选修4－4 坐标系与参数方程
1．极坐标系
(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做________，从O 点引一条射线Ox ，叫做________，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．
设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的________，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．
(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝______，y ＝________. 另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________. 2．简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程
θ＝α (ρ∈R )表示过极点且与极轴成α角的直线； ρcos θ＝a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； ρsin θ＝b 表示过???
?b ，π
2且平行于极轴的直线； ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程． (2)圆的极坐标方程
ρ＝2r cos θ表示圆心在(r,0)，半径为|r |的圆； ρ＝2r sin θ表示圆心在????r ，π
2，半径为|r |的圆； ρ＝r 表示圆心在极点，半径为|r |的圆． 3．曲线的参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数?
????
x ＝f (t )，
y ＝g (t ).
并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________________，其中变量t 称为________． 4．一些常见曲线的参数方程
(1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为________________(t 为参数)． (2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为________________________(θ为参数)． (3)椭圆方程x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的参数方程为________________(θ为参数)．
(4)抛物线方程y 2＝2px (p >0)的参数方程为________________(t 为参数)．
1．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π
4
)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．
2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为____________________．
3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线?
????
x ＝4t 2
，
y ＝4t (t 为参数)上，则PF ＝________.
4．直线?
????
x ＝－1＋t sin 40°
，y ＝3＋t cos 40°(t 为参数)的倾斜角为________．
5．已知曲线C 的参数方程是?
????
x ＝3t ，
y ＝2t 2
＋1(t 为参数)．则点M 1(0,1)，M 2(5,4)在曲线C 上的是________．
题型一 极坐标与直角坐标的互化
例1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π
3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点．
(1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标；
(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．
思维升华 直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．
在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数
a 的值．
题型二 参数方程与普通方程的互化
例2 已知两曲线参数方程分别为???
x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和?????
x ＝54t 2，y ＝t
(t ∈R )，求它们的
交点坐标．
思维升华 (1)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等．对于与角θ有关的参数方程，经常用到的公式有sin 2θ＋cos 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1
cos 2θ
等．
(2)在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．
将下列参数方程化为普通方程．
(1)?????
x ＝2t 21＋t 2
，y ＝4－2t
21＋t
2
(t 为参数)；
(2)?
????
x ＝2－4cos 2
θ，y ＝－1＋sin 2
θ(θ为参数)．
题型三 极坐标、参数方程的综合应用
例3 在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲
线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程是???
x ＝－3＋32t ，y ＝1
2t
(t 为参数)，M ，N
分别为曲线C 、直线l 上的动点，求MN 的最小值．
思维升华 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．转化后可使问题变得更加直观，它体现了化归思想的具体运用．
(2013·辽宁)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标
系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ????θ－π
4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；
(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为????
?
x ＝t 3
＋a ，y ＝b 2t 3
＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．
参数的几何意义不明致误
典例：(10分)已知直线l 的参数方程为???
x ＝12
t ，y ＝22＋3
2t
(t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的
O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程
为ρ＝2cos(θ－π
4)．
(1)求直线l 的倾斜角；
(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB .
易错分析 不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误． 规范解答
解 (1)直线的参数方程可以化为????
?
x ＝t cos 60°，y ＝2
2＋t sin 60°，[2分] 根据直线参数方程的意义，直线l 经过点(0，22
)， 倾斜角为60°.[4分]
(2)直线l 的直角坐标方程为y ＝3x ＋
2
2
，[6分] ρ＝2cos(θ－π4)的直角坐标方程为(x －22)2＋(y －2
2)2＝1，[8分]
所以圆心(22，22)到直线l 的距离d ＝64. 所以AB ＝
10
2
.[10分] 温馨提醒 对于直线的参数方程?
????
x ＝x 0＋t cos α，
y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)来说，要注意t 是参数，而α则
是直线的倾斜角．
与此类似，椭圆参数方程?
????
x ＝a cos φ，
y ＝b sin φ的参数φ有特别的几何意义，它表示离心角．
方法与技巧
1．曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化思路：对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等．
2．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1
cos 2θ
.
3．利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法． 失误与防范
1．极径ρ是一个距离，所以ρ≥0，但有时ρ可以小于零．极角θ规定逆时针方向为正，极坐标与平面直角坐标不同，极坐标与P 点之间不是一一对应的，所以我们又规定ρ≥0,0≤θ<2π，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点． 2．在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．
A 组 专项基础训练
1．(2013·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为?????
x ＝t ＋1，
y ＝2t (t 为参数)，曲线
C 的参数方程为?
???
?
x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的
公共点的坐标．
2．已知曲线C 的参数方程为?
????
x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ＋π
4)＝－ 2.
(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程； (2)曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．
3．(2013·福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为(2，π4)，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π
4)＝a ，且点A 在直线
l 上．
(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；
(2)圆C 的参数方程为?
???
?
x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．
4．在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos ????θ－π
6上的动点，试求PQ 的最大值．
5．在极坐标系中，已知三点M ????2，－π3、N (2,0)、P ????23，π
6. (1)将M 、N 、P 三点的极坐标化为直角坐标； (2)判断M 、N 、P 三点是否在一条直线上．
6．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换???
x ′＝12
x ，
y ′＝1
3y
后，曲线C ：x 2＋y 2＝36变为何
种曲线，并求曲线的焦点坐标．
B 组 专项能力提升
1．在极坐标系中，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin(θ－π4)＝2
2.
(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的极坐标．
2．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos(θ－π
4)＝2.
(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
3．(2013·课标全国Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为?
????
x ＝4＋5cos t ，
y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．
4．(2012·辽宁)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.
(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)； (2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．
答案
要点梳理
1．(1)极点 极轴 极径 (2)ρcos θ ρsin θ x 2＋y 2 y
x
3．参数方程 参数
4．(1)????? x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0
＋t sin α (2)?????
x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ
(3)????? x ＝a cos θy ＝b sin θ (4)?????
x ＝2pt 2y ＝2pt
夯基释疑
1．43 2.x 2＋y 2－2x －y ＝0 3.4 4.50° 5.M 1 题型分类·深度剖析
例1 解 (1)由ρcos(θ－π
3)＝1
得ρ(12cos θ＋3
2
sin θ)＝1.
从而C 的直角坐标方程为12x ＋3
2y ＝1，即x ＋3y ＝2.
当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N (233，π
2)．
(2)M 点的直角坐标为(2,0)． N 点的直角坐标为(0，233)．
所以P 点的直角坐标为(1，
33
)． 则P 点的极坐标为(233，π
6
)，
所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π
6(ρ∈R )．
跟踪训练1 解 将极坐标方程化为直角坐标方程， 得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1， 直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.
由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1， 即有|3×1＋4×0＋a |32＋42
＝1，解得a ＝－8或a ＝2.
故a 的值为－8或2.
例2 解 将两曲线的参数方程化为普通方程分别为x 25＋y 2
＝1 (0≤y ≤1，－5 y 2＝45x ，联立解得交点为????1，255. 跟踪训练2 解 (1)∵x ＝2t 21＋t 2 ， ∴y ＝4－2t 21＋t 2＝4(1＋t 2)－6t 21＋t 2＝4－3×2t 2 1＋t 2＝4－3x . 又x ＝2t 21＋t 2＝2(1＋t 2)－21＋t 2 ＝2－21＋t 2∈[0,2)． ∴x ∈[0,2)． ∴所求的普通方程为3x ＋y －4＝0(x ∈[0,2))． (2)∵4cos 2θ＝2－x,4sin 2θ＝4(y ＋1)． ∴4cos 2θ＋4sin 2θ＝2－x ＋4y ＋4. ∴4y －x ＋2＝0. ∵0≤4cos 2θ≤4，∴0≤2－x ≤4， ∴－2≤x ≤2. ∴所求的普通方程为x －4y －2＝0(x ∈[－2,2])． 例3 解 化极坐标方程ρ＝4cos θ为直角坐标方程x 2＋y 2－4x ＝0， 所以曲线C 是以(2,0)为圆心，2为半径的圆． 化参数方程??? x ＝－3＋32t ，y ＝1 2t (t 为参数)为普通方程x －3y ＋3＝0. 圆心到直线l 的距离d ＝|2＋3| 1＋3＝5 2 ， 此时，直线与圆相离， 所以MN 的最小值为52－2＝1 2 . 跟踪训练3 解 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0. 解???? ? x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0， 得? ?? ?? x 1＝0，y 1＝4，? ???? x 2＝2， y 2＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标为????4，π2，????22，π4， 注：极坐标系下点的表示不唯一． (2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0， 由参数方程可得y ＝b 2x －ab 2 ＋1， 所以??? b 2 ＝1，－ab 2＋1＝2， 解得a ＝－1，b ＝2. 练出高分 A 组 1．解 因为直线l 的参数方程为? ???? x ＝t ＋1， y ＝2t (t 为参数)， 由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0. 同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x . 联立方程组? ???? y ＝2(x －1)， y 2＝2x ， 解得公共点的坐标为(2,2)，????12，－1. 2．解 (1)由? ???? x ＝sin α， y ＝cos 2 α，α∈[0,2π)得 x 2＋y ＝1，x ∈[－1,1]． (2)由ρsin(θ＋π 4)＝－2得曲线D 的普通方程为 x ＋y ＋2＝0. ????? x ＋y ＋2＝0，x 2＋y ＝1 得x 2－x －3＝0. 解得x ＝1±132?[－1,1]， 故曲线C 与曲线D 无公共点． 3．解 (1)由点A (2，π4)在直线ρcos(θ－π 4)＝a 上，可得a ＝ 2. 所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0. (2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1， 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝2 2 <1， 所以直线l 与圆C 相交． 4．解 ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ， ∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36. 又∵ρ＝12cos ??? ?θ－π6， ∴ρ2＝12ρ????cos θcos π6＋sin θsin π6， ∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0， ∴(x －33)2＋(y －3)2＝36， ∴PQ max ＝6＋6＋(33)2＋32＝18. 5．解 (1)由公式? ???? x ＝ρcos θ， y ＝ρsin θ得M 的直角坐标为(1，－3)； N 的直角坐标为(2,0)；P 的直角坐标为(3，3)． (2)∵k MN ＝3 2－1＝3，k NP ＝3－03－2＝ 3. ∴k MN ＝k NP ，∴M 、N 、P 三点在一条直线上． 6．解 圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应的点的坐标为P ′(x ′，y ′)， 则? ???? x ＝2x ′， y ＝3y ′， ∴4x ′2 ＋9y ′2 ＝36，即x ′29＋y ′24 ＝1. ∴曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 2 4＝1，其焦点坐标为(±5，0)． B 组 1．解 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0， 直线l ：ρsin(θ－π4)＝2 2，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1， 即x －y ＋1＝0. (2)由????? x 2＋y 2 －x －y ＝0，x －y ＋1＝0得????? x ＝0，y ＝1， 故直线l 与圆O 公共点的极坐标为(1，π 2)． 2．解 (1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4； 因为ρ2－22ρcos(θ－π 4 )＝2， 所以ρ2－22ρ(cos θcos π4＋sin θsin π 4)＝2， 所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin(θ＋π4)＝2 2 . 3．解 (1)∵C 1的参数方程为????? x ＝4＋5cos t y ＝5＋5sin t . ∴? ???? 5cos t ＝x －4 5sin t ＝y －5. ∴(x －4)2＋(y －5)2＝25(cos 2t ＋sin 2t )＝25， 即C 1的直角坐标方程为(x －4)2＋(y －5)2＝25， 把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －4)2＋(y －5)2＝25， 化简得：ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ， 解方程组? ???? (x －4)2＋(y －5)2 ＝25 x 2＋y 2＝2y 得????? x ＝1y ＝1或????? x ＝0 y ＝2 . ∴C 1与C 2交点的直角坐标为(1,1)，(0,2)． ∴C 1与C 2交点的极坐标为????2，π4，????2，π 2. 4．解 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. 解? ???? ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π 3， 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为????2，π3，????2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一． (2)方法一 由? ???? x ＝ρcos θ， y ＝ρsin θ 得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)． 故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为????? x ＝1， y ＝t ，－3≤t ≤ 3. ? ????或参数方程写成 ????? x ＝1， y ＝y ，－3≤y ≤3 方法二 将x ＝1代入? ???? x ＝ρcos θ， y ＝ρsin θ 得ρcos θ＝1，从而ρ＝1 cos θ . 于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为? ??? ? x ＝1，y ＝tan θ， －π3 ≤θ≤π 3 . 第5讲氧化还原反应的计算及方程式的配平 [考纲要求] 1.掌握常见氧化还原反应的配平和相关计算。2.能利用得失电子守恒原理进行相关计算。 考点一氧化还原反应方程式的配平方法 氧化还原反应的实质是反应过程中发生了电子转移，而氧化剂得电子总数(或元素化合价降低总数)必然等于还原剂失电子总数(或元素化合价升高总数)，根据这一原则可以对氧化还原反应的化学方程式进行配平。 配平的步骤： (1)标好价：正确标出反应前后化合价有变化的元素的化合价。 (2)列变化：列出元素化合价升高和降低的数值。 (3)求总数：求元素化合价升高和降低的总数，确定氧化剂、还原剂、氧化产物、还原产物的化学计量数。 (4)配系数：用观察法配平其他各物质的化学计量数。 (5)细检查：利用“守恒”三原则(即质量守恒、得失电子守恒、电荷守恒)，逐项检查配平的方程式是否正确。 [典例]根据FeS2＋O2―→Fe2O3＋SO2，回答下列问题： (1)氧化剂________，还原剂________，氧化产物________，还原产物________。 (2)元素化合价升高的元素为________，元素化合价降低的元素为________。 (3)1“分子”还原剂化合价升高总数为________，1“分子”氧化剂化合价降低总数为________。 (4)配平后各物质的系数依次为____________________。 答案(1)O2FeS2Fe2O3、SO2Fe2O3、SO2 (2)Fe、S O(3)114 (4)4、11、2、8 失误防范配平氧化还原反应方程式的关键是正确标出化合价，找准1“分子”氧化剂化合价降低总数，1“分子”还原剂化合价升高总数，在计算时，往往容易忽略氧化剂、还原剂中的粒子个数。 题组一正向配平类 选修4－5不等式选讲 1．两个实数大小关系的基本事实 a>b?________；a＝b?________；a 5．基本不等式 (1)定理：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)定理(基本不等式)：如果a ，b >0，那么a ＋b 2________ab ，当且仅当________时，等号成 立．也可以表述为：两个________的算术平均________________它们的几何平均． (3)利用基本不等式求最值 对两个正实数x ，y ， ①如果它们的和S 是定值，则当且仅当________时，它们的积P 取得最________值； ②如果它们的积P 是定值，则当且仅当________时，它们的和S 取得最________值． 6．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)定理 如果a ，b ，c 均为正数，那么a ＋b ＋c 3________3 abc ，当且仅当________时，等号 成立． 即三个正数的算术平均____________它们的几何平均． (2)基本不等式的推广 对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均__________它们的几何平均，即 a 1＋a 2＋…＋a n n ________n a 1a 2…a n ， 当且仅当________________时，等号成立． 7．柯西不等式 (1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2 n )≥(a 1b 1 ＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立． (3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立． 8．证明不等式的方法 (1)比较法 ①求差比较法 知道a >b ?a －b >0，a b ，只要证明________即可，这种方法称为求差比较法． ②求商比较法 由a >b >0?a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时要证明a >b ，只要证明________即可，这 种方法称为求商比较法． 第1讲探究型实验题 热点一未知产物及物质性质的探究 1．对未知产物的探究 通过化学反应原理猜测可能生成哪些物质，对这些物质逐一进行检验来确定究竟含有哪些物质。正确解答此类试题的关键：(1)猜测要全面；(2)熟记常见物质的检验方法。 4 (2)在烧杯中加入热水(或对烧杯加热)c (3)取少量溶液于试管中，加入KSCN溶液，溶液变成血红色，则有Fe3＋取少量溶液滴入适 量酸性高锰酸钾溶液中，高锰酸钾溶液褪色，则有Fe2＋a(4)b 11m－4n 14n 2．物质性质的探究 无机物、有机物性质的探究，必须在牢牢掌握元素化合物知识的基础上，大胆猜想，细心论证。 对物质性质探究的基本思路如下： 题组一 未知产物的探究 1．实验室中需要22.4 L(标准状况)SO 2气体。化学小组同学依据化学方程式Zn ＋2H 2SO 4(浓)=====△ZnSO 4＋SO 2↑＋2H 2O 计算后，取65.0 g 锌粒与98%的浓H 2SO 4(ρ＝1.84 g·cm －3)110 mL 充分反应，锌全部溶解，对于制得的气体，有同学认为可能混有杂质。 (1)化学小组所制得的气体中混有的主要杂质气体可能是______(填分子式)。产生这种结果的主要原因是________(用化学方程式和必要的文字加以说明)。 (2)为证实相关分析，化学小组的同学设计了实验，组装了如下装置，对所制取的气体进行探究。 ①装置B中加入的试剂为________，作用是________。 ②装置D加入的试剂为________________，装置F加入的试剂为________________。 ③可证实一定量的锌粒和一定量的浓硫酸反应后生成的气体中混有某杂质气体的实验现象是________。 ④U形管G的作用为________。 答案(1)H2随着反应的进行，硫酸浓度降低，致使锌与稀硫酸反应生成H2：Zn＋H2SO4===ZnSO4＋H2↑ (2)①NaOH溶液(或酸性KMnO4溶液，其他合理答案也可) 除去混合气体中的SO2②浓硫酸无水硫酸铜 ③装置E玻璃管中黑色CuO粉末变红色，干燥管F中无水硫酸铜变蓝色 ④防止空气中的H2O进入干燥管F而影响杂质气体的检验 解析(1)从物质的量关系来看，发生反应Zn＋2H2SO4(浓)===ZnSO4＋SO2↑＋2H2O，H2SO4略过量，但是实际上随着反应的进行，硫酸的浓度降低；当硫酸的浓度降到一定程度，反应变为Zn＋H2SO4===ZnSO4＋H2↑。(2)该实验的目的是为了通过加热还原CuO验证H2的存在，通过F装置进一步确认有H2O生成；具体的实验装置及作用是A—产生待研究的气体，B—除去气体中的SO2(可以利用SO2的性质选取NaOH溶液或酸性高锰酸钾溶液)，C—验证SO2已除尽，D—干燥气体，E—若有H2，则加热E玻璃管，CuO固体由黑色变为红色，F—利用无水硫酸铜吸水变蓝进一步确定气体中H2的存在，G—防止空气中的水蒸气进入F装置而干扰实验。 选修4－4 坐标系与参数方程 1．极坐标系 (1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做________，从O 点引一条射线Ox ，叫做________，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系． 设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的________，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝______，y ＝________. 另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________. 2．简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程 θ＝α (ρ∈R )表示过极点且与极轴成α角的直线； ρcos θ＝a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； ρsin θ＝b 表示过??? ?b ，π 2且平行于极轴的直线； ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程． (2)圆的极坐标方程 ρ＝2r cos θ表示圆心在(r,0)，半径为|r |的圆； ρ＝2r sin θ表示圆心在????r ，π 2，半径为|r |的圆； ρ＝r 表示圆心在极点，半径为|r |的圆． 3．曲线的参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数? ???? x ＝f (t )， y ＝g (t ). 并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________________，其中变量t 称为________． 4．一些常见曲线的参数方程 (1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为________________(t 为参数)． (2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为________________________(θ为参数)． (3)椭圆方程x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的参数方程为________________(θ为参数)． (4)抛物线方程y 2＝2px (p >0)的参数方程为________________(t 为参数)． 1．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π 4 )＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________． 2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为____________________． 3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线? ???? x ＝4t 2 ， y ＝4t (t 为参数)上，则PF ＝________. 4．直线? ???? x ＝－1＋t sin 40° ，y ＝3＋t cos 40°(t 为参数)的倾斜角为________． 5．已知曲线C 的参数方程是? ???? x ＝3t ， y ＝2t 2 ＋1(t 为参数)．则点M 1(0,1)，M 2(5,4)在曲线C 上的是________． 题型一 极坐标与直角坐标的互化 例1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π 3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标； 第1讲 化学实验基础知识和技能 [考纲要求] 1.了解化学实验室常用仪器的主要用途和使用方法。2.掌握化学实验的基本操作，能识别药品安全使用标志。3.了解实验室一般事故的预防和处理方法。 考点一 常用化学仪器的识别与使用 1．可加热的仪器 (1)仪器①的名称为试管，加热液体时，液体体积不能超过其容积的13 ，加热固体时，试管口应略向下倾斜。 (2)仪器②的名称为蒸发皿。使用方法：蒸发浓缩时要用玻璃棒搅拌。 (3)仪器③的名称为坩埚。使用方法：用于固体物质灼烧，把坩埚放在三脚架上的泥三角上加热，取放坩埚必须使用坩埚钳，加热完的坩埚应放在石棉网上冷却。 (4)仪器④的名称为圆底烧瓶。使用方法：a.常用于组装有液体参与反应的反应器；b.加热液 体时，不能超过其容积的12 。 (5)仪器⑤的名称为锥形瓶。使用方法：a.可用于组装气体发生器；b.用于滴定操作；c.作蒸馏装置的接收器。 收集：樱满唯 (6)仪器⑥的名称为烧杯。使用方法：a.可用于物质的溶解与稀释；b.用于称量具有腐蚀性的固体药品；c.组装水浴加热装置。 2．常用的计量仪器 完成下列空白 (1)仪器A的名称：量筒；用途：量取一定体积的液体；精确度：0.1 mL。 特别提醒①无“0”刻度；②不可加热，不可作反应容器，不可用于溶液的稀释；③选取量筒的规则是“大而近”，例如量取5.6 mL NaOH溶液应选取10 mL量筒，而不能选5 mL 或50 mL 量筒。 (2)仪器B的名称：容量瓶；用途：配制一定物质的量浓度的溶液；该仪器能长时间贮存溶液吗？不能。 (3)仪器C的名称：酸式滴定管。 ①使用前需“查漏”；②“0”刻度在上方；③不可盛装碱性溶液；④精确度：0.01 mL。 (4)仪器D的名称：碱式滴定管。 用于盛装碱性溶液，不可盛装酸性和强氧化性液体(如KMnO4溶液)。 (5)仪器E的名称：托盘天平。 ①称量前先调零点；②腐蚀性药品应放于烧杯内称量；③左盘放被称物，右盘放砝码，即“左物右码”；④精确度：0.1 g。 (6)仪器F的名称：温度计。 ①测反应混合液的温度时，温度计的水银球应插入混合液中但不能接触容器内壁；②测蒸汽的温度时，水银球应在液面以上；测馏分温度时，水银球应放在蒸馏烧瓶支管口处。3．常用的分离、提纯仪器 一、分析本节考纲要求 课标要求：理解坐标系的作用；了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。 二、分析近五年中高考题与本节知识的关联 (2014重庆)已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，正半轴为极轴线与 曲线的公共点的极经________. 【答案】 【解析】 . 5ρ,. 541ρ(1,2),∴2044-y 1-x 4y .x 4y θcos ρ4θsin ρ∴0θcos 4-θsin ρ1-,3,2222222==+==?=+===?===+=+=所以交点得与联立y y x y x y t y t x 三、教学目标 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 四、重难点 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题。 五、教法 本节课采用类比启发探究式教学方法，以学生及其发展为本，一切从学生出发。在教师组织启发下，通过创设问题情境，激发学习欲望，提高学生的应用能力，分析问题、解决问题的能力。既强调独立思考，又提倡团结合作；既重视教师的组织引导，又强调学生的主体性、主动性、平等性、交流性、开放性和合作性。 六、教学过程 （一）、平面直角坐标系与曲线方程 1、教师设问：问题1：如何刻画一个几何图形的位置？问题2：如何创建坐标系？问题3：(1).如何把平面内的点与有序实数对(x,y)建立联系？(2).平面直角坐标系中点和有序实数对(x,y)是怎样的关系？问题4：如何研究曲线与方程间的关系？结合课本例子说明曲线与方程的关系？ 2、思考交流：(1).在平面直角坐标系中，圆心坐标为(2,3)、 5为半径的圆的方程是什么？ （2）.在平面直角坐标系中，圆心坐标为（a,b)半径为r 的圆的方程是什么? 3、学生活动：学生回顾并阅读课本，思考讨论交流。教师准对问题讲解。 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 （1）、数轴 它使直线上任一点P 都可以由惟一的实数x 确定 l ???+=+=t y t x 32t x l C =ρ5 第十二章 推理证明、算法初步、复数 第1讲 归纳与类比一、选择题 1．观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为 ( )． A ．76 B ．80 C ．86 D ．92解析 由|x |＋|y |＝1的不同整数解的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x |＋|y |＝n 的不同整数解的个数为4n ，故|x |＋|y |＝20的不同整数解的个数为80.故选B.答案 B 2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( )．A ．289 B ．1 024C ．1 225 D ．1 378解析 观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，…，a n ＝a n －1＋n .∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。 、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。 考点一物质分离、提纯的常用方法及装置 1.物质分离、提纯的区别 (1)物质的分离 将混合物的各组分分离开来，获得几种纯净物的过程。 (2)物质的提纯 将混合物中的杂质除去而得到纯净物的过程，又叫物质的净化或除杂。 2.物质分离、提纯的常用方法及装置 (1)常规实验装置 ①过滤：适用条件：不溶性固体和液体的分离。说明：操作中a.一贴：滤纸紧贴漏斗内壁；二低：滤纸上边缘低于漏斗边缘，液面低于滤纸边缘；三靠：烧杯紧靠玻璃棒，玻璃棒轻靠三层滤纸处，漏斗下端尖口处紧靠烧杯内壁；b.若滤液浑浊，需更换滤纸，重新过滤。浑浊 的原因可能是滤纸破损、滤液超过滤纸边缘。 ②蒸发：适用条件：分离易溶性固体的溶质和溶剂。说明：蒸发结晶适用于溶解度随温度变化不大的物质；而对溶解度受温度变化影响较大的固态溶质，采用降温结晶的方法。 在蒸发结晶中应注意：a.玻璃棒的作用：搅拌，防止液体局部过热而飞溅；b.当有大量晶体析出时，停止加热，利用余热蒸干而不能直接蒸干。 ③蒸馏：适用条件：分离沸点相差较大的互溶液体混合物。说明：a.温度计的水银球放在蒸馏烧瓶的支管口处；b.蒸馏烧瓶内要加沸石；c.冷凝管水流方向应为“逆流”。 ④萃取和分液：适用条件：分离互不相溶的两种液体。说明：a.溶质在萃取剂中的溶解度大； b.两种液体互不相溶； c.溶质和萃取剂不反应； d.分液时下层液体从下口流出，上层液体从上口倒出。 ⑤升华(如下左图)：适用条件：除去不挥发性杂质或分离不同挥发程度的固体混合物。说明：利用物质升华的性质进行分离，属于物理变化。 ⑥洗气(如上右图)：适用条件：除去气体中的杂质气体。说明：长管进气短管出气。 (2)创新实验装置 ①过滤装置的创新——抽滤 由于水流的作用，使图1装置a、b中气体的压强减小，故使过滤速率加快。 §5.4复数 1．复数的有关概念 (1)定义：我们把集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)． (2)分类： (3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭?a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (5)模：向量OZ → 的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． 2．复数的几何意义 复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ → ＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系． 3．复数的运算 (1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R . (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→ ，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→. 概念方法微思考 1．复数a＋b i的实部为a，虚部为b吗？ 提示不一定．只有当a，b∈R时，a才是实部，b才是虚部． 2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？ 提示复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( × ) (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) (3)复平面中原点是实轴与虚轴的交点．( √ ) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ ) 题组二 教材改编 2．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1 答案 A 解析 ∵z 为纯虚数，∴????? x 2－1＝0， x －1≠0， ∴x ＝－1. 3．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA → 对应的复数是( ) A ．1－2i B ．－1＋2i C ．3＋4i D ．－3－4i 答案 D 解析 CA →＝CB →＋BA → ＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i. 4．若复数z 满足()3＋4i z ＝1－i(i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 等于( ) A ．－15－75 i B ．－15＋75 i 第3讲 硫及其化合物 [考纲要求] 1.了解硫及其重要化合物的主要化学性质及应用。2.了解硫的氧化物对大气的污染与防治。 考点一 硫及其氧化物的性质 1.硫单质的性质及应用 (1)硫元素的存在形态 形态— —游离态—火山喷口附近或地壳的岩层里—化合态—主要以硫化物和硫酸盐的形式存在 (2)硫单质的物理性质 硫单质俗称硫黄，是一种淡黄色固体；不溶于水，微溶于酒精，易溶于CS 2；有多种同素异形体，如单斜硫、斜方硫等。 (3)从化合价的角度认识硫单质的化学性质 S －2 ――→ 氧化性 S 0 ――→ 还原性 S ＋ 4 O 2 2.二氧化硫(SO2) (1)物理性质 二氧化硫是无色，有刺激性气味的有毒气体，是大气污染物之一；易溶于水，通常状况下，1体积水溶解约40体积SO2。 (2)化学性质 按要求完成下列方程式： SO 2 ??????? ?? 酸性氧化物的通性???? ? 与H 2O 反应：SO 2＋H 2O H 2SO 3与NaOH (足量)反应： 2NaOH ＋SO 2===Na 2SO 3＋H 2O 氧化性 (如与H 2 S 溶液反应)： SO 2 ＋2H 2 S===3S ↓＋2H 2 O 还原性??? ?? O 2：2SO 2＋O 2催化剂△ 2SO 3 Cl 2＋H 2O ：Cl 2＋SO 2＋2H 2O===2HCl ＋H 2SO 4 漂白性：可使品红溶液等有机色质褪色生成不稳定 的化合物 3.三氧化硫(SO 3) SO 3在标准状况下为无色、针状晶体，能与水反应：SO 3＋H 2O===H 2SO 4，放出大量的热，SO 3是酸性氧化物，它跟碱性氧化物或碱都能反应生成硫酸盐。 4.硫的氧化物的污染与治理 (1)来源：含硫化石燃料的燃烧及金属矿物的冶炼等。 (2)危害：危害人体健康，形成酸雨(pH 小于5.6)。 (3)治理：燃煤脱硫，改进燃烧技术。 (4)硫酸型酸雨的形成途径有两个： 途径1：空气中飘尘的催化作用，使2SO 2＋O 2催化剂 2SO 3、SO 3＋H 2O===H 2SO 4。 途径2：SO 2＋H 2O H 2SO 3、2H 2SO 3＋O 2===2H 2SO 4。 深度 思考 第一部分坐标系 第1节：平面直角坐标系 教学目标： 1.理解平面直角坐标系的意义；掌握在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法。 2.掌握坐标法解决几何问题的步骤；体会坐标系的作用。 教学重点：体会直角坐标系的作用。 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题。 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运 动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景图案，需 要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定。 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定。 三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 四、数学运用 例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。 2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第3讲平面向量 的数量积 第3讲平面向量的数量积 一、选择题 1．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝() A.5 B.10 C．2 5 D．10 解析∵a⊥b，∴x－2＝0，∴x＝2.∴|a＋b|＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝4＋1＋1＋4＝10.故选B. 答案 B 2．设向量a＝(1，cos θ)与b＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于() A. 2 2 B. 1 2 C．0 D．－1 解析∵a⊥b，∴1×(－1)＋cos θ·2cos θ＝0，即2cos2θ－1＝0.又cos 2θ＝2cos2θ－1. 答案 C 3．若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝ ()．A．4 B．3 C．2 D．0 解析由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0. 答案 D 4．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0.向量a，b的夹角为60°，且|b|＝|a|，则向量a与c的夹角为() A．60°B．30° C．120°D．150°解析由a＋b＋c＝0得c＝－a－b， ∴|c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos 60°＝3|a|2， ∴|c|＝3|a|， 又a ·c ＝a ·(－a －b )＝－|a |2－a ·b ＝－|a |2－|a ||b |cos 60°＝－32|a |2. 设a 与c 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·c |a ||c |＝ －32|a |2 |a |·3|a |＝－32， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝150°. 答案 D 5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点的坐标是 ( )． A ．(－3,0) B ．(2,0) C ．(3,0) D ．(4,0) 解析 设P 点坐标为(x,0)， 则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)． AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1) ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1. 当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1. ∴此时点P 坐标为(3,0)，故选C. 答案 C 6．对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ＝α·ββ· β.若平面向量a ，b 满足 |a |≥|b |>0，a 与b 的夹角θ∈? ????0，π4，且a b 和b a 都在集合???? ??n 2| n ∈Z 中，则a b ＝ ( )． A.12 B ．1 C.3 2 D.52 解析 由定义αβ＝α·ββ2可得b a ＝a ·b a 2＝|a |·|b |cos θ|a |2＝|b |cos θ |a |，由|a |≥|b |>0，及 [考纲要求] 1.应用离子反应发生的条件，正确判断常见离子在溶液中能否大量共存。2.利用离子的特征反应，能鉴别常见离子以及进行综合推断。 考点一离子共存 1．离子共存问题是离子反应条件和本质的最直接应用 所谓几种离子在同一溶液中能大量共存，就是指离子之间不发生任何反应；若离子之间能发生反应，则不能大量共存。 2．熟记常考离子的性质 注意“两性离子”指既能与酸反应又能与碱反应的离子，一般为多元弱酸的酸式酸根离子。3．常见溶液酸、碱性的判断 酸性溶液：pH<7(常温)；能使pH试纸呈红色的溶液；能使甲基橙呈红色或橙色的溶液；能使石蕊溶液呈红色的溶液。 碱性溶液：pH>7(常温)；能使pH试纸呈蓝色的溶液；能使石蕊溶液呈蓝色的溶液；能使酚酞溶液呈红色的溶液。 呈酸性或碱性的溶液：和Al反应放出H2的溶液(HNO3除外)；能使甲基橙呈黄色的溶液；c(H ＋)水或c(OH－)水等于10－a mol·L－1(a>7)的溶液。 深度思考 (1)OH－不能和________________________________________________________大量共存(填具体离子，下同)。 答案H＋、NH＋4、Fe2＋、Fe3＋、Cu2＋、Zn2＋、Mg2＋、Al3＋、Cr3＋、HCO－3、HS－、HSO－3、H2PO－4、HPO2－4 (2)H＋不能和____________________________________________________大量共存。 答案OH－、CO2－3(HCO－3)、S2－(HS－)、SO2－3(HSO－3)、PO3－4(H2PO－4，HPO2－4)、SiO2－3、AlO－2、ClO－、F－、CH3COO－、NO－2 (3)CO2－3不能和________________________________________________大量共存。 答案H＋、Mg2＋、Ba2＋、Ca2＋、Fe3＋、Al3＋、Fe2＋、Cu2＋ (4)SO2－3不能和__________________________________________大量共存。 2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第三章 3.1 §3.1导数的概念及运算 1．函数y＝f(x)从x0到x1的平均变化率 Δy Δx＝f(x1)－f(x0) x1－x0 ＝ f(x0＋Δx)－f(x0) Δx. 2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义 当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导 数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝lim x1→x0f(x1)－f(x0) x1－x0 ＝lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx. (2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．函数f(x)的导函数 如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝ lim Δx→0f(x＋Δx)－f(x) Δx，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为 导数． 4．基本初等函数的导数公式 5． (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)?? ??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) [g (x )]2 (g (x )≠0)． 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同． ( × ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)． ( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点． ( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． ( × ) (5)若f (x )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2x . ( × ) (6)函数f (x )＝x 2ln x 的导函数为f ′(x )＝2x ·1x ＝2. ( × ) 2． (2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 答案 2 解析 设e x ＝t ，则x ＝ln t (t >0)，∴f (t )＝ln t ＋t ∴f ′(t )＝1 t ＋1，∴f ′(1)＝2. 3． 已知曲线y ＝x 3在点(a ，b )处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则a 的值是 ( ) A ．－1 B ．±1 C ．1 D ．±3 答案 B 第三章常见的金属及其化合物钠及其氧化物钠的其他常见化合物 碱金属元素 一、选择题(本题包括12个小题，每小题5分，共60分) 1．下列有关NaHCO3和Na2CO3性质的比较中，正确的是 ( ) A．热稳定性：Na2CO3 1.1平面直角坐标系 一、教学目标 （一）核心素养 通过这节课学习，能根据问题的几何特征选择建立适当的平面直角坐标系，在数学建模过程中体会坐标法的思想． （二）学习目标 1．根据问题的几何特征建立适当的平面直角坐标系． 2．通过实例概括坐标伸缩变换公式． 3．了解利用坐标伸缩变换公式研究平面图形伸缩变化情况,体会坐标法思想． （三）学习重点 1．根据几何特征选择坐标系． 2．坐标法思想． 3．平面直角坐标系中的伸缩变换． （四）学习难点 1．适当直角坐标系的选择． 2．对伸缩变换中点的对应关系的理解． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 （1）读一读：阅读教材第2页至第7页，填空： 设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ: 的作用下,点 ),(y x P 对应到点),(y x P ''',称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2．预习自测 （1）如何由正弦曲线y ＝sin x 经伸缩变换得到y ＝12sin 1 2x 的图象( ) A ．将横坐标压缩为原来的12，纵坐标也压缩为原来的1 2 B ．将横坐标压缩为原来的1 2，纵坐标伸长为原来的2倍 C ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍 D ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标压缩为原来的1 2 【知识点】伸缩变换 【解题过程】将正弦曲线y ＝sin x 的横坐标伸长为原来的2倍得到x y 21sin =，再由x y 2 1 sin =的图像的横坐标不变，纵坐标压缩为原来的2 1 即可得y ＝12sin 12x 的图像． 【思路点拨】可根据三角函数的知识求解 【答案】D （2）在平面直角坐标系中，B A ,两点分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB|＝4，则AB 中点P 的轨迹方程为________． 【知识点】点轨迹方程 【数学思想】函数与方程的思想 【解题过程】 422=+y ． 端点的坐标关系，最后代入整理即可． 【答案】422=+y x ． （3）在平面直角坐标系中，方程142=+y x 对应的图形经过伸缩变换???='='y y x x 42后得到的图形对 应的方程是（ ） A ．0142=-'+'y x B ．01=-'+'y x C ．014=-'+'y x D ．0116=-'+'y x 【知识点】伸缩变换 【解题过程】将???='='y y x x 42经过变形得?? ??? ' ='=y y x x 4121代入到方程142=+y x ，整理得01=-'+'y x 【思路点拨】通过对伸缩变换公式的变形为??? ???? '=''=y y x x μλ11，在代入原图形对应的方程，从而得到第二章第5讲【2016化学大一轮步步高答案】解析
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