x,y) 。1是。的右半部分 P141—例 2 应用该性质更方便 计算步骤及注意事项 画出积分区域 选择坐标系 3. 4. 确定积分限 确定积分次序 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数 关 于坐标变量易分离 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域
《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π=b a 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+
A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21.
高数下册总复习知识点 归纳 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】
第八、九章 向量代数与空间解析几何总结 向量代数 定义 定义与运算的几何表达 在直角坐标系下的表示 向量 有大小、有方向. 记作a 或AB a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++= ,,x x y y z z a prj a a prj a a prj a === 模 向量a 的模记作a a 222x y z a a a =++ 和差 c a b =+ c a b =－ =+c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b 单位向量 0a ≠，则a a e a = a e 2 2 2 (,,)= ++x y z x y z a a a a a a 方向余弦 设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，cos cos y x z a a a a a a αβγ= == ，cos ，cos cos a e αβγ=(，cos ，cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos 点乘（数量 积） θcos b a b a =?， θ为向量a 与b 的夹角 z z y y x x b a b a b a ++=?b a 叉乘（向量 积） b a c ?= θsin b a c = θ为向量a 与b 的夹角 向量c 与a ，b 都垂直 z y x z y x b b b a a a k j i b a =? 定理与公式 垂直 0a b a b ⊥??= 0x x y y z z a b a b a b a b ⊥?++= 平行 //0a b a b ??= //y z x x y z a a a a b b b b ? == 交角余弦 两向量夹角余弦b a b a ?=θcos 2 2 2 2 2 2 cos x x y y z z x y z x y z a b a b a b a a a b b b θ++= ++?++ 投影 向量a 在非零向量b 上的投影 cos()b a b prj a a a b b ∧?== 2 2 2 x x y y z z b x y z a b a b a b prj a b b b ++= ++ 平面 直线 法向量{,,}n A B C = 点),,(0000z y x M 方向向量{,,}T m n p = 点),,(0000z y x M 方程名称 方程形式及特征 方程名称 方程形式及特征 一般式 0=+++D Cz By Ax 一般式 ?? ?=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A
初中数学总复习提纲 第一章 实数 ★重点★ 实数的有关概念及性质，实数的运算 ☆容提要☆ 一、重要概念 1．数的分类及概念 说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏）2）有标准 2．非负数：正实数与零的统称。（表为：x ≥0） 常见的非负数有： 性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。 3．倒数： ①定义:如果两个数的乘积为1.那么这两个数互为倒数. ②性质：A.a ≠1/a （a ≠±1）;B.1/a 中，a ≠0;C.0＜a ＜1时1/a ＞1;a ＞1时，1/a ＜1;D.积为1。 4．相反数： ①定义:如果两个数的和为0.那么这两个数互为相反数. ②求相反数的公式: a 的相反数为-a. ③性质：A.a ≠0时，a ≠-a;B.a 与-a 在数轴上的位置关于原点对称;C.两个相反数 的和为0,商为-1。 5．数轴： ①定义（“三要素”）:具有原点、正方向、单位长度的直线叫数轴. ②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.所有的有理数可以在数轴上表示出 都可以在数轴上表示出来，故数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，数轴上的点与实数是一一对应关系。 6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数） 定义及表示： 奇数：2n-1 偶数：2n （n 为自然数） 实数 无理数(无限不循环小数) 有理数 正分数 负分数 正整数0 负整数 (有限或无限循环小数) 整数 分数 正无理数 负无理数 0 实数 正数 │a │ 2a a (a ≥0) (a 为一切实数)
7．绝对值： ①代数定义：正数的绝对值是它的本身，0的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数。 几何定义：数a 的绝对值顶的几何意义是实数a 在数轴上所对应的点到原点的距离。 ②│a │≥0,符号“││”是“非负数”的标志; ③数a 的绝对值只有一个; ④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。 11．科学记数法：N=n a 10?（1≤a ＜10，n 是整数）。（1）当N 是大于1的数时，n ＝N 的整 数位数减去1。如：3 3241.56 3.2415610=?.(2) 当N 是小于1的数时，n ＝N 的第一个有效数字前0的 个数.如:5 0.0000324156 3.2415610-=? 12 有效数字：从左边第一个不是0的数字起到右边的所有数字止，所有的数字叫这个数的有效数 字。如：0.004015,有效数字是4,0,1,5.一共四个.又如:0.00401500,有效数字是4,0,1,5,0,0,一共六个. 二、实数的运算 1 运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方） 2 运算定律（五个:加法交换律,加法结合律; 乘法交换律,乘法结合律,乘法对加法的分配律） 3 运算顺序：高级运算到低级运算，同级运算从左到右（如5÷ 5 1 ×5），有括号时由小。 4 逆运算：加法与减法互为逆运算，乘法与除法互为逆运算，乘方与开方互为逆运算。 三、应用举例（略） 附：典型例题 1． 已知：a 、b 、x 在数轴上的位置如下图，求证：│x-a │+│x-b │=b-a. 2.已知：a-b=-2且ab<0，（a ≠0，b ≠0），判断a 、b 的符号。 第二章 代数式 ★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算 ☆容提要☆ 一 重要概念 分类： 1.代数式、有理式、无理式 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。 。没有根号的代数式叫有理式。如：a 、22 a b +。整式 和分式统称为有理式。 2.整式和分式 a(a≥0) -a(a<0) │a │= a x b 单项式 多项式 整式 分 有理式 无理式 代数式
宿迁泽达职业技术学院20 11级清考试卷 《高等数学》试卷 （闭卷）（A 卷） 出卷人： 高超 … 一、选择题（每题5分，共25分） 1、设函数f （x ）在[0,1]内可导，且0)('>x f ,则（ ） A 、f(x)<0 B 、f(1)>0 C 、f(1)>f(0) D 、f(1) { 1、设函数f(x)在x 0处可导，则f(x)在x 0取得极值的必要条件是=)('x f 2、函数y=f(x)的自变量x 从x 0的左邻域变到右邻域时，)('x f 的符号由负变正，则x=x 0是函数y=f(x)的 点。 3、若连续函数f(x)在区间[a,b]内恒有0)('>x f ，则此函数在[a,b]上的最大值是 4、若y=f （x ）与y=g(x)是[a,b]上的两条光滑曲线的方程，则由这两条曲线及直线x=a,x=b 所围成的平面区域的面积为 5、将曲线y=x 2，X 轴及直线x=2所围成的平面图形绕X 轴旋转成的旋转体的体积应该为 三、计算题（每题5分，共20分） 1、 求下列函数的导数 y=x 2(e x +sinx) x y 3sin 3= ~ 2、 求下列不定积分 ?dx xe x ?xdx x ln & 高等数学下册公式总结 1、N 维空间中两点之间的距离公式：1212,,,n ,,,n p(x x ...x ),Q(y y ...y )的距离 PQ = 2、多元函数z f(x,y)=求偏导时，对谁求偏导，就意味着其它的变量都暂时 看作常量。比如，z x ??表示对x 求偏导，计算时把y 当作常量，只对x 求导 就可以了。 3、二阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求导次序无关，即22z z x y y x ??=????。 4、多元函数z f(x,y)=的全微分公式： z z dz dx dy x y ??= +??。 5、复合函数z f(u,v),u (t),v (t)φ?===，其导数公式： dz z du z dv dt u dt v dt ??=+ ??。 6、隐函数F(x,y)=0的求导公式： X y F dy dX F '=-'，其中x y F ,F ''分别表示对x,y 求偏导数。 方程组的情形：0 F(x,y,u,v){ G(x,y,u,v)==的各个偏导数是： F F v x G G u x v x F F u v G G u v ?=-?，F F u x G G v u x x F F u v G G u v ?=-?，F F y v G G y v u y F F u v G G u v ?=-?， F F y u G G u y v y F F u v G G u v ?=- ?。 7、曲线Γ的参数方程是：x (t),y (t),z (t)?φω===，则该曲线过点 000M(x ,y ,z )的法平面方程是： 0000000(t )(x x )(t )(y y )(t )(z z )?φω'''-+-+-= 切线方程是： 000000(x x )(y y )(z z ) (t )(t )(t ) ?φω---=='''。 高数重要知识点总结怎么写 高数重要知识点总结怎么写 高数指相对于初等数学而言，数学的对象及方法较为繁杂的一部分。高数重要知识点总结怎么写的呢，我们来看看。 高数重要知识点总结怎么写一 1.函数、极限与连续 重点考查极限的计算、已知极限确定原式中的未知参数、函数连续性的讨论、间断点类型的判断、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间上零点的个数、确定方程在给定区间上有无实根。 2.一元函数微分学 重点考查导数与微分的定义、函数导数与微分的计算(包括隐函数求导)、利用洛比达法则求不定式极限、函数极值与最值、方程根的个数、函数不等式的证明、与中值定理相关的证明、在物理和经济等方面的实际应用、曲线渐近线的求法。 3.一元函数积分学 重点考查不定积分的计算、定积分的计算、广义积分的计算及判敛、变上限函数的求导和极限、利用积分中值定理和积分性质的证明、定积分的几何应用和物理应用。 4.向量代数与空间解析几何(数一) 主要考查向量的运算、平面方程和直线方程及其求法、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系(平 行、垂直、相交等))解决有关问题等，该部分一般不单独考查，主要作为曲线积分和曲面积分的基础。 5.多元函数微分学 重点考查多元函数极限存在、连续性、偏导数存在、可微分及偏导连续等问题、多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数求法、有条件极值和无条件极值。另外，数一还要求掌握方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。 6.多元函数积分学 重点考查二重积分在直角坐标和极坐标下的计算、累次积分、积分换序。此外，数一还要求掌握三重积分的计算、两类曲线积分和两种曲面积分的计算、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式。 7.无穷级数(数一、数三) 重点考查正项级数的基本性质和敛散性判别、一般项级数绝对收敛和条件收敛的判别、幂级数收敛半径、收敛域及和函数的求法以及幂级数在特定点的展开问题。 8.常微分方程及差分方程 重点考查一阶微分方程的通解或特解、二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解、微分方程的建立与求解。此外，数三考查差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法。数一还要求会伯努利方程、欧拉公式等。 高数重要知识点总结怎么写二 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积 第7章：微分方程 一、微分方程的相关概念 1. 微分方程的阶数：方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶. 2. 微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解. 通解：所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同的解称为微分方程的通解. 特解：确定了任意常数的通解称为微分方程的特解. 3. 特解与通解的关系：可通过初始条件确定通解中的常数而得到满足条件的特解； 也可通过方程的表达式直接观察得到特解，因此特解不总包含在通解中. 二、微分方程的常见类型及其解法 1. 可分离变量的微分方程及其解法 (1).方程的形式：dx x f dy y g )()(=. (2). 方程的解法：分离变量法 (3). 求解步骤 ①. 分离变量，将方程写成dx x f dy y g )()(=的形式； ②. 两端积分： ??=dx x f dy y g )()(，得隐式通解C x F y G +=)()(； ③. 将隐函数显化. 2. 齐次方程及其解法 (1).方程的形式： ?? ? ??=x y dx dy ?. (2).方程的解法：变量替换法 (3). 求解步骤 ①．引进新变量x y u = ，有ux y =及dx du x u dx dy +=； ②．代入原方程得：)(u dx du x u ?=+； ③．分离变量后求解，即解方程x dx u u du =-)(?； ④．变量还原，即再用 x y 代替u . 3. 一阶线性微分方程及其解法 (1).方程的形式： )()(x Q y x P dx dy =+. 一阶齐次线性微分方程:0)(=+y x P dx dy . 一阶非齐次线性微分方程: 0)()(≠=+x Q y x P dx dy . (2).一阶齐次线性微分方程 0)(=+y x P dx dy 的解法: 分离变量法. 通解为?-=x d x P Ce y )(,(R C ∈).(公式) 高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n = ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ， 22 22 22 21 21 2 1 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三） 空间直线及其方程 大一下高数下册知识 点 高等数学下册知识点 第八章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量线性运算 定理1：设向量a ≠0，则向量b 平行于a 的充要条件是存在唯一的实数λ，使 b ＝λa 1、 线性运算：加减法、数乘； 2、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式； 3、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ，),,(z y x b b b b = ； 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=± , ),,(z y x a a a a λλλλ= ； 4、 向量的模、方向角、投影： 1） 向量的模： 222z y x r ++= ； 2） 两点间的距离公式：2 12212212)()()(z z y y x x B A -+-+-= 3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,, 4） 方向余弦：r z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα 5） 投影：?cos Pr a a j u =，其中?为向量a 与u 的夹角。 （二） 数量积，向量积 1、 数量积：θcos b a b a =? 1）2a a a =? 2）?⊥b a 0=?b a z z y y x x b a b a b a b a ++=? 2、 向量积：b a c ?= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则 1）0 =?a a 2）b a //?0 =?b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =? 运算律：反交换律 b a a b ?-=? （三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S 2、 旋转曲面： yoz 面上曲线0),(:=z y f C ， 绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕 z 轴旋转一周： 0),(22=+±z y x f 3、 柱面： 0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为?????==0 0),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面 华南理工大学网络教育学院 《高等数学（上）》辅导 一、 求函数值 例题： 1、若2()f x x =，()x x e ?=，则(())f x ?= ． 解：() 2 2(())()x x x f x f e e e ?=== 2、若(1)21f x x -=+，则()f x = ． 解：令1x t -=，则1x t =+ 所以()2(1)123f t t t =++=+ 即 ()23f x x =+ 二、 常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理 常见的等价无穷小： 0~sin ~tan ~arcsin ~arctan x x x x x x →时, ~ln(1)~x x x e +-1 211cos ~,2x x -1 1~2 x - 无穷小替换原理：在求极限过程中，无穷小的因子可以用 相应的等价无穷小替换 例题： 1、320sin 3lim x x x →=？ 解：当0sin3~3x x x →，， 原式=3 200(3)lim lim 270x x x x x →→== 2、0sin3lim x x x →=？ 解：原式=03lim 3x x x →= 3、201-cos lim x x x →=？ 解：当2 10cos ~2x x x →，1- 原式=220112lim 2x x x →= 4、0ln(13) lim x x x →+=？ 解：当03)~3x x x →，ln(1+ 原式=.03lim 3x x x →=. 5、201 lim x x e x →-=？ 解：当201~2x x e x →-， 原式=.02lim 2x x x →=. 三、 多项式之比的极限 2lim 03x x x x →∞=+，22 11lim 33x x x x →∞-=+，23lim x x x x →∞+=∞ 四、 导数的几何意义（填空题） 0()f x '：表示曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的切线斜率 曲线..()y f x =..在点00(,())M x f x 处的切线方程为： 000()()()y f x f x x x '-=- 曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的法线方程为： 南昌工学院考试试卷 2016-2017学年第二学期2017届毕业生毕业清考 课程代码: 10BCK004 课程名称: 高等数学 适合层次: 专科 适合专业: 2014级理工类专业 考试时间: 100分钟 考试形式: 闭卷 开课单位: 基础教学部 院 长: 陈博旺 ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 一、选择题。（共10题，每题3分，共30分） 1.函数1-=x y 的定义域是（ ） A. {1}x x ≤ B. {1}x x > C. {1}x x ≥ D. {1}x x < 2.2lim 1x x x →-（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 不存在 3.极限=→x x x 2sin lim 0（ ） A. 1 B. 0 C.2 D. 不存在 4.若函数221y x =+，则=dy （ ） A. dx x )12(+ B. xdx 2 C. dx x )14(+ D. xdx 4 5. 已知x y cos =，则22dx y d （ ） A.cos x B.x sin C.x sin - D.cos x - 6. 当0→x 时，下列函数中不是x 的等价无穷小的是（ ） A.x sin B.x cos C. 1-x e D. )1ln(x + 7. =+→x x x 1 0)1(lim （ ） A. e B. e - C. 1-e D. 不存在 8.=?-dx 1 1（ ） A.2 B.0 C.2π- D.2π 9. 设2)(x x f =，则)(x f 的原函数为（ ） A.x 2 B.C x +2 C.33x D. C x +33 10.已知函数)(x f y =，则)()(00+ -=x f x f 是函数)(x f 在0x x =处极限存在的（ ） A.充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D. 无关条件 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= ' 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x ++=+-==+= -= ----1ln(:2 :2:22） 双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x高数下公式总结
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