【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义 函数图象与性质的综合应用

专题一 函数图象与性质的综合应用

1．函数的三要素是对应关系、定义域、值域；其中函数的核心是对应关系． 2．函数的性质主要包括：单调性、周期性、对称性、最值等．

3．求函数值域的方法有配方法、换元法、不等式法、函数单调性法、图象法等． 4．作图一般有两种方法：描点法作图、图象变换法作图． 5．图象的三种变换：平移变换、伸缩变换和对称变换．

1． (2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于

( )

A ．－3

B ．－1

C ．1

D ．3 答案 A

解析 ∵f (x )是奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ， ∴f (1)＝－f (－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.

2． 函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为 ( )

A.13

B.2

3 C ．1 D ．2 答案 B

解析 令f (x )＝0，解得x ＝1；令f (x )＝1，解得x ＝1

3或3.因为函数f (x )在(0,1)上为减函

数，在(1，＋∞)上为增函数．故b －a 的最小值为1－13＝2

3

.

3． (2011·辽宁)设函数f (x )＝?

????

21－

x ， x ≤1

1－log 2x ， x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是

( )

A ．[－1,2]

B ．[0,2]

C ．[1，＋∞)

D ．[0，＋∞) 答案 D

解析 当x ≤1时，由21－

x ≤2，知x ≥0，即0≤x ≤1.当x >1时，由1－log 2x ≤2，知x ≥12，

即x >1，所以满足f (x )≤2的x 的取值范围是[0，＋∞)．

4． (2011·湖北)已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －

x ＋2(a >0，

且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)等于 ( ) A ．2 B.154 C.17

4 D ．a 2

答案 B

解析 ∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， ∴由f (x )＋g (x )＝a x －a －

x ＋2，①

得－f (x )＋g (x )＝a －

x －a x ＋2，②

①＋②，得g (x )＝2，①－②，得f (x )＝a x －a －

x .

又g (2)＝a ，∴a ＝2，∴f (x )＝2x －2－

x ，

∴f (2)＝22－2－

2＝154

.

5． 已知y ＝f (x )的图象如图，则y ＝f (1－x )的图象为下列四图中的 ( )

答案 A

解析 将y ＝f (1－x )变形为y ＝f [－(x －1)]

①作y ＝f (－x )图象，将y ＝f (x )关于y 轴对称即可； ②将f (－x )的图象沿x 轴正方向平移1个单位， 得y ＝f [－(x －1)]＝f (1－x )的图象.

题型一 函数求值问题

例1 (2012·苏州模拟)设f (x )＝?

????

log 3(x 2

＋t )，x <0，

2×(t ＋1)x

，x ≥0 且f (1)＝6，则f (f (－2))的值为________．

思维启迪：首先根据f (1)＝6求出t 的取值，从而确定函数解析式，然后由里到外逐层求解f (f (－2))的值，并利用指数与对数的运算规律求出函数值． 答案 12

解析 ∵1>0，∴f (1)＝2×(t ＋1)＝6， 即t ＋1＝3，解得t ＝2.

故f (x )＝?

????

log 3(x 2

＋2)，x <0，

2×3x

， x ≥0， 所以f (－2)＝log 3[(－2)2＋2]＝log 36>0. f (f (－2))＝f (log 36)＝2×3log 36＝2×6＝12.

探究提高 本题的难点有两个，一是准确理解分段函数的定义，自变量在不同取值范围 内对应着不同的函数解析式；二是对数与指数的综合运算问题．解决此类问题的关键是 要根据分段函数的定义，求解函数值时要先判断自变量的取值区间，然后再代入相应的 函数解析式求值，在求值过程中灵活运用对数恒等式进行化简求值．

(2012·广东六校联考)已知f (x )＝?

????

－cos (πx )， x >0，f (x ＋1)＋1， x ≤0，则f ????43＋f ????－43的值等于 ( ) A ．－2 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D

解析 f ????43＝12，f ????－43＝f ????－13＋1＝f ????23＋2＝5

2，f ????43＋f ????－43＝3. 题型二 函数性质的应用

例2 设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数，且f (2)＝0，则不等式f (－x )－f (x )

x

≥0的

解集为 ( ) A ．[－2,0]∪[2，＋∞) B ．(－∞，－2]∪(0,2] C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D ．[－2,0)∪(0,2] 思维启迪：转化成f (m )

解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，不等式可化为－f (x )－f (x )x ≥0，即－f (x )

x ≥0.

当x >0时，则有f (x )≤0＝f (2)，由f (x )在(0，＋∞)上单调递增可得x ≤2；当x <0时，则 有f (x )≥0＝－f (2)＝f (－2)，由函数f (x )为奇函数可得f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以x ≥－2.所以不等式的解集为[－2,0)∪(0,2]．

探究提高 解决抽象函数问题的关键是灵活利用抽象函数的性质，利用函数的单调性去 掉函数符号是解决问题的关键，由函数为奇函数可知，不等式的解集关于原点对称，所

以只需求解x >0时的解集即可．

设函数f (x )＝?????

log 12x ，x >0，

log 2(－x )，x <0，

若f (m )

( )

A ．(－1,0)∪(0,1)

B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C ．(－1,0)∪(1，＋∞)

D ．(－∞，－1)∪(0,1) 答案 C

解析 f (－x )＝????? log 12(－x )，－x >0log 2x ，－x <0＝?????

log 12(－x )，x <0，

log 2x ，x >0.

当m >0时，f (m )

2m 1；

当m <0时，f (m )

2(－m )

?－1

所以，m 的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)． 题型三 函数图象及应用

例3 已知函数f (x )＝????

?

|lg x |，0

x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc

的取值范围是_____________．

思维启迪：可以先画出函数f (x )的图象，通过图象的特征观察a 、b 、c 的关系． 答案 (10,12)

解析 画出函数f (x )的图象，再画出直线y ＝d (0

0

探究提高 通过图形可以发现a ，b ，c 所在的区间，再把绝对值符号去掉，就能发现ab ＝1，这样利用数形结合就可把问题化难为易了．

已知不等式x 2－log a x <0，当x ∈???

?0，1

2时恒成立，求实数a 的取值范围． 解

由x 2－log a x <0， 得x 2

设f (x )＝x 2，g (x )＝log a x .

由题意知，当x ∈????0，1

2时，函数f (x )的图象在函数g (x )的图象的下方， 如图，可知????? 0

?

0

2， 解得116≤a <1.∴实数a 的取值范围是????116，1. 题型四 函数的值域与不等式恒成立问题

例4 (2012·天津滨海新区五所重点学校联考)定义在R 上的增函数y ＝f (x )对任意x ，y ∈R

都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )． (1)求f (0)；

(2)求证：f (x )为奇函数；

(3)若f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．

思维启迪：(1)赋值法是解决抽象函数问题的常用方法，第(1)(2)两问可用赋值法解决． (2)将恒成立问题转化成函数最值问题． (1)解 令x ＝y ＝0，得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)， 即f (0)＝0.

(2)证明 令y ＝－x ，得f (x －x )＝f (x )＋f (－x )， 又f (0)＝0，则有0＝f (x )＋f (－x )， 即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立， 所以f (x )是奇函数．

(3)解 方法一 因为f (x )在R 上是增函数， 又由(2)知f (x )是奇函数．

f (k ·3x )<－f (3x －9x －2)＝f (－3x ＋9x ＋2)， 所以k ·3x <－3x ＋9x ＋2，

32x －(1＋k )·3x ＋2>0对任意x ∈R 成立．

令t ＝3x >0，问题等价于t 2－(1＋k )t ＋2>0对任意t >0恒成立． 令f (t )＝t 2－(1＋k )t ＋2，其对称轴为x ＝1＋k

2

，

当

1＋k

2

<0即k <－1时，f (0)＝2>0，符合题意； 当1＋k

2

≥0即k ≥－1时，对任意t >0，f (t )>0恒成立??????

1＋k 2

≥0，Δ＝(1＋k )2－4×2<0，解得－

1≤k <－1＋2 2.

综上所述，当k <－1＋22时，f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0对任意x ∈R 恒成立． 方法二 由k ·3x <－3x ＋9x ＋2，得k <3x ＋2

3

x －1.

u ＝3x ＋2

3x －1≥22－1,3x ＝2时，取“＝”，即u 的最小值为22－1，

要使对x ∈R ，不等式k <3x ＋2

3x －1恒成立，

只要使k <22－1.

探究提高 对于恒成立问题，若能转化为a >f (x ) (或a

定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，对于任意的

θ∈????0，π

2，均有f (cos 2θ－3)＋f (4m －2m cos θ)>0，试求实数m 的取值范围． 解 因为f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (x )在(－∞，0]上也是增函数，所以f (x )在R 上是增函数，且f (0)＝0， ∵f (cos 2θ－3)＋f (4m －2m cos θ)>0， ∴f (cos 2θ－3)>f (2m cos θ－4m )， 于是cos 2θ－3>2m cos θ－4m ，① 即cos 2θ－m cos θ＋2m －2>0. 得m >cos 2θ－2cos θ－2，设h (θ)＝cos 2θ－2cos θ－2

，

则h (θ)＝4－???

?(2－cos θ)＋2

2－cos θ≤4－22，即h (θ)max ＝4－22，只须m >4－2 2.

故实数m 的取值范围是(4－22，＋∞)． 2.高考中的函数零点问题

典例：(2011·山东)已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1)．当2

的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.

考点分析 本题考查对数函数、函数单调性、函数零点等知识，体现了函数知识的综合． 求解策略 解答本题可先确定函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性，然后根据a ，b 满足的条件及对数的运算性质探究出f (x )零点所在的区间，从而对照x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *确

定出n 的值． 答案 2

解析 ∵2

∵2

又∵b >3，∴－b <－3，∴2－b <－1， ∴log a 2＋2－b <0，即f (2)<0.

∵1

∴log a 3＋3－b >0，∴f (3)>0，即f (2)·f (3)<0. 由x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *知，n ＝2.

解后反思 (1)本题考查函数零点，与函数的单调性相结合；

(2)解决函数的有关问题，要综合利用函数的图象，函数的单调性、对称性、周期性、值域等．

方法与技巧

1． 利用复合函数求函数值是一类重要问题，解题关键是利用已知的函数值，通过解析式的

变化特点进行代入求值，有时也可以利用周期性来解题．

2． 抽象函数奇偶性的判断关键在于构造f (－x )，使之与f (x )产生等量关系，即比较f (－x )

与±f (x )是否相等，此时赋值比较多的是－1、1、0等．

3． 作图、识图和用图是函数图象中的基本问题．作图的基本途径：求出函数的定义域；尽

量求出值域；变换(化简、平移、对称、伸缩等)出图象的形状；描点作图．识图就是从 图形中发现或捕捉所需信息，从而使问题得到解决．用图就是根据需要，作出函数的图 形，使问题求解得到依据，使函数、方程、不等式中的许多问题化归为函数图象问题． 失误与防范

1． 函数求值问题一定要关注自变量的取值范围，尤其是分段函数，以防代错解析式． 2． 对于由抽象函数不等式向具体不等式转化的过程中，一定要注意单调区间，需将自变量

转化到同一个单调区间上去．

3． 识图要抓住性质特征，关键点；作图要规范，一般从基本图形通过平移、对称等变换来

作图.

(时间：60分钟) A 组 专项基础训练

一、选择题(每小题5分，共20分)

1． (2011·重庆)下列区间中，函数f (x )＝|ln(2－x )|在其上为增函数的是 ( )

A ．(－∞，1]

B ．[－1，4

3]

C ．[0，3

2) D ．[1,2)

答案 D

解析 方法一 当2－x ≥1，即x ≤1时，f (x )＝|ln(2－x )|＝ln(2－x )，此时函数f (x )在(－ ∞，1]上单调递减．当0<2－x ≤1，即1≤x <2时，f (x )＝|ln(2－x )|＝－ln(2－x )，此时函 数f (x )在[1,2)上单调递增，故选D. 方法二 f (x )＝|ln(2－x )|的图象如图所示．

由图象可得，函数f (x )在区间[1,2)上为增函数，故选D.

2． (2011·北京)如果log 12x

2

y <0，那么 ( )

A ．y

B ．x

C ．1

D ．1

解析 不等式转化为???

log 12x

y ，log 1

2y <0

?1

3． (2012·浙江改编)设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x

＋1，则f ????

32等于 ( ) A.32 B ．－14 C.14 D.12 答案 A

解析 当x ∈[－1,0]时，－x ∈[0,1]，

∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝－x ＋1. ∴f ????32＝f ????32－2＝f ????－12＝－????－12＋1＝3

2. 4． (2012·江西)如图所示，

|OA |＝2(单位：m)，|OB |＝1(单位：m)，OA 与OB 的夹角为π

6，以A 为圆心，AB 为半径

作圆弧BDC 与线段OA 延长线交于点C .甲、乙两质点同时从点O 出发，甲先以速率1(单位：m /s)沿线段OB 行至点B ，再以速率3(单位：m/s)沿圆弧BDC 行至点C 后停止；乙以速率2(单位：m/s)沿线段OA 行至点A 后停止．设t 时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S (t )(S (0)＝0)，则函数y ＝S (t )的图象大致是

( )

答案 A

解析 对t 进行分段，确定函数y ＝S (t )的解析式．

由题意知，当0

2t 2，此段图象为抛物线；当t >1时，设圆弧半径为r ，

甲从B 沿圆弧移动到C 后停止，乙在A 点不动，则此时S (t )＝12×1×2·sin π6＋1

2·r ·3(t －

1)＝3r 2t ＋1－3r

2，此段图象为直线，当甲移动至C 点后，甲、乙均不再移动，面积不再

增加，选项B 中开始一段函数图象不对，选项C 中后两段图象不对，选项D 中前两段 函数图象不对，故选A. 二、填空题(每小题5分，共15分)

5． 设a >0，a ≠1，函数f (x )＝log a (x 2－2x ＋3)有最小值，则不等式log a (x －1)>0的解集为

______． 答案 (2，＋∞)

解析 ∵x 2－2x ＋3>0，即(x －1)2＋2>0的解集为R ， ∴函数f (x )＝log a (x 2－2x ＋3)的定义域为R . 又∵函数y ＝x 2－2x ＋3有最小值2，无最大值． 据题意有a >1.

∴log a (x －1)>0＝log a 1等价于?

????

x －1>0，

x －1>1，

解得x >2，即不等式log a (x －1)>0的解集为(2，＋∞)． 6． 设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝

?

????

g (x )＋x ＋4，x

g (x )－x ，x ≥g (x )，则f (x )的值域是__________． 答案 [－9

4

，0]∪(2，＋∞)

解析 由x 2； 由x ≥g (x )得x ≥x 2－2，∴－1≤x ≤2.

∴f (x )＝?

????

x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，

x 2－x －2，－1≤x ≤2.

即f (x )＝???

(x ＋12)2＋7

4，x <－1或x >2，

(x －12)2

－9

4，－1≤x ≤2.

当x <－1时，f (x )>2；当x >2时，f (x )>8.

∴当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞)． 当－1≤x ≤2时，－9

4

≤y ≤0.

∴当x ∈[－1,2]时，函数的值域为[－9

4，0]．

综上可知，f (x )的值域为[－9

4

，0]∪(2，＋∞)．

7． 已知函数f (x )＝????

?

a x －5

(x >6)，????4－a 2x ＋4 (x ≤6)，

在R 上是单调递增函数，则实数a 的取值范围

为________． 答案 [7,8)

解析 由题意知，实数a 应满足?????

a >1

4－a 2

>0

???

?4－a 2×6＋4≤a 6－5

，

即????

?

a >1a <8a ≥7，解得7≤a <8. 三、解答题(共25分)

8． (12分)若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1| (a >0且a ≠1)的图象有两个交点，求a 的取值范

围．解 ①当a >1时，画出函数y ＝|a x －1|的草图：

若y ＝2a 与y ＝|a x －1|的图象有两个交点， 则有0<2a <1，∴0

2

(舍去)．

②当0

若y ＝2a 与y ＝|a x －1|的图象有两个交点， 则有0<2a <1，∴0

2

.

综上所述，a 的取值范围是???

?0，12. 9． (13分)已知a >0，且a ≠1，f (log a x )＝a

a 2－1??

?

?x －1x . (1)求f (x )；

(2)判断f (x )的单调性； (3)求f (x 2－3x ＋2)<0的解集． 解 (1)令t ＝log a x (t ∈R )，则x ＝a t ， 且f (t )＝

a a 2－1?

???

a t －1a t .

∴f (x )＝a a 2－1(a x －a －

x ) (x ∈R )．

(2)当a >1时，a x －a －

x 为增函数，

又

a

a 2－1

>0，∴f (x )为增函数； 当0

x 为减函数， 又

a

a 2

－1

<0，∴f (x )为增函数．

∴函数f (x )在R 上为增函数．

(3)∵f (0)＝a

a 2－1(a 0－a 0)＝0，∴f (x 2－3x ＋2)<0＝f (0)．

由(2)知：x 2－3x ＋2<0，∴1

B 组 专项能力提升

一、选择题(每小题5分，共15分)

1． 已知函数f (x )＝||lg x ，若0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是 ( )

A ．(22，＋∞) B.[ 22，＋∞) C ．(3，＋∞) D.[ 3，＋∞) 答案 C

解析 由已知条件0

x 在(0,1)单调递减，得a ＋2b >3，即a ＋2b 的取

值范围是(3，＋∞)．

2．设函数f (x )是定义在R 上周期为3的奇函数，若f (1)<1，f (2)＝2a －1

a ＋1

，则

( )

A ．a <1

2且a ≠－1 B ．－1

C ．a <－1或a >0

D ．－1

解析 ∵函数f (x )为奇函数，∴f (1)＝－f (－1)<1， ∴f (－1)>－1.又∵函数f (x )的周期为3， ∴f (－1)＝f (2)＝2a －1a ＋1>－1，∴3a

a ＋1>0，

解得a >0或a <－1.

3． 设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈[－2,0]

时，f (x )＝????12x

－1，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0 (a >1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是 ( ) A ．(1,2) B ．(2，＋∞) C ．(1，34) D ．(3

4，2) 答案 D 解析

由f (x －2)＝f (x ＋2)，知f (x )是以4为周期的周期函数，于是可得f (x )在(－2,6]上的大致图象如图中实线所示，令g (x )＝log a (x ＋2) (a >1)，则g (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使得方程f (x )－log a (x ＋2)＝0 (a >1)在区间(－2,6]内恰有3个不同的实数根，

则只需?

???? g (2)<3g (6)>3，即???

log a 4<3log a 8>3，解得34

二、填空题(每小题4分，共12分)

4． 函数f (x )＝log 0.5(3x 2－ax ＋5)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是

__________． 答案 [－8，－6]

解析 设g (x )＝3x 2－ax ＋5，由已知?????

a 6≤－1，g (－1)≥0，

解得－8≤a ≤－6.

5． 已知f (x )＝a sin x ＋b 3

x ＋4 (a ，b ∈R )，且f [lg(log 210)]＝5，则f [lg(lg 2)]＝________.

答案 3

解析 lg(log 210)＝－lg(lg 2)，f (－x )＝a sin(－x )＋b 3－x ＋4＝－(a sin x ＋b 3

x )＋4. 又f [lg(log 210)]＝5，∴f [lg(lg 2)]＝4－5＋4＝3.

6． 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a

的取值范围是__________． 答案 (－2,1) 解析

∵f (x )是奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－x 2＋2x ，作出f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数， 由f (2－a 2)>f (a )， 得2－a 2>a ，即－2

7． 设函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c (a >0，a ，c ∈R )．

(1)设a >c >0.若f (x )>c 2－2c ＋a 对x ∈[1，＋∞)恒成立，求c 的取值范围； (2)函数f (x )在区间(0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？

解 (1)因为二次函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c 的图象的对称轴为x ＝a ＋c

3a

，由条件a >c >0，

得2a >a ＋c ，故a ＋c 3a <2a 3a ＝2

3<1，即二次函数f (x )的对称轴在区间[1，＋∞)的左边，且抛

物线开口向上，故f (x )在[1，＋∞)内是增函数．

若f (x )>c 2－2c ＋a 对x ∈[1，＋∞)恒成立，则f (x )min ＝f (1)>c 2－2c ＋a ，即a －c >c 2－2c ＋a ，

得c 2－c <0，所以0

则c <0，或a 0，f (1)＝a －c >0，则a >c >0.

因为二次函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c 的图象的对称轴是x ＝a ＋c 3a .

而f ????a ＋c 3a ＝－a 2

＋c 2

－ac 3a <0，

所以函数f (x )在区间?

????0，a ＋c 3a 和? ??

??

a ＋c 3a ，1内各有一个零点，故函数f (x )在区间(0,1) 内有两个零点．

高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)选修45 不等式选讲

选修4－5不等式选讲 1．两个实数大小关系的基本事实 a>b?________；a＝b?________；ab，那么________；如果________，那么a>b.即a>b?________. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么________． (3)可加性：如果a>b，那么____________． (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么________；如果a>b，c<0，那么________． (5)乘方：如果a>b>0，那么a n________b n(n∈N，n>1)． (6)开方：如果a>b>0，那么n a________ n b(n∈N，n>1)． 3．绝对值三角不等式 (1)性质1：|a＋b|≤________. (2)性质2：|a|－|b|≤________. 性质3：________≤|a－b|≤________. 4．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a的解集 (2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b| ①|ax＋b|≤c?______________； ②|ax＋b|≥c?______________. (3)|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

5．基本不等式 (1)定理：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)定理(基本不等式)：如果a ，b >0，那么a ＋b 2________ab ，当且仅当________时，等号成 立．也可以表述为：两个________的算术平均________________它们的几何平均． (3)利用基本不等式求最值 对两个正实数x ，y ， ①如果它们的和S 是定值，则当且仅当________时，它们的积P 取得最________值； ②如果它们的积P 是定值，则当且仅当________时，它们的和S 取得最________值． 6．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)定理 如果a ，b ，c 均为正数，那么a ＋b ＋c 3________3 abc ，当且仅当________时，等号 成立． 即三个正数的算术平均____________它们的几何平均． (2)基本不等式的推广 对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均__________它们的几何平均，即 a 1＋a 2＋…＋a n n ________n a 1a 2…a n ， 当且仅当________________时，等号成立． 7．柯西不等式 (1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2 n )≥(a 1b 1 ＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立． (3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立． 8．证明不等式的方法 (1)比较法 ①求差比较法 知道a >b ?a －b >0，a b ，只要证明________即可，这种方法称为求差比较法． ②求商比较法 由a >b >0?a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时要证明a >b ，只要证明________即可，这 种方法称为求商比较法．

2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)选修4-4 坐标系与参数方程

选修4－4 坐标系与参数方程 1．极坐标系 (1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做________，从O 点引一条射线Ox ，叫做________，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系． 设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的________，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝______，y ＝________. 另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________. 2．简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程 θ＝α (ρ∈R )表示过极点且与极轴成α角的直线； ρcos θ＝a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； ρsin θ＝b 表示过??? ?b ，π 2且平行于极轴的直线； ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程． (2)圆的极坐标方程 ρ＝2r cos θ表示圆心在(r,0)，半径为|r |的圆； ρ＝2r sin θ表示圆心在????r ，π 2，半径为|r |的圆； ρ＝r 表示圆心在极点，半径为|r |的圆． 3．曲线的参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数? ???? x ＝f (t )， y ＝g (t ). 并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________________，其中变量t 称为________． 4．一些常见曲线的参数方程 (1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为________________(t 为参数)． (2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为________________________(θ为参数)． (3)椭圆方程x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的参数方程为________________(θ为参数)． (4)抛物线方程y 2＝2px (p >0)的参数方程为________________(t 为参数)． 1．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π 4 )＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________． 2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为____________________． 3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线? ???? x ＝4t 2 ， y ＝4t (t 为参数)上，则PF ＝________. 4．直线? ???? x ＝－1＋t sin 40° ，y ＝3＋t cos 40°(t 为参数)的倾斜角为________． 5．已知曲线C 的参数方程是? ???? x ＝3t ， y ＝2t 2 ＋1(t 为参数)．则点M 1(0,1)，M 2(5,4)在曲线C 上的是________． 题型一 极坐标与直角坐标的互化 例1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π 3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标；

【免费下载】高中数学步步高大一轮复习讲义文科第1讲 归纳与类比

第十二章 推理证明、算法初步、复数 第1讲 归纳与类比一、选择题 1．观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为 ( )． A ．76 B ．80 C ．86 D ．92解析　由|x |＋|y |＝1的不同整数解的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x |＋|y |＝n 的不同整数解的个数为4n ，故|x |＋|y |＝20的不同整数解的个数为80.故选B.答案　B 2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( )．A ．289 B ．1 024C ．1 225 D ．1 378解析　观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，…，a n ＝a n －1＋n .∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。 、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。

2021届步步高数学大一轮复习讲义(文科)第五章 5.4复数

§5.4复数

1．复数的有关概念 (1)定义：我们把集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)． (2)分类： (3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭?a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (5)模：向量OZ → 的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． 2．复数的几何意义 复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ → ＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系． 3．复数的运算 (1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .

(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→ ，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.

概念方法微思考 1．复数a＋b i的实部为a，虚部为b吗？ 提示不一定．只有当a，b∈R时，a才是实部，b才是虚部． 2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？ 提示复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则．

题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( × ) (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) (3)复平面中原点是实轴与虚轴的交点．( √ ) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ ) 题组二 教材改编 2．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1 答案 A 解析 ∵z 为纯虚数，∴????? x 2－1＝0， x －1≠0， ∴x ＝－1. 3．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA → 对应的复数是( ) A ．1－2i B ．－1＋2i C ．3＋4i D ．－3－4i 答案 D 解析 CA →＝CB →＋BA → ＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i. 4．若复数z 满足()3＋4i z ＝1－i(i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 等于( ) A ．－15－75 i B ．－15＋75 i

最新2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第3讲平面向量的数量积

2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第3讲平面向量 的数量积

第3讲平面向量的数量积 一、选择题 1．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝() A.5 B.10 C．2 5 D．10 解析∵a⊥b，∴x－2＝0，∴x＝2.∴|a＋b|＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝4＋1＋1＋4＝10.故选B. 答案 B 2．设向量a＝(1，cos θ)与b＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于() A. 2 2 B. 1 2 C．0 D．－1 解析∵a⊥b，∴1×(－1)＋cos θ·2cos θ＝0，即2cos2θ－1＝0.又cos 2θ＝2cos2θ－1. 答案 C 3．若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝ ()．A．4 B．3 C．2 D．0 解析由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0. 答案 D 4．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0.向量a，b的夹角为60°，且|b|＝|a|，则向量a与c的夹角为() A．60°B．30° C．120°D．150°解析由a＋b＋c＝0得c＝－a－b， ∴|c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos 60°＝3|a|2， ∴|c|＝3|a|，

又a ·c ＝a ·(－a －b )＝－|a |2－a ·b ＝－|a |2－|a ||b |cos 60°＝－32|a |2. 设a 与c 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·c |a ||c |＝ －32|a |2 |a |·3|a |＝－32， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝150°. 答案 D 5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点的坐标是 ( )． A ．(－3,0) B ．(2,0) C ．(3,0) D ．(4,0) 解析 设P 点坐标为(x,0)， 则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)． AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1) ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1. 当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1. ∴此时点P 坐标为(3,0)，故选C. 答案 C 6．对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ＝α·ββ· β.若平面向量a ，b 满足 |a |≥|b |>0，a 与b 的夹角θ∈? ????0，π4，且a b 和b a 都在集合???? ??n 2| n ∈Z 中，则a b ＝ ( )． A.12 B ．1 C.3 2 D.52 解析 由定义αβ＝α·ββ2可得b a ＝a ·b a 2＝|a |·|b |cos θ|a |2＝|b |cos θ |a |，由|a |≥|b |>0，及

最新高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第三章 3.1汇总

2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第三章 3.1

§3.1导数的概念及运算

1．函数y＝f(x)从x0到x1的平均变化率 Δy Δx＝f(x1)－f(x0) x1－x0 ＝ f(x0＋Δx)－f(x0) Δx. 2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义 当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导 数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝lim x1→x0f(x1)－f(x0) x1－x0 ＝lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx. (2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．函数f(x)的导函数 如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝ lim Δx→0f(x＋Δx)－f(x) Δx，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为 导数． 4．基本初等函数的导数公式 5． (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)?? ??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) [g (x )]2 (g (x )≠0)． 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同． ( × ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)． ( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点． ( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． ( × ) (5)若f (x )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2x . ( × ) (6)函数f (x )＝x 2ln x 的导函数为f ′(x )＝2x ·1x ＝2. ( × ) 2． (2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 答案 2 解析 设e x ＝t ，则x ＝ln t (t >0)，∴f (t )＝ln t ＋t ∴f ′(t )＝1 t ＋1，∴f ′(1)＝2. 3． 已知曲线y ＝x 3在点(a ，b )处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则a 的值是 ( ) A ．－1 B ．±1 C ．1 D ．±3 答案 B

2021届步步高数学大一轮复习讲义(理科)第十三章 13.1 第2课时参数方程

第2课时参数方程 1．参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．

(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一 个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么? ???? x ＝f (t )， y ＝g (t )就是曲线的参数方程． 2．常见曲线的参数方程和普通方程 概念方法微思考

1．在直线的参数方程? ???? x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)中， (1)t 的几何意义是什么？ (2)如何利用t 的几何意义求直线上任意两点P 1，P 2的距离？ 提示 (1)t 表示在直线上过定点P 0(x 0，y 0)与直线上的任一点P (x ，y )构成的有向线段P 0P 的数量． (2)|P 1P 2|＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2. 2．圆的参数方程中参数θ的几何意义是什么？ 提示 θ的几何意义为该圆的圆心角． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)参数方程? ???? x ＝f (t )， y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数．( √ ) (2)方程? ???? x ＝2cos θ， y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( √ ) (3)已知椭圆的参数方程? ???? x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π 3，点O 为原 点，则直线OM 的斜率为 3.( × ) (4)参数方程??? ?? x ＝2cos θ，y ＝5sin θ ????θ为参数且θ∈????0，π2表示的曲线为椭圆．( × ) 题组二 教材改编 2．曲线? ???? x ＝－1＋cos θ， y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( ) A ．在直线y ＝2x 上 B ．在直线y ＝－2x 上 C ．在直线y ＝x －1上 D ．在直线y ＝x ＋1上 答案 B 解析 由????? x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得????? cos θ＝x ＋1， sin θ＝y －2. 所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上． 3．直线????? x ＝t ＋1，y ＝t (t 为参数)与圆? ???? x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交且直线过圆心 D ．相交但直线不过圆心 答案 D 解析 消去参数，得直线方程为x －y －1＝0， 圆的方程为(x －2)2＋y 2＝1，圆心为(2,0)，半径R ＝1， 圆心到直线的距离为d ＝|2－0－1|2 ＝2 2<1，

2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第三章 专题一

专题一 高考中的导数应用问题 1． 函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是 ( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞) 答案 D 解析 函数f (x )＝(x －3)e x 的导数为f ′(x )＝[(x －3)·e x ]′＝1·e x ＋(x －3)·e x ＝(x －2)e x . 由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )>0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x >0，解得x >2. 2．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有最小值，则实数b 的取值范围是 ( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1) C ．(0，＋∞) D.??? ?0，1 2 答案 D 解析 f (x )在(0,1)内有最小值，即f (x )在(0,1)内有极小值，f ′(x )＝ 3x 2－6b ， 由题意，得函数f ′(x )的草图如图， ∴????? f ′(0)<0，f ′(1)>0， 即????? －6b <0， 3－6b >0， 解得0

2021届步步高数学大一轮复习讲义(文科)第四章 4.4三角函数的图象与性质

§4.4三角函数的图象与性质 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，????π2，1，(π，0)，??? ?3π2，－1，(2π，0)． (2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，????π2，0，(π，－1)，??? ?3π2，0，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )

概念方法微思考 1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？ 提示 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期． 2．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件分别是什么？ 提示 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π 2＋k π(k ∈Z )． (2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．

题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × ) (2)由sin ????π6＋2π3＝sin π6知，2π 3是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期．( × ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) 题组二 教材改编 2．函数f (x )＝cos ????2x ＋π 4的最小正周期是________． 答案 π 3．y ＝3sin ????2x －π6在区间????0，π 2上的值域是________． 答案 ??? ?－3 2，3 解析 当x ∈????0，π2时，2x －π 6∈????－π6，5π6， sin ????2x －π6∈????－1 2，1， 故3sin ? ???2x －π6∈????－3 2，3， 即y ＝3sin ????2x －π6在????0，π2上的值域为??? ?－3 2，3. 4．函数y ＝－tan ????2x －3π 4的单调递减区间为________________． 答案 ???? π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )

2018年步步高高中数学大一轮复习选修4-4 第1讲 坐标系

选修4-4 坐标系与参数方程 第1讲 坐标系 一、填空题 1．在极坐标系中，点P (ρ0，θ0)(ρ0≠0)关于极点的对称点的极坐标是________． 解析 设点P (ρ0，θ0)关于极点的对称点为(ρ，θ)，则ρ＋ρ0＝0，θ＝θ0＋π，∴对称点为(－ρ0，θ0)． 答案 (－ρ0，θ0) 2．过点(2，π4)平行于极轴的直线的极坐标方程是________． 解析 设直线上点坐标P (ρ，θ)， 则ρsin θ＝2cos (90°－45°)＝ 2. 答案 ρsin θ＝ 2 3．在极坐标系中，ρ＝4sin θ是圆的极坐标方程，则点A ? ?? ??4，π6到圆心C 的距离是________． 解析 将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，圆心 坐标为(0,2)．又易知点A ? ?? ??4，π6的直角坐标为(23，2)，故点A 到圆心的距离为(0－23)2＋(2－2)2＝2 3. 答案 2 3 4．在极坐标系中，点M ? ????4，π3到曲线ρcos ? ????θ－π3＝2上的点的距离的最小值为________． 解析 依题意知，点M 的直角坐标是(2,23)，曲线的直角坐标方程是x ＋3y －4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M 到该直线的距离，即为

|2＋23×3－4| 12＋(3) 2＝2. 答案 2 5．从极点作圆ρ＝2a cos θ的弦，则各条弦中点的轨迹为________． 解析 设所求曲线上动点M 的极坐标为(r ，φ)， 由图可知???φ＝θ r ＝12ρ . 把θ＝φ和ρ＝2r 代入方程ρ＝2a cos θ， 得2r ＝2a cos φ，即r ＝a cos φ.(? ????－π2 ≤φ≤π2， 这就是所求的轨迹方程． 由极坐标方程可知，所求轨迹是一个以(a 2，0)为圆心，半径为a 2的圆． 答案 以(a 2，0)为圆心，以a 2为半径的圆 6．在极坐标系中，曲线C 1：ρ＝2cos θ，曲线C 2：θ＝π4，若曲线C 1与C 2交于A 、 B 两点，则线段AB ＝________. 解析 曲线C 1与C 2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点．由??? ρ＝2cos θ， θ＝π4得??? ρ＝2，θ＝π4，即曲线C 1与C 2的另一个交点与极点的距离为2，因此AB ＝ 2.

2018年步步高大一轮高考理科数学总复习

第1课时集合 1．元素与集合 (1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性． (2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b?A. (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． (4) 2. A B或 B A ?B且B≠?3． (1) U (2) ①A∪B＝A?B?A，A∩B＝A?A?B. ②A∩A＝A，A∩?＝?. ③A∪A＝A，A∪?＝A. ④A∩?U A＝?，A∪?U A＝U，?U(?U A)＝A. 4．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．(×) (2)若a在集合A中，则可用符号表示为a?A.(×) (3)若A B，则A?B且A≠B.(√) (4)N*N Z.(√) (5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(×) (6)对于任意两个集合A，B，都有(A∩B)?(A∪B)成立．(√) (7)?U(A∪B)＝(?U A)∩(?U B)，?U(A∩B)＝(?U A)∪(?U B)．(√) (8)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×) (9){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(√) (10)若A∪B＝A∪C，则B＝C.(×) 考点一集合的概念

第一章 集合与常用逻辑用语大一轮复习 数学(理)[例1] (1)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．9 解析：∵A ＝{0,1,2}，∴B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B 中有5个元素． 答案：C (2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B.98 C ．0 D ．0或98 解析：当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98 . 答案：D [方法引航] (1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件.当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么. (2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性. 1．已知a ∈R ，若{－1,0,1}＝??????1a ，a 2，0，则a ＝________. 解析：由题意1a ≠0，a ≠0，a 2≠－1，所以只有a 2＝1. 当a ＝1时，1a ＝1，不满足互异性，∴a ＝－1. 答案：－1 2．(2017·福建厦门模拟)已知P ＝{x |2＜x ＜k ，x ∈N }，若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为________． 解析：因为P 中恰有3个元素，所以P ＝{3,4,5}，故k 的取值范围为5＜k ≤6. 答案：(5,6] 考点二 集合间的关系及应用 [例2] (1)设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }A ．P ?Q B ．Q ?P C ．?R P ?Q D ．Q ??R P 解析：因为P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }＝{y |y ≤1}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }＝{y |y ＞0}，所以?R P ＝{y |y ＞1}，所以?R P ?Q ，选 C. 答案：C (2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ?A ，则实数m 的取值范围为________． 解析：∵B ?A ， ∴①若B ＝?，则2m －1＜m ＋1，此时m ＜2. ②若B ≠?，则????? 2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2， 2m －1≤5. 解得2≤m ≤3. 由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]． 答案：(－∞，3] [方法引航] 1.集合间基本关系的两种判定方法 (1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系 (2)用列举法(或图示法等)表示各个集合，从元素(或图形)中寻找关系． 2．根据两集合的关系求参数的方法 已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解． (1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性； (2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到． 1．在本例(1)中，集合P 变为P ＝{y |y ＝x 2 ＋1}，Q 不变，如何选答案． 解析：P ＝{y |y ≥1}，Q ＝{y |y ＞0}，∴P ?Q ，选A.

2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第三章 3.1

§3.1导数的概念及运算 1．函数y＝f(x)从x0到x1的平均变化率 Δy Δx＝f(x1)－f(x0) x1－x0 ＝ f(x0＋Δx)－f(x0) Δx. 2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义 当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数， 通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝lim x1→x0f(x1)－f(x0) x1－x0 ＝lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx. (2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．函数f(x)的导函数 如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝lim Δx→0 f(x＋Δx)－f(x) Δx，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．4．基本初等函数的导数公式

5． (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)?? ??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) [g (x )]2 (g (x )≠0)． 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同． ( × ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)． ( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点． ( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． ( × ) (5)若f (x )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2x . ( × ) (6)函数f (x )＝x 2ln x 的导函数为f ′(x )＝2x ·1 x ＝2. ( × ) 2． (2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 答案 2 解析 设e x ＝t ，则x ＝ln t (t >0)，∴f (t )＝ln t ＋t ∴f ′(t )＝1 t ＋1，∴f ′(1)＝2. 3． 已知曲线y ＝x 3在点(a ，b )处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则a 的值是 ( ) A ．－1 B ．±1 C ．1 D ．±3 答案 B 解析 由y ＝x 3知y ′＝3x 2， ∴切线斜率k ＝y ′|x ＝a ＝3a 2.