韦达定理与整数根的问题专题
知识结构图
一．韦达定理与代数式求值
如果的两根是，，则，．（隐含的条件：）特别地，当
一元二次方程的二次项系数为1时，设，是方程的两个根，则，．利用平方差公式、完全平方公式等，对代数式进行变形，代入求值．
二．韦达定理与根的分布
在的条件下，我们有如下结论：
当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值．
当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根．
更一般的结论是：
若，是的两根（其中），且为实数，当时，一般地：
①，
②且，
③且，
特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件．
其他有用结论：
⑴若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．
⑵若，则方程必有实数根．
⑶若，方程不一定有实数根．
⑷若，则必有一根．
⑸若，则必有一根．
三．整数根问题
对于一元二次方程的实根情况，可以用判别式来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．
方程有整数根的条件：
如果一元二次方程有整数根，那么必然同时满足以下条件：
1. 为完全平方数；
2. 或，其中为整数．
以上两个条件必须同时满足，缺一不可．
另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中、、均为有理数)．
题模一韦达定理与代数式求值
例1.1、设是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1）（2）（3）
（4）（5）（6）
例1.2、设实数分别满足，并且，求的值例1.3、已知，是一元二次方程的两个根，求的值
题模二韦达定理与根的分布
例2.1、已知一元二次方程．
（1）当a为何值时，方程有一正、一负两个根？
（2）此方程会有两个负根吗？为什么？
例2.2、实数k为何值时，关于x的一元二次方程．
（1）有两个正根？
（2）两根异号，且正根的绝对值较大？
（3）一根大于3，一根小于3？
题模三整数根问题
例3.1、已知：关于的一元二次方程 (为实数)
(1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
(2)求证：无论为何值，方程总有一个固定的根；
(3)若为整数，且方程的两个根均为正整数，求的值及方程所有的根
例3.2、已知关于的方程的两根都是整数，求的值．
例3.3、求使关于x的方程的根均为整数的所有整数a．
随堂练习
随练1.1、已知一元二次方程x2-2x+m=0．
（1）若方程有两个实数根，求m的范围；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．
随练1.2、如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1．x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；
（2）已知a、b满足a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，求+的值；
（3）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．
随练1.3、若，且有及，则，_________
随练1.4、已知是不等式组的整数解，、是关于的方程的两个实根，求：⑴
的值；⑵的值
随练1.5、已知关于的方程的一个根大于1，另一个根小于1，求的取值范围．
随练1.6、已知关于x的方程（m≠0）
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根都是整数，求整数m的值．
随练1.7、求出所有正整数，使方程至少有一个整数根．
随练1.8、设关于x的二次方程的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值．
能力拓展
拓展1、已知，是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值：
（1）（2）（3）
拓展2、已知关于的方程的两根、满足条件，求的值．
拓展3、已知方程的根是和，方程的根是和．其中，、、、为不同实数，求、、、的值？
拓展4、已知（）是方程的两个实数根，是方程的两实数根，且，，求的值？
拓展5、已知关于的方程的两根都大于5，求的取值范围．
拓展6、已知方程的两实根为、，方程的两实根为、．
（1）若、均为负整数，且，求、的值；
（2）若，，求证：
拓展7、已知为常数，关于的一元二次方程的解都是整数，求的值．
拓展8、已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根
第10课 判别式与韦达定理 〖知识点〗 一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理 〖大纲要求〗 1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况。对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围； 2.掌握韦达定理及其简单的应用； 3.会在实数范围内把二次三项式分解因式； 4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题。 内容分析 1.一元二次方程的根的判别式 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2-4ac 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根， 当△＜0时，方程没有实数根． 2.一元二次方程的根与系数的关系 (1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是x 1，x 2，那么a b x x -=+21，a c x x =21 (2)如果方程x 2 +px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-P ，x 1x 2=q (3)以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0． 3.二次三项式的因式分解(公式法) 在分解二次三项式ax 2+bx+c 的因式时，如果可用公式求出方程ax 2+bx+c=0的两个根 是x 1,x 2，那么ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2)． 〖考查重点与常见题型〗 1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如： 关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中，如果a<0，那么梗的情况是（ ） （A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）没有实数根 （D ）不能确定 2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如： 设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值是（ ） （A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3 3．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题。在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力。 考查题型 1．关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（ ） （A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）没有实数根 （D ）不能确定 2．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值是（ ） （A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3 3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ） （A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=0
一元二次方程根的判别式和韦达定理 知识点一、一元二次方程根的判别式 一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=?． （1）当△>0?一元二次方程有2 个不相等的实数根；1x = 2x = （2）当△=0?一元二次方程有2个相等的实数根；122b x x a ==- （3）当△<0?一元二次方程没有实数根． 例1：下列一元二次方程没有实数根的是（ ） A ．x 2+2x +1=0 B ．x 2+x +2=0 C ．x 2﹣1=0 D ．x 2﹣2x ﹣1=0 【变式一】不解方程，判断一元二次方程2210x ax a -++=的根的情况是（ ）． A ．没有实数根 B ．只有一个实数根 C ．有两个相等的实数根 D ．有两个不相等的实数根 例2．关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x +1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ． 【变式一】关于x 的方程()22210m x x ++-=有两个不等的实根，则m 的取值范围是 知识点二、韦达定理 1．如果一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠的两根为12x x 、，那么有：1212b x x a c x x a ? +=-????=?? ． 例3：已知α，β是一元二次方程220x x +-=的两个实数根，则α+β-αβ的值是（ ） A ．3 B ．1 C ．-1 D ．-3 知识点&例题
【变式一】已知一元二次方程22210x x +-=的两个根为1x ，2x ，且1x ＜2x ，下列结论正确的是（ ） A ．1x + 2x =1 B ．1x ?2x =-1 C ．|1x |＜|2x | D ．21112 x x += 【变式二】已知1x ，2x 是关于x 的方程230x bx +-=的两根，且满足121235x x x x +-=，那么b 的值为（ ） A ．4 B ．-4 C ．3 D ．-3 2、利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形 ①()2 221212122x x x x x x +=+-； 例4：设1x 、2x 是一元二次方程22410x x --=的两实数根，则的2212x x +值是（ ） A ．2 B ．4 C ．5 D ．6 【变式一】设1x ，2x 是一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的两根，则2212x x + = ． 【变式二】若α、β是一元二次方程x 2+2x ﹣6=0的两根，则α2+β2= ． ②()()2 21212124x x =x x x x -+-； 例5：设1x 、2x 是一元二次方程x 2﹣5x ﹣1=0的两实数根，则()2 12x x -的值为 ． 【变式一】设1x ，2x 是一元二次方程x 2﹣5x ﹣6=0的两根，则()212x x - = ． 【变式二】若α、β是一元二次方程x 2+7x ﹣6=0的两根，则()2 α-β= ． ③12x x =-± 例6：设1x 、2x 是一元二次方程23450x x -+=的两实数根，则12x x -的值为 ． 【变式一】设1x ，2x 是一元二次方程21 5102 x x --=的两根，则12x x - = ． 【变式二】若α、β是一元二次方程2250x x +-=的两根，则α-β= ．
韦达定理在解析几何中的应用 陈历强 一，求弦长 在有关解析几何的高考题型中不乏弦长问题以及直线与圆锥曲线相交的问题。求直线与圆锥曲线相交所截得的弦长，可以联立它们的方程，解方程组求出交点坐标，再利用两点间距离公式即可求出，但计算比较麻烦。能否另擗捷径呢？能！仔细观察弦长公式： ∣AB ∣=∣x 1-x 2∣21k +?=)1](4)[(221221k x x x x +-+ 或∣AB ∣=∣y 1-y 2∣2 11k + ? =) 11](4)[(2 21221k y y y y + -+ ， 立刻发现里面藏着韦达定理（其中x 1、x 2分别表示弦的两个端点的横坐标，y 1、y 2分别表示弦的两个端点的纵坐标）。请看下面的例子： 例1,已知直线 L 的斜率为2，且过抛物线y 2=2px 的焦点，求直线 L 被抛物线截得的弦长。 解：易知直线的方程为y=2(x-2 p ). 联立方程组y 2=2px 和y=2(x- 2 p ) 消去x 得 y 2-py-p 2=0.∵△=5p 2>0,∴直线与抛物线有两个不同的交点。由韦达定理得y 1+y 2=p,y 1y 2=-p 2.故弦长d= 2 5p 例2,直线y=kx-2交椭圆x 2+4y 2=80交于不同的两点P 、Q ，若PQ 中点的横坐标为2，则∣PQ ∣等于___________. 分析：联立方程组y=kx-2和x 2+4y 2=80消去y 得(4k 2+1)x 2-16kx-64=0 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2). 由韦达定理得 x 1+x 2= 1 4162 +k k = 4得k= 2 1.x 1x 2= -32∣PQ ∣=6 . 练习1：过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,如果x 1+x 2=6, 那么|AB|=( ) (A)10 (B)8 (C)6 (D)4 (文尾有提示.下同) 二，判定曲线交点的个数
一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注意事项 一、一元二次方程跟的判别式的常见题型 题型1：不解方程，判断一元二次方程根的情况 .6232)3(;0123)2(; 0345)1(222x x x x x x =+=++=-- 题型2：证明一元二次方程根的情况 求证：无论k 取何实数，关于x 的一元二次方程：2(1)40x k x k -++-=总有两个不等 实根。 题型3：已知一元二次方程根的情况．． ，求方程中未知系数的取值范围 1．（ 2011·重庆）已知关于x 的一元二次方程．．．．．．(a －1)x 2 －2x +1=0有两个不相等的．．．．．．实数根,则a 的取值范围是( ) A.a <2 B,a >2 C.a <2且a ≠1 D.a <－2· 变式1：（2010·安徽芜湖）关于x 的方程．．(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根．．．． ，则a 满足（） A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠5 注意：要特别注意二次项系数是否为0，即原方程是否“一定为一元二次方程”。 变式2：（2010 ·成都）若关于x 的一元二次方程2 420x x k ++=有两个实数根，求k 的取 值范围及k 的非负整数．．．．值. 变式3：已知关于x 的一元二次方程(12)10k x k x --=有两个实数根，求k 的取值范围 二、一元二次方程根与系数的关系------韦达定理的常见题型 题型1：已知一元二次方程的一根，求另一根及未知系数k 的值 已知23- 是方程210x kx ++=的一根，则方程的另一根是 ，k = 。 题型2：求与一元二次方程根有关的代数式的值； 1. 已知12,x x 是方程2 2430x x --=的两根，计算： （1）22 12 x x +； ⑵ 12 11 x x +；⑶ 212()x x - 变 式 ： 已 知 ,a b 是方程 2201230 x x -+=的两实根，求 22(20103)(20103)a a b b -+-+的值 题型3：已知一元二次方程两根的关系．．．．．，求方程中未知系数的取值 1． 关于x 的一元二次方程2 2(21)10x k x k +-+-=的两个实根的平方和等于 9，求k 的 值
根的判别式 【典例1】.关于x 的方程10422 =-+kx x 的一个根是－2，则方程的另一根是 _____；k ＝______。 【典例2】.1x 、2x 是方程05322 =--x x 的两个根，不解方程，求下列代数式 的值： （1）2 2 2 1x x +（2） 2 1x x -（3）22 22133x x x -+ 【典例3】.已知关于x 的一元二次方程与 有一个相同的根，求k 的值。 【典例4】已知方程032=++k x x （1）若方程两根之差为5，求k 。 （2）若方程一根是另一根2倍，求这两根之积。 【典例5】已知方程 两根之比为1：3，判别式值为16，求a 、b 的值。
韦达定理 [典例1]因式分解6x y+7xy-3=___________ [典例2]解方程组 [典例3]如果直角三角形三条边a,b,c,都满足方程x-mx+=0,求三角形的面积。 [典例4]已知方程2x-8x-1=0的两个根为α,β,不解方程，求解以+,(α-1)(β-1)为根的一元二次方程。 [典例5]已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为p,q，且满足关系式,试求这个一元二次方程。
[典例6]已知α,β是一元二次方程4kx-4kx+k+1=0的两个实根 （1）是否存在实数根k，使（2α-β)(α-2β)=- 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。 （2）求使+-2的值为整数的实数k的整数值。 训练题 1、（海淀中考）已知：关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0的两个实数根之差的平方为m． （1）试分别判断当a=1，c=-3与a=2，c=时，m≥4是否成立，并说明理由； （2）若对于任意一个非零的实数a，m≥4总成立，求实数c及m的值． 2、已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：①x2-1=0，②x2+x-2=0， ③x2+2x-3=0，…（n）x2+（n-1）x-n=0． （1）请解上述一元二次方程①、②、③、（n）； （2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可． 3、（02海淀）（1）求证：若关于x的方程（n-1）x2十mx十1=0①有两个相等的实数根．则关于y的方程m2y2-2my-m2-2n2+3=0②必有两个不相等的实数根； （2）若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式m2n十12n 的值．
第三讲判别式与韦达定理 教学容：判别式与韦达定理 教学目标： 1、熟练掌握判别式的概念以及判别式与方程根的情况； 2、能熟练运用△求方程中的参数值或取值围； 3、理解并掌握韦达定理的定义； 4、熟练掌握一些常用代数式的变形； 5、能利用韦达定理构造一元二次方程； 6、经过本章的学习，体会一元二次方程根与系数的关系，以及加深对一元二次方程的理解。 教学重点： 1、△与方程根的关系； 2、韦达定理； 3、常用代数式的变形； 教学难点： 1、运用△求方程中参数的值或取值围； 2、常用代数式的变形； 教学方法：探究法、讲授法； 教学过程： 8:20~8:30:考勤，收发作业 8:30~8:50:进门考 第一课时8:50~9:20 一、讲评作业 二、导入新课 子曰：“温故而知新，可以为师矣！”所以在学习今天的新知识前我们先一起
来温习一下昨天我们学了什么？ 1、引导学生复习一元二次方程： 定义 一元二次方程 特点 解 直接开方 解法 配方 公式 因式分解 2、举例复习四种方法： （1） x 2=25 （2） 2x 2+4x-2=0 （3） 2123 0234 x x +-= （4） 2560x x ++= 3、问公式引入判别式 三、探索新知： 1、回顾得出判别式的概念：24b ac ?=-作用：判别一元二次方程根的个数. 要先化为一般式 2、算出下列一元二次方程的判别式 2223720230410 x x x x x x -+=-=++= 3、判别式与方程的根的关系 1,2120020x b x x a ?>?= -?=?==?
一元二次方程跟与系数关系（韦达定理）的应用 一 教材分析 本节教学内容为“韦达定理的应用”，此内容是学生学习“一元二次方的根与系数的关系”中解决一些简单问题的重要方法。韦达定理联系了方程根与系数的关系，是学生在解决应用问题中的重要工具，具有广泛的应用价值，根据教材内容，由学生已知的认知结构及原由的知识水平，制定如下教学目标: 二 教学目标 1、巩固上一节学习的韦达定理，并熟练掌握韦达定理的应用。 2、提高学生综合应用能力 三 教学重难点 重点:运用韦达定理解决方程中的问题 难点:如何运用韦达定理 四 教学过程 (一 ) 回顾旧知，探索新知 上节课我们学习了韦达定理，我们回忆一下什么是韦达定理? 如果)0(02 ≠=++a c bx ax 的两个根是21,x x 那么a c x x a b x x =?- =+2121, {老师:由韦达定理我们可知，韦达定理表示方程的根与系数的关系，如果在方 程中遇到需要求解根的情况，我们是否能用韦达定理来解决呢?今天我们将来探讨这个问题。) (二) 举例分析 例 已知方程0652 =-+kx x 的一根是2，求它的另一根及k 的值。 请同学们分析解题方法: 思路:应用解方程的方法，带入法 解法一:把X=2代入方程求的K=-7 把K=-7代入方程:06752 =--x x 运用求根公式公式解得5 3,221- ==∴x x 提问:同学们还有没有其它方法呢? 启发学生，我们已知方程一根，求另一根，我们否能用韦达定理建立一个关系，求解方程。
解法二:设方程的两根为21,x x ，则21,2x x =是未知数 用韦达定理建立关系式 5 3 ,5622 2-=∴-=x x 7 ,5 3 ,27 ,5 2212-=-==∴-=∴-=+k x x k k x 对比分析，第二种方法更加简单 总结:在解方程的根时，利用韦达定理会使求解过程更为简单，且不用解方程，直接求某 些代数式的值 例2 不解方程，求一元二次方程2x 2＋3x －1＝0两根的 （1）平方和；（2）倒数和 方法小结: (1)运用韦达定理求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用2121,x x x x ?+的代数式表示。 (2)格式、步骤要求规范: ①将方程的两根设为。 ②求出2121,x x x x ?+的值 。 ③将所求代数式用2121,x x x x ?+的代数式表示 。 ④ 将2121,x x x x ?+的值代人并求值。 三 综合运用 巩固新知 1、求一个一元二次方程，使它的两根分别是 解 ： 2、设 2 1,x x 是方程03422 =-+x x 的两根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。
【学习课题】 九上 补充内容 综合应用根的判别式和韦达定理 龙泉二中 范积慧 【学习目标】 1、掌握一元二次方程根与系数的符号关系 2、利用韦达定理并结合判别式，求参数的值 【学习重点】一元二次方程根与系数的符号关系 【学习难点】利用韦达定理并结合判别式，求参数的值 【学习过程】 学习准备：（1）一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 的判别式△=__________ △＞0?__________△=0 ?_____________△＜0 ?__________ （2）一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两根分别为x 1和x 2 x 1+x 2=____________, x 1x 2=_____________ 解读教材：由根的判别式及韦达定理可得如下结论： （1）若a 、c 异号 ? ax 2+bx+c=0 (a ≠0)必有两个不相等的实数根； （2）有一个根为1 ? a+b+c=0 ； （3） 有一个根为—1 ? a —b+c=0； （4）有一个根为0 ? c=0 （5）有两个正根 ??????+≥0210210＞＞△x x x x （6）有两个负根 ? ?? ???+≥0210210＞＜△x x x x (7) 有一正根一负根 ????0021＜△＞x x （8）两根同号 ????≥002 1＞△x x （9）两根互为相反数????=?=+0 0021b x x △＞ （10）两根互为倒数????=≥102 1x x △ （11）一根为正，一根为0 ??????=?=+00002 121c x x x x ＞△＞ （12）一根为负，一根为0 ??????=?=+00002 121c x x x x ＜△＞ （13）两根均为0?b=c=0 (14) 一根比a 大，一根比a 小????--0))(021 ＜（△＞a x a x 例1 已知方程（k+1）x 2—4kx+3k —1=0 的两个实数根均为正，求k 的值。 思路点拨：因为原方程两个实数根均为正，有上述结论（5）可得不等式组，解这个不 等式组即可求出k 的值。
一元二次方程根的判别式和韦达定理 知识点1.根的判别式 2 1.402 2.0204 3.,22ac b b ac b x x a a ? ?≠-????>???? ?=?????
1、下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02 =-x x 中，无实根的 方程是 。 2、已知关于x 的方程022 =+-mx x 有两个相等的实数根，那么m 的值是 。 3、下列方程中，无实数根的是（ ） A 、011=-+-x x B 、 762=+y y C 、021=++x D 、0232=+-x x 4、若关于x 的一元二次方程01)12()2(2 2 =+++-x m x m 有两个不相等的实根，则m 的取值范围是（ ） A 、43< m B 、m ≤43 C 、4 3>m 且m ≠2 D 、m ≥43 且m ≠2 5、在方程02 =++c bx ax （a ≠0）中，若a 与c 异号，则方程（ ） A 、有两个不等实根 B 、有两个相等实根 C 、没有实根 D 、无法确定 6、关于x 的一元二次方程x 2 ＋kx －1=0的根的情况是 （ ） A 、有两个不相等的同号实数根 B 、有两个不相等的异号实数 C 、有两个相等的实数根 D 、没有实数根 7、 m 取何值时，方程()0112)2(2 2 =++--x m x m （1）有两个不相等的实数根 （2） 有两个相等的实数根；（3）没有实数根 8、试证：关于x 的方程1)2(2 -=+-x m mx 必有实根。 9、已知关于x 的方程022 =-+-n m mx x 的根的判别式为零，方程的一个根为1，求m 、 n 的值。
韦达定理的应用 一、典型例题 例1：已知关于x的方程2x－（m＋1）x＋1－m=0的一个根为4，求另一个根。 解：设另一个根为x1，则相加，得x 例2：已知方程x－5x＋8=0的两根为x1，x2，求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为和. 解：∵又 ∴代入得，∴新方程为 例3：判断是不是方程9x－10x－2=0的一个实数根？ 解：∵二次实数方程实根共轭，∴若是，则另一根为 ∴，。 ∴以为根的一元二次方程即为.
例4：解方程组 解：设∴. ∴A=5. ∴x-y=5 又xy=-6. ∴解方程组∴可解得 例5：已知Rt ABC中，两直角边长为方程x－（2m＋7）x＋4m（m－2）=0的两根，且斜边长为13，求S的值 解：不妨设斜边为C=13，两条直角边为a，b，则2。又a，b为方程两根。∴ab=4m（m-2）∴S但a，b为实数且 ∴∴ ∴m=5或6 当m=6时，∴m=5 ∴S. 例6：M为何值时，方程8x－（m－1）x＋m－7=0的两根 ①均为正数②均为负数③一个正数，一个负数④一根为零⑤互为倒数 解：①∵∴m>7
②∵ ∴不存在这样的情况。 ③ ∴m<7 ④ ∴m=7 ⑤ ∴m=15.但使 ∴不存在这种情况 【模拟试题】（答题时间：30分钟） 1. 设n为方程x＋mx＋n=0（n≠0）的一个根，则m＋n等于 2. 已知方程x＋px－q=0的一个根为－2＋，可求得p= ,q= 3. 若方程x＋mx＋4=0的两根之差的平方为48，则m的值为（） A．±8 B.8 C.－8 D.±4 4. 已知两个数的和比a少5，这两个数的积比a多3，则a为何值时，这两个数相等？ 5. 已知方程（a＋3）x＋1=ax有负数根，求a的取值围。
第 1 页 共 2 页 根的判别式和韦达定理（根与系数的关系） 应用：不解方程，根据系数看根的情况。 一般式ax 2 +bx+c=0（以正a 为标准，即二次项系数为负时，两边乘-1转为正， 这样减少错误，减少思考过程） 口诀，以正a 为标准的前提下， 常数项c ：是看两根符号的异同（两根关系，即是互异，还是同号） 大致情况 [注：互异指符号相反，但不一定是相反数] 一次项系数b ：是决定符号的正负。[注：同号时，b 决定同正还是同负] 具体情况 具体指明 互异时，b 决定正负值谁绝对值大] 例如：x 1,x 2同为正时，x 1+ x 2＞0 两根式：x 2 -(x 1+x 2)x+x 1x 2=0 系数比式：02=++a c x a b x （系数比式：就是将二次项系数化为1，以a 作比后项） 形式比较：－（x 1+x 2）=b a (两根和与相邻系数比互为相反数) x 1x 2=c a (两根积与相隔系数比同号) 以正a 为标准，（是负转为正，减少思维过程，减少错误） X 1X 2=c a 是看两根符号的异同 c 为两根积象征 X 1+X 2=-b a 是看两根符号的正负。 b 为两根和象征 ①c ＞0 （符号同） ①b ＜0 和＞0 (同正)[注-b\a 为和] 积＞0 [注]中间(b)定符号，口诀a 大则b\两根和变化 [注]两边(a,c)看异同(两根异同) 方向相反，反之亦然 说明：a 大 b 小\两根(同为正） ②b ＞0(同负) b 大\两根(同为负）a 小… △＞0 ①b ＜0 和＞0 (正值的绝对值大) 不等实根 ②c ＜0 (符号异) ②b ＞0 和＜0 (负值的绝对值大) ③b=0(互为相反数) △≥0 ③互为倒数：X 1X 2=c a =1（即a=c ） 有两根 ④含有一个零根：c=0(积=0){一根为0，另一根为-b a b 小\和大：（0,根） 以正a 为标准
一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理 一、根的判别式 1.一元二次方程根的判别式的定义： 运用配方法解一元二次方程过程中得到 222 4()24b b ac x a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22 424b b ac x a a -+=± 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ?=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式． 2.判别式与根的关系： 在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ?=-确定． 判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ?=-则 ①0?>?方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,24b b ac x -±-=． ②0?=?方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a ==-． ③0?;有两个相等的实数根时，0?=;没有实数根时，0?<． (2)在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ?=-判定方程的根的情况 (有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根)．当240b ac ?=-=时，方程有两个相等的实数根(二重根)，不能说方程只有一个根． ① 当0a >时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ② 当0a <时?抛物线开口向下?顶点为其最高点． 3.一元二次方程的根的判别式的应用： 一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： （1）运用判别式，判定方程实数根的个数； （2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； （3）通过判别式，证明与方程相关的代数问题； （4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题． 二、韦达定理 如果一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两根为12x x ， ，那么，就有 ()()212ax bx c a x x x x ++=-- 比较等式两边对应项的系数，得 1212 b x x a c x x a ? +=-??? ??=??? ①，② ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程20ax bx c ++=就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数1x ，2x 满足①与②，那么这两数12x x ， 必是一个一元二次方程20ax bx c ++=的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程20ax bx c ++=的根，而知其根的正、负性． 在24b ac ?=-≥0的条件下，我们有如下结论： 当0c a <时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0b a -<，
浅谈韦达定理的应用 齐贤学校 匡双霞 【趣题引路】 韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。 历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。消息传开，数学界为之震惊。同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。 韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间 的应用： 1. 已知一元二次方程的一根，求另一根。 2. 已知一元二次方程的两根，求作新的一元二次方程。 3. 不解方程，求关于两根的代数式的值。 4. 一元二次方程的验根。 5. 解一类特殊的二元二次方程组和通过换元等方法求解二次根式方程。 6. 与判别式的综合应用。 【中考真题欣赏】 例1 (2001年河南省)已知关于x 的方程4x 2+4bx+7b=0有两个相等的实数 根,?y 1,y 2是关于y 的方程y 2 +(2-b)y+4=0的两个根,二次方程. 解析 ∵关于x 的方程4x 2+4bx+7b=0有两个相等的实数根, ∴ △ = (4b)2 -4×4×7b=0, 即b 2-7b=0. ∴b 1=0, b 2=7. 当b=0时,,关于y 的方程化为y 2+2y+4=0, 因△=4-16=-12<0,方程无解. 当b=7时,关于y 的方程可化为y 2-5y+4=0,
[文件] sxjsck0006 .doc [科目] 数学 [关键词] 初二/ 判别式/韦达定理/方程 [标题] 判别式与韦达定理 [内容] 判别式与韦达定理 根的判别式和韦达定理是实系数一元二次方程的重要基础知识，利用它们可进一步研究根的性质，也可以将一些表面上看不是一元二次方程的问题转化为一元二次方程来讨论. 1． 判别式的应用 例1 （1987年武汉等四市联赛题）已知实数a 、b 、c 、R 、P 满足条件PR ＞1，Pc+2b+Ra=0. 求证：一元二次方程ax 2+2bx+c=0必有实根. 证明 △=（2b ）2-4ac.①若一元二次方程有实根， 必须证△≥0.由已知条件有2b=-（Pc+Ra ），代入①，得 △ =（Pc+Ra ）2-4ac =（Pc ）2+2PcRa+（Ra ）2-4ac =（Pc-Ra ）2+4ac （PR-1）. ∵（Pc-Ra ）2≥0，又PR ＞1，a ≠0， （1）当ac ≥0时，有△≥0； （2）当ac ＜0时，有△=（2b ）2-4ac ＞0. （1）、（2）证明了△≥0，故方程ax 2+2bx+c=0必有实数根. 例2 （1985年宁波初中数学竞赛题）如图21-1，k 是实数，O 是数轴的原点，A 是数 轴上的点，它的坐标是正数a.P 是数轴上另一点,坐标是x,x ＜a ，且OP 2=k ·PA ·OA. （1） k 为何值时，x 有两个解x1，x2（设x 1＜x 2）； 此处无图 （2） 若k ＞1，把x 1，x 2，0，a 按从小到大的顺序排列，并用不等号“＜”连接. 解 （1）由已知可得x 2=k ·（a-x ）·a ，即 x 2+kax-ka 2=0，当判别式△＞0时有两解，这时 △ =k 2a 2+4ka 2=a 2k （k+4）＞0. ∵a ＞0， ∴k （k+4）＞0，故k ＜-4或k ＞0. （2）x 1＜0＜x 2＜a. 例3（1982年湖北初中数学竞赛题）证明y x y xy x +++-2 2不可能分解为两个一次因式之积. 分析 若视原式为关于x 的二次三项式，则可利用判别式求解. 证明 ).()1(2222y y x y x y x y xy x ++-+=+++- 将此式看作关于x 的二次三项式，则判别式 △ =.163)(4)1(222+--=+--y y y y y 显然△不是一个完全平方式，故原式不能分解为两个一次因式之积. 例3 （1957年北京中学生数学竞赛题）已知x ，y ，z 是实数，且x+y+z=a ，①.2 12222a z y x =++ ②
根的判别式ac b 42- 根的判别式的作用： ①判定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。 例1、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。 例2、已知方程022=+-mx mx 有两个不相等的实数根，则m 的值是 . 例3、关于x 的方程()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是( ) A.10≠≥且m m B.0≥m C.1≠m D.1>m 例4、已知关于x 的方程()0222=++-k x k x (1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根； (2)若等腰?ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求?ABC 的周长。 例5、已知二次三项式2)6(92-++-m x m x 是一个完全平方式，试求m 的值. 例6、已知关于x 的方程0k x 4k 2x 2=++-有两个不相等的实数根， （1）求k 的取值范围。 （2）化简4k 4k 2k 2+-+-- 针对练习： 1、当k 时，关于x 的二次三项式92++kx x 是完全平方式。 2、当k 取何值时，多项式k x x 2432+-是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？ 3.关于x 的方程(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足（ ）
A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠5 4．对任意实数m ，求证：关于x 的方程042)1(222=++-+m mx x m 无实数根. 5．k 为何值时，方程0)3()32()1(2=+++--k x k x k 有实数根. 6. 已知a 、b 、c 是ABC ?三条边的长，那么方程()04 2=+ ++c x b a cx 的根的情况是 考点五、方程类问题中的“分类讨论” 典型例题： 例1、关于x 的方程()03212=-++mx x m ⑴有两个实数根，则m 为 , ⑵只有一个根，则m 为 。 例2、如果关于x 的方程022=++kx x 及方程022=--k x x 均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k 的值；若没有，请说明理由。 考点六、根与系数的关系 ⑴前提：对于02=++c bx ax 而言，当满足①0≠a 、②0≥?时， 才能用韦达定理。 ⑵主要内容： ⑶应用：整体代入求值。 几种常见的关于21x ,x 的对称式的恒等变形 ①()212212221x x 2x x x x -+=+ ②()21212 21221x x x x x x x x +?=?+? ③()()()2212121a x x a x x a x a x +++?=++
韦达定理及其应用 【内容综述】 设一元二次方程有二实数根，则， 。 这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。 【要点讲解】 1．求代数式的值 应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。 ★★例1若a，b为实数，且，，求的值。 思路注意a，b为方程的二实根；（隐含）。 解（1）当a=b时， ； （2）当时，由已知及根的定义可知，a，b分别是方程的两根，由韦达定理得 ，ab=1. 说明此题易漏解a=b的情况。根的对称多项式，，等都可以用 方程的系数表达出来。一般地，设，为方程的二根，，则有递推关系。 其中n为自然数。由此关系可解一批竞赛题。 附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。 ★★★例2若，且，试求代数式的值。 思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。 解：因为，由根的定义知m，n为方程的二不等实根，再由韦达定
理，得 ， ∴ 2．构造一元二次方程 如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。 ★★★★例3设一元二次方程的二实根为和。 （1）试求以和为根的一元二次方程； （2）若以和为根的一元二次方程仍为。求所有这样的一元二次方程。 解（1）由韦达定理知 ，。 ， 。 所以，所求方程为。 （2）由已知条件可得 解之可得由②得，分别讨论 （p,q）=(0,0)，(1,0)，(1 -)。 -,1)或(0, 1 -,0)，(0,1)，(2,1)，(2 于是，得以下七个方程，，，，， 1 x2= -，其中0 1 x2= +无实数根，舍去。其余六个方程均为所求。x2= +，0 x 1 + 2 3．证明等式或不等式 根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。 ★★★例4已知a，b，c为实数，且满足条件：，，求证a=b。
二次函数与根的判别式、韦达定理讲点1：公共点问题 【例1】如图，抛物线y＝－x2＋4x－3的顶点为M，直线y＝－2x－9与y轴交于点C，与直线MO交于点D，现将抛物线的顶点在直线OD上平移，平移后的抛物线与射线CD（含顶点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围． 【练】如图，已知抛物线y＝－x2＋2x＋8与x轴交于点A,B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？ 讲点2：距离问题 【例2】如图，抛物线y＝a(x－1)2＋4与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，点D ，在抛物线上共有三个点到直线BC的距离为m，求m 是抛物线的顶点，已知CD 的值． 【练】如图，抛物线y＝ax2－6ax＋5a与x轴交于A,B两点（A左，B右），若抛物 线与直线y＝2x的最近点之间的距离为，求a的值． 讲点3：隐藏判别式
【例3】如图，点P是直线l：y＝－2x－2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y＝x2与A,B两点，试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得PA＝AB成立． 【练】如图，已知二次函数y＝a(x2－6x＋8)（a＞0）的图象与x轴分别交于点A,B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段PA,PB,PC,PD 与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由． 讲点4：交点间的距离 【例4】已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋m的图象与函数y＝kx＋1的图象交于A（x 1 ， y 1），B（x 2 ，y 2 ）（x 1 ＜x 2 ）两点． （1）如图1，当k＝1，m取不同值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想；（2）如图2，当m＝0，k取不同值时，猜想△AOB的形状，并证明你的猜想． 【例5】如图，抛物线y＝x2－4x＋5与y轴交于点C，过点N（1，2）作直线l，交抛物线于点P，交y轴于点E，连接PC，若PE＝PC，求直线l的解析式． 【练】如图，抛物线C 1 ：y＝x2＋4x＋3交x轴于A,B两点，交y轴于点C，将抛物 线C 1沿y轴翻折得新抛物线C 2 ，过点C作直线l交抛物线C 1 于点M，交抛物线C 2 于 点N，若MN＝，求直线l的解析式．三、对称问题
【内容综述】 设一元二次方程 宀肚…。佃弄°）有二实数根可和也，贝U “f 的关系, 为韦达定理。 其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中 数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。 【要点讲解】 1. 求代数式的值 应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。 ★★例1若a , b 为实数，且以+力十l = n , “ + 十1 = （］，求石打的值。 思路注意a , b 为方程Q +覽+1 = 0的二实根；（隐含A 土 0）。 解（1）当a=b 时， （2）当说护■^时，由已知及根的定义可知，a ，b 分别是方程*打"1二D 的两根，由韦 达定理得 .b d _ 盘2 +於 _ ?4对'一M)_ [-餌一*1 ..—4 — ---- ---------- -- -------------------- - ----------------- -- / L? h ■ 说明此题易漏解a=b 的情况。根的对称多项式对，工扌 程的系数表达出来。一般地，设 可「丁为方程宀E = D 的二根，'-卅+对，则有递 推关系。 其中n 为自然数。由此关系可解一批竞赛题。 附加：本题还有一种最基本方法即分别解出 a ，b 值进而求出所求多项式值，但计算量 较大。 ★★★例2若榊3=疏+1 ,池27-1 = 口且聊5|,试求代数式也G 思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。 解：因为 宀，由根的定义知m n 为方程*-z = 0的二不等实根，再由韦达定理, 这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数 a ， b ，c 称之 b 电等都可以用方 的值。