椭圆定义、标准方程及性质(一)
椭圆的定义、标准方程及性质(一) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1、椭圆的焦距（） A．2 B． C． D． 2、是定点，，动点M满足，则点M的轨迹是（） A．椭圆 B．圆 C．线段 D．直线 3、若椭圆的两个焦点分别为，且椭圆过点则椭圆的方程为（）A． B． C． D． 4、方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（） A． B． C． D．（0,1） 5、过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一焦点构成的周长是（） A． B．2 C． D．1 6、已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（） A．或 B． C．或 D． 7、已知，则曲线有（） A．相同的短轴 B．相同的焦点 C．相同的离心率 D．相同的长轴 8、椭圆的焦点，P为椭圆上的一点，已知，则的面积为（） A．9 B．12 C．10 D．8 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．) 9、椭圆的离心率为，则= . 10、设是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则*的最大值为 . 11、椭圆的焦点分别是，点在椭圆上.如果线段的中点在轴上，那么是倍. 12、已知圆及点，为圆上一点，的垂直平分线交于于，则点的轨迹方程为 . 三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 13、如果点在运动的过程中，总满足关系式，点的轨迹是什么曲线?写出它的方程.
14、点到定点的距离和它到定直线的距离的比是，求点的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形. 15、已知点是椭圆上的一点，且以点及焦点为顶点的三角形的面积等于1，求点的坐标.
圆系方程及其应用
圆系方程及其应用 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020
圆系方程及其应用 一、常见的圆系方程有如下几种： 1、以(,)a b 为圆心的同心圆系方程：222()()(0)x a y b λλ-+-=> 与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０同心的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋λ＝０ 2、过直线Ax ＋By ＋Ｃ＝０与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＋λ（Ax ＋By ＋Ｃ）＝０（λ∈Ｒ） 3、过两圆1C :22y x +＋111F y E x D ++＝0，2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０交点的圆系方程为：22y x +＋111F y E x D ++＋λ（22y x +＋222F y E x D ++）＝0（λ≠-１，此圆系不含2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０） 特别地，当λ＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程． 注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C ，可等价转化为过圆1C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-= 二、圆系方程在解题中的应用： 1、利用圆系方程求圆的方程： 例1 求经过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点，并且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程。
1圆的方程和性质T
教学内容 【知识结构】 1、圆的定义 平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆． 2、圆的标准方程 圆心为（a ，b ），半径为r 的圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+- 方程中有三个参量a 、b 、r ，因此三个独立条件可以确定一个圆 3、圆的一般方程 二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0（*）配方得 （x + 2 D ）2 +（y + 2 E ）2 = 4 42 2 F E D -+ 把方程)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x 其中，半径是2 42 2 F E D r -+= ，圆心坐标是?? ? ? ?- - 22 E D ，叫做圆的一般方程 （1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：x 2、y 2项系数相等且不为零 没有xy 项 （2）当D 2+E 2－4F =0时，方程（*）表示点（－ 2 D ，－ 2 E ）； 当D 2+E 2－4F ＜0时，方程（*）不表示任何图形 （3）根据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程 4、二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件 若二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆，则有A =C ≠0，B =0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分 在A =C ≠0，B =0时，二元二次方程化为x 2+y 2+ A D x + A E y + A F =0， 仅当D 2+E 2－4AF ＞0时表示圆 故Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是： ①A =C ≠0，②B =0，③D 2+E 2－4AF ＞0 5、点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆)0()()(:222>=-+-r r b y a x C ， （1）点M 在圆C 外()()22 200CM r x a y b r ?>?-+->； （2）点M 在圆C 内?()()22 200CM r x a y b r
圆的标准方程与一般方程 (1)
圆的标准方程 1、情境设置： 在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究： 2、探索研究： 确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条 件 r = ① 化简可得：222 ()()x a y b r -+-= ② 引导学生自己证明2 2 2 ()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。 3、知识应用与解题研究 例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。 分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。 探究：点00(,)M x y 与圆222 ()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （1）2200()()x a y b -+->2 r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2 r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2 r ，点在圆内 例（2）：ABC ?的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程
师生共同分析：从圆的标准方程222 ()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决） 例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程. 师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点 (1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分 线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或 CB 。 （教师板书解题过程） 总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例(3)可得出ABC V 外接圆的标准方程的两种求法： ①、根据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的 标准方程. 根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 课堂练习：课本127p 第1、3、4题 4.提炼小结： 1、 圆的标准方程。 2、 点与圆的位置关系的判断方法。 3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。
高中数学圆的方程
教学任务 教学流程说明 教学过程设计
圆的方程 一、填空： 1．以（0，0）、（6，－8）为直径端点的圆方程是 2．以点A(－5,4)为圆心，且与x 轴相切的圆的标准方程为____________ 3．圆x 2+y 2－x+2y=0关于直线L ：x －y+1=0对称的圆的方程 _____ 4．方程2 2 0x y x y k +-++=表示一个圆，则实数k 的取值范围是 5．1) 过圆72 2=+y x 上一点)3,2(-P 的切线方程为____ 2)经过点P(3,4)的圆x 2+y 2=9的切线方程_____________ 6．已知圆(x －2)2+(y+1)2=16的一条直径通过直线x －2y+3=0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为__________。 7、圆心在原点，在直线3x ＋4y ＋15=0上截得的弦长为8的圆的方程为 8、圆(x －2)2+(y+5)2=1上一点p （x ，y ），那么 x y 的最大值是___________ 9、圆2 2 4460x y x y +-++=截直线50x y --=所得弦长等于 二、选择： 10、方程342-+-= x x y 表示的曲线是（ ） (A )在x 轴上方的圆 (B )在y 轴右方的圆 (C )x 轴下方的半圆 (D )x 轴上方的半圆 11、设圆C 的方程x 2+y 2－2x －2y －2=0，直线L 的方程(m+1)x －my －1=0，对任意实数m ，圆C 与直线L 的位 置关系是（ ） A 、相交 B 、相切 C 、相离 D 、由m 值确定 12、若圆(x －3)2+(y+5)2=r 2上有且只有两个点到直线4x －3y=2的距离等于1，则半径r 的取值范围是： （ ） A 、（4，6） B 、)6,4[ C 、]6,4( D 、[4，6] 13、将直线x+y-1=0绕点（1，0）顺时针旋转2 π后，再向上平移一个单位，此时恰与圆x 2+(y-1)2=R 2 相切，则正 数R 等于（ ） A 、 2 1 B 、22 C 、1 D 、2 三、解答 14、PQ 是过点A （3，0）所作的圆C ：x 2＋y 2＋6x =0的弦，设CH ⊥PQ 于H .求点H 的轨迹方程 15、1）已知圆心在x 轴上，半径是5，且以A （5，4）为中点的弦长是25，求这个圆的方程。 2）求直线l ：x －y －1=0被⊙C ：x 2＋y 2=4截得的弦长.。 16、若直线l ：x ＋2y －3=0与圆x 2＋y 2－2mx ＋m =0相交于P 、Q 两点并且OP ⊥OQ ，求实数m 之值. 17、圆上的点(2,3)A 关于直线20x y +=的对称点仍在这个圆上，且被直线10x y -+=所截得的弦长为求圆的方程。
圆系方程及其应用
圆系方程及其应用 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
圆系方程及其应用 一、常见的圆系方程有如下几种： 1、以(,)a b 为圆心的同心圆系方程：222()()(0)x a y b λλ-+-=> 与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０同心的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋λ＝０ 2、过直线Ax ＋By ＋Ｃ＝０与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＋λ（Ax ＋By ＋Ｃ）＝０（λ∈Ｒ） 3、过两圆1C :22y x +＋111F y E x D ++＝0，2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０交点的圆系方程为： 22y x +＋111F y E x D ++＋λ（22y x +＋222F y E x D ++）＝0（λ≠-１，此圆系不含2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０） 特别地，当λ＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程． 注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C ，可等价转化为过圆1C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-= 二、圆系方程在解题中的应用： 1、利用圆系方程求圆的方程： 例1 求经过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点，并且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程。 解一：求出两交点（-1,3）（-6,-2），再用待定系数法：1．用一般式； 2．用标准式。 （注：标准式中可先求圆心的两个坐标，而圆心正好在两交点的中垂线上。） 解二：用两点的中垂线与直线的交点得圆心： 1．两交点的中垂线与直线相交；
椭圆标准方程及其性质知识点大全
【专题七】椭圆标准方程及其性质知识点大全 (一)椭圆的定义及椭圆的标准方程： ●椭圆定义：平面内一个动点 P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数 )2(2121F F a PF PF >=+ , 这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点， 两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：①若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； ②若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形 (二)椭圆的简单几何性： ●标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。 标准方程 122 22=+b y a x )0(>>b a 122 22=+b x a y )0(>>b a 图形 性质 焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤， b y ≤ b x ≤，a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ± 轴长 长轴长12A A , 12A A =a 2，短轴长12B B ,12B B =b 2
离心率 ①(01)c e e a = << ，②21()b e a =-③2 22b a c -= （离心率越大，椭圆越扁） 1.方程中的两个参数a 与b ，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a ，b ，c 都大于零，其中 a 最大且a 2= b 2+ c 2. 2. 方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是：ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B 。A ＞B 时，焦点在y 轴上，A ＜B 时，焦点在x 轴上。 (三)焦点三角形的面积公式：122tan 2 PF F S b θ ?=如图： ●椭圆标准方程为:122 22=+b y a x )0(>>b a ，椭圆焦点三角形：设P 为椭圆上任意一点，12 ,F F 为焦点且∠12F PF θ=，则△12F PF 为焦点三角形，其面积为122tan 2 PF F S b θ ?=。 (四)通径 ：如图：通径长 2 2b MN a = ●椭圆标准方程:122 22=+b y a x )0(>>b a ， (五)点与椭圆的位置关系： （1）点00(,)P x y 在椭圆外?22 00 221x y a b +>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上?220220b y a x +＝1； （3）点00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< (六)直线与椭圆的位置关系： ●设直线l 的方程为：Ax+By+C=0，椭圆122 22=+b y a x （a ﹥b ﹥0），联立组成方程 组，消去y(或x)利用判别式△的符号来确定： （1）相交：0?>?直线与椭圆相交；（2）相切：0?=?直线与椭圆相切； M N F x y
圆系方程的应用及要点
圆系方程的应用及要点 1. 引子 题: 求经过两条曲线x 2+y 2+3x -y=0和3x 2+3y 2+2x+y=0交点的直线方程. 常规解法是: 联立方程 ?????=+++=-++)2(0233)1(032222y x y x y x y x 求方程组解 )3(047) 2(3)1(=--?y x 得 得代入即),1(,4 7x y = .137134;00313 4,0,0473164922112122???????-=-=???==-===-++ y x y x x x x x x x ），得分别代入（解得 即两交点坐标为 A(0,0), ).13 7,134(--B 过两交点的直线方程为 7x -4y=0. (4) 观察分析以上解题过程,可发现所得结果(4)与中间状态(3)是一样的.这个是不是普遍规律,本质是什么? 2. 曲线系方程 由上面(1),(2)得到(3),这是解方程的基本步骤,这一步的几何意义是什么呢?我们可得以下结论 结论1: 如果两条曲线方程是 f 1(x,y)=0 和 f 2(x,y)=0, 它们的交点是P(x 0,y 0),则 方程 f 1(x,y)+λf 2(x,y)=0的曲线也经过P(x 0,y 0) (是任意常数). 此结论即由联立方程???==)6(0),()5(0 ),(21y x f y x f 得到 )7(0),(),(21=+y x f y x f λ 只须将（x 0,y 0）代入（7），可立即证明。 有了这个结论，有些题目可快速求解。过两圆交点的公共弦所在直线方程就是将两圆方程联立消去二次项所得方程。 例2 (课本P70.13题) 求经过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点,并且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程. 解: 构造方程 x 2+y 2+6x -4+λ(x 2+y 2+6y -28)=0 即 (1+λ)x 2+(1+λ)y 2+6x+6λy -(4+28λ)=0 此方程的曲线是过已知两圆交点的圆,且圆心为)13,13(λλλ+-+- 当该圆心在直线x -y -4=0上时,即 .7,041313-==-+++-λλ λλ得 ∴ 所求圆方程为 x 2+y 2-x+7y -32=0
圆的方程及性质
教案 学生姓名 _______ 科目______ 年级_______ 编号_____ 授课老师______ 授课时间___________上课日期__________ 总课时 ______ 本次课时_____ 剩余课时______ 教学重难点： 1、圆的定义及方程 （1）圆的定义 （2）圆的标准方程 （3）圆的一般方程 2、点与圆的位置与关系 教学过程(内容)： 1、课前基础知识梳理，（问答式、填空式、回顾式）； 2、学生自行完成基础自测环节，旨在检验基础知识应用情况； 3、教师进行课堂考点讲解，使学生明确考点，有的放矢； 4、考题演练，难度系数较第二环节高，可检验本次课教学情况； 作业： 1、本节所学课后务必再多加练习以期全部掌握； 2、重在熟练解题思路、掌握解题模式、体会相关思想方法、习得突破口技能。 3、课时作业（四十五） 课堂反馈： 家长反馈意见： 学生签字：家长签字： 人的一生会经历风风雨雨，不是每一件事都由我们所控制，有些事的结果甚至会出乎我们的意料。无论结果怎样，这对我们都不是最重要的，重要的是我们曾为它而经历过、拼搏过，只要有这个过程，我们就不会后悔。
第四节 圆的方程 知识梳理 1、圆的定义及方程 ⑴标准方程：()()22 2r b y a x =-+- 其中圆心为(,)a b ，半径为r . ⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x . 其中圆心为(,)22D E --，半径为221 42r D E F =+-. 2、点与圆的位置与关系 第一部分 基础自测 1、方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是（） A.2a <-或23a > B. 203a -<< C. 20a -<< D. 223 a -<< 2、当a 为任意实数时，直线(1)10a x y a --++=恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为（） A. 22240x y x y +-+= B. 22240x y x y +++= C. 22240x y x y ++-= D. 22240x y x y +--= 3、过点(1,1)A -，(1,1)B -，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程( ) A. 22(3)(1)4x y -++= B. 22(3)(1)4x y ++-= C. 22(1)(1)4x y -+-= D. 22(1)(1)4x y +++= 4、圆22410x y x ++-=关于原点(0,0)对称的圆的标准方程为_________. 5、已知直线:40l x y -+=与圆22:(1)(1)2C x y -+-=,则C 上各点到l 的距离的最小值为_________.
专题强化练5 圆的方程及其应用
专题强化练5 圆的方程及其应用 一、选择题 1.(2020湖南雅礼中学高二月考, )在平面直角坐标系xOy 中,圆C 与圆 O:x 2+y 2=1外切,且与直线x-2y+5=0相切,则圆C 的面积的最小值为( ) A.4 5π B.(3-√5)π C. 3-√52 π D.(6-2√5)π 2.(多选)(2020山东省实验中学高三月考,)若实数x,y 满足x 2+y 2+2x=0,则下列 关于y x -1 的判断正确的是( ) A. y x -1 的最大值为√3 B. y x -1 的最小值为-√3 C.y x -1的最大值为√3 3 D.y x -1的最小值为-√3 3 3.(2020浙江杭州高三质检,)一条光线从点(-2,-3)射出,经y 轴反射后与圆 (x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( ) A.-5 3或-3 5 B.-3 2或-2 3 C.-54 或-45 D.-43 或-34 4.(2020安徽安庆一中高二期末, )曲线y=1+√4-x 2与直线y=k(x-2)+4有两个不 同的交点,则实数k 的取值范围是( ) A.k≥3 4 B.-34 ≤k<-5 12 C.k>5 12 D.512 二、填空题 5.(2020山东临沂高三一模,)已知圆M的圆心在x轴上,且在直线l 1:x=-2的右侧,若圆M截直线l1所得的弦长为2√3,且与直线l2:2x-√5y-4=0相切,则圆M的标准方程为. 6.(2019河北唐山高三三模,)已知A(-2,0),B(0,2),实数k是常数,M,N是圆 x2+y2+kx=0上两个不同的点,P是圆x2+y2+kx=0上的动点,如果M,N关于直线x-y-1=0对称,则△PAB面积的最大值是. 7.(2020江苏扬州高三月考,)在平面直角坐标系xOy中,过点P(-2,0)的直线与 圆x2+y2=1相切于点T,与圆(x-a)2+(y-√3)2 =3相交于两点R,S,且PT=RS,则正数a 的值为. 8.(2020湖北八校高三期末联考,)过点(√2,0)作直线l与曲线y=√1-x2相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等 于. 三、解答题 9.(2020安徽黄山高二期末,)已知点M(3,1),圆O 1:(x-1)2+(y-2)2=4. (1)若直线ax-y+4=0与圆O1相交于A,B两点,且弦AB的长为2√3,求a的值; (2)求过点M的圆O1的切线方程.
椭圆的标准方程及其几何性质
椭圆的标准方程及其几何性质 1. 椭圆定义： （1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点. 当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在; 当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段 （2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10<>=+b a b y a x 的位置关系: 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当12222=+b y a x 时,点P 在椭圆上; 4.直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆相交0>??;直线与椭圆相切0=??;直线与椭圆相离0之和等于10； ⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23- ,2 5） (3)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0). (4)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. (5)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2. 解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为 122 22=+b y a x )0(>>b a 9 454 ,582,10222222=-=-=∴==∴==c a b c a c a 所以所求椭圆标准方程为 19 252 2=+y x ⑵ 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为 122 22=+b x a y )0(>>b a 由椭圆的定义知， 22)225()23(2++-=a ＋22)22 5 ()23(-+- 102 11023+= 102= 10=∴a 又2=c 6410222=-=-=∴c a b 所以所求标准方程为 6 102 2=+x y 另法：∵ 42 222-=-=a c a b ∴可设所求方程14 2 2 22=-+a x a y ，后将点（23-,25）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程 (3)∵椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为：
圆系方程及其应用
直线系、圆系方程 1、过定点直线系方程在解题中的应用 过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A,B 不同时为0）. 例 1 求过点(1 4)P -，圆22(2)(3)1x y -+-=的切线的方程． 分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法. 解析：设所求直线的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零）， 则整理有40Ax By A B ++-=， ∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径1 1=， 整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或3 04 A B =≠． 故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=． 点评：对求过定点（0x ，0y ）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为: 00()()0A x x B y y -+-=，注意的此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象． 练习： 过点(1 4)P -，作圆22 (2)(3)1x y -+-=的切线l ，求切线l 的方程． 解：设所求直线l 的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零）， 则整理有40Ax By A B ++-=， ∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ， 到直线l 的距离等于半径1 1=， 整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或3 04 A B =≠． 故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=． 2、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用 过直线l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）交点的直线系方程为：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）. 例2 求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解. 解析：设所求直线方程为：21(21)0x y x y λ+++-+=， 当直线过原点时，则1λ+=0，则λ=－1，
椭圆的方程及性质
椭圆的方程及性质 一、椭圆的定义 1、一动圆与已知圆1)3(:221=++y x O 及圆81)3(:222=+-y x O 相内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为 变式：（1）已知圆1)2(:22=-+y x M 及圆0774:22=-++y y x N ，动圆C 与二圆 相内切，则动圆圆心C 的轨迹方程为 （2）方程10 )4()4(2222=+-+ ++y x y x 化简后得到的曲线方程为 2、已知21,F F 为椭圆19 252 2=+y x 的两个焦点，过1F 的直线与椭圆交于B A ,两点，若1222=+B F A F ， 则AB 的长为 变式：（1）已知椭圆12 :2 2=+y x C 的两焦点为21,F F ，点),(00y x P 满足1202020<+>=+b a b y a x C 的离心率为23，双曲线12 2=-y x 的渐近线与椭圆C 有四
【原创讲义】圆与方程(全面详细)
同学们我们在初中的时候已经学习了圆的几何性质， 今天开始我们从代数坐标系的角度再来学习圆的一些性质. 1.圆的要素： 在平面直角坐标系中，当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了.因此，确定一个圆的基本要素是圆心与半径，即位置与大小. 2.圆的定义： 描述一：在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆. 描述二：在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆. 如图所示：O为定点（圆心），P为动点 ()r b y a x= - + - ?2 2 ) ( 根据点到点距离公式 我们将上面这个方程平方也就得到了圆的标准方程. 3.圆的标准方程： ()() . 1 1 )0,0( ) , ( )0 ( 2 2 2 2 2 称为单位圆 的圆 半径 单位圆：我们把圆心为 ，半径 圆心 ＞ = + = = - + - y x r r b a r r b y a x 理解： 所说的标准方程其实也只是圆方程的一种书写形式，该方程的优势体现在能直观的看出圆心和半径长.其中标准方程的右边必须大于零才能表示圆，如果等于零，方程表示的只是一个点) , (b a.现在我们将圆的标准方程括号去掉化简就可以得到圆的一般方程. ※圆与方程
4.圆的一般方程： 2 4- 2 2 4- 2 2 2 2 2 2 F E D r E D F E D F Ey Dx y x + = - - + = + + + + ） ， 圆心（ ＞ 圆的判别式： 一般方程： . 2 2项 ，也没有 的系数相同且 与 理解：xy y x≠ 图像不存在 ＜ ③ 表示点 ② 表示圆 ＞ ① 一般方程：配方 ? + - - ? = + ? + + = + + + ? ?→ ? = + + + + 4- ) 2 , 2 ( 4- 4- 4 4- ) 2 ( ) 2 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 F E D E D F E D F E D F E D E y D x F Ey Dx y x 圆的标准方程与一般方程在形式上存在区别，但又可以通过配方将二者相互转化. 5.圆的参数方程：（一般用于求最值） ()() [)π θ θ θ θ θ θ 2.0 ( sin cos sin cos 1 ) ( ) ( )0 (2 2 2 2 22 ∈ ? ? ? + = + = ? ? ? ? ?? ? ? = - = - ? = - + - ? ? ? ? ? ?→ ? = - + - 为参数， 圆的参数方程 ＞等号左右两边同除以 b r y a r x r b y r a x r b y r a x r r b y a x r 圆成立的条件很重要: 4 2 2＞ F E D- +
圆方程的应用(讲义)
圆方程的应用（讲义） ?知识点睛 一、圆与圆的位置关系 1.判断圆与圆的位置关系：比较圆心距和两圆半径长的和、差． 2.公共弦所在的直线方程：两圆标准方程或一般方程相减． 3.公共弦相关的几何特征：两圆圆心所在直线垂直平分公共弦． 二、半圆的方程 三、与圆有关的最值问题 1.求过圆内一点的弦长的最值：最长弦为过该点的直径；最短弦为垂直于此直 径的弦． 2.求圆上的点与圆外一点距离的最值：先求出圆外的点到圆心的距离，再加、 减半径求出最值． 3.求圆上的点到直线的距离的最值：先求出圆心到直线的距离，再加、减半径 求出最值． ?精讲精练 1.若圆22 1460 C x y x y +-+= ：和圆22 260 C x y y +-= ：交于A，B两点，则线 1
2 段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．30x y ++= B ．250x y --= C ．330x y +-= D ．4370x y -+= 2. 圆22150C x y +=：与圆222126400C x y x y +--+=：的公共弦AB 的长为 （ ） A B C ． D ． 3. 若圆22 ()()4C x a y a -+-=： 上，总存在不同的两点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是（ ） A ．22， B ．()22 -- C ．23(( -， D ．(22 -， 4. 若直线y x b =-+与曲线x =则b （ ） A ．[33]- ， B ．[33)-， C ．[33){32}-， D ．(33)-， 5. 若直线y x b =+与曲线3y =有公共点，则b 的取值范围是（ ） A ．[11-+ B ．[13] C ．[11-+， D ．[13]-
